ઉકેલનું વર્ણન. કુલ તફાવતમાં સમીકરણ કુલ તફાવતમાં સમીકરણની વ્યાખ્યા

કેટલાક કાર્યો. જો આપણે ફંક્શનને તેના કુલ વિભેદકમાંથી પુનઃસ્થાપિત કરીએ, તો આપણે વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન ભાગ શોધીશું. નીચે આપણે તેના વિશે વાત કરીશું કાર્યને તેના કુલ વિભેદકમાંથી પુનઃસ્થાપિત કરવાની પદ્ધતિ.

વિભેદક સમીકરણની ડાબી બાજુ એ અમુક કાર્યનો કુલ વિભેદક છે U(x, y) = 0, જો શરત પૂરી થાય છે.

કારણ કે સંપૂર્ણ વિભેદક કાર્ય U(x, y) = 0આ , જેનો અર્થ છે કે જ્યારે શરત પૂરી થાય છે, ત્યારે તે કહેવામાં આવે છે કે .

પછી, .

સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ . અમે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન શોધીએ છીએ:

આ રીતે આપણે જરૂરી કાર્ય શોધીશું U(x, y) = 0.

ઉદાહરણ.

ચાલો DE નો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ .

ઉકેલ.

અમારા ઉદાહરણમાં. શરત પૂરી થાય છે કારણ કે:

પછી, પ્રારંભિક વિભેદક સમીકરણની ડાબી બાજુ એ અમુક કાર્યનો કુલ વિભેદક છે U(x, y) = 0. આપણે આ કાર્ય શોધવાની જરૂર છે.

કારણ કે કાર્યનો કુલ તફાવત છે U(x, y) = 0, અર્થ:

.

અમે દ્વારા સંકલિત કરીએ છીએ xસિસ્ટમનું 1મું સમીકરણ અને સંદર્ભમાં તફાવત yપરિણામ:

.

સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ. અર્થ:

જ્યાં સાથે- મનસ્વી સતત.

આમ, આપેલ સમીકરણનું સામાન્ય અવિભાજ્ય હશે .

ત્યાં એક બીજું છે તેના કુલ વિભેદકમાંથી ફંક્શનની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ. તેમાં નિશ્ચિત બિંદુની અવિભાજ્ય રેખા લેવાનો સમાવેશ થાય છે (x 0 , y 0)ચલ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ સુધી (x, y): . આ કિસ્સામાં, ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય એકીકરણના માર્ગથી સ્વતંત્ર છે. એકીકરણ પાથ તરીકે તૂટેલી રેખા કે જેની કડીઓ કોઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર હોય તેને લેવાનું અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ.

ચાલો DE નો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ .

ઉકેલ.

અમે શરતની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ છીએ:

આમ, વિભેદક સમીકરણની ડાબી બાજુ એ અમુક કાર્યનો સંપૂર્ણ વિભેદક છે U(x, y) = 0. ચાલો બિંદુના વક્રીકૃત પૂર્ણાંકની ગણતરી કરીને આ કાર્ય શોધીએ (1; 1) પહેલાં (x, y). એકીકરણના માર્ગ તરીકે આપણે તૂટેલી રેખા લઈએ છીએ: તૂટેલી રેખાનો પ્રથમ વિભાગ સીધી રેખા સાથે પસાર થાય છે y = 1બિંદુ થી (1, 1) પહેલાં (x, 1), પાથના બીજા વિભાગ તરીકે આપણે બિંદુ પરથી એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ લઈએ છીએ (x, 1)પહેલાં (x, y):

તેથી, રીમોટ કંટ્રોલનો સામાન્ય ઉકેલ આના જેવો દેખાય છે: .

ઉદાહરણ.

ચાલો DE નો સામાન્ય ઉકેલ નક્કી કરીએ.

ઉકેલ.

કારણ કે , જેનો અર્થ છે કે શરત પૂરી થઈ નથી, તો વિભેદક સમીકરણની ડાબી બાજુ ફંક્શનનો સંપૂર્ણ વિભેદક હશે નહીં અને તમારે બીજી ઉકેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે (આ સમીકરણ એ વિભાજિત ચલો સાથેનું વિભેદક સમીકરણ છે).

વિભેદક ફોર્મનું સમીકરણ કહેવાય છે

પી(x,y)ડીએક્સ + પ્ર(x,y)dy = 0 ,

જ્યાં ડાબી બાજુ એ બે ચલોના કોઈપણ કાર્યનો કુલ તફાવત છે.

ચાલો બે ચલોના અજ્ઞાત કાર્યને સૂચવીએ (કુલ તફાવતમાં સમીકરણો ઉકેલતી વખતે આ તે શોધવાની જરૂર છે) એફઅને અમે ટૂંક સમયમાં તેના પર પાછા આવીશું.

તમારે પ્રથમ વસ્તુ પર ધ્યાન આપવું જોઈએ તે એ છે કે સમીકરણની જમણી બાજુએ શૂન્ય હોવું જોઈએ, અને ડાબી બાજુએ બે શબ્દોને જોડતું ચિહ્ન વત્તા હોવું જોઈએ.

બીજું, કેટલીક સમાનતા અવલોકન કરવી આવશ્યક છે, જે પુષ્ટિ કરે છે કે આ વિભેદક સમીકરણ કુલ વિભેદકોમાં એક સમીકરણ છે. આ તપાસ એ કુલ તફાવતમાં સમીકરણો ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમનો ફરજિયાત ભાગ છે (તે આ પાઠના બીજા ફકરામાં છે), તેથી કાર્ય શોધવાની પ્રક્રિયા એફતદ્દન શ્રમ-સઘન અને પ્રારંભિક તબક્કે ખાતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે કે આપણે સમય બગાડો નહીં.

તેથી, અજ્ઞાત કાર્ય કે જે શોધવાની જરૂર છે તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે એફ. તમામ સ્વતંત્ર ચલો માટે આંશિક વિભેદકોનો સરવાળો કુલ વિભેદક આપે છે. તેથી, જો સમીકરણ એ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે, તો સમીકરણની ડાબી બાજુ એ આંશિક વિભેદકોનો સરવાળો છે. પછી વ્યાખ્યા દ્વારા

dF = પી(x,y)ડીએક્સ + પ્ર(x,y)dy .

ચાલો બે ચલોના કાર્યના કુલ વિભેદકની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર યાદ કરીએ:

છેલ્લી બે સમાનતાને હલ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ

.

અમે ચલ "y" ના સંદર્ભમાં પ્રથમ સમાનતાને અલગ પાડીએ છીએ, બીજી - ચલ "x" ના સંદર્ભમાં:

.

જે આપેલ વિભેદક સમીકરણ માટે ખરેખર સંપૂર્ણ વિભેદક સમીકરણ હોવાની શરત છે.

કુલ તફાવતમાં વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

પગલું 1.ખાતરી કરો કે સમીકરણ એ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે. અભિવ્યક્તિ માટે ક્રમમાં અમુક કાર્યનો કુલ તફાવત હતો એફ(x, y) જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે જેથી કરીને. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમારે આદર સાથે આંશિક વ્યુત્પન્ન લેવાની જરૂર છે xઅને સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન yઅન્ય શબ્દ અને, જો આ ડેરિવેટિવ્સ સમાન હોય, તો સમીકરણ એ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે.

પગલું 2.આંશિક વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ લખો જે કાર્ય બનાવે છે એફ:

પગલું 3.સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને એકીકૃત કરો - દ્વારા x (y એફ:

,
y.

વૈકલ્પિક વિકલ્પ (જો આ રીતે ઇન્ટિગ્રલ શોધવાનું સરળ હોય તો) સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને એકીકૃત કરવાનું છે - દ્વારા y (xસ્થિર રહે છે અને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે). આ રીતે કાર્ય પણ પુનઃસ્થાપિત થાય છે એફ:

,
નું હજુ સુધી અજ્ઞાત કાર્ય ક્યાં છે એક્સ.

પગલું 4.પગલું 3 નું પરિણામ (સામાન્ય અભિન્ન જોવા મળે છે) દ્વારા અલગ પાડવામાં આવે છે y(વૈકલ્પિક રીતે - અનુસાર x) અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને સમાન કરો:

,

અને વૈકલ્પિક સંસ્કરણમાં - સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં:

.

પરિણામી સમીકરણ પરથી આપણે નક્કી કરીએ છીએ (વૈકલ્પિક રીતે)

પગલું 5.પગલું 4 નું પરિણામ એકીકરણ અને શોધવાનું છે (વૈકલ્પિક રીતે, શોધો).

પગલું 6.પગલું 5 ના પરિણામને પગલું 3 ના પરિણામમાં બદલો - આંશિક એકીકરણ દ્વારા પુનઃસ્થાપિત કાર્યમાં એફ. મનસ્વી સતત સીઘણીવાર સમાન ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે - સમીકરણની જમણી બાજુએ. આમ આપણે કુલ તફાવતોમાં વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ. તે, પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે, ફોર્મ ધરાવે છે એફ(x, y) = સી.

કુલ તફાવતમાં વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1.

પગલું 1. કુલ તફાવતમાં સમીકરણ xઅભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ એક પદ

અને સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન yબીજી મુદત
કુલ તફાવતમાં સમીકરણ .

પગલું 2. એફ:

પગલું 3.દ્વારા x (yસ્થિર રહે છે અને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે). આમ આપણે કાર્ય પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ એફ:

નું હજુ સુધી અજ્ઞાત કાર્ય ક્યાં છે y.

પગલું 4. y

.

.

પગલું 5.

પગલું 6. એફ. મનસ્વી સતત સી :
.

અહીં કઈ ભૂલ થવાની સંભાવના છે? સૌથી સામાન્ય ભૂલો એ છે કે ફંક્શનના ઉત્પાદનના સામાન્ય સંકલન માટે ચલોમાંના એક પર આંશિક અવિભાજ્ય લેવું અને ભાગો અથવા રિપ્લેસમેન્ટ ચલ દ્વારા સંકલિત કરવાનો પ્રયાસ કરવો, અને બે પરિબળોના આંશિક વ્યુત્પન્નને એકના વ્યુત્પન્ન તરીકે લેવું. કાર્યોનું ઉત્પાદન અને અનુરૂપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન માટે જુઓ.

આ યાદ રાખવું આવશ્યક છે: જ્યારે ચલોમાંના એકના સંદર્ભમાં આંશિક અવિભાજ્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે અન્ય એક અચલ છે અને તેને અવિભાજ્યની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે, અને જ્યારે ચલોમાંના એકના સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે અન્ય તે પણ એક અચલ છે અને અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન "અભિનય" ચલના વ્યુત્પન્ન તરીકે સતત દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વચ્ચે કુલ તફાવતમાં સમીકરણો ઘાતાંકીય કાર્ય સાથે ઉદાહરણો શોધવાનું અસામાન્ય નથી. આ પછીનું ઉદાહરણ છે. તે હકીકત માટે પણ નોંધનીય છે કે તેનું સોલ્યુશન વૈકલ્પિક વિકલ્પનો ઉપયોગ કરે છે.

ઉદાહરણ 2.વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

.

પગલું 1.ચાલો ખાતરી કરીએ કે સમીકરણ છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ . આ કરવા માટે, આપણે આદર સાથે આંશિક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ xઅભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ એક પદ

અને સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન yબીજી મુદત
. આ વ્યુત્પન્ન સમાન છે, જેનો અર્થ સમીકરણ છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ .

પગલું 2.ચાલો આંશિક વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ લખીએ જે ફંક્શન બનાવે છે એફ:

પગલું 3.ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને એકીકૃત કરીએ - દ્વારા y (xસ્થિર રહે છે અને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે). આમ આપણે કાર્ય પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ એફ:

નું હજુ સુધી અજ્ઞાત કાર્ય ક્યાં છે એક્સ.

પગલું 4.અમે પગલું 3 ના પરિણામને અલગ પાડીએ છીએ (મળેલા સામાન્ય અભિન્ન) સંબંધમાં એક્સ

અને સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને સમાન કરો:

પરિણામી સમીકરણમાંથી આપણે નક્કી કરીએ છીએ:
.

પગલું 5.અમે પગલું 4 ના પરિણામને એકીકૃત કરીએ છીએ અને શોધીએ છીએ:
.

પગલું 6.અમે પગલું 5 ના પરિણામને પગલું 3 ના પરિણામમાં બદલીએ છીએ - આંશિક એકીકરણ દ્વારા પુનઃસ્થાપિત કાર્યમાં એફ. મનસ્વી સતત સીસમાન ચિહ્ન પછી લખો. આમ આપણને કુલ મળે છે કુલ ભિન્નતાઓમાં વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું :
.

નીચેના ઉદાહરણમાં આપણે વૈકલ્પિક વિકલ્પમાંથી મુખ્ય વિકલ્પ પર પાછા આવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 3.વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

પગલું 1.ચાલો ખાતરી કરીએ કે સમીકરણ છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ . આ કરવા માટે, આપણે આદર સાથે આંશિક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ yઅભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ એક પદ

અને સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન xબીજી મુદત
. આ વ્યુત્પન્ન સમાન છે, જેનો અર્થ સમીકરણ છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ .

પગલું 2.ચાલો આંશિક વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ લખીએ જે ફંક્શન બનાવે છે એફ:

પગલું 3.ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને એકીકૃત કરીએ - દ્વારા x (yસ્થિર રહે છે અને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે). આમ આપણે કાર્ય પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ એફ:

નું હજુ સુધી અજ્ઞાત કાર્ય ક્યાં છે y.

પગલું 4.અમે પગલું 3 ના પરિણામને અલગ પાડીએ છીએ (મળેલા સામાન્ય અભિન્ન) સંબંધમાં y

અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને સમાન કરો:

પરિણામી સમીકરણમાંથી આપણે નક્કી કરીએ છીએ:
.

પગલું 5.અમે પગલું 4 ના પરિણામને એકીકૃત કરીએ છીએ અને શોધીએ છીએ:

પગલું 6.અમે પગલું 5 ના પરિણામને પગલું 3 ના પરિણામમાં બદલીએ છીએ - આંશિક એકીકરણ દ્વારા પુનઃસ્થાપિત કાર્યમાં એફ. મનસ્વી સતત સીસમાન ચિહ્ન પછી લખો. આમ આપણને કુલ મળે છે કુલ ભિન્નતાઓમાં વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું :
.

ઉદાહરણ 4.વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

પગલું 1.ચાલો ખાતરી કરીએ કે સમીકરણ છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ . આ કરવા માટે, આપણે આદર સાથે આંશિક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ yઅભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ એક પદ

અને સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન xબીજી મુદત
. આ વ્યુત્પન્ન સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણ એ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે.

પગલું 2.ચાલો આંશિક વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ લખીએ જે ફંક્શન બનાવે છે એફ:

પગલું 3.ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને એકીકૃત કરીએ - દ્વારા x (yસ્થિર રહે છે અને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે). આમ આપણે કાર્ય પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ એફ:

નું હજુ સુધી અજ્ઞાત કાર્ય ક્યાં છે y.

પગલું 4.અમે પગલું 3 ના પરિણામને અલગ પાડીએ છીએ (મળેલા સામાન્ય અભિન્ન) સંબંધમાં y

અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને સમાન કરો:

પરિણામી સમીકરણમાંથી આપણે નક્કી કરીએ છીએ:
.

પગલું 5.અમે પગલું 4 ના પરિણામને એકીકૃત કરીએ છીએ અને શોધીએ છીએ:

પગલું 6.અમે પગલું 5 ના પરિણામને પગલું 3 ના પરિણામમાં બદલીએ છીએ - આંશિક એકીકરણ દ્વારા પુનઃસ્થાપિત કાર્યમાં એફ. મનસ્વી સતત સીસમાન ચિહ્ન પછી લખો. આમ આપણને કુલ મળે છે કુલ ભિન્નતાઓમાં વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું :
.

ઉદાહરણ 5.વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

.

પગલું 1.ચાલો ખાતરી કરીએ કે સમીકરણ છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ . આ કરવા માટે, આપણે આદર સાથે આંશિક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ yઅભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ એક પદ

અને સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન xબીજી મુદત
. આ વ્યુત્પન્ન સમાન છે, જેનો અર્થ સમીકરણ છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ .

કુલ ભિન્નતાઓમાં વિભેદક સમીકરણને કેવી રીતે ઓળખવું તે બતાવે છે. તેને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ આપવામાં આવી છે. સમીકરણને બે રીતે કુલ તફાવતમાં ઉકેલવાનું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે.

પરિચય

જો આવા ફંક્શન U મળે છે (x, y), પછી સમીકરણ ફોર્મ લે છે:
ડીયુ (x, y) = 0.
તેનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે:
યુ (x, y) = C,
જ્યાં C એ અચલ છે.

જો પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ તેના વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં લખાયેલ હોય તો:
,
પછી તેને આકારમાં લાવવું સરળ છે (1) . આ કરવા માટે, સમીકરણને dx વડે ગુણાકાર કરો. પછી .
(1) .

પરિણામે, અમે ભિન્નતાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

કુલ વિભેદકમાં વિભેદક સમીકરણની મિલકત (1) સમીકરણ માટે ક્રમમાં
(2) .

કુલ ભિન્નતામાં એક સમીકરણ હતું, તે પકડી રાખવાના સંબંધ માટે જરૂરી અને પૂરતું છે:

પુરાવો અમે આગળ ધારીએ છીએ કે પુરાવામાં વપરાતા તમામ કાર્યો વ્યાખ્યાયિત છે અને x અને y ચલોના મૂલ્યોની કેટલીક શ્રેણીમાં અનુરૂપ ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે. બિંદુ x 0 , y 0

પણ આ વિસ્તારના છે..
ચાલો શરતની આવશ્યકતા સાબિત કરીએ (2) (1) સમીકરણની ડાબી બાજુ દો (x, y):
.
અમુક ફંક્શન U નો તફાવત છે
;
.
પછી
;
.
ત્યારથી બીજું વ્યુત્પન્ન ભિન્નતાના ક્રમ પર આધારિત નથી, તો પછી (2) તે તેને અનુસરે છે. આવશ્યક સ્થિતિ

સાબિત..
ચાલો શરતની પર્યાપ્તતા સાબિત કરીએ (2) (2) :
(2) .
શરત સંતોષવા દો (x, y)ચાલો બતાવીએ કે આવા ફંક્શન U શોધવાનું શક્ય છે
.
કે તેનો તફાવત છે: (x, y)આનો અર્થ એ છે કે આવા કાર્ય છે U
(3) ;
(4) .
, જે સમીકરણોને સંતોષે છે: (3) ચાલો આવા કાર્ય શોધીએ. ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ 0 x થી x દ્વારા
;
;
(5) .
x માટે, એમ ધારી રહ્યા છીએ કે y એ સ્થિર છે: (2) :

.
અમે y ના સંદર્ભમાં તફાવત કરીએ છીએ, એમ માનીને કે x એ સ્થિર છે અને લાગુ પડે છે (4) સમીકરણ
.
જો ચલાવવામાં આવશે 0 y થી y ઉપર એકીકૃત કરો
;
;
.
y થી: (5) :
(6) .
માં અવેજી
.
તેથી, અમને એક કાર્ય મળ્યું છે જેનો તફાવત

પર્યાપ્તતા સાબિત થઈ છે. (6) સૂત્રમાં ,યુ(x 0 , y 0) (x, y)અચળ છે - ફંક્શન Uનું મૂલ્ય અમે આગળ ધારીએ છીએ કે પુરાવામાં વપરાતા તમામ કાર્યો વ્યાખ્યાયિત છે અને x અને y ચલોના મૂલ્યોની કેટલીક શ્રેણીમાં અનુરૂપ ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે. બિંદુ xબિંદુ x પર

. તે કોઈપણ મૂલ્ય અસાઇન કરી શકાય છે.

કુલ તફાવતમાં વિભેદક સમીકરણને કેવી રીતે ઓળખવું
(1) .
વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો: (2) :
(2) .
આ સમીકરણ કુલ તફાવતમાં છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે સ્થિતિ તપાસવાની જરૂર છે

જો તે ધરાવે છે, તો આ સમીકરણ કુલ તફાવતમાં છે. જો નહીં, તો આ એક સંપૂર્ણ વિભેદક સમીકરણ નથી.

સમીકરણ કુલ તફાવતમાં છે કે કેમ તે તપાસો:
.

અહીં
, .
અમે y ના સંદર્ભમાં, x સ્થિરતાને ધ્યાનમાં રાખીને તફાવત કરીએ છીએ:


.
ચાલો તફાવત કરીએ


.
કારણ કે:
,
પછી આપેલ સમીકરણ કુલ તફાવતમાં છે.

કુલ તફાવતમાં વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

ક્રમિક વિભેદક નિષ્કર્ષણ પદ્ધતિ

કુલ તફાવતમાં સમીકરણ ઉકેલવા માટેની સૌથી સરળ પદ્ધતિ એ વિભેદકને ક્રમિક રીતે અલગ કરવાની પદ્ધતિ છે. આ કરવા માટે, અમે વિભેદક સ્વરૂપમાં લખેલા ભિન્નતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (યુવી);
;
.
આ સૂત્રોમાં, u અને v એ ચલોના કોઈપણ સંયોજનથી બનેલા મનસ્વી સમીકરણો છે.

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ ઉકેલો:
.

અગાઉ આપણે જોયું કે આ સમીકરણ કુલ ભિન્નતામાં છે. ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરીએ:
(P1) .
અમે વિભેદકને ક્રમિક રીતે અલગ કરીને સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ.
;
;
;
;

.
y થી: (P1):
;
.

અનુગામી એકીકરણ પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિમાં આપણે U ફંક્શન શોધી રહ્યા છીએ (x, y), સમીકરણોને સંતોષે છે:
(3) ;
(4) .

ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ (3) x માં, y સતત ધ્યાનમાં લેતા:
.
અહીં φ (y)- y નું મનસ્વી કાર્ય કે જે નક્કી કરવાની જરૂર છે. તે એકીકરણનું અચલ છે. સમીકરણમાં અવેજી કરો (4) :
.
અહીંથી:
.
એકીકરણ કરીને, આપણે φ શોધીએ છીએ (y)અને, આમ, યુ (x, y).

ઉદાહરણ 2

સમીકરણને કુલ તફાવતમાં ઉકેલો:
.

અગાઉ આપણે જોયું કે આ સમીકરણ કુલ ભિન્નતામાં છે. ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ:
, .
ફંક્શન યુ શોધી રહ્યાં છીએ (x, y), જેનો તફાવત સમીકરણની ડાબી બાજુ છે:
.
પછી:
(3) ;
(4) .
ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ (3) x માં, y સતત ધ્યાનમાં લેતા:
(P2)
.
y ના સંદર્ભમાં તફાવત કરો:

.
ચાલો અવેજી કરીએ (4) :
;
.
ચાલો એકીકૃત કરીએ:
.
ચાલો અવેજી કરીએ (P2):

.
સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ:
યુ (x, y) = const.
અમે બે સ્થિરાંકોને એકમાં જોડીએ છીએ.

વળાંક સાથે એકીકરણની પદ્ધતિ

સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય U:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
બિંદુઓને જોડતા વળાંક સાથે આ સમીકરણને એકીકૃત કરીને શોધી શકાય છે ,યુઅને (x, y):
(7) .
કારણ કે
(8) ,
પછી ઇન્ટિગ્રલ ફક્ત પ્રારંભિકના કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે ,યુઅને અંતિમ (x, y)બિંદુઓ અને વળાંકના આકાર પર આધાર રાખતા નથી. થી (7) અને (8) અમે શોધીએ છીએ:
(9) .
અહીં એક્સ 0 અને y 0 - કાયમી. તેથી યુ ,યુ- પણ સતત.

U ની આવી વ્યાખ્યાનું ઉદાહરણ પુરાવામાં મેળવવામાં આવ્યું હતું:
(6) .
અહીં એકીકરણ બિંદુથી y અક્ષની સમાંતર સેગમેન્ટ સાથે પ્રથમ કરવામાં આવે છે (x 0 , y 0 )સીધા મુદ્દા પર (x 0 , y). પછી એકીકરણ બિંદુથી x અક્ષની સમાંતર સેગમેન્ટ સાથે કરવામાં આવે છે (x 0 , y)સીધા મુદ્દા પર (x, y) .

વધુ સામાન્ય રીતે, તમારે વળાંકને જોડતા બિંદુઓના સમીકરણને રજૂ કરવાની જરૂર છે (x 0 , y 0 )અને (x, y)પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (ટી); y = આર (ટી);
અને t પર સંકલિત કરો 1 ટી થી 0 થી ટી.

એકીકરણ કરવા માટેનો સૌથી સહેલો રસ્તો સેગમેન્ટ કનેક્ટિંગ પોઈન્ટ પર છે (x 0 , y 0 )અને (x, y). આ બાબતે:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
ડીએક્સ 1 = (x - x 0) તા. 1; dy 1 = (y - y 0) તા. 1.
અવેજી પછી, અમે t ની ઉપરનો અભિન્ન ભાગ મેળવીએ છીએ 0 પહેલાં 1 .
આ પદ્ધતિ, જોકે, તેના બદલે બોજારૂપ ગણતરીઓ તરફ દોરી જાય છે.

સંદર્ભ:
વી.વી. સ્ટેપનોવ, વિભેદક સમીકરણોનો અભ્યાસક્રમ, "LKI", 2015.

વ્યાખ્યા 8.4.ફોર્મનું વિભેદક સમીકરણ

જ્યાં
કુલ વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે.

નોંધ કરો કે આવા સમીકરણની ડાબી બાજુ એ અમુક કાર્યનો કુલ વિભેદક છે
.

સામાન્ય રીતે, સમીકરણ (8.4) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

સમીકરણ (8.5) ને બદલે, આપણે સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ

,

જેનું સોલ્યુશન એ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે (8.4). આમ, સમીકરણ (8.4) ઉકેલવા માટે ફંક્શન શોધવું જરૂરી છે
. સમીકરણની વ્યાખ્યા અનુસાર (8.4), અમારી પાસે છે

(8.6)

કાર્ય
અમે એક કાર્ય શોધીશું જે આ શરતોમાંથી એકને સંતોષે છે (8.6):

જ્યાં - થી સ્વતંત્ર એક મનસ્વી કાર્ય .

કાર્ય
વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી અભિવ્યક્તિની બીજી શરત (8.6) સંતુષ્ટ થાય

(8.7)

અભિવ્યક્તિ (8.7) થી કાર્ય નક્કી થાય છે
. માટે અભિવ્યક્તિમાં તેને બદલીને
અને મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય અભિન્ન ભાગ મેળવો.

સમસ્યા 8.3.એકીકૃત સમીકરણ

અહીં
.

તેથી, આ સમીકરણ કુલ ભિન્નતાઓમાં વિભેદક સમીકરણોના પ્રકારનું છે. કાર્ય
અમે તેને ફોર્મમાં શોધીશું

.

બીજી બાજુ પર,

.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં સ્થિતિ
પરિપૂર્ણ થઈ શકશે નહીં.

પછી આવા સમીકરણો કહેવાતા એકીકૃત પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીને વિચારણા હેઠળના પ્રકારમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, જે સામાન્ય કિસ્સામાં માત્ર એક કાર્ય છે. અથવા .

જો કેટલાક સમીકરણમાં એકીકૃત પરિબળ હોય જે ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે , પછી તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે

સંબંધ ક્યાં છે માત્ર એક કાર્ય હોવું જોઈએ .

એ જ રીતે, એકીકૃત પરિબળ ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે , સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

સંબંધ ક્યાં છે
માત્ર એક કાર્ય હોવું જોઈએ .

આપેલ સંબંધોમાં ગેરહાજરી, પ્રથમ કિસ્સામાં, ચલની , અને બીજામાં - ચલ , આપેલ સમીકરણ માટે એકીકૃત પરિબળના અસ્તિત્વની નિશાની છે.

સમસ્યા 8.4.આ સમીકરણને કુલ ભિન્નતામાં સમીકરણમાં ઘટાડો.

.

સંબંધને ધ્યાનમાં લો:

.

વિષય 8.2. રેખીય વિભેદક સમીકરણો

વ્યાખ્યા 8.5. વિભેદક સમીકરણ
જો તે ઇચ્છિત કાર્યના સંદર્ભમાં રેખીય હોય તો તેને રેખીય કહેવામાં આવે છે , તેનું વ્યુત્પન્ન અને તેમાં ઇચ્છિત કાર્યનું ઉત્પાદન અને તેના વ્યુત્પન્નનો સમાવેશ થતો નથી.

રેખીય વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ નીચેના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:

(8.8)

જો સંબંધમાં (8.8) જમણી બાજુ
, તો પછી આવા સમીકરણને રેખીય સજાતીય કહેવામાં આવે છે. કિસ્સામાં જ્યારે જમણી બાજુ
, તો પછી આવા સમીકરણને રેખીય અસંગત કહેવાય છે.

ચાલો બતાવીએ કે સમીકરણ (8.8) ને ચતુષ્કોણમાં એકીકૃત કરી શકાય છે.

પ્રથમ તબક્કે, અમે એક રેખીય સજાતીય સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

આવા સમીકરણ એ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. ખરેખર,

;

/

છેલ્લો સંબંધ રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ નક્કી કરે છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, અચળના વ્યુત્પન્નને બદલવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પદ્ધતિનો વિચાર એ છે કે રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના ઉકેલના સમાન સ્વરૂપમાં હોય છે, પરંતુ એક મનસ્વી સ્થિરાંક કેટલાક ફંક્શન દ્વારા બદલવામાં આવે છે
નક્કી કરી. તેથી અમારી પાસે છે:

(8.9)

અનુરૂપ અભિવ્યક્તિઓને સંબંધમાં બદલીને (8.8)
અને
, અમને મળે છે

છેલ્લા અભિવ્યક્તિને સંબંધમાં બદલીને (8.9), અમે રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય અભિન્ન ભાગ મેળવીએ છીએ.

આમ, રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ બે ચતુષ્કોણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ અને રેખીય અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ.

સમસ્યા 8.5.એકીકૃત સમીકરણ

આમ, મૂળ સમીકરણ રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણોના પ્રકારનું છે.

પ્રથમ તબક્કે, આપણે રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીશું.

;

બીજા તબક્કે, અમે રેખીય અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલને નિર્ધારિત કરીએ છીએ, જે ફોર્મમાં જોવા મળે છે.

,

જ્યાં
- કાર્ય નક્કી કરવાનું છે.

તેથી અમારી પાસે છે:

માટે સંબંધો અવેજી અને મૂળ રેખીય અસંગત સમીકરણમાં આપણે મેળવીએ છીએ:

;

;

.

રેખીય અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં આ સ્વરૂપ હશે:

.

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ ધરાવે છે, જેમાં ડાબી બાજુ અમુક ફંકશન $F નો કુલ વિભેદક છે \left( x,y\right)$ એ કુલ વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે.

કુલ તફાવતમાં સમીકરણ હંમેશા $dF\left(x,y\right)=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે, જ્યાં $F\left(x,y\right)$ એક ફંક્શન છે જેમ કે $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; શૂન્ય જમણી બાજુનું અવિભાજ્ય એક મનસ્વી સ્થિરાંક $C$ બરાબર છે. આમ, ગર્ભિત સ્વરૂપમાં આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ $F\left(x,y\right)=C$ છે.

આપેલ વિભેદક સમીકરણને કુલ તફાવતમાં સમીકરણ બનાવવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ સંતુષ્ટ થાઓ. જો ઉલ્લેખિત શરત પૂરી થાય છે, તો ત્યાં એક ફંકશન $F\left(x,y\right)$ છે, જેના માટે આપણે લખી શકીએ છીએ: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, જેમાંથી આપણે બે સંબંધો મેળવીએ છીએ : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ અને $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

અમે પ્રથમ સંબંધ $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ને $x$ પર એકીકૃત કરીએ છીએ અને $F\left(x,y\right)=\int મેળવીએ છીએ. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, જ્યાં $U\left(y\right)$ એ $y$ નું મનસ્વી કાર્ય છે.

ચાલો તેને પસંદ કરીએ જેથી બીજો સંબંધ $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ સંતુષ્ટ થાય. આ કરવા માટે, અમે $F\left(x,y\right)$ માટે પરિણામી સંબંધને $y$ના સંદર્ભમાં અલગ કરીએ છીએ અને પરિણામને $Q\left(x,y\right)$ સાથે સરખાવીએ છીએ. અમને મળે છે: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\જમણે)$.

આગળનો ઉકેલ છે:

• છેલ્લી સમાનતામાંથી આપણે $U"\left(y\right)$ શોધીએ છીએ;
• $U"\left(y\right)$ ને એકીકૃત કરો અને $U\left(y\right)$ શોધો;
• સમાનતામાં $U\left(y\right)$ ને બદલે $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ અને અંતે આપણે ફંકશન $F\left(x,y\right)$ મેળવીએ છીએ.

અમે તફાવત શોધીએ છીએ:

અમે $U"\left(y\right)$ ને $y$ પર એકીકૃત કરીએ છીએ અને $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ શોધીએ છીએ.

પરિણામ શોધો: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

અમે $F\left(x,y\right)=C$ ફોર્મમાં સામાન્ય ઉકેલ લખીએ છીએ, એટલે કે:

ચોક્કસ ઉકેલ શોધો $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, જ્યાં $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

આંશિક ઉકેલનું સ્વરૂપ છે: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.