વિદ્યાર્થીઓ હંમેશા પૂછે છે: “હું ગણિતની પરીક્ષામાં કેમ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકતો નથી? કેલ્ક્યુલેટર વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું? ચાલો આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીએ.
કેલ્ક્યુલેટરની મદદ વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું?
ક્રિયા વર્ગમૂળસ્ક્વેરિંગની ક્રિયાથી વિપરીત.
√81= 9 9 2 =81
જો તમે ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લો અને પરિણામનો વર્ગ કરો, તો તમને સમાન સંખ્યા મળશે.
નાની સંખ્યાઓમાંથી જે કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ વર્ગ છે, ઉદાહરણ તરીકે 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, વર્ગમૂળ મૌખિક રીતે કાઢી શકાય છે. સામાન્ય રીતે શાળામાં તેઓ વીસ સુધીની કુદરતી સંખ્યાઓના ચોરસનું ટેબલ શીખવે છે. આ કોષ્ટકને જાણીને, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 નંબરોમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવાનું સરળ છે. 400 કરતાં મોટી સંખ્યાઓમાંથી તમે કેટલીક ટિપ્સનો ઉપયોગ કરીને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને કાઢી શકો છો. ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે જોવાનો પ્રયાસ કરીએ.
ઉદાહરણ: 676 નંબરનું મૂળ કાઢો.
અમે નોંધ્યું છે કે 20 2 = 400, અને 30 2 = 900, જેનો અર્થ થાય છે 20< √676 < 900.
કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ વર્ગો 0 માં સમાપ્ત થાય છે; 1; 4; 5; 6; 9.
6 નંબર 4 2 અને 6 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ થયો કે જો રૂટ 676 માંથી લેવામાં આવે તો તે 24 અથવા 26 છે.
તે તપાસવાનું બાકી છે: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
જવાબ: √676 = 26 .
વધુ ઉદાહરણ: √6889 .
ત્યારથી 80 2 = 6400, અને 90 2 = 8100, પછી 80< √6889 < 90.
9 નંબર 3 2 અને 7 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે, પછી √6889 83 અથવા 87 ની બરાબર છે.
ચાલો તપાસીએ: 83 2 = 6889.
જવાબ: √6889 = 83 .
જો તમને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાનું મુશ્કેલ લાગે, તો તમે આમૂલ અભિવ્યક્તિને પરિબળ કરી શકો છો.
ઉદાહરણ તરીકે, √893025 શોધો.
ચાલો 893025 નંબરનું પરિબળ કરીએ, યાદ રાખો, તમે આ છઠ્ઠા ધોરણમાં કર્યું હતું.
આપણને મળે છે: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
વધુ ઉદાહરણ: √20736. ચાલો સંખ્યા 20736 ને પરિબળ કરીએ:
આપણને √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 મળે છે.
અલબત્ત, ફેક્ટરાઇઝેશન માટે વિભાજ્યતા ચિહ્નો અને ફેક્ટરાઇઝેશન કૌશલ્યનું જ્ઞાન જરૂરી છે.
અને છેવટે, ત્યાં છે વર્ગમૂળ કાઢવાનો નિયમ. ચાલો ઉદાહરણો સાથે આ નિયમથી પરિચિત થઈએ.
√279841ની ગણતરી કરો.
બહુ-અંક પૂર્ણાંકના મૂળને કાઢવા માટે, અમે તેને 2 અંકો ધરાવતા ચહેરાઓમાં જમણેથી ડાબેથી વિભાજીત કરીએ છીએ (ડાબી બાજુની ધારમાં એક અંક હોઈ શકે છે). અમે તેને આ રીતે લખીએ છીએ: 27’98’41
મૂળ (5) નો પ્રથમ અંક મેળવવા માટે, અમે ડાબી બાજુના પ્રથમ ચહેરામાં સમાયેલ સૌથી મોટા સંપૂર્ણ ચોરસનું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ (27).
પછી મૂળ (25) ના પ્રથમ અંકનો વર્ગ પ્રથમ ચહેરામાંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને પછીનો ચહેરો (98) તફાવતમાં ઉમેરવામાં આવે છે (બાદબાકી).
પરિણામી સંખ્યા 298 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (10) નો ડબલ અંક લખો, તેના દ્વારા અગાઉ મેળવેલી સંખ્યા (29/2 ≈ 2) ના તમામ દસની સંખ્યાને ભાગાકાર કરો, ભાગ (102 ∙ 2 = 204) નું પરીક્ષણ કરો 298 થી વધુ ન હોવો જોઈએ) અને મૂળના પ્રથમ અંક પછી (2) લખો.
પછી પરિણામી ભાગાંક 204 298 માંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને આગલી ધાર (41) તફાવત (94) માં ઉમેરવામાં આવે છે.
પરિણામી સંખ્યા 9441 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (52 ∙2 = 104) ના અંકોનો બેવડો ગુણાંક લખો, સંખ્યા 9441 (944/104 ≈ 9) ના તમામ દસની સંખ્યાને આ ઉત્પાદન દ્વારા વિભાજીત કરો, પરીક્ષણ કરો. ભાગ (1049 ∙9 = 9441) 9441 હોવો જોઈએ અને તેને મૂળના બીજા અંક પછી (9) લખો.
અમને જવાબ √279841 = 529 મળ્યો.
એ જ રીતે બહાર કાઢો દશાંશ અપૂર્ણાંકના મૂળ. ફક્ત આમૂલ સંખ્યાને ચહેરાઓમાં વિભાજિત કરવી આવશ્યક છે જેથી અલ્પવિરામ ચહેરાઓ વચ્ચે હોય.
ઉદાહરણ. મૂલ્ય √0.00956484 શોધો.
ફક્ત યાદ રાખો કે જો દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ સ્થાનોની વિષમ સંખ્યા હોય, તો તેમાંથી વર્ગમૂળ લઈ શકાતું નથી.
તો હવે તમે રુટ કાઢવાની ત્રણ રીત જોઈ હશે. તમને સૌથી વધુ અનુકૂળ હોય તે પસંદ કરો અને પ્રેક્ટિસ કરો. સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવા માટે, તમારે તેમને હલ કરવાની જરૂર છે. અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય, તો.
blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
વિદ્યાર્થીઓ હંમેશા પૂછે છે: “હું ગણિતની પરીક્ષામાં કેમ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકતો નથી? કેલ્ક્યુલેટર વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું? ચાલો આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીએ.
કેલ્ક્યુલેટરની મદદ વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું?
ક્રિયા વર્ગમૂળસ્ક્વેરિંગની ક્રિયાથી વિપરીત.
√81= 9 9 2 =81
જો તમે ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લો અને પરિણામનો વર્ગ કરો, તો તમને સમાન સંખ્યા મળશે.
નાની સંખ્યાઓમાંથી જે કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ વર્ગ છે, ઉદાહરણ તરીકે 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, વર્ગમૂળ મૌખિક રીતે કાઢી શકાય છે. સામાન્ય રીતે શાળામાં તેઓ વીસ સુધીની કુદરતી સંખ્યાઓના ચોરસનું ટેબલ શીખવે છે. આ કોષ્ટકને જાણીને, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 નંબરોમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવાનું સરળ છે. 400 કરતાં મોટી સંખ્યાઓમાંથી તમે કેટલીક ટિપ્સનો ઉપયોગ કરીને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને કાઢી શકો છો. ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે જોવાનો પ્રયાસ કરીએ.
ઉદાહરણ: 676 નંબરનું મૂળ કાઢો.
અમે નોંધ્યું છે કે 20 2 = 400, અને 30 2 = 900, જેનો અર્થ થાય છે 20< √676 < 900.
કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ વર્ગો 0 માં સમાપ્ત થાય છે; 1; 4; 5; 6; 9.
6 નંબર 4 2 અને 6 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ થયો કે જો રૂટ 676 માંથી લેવામાં આવે તો તે 24 અથવા 26 છે.
તે તપાસવાનું બાકી છે: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
જવાબ: √676 = 26 .
વધુ ઉદાહરણ: √6889 .
ત્યારથી 80 2 = 6400, અને 90 2 = 8100, પછી 80< √6889 < 90.
9 નંબર 3 2 અને 7 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે, પછી √6889 83 અથવા 87 ની બરાબર છે.
ચાલો તપાસીએ: 83 2 = 6889.
જવાબ: √6889 = 83 .
જો તમને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાનું મુશ્કેલ લાગે, તો તમે આમૂલ અભિવ્યક્તિને પરિબળ કરી શકો છો.
ઉદાહરણ તરીકે, √893025 શોધો.
ચાલો 893025 નંબરનું પરિબળ કરીએ, યાદ રાખો, તમે આ છઠ્ઠા ધોરણમાં કર્યું હતું.
આપણને મળે છે: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
વધુ ઉદાહરણ: √20736. ચાલો સંખ્યા 20736 ને પરિબળ કરીએ:
આપણને √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 મળે છે.
અલબત્ત, ફેક્ટરાઇઝેશન માટે વિભાજ્યતા ચિહ્નો અને ફેક્ટરાઇઝેશન કૌશલ્યનું જ્ઞાન જરૂરી છે.
અને છેવટે, ત્યાં છે વર્ગમૂળ કાઢવાનો નિયમ. ચાલો ઉદાહરણો સાથે આ નિયમથી પરિચિત થઈએ.
√279841ની ગણતરી કરો.
બહુ-અંક પૂર્ણાંકના મૂળને કાઢવા માટે, અમે તેને 2 અંકો ધરાવતા ચહેરાઓમાં જમણેથી ડાબેથી વિભાજીત કરીએ છીએ (ડાબી બાજુની ધારમાં એક અંક હોઈ શકે છે). અમે તેને આ રીતે લખીએ છીએ: 27’98’41
મૂળ (5) નો પ્રથમ અંક મેળવવા માટે, અમે ડાબી બાજુના પ્રથમ ચહેરામાં સમાયેલ સૌથી મોટા સંપૂર્ણ ચોરસનું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ (27).
પછી મૂળ (25) ના પ્રથમ અંકનો વર્ગ પ્રથમ ચહેરામાંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને પછીનો ચહેરો (98) તફાવતમાં ઉમેરવામાં આવે છે (બાદબાકી).
પરિણામી સંખ્યા 298 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (10) નો ડબલ અંક લખો, તેના દ્વારા અગાઉ મેળવેલી સંખ્યા (29/2 ≈ 2) ના તમામ દસની સંખ્યાને ભાગાકાર કરો, ભાગ (102 ∙ 2 = 204) નું પરીક્ષણ કરો 298 થી વધુ ન હોવો જોઈએ) અને મૂળના પ્રથમ અંક પછી (2) લખો.
પછી પરિણામી ભાગાંક 204 298 માંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને આગલી ધાર (41) તફાવત (94) માં ઉમેરવામાં આવે છે.
પરિણામી સંખ્યા 9441 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (52 ∙2 = 104) ના અંકોનો બેવડો ગુણાંક લખો, સંખ્યા 9441 (944/104 ≈ 9) ના તમામ દસની સંખ્યાને આ ઉત્પાદન દ્વારા વિભાજીત કરો, પરીક્ષણ કરો. ભાગ (1049 ∙9 = 9441) 9441 હોવો જોઈએ અને તેને મૂળના બીજા અંક પછી (9) લખો.
અમને જવાબ √279841 = 529 મળ્યો.
એ જ રીતે બહાર કાઢો દશાંશ અપૂર્ણાંકના મૂળ. ફક્ત આમૂલ સંખ્યાને ચહેરાઓમાં વિભાજિત કરવી આવશ્યક છે જેથી અલ્પવિરામ ચહેરાઓ વચ્ચે હોય.
ઉદાહરણ. મૂલ્ય √0.00956484 શોધો.
ફક્ત યાદ રાખો કે જો દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ સ્થાનોની વિષમ સંખ્યા હોય, તો તેમાંથી વર્ગમૂળ લઈ શકાતું નથી.
તો હવે તમે રુટ કાઢવાની ત્રણ રીત જોઈ હશે. તમને સૌથી વધુ અનુકૂળ હોય તે પસંદ કરો અને પ્રેક્ટિસ કરો. સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવા માટે, તમારે તેમને હલ કરવાની જરૂર છે. અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય, તો મારા પાઠ માટે સાઇન અપ કરો.
વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
સૂચનાઓ
આમૂલ સંખ્યા માટે ગુણક પસંદ કરો, જેમાંથી નીચેથી દૂર કરવું મૂળખરેખર એક અભિવ્યક્તિ છે - અન્યથા ઓપરેશન ગુમાવશે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સાઇન હેઠળ મૂળત્રણ (ઘનમૂળ) ની બરાબર ઘાતાંક સાથે, તેની કિંમત છે સંખ્યા 128, પછી ચિહ્નની નીચેથી તમે બહાર લઈ શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 5. તે જ સમયે, આમૂલ સંખ્યા 128 ને 5 ઘન દ્વારા વિભાજિત કરવું પડશે: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. જો ચિહ્ન હેઠળ અપૂર્ણાંક સંખ્યાની હાજરી મૂળસમસ્યાની શરતોનો વિરોધાભાસ નથી, તો પછી તે આ સ્વરૂપમાં શક્ય છે. જો તમને વધુ સરળ વિકલ્પની જરૂર હોય, તો પહેલા આમૂલ અભિવ્યક્તિને આવા પૂર્ણાંક પરિબળોમાં તોડો, જેમાંથી એકનું ઘનમૂળ પૂર્ણાંક હશે. સંખ્યા m ઉદાહરણ તરીકે: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
જો તમારા માથામાં સંખ્યાની શક્તિઓની ગણતરી કરવી શક્ય ન હોય તો આમૂલ સંખ્યાના પરિબળો પસંદ કરવા માટે ઉપયોગ કરો. આ માટે ખાસ કરીને સાચું છે મૂળબે કરતા વધુ ઘાતાંક સાથે m. જો તમારી પાસે ઇન્ટરનેટની ઍક્સેસ હોય, તો તમે Google અને Nigma સર્ચ એન્જિનમાં બનેલા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારે સૌથી મોટો પૂર્ણાંક પરિબળ શોધવાની જરૂર હોય કે જે ઘન ચિન્હની નીચેથી લઈ શકાય મૂળનંબર 250 માટે, પછી Google વેબસાઇટ પર જાઓ અને ચિહ્નની નીચેથી તેને દૂર કરવું શક્ય છે કે કેમ તે તપાસવા માટે "6^3" ક્વેરી દાખલ કરો. મૂળછ સર્ચ એન્જિન 216 ની બરાબર પરિણામ બતાવશે. અરે, 250 ને આના દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કરી શકાતું નથી સંખ્યા. પછી ક્વેરી 5^3 દાખલ કરો. પરિણામ 125 હશે, અને આ તમને 250 ને 125 અને 2 ના પરિબળોમાં વિભાજીત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જેનો અર્થ છે કે તેને ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢો. મૂળ સંખ્યા 5, ત્યાંથી નીકળી રહ્યા છીએ સંખ્યા 2.
સ્ત્રોતો:
- તેને મૂળ નીચેથી કેવી રીતે બહાર કાઢવું
- ઉત્પાદનનું ચોરસ મૂળ
તેને નીચેથી બહાર કાઢો મૂળતમારે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાની જરૂર હોય તેવા સંજોગોમાં એક પરિબળ જરૂરી છે. એવા સમયે હોય છે જ્યારે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને જરૂરી ગણતરીઓ કરવી અશક્ય હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સંખ્યાને બદલે ચલ માટે અક્ષર હોદ્દો વપરાય છે.
સૂચનાઓ
આમૂલ અભિવ્યક્તિને સરળ પરિબળોમાં વિભાજીત કરો. સૂચકોમાં દર્શાવેલ પરિબળમાંથી કયું પરિબળ સમાન સંખ્યામાં પુનરાવર્તિત થાય છે તે જુઓ મૂળ, અથવા વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે a નું ચોથું મૂળ લેવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, સંખ્યાને a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. સૂચક મૂળઆ કિસ્સામાં તે સાથે પત્રવ્યવહાર કરશે પરિબળ a3. તેને ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢવાની જરૂર છે.
જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં પરિણામી રેડિકલના મૂળને અલગથી કાઢો. નિષ્કર્ષણ મૂળબીજગણિતીય ક્રિયા એ ઘાતીકરણની વિરુદ્ધ છે. નિષ્કર્ષણ મૂળઆર્બિટરી પાવરની, સંખ્યામાંથી એવી સંખ્યા શોધો કે જે, જ્યારે આ મનસ્વી શક્તિ સુધી વધારવામાં આવે, ત્યારે આપેલ સંખ્યામાં પરિણમશે. જો નિષ્કર્ષણ મૂળઉત્પન્ન કરી શકાતું નથી, ચિહ્ન હેઠળ આમૂલ અભિવ્યક્તિ છોડી દો મૂળજે રીતે તે છે. ઉપરોક્ત ક્રિયાઓના પરિણામે, તમને નીચેથી દૂર કરવામાં આવશે ચિહ્ન મૂળ.
વિષય પર વિડિઓ
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો
પરિબળોના સ્વરૂપમાં આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ લખતી વખતે સાવચેત રહો - આ તબક્કે ભૂલ ખોટા પરિણામો તરફ દોરી જશે.
ઉપયોગી સલાહ
જ્યારે મૂળ કાઢતી વખતે, વિશિષ્ટ કોષ્ટકો અથવા લઘુગણક મૂળના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે - આ યોગ્ય ઉકેલ શોધવામાં લાગતા સમયને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડશે.
સ્ત્રોતો:
- 2019 માં મૂળ નિષ્કર્ષણ સાઇન
ઉચ્ચ-ક્રમના સમીકરણો, ભિન્નતા અને એકીકરણને ઉકેલવા સહિત ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રોમાં બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓનું સરળીકરણ જરૂરી છે. ફેક્ટરાઇઝેશન સહિત અનેક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિને લાગુ કરવા માટે, તમારે સામાન્ય શોધવા અને બનાવવાની જરૂર છે પરિબળમાટે કૌંસ.
સૂચનાઓ
કુલ ગુણકને વહન કરવું કૌંસ- વિઘટનની સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિઓમાંની એક. આ તકનીકનો ઉપયોગ લાંબા બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓની રચનાને સરળ બનાવવા માટે થાય છે, એટલે કે. બહુપદી સામાન્ય સંખ્યા એક સંખ્યા, એકપદી અથવા દ્વિપદી હોઈ શકે છે અને તેને શોધવા માટે, ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
સંખ્યાને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે તે જોવા માટે દરેક બહુપદીના ગુણાંકને કાળજીપૂર્વક જુઓ. ઉદાહરણ તરીકે, 12 z³ + 16 z² – 4 અભિવ્યક્તિમાં તે સ્પષ્ટ છે પરિબળ 4. પરિવર્તન પછી, તમને 4 (3 z³ + 4 z² - 1) મળશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સંખ્યા તમામ ગુણાંકનો લઘુત્તમ સામાન્ય પૂર્ણાંક વિભાજક છે.
બહુપદીની દરેક શરતોમાં સમાન ચલ છે કે કેમ તે નક્કી કરો. આ કેસ છે એમ ધારી રહ્યા છીએ, હવે અગાઉના કેસની જેમ ગુણાંક જુઓ. ઉદાહરણ: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
આ બહુપદીના દરેક તત્વમાં ચલ z છે. વધુમાં, તમામ ગુણાંક એ સંખ્યાઓ છે જે 3 ના ગુણાંક છે. તેથી, સામાન્ય પરિબળ એ મોનોમિયલ 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1) હશે.
દ્વિપદી.માટે કૌંસસામાન્ય પરિબળબે, એક ચલ અને સંખ્યા, જે સામાન્ય બહુપદી છે. તેથી, જો પરિબળ-દ્વિપદી સ્પષ્ટ નથી, તો તમારે ઓછામાં ઓછું એક મૂળ શોધવાની જરૂર છે. બહુપદીનો મફત શબ્દ પસંદ કરો; આ ચલ વગરનો ગુણાંક છે. હવે મુક્ત શબ્દના તમામ પૂર્ણાંક વિભાજકોની સામાન્ય અભિવ્યક્તિમાં અવેજીની પદ્ધતિ લાગુ કરો.
ધ્યાનમાં લો: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 ના કોઈપણ પૂર્ણાંક પરિબળ z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 છે કે કેમ તે જોવા માટે તપાસો. સરળ અવેજીકરણ દ્વારા, z1 શોધો = 1 અને z2 = 2, જેનો અર્થ છે માટે કૌંસઆપણે દ્વિપદી (z - 1) અને (z - 2) દૂર કરી શકીએ છીએ. બાકીની અભિવ્યક્તિ શોધવા માટે, ક્રમિક લાંબા વિભાગનો ઉપયોગ કરો.
ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમમાંથી વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓ અને વિદ્યાર્થીઓને બીજી, ત્રીજી કે ન્મી ડિગ્રીના મૂળ કાઢવાની જરૂરિયાતનો સામનો કરવો પડે છે. અલબત્ત, માહિતી ટેકનોલોજીના યુગમાં કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને આવી સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય. જો કે, પરિસ્થિતિઓ ઊભી થાય છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનિક સહાયકનો ઉપયોગ કરવો અશક્ય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી પરીક્ષાઓ તમને ઇલેક્ટ્રોનિક્સ લાવવાની મંજૂરી આપતી નથી. વધુમાં, તમારી પાસે હાથ પર કેલ્ક્યુલેટર ન હોઈ શકે. આવા કિસ્સાઓમાં, મેન્યુઅલી રેડિકલની ગણતરી કરવા માટે ઓછામાં ઓછી કેટલીક પદ્ધતિઓ જાણવી ઉપયોગી છે.
મૂળની ગણતરી કરવાની સૌથી સરળ રીતોમાંની એક છે વિશિષ્ટ ટેબલનો ઉપયોગ કરીને. તે શું છે અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો?
કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, તમે 10 થી 99 સુધીની કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ શોધી શકો છો. કોષ્ટકની પંક્તિઓ દસના મૂલ્યો ધરાવે છે, અને કૉલમમાં એકમોના મૂલ્યો છે. પંક્તિ અને કૉલમના આંતરછેદ પરનો કોષ બે-અંકની સંખ્યાનો વર્ગ ધરાવે છે. 63 ના વર્ગની ગણતરી કરવા માટે, તમારે 6 ના મૂલ્ય સાથેની પંક્તિ અને 3 ની કિંમતવાળી કૉલમ શોધવાની જરૂર છે. આંતરછેદ પર આપણને 3969 નંબર સાથેનો કોષ મળશે.
કારણ કે રુટ કાઢવા એ સ્ક્વેરિંગની વ્યસ્ત ક્રિયા છે, આ ક્રિયા કરવા માટે તમારે તેનાથી વિરુદ્ધ કરવું પડશે: પ્રથમ નંબર સાથેનો કોષ શોધો જેની રેડિકલ તમે ગણતરી કરવા માંગો છો, પછી જવાબ નક્કી કરવા માટે કૉલમ અને પંક્તિના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરો. . ઉદાહરણ તરીકે, 169 ના વર્ગમૂળની ગણતરી કરવાનું વિચારો.
આપણે કોષ્ટકમાં આ સંખ્યા સાથેનો કોષ શોધીએ છીએ, આડી રીતે આપણે દસ - 1 નક્કી કરીએ છીએ, ઊભી રીતે આપણે એકમો શોધીએ છીએ - 3. જવાબ: √169 = 13.
એ જ રીતે, તમે યોગ્ય કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને ઘન અને nમા મૂળની ગણતરી કરી શકો છો.
પદ્ધતિનો ફાયદો એ તેની સરળતા અને વધારાની ગણતરીઓની ગેરહાજરી છે. ગેરફાયદા સ્પષ્ટ છે: પદ્ધતિનો ઉપયોગ ફક્ત સંખ્યાઓની મર્યાદિત શ્રેણી માટે જ થઈ શકે છે (જે નંબર માટે રૂટ જોવા મળે છે તે 100 થી 9801 ની રેન્જમાં હોવી જોઈએ). વધુમાં, જો આપેલ નંબર કોષ્ટકમાં ન હોય તો તે કામ કરશે નહીં.
પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશન
જો ચોરસનું ટેબલ હાથમાં નથી અથવા તેની મદદથી મૂળ શોધવાનું અશક્ય બન્યું છે, તો તમે પ્રયાસ કરી શકો છો. રુટ હેઠળની સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરો. પ્રાઇમ ફેક્ટર્સ તે છે જે સંપૂર્ણપણે (બાકી વિના) ફક્ત પોતાના દ્વારા અથવા એક દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણો 2, 3, 5, 7, 11, 13, વગેરે હોઈ શકે છે.
ચાલો ઉદાહરણ તરીકે √576 નો ઉપયોગ કરીને રૂટની ગણતરી કરીએ. ચાલો તેને મુખ્ય પરિબળોમાં તોડીએ. અમને નીચેનું પરિણામ મળે છે: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². મૂળ √a² = a ના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મૂળ અને ચોરસથી છૂટકારો મેળવીશું, અને પછી જવાબની ગણતરી કરીશું: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
જો કોઈ પણ ગુણકની પોતાની જોડી ન હોય તો શું કરવું? ઉદાહરણ તરીકે, √54 ની ગણતરીને ધ્યાનમાં લો. અવયવીકરણ પછી, અમે નીચેના સ્વરૂપમાં પરિણામ મેળવીએ છીએ: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. બિન-દૂર કરી શકાય તેવા ભાગને મૂળની નીચે છોડી શકાય છે. મોટાભાગની ભૂમિતિ અને બીજગણિત સમસ્યાઓ માટે, આ અંતિમ જવાબ તરીકે ગણવામાં આવશે. પરંતુ જો અંદાજિત મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો તમે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો જેની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવશે.
હેરોનની પદ્ધતિ
જ્યારે તમારે ઓછામાં ઓછું અંદાજે જાણવાની જરૂર હોય કે એક્સટ્રેક્ટેડ રુટ બરાબર શું છે (જો પૂર્ણાંક મૂલ્ય મેળવવું અશક્ય હોય તો) શું કરવું? હેરોન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઝડપી અને એકદમ સચોટ પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે. તેનો સાર અંદાજિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનો છે:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
જ્યાં R એ સંખ્યા છે જેના મૂળની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, a એ સૌથી નજીકની સંખ્યા છે જેનું મૂળ મૂલ્ય જાણીતું છે.
ચાલો જોઈએ કે પદ્ધતિ વ્યવહારમાં કેવી રીતે કાર્ય કરે છે અને તે કેટલું સચોટ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરીએ. ચાલો ગણતરી કરીએ કે √111 શું છે. 111 ની સૌથી નજીકની સંખ્યા, જેનું મૂળ જાણીતું છે, તે 121 છે. આમ, R = 111, a = 121. મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલો:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
હવે ચાલો પદ્ધતિની ચોકસાઈ તપાસીએ:
10.55² = 111.3025.
પદ્ધતિની ભૂલ આશરે 0.3 હતી. જો પદ્ધતિની ચોકસાઈને સુધારવાની જરૂર હોય, તો તમે અગાઉ વર્ણવેલ પગલાંને પુનરાવર્તિત કરી શકો છો:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
ચાલો ગણતરીની ચોકસાઈ તપાસીએ:
10.536² = 111.0073.
ફોર્મ્યુલાને ફરીથી લાગુ કર્યા પછી, ભૂલ સંપૂર્ણપણે નજીવી બની ગઈ.
લાંબા વિભાજન દ્વારા મૂળની ગણતરી
વર્ગમૂળ મૂલ્ય શોધવાની આ પદ્ધતિ અગાઉના કરતાં થોડી વધુ જટિલ છે. જો કે, કેલ્ક્યુલેટર વગરની અન્ય ગણતરી પદ્ધતિઓમાં તે સૌથી સચોટ છે.
ચાલો કહીએ કે તમારે 4 દશાંશ સ્થાનો માટે વર્ગમૂળ સચોટ શોધવાની જરૂર છે. ચાલો મનસ્વી નંબર 1308.1912 ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ કરીએ.
- કાગળની શીટને ઊભી રેખા સાથે 2 ભાગોમાં વિભાજીત કરો, અને પછી તેમાંથી જમણી તરફ બીજી રેખા દોરો, ઉપરની ધારથી સહેજ નીચે. ચાલો સંખ્યાને ડાબી બાજુએ લખીએ, તેને 2 અંકોના જૂથોમાં વિભાજીત કરીને, દશાંશ બિંદુની જમણી અને ડાબી બાજુએ જઈએ. ડાબી બાજુનો પહેલો અંક જોડી વગરનો હોઈ શકે છે. જો નંબરની જમણી બાજુએ ચિહ્ન ખૂટે છે, તો તમારે 0 ઉમેરવું જોઈએ. અમારા કિસ્સામાં, પરિણામ 13 08.19 12 હશે.
- ચાલો સૌથી મોટી સંખ્યા પસંદ કરીએ જેનો વર્ગ અંકોના પ્રથમ જૂથ કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોય. અમારા કિસ્સામાં તે 3 છે. ચાલો તેને ઉપર જમણી બાજુએ લખીએ; 3 એ પરિણામનો પ્રથમ અંક છે. નીચે જમણી બાજુએ આપણે 3×3 = 9 સૂચવીએ છીએ; અનુગામી ગણતરીઓ માટે આની જરૂર પડશે. સ્તંભમાં 13 માંથી આપણે 9 બાદ કરીએ છીએ, આપણને 4 નો શેષ મળે છે.
- ચાલો સંખ્યાઓની આગલી જોડીને બાકીના 4 ને સોંપીએ; અમને 408 મળે છે.
- ઉપર જમણી બાજુની સંખ્યાને 2 વડે ગુણાકાર કરો અને તેને નીચે જમણી બાજુએ લખો, તેમાં _ x _ = ઉમેરીને. આપણને 6_ x _ = મળે છે.
- ડેશને બદલે, તમારે સમાન સંખ્યાને બદલવાની જરૂર છે, 408 કરતા ઓછી અથવા તેની બરાબર. અમને 66 × 6 = 396 મળે છે. અમે ઉપર જમણી બાજુથી 6 લખીએ છીએ, કારણ કે આ પરિણામનો બીજો અંક છે. 408 માંથી 396 બાદ કરો, આપણને 12 મળે છે.
- ચાલો 3-6 પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરીએ. નીચે ખસેડવામાં આવેલા અંકો સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગમાં હોવાથી, 6 પછી ઉપર જમણી બાજુએ દશાંશ બિંદુ મૂકવો જરૂરી છે. ચાલો ડૅશ સાથે ડબલ પરિણામ લખીએ: 72_ x _ =. યોગ્ય સંખ્યા 1 હશે: 721×1 = 721. ચાલો તેને જવાબ તરીકે લખીએ. ચાલો 1219 - 721 = 498 બાદ કરીએ.
- દશાંશ સ્થાનોની જરૂરી સંખ્યા મેળવવા માટે અગાઉના ફકરામાં આપેલ ક્રિયાઓનો ક્રમ વધુ ત્રણ વખત કરીએ. જો આગળની ગણતરીઓ માટે પૂરતા અક્ષરો ન હોય, તો તમારે ડાબી બાજુના વર્તમાન નંબરમાં બે શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે.
પરિણામે, અમને જવાબ મળે છે: √1308.1912 ≈ 36.1689. જો તમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ક્રિયા તપાસો છો, તો તમે ખાતરી કરી શકો છો કે બધા ચિહ્નો યોગ્ય રીતે ઓળખાયા હતા.
બિટવાઇઝ વર્ગમૂળની ગણતરી
પદ્ધતિ અત્યંત સચોટ છે. વધુમાં, તે તદ્દન સમજી શકાય તેવું છે અને તેને યાદ રાખવાના સૂત્રો અથવા ક્રિયાઓના જટિલ અલ્ગોરિધમની જરૂર નથી, કારણ કે પદ્ધતિનો સાર એ યોગ્ય પરિણામ પસંદ કરવાનું છે.
ચાલો નંબર 781 નું મૂળ કાઢીએ. ચાલો ક્રિયાઓનો ક્રમ વિગતવાર જોઈએ.
- ચાલો શોધી કાઢીએ કે વર્ગમૂળ મૂલ્યનો કયો અંક સૌથી વધુ નોંધપાત્ર હશે. આ કરવા માટે, ચાલો 0, 10, 100, 1000, વગેરેનો વર્ગ કરીએ અને તેમાંથી ક્યા રૅડિકલ નંબર સ્થિત છે તે શોધીએ. અમને તે 10² મળે છે< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- ચાલો દસની કિંમત પસંદ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે 10, 20, ..., 90 ની ઘાત સુધી વળાંક લઈશું જ્યાં સુધી આપણને 781 કરતા મોટી સંખ્યા ન મળે. અમારા કેસ માટે, આપણને 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 મળે છે. પરિણામ n નું મૂલ્ય 20 ની અંદર હશે< n <30.
- પાછલા પગલાની જેમ, એકમોના અંકનું મૂલ્ય પસંદ થયેલ છે. ચાલો ચોરસ 21.22, ..., 29 એક પછી એક કરીએ: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 729, 28² = 728 મળે છે.< n < 28.
- દરેક અનુગામી અંક (દસમો, સોમો, વગેરે) ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે એ જ રીતે ગણવામાં આવે છે. જરૂરી ચોકસાઈ પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી ગણતરીઓ હાથ ધરવામાં આવે છે.
