ઉદાહરણ નંબર 9

શ્રેણીના કન્વર્જન્સની તપાસ કરો $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) $.

ત્યારથી નીચલી સમીકરણ મર્યાદા 1 છે, પછી સામાન્ય સભ્યશ્રેણી સરવાળા ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. પ્રથમ, ચાલો નક્કી કરીએ કે શું આ શ્રેણી હકારાત્મક છે, એટલે કે. શું અસમાનતા $u_n≥ 0$ સાચી છે? પરિબળ $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, આ સ્પષ્ટ છે, પરંતુ આર્કટેન્જેન્ટ વિશે શું? આર્કટેન્જમાં કંઈ જટિલ નથી: કારણ કે $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, પછી $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0 $. નિષ્કર્ષ: અમારી શ્રેણી હકારાત્મક છે. ચાલો આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સના મુદ્દાનો અભ્યાસ કરવા માટે સરખામણી માપદંડ લાગુ કરીએ.

પ્રથમ, ચાલો એક શ્રેણી પસંદ કરીએ જેની સાથે આપણે સરખામણી કરીશું. જો $n\to\infty$, તો $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$. તેથી, $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. આવું કેમ છે? જો આપણે આ દસ્તાવેજના અંતે કોષ્ટક જોઈએ, તો આપણે $x\to 0$ માટે $\arctg x\sim x$ ફોર્મ્યુલા જોશું. અમે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો, ફક્ત અમારા કિસ્સામાં $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

સમીકરણ $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ માં આપણે અપૂર્ણાંકને $\frac(\pi)(\ સાથે બદલીએ છીએ. sqrt(2n- 1))$. અમને નીચે મુજબ મળે છે: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. અમે પહેલા પણ આવા અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કર્યું છે. "અતિરિક્ત" ઘટકોને છોડીને, અમે અપૂર્ણાંક $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) પર પહોંચીએ છીએ. +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. તે $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ સાથે છે જેની અમે સરખામણી કરીશું આપેલ શ્રેણી, નો ઉપયોગ કરીને. ત્યારથી $\frac(5)(6)≤ 1$, પછી શ્રેણી $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ અલગ પડે છે.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(aligned)&\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(સંરેખિત) \અધિકાર| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6)) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

$0 થી<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

હું નોંધું છું કે આ કિસ્સામાં, શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દની અભિવ્યક્તિમાં ચાપસ્પર્શકને બદલે, સાઈન, આર્કસાઈન અથવા સ્પર્શક હોઈ શકે છે. ઉકેલ એ જ રહેશે.

જવાબ આપો: શ્રેણી અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ નંબર 10

કન્વર્જન્સ માટે $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ નું પરીક્ષણ કરો.

સમીકરણની નીચલી મર્યાદા 1 હોવાથી, શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ સરવાળા ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. કોઈપણ મૂલ્ય $x$ માટે અમારી પાસે $-1≤\cos x≤ 1$ છે, પછી $\cos\frac(7)(n)≤ 1$ છે. તેથી, $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, એટલે કે $u_n≥ 0$. અમે સકારાત્મક શ્રેણી સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ.

જો $n\to\infty$, તો $\frac(7)(n)\to 0$. તેથી, $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. આવું કેમ છે? જો આપણે આ દસ્તાવેજના અંતે કોષ્ટક જોઈએ, તો આપણે $x\to 0$ માટે $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ ફોર્મ્યુલા જોશું. અમે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો, ફક્ત અમારા કિસ્સામાં $x=\frac(7)(n)$.

ચાલો $1-\cos\frac(7)(n)$ ને $\frac(49)(2n^2)$ વડે બદલીએ. "અતિરિક્ત" ઘટકોને છોડીને, અમે અપૂર્ણાંક $\frac(1)(n^2)$ પર પહોંચીએ છીએ. તે $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ સાથે છે જેનો ઉપયોગ કરીને આપણે આપેલ શ્રેણીની તુલના કરીશું. $2 > 1$ થી, શ્રેણી $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ કન્વર્જ થાય છે.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0) )\right|= \left|\begin(aligned)&\frac(7)(n)\to 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\અંત(સંરેખિત)\જમણે| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

$0 થી<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

જવાબ આપો: શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ નંબર 11

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$ શ્રેણીના કન્વર્જન્સની તપાસ કરો.

સમીકરણની નીચલી મર્યાદા 1 હોવાથી, શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ સરવાળો ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. બંને પરિબળો હકારાત્મક હોવાથી, પછી $u_n >0$, એટલે કે. અમે સકારાત્મક શ્રેણી સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ.

જો $n\to\infty$, તો $\frac(3)(n)\to 0$. તેથી, $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. અમે જે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યો છે તે આ દસ્તાવેજના અંતે કોષ્ટકમાં સ્થિત છે: $e^x-1 \sim x$ at $x\to 0$. અમારા કિસ્સામાં, $x=\frac(3)(n)$.

ચાલો $e^\frac(3)(n)-1$ ને $\frac(3)(n)$ સાથે બદલીએ, આમ $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right મેળવીએ. )^ 2=\frac(9)(n)$. નંબર દૂર કરીને, અમે અપૂર્ણાંક $\frac(1)(n)$ પર પહોંચીએ છીએ. તે હાર્મોનિક શ્રેણી $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ સાથે છે જેનો ઉપયોગ કરીને આપણે આપેલ શ્રેણીની તુલના કરીશું. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે હાર્મોનિક શ્રેણી અલગ પડે છે.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\જમણે)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\જમણે|=\left|\begin(aligned)&\frac(3)(n)\to 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\end(સંરેખિત)\જમણે| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

$0 થી<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

જવાબ આપો: શ્રેણી અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ નંબર 12

શ્રેણી $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ના કન્વર્જન્સની તપાસ કરો.

સમીકરણની નીચલી મર્યાદા 1 હોવાથી, શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ સરવાળો ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. $n$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અમારી પાસે $n^3+7 > n^3+5$ છે, પછી $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$ છે. તેથી, $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, એટલે કે. $u_n > 0$. અમે સકારાત્મક શ્રેણી સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ.

આ કિસ્સામાં જરૂરી સમાનતાની નોંધ લેવી કંઈક અંશે મુશ્કેલ છે. ચાલો લોગરીધમ હેઠળ અભિવ્યક્તિને થોડા અલગ સ્વરૂપમાં લખીએ:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\જમણે)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ અધિકાર). $$

હવે સૂત્ર દૃશ્યમાન છે: $\ln(1+x)\sim x$ $x\to 0$ માટે. $n\to\infty$ માટે અમારી પાસે $\frac(2)(n^3+5)\to 0$ છે, પછી $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

ચાલો $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ ને $\frac(2)(n^3+5)$ સાથે બદલીએ. "અતિરિક્ત" ઘટકોને છોડીને, અમે અપૂર્ણાંક $\frac(1)(n^3)$ પર પહોંચીએ છીએ. તે $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ સાથે છે જેનો ઉપયોગ કરીને આપણે આપેલ શ્રેણીની તુલના કરીશું. $3 > 1$ થી, શ્રેણી $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ કન્વર્જ થાય છે.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\જમણે))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\જમણે|= \left|\begin(aligned)&\frac(2)(n^3+5)\to 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( ) n^3+5)\જમણે)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(સંરેખિત)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\ frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\ lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

$0 થી<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

જવાબ આપો: શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ નંબર 13

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n) શ્રેણીનું અન્વેષણ કરો$ на сходимость.!}

સમીકરણની નીચલી મર્યાદા 1 હોવાથી, શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ સરવાળા ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

ટીપોટ્સ માટે પંક્તિઓ. ઉકેલોના ઉદાહરણો

હું બીજા વર્ષમાં બચેલા તમામ લોકોનું સ્વાગત કરું છું! આ પાઠમાં, અથવા તેના બદલે, પાઠોની શ્રેણીમાં, આપણે પંક્તિઓનું સંચાલન કેવી રીતે કરવું તે શીખીશું. વિષય ખૂબ જટિલ નથી, પરંતુ તેમાં નિપુણતા મેળવવા માટે પ્રથમ વર્ષથી જ્ઞાનની જરૂર પડશે, ખાસ કરીને, તમારે સમજવાની જરૂર છે મર્યાદા શું છે, અને સૌથી સરળ મર્યાદાઓ શોધવા માટે સક્ષમ બનો. જો કે, તે ઠીક છે, જેમ હું સમજાવું છું, હું જરૂરી પાઠોની સંબંધિત લિંક્સ પ્રદાન કરીશ. કેટલાક વાચકોને, ગાણિતિક શ્રેણીનો વિષય, ઉકેલની પદ્ધતિઓ, ચિહ્નો, પ્રમેય વિચિત્ર લાગે છે, અને તે પણ શેખીખોર, વાહિયાત લાગે છે. આ કિસ્સામાં, તમારે ખૂબ "લોડ" થવાની જરૂર નથી; અમે તથ્યોને જેમ છે તેમ સ્વીકારીએ છીએ અને સામાન્ય, સામાન્ય કાર્યોને હલ કરવાનું શીખીએ છીએ.

1) ડમી માટે પંક્તિઓ, અને સમોવર માટે તરત જ સામગ્રી :)

વિષય પર સુપર-ફાસ્ટ તૈયારી માટેપીડીએફ ફોર્મેટમાં એક એક્સપ્રેસ કોર્સ છે, જેની મદદથી તમે એક દિવસમાં તમારી પ્રેક્ટિસને ખરેખર "વધારો" કરી શકો છો.

સંખ્યા શ્રેણીનો ખ્યાલ

સામાન્ય રીતે સંખ્યા શ્રેણીઆ રીતે લખી શકાય છે: .
અહીં:
- ગાણિતિક રકમનું ચિહ્ન;
– શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ(આ સરળ શબ્દ યાદ રાખો);
- "કાઉન્ટર" ચલ. નોટેશનનો અર્થ એ છે કે સરવાળો 1 થી "વત્તા અનંત" સુધી કરવામાં આવે છે, એટલે કે, પહેલા આપણી સાથે, પછી, પછી, અને તેથી વધુ - અનંત સુધી. ચલને બદલે, ચલ અથવા ક્યારેક ઉપયોગમાં લેવાય છે. સારાંશ જરૂરી નથી કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે શૂન્યથી, બેમાંથી અથવા કોઈપણથી શરૂ થઈ શકે છે કુદરતી સંખ્યા.

"કાઉન્ટર" ચલ અનુસાર, કોઈપણ શ્રેણીને વિસ્તૃત કરી શકાય છે:
- અને તેથી વધુ, જાહેરાત અનંત.

ઘટકો - આ નંબરજેને કહેવામાં આવે છે સભ્યોપંક્તિ જો તેઓ બધા બિન-નકારાત્મક છે (શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર), પછી આવી શ્રેણી કહેવામાં આવે છે હકારાત્મક સંખ્યા શ્રેણી.

ઉદાહરણ 1

આ, માર્ગ દ્વારા, પહેલેથી જ એક "લડાઇ" કાર્ય છે - વ્યવહારમાં, ઘણી વાર શ્રેણીની ઘણી શરતો લખવી જરૂરી છે.

પ્રથમ, પછી:
પછી, પછી:
પછી, પછી:

પ્રક્રિયા અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે, પરંતુ શરત અનુસાર શ્રેણીની પ્રથમ ત્રણ શરતો લખવી જરૂરી હતી, તેથી અમે જવાબ લખીએ છીએ:

માંથી મૂળભૂત તફાવત કૃપા કરીને નોંધો સંખ્યા ક્રમ,
જેમાં શરતોનો સારાંશ આપવામાં આવતો નથી, પરંતુ તે જેમ ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2

શ્રેણીની પ્રથમ ત્રણ શરતો લખો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ ઉકેલી શકો છો, જવાબ પાઠના અંતે છે

પ્રથમ નજરમાં જટિલ શ્રેણી માટે પણ, તેને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં વર્ણવવું મુશ્કેલ નથી:

ઉદાહરણ 3

શ્રેણીની પ્રથમ ત્રણ શરતો લખો

હકીકતમાં, કાર્ય મૌખિક રીતે કરવામાં આવે છે: શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દમાં માનસિક રીતે અવેજીપ્રથમ, પછી અને. પરિણામે:

અમે નીચે પ્રમાણે જવાબ છોડીએ છીએ: પરિણામી શ્રેણીની શરતોને સરળ ન કરવી તે વધુ સારું છે, એટલે કે પ્રદર્શન કરશો નહીંક્રિયાઓ: , , . શા માટે? જવાબ ફોર્મમાં છે શિક્ષક માટે તપાસ કરવી ખૂબ સરળ અને વધુ અનુકૂળ છે.

ક્યારેક વિપરીત કાર્ય થાય છે

ઉદાહરણ 4

અહીં કોઈ સ્પષ્ટ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ નથી, તમારે ફક્ત પેટર્ન જોવાની જરૂર છે.
આ કિસ્સામાં:

તપાસવા માટે, પરિણામી શ્રેણીને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં "પાછળ લખી" શકાય છે.

અહીં એક ઉદાહરણ છે જે તમારા પોતાના પર હલ કરવા માટે થોડું વધુ જટિલ છે:

ઉદાહરણ 5

શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દ સાથે સંકુચિત સ્વરૂપમાં સરવાળો લખો

શ્રેણીને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીને ચેક કરો

સંખ્યા શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ

વિષયના મુખ્ય ઉદ્દેશોમાંનો એક છે કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીનો અભ્યાસ. આ કિસ્સામાં, બે કેસો શક્ય છે:

1) પંક્તિઅલગ પડે છે. આનો અર્થ એ છે કે અનંત રકમ અનંત સમાન છે: અથવા સામાન્ય રીતે સરવાળો અસ્તિત્વમાં નથી, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણીમાં
(અહીં, માર્ગ દ્વારા, નકારાત્મક શરતો સાથે શ્રેણીનું ઉદાહરણ છે). વિવિધ સંખ્યાની શ્રેણીનું સારું ઉદાહરણ પાઠની શરૂઆતમાં જોવા મળ્યું હતું: . અહીં તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે શ્રેણીના દરેક આગામી સભ્ય અગાઉના એક કરતા વધારે છે, તેથી અને, તેથી, શ્રેણી અલગ પડે છે. એક વધુ તુચ્છ ઉદાહરણ: .

2) પંક્તિએકરૂપ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે અનંત રકમ કેટલાકની બરાબર છે મર્યાદિત સંખ્યા: . કૃપા કરીને: – આ શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો શૂન્ય છે. વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણ તરીકે, આપણે ટાંકી શકીએ છીએ અનંત રીતે ઘટે છેભૌમિતિક પ્રગતિ, જે અમને શાળા સમયથી જાણીતી છે: . અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે: , પ્રગતિની પ્રથમ પદ ક્યાં છે અને તેનો આધાર છે, જે સામાન્ય રીતે ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે યોગ્યઅપૂર્ણાંક આ કિસ્સામાં: , . આમ: એક મર્યાદિત સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે શ્રેણી એકરૂપ થાય છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

જો કે, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં શ્રેણીનો સરવાળો શોધોએટલું સરળ નથી, અને તેથી, વ્યવહારમાં, શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો અભ્યાસ કરવા માટે, સૈદ્ધાંતિક રીતે સાબિત થયેલા વિશેષ સંકેતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

શ્રેણીના કન્વર્જન્સના ઘણા ચિહ્નો છે: શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી કસોટી, સરખામણી કસોટીઓ, ડી'એલેમ્બર્ટની કસોટી, કોચીની કસોટીઓ, લીબનીઝની નિશાનીઅને કેટલાક અન્ય ચિહ્નો. કયા ચિહ્નનો ઉપયોગ ક્યારે કરવો?તે શ્રેણીના સામાન્ય સભ્ય પર આધાર રાખે છે, અલંકારિક રીતે કહીએ તો, શ્રેણીના "ફિલિંગ" પર. અને ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં અમે બધું ગોઠવીશું.

! વધુ પાઠ શીખવા માટે, તમારે આવશ્યક છે સારી રીતે સમજોમર્યાદા શું છે અને તે પ્રકારની અનિશ્ચિતતાને જાહેર કરવામાં સક્ષમ થવું સારું છે. સામગ્રીની સમીક્ષા અથવા અભ્યાસ કરવા માટે, કૃપા કરીને લેખનો સંદર્ભ લો મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

શ્રેણીના કન્વર્જન્સની આવશ્યક નિશાની

જો શ્રેણી કન્વર્જ થાય, તો તેનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વળે છે: .

સામાન્ય કિસ્સામાં વાતચીત સાચી નથી, એટલે કે, જો , પછી શ્રેણી કાં તો કન્વર્જ થઈ શકે છે અથવા અલગ થઈ શકે છે. અને તેથી આ ચિહ્નનો ઉપયોગ ન્યાયી ઠેરવવા માટે થાય છે વિવિધતાપંક્તિ

જો શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતું નથી, પછી શ્રેણી અલગ પડે છે

અથવા ટૂંકમાં: જો , પછી શ્રેણી અલગ પડે છે. ખાસ કરીને, એવી પરિસ્થિતિ શક્ય છે જ્યાં મર્યાદા બિલકુલ અસ્તિત્વમાં નથી, ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદા. તેથી તેઓએ તરત જ એક શ્રેણીના વિચલનને યોગ્ય ઠેરવ્યું :)

પરંતુ ઘણી વાર, વિવિધ શ્રેણીની મર્યાદા અનંતની સમાન હોય છે, અને "x" ને બદલે તે "ડાયનેમિક" ચલ તરીકે કાર્ય કરે છે. ચાલો આપણા જ્ઞાનને તાજું કરીએ: “x” ની મર્યાદાને ફંક્શનની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે, અને ચલ “en” સાથેની મર્યાદાઓને સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ તફાવત એ છે કે ચલ "en" અલગ (અસતત) કુદરતી મૂલ્યો લે છે: 1, 2, 3, વગેરે. પરંતુ આ હકીકતની મર્યાદા ઉકેલવાની પદ્ધતિઓ અને અનિશ્ચિતતાઓને જાહેર કરવાની પદ્ધતિઓ પર ઓછી અસર પડે છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે પ્રથમ ઉદાહરણમાંથી શ્રેણી અલગ પડે છે.
શ્રેણીના સામાન્ય સભ્ય:

નિષ્કર્ષ: પંક્તિ અલગ પડે છે

આવશ્યક સુવિધાનો ઉપયોગ ઘણીવાર વાસ્તવિક વ્યવહારિક કાર્યોમાં થાય છે:

ઉદાહરણ 6

આપણી પાસે અંશ અને છેદમાં બહુપદી છે. જેણે લેખમાં અનિશ્ચિતતા જાહેર કરવાની પદ્ધતિને કાળજીપૂર્વક વાંચી અને સમજ્યું મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણો, મેં કદાચ તે પકડ્યું છે જ્યારે અંશ અને છેદની સર્વોચ્ચ શક્તિઓ સમાન, તો મર્યાદા છે મર્યાદિત સંખ્યા .

અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરો

અભ્યાસ હેઠળ શ્રેણી અલગ પડે છે, કારણ કે શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી માપદંડ પરિપૂર્ણ નથી.

ઉદાહરણ 7

કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ

તેથી, જ્યારે અમને કોઈપણ નંબર શ્રેણી આપવામાં આવે છે, સૌ પ્રથમઅમે તપાસીએ છીએ (માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર): શું તેનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય છે? જો તે ન થાય, તો અમે ઉદાહરણો નંબર 6, 7ના આધારે ઉકેલ ઘડીએ છીએ અને જવાબ આપીએ છીએ કે શ્રેણી અલગ પડે છે.

દેખીતી રીતે અલગ-અલગ શ્રેણીના કયા પ્રકારો આપણે ધ્યાનમાં લીધા છે? તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે શ્રેણી ગમે છે અથવા અલગ પડે છે. ઉદાહરણો નંબર 6, 7માંથી શ્રેણી પણ અલગ પડે છે: જ્યારે અંશ અને છેદમાં બહુપદી હોય છે, અને અંશની અગ્રણી શક્તિ છેદની અગ્રણી શક્તિ કરતા વધારે અથવા સમાન હોય છે. આ તમામ કેસોમાં, ઉદાહરણો હલ કરતી વખતે અને તૈયાર કરતી વખતે, અમે શ્રેણીના કન્વર્જન્સના જરૂરી સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ચિહ્ન શા માટે કહેવાય છે જરૂરી? સૌથી કુદરતી રીતે સમજો: શ્રેણીમાં એકરૂપ થવા માટે, જરૂરી, જેથી તેનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વળે છે. અને બધું સરસ હશે, પરંતુ ત્યાં વધુ છે પૂરતું નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વળે છે, તો તેનો અર્થ એ નથી કે શ્રેણી એકરૂપ થાય છે- તે એકરૂપ થઈ શકે છે અને અલગ થઈ શકે છે!

મળો:

આ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે હાર્મોનિક શ્રેણી. કૃપા કરીને યાદ રાખો! નંબર સિરીઝમાં, તે પ્રાઈમા નૃત્યનર્તિકા છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, નૃત્યનર્તિકા =)

તે જોવાનું સરળ છે , પરંતુ. ગાણિતિક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતમાં તે સાબિત થયું છે હાર્મોનિક શ્રેણી અલગ પડે છે.

તમારે સામાન્યકૃત હાર્મોનિક શ્રેણીનો ખ્યાલ પણ યાદ રાખવો જોઈએ:

1) આ પંક્તિ અલગ પડે છેખાતે ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણી , , ડાઇવર્જ.
2) આ પંક્તિ એકરૂપ થાય છેખાતે ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણી , , , કન્વર્જ. હું ફરી એકવાર ભારપૂર્વક જણાવું છું કે લગભગ તમામ વ્યવહારુ કાર્યોમાં તે આપણા માટે બિલકુલ મહત્વનું નથી કે સરવાળો શું છે, ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણી બરાબર છે, તેના કન્વર્જન્સની હકીકત મહત્વપૂર્ણ છે.

આ શ્રેણીના સિદ્ધાંતમાંથી પ્રાથમિક તથ્યો છે જે પહેલાથી જ સાબિત થઈ ચૂક્યા છે, અને કોઈપણ વ્યવહારુ ઉદાહરણ ઉકેલતી વખતે, તમે સુરક્ષિત રીતે સંદર્ભ લઈ શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણીના વિચલન અથવા શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો.

સામાન્ય રીતે, પ્રશ્નમાંની સામગ્રી ખૂબ સમાન છે અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલનો અભ્યાસ, અને જેઓ આ વિષયનો અભ્યાસ કર્યો છે તેમના માટે તે સરળ રહેશે. ઠીક છે, જેમણે તેનો અભ્યાસ કર્યો નથી, તે બમણું સરળ છે :)

તો, જો શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વળે તો શું કરવું?આવા કિસ્સાઓમાં, ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે તમારે અન્યનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, પર્યાપ્ત કન્વર્જન્સ/વિવિધતાના ચિહ્નો:

સકારાત્મક સંખ્યા શ્રેણી માટે સરખામણી માપદંડ

હું તમારું ધ્યાન દોરું છું, કે અહીં આપણે માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાની શ્રેણી વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ (બિન-નકારાત્મક શબ્દો સાથે).

સરખામણીના બે ચિહ્નો છે, તેમાંથી એકને હું ફક્ત કૉલ કરીશ સરખામણીની નિશાની, અન્ય - સરખામણીની મર્યાદા.

ચાલો પહેલા વિચાર કરીએ સરખામણી ચિહ્ન, અથવા બદલે, તેનો પ્રથમ ભાગ:

બે હકારાત્મક સંખ્યાની શ્રેણી અને . ઓળખાય તો, કે શ્રેણી - એકરૂપ થાય છે, અને, અમુક સંખ્યાથી શરૂ કરીને, અસમાનતા સંતોષાય છે, પછી શ્રેણી પણ એકરૂપ થાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: મોટા પદો સાથે શ્રેણીના કન્વર્જન્સથી, નાના પદો સાથે શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ નીચે મુજબ છે.. વ્યવહારમાં, અસમાનતા ઘણીવાર તમામ મૂલ્યો માટે ધરાવે છે:

ઉદાહરણ 8

કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

પ્રથમ, ચાલો તપાસીએ(માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટમાં) અમલ:
, જેનો અર્થ છે કે "થોડું લોહી વડે બહાર નીકળવું" શક્ય ન હતું.

અમે સામાન્યકૃત હાર્મોનિક શ્રેણીના "પેક" પર ધ્યાન આપીએ છીએ અને, ઉચ્ચતમ ડિગ્રી પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીને, અમને સમાન શ્રેણી મળે છે: તે સિદ્ધાંતથી જાણીતું છે કે તે એકરૂપ થાય છે.

તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે, સ્પષ્ટ અસમાનતા ધરાવે છે:

અને મોટા છેદ નાના અપૂર્ણાંકોને અનુરૂપ છે:
, જેનો અર્થ છે, સરખામણીના માપદંડના આધારે, અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણી એકરૂપ થાય છેસાથે સાથે .

જો તમને કોઈ શંકા હોય, તો તમે હંમેશા અસમાનતાનું વિગતવાર વર્ણન કરી શકો છો!ચાલો આપણે કેટલીક સંખ્યાઓ "en" માટે રચાયેલી અસમાનતા લખીએ:
જો, તો પછી
જો, તો પછી
જો, તો પછી
જો, તો પછી
….
અને હવે તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે કે અસમાનતા તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે પરિપૂર્ણ “en”.

ચાલો અનૌપચારિક દૃષ્ટિકોણથી સરખામણીના માપદંડ અને ઉકેલાયેલા ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ કરીએ. તેમ છતાં, શ્રેણી શા માટે એકરૂપ થાય છે? અહીં શા માટે છે. જો શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે, તો તેમાં કેટલીક છે અંતિમરકમ: . અને શ્રેણીના તમામ સભ્યો ત્યારથી ઓછુંશ્રેણીના અનુરૂપ શબ્દો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે શ્રેણીનો સરવાળો સંખ્યા કરતા વધારે હોઈ શકતો નથી, અને તેથી પણ વધુ, અનંતની સમાન ન હોઈ શકે!

એ જ રીતે, આપણે "સમાન" શ્રેણીના કન્વર્જન્સને સાબિત કરી શકીએ છીએ: , , વગેરે

! મહેરબાની કરીને નોંધ કરો, કે તમામ કિસ્સાઓમાં અમારી પાસે છેદમાં "પ્લીસસ" છે. ઓછામાં ઓછા એક માઇનસની હાજરી પ્રશ્નમાં રહેલા ઉત્પાદનના ઉપયોગને ગંભીરતાથી જટિલ બનાવી શકે છે. સરખામણી ચિહ્ન. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ શ્રેણીની સરખામણી સમાન શ્રેણી સાથે કરવામાં આવે છે (પ્રથમ શરતો માટે ઘણી અસમાનતાઓ લખો), તો સ્થિતિ બિલકુલ સંતુષ્ટ થશે નહીં! અહીં તમે ડોજ કરી શકો છો અને સરખામણી માટે બીજી કન્વર્જન્ટ શ્રેણી પસંદ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, પરંતુ આ બિનજરૂરી રિઝર્વેશન અને અન્ય બિનજરૂરી મુશ્કેલીઓનો સમાવેશ કરશે. તેથી, શ્રેણીના કન્વર્જન્સને સાબિત કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ છે સરખામણીની મર્યાદા(આગલો ફકરો જુઓ).

ઉદાહરણ 9

કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

અને આ ઉદાહરણમાં, હું સૂચન કરું છું કે તમે તમારા માટે વિચાર કરો સરખામણી વિશેષતાનો બીજો ભાગ:

ઓળખાય તો, કે શ્રેણી - અલગ પડે છે, અને અમુક નંબરથી શરૂ થાય છે (ઘણીવાર પહેલાથી જ),અસમાનતા સંતુષ્ટ છે, પછી શ્રેણી પણ અલગ પડે છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: નાના પદો સાથે શ્રેણીના વિચલનથી મોટા પદો સાથે શ્રેણીના વિચલનને અનુસરે છે.

શું કરવાની જરૂર છે?
અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણીની તુલના વિવિધ હાર્મોનિક શ્રેણી સાથે કરવી જરૂરી છે. વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, કેટલીક ચોક્કસ અસમાનતાઓ બનાવો અને ખાતરી કરો કે અસમાનતા વાજબી છે.

ઉકેલ અને નમૂનાની રચના પાઠના અંતે છે.

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, વ્યવહારમાં, માત્ર ચર્ચા કરેલ સરખામણી માપદંડનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે. સંખ્યા શ્રેણીનું વાસ્તવિક વર્કહોર્સ છે સરખામણીની મર્યાદા, અને ઉપયોગની આવર્તનની દ્રષ્ટિએ તે ફક્ત તેની સાથે સ્પર્ધા કરી શકે છે ડી'એલેમ્બર્ટની નિશાની.

સંખ્યાત્મક સકારાત્મક શ્રેણીની સરખામણી કરવા માટે મર્યાદા પરીક્ષણ

બે હકારાત્મક સંખ્યાની શ્રેણી અને . જો આ શ્રેણીના સામાન્ય પદોના ગુણોત્તરની મર્યાદા બરાબર હોય મર્યાદિત બિન-શૂન્ય સંખ્યા: , પછી બંને શ્રેણી એકસાથે ભેગા થાય છે અથવા અલગ પડે છે.

મર્યાદિત માપદંડનો ઉપયોગ ક્યારે થાય છે?જ્યારે શ્રેણીની "ફિલિંગ" બહુપદી હોય ત્યારે સરખામણી માટે મર્યાદિત માપદંડનો ઉપયોગ થાય છે. કાં તો છેદમાં એક બહુપદી, અથવા અંશ અને છેદ બંનેમાં બહુપદી. વૈકલ્પિક રીતે, બહુપદી મૂળની નીચે સ્થિત હોઈ શકે છે.

ચાલો તે પંક્તિ સાથે વ્યવહાર કરીએ કે જેના માટે અગાઉની સરખામણી ચિહ્ન અટકી ગયું છે.

ઉદાહરણ 10

કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

ચાલો આ શ્રેણીને કન્વર્જન્ટ શ્રેણી સાથે સરખાવીએ. અમે સરખામણી માટે મર્યાદિત માપદંડનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તે જાણીતું છે કે શ્રેણી એકરૂપ થાય છે. જો આપણે તે બરાબર બતાવી શકીએ મર્યાદિત, બિન-શૂન્યસંખ્યા, તે સાબિત થશે કે શ્રેણી પણ કન્વર્જ થાય છે.

મર્યાદિત બિન-શૂન્ય સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણી છે એકરૂપ થાય છેસાથે સાથે .

સરખામણી માટે શ્રેણી શા માટે પસંદ કરવામાં આવી? જો આપણે સામાન્યકૃત હાર્મોનિક શ્રેણીની "કેજ" માંથી કોઈ અન્ય શ્રેણી પસંદ કરી હોત, તો અમે મર્યાદામાં સફળ થયા ન હોત. મર્યાદિત, બિન-શૂન્યસંખ્યાઓ (તમે પ્રયોગ કરી શકો છો).

નોંધ: જ્યારે આપણે મર્યાદિત સરખામણી માપદંડનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, વાંધો નથી, સામાન્ય સભ્યોના સંબંધને કયા ક્રમમાં કંપોઝ કરવા, ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણમાં, સંબંધને બીજી રીતે સંકલિત કરી શકાય છે: - આ બાબતના સારને બદલશે નહીં.