ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

ચાલો ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના એપ્લીકેશનને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ. આ પાઠમાં આપણે લાક્ષણિક અને સૌથી સામાન્ય કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીશું - પ્લેન ફિગરના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો. છેવટે, જેઓ ઉચ્ચ ગણિતમાં અર્થ શોધી રહ્યા છે - તેઓ તેને શોધી શકે છે. તમે ક્યારેય જાણતા નથી. વાસ્તવિક જીવનમાં, તમારે પ્રારંભિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ડાચા પ્લોટનો અંદાજ કાઢવો પડશે અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધવો પડશે.

સામગ્રીને સફળતાપૂર્વક માસ્ટર કરવા માટે, તમારે:

1) ઓછામાં ઓછા મધ્યવર્તી સ્તરે અનિશ્ચિત અભિન્ન સમજો. આમ, ડમીઓએ પ્રથમ પાઠ વાંચવો જોઈએ નથી.

2) ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર લાગુ કરવા અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ બનો. તમે પૃષ્ઠ પર ચોક્કસ અભિન્ન અંગો સાથે ગરમ મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો સ્થાપિત કરી શકો છો ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

વાસ્તવમાં, આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત અવિભાજ્યના આટલા જ્ઞાનની જરૂર નથી. "ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરો" કાર્યમાં હંમેશા ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે, તેથી તમારું જ્ઞાન અને ડ્રોઇંગ કૌશલ્ય એ વધુ મહત્વનો મુદ્દો હશે. આ સંદર્ભમાં, મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખની તમારી યાદશક્તિને તાજી કરવી, અને ઓછામાં ઓછું, એક સીધી રેખા, પેરાબોલા અને હાઇપરબોલા બનાવવા માટે સક્ષમ થવા માટે તે ઉપયોગી છે. આ પદ્ધતિસરની સામગ્રી અને ગ્રાફના ભૌમિતિક પરિવર્તન પરના લેખની મદદથી (ઘણા લોકો માટે તે જરૂરી છે) કરી શકાય છે.

વાસ્તવમાં, દરેક વ્યક્તિ શાળાના સમયથી ચોક્કસ અભિન્ન અંગનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધવાના કાર્યથી પરિચિત છે, અને અમે શાળાના અભ્યાસક્રમ કરતાં વધુ આગળ વધીશું નહીં. આ લેખ કદાચ અસ્તિત્વમાં ન હોત, પરંતુ હકીકત એ છે કે સમસ્યા 100 માંથી 99 કેસોમાં થાય છે, જ્યારે વિદ્યાર્થી નફરતની શાળામાંથી પીડાય છે અને ઉત્સાહપૂર્વક ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં માસ્ટર કરે છે.

આ વર્કશોપની સામગ્રી સરળ રીતે, વિગતવાર અને ઓછામાં ઓછા સિદ્ધાંત સાથે રજૂ કરવામાં આવી છે.

ચાલો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડથી પ્રારંભ કરીએ.

વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડઅક્ષ, સીધી રેખાઓ અને અંતરાલ પર સતત કાર્યનો આલેખ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ છે જે આ અંતરાલ પર સાઇન બદલતી નથી. આ આંકડો સ્થિત થવા દો નીચું નથી x-અક્ષ:

પછી વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અભિન્ન સમાન છે. કોઈપણ ચોક્કસ અભિન્ન (જે અસ્તિત્વમાં છે)નો ખૂબ જ સારો ભૌમિતિક અર્થ છે. વર્ગમાં ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણોમેં કહ્યું કે ચોક્કસ પૂર્ણાંક એ સંખ્યા છે. અને હવે બીજી ઉપયોગી હકીકત જણાવવાનો સમય છે. ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી, ચોક્કસ અવિભાજ્ય એ AREA છે.

એટલે કે, ચોક્કસ અભિન્ન (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) ભૌમિતિક રીતે ચોક્કસ આકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ અભિન્ન ધ્યાનમાં લો. ઇન્ટિગ્રેન્ડ અક્ષની ઉપર સ્થિત પ્લેન પરના વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (જેઓ ઇચ્છે છે તેઓ ડ્રોઇંગ બનાવી શકે છે), અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ પોતે સંબંધિત વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે.

ઉદાહરણ 1

આ એક લાક્ષણિક અસાઇનમેન્ટ સ્ટેટમેન્ટ છે. નિર્ણયનો પ્રથમ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો એ ડ્રોઇંગનું નિર્માણ છે. તદુપરાંત, ચિત્ર બનાવવું આવશ્યક છે અધિકાર.

ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, હું નીચેના ક્રમની ભલામણ કરું છું: પહેલાબધી સીધી રેખાઓ બાંધવી વધુ સારું છે (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) અને માત્ર પછી- પેરાબોલાસ, હાયપરબોલાસ, અન્ય કાર્યોના આલેખ. કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટે તે વધુ નફાકારક છે બિંદુ દ્વારા બિંદુ, બિંદુ-બાય-પોઇન્ટ બાંધકામ તકનીક સંદર્ભ સામગ્રીમાં મળી શકે છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો. ત્યાં તમે અમારા પાઠ માટે ખૂબ જ ઉપયોગી સામગ્રી પણ મેળવી શકો છો - કેવી રીતે ઝડપથી પેરાબોલા બનાવવું.

આ સમસ્યામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે.
ચાલો ડ્રોઇંગ દોરીએ (નોંધ કરો કે સમીકરણ ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે):

હું વક્ર ટ્રેપેઝોઇડને શેડ કરીશ નહીં; તે અહીં સ્પષ્ટ છે કે આપણે કયા ક્ષેત્ર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ઉકેલ આ રીતે ચાલુ રહે છે:

સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ સ્થિત છે ધરી ઉપર, તેથી જ:

જવાબ:

ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવામાં અને ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રને લાગુ કરવામાં કોને મુશ્કેલીઓ છે , વ્યાખ્યાન નો સંદર્ભ લો ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, ડ્રોઇંગ જોવા અને જવાબ વાસ્તવિક છે કે કેમ તે શોધવાનું હંમેશા ઉપયોગી છે. આ કિસ્સામાં, અમે "આંખ દ્વારા" ડ્રોઇંગમાં કોષોની સંખ્યા ગણીએ છીએ - સારું, ત્યાં લગભગ 9 હશે, તે સાચું લાગે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો અમને જવાબ મળ્યો, કહો, 20 ચોરસ એકમો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યાંક ભૂલ થઈ હતી - 20 કોષો દેખીતી રીતે પ્રશ્નમાંની આકૃતિમાં બંધબેસતા નથી, વધુમાં વધુ એક ડઝન. જો જવાબ નકારાત્મક છે, તો કાર્ય પણ ખોટી રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ 2

રેખાઓ , , અને અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સ્થિત હોય તો શું કરવું ધરી હેઠળ?

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ અને સંકલન અક્ષો દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના વિસ્તારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ: ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સ્થિત છે ધરી હેઠળ(અથવા ઓછામાં ઓછું ઉચ્ચ નથીઆપેલ અક્ષ), પછી તેનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
આ કિસ્સામાં:

ધ્યાન આપો! બે પ્રકારનાં કાર્યોમાં ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ:

1) જો તમને કોઈપણ ભૌમિતિક અર્થ વિના ફક્ત ચોક્કસ અભિન્નને હલ કરવાનું કહેવામાં આવે, તો તે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

2) જો તમને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો તે ક્ષેત્ર હંમેશા હકારાત્મક હોય છે! તેથી જ માત્ર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલામાં માઈનસ દેખાય છે.

વ્યવહારમાં, મોટેભાગે આકૃતિ ઉપલા અને નીચલા અર્ધ-પ્લેન બંનેમાં સ્થિત હોય છે, અને તેથી, સરળ શાળા સમસ્યાઓમાંથી આપણે વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેન આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ: પ્રથમ તમારે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિસ્તારની સમસ્યાઓમાં ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, અમને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓમાં સૌથી વધુ રસ હોય છે. ચાલો પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ અને સીધી રેખા શોધીએ. આ બે રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે. અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણની નીચલી મર્યાદા છે, એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા છે.
જો શક્ય હોય તો, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે..

પોઈન્ટ બાય લાઈનો બાંધવી તે વધુ નફાકારક અને ઝડપી છે, અને એકીકરણની મર્યાદા "પોતાના દ્વારા" સ્પષ્ટ થઈ જાય છે. વિવિધ આલેખ માટે પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામ તકનીકની મદદમાં વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો. તેમ છતાં, કેટલીકવાર મર્યાદાઓ શોધવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે છે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ પૂરતો મોટો હોય, અથવા વિગતવાર બાંધકામ એકીકરણની મર્યાદાઓને જાહેર કરતું ન હોય (તે અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે). અને અમે આવા ઉદાહરણ પર પણ વિચાર કરીશું.

ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: પ્રથમ એક સીધી રેખા અને તે પછી જ પેરાબોલા બનાવવું વધુ તર્કસંગત છે. ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

હું પુનરાવર્તિત કરું છું કે જ્યારે બિંદુ પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છે, ત્યારે એકીકરણની મર્યાદા મોટાભાગે "આપમેળે" મળી આવે છે.

અને હવે કાર્યકારી સૂત્ર: જો સેગમેન્ટ પર અમુક સતત કાર્ય હોય કરતાં વધુ અથવા તેના સમાનકેટલાક સતત કાર્ય , પછી આ ફંકશનના આલેખ અને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર , , સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

અહીં તમારે હવે આકૃતિ ક્યાં સ્થિત છે તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી - ધરીની ઉપર અથવા ધરીની નીચે, અને, આશરે કહીએ તો, કયો ગ્રાફ વધુ છે તે મહત્વનું છે(બીજા ગ્રાફને સંબંધિત), અને જે નીચે છે.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સેગમેન્ટ પર પેરાબોલા સીધી રેખાની ઉપર સ્થિત છે, અને તેથી તેમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે

પૂર્ણ થયેલ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:

ઇચ્છિત આકૃતિ ઉપરના પેરાબોલા અને નીચે એક સીધી રેખા દ્વારા મર્યાદિત છે.
સેગમેન્ટ પર, અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ:

વાસ્તવમાં, નીચલા અર્ધ-વિમાનમાં વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્ર માટે શાળા સૂત્ર (સાદું ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ) એ સૂત્રનો એક વિશેષ કેસ છે. . કારણ કે ધરી સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી છે, અને કાર્યનો ગ્રાફ સ્થિત છે ઉચ્ચ નથીકુહાડીઓ, પછી

અને હવે તમારા પોતાના ઉકેલ માટે થોડા ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 5

ઉદાહરણ 6

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો, .

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ક્યારેક એક રમુજી ઘટના બને છે. ડ્રોઇંગ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હતું, ગણતરીઓ સાચી હતી, પરંતુ બેદરકારીને કારણે ... ખોટા આંકડાનો વિસ્તાર મળી આવ્યો હતો, આ રીતે તમારા નમ્ર સેવકે ઘણી વખત ખરાબ કર્યું છે. અહીં એક વાસ્તવિક જીવનનો કેસ છે:

ઉદાહરણ 7

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો , , .

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

...એહ, ચિત્ર વાહિયાત બહાર આવ્યું, પરંતુ બધું સુવાચ્ય લાગે છે.

આકૃતિ જેનો વિસ્તાર આપણે શોધવાની જરૂર છે તે વાદળી છાંયો છે(સ્થિતિ પર ધ્યાનથી જુઓ - આકૃતિ કેવી રીતે મર્યાદિત છે!). પરંતુ વ્યવહારમાં, બેદરકારીને લીધે, ઘણી વખત "ભૂલ" થાય છે કે તમારે આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે જે લીલા રંગમાં છાંયો છે!

આ ઉદાહરણ એમાં પણ ઉપયોગી છે કે તે બે નિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે. ખરેખર:

1) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર સીધી રેખાનો ગ્રાફ છે;

2) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર અતિપરવલયનો ગ્રાફ છે.

તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે વિસ્તારો ઉમેરી શકાય છે (અને જોઈએ) તેથી:

જવાબ:

ચાલો બીજા અર્થપૂર્ણ કાર્ય તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 8

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો,
ચાલો સમીકરણોને “શાળા” સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ અને પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ ડ્રોઈંગ બનાવીએ:

ડ્રોઇંગ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અમારી ઉપલી મર્યાદા "સારી" છે: .
પરંતુ નીચી મર્યાદા શું છે ?! તે સ્પષ્ટ છે કે આ પૂર્ણાંક નથી, પરંતુ તે શું છે? હોઈ શકે? પરંતુ એ વાતની ગેરંટી ક્યાં છે કે ચિત્ર સંપૂર્ણ ચોકસાઈ સાથે બનાવવામાં આવ્યું છે, તે સારી રીતે બહાર આવી શકે છે કે ... અથવા મૂળ. જો આપણે ગ્રાફ ખોટી રીતે બનાવ્યો હોય તો શું?

આવા કિસ્સાઓમાં, તમારે વધારાનો સમય પસાર કરવો પડશે અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે એકીકરણની મર્યાદા સ્પષ્ટ કરવી પડશે.

ચાલો સીધી રેખા અને પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ.
આ કરવા માટે, અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

,

ખરેખર, .

આગળનો ઉકેલ નજીવો છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે અવેજી અને ચિહ્નોમાં મૂંઝવણમાં ન આવવું અહીંની ગણતરીઓ સૌથી સરળ નથી.

સેગમેન્ટ પર , અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ:

સારું, પાઠ સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો વધુ બે મુશ્કેલ કાર્યો જોઈએ.

ઉદાહરણ 9

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, ,

ઉકેલ: ચાલો આ આકૃતિને ચિત્રમાં દર્શાવીએ.

અરે, હું શેડ્યૂલ પર હસ્તાક્ષર કરવાનું ભૂલી ગયો, અને માફ કરશો, હું ચિત્ર ફરીથી કરવા માંગતો ન હતો. ડ્રોઇંગ ડે નથી, ટૂંકમાં, આજનો દિવસ છે =)

પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામ માટે, સાઈનસાઈડનો દેખાવ જાણવો જરૂરી છે (અને સામાન્ય રીતે તે જાણવું ઉપયોગી છે. તમામ પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ), તેમજ કેટલાક સાઈન મૂલ્યો, તેઓ આમાં મળી શકે છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક. કેટલાક કિસ્સાઓમાં (જેમ કે આ કિસ્સામાં), યોજનાકીય રેખાંકન બનાવવું શક્ય છે, જેના પર આલેખ અને એકીકરણની મર્યાદા મૂળભૂત રીતે યોગ્ય રીતે પ્રદર્શિત થવી જોઈએ.

અહીં એકીકરણની મર્યાદાઓ સાથે કોઈ સમસ્યા નથી; તેઓ શરતથી સીધા અનુસરે છે: "x" શૂન્યથી "pi" માં બદલાય છે. ચાલો વધુ નિર્ણય લઈએ:

સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની ઉપર સ્થિત છે, તેથી:

ભૌમિતિક આકૃતિનો વિસ્તાર- આ આંકડોનું કદ દર્શાવતી ભૌમિતિક આકૃતિની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા (આ આકૃતિના બંધ સમોચ્ચ દ્વારા મર્યાદિત સપાટીનો ભાગ). વિસ્તારનું કદ તેમાં સમાયેલ ચોરસ એકમોની સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

ત્રિકોણ ક્ષેત્રના સૂત્રો

બાજુ અને ઊંચાઈ દ્વારા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ અને આ બાજુએ દોરેલી ઊંચાઈની લંબાઈના અડધા ગુણના સમાન
ત્રણ બાજુઓ અને પરિપત્રની ત્રિજ્યા પર આધારિત ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
ત્રણ બાજુઓ અને અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા પર આધારિત ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ અને અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યાના ગુણાંક સમાન છે.

ચોરસ વિસ્તારના સૂત્રો

બાજુની લંબાઈ દ્વારા ચોરસના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
ચોરસ વિસ્તારતેની બાજુની લંબાઈના ચોરસ જેટલી.
ત્રાંસા લંબાઈ સાથે ચોરસના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
ચોરસ વિસ્તારતેના કર્ણની લંબાઈના અડધા ચોરસની બરાબર.
એસ= 1 2
2

લંબચોરસ વિસ્તાર સૂત્ર

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ

સમાંતર વિસ્તારના સૂત્રો

બાજુની લંબાઈ અને ઊંચાઈના આધારે સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ
બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા પર આધારિત સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળતેની બાજુઓની લંબાઇના ગુણાંકને તેમની વચ્ચેના ખૂણોની સાઇન વડે ગુણાકાર કરવા બરાબર છે.
a b sin α

રોમ્બસના ક્ષેત્ર માટેના સૂત્રો

બાજુની લંબાઈ અને ઊંચાઈના આધારે સમચતુર્ભુજના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
રોમ્બસનો વિસ્તારતેની બાજુની લંબાઇ અને આ બાજુની ઉંચાઇની લંબાઇના ઉત્પાદનની બરાબર છે.
બાજુની લંબાઈ અને ખૂણા પર આધારિત સમચતુર્ભુજના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
રોમ્બસનો વિસ્તારતેની બાજુની લંબાઈના ચોરસના ગુણાંક અને સમચતુર્ભુજની બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાના સાઈનના ગુણાંક જેટલો છે.
તેના કર્ણની લંબાઈના આધારે સમચતુર્ભુજના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
રોમ્બસનો વિસ્તારતેના કર્ણની લંબાઈના અડધા ઉત્પાદનના બરાબર.

ટ્રેપેઝોઇડ વિસ્તારના સૂત્રો

ટ્રેપેઝોઇડ માટે હેરોનનું સૂત્ર
જ્યાં S એ ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર છે,
- ટ્રેપેઝોઇડના પાયાની લંબાઈ,
- ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓની લંબાઈ,

પૃથ્વીને કેવી રીતે માપવું તે જ્ઞાન પ્રાચીન સમયમાં દેખાયું અને ધીમે ધીમે ભૂમિતિના વિજ્ઞાનમાં તેનો આકાર લીધો. આ શબ્દ ગ્રીકમાંથી "જમીન સર્વેક્ષણ" તરીકે અનુવાદિત થાય છે.

લંબાઈ અને પહોળાઈમાં પૃથ્વીના સપાટ વિભાગની હદનું માપ ક્ષેત્ર છે. ગણિતમાં, તે સામાન્ય રીતે લેટિન અક્ષર S (અંગ્રેજીમાંથી "ચોરસ" - "વિસ્તાર", "ચોરસ") અથવા ગ્રીક અક્ષર σ (સિગ્મા) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. S એ પ્લેન પરની આકૃતિનો વિસ્તાર અથવા શરીરના સપાટીના વિસ્તારને સૂચવે છે, અને σ એ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વાયરનો ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર છે. આ મુખ્ય પ્રતીકો છે, જો કે ત્યાં અન્ય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સામગ્રીની મજબૂતાઈના ક્ષેત્રમાં, A એ પ્રોફાઇલનો ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર છે.

ગણતરીના સૂત્રો

સરળ આકૃતિઓના ક્ષેત્રોને જાણીને, તમે વધુ જટિલ રાશિઓના પરિમાણો શોધી શકો છો.. પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવા સૂત્રો વિકસાવ્યા હતા જેનો ઉપયોગ સરળતાથી ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. આવા આકૃતિઓ ત્રિકોણ, ચતુષ્કોણ, બહુકોણ, વર્તુળ છે.

જટિલ સમતલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવા માટે, તેને ત્રિકોણ, ટ્રેપેઝોઇડ અથવા લંબચોરસ જેવી ઘણી સરળ આકૃતિઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પછી, ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, આ આકૃતિના ક્ષેત્રફળ માટે એક સૂત્ર લેવામાં આવે છે. સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ માત્ર ભૂમિતિમાં જ નહીં, પણ વળાંકો દ્વારા બંધાયેલા આંકડાઓના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરવા માટે ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં પણ થાય છે.

ત્રિકોણ

ચાલો સૌથી સરળ આકૃતિ - ત્રિકોણથી પ્રારંભ કરીએ. તેઓ લંબચોરસ, સમદ્વિબાજુ અને સમબાજુ છે. બાજુઓ AB=a, BC=b અને AC=c (∆ ABC) સાથેનો કોઈપણ ત્રિકોણ ABC લો. તેનો વિસ્તાર શોધવા માટે, ચાલો આપણે શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી જાણીતા સાઈન અને કોસાઈન પ્રમેયને યાદ કરીએ. બધી ગણતરીઓ છોડીને, અમે નીચેના સૂત્રો પર પહોંચીએ છીએ:

S=√ - હેરોનનું સૂત્ર, દરેકને જાણીતું છે, જ્યાં p=(a+b+c)/2 એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે;
S=a h/2, જ્યાં h એ બાજુ a ની નીચેની ઊંચાઈ છે;
S=a b (sin γ)/2, જ્યાં γ એ બાજુઓ a અને b વચ્ચેનો ખૂણો છે;
S=a b/2, જો ∆ ABC લંબચોરસ છે (અહીં a અને b પગ છે);
S=b² (sin (2 β))/2, જો ∆ ABC સમદ્વિબાજુ છે (અહીં b એ "હિપ્સ"માંથી એક છે, β એ ત્રિકોણના "હિપ્સ" વચ્ચેનો કોણ છે);
S=a² √¾, જો ∆ ABC સમભુજ હોય (અહીં a ત્રિકોણની બાજુ છે).

ચતુષ્કોણ

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d સાથે એક ચતુર્ભુજ ABCD હોવા દો. મનસ્વી 4-ગોનનો વિસ્તાર S શોધવા માટે, તમારે તેને કર્ણ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, જેનાં ક્ષેત્રો S1 અને S2 સામાન્ય રીતે સમાન નથી.

પછી તેમની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો અને તેમને ઉમેરો, એટલે કે S=S1+S2. જો કે, જો 4-ગોન ચોક્કસ વર્ગનો હોય, તો તેનો વિસ્તાર અગાઉ જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

S=(a+c) h/2=e h, જો ટેટ્રાગોન એ ટ્રેપેઝોઈડ છે (અહીં a અને c એ પાયા છે, e એ ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા છે, h એ ટ્રેપેઝોઈડના પાયામાંની એક સુધીની ઊંચાઈ છે;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, જો ABCD એ સમાંતર ચતુષ્કોણ છે (અહીં φ એ બાજુઓ a અને b વચ્ચેનો ખૂણો છે, h એ બાજુએ a, d1 અને d2 ત્રાંસા છે);
S=a b=d²/2, જો ABCD એક લંબચોરસ છે (d એ કર્ણ છે);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, જો ABCD એ સમચતુર્ભુજ છે (a એ સમચતુર્ભુજની બાજુ છે, φ તેના ખૂણોમાંથી એક છે, P પરિમિતિ છે);
S=a²=P²/16=d²/2, જો ABCD એક વર્ગ છે.

બહુકોણ

એન-ગોનનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેને સૌથી સરળ સમાન આકૃતિઓ - ત્રિકોણમાં તોડી નાખે છે, તેમાંના દરેકનું ક્ષેત્રફળ શોધો અને પછી તેમને ઉમેરો. પરંતુ જો બહુકોણ નિયમિત વર્ગનો છે, તો પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S=a n h/2=a² n/=P²/, જ્યાં n એ બહુકોણના શિરોબિંદુઓ (અથવા બાજુઓ) ની સંખ્યા છે, a એ n-ગોનની બાજુ છે, P તેની પરિમિતિ છે, h એ એપોથેમ છે, એટલે કે a બહુકોણના કેન્દ્રથી તેની બાજુઓમાંથી એક તરફ 90°ના ખૂણા પર દોરવામાં આવેલ સેગમેન્ટ.

વર્તુળ

વર્તુળ એ એક સંપૂર્ણ બહુકોણ છે જેની બાજુઓની અસંખ્ય સંખ્યા છે. આપણે બહુકોણના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્રમાં જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિની મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે જેમાં બાજુઓની સંખ્યા n અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, બહુકોણની પરિમિતિ R ત્રિજ્યાના વર્તુળની લંબાઈમાં ફેરવાઈ જશે, જે આપણા વર્તુળની સીમા હશે, અને P=2 π R ની બરાબર બનશે. ઉપરોક્ત સૂત્રમાં આ અભિવ્યક્તિને બદલો. અમે પ્રાપ્ત કરીશું:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

ચાલો આ અભિવ્યક્તિની મર્યાદા n→∞ તરીકે શોધીએ. આ કરવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે n→∞ માટે lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 (lim એ મર્યાદાની નિશાની છે), અને n→∞ માટે lim = lim છે. 1/π ની બરાબર (અમે π rad=180° સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ડિગ્રીના માપને રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કર્યું, અને x→∞ પર પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા લિમ (sin x)/x=1 લાગુ કર્યું). પ્રાપ્ત મૂલ્યોને S માટે છેલ્લા અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, અમે જાણીતા સૂત્ર પર પહોંચીએ છીએ:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

માપનના એકમો

માપનના પ્રણાલીગત અને બિન-પ્રણાલીગત એકમોનો ઉપયોગ થાય છે. સિસ્ટમ એકમો SI (સિસ્ટમ ઇન્ટરનેશનલ) ના છે. આ એક ચોરસ મીટર છે (ચોરસ મીટર, m²) અને તેમાંથી મેળવેલા એકમો: mm², cm², km².

ચોરસ મિલીમીટર (mm²) માં, ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગમાં વાયરના ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તારને માપે છે, ચોરસ સેન્ટિમીટર (cm²) માં - માળખાકીય મિકેનિક્સમાં બીમનો ક્રોસ-સેક્શન, ચોરસ મીટર (m²) માં - એપાર્ટમેન્ટ અથવા મકાનમાં, ચોરસ કિલોમીટર (km²) માં - ભૂગોળમાં.

જો કે, કેટલીકવાર માપના બિન-પ્રણાલીગત એકમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમ કે: વણાટ, અર (એ), હેક્ટર (હે) અને એકર (જેમ). ચાલો નીચેના સંબંધો રજૂ કરીએ:

1 વણાટ=1 a=100 m²=0.01 હેક્ટર;
1 ha=100 a=100 acre=10000 m²=0.01 km²=2.471 ac;
1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 એકર = 0.405 હેક્ટર.

આપણે આપણા રોજિંદા જીવનમાં વિસ્તાર જેવા ખ્યાલ સાથે વ્યવહાર કરવો પડશે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ઘર બનાવતી વખતે તમારે જરૂરી સામગ્રીની માત્રાની ગણતરી કરવા માટે તેને જાણવાની જરૂર છે. બગીચાના પ્લોટનું કદ પણ તેના વિસ્તાર દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે. એપાર્ટમેન્ટમાં નવીનીકરણ પણ આ વ્યાખ્યા વિના કરી શકાતું નથી. તેથી, લંબચોરસનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્ન ઘણી વાર આવે છે અને તે ફક્ત શાળાના બાળકો માટે જ મહત્વપૂર્ણ નથી.

જેઓ જાણતા નથી તેમના માટે, લંબચોરસ એક સપાટ આકૃતિ છે જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન છે અને ખૂણા 90 ડિગ્રી છે. ગણિતમાં ક્ષેત્રફળ દર્શાવવા માટે, અંગ્રેજી અક્ષર S નો ઉપયોગ થાય છે તે ચોરસ એકમોમાં માપવામાં આવે છે: મીટર, સેન્ટિમીટર અને તેથી વધુ.

હવે આપણે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નનો વિગતવાર જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશું. આ મૂલ્ય નક્કી કરવાની ઘણી રીતો છે. મોટેભાગે આપણે પહોળાઈ અને લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર નક્કી કરવાની પદ્ધતિનો સામનો કરીએ છીએ.

ચાલો પહોળાઈ b અને લંબાઈ k સાથેનો લંબચોરસ લઈએ. આપેલ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પહોળાઈને લંબાઈથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. આ બધું સૂત્રના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે જે આના જેવું દેખાશે: S = b * k.

હવે ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિ જોઈએ. 2 મીટરની પહોળાઈ અને 7 મીટરની લંબાઈવાળા બગીચાના પ્લોટનો વિસ્તાર નક્કી કરવો જરૂરી છે.

S = 2 * 7 = 14 m2

ગણિતમાં, ખાસ કરીને ગણિતમાં, આપણે અન્ય રીતે વિસ્તાર નક્કી કરવો પડે છે, કારણ કે ઘણા કિસ્સાઓમાં આપણે લંબચોરસની લંબાઈ કે પહોળાઈ જાણતા નથી. તે જ સમયે, અન્ય જાણીતા જથ્થાઓ અસ્તિત્વમાં છે. આ કિસ્સામાં લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું?

જો આપણે કર્ણની લંબાઈ અને લંબચોરસની કોઈપણ બાજુ સાથે કર્ણ બનાવે છે તેમાંથી એકને જાણીએ, તો આ કિસ્સામાં આપણે વિસ્તારને યાદ રાખવાની જરૂર પડશે, જો તમે તેને જોશો, તો લંબચોરસનો સમાવેશ થાય છે બે સમાન જમણા ત્રિકોણ. તો, ચાલો નિર્ધારિત મૂલ્ય પર પાછા આવીએ. પ્રથમ તમારે કોણની કોસાઇન નક્કી કરવાની જરૂર છે. કર્ણની લંબાઈ દ્વારા પરિણામી મૂલ્યનો ગુણાકાર કરો. પરિણામે, આપણે લંબચોરસની એક બાજુની લંબાઈ મેળવીએ છીએ. એ જ રીતે, પરંતુ સાઈનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, તમે બીજી બાજુની લંબાઈ નક્કી કરી શકો છો. હવે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું? હા, તે ખૂબ જ સરળ છે, પરિણામી મૂલ્યોનો ગુણાકાર કરો.

ફોર્મ્યુલા સ્વરૂપમાં તે આના જેવું દેખાશે:

S = cos(a) * sin(a) * d2, જ્યાં d એ કર્ણની લંબાઈ છે

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની બીજી રીત તેમાં અંકિત વર્તુળ દ્વારા છે. જો લંબચોરસ ચોરસ હોય તો તેનો ઉપયોગ થાય છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે આ રીતે લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? અલબત્ત, સૂત્ર મુજબ. અમે તેને સાબિત કરીશું નહીં. અને તે આના જેવું દેખાય છે: S = 4 * r2, જ્યાં r એ ત્રિજ્યા છે.

એવું બને છે કે ત્રિજ્યાને બદલે, આપણે અંકિત વર્તુળનો વ્યાસ જાણીએ છીએ. પછી સૂત્ર આના જેવો દેખાશે:

S=d2, જ્યાં d એ વ્યાસ છે.

જો એક બાજુ અને પરિમિતિ જાણીતી હોય, તો આ કિસ્સામાં લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું? આ કરવા માટે, તમારે સરળ ગણતરીઓની શ્રેણી બનાવવાની જરૂર છે. જેમ આપણે જાણીએ છીએ, લંબચોરસની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન હોય છે, તેથી બે વડે ગુણાકારની જાણીતી લંબાઈ પરિમિતિ મૂલ્યમાંથી બાદ કરવી આવશ્યક છે. પરિણામને બે વડે વિભાજીત કરો અને બીજી બાજુની લંબાઈ મેળવો. ઠીક છે, પછી પ્રમાણભૂત તકનીક એ છે કે બંને બાજુઓનો ગુણાકાર કરવો અને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ મેળવવું. ફોર્મ્યુલા સ્વરૂપમાં તે આના જેવું દેખાશે:

S=b* (P - 2*b), જ્યાં b એ બાજુની લંબાઈ છે, P એ પરિમિતિ છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિવિધ રીતે નક્કી કરી શકાય છે. તે બધા આ મુદ્દાને ધ્યાનમાં લેતા પહેલા આપણે કઈ માત્રામાં જાણીએ છીએ તેના પર નિર્ભર છે. અલબત્ત, અદ્યતન કેલ્ક્યુલસ પદ્ધતિઓ વ્યવહારીક રીતે જીવનમાં ક્યારેય આવતી નથી, પરંતુ તે શાળામાં ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. કદાચ આ લેખ તમારી સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે ઉપયોગી થશે.

વિષય પરનો પાઠ: "ત્રિકોણ, લંબચોરસ, ચોરસનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટેના સૂત્રો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 5 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
આઇ.આઇ. ઝુબેરેવા અને એ.જી. મોર્ડકોવિચ દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટે સિમ્યુલેટર
જી.વી. ડોરોફીવ અને એલ.જી

આકૃતિના ક્ષેત્રફળની વ્યાખ્યા અને ખ્યાલ

આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શું છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, આકૃતિનો વિચાર કરો.
આ મનસ્વી આંકડો 12 નાના ચોરસમાં વહેંચાયેલો છે. દરેક ચોરસની બાજુ 1 સેમી છે અને દરેક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ 1 ચોરસ સેન્ટિમીટર છે, જે નીચે પ્રમાણે લખેલું છે. 1 સેમી 2.

પછી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ 12 ચોરસ સેન્ટિમીટર છે. ગણિતમાં, વિસ્તાર લેટિન અક્ષર S દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે આપણી આકૃતિનો વિસ્તાર છે: S આકાર = 12 સેમી 2.

આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેને બનાવેલા તમામ નાના ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે!

ગાય્સ, યાદ રાખો!
વિસ્તાર લંબાઈના ચોરસ એકમોમાં માપવામાં આવે છે. વિસ્તાર એકમો:
1. ચોરસ કિલોમીટર - કિમી 2 (જ્યારે વિસ્તારો ખૂબ મોટા હોય, ઉદાહરણ તરીકે, દેશ અથવા સમુદ્ર).
2. ચોરસ મીટર - m2 (પ્લોટ અથવા એપાર્ટમેન્ટના વિસ્તારને માપવા માટે એકદમ યોગ્ય).
3. ચોરસ સેન્ટીમીટર - સેમી 2 (સામાન્ય રીતે ગણિતના પાઠમાં જ્યારે નોટબુકમાં આકૃતિઓ દોરવામાં આવે છે ત્યારે વપરાય છે).
4. ચોરસ મિલીમીટર - mm 2.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

ચાલો બે પ્રકારના ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લઈએ: કાટકોણ અને મનસ્વી.

કાટકોણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવા માટે તમારે આધારની લંબાઈ અને ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર છે. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, ઊંચાઈને એક બાજુથી બદલવામાં આવે છે. તેથી, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં, ઊંચાઈને બદલે, આપણે એક બાજુ બદલીએ છીએ.
અમારા ઉદાહરણમાં, બાજુઓ 7 cm અને 4 cm છે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
કાટકોણ ત્રિકોણનો S ABC = BC * CA: 2

કાટકોણ ત્રિકોણનો S ABC = 7 સેમી * 4 સેમી: 2 = 14 સેમી 2

હવે મનસ્વી ત્રિકોણનો વિચાર કરો.

આવા ત્રિકોણ માટે, તમારે આધાર પર ઊંચાઈ દોરવાની જરૂર છે.
અમારા ઉદાહરણમાં, ઊંચાઈ 6 સેમી છે અને આધાર 8 સેમી છે, જેમ કે અગાઉના ઉદાહરણમાં, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરીએ છીએ:
મનસ્વી ત્રિકોણનો S ABC = BC * h: 2.

ચાલો આપણા ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ અને મેળવો:
મનસ્વી ત્રિકોણનો S ABC = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

લંબચોરસ અને ચોરસનું ક્ષેત્રફળ

એક લંબચોરસ ABCD લો જેની બાજુઓ 5 cm અને 8 cm છે.

લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ લખાયેલું છે:
S લંબચોરસ ABCD = AB * BC.

S લંબચોરસ ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

હવે ચાલો ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ. લંબચોરસ અને ત્રિકોણથી વિપરીત, ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે તમારે ફક્ત એક બાજુ જાણવાની જરૂર છે. અમારા ઉદાહરણમાં, ચોરસ ABCD ની બાજુ 9 સે.મી. S વર્ગ ABCD = AB * BC = AB 2.