ગણિત એટલે શુંલોકો પ્રકૃતિ અને પોતાને નિયંત્રિત કરે છે.
સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રી, શિક્ષણશાસ્ત્રી એ.એન. કોલમોગોરોવ
ભૌમિતિક પ્રગતિ.
અંકગણિતની પ્રગતિની સમસ્યાઓની સાથે, ગણિતમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં ભૌમિતિક પ્રગતિના ખ્યાલને લગતી સમસ્યાઓ પણ સામાન્ય છે. આવી સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે, તમારે ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મો જાણવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવામાં સારી કુશળતા હોવી જરૂરી છે.
આ લેખ ભૌમિતિક પ્રગતિના મૂળભૂત ગુણધર્મોની રજૂઆત માટે સમર્પિત છે. લાક્ષણિક સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો પણ અહીં આપવામાં આવ્યા છે., ગણિતમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓના કાર્યોમાંથી ઉધાર લીધેલ.
ચાલો સૌપ્રથમ ભૌમિતિક પ્રગતિના મૂળભૂત ગુણધર્મોની નોંધ લઈએ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો અને વિધાનોને યાદ કરીએ., આ ખ્યાલ સાથે સંબંધિત.
વ્યાખ્યા.સંખ્યાના ક્રમને ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે જો દરેક સંખ્યા, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરતા પહેલાની સમાન હોય છે. સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક પ્રગતિ માટેસૂત્રો માન્ય છે
, (1)
ક્યાં. સૂત્ર (1) એ ભૌમિતિક પ્રગતિના સામાન્ય શબ્દનું સૂત્ર કહેવાય છે, અને સૂત્ર (2) ભૌમિતિક પ્રગતિના મુખ્ય ગુણધર્મનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે: પ્રગતિની દરેક પદ તેના પડોશી પદોના ભૌમિતિક સરેરાશ સાથે એકરુપ હોય છે અને .
નોંધ, તે ચોક્કસપણે આ ગુણધર્મને કારણે છે કે પ્રશ્નમાં પ્રગતિને "ભૌમિતિક" કહેવામાં આવે છે.
ઉપરોક્ત સૂત્રો (1) અને (2) નીચે પ્રમાણે સામાન્યકૃત છે:
, (3)
રકમની ગણતરી કરવા માટેપ્રથમ ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યોફોર્મ્યુલા લાગુ પડે છે
જો આપણે સૂચિત કરીએ, તો પછી
ક્યાં. કારણ કે, સૂત્ર (6) એ સૂત્ર (5) નું સામાન્યીકરણ છે.
કિસ્સામાં જ્યારે અને ભૌમિતિક પ્રગતિઅનંત રીતે ઘટી રહ્યું છે. રકમની ગણતરી કરવા માટેઅનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની તમામ શરતોમાં, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે
. (7)
ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ્યુલા (7) નો ઉપયોગ કરીને આપણે બતાવી શકીએ છીએ, શું
ક્યાં. આ સમાનતાઓ , (પ્રથમ સમાનતા) અને , (બીજી સમાનતા) હેઠળ સૂત્ર (7)માંથી મેળવવામાં આવે છે.
પ્રમેય.જો, તો પછી
પુરાવો. જો, તો પછી
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
ચાલો "ભૌમિતિક પ્રગતિ" વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ 1.આપેલ: , અને . શોધો.
ઉકેલ.જો આપણે સૂત્ર (5) લાગુ કરીએ, તો
જવાબ:.
ઉદાહરણ 2.રહેવા દો. શોધો.
ઉકેલ.ત્યારથી અને , આપણે સૂત્રો (5), (6) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
જો સિસ્ટમ (9) ના બીજા સમીકરણને પ્રથમ વડે ભાગવામાં આવે તો, પછી અથવા. તે આના પરથી અનુસરે છે કે . ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.
1. જો, પછી સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણ (9) થી આપણી પાસે છે.
2. જો , તો .
ઉદાહરણ 3.ચાલો , અને . શોધો.
ઉકેલ.સૂત્ર (2) થી તે તેને અનુસરે છે અથવા . ત્યારથી, પછી અથવા.
શરત મુજબ. જો કે, તેથી. ત્યારથી અને પછી અહીં આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે
જો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને પ્રથમ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો પછી અથવા .
ત્યારથી, સમીકરણમાં અનન્ય યોગ્ય મૂળ છે. આ કિસ્સામાં, તે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણથી અનુસરે છે.
સૂત્ર (7) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ.
જવાબ:.
ઉદાહરણ 4.આપેલ: અને. શોધો.
ઉકેલ.ત્યારથી.
ત્યારથી, પછી અથવા
સૂત્ર (2) મુજબ આપણી પાસે છે. આ સંદર્ભે, સમાનતા (10)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ અથવા .
જો કે, શરત દ્વારા, તેથી.
ઉદાહરણ 5.તે જાણીતું છે. શોધો.
ઉકેલ. પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે બે સમાનતા છે
ત્યારથી, પછી અથવા. કારણ કે, પછી.
જવાબ:.
ઉદાહરણ 6.આપેલ: અને. શોધો.
ઉકેલ.સૂત્ર (5) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ
ત્યારથી. ત્યારથી , અને , પછી .
ઉદાહરણ 7.રહેવા દો. શોધો.
ઉકેલ.સૂત્ર (1) મુજબ આપણે લખી શકીએ છીએ
તેથી, અમારી પાસે છે અથવા . તે જાણીતું છે કે અને , તેથી અને .
જવાબ:.
ઉદાહરણ 8.જો અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ શોધો
અને .
ઉકેલ. સૂત્ર (7) પરથી તે અનુસરે છેઅને . અહીંથી અને સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
જો સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ ચોરસ છે, અને પછી પરિણામી સમીકરણને બીજા સમીકરણ દ્વારા વિભાજીત કરો, પછી આપણને મળે છે
અથવા .
જવાબ:.
ઉદાહરણ 9.બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે ક્રમ , , ભૌમિતિક પ્રગતિ છે.
ઉકેલ.દો , અને . સૂત્ર (2) મુજબ, જે ભૌમિતિક પ્રગતિના મુખ્ય ગુણધર્મને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, આપણે લખી શકીએ છીએ અથવા .
અહીંથી આપણને ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે, જેના મૂળ છેઅને .
ચાલો તપાસીએ: જો, પછી , અને ;
જો , પછી , અને .પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે
અને , અને બીજામાં - અને .
જવાબ: , .ઉદાહરણ 10.
, (11)
સમીકરણ ઉકેલો
ક્યાં અને .
સૂત્ર (7) પરથી તે અનુસરે છે, શું ઉકેલ. સમીકરણની ડાબી બાજુ (11) એ અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો છે, જેમાં અને , આધીન છે: અને .. આ સંદર્ભમાં, સમીકરણ (11) સ્વરૂપ લે છે અથવા . યોગ્ય રુટ
જવાબ:.
ચતુર્ભુજ સમીકરણ છેઉદાહરણ 11. પીહકારાત્મક સંખ્યાઓનો ક્રમએક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે , એ- ભૌમિતિક પ્રગતિ
ઉકેલ., અને અહીં. શોધો. કારણ કેઅંકગણિત ક્રમ , તે(અંકગણિત પ્રગતિની મુખ્ય મિલકત). કારણ કે , પછી અથવા. તે આના પરથી અનુસરે છે,. સૂત્ર (2) મુજબ, પછી અમે તે લખીએ છીએ.
ત્યારથી અને પછી . આ કિસ્સામાં, અભિવ્યક્તિફોર્મ લે છે અથવા. શરત મુજબ, તેથી Eq થી.અમે વિચારણા હેઠળની સમસ્યાનો અનન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ, એટલે કે .
જવાબ:.
ઉદાહરણ 12.રકમની ગણતરી કરો
. (12)
ઉકેલ. ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓ (12) ને 5 વડે ગુણીએ અને મેળવીએ
જો આપણે પરિણામી અભિવ્યક્તિમાંથી (12) બાદ કરીએઅંકગણિત ક્રમ
અથવા
ગણતરી કરવા માટે, અમે મૂલ્યોને સૂત્ર (7) માં બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ. ત્યારથી.
જવાબ:.
પ્રવેશ પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતી વખતે અરજદારો માટે અહીં આપેલા સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો ઉપયોગી થશે. સમસ્યા હલ કરવાની પદ્ધતિઓના ઊંડા અભ્યાસ માટે, ભૌમિતિક પ્રગતિ સાથે સંબંધિત, તમે ભલામણ કરેલ સાહિત્યની સૂચિમાંથી ટ્યુટોરિયલ્સનો ઉપયોગ કરી શકો છો.
1. કોલેજો / એડ માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. એમ.આઈ. સ્કેનવી. – એમ.: મીર એન્ડ એજ્યુકેશન, 2013. – 608 પૃષ્ઠ.
2. સુપ્રુન વી.પી. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત: શાળા અભ્યાસક્રમના વધારાના વિભાગો. - એમ.: લેનાન્ડ / યુઆરએસએસ, 2014. - 216 પૃષ્ઠ.
3. મેડિન્સકી એમ.એમ. સમસ્યાઓ અને કસરતોમાં પ્રાથમિક ગણિતનો સંપૂર્ણ અભ્યાસક્રમ. પુસ્તક 2: સંખ્યા ક્રમ અને પ્રગતિ. - એમ.: એડિટસ, 2015. - 208 પૃષ્ઠ.
હજુ પણ પ્રશ્નો છે?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
આ સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે દરેક પદ પહેલાના એક કરતા q વખતથી અલગ પડે છે. (અમે ધારીશું કે q ≠ 1, અન્યથા બધું ખૂબ તુચ્છ છે). તે જોવાનું સરળ છે કે ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર b n = b 1 q n – 1 છે; સંખ્યાઓ b n અને b m સાથેના શબ્દો q n – m વખતથી અલગ પડે છે.પહેલેથી જ પ્રાચીન ઇજિપ્તમાં તેઓ માત્ર અંકગણિત જ નહીં, પણ ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ જાણતા હતા. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, રિન્ડ પેપિરસની સમસ્યા છે: “સાત ચહેરામાં સાત બિલાડીઓ છે; દરેક બિલાડી સાત ઉંદર ખાય છે, દરેક ઉંદર મકાઈના સાત કાન ખાય છે, અને જવના દરેક કાન સાત માપ જવ ઉગાડી શકે છે. આ શ્રેણીમાં સંખ્યાઓ અને તેમનો સરવાળો કેટલો મોટો છે?
 |
|
ચોખા. 1. પ્રાચીન ઇજિપ્તીયન ભૌમિતિક પ્રગતિ સમસ્યા |
આ કાર્ય અન્ય સમયે અન્ય લોકોમાં વિવિધ ફેરફારો સાથે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થયું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, 13મી સદીમાં લખાયેલ. પીસા (ફિબોનાકી) ના લિયોનાર્ડો દ્વારા "ધ બુક ઓફ ધ એબેકસ" માં એક સમસ્યા છે જેમાં 7 વૃદ્ધ મહિલાઓ રોમ (દેખીતી રીતે યાત્રાળુઓ) જતા માર્ગ પર દેખાય છે, જેમાંથી દરેકની પાસે 7 ખચ્ચર છે, જેમાંની દરેક પાસે 7 બેગ છે, જેમાંથી દરેક 7 રોટલી ધરાવે છે, જેમાંના દરેકમાં 7 છરીઓ છે, જેમાંના દરેકમાં 7 આવરણ છે. સમસ્યા પૂછે છે કે ત્યાં કેટલી વસ્તુઓ છે.
ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . આ સૂત્ર સાબિત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
સંખ્યા b 1 q n ને S n માં ઉમેરો અને મેળવો:
|
અહીંથી S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), અને આપણને જરૂરી સૂત્ર મળે છે.
પહેલાથી જ પ્રાચીન બેબીલોનની માટીની ગોળીઓમાંની એક પર, 6 ઠ્ઠી સદીની છે. પૂર્વે e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 નો સરવાળો ધરાવે છે. સાચું છે, અન્ય સંખ્યાબંધ કેસોની જેમ, અમે જાણતા નથી કે આ હકીકત બેબીલોનીઓ માટે કેવી રીતે જાણીતી હતી .
સંખ્યાબંધ સંસ્કૃતિઓમાં ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ઝડપી વધારો, ખાસ કરીને ભારતીયમાં, બ્રહ્માંડની વિશાળતાના દ્રશ્ય પ્રતીક તરીકે વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. ચેસના દેખાવ વિશેની પ્રખ્યાત દંતકથામાં, શાસક તેના શોધકને ઈનામ પોતે પસંદ કરવાની તક આપે છે, અને તે ઘઉંના દાણાની સંખ્યા માટે પૂછે છે જે એકને ચેસબોર્ડના પ્રથમ ચોરસ પર મૂકવામાં આવે તો પ્રાપ્ત થશે, બે પર. બીજા, ત્રીજા પર ચાર, ચોથા પર આઠ, અને વગેરે, દરેક વખતે સંખ્યા બમણી થાય છે. વ્લાદિકાએ વિચાર્યું કે મોટાભાગે આપણે થોડી બેગ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, પરંતુ તેણે ખોટી ગણતરી કરી. તે જોવાનું સરળ છે કે ચેસબોર્ડના તમામ 64 ચોરસ માટે શોધકને (2 64 - 1) અનાજ પ્રાપ્ત કરવા પડશે, જે 20-અંકની સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે; જો પૃથ્વીની સમગ્ર સપાટી પર વાવણી કરવામાં આવે તો પણ જરૂરી માત્રામાં અનાજ એકત્રિત કરવામાં ઓછામાં ઓછા 8 વર્ષ લાગશે. આ દંતકથાને કેટલીકવાર ચેસની રમતમાં છુપાયેલી વર્ચ્યુઅલ અમર્યાદિત શક્યતાઓ દર્શાવતી અર્થઘટન કરવામાં આવે છે.
તે જોવાનું સરળ છે કે આ સંખ્યા ખરેખર 20-અંકની છે:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (વધુ સચોટ ગણતરી 1.84∙10 19 આપે છે). પરંતુ મને આશ્ચર્ય થાય છે કે શું તમે શોધી શકો છો કે આ સંખ્યા કયા અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે?
જો છેદ 1 કરતા વધારે હોય તો ભૌમિતિક પ્રગતિ વધી શકે છે અથવા જો તે એક કરતા ઓછી હોય તો તે ઘટી શકે છે. પછીના કિસ્સામાં, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે q n સંખ્યા મનસ્વી રીતે નાની બની શકે છે. જ્યારે વધતી જતી ભૌમિતિક પ્રગતિ અણધારી રીતે ઝડપથી વધે છે, ત્યારે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ એટલી જ ઝડપથી ઘટે છે.
n જેટલી મોટી, નબળી સંખ્યા q n શૂન્યથી અલગ પડે છે અને ભૌમિતિક પ્રગતિ S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) ની સંખ્યા S = b 1 / ( 1 – q). (ઉદાહરણ તરીકે, એફ. વિયેટે આ રીતે તર્ક આપ્યો). સંખ્યા S ને અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો કહેવામાં આવે છે. જો કે, ઘણી સદીઓથી, આખી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સારાંશ આપવાનો અર્થ શું છે તે પ્રશ્ન, તેના અસંખ્ય શબ્દો સાથે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે પૂરતો સ્પષ્ટ નહોતો.
ઘટતી જતી ભૌમિતિક પ્રગતિ જોઈ શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઝેનોના એપોરિયાસ “હાફ ડિવિઝન” અને “એચિલીસ એન્ડ ધ ટોર્ટોઈઝ”માં. પ્રથમ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટપણે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે સમગ્ર માર્ગ (લંબાઈ 1 ધારી રહ્યા છીએ) એ 1/2, 1/4, 1/8, વગેરે વિભાગોની અનંત સંખ્યાનો સરવાળો છે. આ, અલબત્ત, આમાંથી કેસ છે. મર્યાદિત રકમની અનંત ભૌમિતિક પ્રગતિ વિશેના વિચારોનો દૃષ્ટિકોણ. અને હજુ સુધી - આ કેવી રીતે હોઈ શકે?
|
ચોખા. 2. 1/2 ના ગુણાંક સાથે પ્રગતિ |
એચિલીસ વિશેના અપોરિયામાં, પરિસ્થિતિ થોડી વધુ જટિલ છે, કારણ કે અહીં પ્રગતિનો છેદ 1/2 નથી, પરંતુ કેટલીક અન્ય સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, એચિલીસને v ઝડપે દોડવા દો, કાચબો u ઝડપે ચાલે છે અને તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર l છે. એચિલીસ સમય l/v માં આ અંતર કાપશે, અને આ સમય દરમિયાન કાચબો l/v અંતરે જશે. જ્યારે એચિલીસ આ સેગમેન્ટ ચલાવે છે, ત્યારે તેની અને કાચબા વચ્ચેનું અંતર l (u /v) 2, વગેરે જેટલું થઈ જશે. તે તારણ આપે છે કે કાચબાને પકડવાનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ ટર્મ સાથે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો શોધવો. l અને છેદ u/v. આ સરવાળો - જે સેગમેન્ટમાં એચિલીસ આખરે કાચબા સાથે મીટિંગ સ્થળ પર દોડશે - તે l / (1 – u /v) = lv / (v – u) ની બરાબર છે. પરંતુ, ફરીથી, આ પરિણામનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું અને તે શા માટે કોઈ અર્થમાં છે તે લાંબા સમયથી ખૂબ સ્પષ્ટ ન હતું.
|
ચોખા. 3. 2/3 ના ગુણાંક સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ |
આર્કિમિડીસે પેરાબોલા સેગમેન્ટનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. પેરાબોલાના આ સેગમેન્ટને તાર AB દ્વારા સીમાંકિત કરવા દો અને પેરાબોલાના બિંદુ D પરના સ્પર્શકને AB ની સમાંતર રહેવા દો. C એ AB નો મધ્યબિંદુ છે, E એ AC નો મધ્યબિંદુ છે, F એ CB નો મધ્યબિંદુ છે. ચાલો બિંદુઓ A, E, F, B દ્વારા ડીસીની સમાંતર રેખાઓ દોરીએ; બિંદુ D પર દોરેલા સ્પર્શકને K, L, M, N બિંદુઓ પર આ રેખાઓને છેદવા દો. ચાલો AD અને DB સેગમેન્ટ્સ પણ દોરીએ. રેખા EL ને બિંદુ G પર રેખા AD અને બિંદુ H પર પેરાબોલાને છેદવા દો; રેખા FM બિંદુ Q પર રેખા DB ને અને બિંદુ R પર પેરાબોલાને છેદે છે. કોનિક વિભાગોના સામાન્ય સિદ્ધાંત મુજબ, DC એ પેરાબોલાના વ્યાસ છે (એટલે કે, તેની ધરીની સમાંતર એક સેગમેન્ટ); તે અને બિંદુ D પરનો સ્પર્શક સંકલન અક્ષ x અને y તરીકે સેવા આપી શકે છે, જેમાં પેરાબોલાના સમીકરણને y 2 = 2px તરીકે લખવામાં આવે છે (x એ D થી આપેલ વ્યાસના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર છે, y એ લંબાઈ છે વ્યાસના આ બિંદુથી પેરાબોલાના જ અમુક બિંદુ સુધી આપેલ સ્પર્શકને સમાંતર એક સેગમેન્ટ).
પેરાબોલા સમીકરણના આધારે, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, અને ત્યારથી DK = 2DL, તો KA = 4LH. કારણ કે KA = 2LG, LH = HG. પેરાબોલાના સેગમેન્ટ ADBનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔADB ના ક્ષેત્રફળ અને AHD અને DRB ના સંયુક્ત ક્ષેત્રોના ક્ષેત્ર જેટલું છે. બદલામાં, એએચડી સેગમેન્ટનો વિસ્તાર એ જ રીતે ત્રિકોણ એએચડી અને બાકીના સેગમેન્ટ્સ એએચ અને એચડીના વિસ્તાર જેટલો છે, જેમાંના દરેક સાથે તમે સમાન કામગીરી કરી શકો છો - ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરો (Δ) અને બે બાકી સેગમેન્ટ્સ (), વગેરે:
ત્રિકોણ ΔAHD નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔALD ના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે (તેમનો એક સામાન્ય આધાર AD છે, અને ઊંચાઈ 2 ગણો અલગ છે), જે બદલામાં, ΔALD ના અડધા ક્ષેત્રફળની બરાબર છે. ત્રિકોણ ΔAKD, અને તેથી ત્રિકોણ ΔACD નો અડધો વિસ્તાર. આમ, ત્રિકોણ ΔAHD નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔACD ના ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગ જેટલું છે. તેવી જ રીતે, ત્રિકોણ ΔDRB નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ΔDFB ના ક્ષેત્રફળના એક ક્વાર્ટર જેટલું છે. તેથી, ત્રિકોણ ΔAHD અને ΔDRB ના ક્ષેત્રો, એકસાથે લેવામાં આવે છે, ત્રિકોણ ΔADB ના ક્ષેત્રફળના એક ક્વાર્ટર જેટલા છે. જ્યારે AH, HD, DR અને RB સેગમેન્ટ્સ પર લાગુ થાય છે ત્યારે આ ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવાથી તેમાંથી ત્રિકોણ પસંદ કરવામાં આવશે, જેનું ક્ષેત્રફળ, એકસાથે લેવામાં આવશે, તે ત્રિકોણ ΔAHD અને ΔDRB ના ક્ષેત્રફળ કરતાં 4 ગણું ઓછું હશે, અને તેથી ત્રિકોણ ΔADB ના ક્ષેત્રફળ કરતા 16 ગણું ઓછું. અને તેથી વધુ:
આમ, આર્કિમિડીસે સાબિત કર્યું કે "સીધી રેખા અને પેરાબોલાની વચ્ચે સમાયેલ દરેક સેગમેન્ટ સમાન આધાર અને સમાન ઊંચાઈ ધરાવતા ત્રિકોણના ચાર તૃતીયાંશ ભાગ ધરાવે છે."
ભૌમિતિક પ્રગતિઅંકગણિતની તુલનામાં ગણિતમાં ઓછું મહત્વનું નથી. ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંખ્યાઓ b1, b2,..., b[n] નો ક્રમ છે, જેમાંથી દરેક આગામી પદ અચલ સંખ્યા દ્વારા અગાઉના એકને ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ સંખ્યા, જે વૃદ્ધિના દર અથવા પ્રગતિના ઘટાડાને પણ દર્શાવે છે, તેને કહેવામાં આવે છે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદઅને સૂચવો
ભૌમિતિક પ્રગતિને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ કરવા માટે, છેદ ઉપરાંત, તેની પ્રથમ અવધિ જાણવી અથવા નક્કી કરવી જરૂરી છે. છેદના હકારાત્મક મૂલ્ય માટે, પ્રગતિ એ એકવિધ ક્રમ છે, અને જો સંખ્યાઓનો આ ક્રમ એકવિધ રીતે ઘટતો હોય અને જો તે એકવિધ રીતે વધી રહ્યો હોય. જ્યારે છેદ એક સમાન હોય ત્યારે વ્યવહારમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી, કારણ કે આપણી પાસે સમાન સંખ્યાઓનો ક્રમ છે, અને તેમનો સરવાળો કોઈ વ્યવહારિક રસ નથી.
ભૌમિતિક પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દસૂત્ર દ્વારા ગણતરી
ભૌમિતિક પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળોસૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
ચાલો ક્લાસિક ભૌમિતિક પ્રગતિ સમસ્યાઓના ઉકેલો જોઈએ. ચાલો સમજવા માટે સૌથી સરળ મુદ્દાઓ સાથે શરૂ કરીએ.
ઉદાહરણ 1. ભૌમિતિક પ્રગતિનું પ્રથમ પદ 27 છે, અને તેનો છેદ 1/3 છે. ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ છ પદો શોધો.
ઉકેલ: ચાલો ફોર્મમાં સમસ્યાની સ્થિતિ લખીએ
ગણતરીઓ માટે આપણે ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ
તેના આધારે, અમે પ્રગતિની અજાણી શરતો શોધીએ છીએ
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી. પ્રગતિ પોતે આના જેવી દેખાશે
ઉદાહરણ 2. ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ શબ્દો આપવામાં આવ્યા છે: 6; -12; 24. છેદ અને તેનો સાતમો પદ શોધો.
ઉકેલ: અમે તેની વ્યાખ્યાના આધારે ભૌમિતિક પ્રગતિના છેદની ગણતરી કરીએ છીએ
અમે વૈકલ્પિક ભૌમિતિક પ્રગતિ મેળવી છે જેનો છેદ -2 બરાબર છે. સાતમા પદની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે
આ સમસ્યા હલ કરે છે.
ઉદાહરણ 3. ભૌમિતિક પ્રગતિ તેના બે શબ્દો દ્વારા આપવામાં આવે છે 
. પ્રગતિની દસમી મુદત શોધો.
ઉકેલ:
ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપેલ મૂલ્યો લખીએ
નિયમો અનુસાર, અમારે છેદ શોધવાની અને પછી ઇચ્છિત મૂલ્ય શોધવાની જરૂર પડશે, પરંતુ દસમા પદ માટે અમારી પાસે છે
ઇનપુટ ડેટા સાથે સરળ મેનિપ્યુલેશન્સના આધારે સમાન ફોર્મ્યુલા મેળવી શકાય છે. શ્રેણીની છઠ્ઠી મુદતને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરો, અને પરિણામે આપણને મળે છે
જો પરિણામી મૂલ્યને છઠ્ઠા પદ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો આપણને દસમો મળે છે
આમ, આવી સમસ્યાઓ માટે, ઝડપી રીતે સરળ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, તમે યોગ્ય ઉકેલ શોધી શકો છો.
ઉદાહરણ 4. ભૌમિતિક પ્રગતિ આવર્તક સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે
ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ અને પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:
ચાલો આપેલ ડેટાને સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં લખીએ
બીજા સમીકરણને પ્રથમ વડે ભાગીને છેદને વ્યક્ત કરો
ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ શોધીએ
ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો શોધવા માટે નીચેના પાંચ શબ્દોની ગણતરી કરીએ
સૂચનાઓ
10, 30, 90, 270...
તમારે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ શોધવાની જરૂર છે.
ઉકેલ:
વિકલ્પ 1. ચાલો પ્રગતિનો મનસ્વી શબ્દ લઈએ (ઉદાહરણ તરીકે, 90) અને તેને અગાઉના (30) વડે વિભાજીત કરીએ: 90/30=3.
જો ભૌમિતિક પ્રગતિના અનેક પદોનો સરવાળો અથવા ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના તમામ પદોનો સરવાળો જાણીતો હોય, તો પછી પ્રગતિના છેદ શોધવા માટે, યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), જ્યાં Sn એ ભૌમિતિક પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો છે અને
S = b1/(1-q), જ્યાં S એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો છે (એક કરતા ઓછા છેદ સાથે પ્રગતિની તમામ શરતોનો સરવાળો).
ઉદાહરણ.
ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ એક સમાન છે, અને તેના તમામ પદોનો સરવાળો બે સમાન છે.
આ પ્રગતિનો છેદ નક્કી કરવો જરૂરી છે.
ઉકેલ:
સમસ્યામાંથી ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલો. તે બહાર આવશે:
2=1/(1-q), ક્યાંથી – q=1/2.
પ્રગતિ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે. ભૌમિતિક પ્રગતિમાં, દરેક અનુગામી પદ અગાઉના એકને ચોક્કસ સંખ્યા q વડે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે, જેને પ્રગતિનો છેદ કહેવાય છે.
સૂચનાઓ
જો બે સંલગ્ન ભૌમિતિક પદો b(n+1) અને b(n) જાણીતા છે, તો છેદ મેળવવા માટે, તમારે મોટી સંખ્યા સાથે તેની આગળની સંખ્યાને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે: q=b(n+1)/b (n). આ પ્રગતિની વ્યાખ્યા અને તેના છેદ પરથી અનુસરે છે. એક મહત્વપૂર્ણ શરત એ છે કે પ્રથમ પદ અને પ્રગતિનો છેદ શૂન્ય સમાન નથી, અન્યથા તે અનિશ્ચિત માનવામાં આવે છે.
આમ, પ્રગતિની શરતો વચ્ચે નીચેના સંબંધો સ્થાપિત થાય છે: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. સૂત્ર b(n)=b1 q^(n-1) નો ઉપયોગ કરીને, ભૌમિતિક પ્રગતિના કોઈપણ પદ કે જેમાં છેદ q અને શબ્દ b1 જાણીતા છે તેની ગણતરી કરી શકાય છે. ઉપરાંત, દરેક પ્રગતિ મોડ્યુલસમાં તેના પડોશી સભ્યોની સરેરાશની સમાન છે: |b(n)|=√, જ્યાંથી પ્રગતિ તેની પ્રાપ્ત થઈ છે.
ભૌમિતિક પ્રગતિનું એનાલોગ એ સૌથી સરળ ઘાતાંકીય કાર્ય y=a^x છે, જ્યાં x એ ઘાતાંક છે, a એ ચોક્કસ સંખ્યા છે. આ કિસ્સામાં, પ્રગતિનો છેદ પ્રથમ પદ સાથે એકરુપ છે અને તે સંખ્યા a ની બરાબર છે. જો દલીલ x ને કુદરતી સંખ્યા n (કાઉન્ટર) તરીકે લેવામાં આવે તો કાર્ય y નું મૂલ્ય પ્રગતિના nમા પદ તરીકે સમજી શકાય છે.
પ્રવેશ સ્તર
ભૌમિતિક પ્રગતિ. ઉદાહરણો સાથે વ્યાપક માર્ગદર્શિકા (2019)
સંખ્યા ક્રમ
તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:
સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:
અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો nમો સભ્ય કહેવામાં આવે છે.
અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .
અમારા કિસ્સામાં:
પ્રગતિના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો અંકગણિત અને ભૌમિતિક છે. આ વિષયમાં આપણે બીજા પ્રકાર વિશે વાત કરીશું - ભૌમિતિક પ્રગતિ.
ભૌમિતિક પ્રગતિ અને તેનો ઇતિહાસ શા માટે જરૂરી છે?
પ્રાચીન સમયમાં પણ, પીસાના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી સાધુ લિયોનાર્ડો (ફિબોનાકી તરીકે વધુ સારી રીતે ઓળખાય છે) વેપારની વ્યવહારિક જરૂરિયાતો સાથે વ્યવહાર કરતા હતા. સાધુને તે નિર્ધારિત કરવાના કાર્યનો સામનો કરવો પડ્યો હતો કે ઉત્પાદનનું વજન કરવા માટે સૌથી ઓછી સંખ્યામાં વજન શું છે? તેમના કાર્યોમાં, ફિબોનાકી સાબિત કરે છે કે વજનની આવી સિસ્ટમ શ્રેષ્ઠ છે: આ તે પ્રથમ પરિસ્થિતિઓમાંની એક છે જેમાં લોકોએ ભૌમિતિક પ્રગતિનો સામનો કરવો પડ્યો હતો, જેના વિશે તમે કદાચ પહેલાથી જ સાંભળ્યું હશે અને ઓછામાં ઓછી સામાન્ય સમજ છે. એકવાર તમે વિષયને સંપૂર્ણપણે સમજી લો, પછી વિચારો કે આવી સિસ્ટમ શા માટે શ્રેષ્ઠ છે?
હાલમાં, જીવન વ્યવહારમાં, બેંકમાં નાણાંનું રોકાણ કરતી વખતે ભૌમિતિક પ્રગતિ પોતાને પ્રગટ કરે છે, જ્યારે અગાઉના સમયગાળા માટે ખાતામાં સંચિત રકમ પર વ્યાજની રકમ ઉપાર્જિત થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તમે બચત બેંકમાં ટાઈમ ડિપોઝીટ પર પૈસા મુકો છો, તો એક વર્ષ પછી ડિપોઝિટ મૂળ રકમથી વધી જશે, એટલે કે. નવી રકમ યોગદાનના ગુણાકારની બરાબર હશે. બીજા વર્ષમાં, આ રકમ વધશે, એટલે કે. તે સમયે મેળવેલ રકમનો ફરીથી ગુણાકાર કરવામાં આવશે અને તેથી વધુ. કહેવાતી ગણતરીની સમસ્યાઓમાં સમાન પરિસ્થિતિનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ- અગાઉના વ્યાજને ધ્યાનમાં લઈને ખાતામાં રહેલી રકમમાંથી દર વખતે ટકાવારી લેવામાં આવે છે. અમે આ કાર્યો વિશે થોડી વાર પછી વાત કરીશું.
ત્યાં ઘણા વધુ સરળ કિસ્સાઓ છે જ્યાં ભૌમિતિક પ્રગતિ લાગુ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઈન્ફલ્યુએન્ઝાનો ફેલાવો: એક વ્યક્તિએ બીજી વ્યક્તિને ચેપ લગાડ્યો, તેણે બદલામાં, બીજી વ્યક્તિને ચેપ લગાડ્યો, અને આમ ચેપની બીજી તરંગ એક વ્યક્તિ છે, અને તેઓ, બદલામાં, બીજાને ચેપ લગાવે છે... અને તેથી વધુ. .
માર્ગ દ્વારા, નાણાકીય પિરામિડ, સમાન MMM, ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મો પર આધારિત એક સરળ અને શુષ્ક ગણતરી છે. રસપ્રદ? ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.
ભૌમિતિક પ્રગતિ.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સંખ્યા ક્રમ છે:
તમે તરત જ જવાબ આપશો કે આ સરળ છે અને આવા ક્રમનું નામ તેની શરતોના તફાવત સાથે એક અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ વિશે કેવી રીતે:
જો તમે અનુગામી સંખ્યામાંથી પાછલી સંખ્યાને બાદ કરો છો, તો તમે જોશો કે જ્યારે પણ તમને નવો તફાવત મળશે (અને તેથી વધુ), પરંતુ ક્રમ ચોક્કસપણે અસ્તિત્વમાં છે અને તે નોંધવામાં સરળ છે - દરેક અનુગામી સંખ્યા પાછલી સંખ્યા કરતા ઘણી મોટી છે!
આ પ્રકારની સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે ભૌમિતિક પ્રગતિઅને નિયુક્ત થયેલ છે.
ભૌમિતિક પ્રગતિ () એ એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્યથી અલગ છે, અને દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને, અગાઉના એક સમાન છે. આ સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે.
પ્રતિબંધો કે જે પ્રથમ શબ્દ ( ) સમાન નથી અને રેન્ડમ નથી. ચાલો ધારીએ કે તેઓ ત્યાં નથી, અને પ્રથમ પદ હજી પણ સમાન છે, અને q બરાબર છે, હમ્મ.. તે રહેવા દો, પછી તે તારણ આપે છે:
સંમત થાઓ કે આ હવે પ્રગતિ નથી.
જેમ તમે સમજો છો તેમ, જો શૂન્ય સિવાય બીજી કોઈ સંખ્યા હશે તો અમને સમાન પરિણામો મળશે, a. આ કિસ્સાઓમાં, ત્યાં કોઈ પ્રગતિ થશે નહીં, કારણ કે સમગ્ર સંખ્યા શ્રેણી કાં તો તમામ શૂન્ય અથવા એક સંખ્યા હશે, અને બાકીની બધી શૂન્ય હશે.
હવે ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના છેદ વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરીએ, એટલે કે, ઓ.
ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ: - આ સંખ્યા છે દરેક અનુગામી શબ્દ કેટલી વખત બદલાય છે?ભૌમિતિક પ્રગતિ.
તમને શું લાગે છે કે તે શું હોઈ શકે? તે સાચું છે, સકારાત્મક અને નકારાત્મક, પરંતુ શૂન્ય નથી (અમે આ વિશે થોડું વધારે વાત કરી છે).
ચાલો માની લઈએ કે આપણું સકારાત્મક છે. ચાલો આપણા કિસ્સામાં, એ. બીજા પદની કિંમત શું છે અને? તમે સરળતાથી જવાબ આપી શકો છો:
તે સાચું છે. તદનુસાર, જો, પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે - તેઓ હકારાત્મક છે.
જો તે નકારાત્મક હોય તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, એ. બીજા પદની કિંમત શું છે અને?
આ એક સંપૂર્ણપણે અલગ વાર્તા છે
આ પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો. તમને કેટલું મળ્યું? મારી પાસે છે. આમ, જો, પછી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના ચિહ્નો વૈકલ્પિક. એટલે કે, જો તમે તેના સભ્યો માટે વૈકલ્પિક ચિહ્નો સાથે પ્રગતિ જોશો, તો તેનો છેદ નકારાત્મક છે. આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ જ્ઞાન તમને તમારી જાતને ચકાસવામાં મદદ કરી શકે છે.
હવે ચાલો થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ: કઈ સંખ્યા ક્રમ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે અને કઈ અંકગણિત પ્રગતિ છે તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:
સમજાયું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
- ભૌમિતિક પ્રગતિ - 3, 6.
- અંકગણિત પ્રગતિ - 2, 4.
- તે ન તો અંકગણિત છે કે ન તો ભૌમિતિક પ્રગતિ છે - 1, 5, 7.
ચાલો આપણી છેલ્લી પ્રગતિ પર પાછા જઈએ અને અંકગણિતની જેમ તેના સભ્યને શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું હશે, તેને શોધવાની બે રીત છે.
અમે ક્રમિક રીતે દરેક પદને વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
તેથી, વર્ણવેલ ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.
તમે પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે તેમ, હવે તમે જાતે જ એક સૂત્ર મેળવશો જે તમને ભૌમિતિક પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યને શોધવામાં મદદ કરશે. અથવા શું તમે તેને તમારા માટે પહેલેથી જ વિકસાવી લીધું છે, તે વર્ણવતા કે કેવી રીતે પગલું-દર-પગલાં માં સભ્ય શોધવો? જો એમ હોય, તો પછી તમારા તર્કની સાચીતા તપાસો.
ચાલો આ પ્રગતિની મી મુદત શોધવાના ઉદાહરણ સાથે આને સમજાવીએ:
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:
આપેલ ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દનું મૂલ્ય જાતે શોધો.
તે કામ કર્યું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે ભૌમિતિક પ્રગતિના દરેક પાછલા પદને ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીએ છીએ ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની બરાબર સમાન સંખ્યા મળી છે.
ચાલો આ સૂત્રને "વ્યક્તિગત" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ - ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકીએ અને મેળવીએ:
વ્યુત્પન્ન સૂત્ર તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે - બંને હકારાત્મક અને નકારાત્મક. નીચેની શરતો સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરીને આ જાતે તપાસો: , a.
શું તમે ગણતરી કરી? ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:
સંમત થાઓ કે એક પદની જેમ જ પ્રગતિની મુદત શોધવાનું શક્ય બનશે, જો કે, ખોટી રીતે ગણતરી કરવાની સંભાવના છે. અને જો આપણે પહેલાથી જ ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધી લીધો હોય, તો પછી સૂત્રના "કાપેલા" ભાગનો ઉપયોગ કરતાં વધુ સરળ શું હોઈ શકે.
ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો.
તાજેતરમાં, અમે એ હકીકત વિશે વાત કરી છે કે તે શૂન્ય કરતા વધારે અથવા ઓછું હોઈ શકે છે, જો કે, ત્યાં વિશેષ મૂલ્યો છે જેના માટે ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે. અનંત રીતે ઘટી રહ્યું છે.
તમને લાગે છે કે આ નામ શા માટે આપવામાં આવ્યું છે?
પ્રથમ, ચાલો અમુક ભૌમિતિક પ્રગતિ લખીએ જેમાં શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે.
ચાલો કહીએ, તો પછી:
આપણે જોઈએ છીએ કે દરેક અનુગામી પદ પરિબળ દ્વારા અગાઉના એક કરતા ઓછું છે, પરંતુ શું ત્યાં કોઈ સંખ્યા હશે? તમે તરત જ જવાબ આપશો - "ના". તેથી જ તે અનંતપણે ઘટી રહ્યું છે - તે ઘટે છે અને ઘટે છે, પરંતુ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી.
આ દૃષ્ટિની રીતે કેવી દેખાય છે તે સ્પષ્ટ રીતે સમજવા માટે, ચાલો આપણી પ્રગતિનો ગ્રાફ દોરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તેથી, અમારા કેસ માટે, સૂત્ર નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:
આલેખ પર આપણે નિર્ભરતાનું કાવતરું ઘડવા ટેવાયેલા છીએ, તેથી:
અભિવ્યક્તિનો સાર બદલાયો નથી: પ્રથમ એન્ટ્રીમાં અમે ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યના મૂલ્યની તેની ક્રમાંકિત સંખ્યા પર નિર્ભરતા દર્શાવી છે, અને બીજી એન્ટ્રીમાં અમે ફક્ત ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય લીધું છે. , અને ઓર્ડિનલ નંબર તરીકે નહીં, પરંતુ તરીકે નિયુક્ત. જે કરવાનું બાકી છે તે ગ્રાફ બનાવવાનું છે.
ચાલો જોઈએ કે તમને શું મળ્યું. હું જે ગ્રાફ લઈને આવ્યો છું તે અહીં છે:
તમે જુઓ છો? કાર્ય ઘટે છે, શૂન્ય તરફ વળે છે, પરંતુ તેને ક્યારેય પાર કરતું નથી, તેથી તે અનંતપણે ઘટતું જાય છે. ચાલો ગ્રાફ પર અમારા બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ, અને તે જ સમયે સંકલન અને અર્થ શું છે:
ભૌમિતિક પ્રગતિના ગ્રાફને યોજનાકીય રીતે દર્શાવવાનો પ્રયાસ કરો જો તેની પ્રથમ અવધિ પણ સમાન હોય. અમારા પાછલા ગ્રાફ સાથે શું તફાવત છે તેનું વિશ્લેષણ કરો?
શું તમે મેનેજ કર્યું? હું જે ગ્રાફ લઈને આવ્યો છું તે અહીં છે:
હવે જ્યારે તમે ભૌમિતિક પ્રગતિના વિષયની મૂળભૂત બાબતોને સંપૂર્ણપણે સમજી ગયા છો: તમે જાણો છો કે તે શું છે, તમે જાણો છો કે તેનો શબ્દ કેવી રીતે શોધવો, અને તમે એ પણ જાણો છો કે અનંતપણે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ શું છે, ચાલો તેના મુખ્ય ગુણધર્મ તરફ આગળ વધીએ.
ભૌમિતિક પ્રગતિની મિલકત.
શું તમને અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોની મિલકત યાદ છે? હા, હા, જ્યારે આ પ્રગતિની શરતોના અગાઉના અને અનુગામી મૂલ્યો હોય ત્યારે પ્રગતિની ચોક્કસ સંખ્યાનું મૂલ્ય કેવી રીતે શોધવું. શું તમને યાદ છે? તે અહીં છે:
હવે આપણને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતો માટે બરાબર એ જ પ્રશ્નનો સામનો કરવો પડી રહ્યો છે. આવા સૂત્ર મેળવવા માટે, ચાલો ચિત્રકામ અને તર્ક શરૂ કરીએ. તમે જોશો, તે ખૂબ જ સરળ છે, અને જો તમે ભૂલી જાઓ છો, તો તમે તેને જાતે જ બહાર કાઢી શકો છો.
ચાલો બીજી સરળ ભૌમિતિક પ્રગતિ લઈએ, જેમાં આપણે જાણીએ છીએ અને. કેવી રીતે શોધવું? અંકગણિત પ્રગતિ સાથે તે સરળ અને સરળ છે, પરંતુ અહીં શું છે? વાસ્તવમાં, ભૌમિતિકમાં કંઈ જટિલ નથી - તમારે ફક્ત સૂત્ર અનુસાર અમને આપવામાં આવેલ દરેક મૂલ્ય લખવાની જરૂર છે.
તમે પૂછી શકો છો કે હવે આપણે શું કરવું જોઈએ? હા, ખૂબ જ સરળ. પ્રથમ, ચાલો આ સૂત્રોને ચિત્રમાં દર્શાવીએ અને મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરવા માટે તેમની સાથે વિવિધ મેનિપ્યુલેશન્સ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.
ચાલો આપણને આપેલી સંખ્યાઓમાંથી અમૂર્ત કરીએ, ચાલો સૂત્ર દ્વારા ફક્ત તેમની અભિવ્યક્તિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ. અમારે નારંગીમાં હાઇલાઇટ કરેલ મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે, તેની બાજુના શબ્દો જાણીને. ચાલો તેમની સાથે વિવિધ ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, જેના પરિણામે આપણે મેળવી શકીએ.
ઉમેરણ.
ચાલો બે અભિવ્યક્તિઓ ઉમેરવાનો પ્રયાસ કરીએ અને આપણને મળે છે:
આ અભિવ્યક્તિમાંથી, જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમે તેને કોઈપણ રીતે વ્યક્ત કરી શકતા નથી, તેથી, અમે બીજો વિકલ્પ અજમાવીશું - બાદબાકી.
બાદબાકી.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આપણે આ પણ વ્યક્ત કરી શકતા નથી, તેથી, ચાલો આ અભિવ્યક્તિઓને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.
ગુણાકાર.
હવે જે શોધવાની જરૂર છે તેની તુલનામાં અમને આપવામાં આવેલી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો ગુણાકાર કરીને અમારી પાસે શું છે તે કાળજીપૂર્વક જુઓ:
ધારો કે હું શું વાત કરી રહ્યો છું? યોગ્ય રીતે, શોધવા માટે આપણે ઇચ્છિત સંખ્યાને અડીને ભૌમિતિક પ્રગતિ સંખ્યાઓના વર્ગમૂળને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:
અહીં તમે જાઓ. તમે જાતે જ ભૌમિતિક પ્રગતિની મિલકત મેળવી છે. આ સૂત્રને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખવાનો પ્રયાસ કરો. તે કામ કર્યું?
માટે શરત ભૂલી ગયા છો? તે શા માટે મહત્વપૂર્ણ છે તે વિશે વિચારો, ઉદાહરણ તરીકે, તેની જાતે ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો. આ કિસ્સામાં શું થશે? તે સાચું છે, સંપૂર્ણ નોનસેન્સ કારણ કે સૂત્ર આના જેવું લાગે છે:
તદનુસાર, આ મર્યાદાને ભૂલશો નહીં.
હવે ચાલો ગણતરી કરીએ કે તે શું બરાબર છે
સાચો જવાબ છે! જો તમે ગણતરી દરમિયાન બીજા સંભવિત મૂલ્યને ભૂલી ન ગયા હો, તો પછી તમે મહાન છો અને તરત જ તાલીમ તરફ આગળ વધી શકો છો, અને જો તમે ભૂલી ગયા હો, તો નીચે શું ચર્ચા કરવામાં આવી છે તે વાંચો અને શા માટે બંને મૂળને નીચે લખવાની જરૂર છે તેના પર ધ્યાન આપો. જવાબ
ચાલો આપણી બંને ભૌમિતિક પ્રગતિઓ દોરીએ - એક મૂલ્ય સાથે અને બીજું મૂલ્ય સાથે અને તપાસો કે શું તે બંનેને અસ્તિત્વમાં રહેવાનો અધિકાર છે:
આવી ભૌમિતિક પ્રગતિ અસ્તિત્વમાં છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, તે જોવાની જરૂર છે કે તેની આપેલ બધી શરતો સમાન છે કે કેમ? પ્રથમ અને બીજા કેસ માટે q ની ગણતરી કરો.
જુઓ આપણે બે જવાબો કેમ લખવા પડે છે? કારણ કે તમે જે શબ્દની નિશાની શોધી રહ્યા છો તેના પર આધાર રાખે છે કે તે હકારાત્મક છે કે નકારાત્મક! અને કારણ કે આપણે જાણતા નથી કે તે શું છે, આપણે બંને જવાબો વત્તા અને ઓછા સાથે લખવાની જરૂર છે.
હવે જ્યારે તમે મુખ્ય મુદ્દાઓમાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે અને ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મ માટેનું સૂત્ર મેળવ્યું છે, શોધો, જાણવું અને
તમારા જવાબોને સાચા જવાબો સાથે સરખાવો:
તમને શું લાગે છે, જો અમને ઇચ્છિત સંખ્યાને અડીને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના મૂલ્યો ન આપવામાં આવે, પરંતુ તેનાથી સમાન અંતર આપવામાં આવે તો શું થશે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે શોધવાની જરૂર છે, અને આપવામાં આવે છે અને. શું આપણે આ કિસ્સામાં મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ? દરેક મૂલ્યમાં શું સમાયેલું છે તેનું વર્ણન કરીને, તે જ રીતે આ શક્યતાની પુષ્ટિ કરવાનો અથવા રદિયો આપવાનો પ્રયાસ કરો, જેમ તમે મૂળ રૂપે સૂત્ર મેળવ્યું ત્યારે કર્યું હતું.
તમને શું મળ્યું?
હવે ફરી ધ્યાનથી જુઓ.
અને, તે મુજબ:
આના પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે સૂત્ર કામ કરે છે માત્ર પડોશી સાથે જ નહીંભૌમિતિક પ્રગતિની ઇચ્છિત શરતો સાથે, પણ સાથે સમાન અંતરસભ્યો શું શોધી રહ્યા છે તેમાંથી.
આમ, આપણું પ્રારંભિક સૂત્ર ફોર્મ લે છે:
એટલે કે, જો પ્રથમ કિસ્સામાં આપણે કહ્યું કે, હવે આપણે કહીએ છીએ કે તે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા જે નાની હોય તેની બરાબર હોઈ શકે છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તે આપેલ બંને નંબરો માટે સમાન છે.
ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે પ્રેક્ટિસ કરો, ફક્ત અત્યંત સાવચેત રહો!
- , . શોધો.
- , . શોધો.
- , . શોધો.
નક્કી કર્યું? હું આશા રાખું છું કે તમે અત્યંત સચેત હતા અને એક નાનો કેચ નોંધ્યો હતો.
ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ.
પ્રથમ બે કિસ્સાઓમાં, અમે શાંતિથી ઉપરોક્ત સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ અને નીચેના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:
ત્રીજા કિસ્સામાં, અમને આપવામાં આવેલા નંબરોના સીરીયલ નંબરોની કાળજીપૂર્વક તપાસ કર્યા પછી, અમે સમજીએ છીએ કે તે અમે જે નંબર શોધી રહ્યા છીએ તેનાથી સમાન અંતર નથી: તે પહેલાની સંખ્યા છે, પરંતુ સ્થાન પર દૂર કરવામાં આવી છે, તેથી તે છે સૂત્ર લાગુ કરવું શક્ય નથી.
તેને કેવી રીતે ઉકેલવું? તે વાસ્તવમાં એટલું મુશ્કેલ નથી જેટલું લાગે છે! ચાલો લખીએ કે અમને દરેક નંબર શું આપવામાં આવ્યો છે અને અમે જે નંબર શોધી રહ્યા છીએ તેનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી અમારી પાસે છે અને. ચાલો જોઈએ કે આપણે તેમની સાથે શું કરી શકીએ? હું દ્વારા વિભાજીત કરવાનું સૂચન કરું છું. અમને મળે છે:
અમે અમારા ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ:
આગળનું પગલું આપણે શોધી શકીએ છીએ - આ માટે આપણે પરિણામી સંખ્યાનું ઘનમૂળ લેવાની જરૂર છે.
હવે આપણી પાસે શું છે તે ફરી જોઈએ. અમારી પાસે તે છે, પરંતુ આપણે તેને શોધવાની જરૂર છે, અને તે, બદલામાં, સમાન છે:
અમને ગણતરી માટે જરૂરી તમામ ડેટા મળ્યો. સૂત્રમાં અવેજી કરો:
અમારો જવાબ: .
બીજી સમાન સમસ્યા જાતે ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરો:
આપેલ: ,
શોધો:
તમને કેટલું મળ્યું? મારી પાસે - .
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવશ્યકપણે તમને જરૂર છે માત્ર એક સૂત્ર યાદ રાખો- તમે કોઈપણ સમયે કોઈપણ મુશ્કેલી વિના બાકીનું બધું જાતે પાછી ખેંચી શકો છો. આ કરવા માટે, કાગળના ટુકડા પર ફક્ત સરળ ભૌમિતિક પ્રગતિ લખો અને ઉપર વર્ણવેલ સૂત્ર અનુસાર, તેની દરેક સંખ્યા કેટલી સમાન છે તે લખો.
ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો.
હવે ચાલો એવા સૂત્રો જોઈએ જે આપણને આપેલ અંતરાલમાં ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળાની ઝડપથી ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે:
મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટે સૂત્ર મેળવવા માટે, આપણે ઉપરોક્ત સમીકરણના તમામ ભાગોને વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમને મળે છે:
ધ્યાનથી જુઓ: છેલ્લા બે સૂત્રોમાં શું સામ્ય છે? તે સાચું છે, સામાન્ય સભ્યો, ઉદાહરણ તરીકે, અને તેથી વધુ, પ્રથમ અને છેલ્લા સભ્ય સિવાય. ચાલો 2જી સમીકરણમાંથી 1લી બાદબાકી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તમને શું મળ્યું?
હવે સૂત્ર દ્વારા ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દને વ્યક્ત કરો અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને અમારા છેલ્લા સૂત્રમાં બદલો:
અભિવ્યક્તિનું જૂથ બનાવો. તમારે મેળવવું જોઈએ:
જે કરવાનું બાકી છે તે વ્યક્ત કરવાનું છે:
તદનુસાર, આ કિસ્સામાં.
જો? પછી કયું સૂત્ર કામ કરે છે? ખાતે ભૌમિતિક પ્રગતિની કલ્પના કરો. તેણી કેવી છે? સમાન સંખ્યાઓની શ્રેણી સાચી છે, તેથી સૂત્ર આના જેવો દેખાશે:
અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ બંને વિશે ઘણી દંતકથાઓ છે. તેમાંથી એક ચેસના સર્જક સેટની દંતકથા છે.
ઘણા લોકો જાણે છે કે ચેસની રમતની શોધ ભારતમાં થઈ હતી. જ્યારે હિંદુ રાજા તેણીને મળ્યો, ત્યારે તે તેણીની બુદ્ધિ અને તેનામાં શક્ય વિવિધ હોદ્દાઓથી ખુશ હતો. તેની શોધ તેના એક વિષય દ્વારા કરવામાં આવી હોવાનું જાણ્યા પછી, રાજાએ તેને વ્યક્તિગત રીતે પુરસ્કાર આપવાનું નક્કી કર્યું. તેણે શોધકને પોતાની પાસે બોલાવ્યો અને તેને સૌથી કુશળ ઇચ્છા પૂરી કરવાનું વચન આપીને તેને જે જોઈએ તે બધું પૂછવા આદેશ આપ્યો.
સેતાએ વિચારવા માટે સમય માંગ્યો, અને બીજા દિવસે જ્યારે સેતા રાજા સમક્ષ હાજર થયો, ત્યારે તેણે તેની વિનંતીની અભૂતપૂર્વ નમ્રતાથી રાજાને આશ્ચર્યચકિત કર્યું. તેણે ચેસબોર્ડના પહેલા ચોરસ માટે ઘઉંનો દાણો, બીજા માટે ઘઉંનો દાણો, ત્રીજા માટે ઘઉંનો દાણો, ચોથા ભાગ માટે, વગેરે આપવાનું કહ્યું.
રાજા ગુસ્સે થયો અને શેઠને ભગાડી ગયો, એમ કહીને કે નોકરની વિનંતી રાજાની ઉદારતા માટે અયોગ્ય છે, પરંતુ વચન આપ્યું કે નોકર બોર્ડના તમામ ચોરસ માટે તેનું અનાજ મેળવશે.
અને હવે પ્રશ્ન: ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, ગણતરી કરો કે શેઠને કેટલા અનાજ મળવા જોઈએ?
ચાલો તર્ક શરૂ કરીએ. કારણ કે, શરત મુજબ, શેઠે ચેસબોર્ડના પહેલા ચોરસ માટે ઘઉંનો દાણો, બીજા માટે, ત્રીજા માટે, ચોથા માટે, વગેરે માટે પૂછ્યું, તો પછી આપણે જોઈએ છીએ કે સમસ્યા ભૌમિતિક પ્રગતિની છે. આ કિસ્સામાં તે શું સમાન છે?
અધિકાર.
ચેસબોર્ડના કુલ ચોરસ. અનુક્રમે, . અમારી પાસે બધો ડેટા છે, જે બાકી છે તે તેને ફોર્મ્યુલામાં પ્લગ કરવાનું અને ગણતરી કરવાનું છે.
આપેલ સંખ્યાના ઓછામાં ઓછા આશરે "સ્કેલ" ની કલ્પના કરવા માટે, અમે ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને પરિવર્તન કરીએ છીએ:
અલબત્ત, જો તમે ઇચ્છો તો, તમે એક કેલ્ક્યુલેટર લઈ શકો છો અને ગણતરી કરી શકો છો કે તમે કયા નંબર સાથે સમાપ્ત કરો છો, અને જો નહીં, તો તમારે તેના માટે મારો શબ્દ લેવો પડશે: અભિવ્યક્તિનું અંતિમ મૂલ્ય હશે.
તે છે:
ક્વિન્ટિલિયન ક્વાડ્રિલિયન ટ્રિલિયન બિલિયન મિલિયન હજાર.
ફ્યુ) જો તમે આ સંખ્યાની વિશાળતાની કલ્પના કરવા માંગતા હો, તો અંદાજ કાઢો કે અનાજનો સંપૂર્ણ જથ્થો સમાવવા માટે કેટલા મોટા કોઠારની જરૂર પડશે.
જો કોઠાર મીટર ઊંચો અને મીટર પહોળો હોય, તો તેની લંબાઈ કિમી સુધી લંબાવવી પડશે, એટલે કે. પૃથ્વીથી સૂર્ય સુધી બમણું દૂર.
જો રાજા ગણિતમાં મજબૂત હોત, તો તે પોતે જ વૈજ્ઞાનિકને અનાજની ગણતરી કરવા માટે આમંત્રિત કરી શક્યો હોત, કારણ કે એક મિલિયન અનાજની ગણતરી કરવા માટે, તેને ઓછામાં ઓછા એક દિવસની અથાક ગણતરીની જરૂર પડશે, અને તે જોતાં ક્વિન્ટિલિયનની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. જીવનભર અનાજની ગણતરી કરવી પડશે.
હવે ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળાને સમાવતા એક સરળ સમસ્યાને હલ કરીએ.
વર્ગ 5A વાસ્યનો એક વિદ્યાર્થી ફ્લૂથી બીમાર પડ્યો, પરંતુ તે શાળાએ જવાનું ચાલુ રાખે છે. દરરોજ વાસ્યા બે લોકોને ચેપ લગાડે છે, જે બદલામાં, વધુ બે લોકોને ચેપ લગાડે છે, વગેરે. વર્ગમાં ફક્ત લોકો જ છે. આખો વર્ગ કેટલા દિવસોમાં ફલૂથી બીમાર થઈ જશે?
તેથી, ભૌમિતિક પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ વાસ્ય છે, એટલે કે, વ્યક્તિ. ભૌમિતિક પ્રગતિની મી મુદત એ બે લોકો છે જેમને તેણે તેના આગમનના પ્રથમ દિવસે ચેપ લગાવ્યો હતો. પ્રગતિની શરતોનો કુલ સરવાળો 5A વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા જેટલો છે. તદનુસાર, અમે એક પ્રગતિ વિશે વાત કરીએ છીએ જેમાં:
ચાલો આપણા ડેટાને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે સૂત્રમાં બદલીએ:
દિવસોમાં આખો વર્ગ બીમાર થઈ જશે. સૂત્રો અને સંખ્યાઓ માનતા નથી? વિદ્યાર્થીઓના "ચેપ" ને જાતે ચિત્રિત કરવાનો પ્રયાસ કરો. તે કામ કર્યું? જુઓ કે તે મારા માટે કેવી દેખાય છે:
જો દરેક વ્યક્તિએ એક વ્યક્તિને ચેપ લગાડ્યો હોય અને વર્ગમાં માત્ર એક જ વ્યક્તિ હોય તો વિદ્યાર્થીઓને ફલૂથી બીમાર થવામાં કેટલા દિવસો લાગશે તેની જાતે ગણતરી કરો.
તમને શું મૂલ્ય મળ્યું? તે બહાર આવ્યું કે દરેક જણ એક દિવસ પછી બીમાર થવાનું શરૂ કર્યું.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવા કાર્ય અને તેના માટેનું ચિત્ર પિરામિડ જેવું લાગે છે, જેમાં દરેક અનુગામી નવા લોકોને "લાવે છે". જો કે, વહેલા કે પછી એક ક્ષણ આવે છે જ્યારે બાદમાં કોઈને આકર્ષિત કરી શકતા નથી. અમારા કિસ્સામાં, જો આપણે કલ્પના કરીએ કે વર્ગ અલગ છે, તો વ્યક્તિ સાંકળ બંધ કરે છે (). આમ, જો કોઈ વ્યક્તિ નાણાકીય પિરામિડમાં સામેલ હોય જેમાં પૈસા આપવામાં આવ્યા હોય જો તમે અન્ય બે સહભાગીઓને લાવો છો, તો તે વ્યક્તિ (અથવા સામાન્ય રીતે) કોઈને લાવશે નહીં, તે મુજબ, તેણે આ નાણાકીય કૌભાંડમાં જે રોકાણ કર્યું છે તે બધું ગુમાવશે.
ઉપર જે કંઈપણ કહેવામાં આવ્યું હતું તે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ઘટાડો અથવા વધતો ઉલ્લેખ કરે છે, પરંતુ, જેમ તમને યાદ છે, અમારી પાસે એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે - એક અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ. તેના સભ્યોના સરવાળાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? અને આ પ્રકારની પ્રગતિમાં ચોક્કસ લક્ષણો શા માટે છે? ચાલો તેને સાથે મળીને આકૃતિ કરીએ.
તેથી, પ્રથમ, ચાલો અમારા ઉદાહરણમાંથી અસંખ્ય રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના આ ચિત્રને ફરીથી જોઈએ:
હવે ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રને જોઈએ, જે થોડા સમય પહેલા મેળવેલા છે:
અથવા
આપણે શેના માટે પ્રયત્નશીલ છીએ? તે સાચું છે, ગ્રાફ બતાવે છે કે તે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. એટલે કે, at, અનુક્રમે લગભગ સમાન હશે, જ્યારે અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ ત્યારે આપણને લગભગ મળશે. આ સંદર્ભમાં, અમે માનીએ છીએ કે અસંખ્ય રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળાની ગણતરી કરતી વખતે, આ કૌંસની અવગણના કરી શકાય છે, કારણ કે તે સમાન હશે.
- સૂત્ર એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો છે.
મહત્વપૂર્ણ!અમે અમર્યાદિત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ ત્યારે જ કરીએ છીએ જો સ્થિતિ સ્પષ્ટપણે જણાવે કે આપણે સરવાળો શોધવાની જરૂર છે અનંતસભ્યોની સંખ્યા.
જો કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા n ઉલ્લેખિત હોય, તો પછી આપણે n શબ્દોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, ભલે અથવા.
હવે પ્રેક્ટિસ કરીએ.
- અને સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ પદોનો સરવાળો શોધો.
- અને સાથે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો શોધો.
હું આશા રાખું છું કે તમે અત્યંત સાવચેત હતા. ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
હવે તમે ભૌમિતિક પ્રગતિ વિશે બધું જ જાણો છો, અને હવે સિદ્ધાંતથી પ્રેક્ટિસ તરફ જવાનો સમય છે. પરીક્ષામાં સૌથી સામાન્ય ભૌમિતિક પ્રગતિ સમસ્યાઓ એ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરવામાં આવતી સમસ્યાઓ છે. આ તે છે જેના વિશે આપણે વાત કરીશું.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરવામાં સમસ્યાઓ.
તમે કદાચ કહેવાતા સંયોજન વ્યાજ સૂત્ર વિશે સાંભળ્યું હશે. શું તમે તેનો અર્થ સમજો છો? જો નહીં, તો ચાલો તેને શોધી કાઢીએ, કારણ કે એકવાર તમે પ્રક્રિયા પોતે જ સમજી લો, તમે તરત જ સમજી શકશો કે તેની સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિનો શું સંબંધ છે.
આપણે બધા બેંકમાં જઈએ છીએ અને જાણીએ છીએ કે થાપણો માટે જુદી જુદી શરતો છે: આમાં મુદત, વધારાની સેવાઓ અને વ્યાજનો સમાવેશ થાય છે અને તેની ગણતરી કરવાની બે અલગ અલગ રીતો છે - સરળ અને જટિલ.
સાથે સરળ વ્યાજબધું વધુ કે ઓછું સ્પષ્ટ છે: ડિપોઝિટની મુદતના અંતે વ્યાજ એકવાર ઉપાર્જિત થાય છે. એટલે કે, જો આપણે કહીએ કે અમે એક વર્ષ માટે 100 રુબેલ્સ જમા કરીએ છીએ, તો તે વર્ષના અંતે જ જમા થશે. તદનુસાર, ડિપોઝિટના અંત સુધીમાં અમને રુબેલ્સ પ્રાપ્ત થશે.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ- આ એક વિકલ્પ છે જેમાં તે થાય છે વ્યાજ મૂડીકરણ, એટલે કે ડિપોઝિટની રકમમાં તેમનો ઉમેરો અને આવકની અનુગામી ગણતરી પ્રારંભિકથી નહીં, પરંતુ સંચિત થાપણની રકમમાંથી. મૂડીકરણ સતત થતું નથી, પરંતુ કેટલીક આવર્તન સાથે. નિયમ પ્રમાણે, આવા સમયગાળા સમાન હોય છે અને મોટાભાગે બેંકો એક મહિના, ક્વાર્ટર અથવા વર્ષનો ઉપયોગ કરે છે.
ચાલો ધારીએ કે આપણે વાર્ષિક સમાન રૂબલ જમા કરીએ છીએ, પરંતુ ડિપોઝિટના માસિક મૂડીકરણ સાથે. અમે શું કરી રહ્યા છીએ?
શું તમે અહીં બધું સમજો છો? જો નહીં, તો ચાલો તેને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ આકૃતિ કરીએ.
અમે બેંકમાં રુબેલ્સ લાવ્યા. મહિનાના અંત સુધીમાં, અમારા ખાતામાં અમારા રુબેલ્સ વત્તા તેના પરના વ્યાજ સહિતની રકમ હોવી જોઈએ, એટલે કે:
સંમત છો?
આપણે તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢી શકીએ છીએ અને પછી આપણને મળે છે:
સંમત થાઓ, આ સૂત્ર પહેલાથી જ આપણે શરૂઆતમાં લખ્યું હતું તેના જેવું જ છે. ટકાવારી શોધવાનું બાકી છે
સમસ્યા નિવેદનમાં અમને વાર્ષિક દરો વિશે જણાવવામાં આવ્યું છે. જેમ તમે જાણો છો, અમે વડે ગુણાકાર કરતા નથી - અમે ટકાવારીને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, એટલે કે:
ખરું ને? હવે તમે પૂછશો કે નંબર ક્યાંથી આવ્યો? ખૂબ જ સરળ!
હું પુનરાવર્તન કરું છું: સમસ્યા નિવેદન વિશે કહે છે વાર્ષિકજે વ્યાજ મેળવે છે માસિક. જેમ તમે જાણો છો, મહિનાના એક વર્ષમાં, તે મુજબ, બેંક અમારી પાસેથી દર મહિને વાર્ષિક વ્યાજનો એક ભાગ લેશે:
સમજાયું? હવે સૂત્રનો આ ભાગ કેવો લાગશે તે લખવાનો પ્રયાસ કરો જો મેં કહ્યું કે વ્યાજની ગણતરી દરરોજ થાય છે.
શું તમે મેનેજ કર્યું? ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:
શાબાશ! ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: બીજા મહિનામાં અમારા ખાતામાં કેટલી રકમ જમા થશે તે લખો, સંચિત થાપણની રકમ પર વ્યાજ ઉપાડવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા.
મને જે મળ્યું તે અહીં છે:
અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:
મને લાગે છે કે તમે પહેલાથી જ એક પેટર્ન જોઈ છે અને આ બધામાં ભૌમિતિક પ્રગતિ જોઈ છે. લખો કે તેના સભ્યની બરાબર શું હશે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મહિનાના અંતે અમને કેટલી રકમ મળશે.
કર્યું? ચાલો તપાસીએ!
જેમ તમે જોઈ શકો છો, જો તમે સાદા વ્યાજ દરે એક વર્ષ માટે બેંકમાં નાણાં મૂકશો, તો તમને રુબેલ્સ પ્રાપ્ત થશે, અને જો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ દરે, તો તમને રુબેલ્સ પ્રાપ્ત થશે. લાભ નાનો છે, પરંતુ આ ફક્ત માં વર્ષ દરમિયાન થાય છે, પરંતુ લાંબા ગાળા માટે કેપિટલાઇઝેશન વધુ નફાકારક છે:
ચાલો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સાથે સંકળાયેલી અન્ય પ્રકારની સમસ્યા જોઈએ. તમે જે શોધી કાઢ્યું છે તે પછી, તે તમારા માટે પ્રાથમિક હશે. તેથી, કાર્ય:
ઝવેઝદા કંપનીએ 2000 માં ડોલરમાં મૂડી સાથે ઉદ્યોગમાં રોકાણ કરવાનું શરૂ કર્યું. 2001 થી દર વર્ષે, તેને પાછલા વર્ષની મૂડી જેટલો નફો મળ્યો છે. જો સર્ક્યુલેશનમાંથી નફો પાછો ખેંચવામાં ન આવે તો 2003ના અંતે ઝવેઝદા કંપનીને કેટલો નફો થશે?
2000 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.
- 2001 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.
- 2002 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.
- 2003 માં ઝવેઝદા કંપનીની મૂડી.
અથવા આપણે સંક્ષિપ્તમાં લખી શકીએ:
અમારા કેસ માટે:
2000, 2001, 2002 અને 2003.
અનુક્રમે:
રૂબલ
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ સમસ્યામાં અમારી પાસે કોઈ દ્વારા અથવા દ્વારા વિભાજન નથી, કારણ કે ટકાવારી વાર્ષિક આપવામાં આવે છે અને તેની વાર્ષિક ગણતરી કરવામાં આવે છે. એટલે કે, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની સમસ્યા વાંચતી વખતે, કેટલી ટકાવારી આપવામાં આવે છે અને કયા સમયગાળામાં તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે તેના પર ધ્યાન આપો, અને પછી જ ગણતરીઓ પર આગળ વધો.
હવે તમે ભૌમિતિક પ્રગતિ વિશે બધું જાણો છો.
તાલીમ.
- ભૌમિતિક પ્રગતિનો શબ્દ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે, અને
- ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ પદોનો સરવાળો શોધો જો તે જાણીતું હોય કે, અને
- MDM કેપિટલ કંપનીએ 2003 માં ડોલરમાં મૂડી સાથે ઉદ્યોગમાં રોકાણ કરવાનું શરૂ કર્યું. 2004 થી દર વર્ષે, તેને પાછલા વર્ષની મૂડી જેટલો નફો મળ્યો છે. MSK કેશ ફ્લો કંપનીએ 2005 માં ઉદ્યોગમાં $10,000 ની રકમમાં રોકાણ કરવાનું શરૂ કર્યું, 2006 માં આ રકમમાં નફો કરવાનું શરૂ કર્યું. 2007 ના અંતે એક કંપનીની મૂડી બીજી કંપની કરતા કેટલા ડોલર જેટલી છે, જો નફો ચલણમાંથી પાછો ખેંચવામાં ન આવ્યો હોય?
જવાબો:
- કારણ કે સમસ્યાનું નિવેદન એવું કહેતું નથી કે પ્રગતિ અનંત છે અને તેની શરતોની ચોક્કસ સંખ્યાનો સરવાળો શોધવા માટે જરૂરી છે, ગણતરી સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:
MDM કેપિટલ કંપની:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% વધે છે, એટલે કે, 2 ગણો.
અનુક્રમે:
રૂબલ
MSK કેશ ફ્લો કંપની:2005, 2006, 2007.
- દ્વારા વધે છે, એટલે કે, વખત દ્વારા.
અનુક્રમે:
રૂબલ
રૂબલ
ચાલો સારાંશ આપીએ.
1) ભૌમિતિક પ્રગતિ ( ) એ એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્યથી અલગ છે, અને દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને, અગાઉના એક સમાન છે. આ સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે.
2) ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનું સમીકરણ છે.
3) અને સિવાય કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે.
- જો, તો પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે - તેઓ હકારાત્મક છે;
- જો, પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો વૈકલ્પિક ચિહ્નો;
- જ્યારે - પ્રગતિને અનંત રીતે ઘટતી કહેવામાં આવે છે.
4) , સાથે - ભૌમિતિક પ્રગતિની મિલકત (સંલગ્ન શરતો)
અથવા
, પર (સમાન અંતરની શરતો)
જ્યારે તમને તે મળે, ત્યારે તે ભૂલશો નહીં બે જવાબો હોવા જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,
5) ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
અથવા
જો પ્રગતિ અનંત રીતે ઘટી રહી છે, તો પછી:
અથવા
મહત્વપૂર્ણ!અમે અમર્યાદિત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ ત્યારે જ કરીએ છીએ જો સ્થિતિ સ્પષ્ટપણે જણાવે કે અમારે અનંત સંખ્યાના પદોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે.
6) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પરની સમસ્યાઓની ગણતરી પણ ભૌમિતિક પ્રગતિની મી મુદતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, જો કે ચલણમાંથી ભંડોળ પાછું ખેંચવામાં આવ્યું ન હોય:
ભૌમિતિક પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં
ભૌમિતિક પ્રગતિ( ) એ એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્યથી અલગ છે, અને દરેક શબ્દ, બીજાથી શરૂ થાય છે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને, અગાઉના એક સમાન છે. આ નંબર કહેવાય છે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ.
ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદઅને સિવાય કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે.
- જો, પછી પ્રગતિની બધી અનુગામી શરતો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે - તે હકારાત્મક છે;
- જો, પછી પ્રગતિના તમામ અનુગામી સભ્યો વૈકલ્પિક ચિહ્નો;
- જ્યારે - પ્રગતિને અનંત રીતે ઘટતી કહેવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનું સમીકરણ - .
ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોસૂત્ર દ્વારા ગણતરી:
અથવા
