બેનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક કેવી રીતે શોધવો. ગણિતમાં NOC નો અર્થ શું છે?

પરંતુ ઘણી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજ્ય હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

સંખ્યા 12 એ 1, 2, 3, 4, 6, 12 વડે વિભાજ્ય છે;

સંખ્યા 36 એ 1 વડે, 2 વડે, 3 વડે, 4 વડે 6, 12 વડે 18, 36 વડે વિભાજ્ય છે.

સંખ્યાઓ કે જેના દ્વારા સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે (12 માટે આ 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓના વિભાજકો. કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક a- એક કુદરતી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે aટ્રેસ વિના. બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે 12 અને 36 નંબરોમાં સામાન્ય પરિબળો છે. આ સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, 4, 6, 12. આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો વિભાજક 12 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક aઅને b- આ તે સંખ્યા છે જેના દ્વારા આપેલ બંને સંખ્યાઓને બાકી વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે aઅને b.

સામાન્ય ગુણાંકઅનેક સંખ્યાઓ એ એક સંખ્યા છે જે આ દરેક સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 9, 18 અને 45 નંબરો 180 નો સામાન્ય ગુણાંક ધરાવે છે. પરંતુ 90 અને 360 તેમના સામાન્ય ગુણાંક પણ છે. બધા સામાન્ય ગુણાંકમાં હંમેશા સૌથી નાનો હોય છે, આ કિસ્સામાં તે 90 છે. આ સંખ્યા કહેવાય છે સૌથી નાનુંસામાન્ય બહુવિધ (સીએમએમ).

LCM એ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે જે સૌથી મોટી સંખ્યા કરતાં મોટી હોવી જોઈએ જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM). ગુણધર્મો.

પરિવર્તનશીલતા:

સહયોગ:

ખાસ કરીને, જો અને કોપ્રાઈમ નંબરો છે, તો પછી:

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક mઅને nઅન્ય તમામ સામાન્ય ગુણાંકનો વિભાજક છે mઅને n. તદુપરાંત, સામાન્ય ગુણાંકનો સમૂહ m, n LCM માટે ગુણાંકના સમૂહ સાથે સુસંગત છે( m, n).

માટે એસિમ્પ્ટોટીક્સ કેટલાક સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

તેથી, ચેબીશેવ કાર્ય. અને એ પણ:

આ લેન્ડૌ કાર્યની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે g(n).

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના નિયમમાંથી શું અનુસરે છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવી.

NOC( a, b) ની ગણતરી ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

1. જો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક જાણીતો હોય, તો તમે LCM સાથે તેના જોડાણનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

2. અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બંને સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત વિઘટનને જાણવા દો:

જ્યાં પૃષ્ઠ 1, ...,p કે- વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અને d 1,...,d kઅને e 1,...,e k— બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો (જો અનુરૂપ પ્રાઇમ વિસ્તરણમાં ન હોય તો તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે).

પછી NOC ( a,b) ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, LCM વિઘટનમાં સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા એક વિઘટનમાં સમાવિષ્ટ તમામ મુખ્ય પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે. a, b, અને આ ગુણકના બે ઘાતાંકમાંથી સૌથી મોટો લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ:

ઘણી સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીને બે સંખ્યાઓના LCMની સંખ્યાબંધ અનુક્રમિક ગણતરીઓમાં ઘટાડી શકાય છે:

નિયમ.સંખ્યાઓની શ્રેણીનું LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

- સંખ્યાઓને મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરો;

- ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોમાં સૌથી મોટા વિઘટન (આપેલ સંખ્યાની સૌથી મોટી સંખ્યાના પરિબળોનું ઉત્પાદન) સ્થાનાંતરિત કરો, અને પછી અન્ય સંખ્યાઓના વિઘટનમાંથી પરિબળો ઉમેરો જે પ્રથમ નંબરમાં દેખાતા નથી અથવા તેમાં દેખાતા નથી. ઓછી વખત;

— અવિભાજ્ય પરિબળોનું પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓનો LCM હશે.

કોઈપણ બે અથવા વધુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પોતાનું LCM હોય છે. જો સંખ્યાઓ એકબીજાના ગુણાકાર ન હોય અથવા વિસ્તરણમાં સમાન અવયવ ધરાવતા ન હોય, તો તેમનો LCM આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

સંખ્યા 28 (2, 2, 7) ના અવિભાજ્ય અવયવો 3 (સંખ્યા 21) ના અવયવ સાથે પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન (84) એ સૌથી નાની સંખ્યા હશે જે 21 અને 28 વડે વિભાજ્ય છે.

સૌથી મોટી સંખ્યા 30 ના અવિભાજ્ય અવયવો સંખ્યા 25 ના પરિબળ 5 દ્વારા પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન 150 સૌથી મોટી સંખ્યા 30 કરતા વધારે છે અને બાકીની બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. આ સૌથી નાનું શક્ય ઉત્પાદન છે (150, 250, 300...) જે આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓ 2,3,11,37 અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો LCM આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

નિયમ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ બધી સંખ્યાઓને એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

બીજો વિકલ્પ:

તમને જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા માટે:

1) દરેક સંખ્યાને તેના મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો, ઉદાહરણ તરીકે:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) તમામ મુખ્ય પરિબળોની શક્તિઓ લખો:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) આ દરેક સંખ્યાના તમામ મુખ્ય વિભાજકો (ગુણાકાર) લખો;

4) તેમાંથી દરેકની સૌથી મોટી ડિગ્રી પસંદ કરો, જે આ સંખ્યાઓના તમામ વિસ્તરણમાં જોવા મળે છે;

5) આ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. સંખ્યાઓનું LCM શોધો: 168, 180 અને 3024.

ઉકેલ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

અમે તમામ મુખ્ય વિભાજકોની સૌથી મોટી શક્તિઓ લખીએ છીએ અને તેમને ગુણાકાર કરીએ છીએ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક અને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ મુખ્ય અંકગણિત ખ્યાલો છે જે અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાનું સરળ બનાવે છે. LCM અને મોટાભાગે અનેક અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદ શોધવા માટે વપરાય છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો

પૂર્ણાંક X નો વિભાજક એ બીજો પૂર્ણાંક Y છે જેના દ્વારા X ને શેષ છોડ્યા વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4 નો વિભાજક 2 છે, અને 36 4, 6, 9 છે. પૂર્ણાંક X નો ગુણાકાર એ સંખ્યા Y છે જે શેષ વિના X વડે ભાગી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3 એ 15 નો ગુણાંક છે, અને 6 એ 12 નો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી માટે આપણે તેમના સામાન્ય વિભાજકો અને ગુણાંક શોધી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 6 અને 9 માટે, સામાન્ય ગુણાંક 18 છે, અને સામાન્ય વિભાજક 3 છે. દેખીતી રીતે, જોડીમાં અનેક વિભાજકો અને ગુણાંક હોઈ શકે છે, તેથી ગણતરીઓ સૌથી મોટા વિભાજક GCD અને સૌથી નાના બહુવિધ LCMનો ઉપયોગ કરે છે.

લઘુત્તમ વિભાજક અર્થહીન છે, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યા માટે તે હંમેશા એક જ હોય ​​છે. સૌથી મહાન ગુણાંક પણ અર્થહીન છે, કારણ કે ગુણાંકનો ક્રમ અનંત સુધી જાય છે.

જીસીડી શોધવી

સૌથી સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટેની ઘણી પદ્ધતિઓ છે, જેમાંથી સૌથી પ્રસિદ્ધ છે:

• વિભાજકોની અનુક્રમિક શોધ, જોડી માટે સામાન્યની પસંદગી અને તેમાંથી સૌથી મોટાની શોધ;
• અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓનું વિઘટન;
• યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ;
• દ્વિસંગી અલ્ગોરિધમનો.

આજે શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય પદ્ધતિઓ મુખ્ય પરિબળો અને યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમમાં વિઘટન છે. બાદમાં, બદલામાં, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વપરાય છે: પૂર્ણાંકોમાં રીઝોલ્યુશનની સંભાવના માટે સમીકરણ તપાસવા માટે GCD માટે શોધ જરૂરી છે.

NOC શોધવી

લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક પણ અનુક્રમિક ગણતરી દ્વારા અથવા અવિભાજ્ય પરિબળોમાં અવયવીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધુમાં, જો સૌથી મોટો વિભાજક પહેલેથી જ નક્કી કરવામાં આવ્યો હોય તો LCM શોધવાનું સરળ છે. X અને Y નંબરો માટે, LCM અને GCD નીચેના સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

ઉદાહરણ તરીકે, જો GCM(15,18) = 3, તો LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM નો ઉપયોગ કરવાનું સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણ સામાન્ય છેદ શોધવાનું છે, જે સૌથી ઓછા સામાન્ય ગુણાંક છે. આપેલ અપૂર્ણાંક.

કોપ્રાઈમ નંબરો

જો સંખ્યાઓની જોડીમાં કોઈ સામાન્ય વિભાજકો ન હોય, તો આવી જોડીને કોપ્રાઈમ કહેવામાં આવે છે. આવા જોડીઓ માટેનું gcd હંમેશા એક સમાન હોય છે, અને વિભાજકો અને ગુણાંક વચ્ચેના જોડાણના આધારે, coprime જોડીઓ માટે gcd તેમના ઉત્પાદનની બરાબર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 25 અને 28 સંખ્યાઓ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, કારણ કે તેમની પાસે કોઈ સામાન્ય વિભાજક નથી, અને LCM(25, 28) = 700, જે તેમના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે. કોઈપણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યા હંમેશા પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય હશે.

સામાન્ય વિભાજક અને બહુવિધ કેલ્ક્યુલેટર

અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને તમે પસંદ કરવા માટે સંખ્યાઓની મનસ્વી સંખ્યા માટે GCD અને LCM ની ગણતરી કરી શકો છો. સામાન્ય વિભાજકો અને ગુણાંકની ગણતરી કરવાના કાર્યો 5મા અને 6ઠ્ઠા ધોરણના અંકગણિતમાં જોવા મળે છે, પરંતુ GCD અને LCM ગણિતમાં મુખ્ય વિભાવનાઓ છે અને તેનો ઉપયોગ નંબર થિયરી, પ્લાનિમેટ્રી અને કોમ્યુનિકેટિવ બીજગણિતમાં થાય છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણો

અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ

બહુવિધ અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદને શોધતી વખતે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકનો ઉપયોગ થાય છે. ચાલો કહીએ કે અંકગણિત સમસ્યામાં તમારે 5 અપૂર્ણાંકનો સરવાળો કરવાની જરૂર છે:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવી આવશ્યક છે, જે LCM શોધવાની સમસ્યાને ઘટાડે છે. આ કરવા માટે, કેલ્ક્યુલેટરમાં 5 નંબરો પસંદ કરો અને યોગ્ય કોષોમાં છેદના મૂલ્યો દાખલ કરો. પ્રોગ્રામ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ની ગણતરી કરશે. હવે તમારે દરેક અપૂર્ણાંક માટે વધારાના પરિબળોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, જેને LCM અને છેદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી વધારાના ગુણક આના જેવા દેખાશે:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

આ પછી, અમે અનુરૂપ વધારાના પરિબળ દ્વારા તમામ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

આપણે સરળતાથી આવા અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ અને પરિણામ 159/360 મેળવી શકીએ છીએ. આપણે અપૂર્ણાંકને 3 થી ઘટાડીએ છીએ અને અંતિમ જવાબ જોઈએ છીએ - 53/120.

રેખીય ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ઉકેલવા

લીનિયર ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો એ ax + by = d સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે. જો ગુણોત્તર d/gcd(a, b) પૂર્ણાંક છે, તો સમીકરણ પૂર્ણાંકોમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે. ચાલો કેટલાક સમીકરણો તપાસીએ કે તેમની પાસે પૂર્ણાંક ઉકેલ છે કે નહીં. પ્રથમ, ચાલો સમીકરણ 150x + 8y = 37 તપાસીએ. કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, આપણે GCD (150.8) = 2 શોધીએ છીએ. 37/2 = 18.5 ને વિભાજિત કરો. સંખ્યા પૂર્ણાંક નથી, તેથી સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ નથી.

ચાલો સમીકરણ 1320x + 1760y = 10120 તપાસીએ. GCD(1320, 1760) = 440 શોધવા માટે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો. 10120/440 = 23 ને વિભાજિત કરો. પરિણામે, આપણને પૂર્ણાંક મળે છે, તેથી, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણમાં સમીકરણ યોગ્ય છે. .

નિષ્કર્ષ

સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં GCD અને LCM મોટી ભૂમિકા ભજવે છે, અને ગણિતના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વિભાવનાઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. કોઈપણ સંખ્યાના સૌથી મોટા વિભાજકો અને ઓછામાં ઓછા ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો.

નીચે પ્રસ્તુત સામગ્રી એ LCM શીર્ષકવાળા લેખમાંથી સિદ્ધાંતનું તાર્કિક ચાલુ છે - ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ, વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો, LCM અને GCD વચ્ચેનું જોડાણ. અહીં આપણે તેના વિશે વાત કરીશું લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવું, અને અમે ઉદાહરણો ઉકેલવા પર વિશેષ ધ્યાન આપીશું. પ્રથમ, અમે બતાવીશું કે આ સંખ્યાઓની GCD નો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે બે સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આગળ, આપણે સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં ફેક્ટર કરીને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા પર ધ્યાન આપીશું. આ પછી, અમે ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓના LCM શોધવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી પર પણ ધ્યાન આપીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

GCD દ્વારા ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) ની ગણતરી

LCM અને GCD વચ્ચેના સંબંધ પર આધારિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની એક રીત છે. LCM અને GCD વચ્ચેનું હાલનું જોડાણ અમને જાણીતા સૌથી સામાન્ય વિભાજક દ્વારા બે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. અનુરૂપ સૂત્ર છે LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . ચાલો આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને LCM શોધવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

બે સંખ્યાઓ 126 અને 70 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણમાં a=126 , b=70. ચાલો સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ LCM અને GCD વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કરીએ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). એટલે કે, પહેલા આપણે 70 અને 126 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને શોધવાનું છે, ત્યારબાદ આપણે લેખિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

ચાલો યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને GCD(126, 70) શોધીએ: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, તેથી, GCD(126, 70)=14.

હવે આપણે જરૂરી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક શોધીએ છીએ: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

જવાબ:

LCM(126, 70)=630 .

ઉદાહરણ.

LCM(68, 34) બરાબર શું છે?

ઉકેલ.

કારણ કે 68 એ 34 વડે વિભાજ્ય છે, પછી GCD(68, 34)=34. હવે આપણે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

જવાબ:

LCM(68, 34)=68 .

નોંધ કરો કે અગાઉનું ઉદાહરણ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો a અને b માટે LCM શોધવા માટે નીચેના નિયમને બંધબેસે છે: જો સંખ્યા a એ b વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક a છે.

સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળમાં ફેક્ટર કરીને LCM શોધવી

ન્યૂનતમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની બીજી રીત અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણ પર આધારિત છે. જો તમે આપેલ સંખ્યાઓના તમામ અવિભાજ્ય અવયવોમાંથી ઉત્પાદન કમ્પોઝ કરો છો, અને પછી આપેલ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં હાજર તમામ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોને આ ઉત્પાદનમાંથી બાકાત કરો છો, તો પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક સમાન હશે. .

LCM શોધવા માટેનો ઉલ્લેખિત નિયમ સમાનતામાંથી અનુસરે છે LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ખરેખર, સંખ્યાઓ a અને b નું ઉત્પાદન એ સંખ્યાઓ a અને b ના વિસ્તરણમાં સામેલ તમામ પરિબળોના ગુણાંક સમાન છે. બદલામાં, GCD(a, b) એ સંખ્યાઓ a અને b ના વિસ્તરણમાં વારાફરતી હાજર તમામ મુખ્ય પરિબળોના ગુણાંક સમાન છે (જેમ કે સંખ્યાઓના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને GCD શોધવાના વિભાગમાં વર્ણવેલ છે).

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો જાણીએ કે 75=3·5·5 અને 210=2·3·5·7. ચાલો આ વિસ્તરણના તમામ પરિબળોમાંથી ઉત્પાદનની રચના કરીએ: 2·3·3·5·5·5·7 . હવે આ ઉત્પાદનમાંથી આપણે નંબર 75 ના વિસ્તરણ અને નંબર 210 ના વિસ્તરણ બંનેમાં હાજર તમામ પરિબળોને બાકાત રાખીએ છીએ (આ પરિબળ 3 અને 5 છે), તો ઉત્પાદન 2·3·5·5·7 સ્વરૂપ લેશે. . આ ઉત્પાદનનું મૂલ્ય 75 અને 210 ના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક જેટલું છે, એટલે કે, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

ઉદાહરણ.

441 અને 700 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવમાં અવયવિત કરો અને આ સંખ્યાઓનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

ચાલો 441 અને 700 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ:

આપણને 441=3·3·7·7 અને 700=2·2·5·5·7 મળે છે.

હવે ચાલો આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં સામેલ તમામ પરિબળોનો ગુણાંક બનાવીએ: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. ચાલો આ ઉત્પાદનમાંથી તમામ પરિબળોને બાકાત કરીએ જે બંને વિસ્તરણમાં એકસાથે હાજર હોય છે (આવું માત્ર એક પરિબળ છે - આ નંબર 7 છે): 2·2·3·3·5·5·7·7. આમ, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

જવાબ:

NOC(441, 700) = 44 100 .

અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને LCM શોધવાનો નિયમ થોડો અલગ રીતે ઘડી શકાય છે. જો સંખ્યા b ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને સંખ્યા a ના વિસ્તરણના પરિબળમાં ઉમેરવામાં આવે, તો પરિણામી ઉત્પાદનનું મૂલ્ય a અને b સંખ્યાના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક જેટલું હશે..

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમાન સંખ્યાઓ 75 અને 210 લઈએ, તેમના અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિઘટન નીચે મુજબ છે: 75=3·5·5 અને 210=2·3·5·7. સંખ્યા 75 ના વિસ્તરણથી પરિબળ 3, 5 અને 5 માં આપણે સંખ્યા 210 ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળ 2 અને 7 ઉમેરીએ છીએ, આપણે ઉત્પાદન 2·3·5·5·7 મેળવીએ છીએ, જેનું મૂલ્ય છે LCM(75, 210) ની બરાબર.

ઉદાહરણ.

84 અને 648 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

આપણે સૌપ્રથમ 84 અને 648 નંબરોના વિઘટનને મુખ્ય પરિબળોમાં મેળવીએ છીએ. તેઓ 84=2·2·3·7 અને 648=2·2·2·3·3·3·3 જેવા દેખાય છે. સંખ્યા 84 ના વિસ્તરણથી પરિબળ 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે 648 નંબરના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળ 2, 3, 3 અને 3 ઉમેરીએ છીએ, આપણે ઉત્પાદન 2 2 2 3 3 3 3 7 મેળવીએ છીએ, જે 4 536 બરાબર છે. આમ, 84 અને 648 નો ઇચ્છિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 4,536 છે.

જવાબ:

LCM(84, 648)=4,536 .

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો LCM શોધવો

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક ક્રમિક રીતે બે સંખ્યાઓના LCMને શોધીને શોધી શકાય છે. ચાલો અનુરૂપ પ્રમેયને યાદ કરીએ, જે ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના LCM શોધવાનો માર્ગ આપે છે.

પ્રમેય.

સકારાત્મક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ a 1 , a 2 , …, a k આપવા દો, આ સંખ્યાઓમાંથી લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ m k અનુક્રમે m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ની ગણતરી કરીને જોવા મળે છે. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

ચાલો ચાર સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રમેયના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

ચાર સંખ્યાઓ 140, 9, 54 અને 250 નો LCM શોધો.

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણમાં, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

પ્રથમ આપણે શોધીએ છીએ m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). આ કરવા માટે, યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે GCD(140, 9) નક્કી કરીએ છીએ, અમારી પાસે 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, તેથી, GCD(140, 9)=1 , જ્યાંથી GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. એટલે કે, m 2 = 1 260.

હવે આપણે શોધીએ છીએ m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). ચાલો તેની ગણતરી GCD(1 260, 54) દ્વારા કરીએ, જે આપણે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પણ નક્કી કરીએ છીએ: 1 260=54·23+18, 54=18·3. પછી gcd(1,260, 54)=18, જેમાંથી gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. એટલે કે, m 3 = 3 780.

જે બાકી છે તે શોધવાનું છે m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). આ કરવા માટે, અમે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને GCD(3,780, 250) શોધીએ છીએ: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. તેથી, GCM(3,780, 250)=10, જ્યાંથી GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. એટલે કે, m 4 = 94,500.

તેથી મૂળ ચાર સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 94,500 છે.

જવાબ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ઘણા કિસ્સાઓમાં, આપેલ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાનું અનુકૂળ છે. આ કિસ્સામાં, તમારે નીચેના નિયમોનું પાલન કરવું જોઈએ. સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ ઉત્પાદનની સમાન છે, જે નીચે પ્રમાણે બનેલો છે: બીજી સંખ્યાના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો પ્રથમ નંબરના વિસ્તરણના તમામ પરિબળોમાં ઉમેરવામાં આવે છે, વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો ત્રીજી સંખ્યા પરિણામી પરિબળોમાં ઉમેરવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ.

ચાલો પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરીને લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ શોધવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

પાંચ સંખ્યાઓ 84, 6, 48, 7, 143 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

પ્રથમ, આપણે આ સંખ્યાઓના વિઘટનને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં મેળવીએ છીએ: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, તે એકરૂપ થાય છે. મુખ્ય પરિબળોમાં તેના વિઘટન સાથે) અને 143=11·13.

આ સંખ્યાઓના LCM શોધવા માટે, પ્રથમ નંબર 84 (તેઓ 2, 2, 3 અને 7 છે), તમારે બીજા નંબર 6 ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો ઉમેરવાની જરૂર છે. નંબર 6 ના વિઘટનમાં ખૂટતા પરિબળો શામેલ નથી, કારણ કે પ્રથમ નંબર 84 ના વિઘટનમાં 2 અને 3 બંને પહેલેથી હાજર છે. આગળ, પરિબળ 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે ત્રીજા નંબર 48 ના વિસ્તરણમાંથી ગુમ થયેલ પરિબળ 2 અને 2 ઉમેરીએ છીએ, આપણને પરિબળ 2, 2, 2, 2, 3 અને 7 નો સમૂહ મળે છે. આગલા પગલામાં આ સેટમાં મલ્ટિપ્લાયર્સ ઉમેરવાની જરૂર રહેશે નહીં, કારણ કે તેમાં 7 પહેલેથી જ સમાયેલ છે. છેલ્લે, પરિબળ 2, 2, 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે 143 નંબરના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો 11 અને 13 ઉમેરીએ છીએ. આપણને ઉત્પાદન 2·2·2·2·3·7·11·13 મળે છે, જે 48,048 બરાબર છે.

ચાલો ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની ત્રણ રીતો જોઈએ.

અવયવીકરણ દ્વારા શોધવું

પ્રથમ પદ્ધતિ એ છે કે આપેલ સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવિત કરીને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા.

ચાલો કહીએ કે આપણે સંખ્યાઓનો LCM શોધવાની જરૂર છે: 99, 30 અને 28. આ કરવા માટે, ચાલો આ દરેક સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ:

ઇચ્છિત સંખ્યાને 99, 30 અને 28 વડે વિભાજ્ય કરવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેમાં આ વિભાજકોના તમામ મુખ્ય અવયવો શામેલ હોય. આ કરવા માટે, આપણે આ સંખ્યાઓના તમામ અવિભાજ્ય પરિબળોને શક્ય તેટલી મોટી માત્રામાં લઈ જવાની અને તેમને એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

આમ, LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860 કરતાં ઓછી બીજી કોઈ સંખ્યા 99, 30 અથવા 28 વડે વિભાજ્ય નથી.

આપેલ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, તમે તેમને તેમના અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરો, પછી દરેક અવિભાજ્ય અવયવને તેમાં દેખાતા સૌથી મોટા ઘાતાંક સાથે લો અને તે પરિબળોને એકસાથે ગુણાકાર કરો.

પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો હોતા નથી, તેથી તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ સંખ્યાઓ: 20, 49 અને 33 પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે. તેથી જ

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધતી વખતે પણ આવું જ કરવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

પસંદગી દ્વારા શોધવી

બીજી પદ્ધતિ પસંદગી દ્વારા લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ શોધવાની છે.

ઉદાહરણ 1. જ્યારે આપેલ સંખ્યાઓમાંથી સૌથી મોટી સંખ્યાને અન્ય આપેલ સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે, ત્યારે આ સંખ્યાઓનો LCM તેમાંથી સૌથી મોટી સંખ્યાની બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર સંખ્યાઓ આપવામાં આવી છે: 60, 30, 10 અને 6. તેમાંથી દરેક 60 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

અન્ય કિસ્સાઓમાં, ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ શોધવા માટે, નીચેની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

1. આપેલ સંખ્યાઓમાંથી સૌથી મોટી સંખ્યા નક્કી કરો.
2. આગળ, આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જે સૌથી મોટી સંખ્યાના ગુણાંક છે, તેને કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા વધતા ક્રમમાં ગુણાકાર કરીએ છીએ અને પરિણામી ઉત્પાદન બાકીની આપેલ સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે કે કેમ તે તપાસીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2. આપેલ ત્રણ સંખ્યાઓ 24, 3 અને 18. અમે તેમાંથી સૌથી મોટી સંખ્યા નક્કી કરીએ છીએ - આ સંખ્યા 24 છે. આગળ, આપણે 24 ના ગુણાંકની સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ, તે દરેક 18 અને 3 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ તે તપાસીએ છીએ:

24 · 1 = 24 - 3 વડે વિભાજ્ય, પરંતુ 18 વડે વિભાજ્ય નથી.

24 · 2 = 48 - 3 વડે વિભાજ્ય, પરંતુ 18 વડે વિભાજ્ય નથી.

24 · 3 = 72 - 3 અને 18 વડે વિભાજ્ય.

આમ, LCM (24, 3, 18) = 72.

ક્રમિક રીતે LCM શોધીને શોધવું

ત્રીજી પદ્ધતિ એ છે કે ક્રમિક રીતે LCM શોધીને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા.

આપેલ બે સંખ્યાઓનો LCM એ આ સંખ્યાઓના તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા ભાગેલા ગુણાંક જેટલો છે.

ઉદાહરણ 1. આપેલ બે સંખ્યાઓનો LCM શોધો: 12 અને 8. તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક નક્કી કરો: GCD (12, 8) = 4. આ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો:

અમે ઉત્પાદનને તેમના gcd દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:

આમ, LCM (12, 8) = 24.

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો LCM શોધવા માટે, નીચેની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરો:

1. પ્રથમ, આમાંથી કોઈપણ બે સંખ્યાઓનો LCM શોધો.
2. પછી, લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક અને ત્રીજા આપેલ સંખ્યાનો LCM.
3. પછી, પરિણામી લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ અને ચોથી સંખ્યા, વગેરેનો LCM.
4. આમ, જ્યાં સુધી સંખ્યાઓ છે ત્યાં સુધી LCM માટે શોધ ચાલુ રહે છે.

ઉદાહરણ 2. ચાલો આપેલ ત્રણ સંખ્યાઓનું એલસીએમ શોધીએ: 12, 8 અને 9. આપણે પહેલાના ઉદાહરણમાં 12 અને 8 નંબરોના એલસીએમ શોધી કાઢીએ છીએ (આ નંબર 24 છે). 24 નંબરનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક અને ત્રીજો આપેલ નંબર - 9 શોધવાનું બાકી છે. તેમનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક નક્કી કરો: GCD (24, 9) = 3. LCM નો 9 નંબર સાથે ગુણાકાર કરો:

અમે ઉત્પાદનને તેમના gcd દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:

આમ, LCM (12, 8, 9) = 72.

મહાન સામાન્ય વિભાજક

વ્યાખ્યા 2

જો કુદરતી સંખ્યા a કુદરતી સંખ્યા $b$ વડે વિભાજ્ય હોય, તો $b$ ને $a$ નો વિભાજક કહેવાય છે, અને $a$ ને $b$ નો ગુણાંક કહેવાય છે.

$a$ અને $b$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ થવા દો. $c$ નંબરને $a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

$a$ અને $b$ નંબરોના સામાન્ય વિભાજકોનો સમૂહ મર્યાદિત છે, કારણ કે આમાંથી કોઈ પણ વિભાજક $a$ કરતા વધારે હોઈ શકતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે આ વિભાજકોમાં એક સૌથી મોટો છે, જેને $a$ અને $b$નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે અને તે નીચેના સંકેતો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

$GCD\(a;b)\ અથવા \D\(a;b)$

બે સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે તમને જરૂર છે:

1. પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

ઉદાહરણ 1

$121$ અને $132.$ નંબરોની gcd શોધો

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ નંબરો પસંદ કરો

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

$GCD=2\cdot 11=22$

ઉદાહરણ 2

$63$ અને $81$ ના મોનોમિયલ્સની gcd શોધો.

અમે પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમ મુજબ શોધીશું. આ કરવા માટે:

ચાલો સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

અમે તે સંખ્યાઓ પસંદ કરીએ છીએ જે આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ છે

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ચાલો સ્ટેપ 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધીએ. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

$GCD=3\cdot 3=9$

સંખ્યાઓના વિભાજકોના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને તમે બીજી રીતે બે સંખ્યાઓની gcd શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 3

$48$ અને $60$ નંબરોની gcd શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો નંબરના વિભાજકોનો સમૂહ શોધીએ $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

હવે ચાલો નંબરના વિભાજકોનો સમૂહ શોધીએ $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ચાલો આ સમૂહોનું આંતરછેદ શોધીએ: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - આ સમૂહ $48$ અને $60 નંબરોના સામાન્ય વિભાજકોનો સમૂહ નક્કી કરશે $. આ સમૂહમાં સૌથી મોટું તત્વ $12$ નંબર હશે. આનો અર્થ એ થયો કે $48$ અને $60$ નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક $12$ છે.

NPL ની વ્યાખ્યા

વ્યાખ્યા 3

કુદરતી સંખ્યાઓના સામાન્ય ગુણાંક$a$ અને $b$ એ કુદરતી સંખ્યા છે જે $a$ અને $b$ બંનેનો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક એ એવી સંખ્યાઓ છે જે મૂળ સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, $25$ અને $50$ માટે, સામાન્ય ગુણાંક $50,100,150,200$, વગેરે.

સૌથી નાના સામાન્ય ગુણાંકને લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ કહેવામાં આવશે અને તેને LCM$(a;b)$ અથવા K$(a;b) તરીકે સૂચવવામાં આવશે.$

બે સંખ્યાઓનો LCM શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1. અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ સંખ્યા
2. પ્રથમ નંબરનો ભાગ હોય તેવા પરિબળોને લખો અને તેમાં એવા પરિબળો ઉમેરો કે જે બીજાનો ભાગ છે અને પ્રથમનો ભાગ નથી.

ઉદાહરણ 4

$99$ અને $77$ નંબરોના LCM શોધો.

અમે પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમ મુજબ શોધીશું. આ માટે

અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ સંખ્યા

$99=3\cdot 3\cdot 11$

પ્રથમમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો

તેમાં મલ્ટિપ્લાયર્સ ઉમેરો જે બીજાનો ભાગ છે અને પ્રથમનો ભાગ નથી

પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક હશે

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

સંખ્યાઓના વિભાજકોની યાદીઓનું સંકલન કરવું એ ઘણીવાર ખૂબ જ શ્રમ-સઘન કાર્ય છે. GCD શોધવાની એક રીત છે જેને યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ કહેવાય છે.

નિવેદનો કે જેના પર યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ આધારિત છે:

જો $a$ અને $b$ કુદરતી સંખ્યાઓ છે, અને $a\vdots b$, તો $D(a;b)=b$

જો $a$ અને $b$ કુદરતી સંખ્યાઓ છે જેમ કે $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ નો ઉપયોગ કરીને, અમે વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓને ક્રમિક રીતે ઘટાડી શકીએ છીએ જ્યાં સુધી આપણે સંખ્યાઓની જોડી સુધી ન પહોંચીએ કે તેમાંથી એક બીજા દ્વારા વિભાજ્ય હોય. પછી આ સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યા $a$ અને $b$ માટે ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

GCD અને LCM ના ગુણધર્મો

1. $a$ અને $b$ નો કોઈપણ સામાન્ય ગુણાંક K$(a;b)$ વડે વિભાજ્ય છે
2. જો $a\vdots b$ , તો К$(a;b)=a$

જો K$(a;b)=k$ અને $m$ એ કુદરતી સંખ્યા છે, તો K$(am;bm)=km$

જો $d$ એ $a$ અને $b$ માટે સામાન્ય વિભાજક છે, તો K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

જો $a\vdots c$ અને $b\vdots c$, તો $\frac(ab)(c)$ એ $a$ અને $b$ નો સામાન્ય ગુણાંક છે.

કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે $a$ અને $b$ સમાનતા ધરાવે છે

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ અને $b$ નંબરોનો કોઈપણ સામાન્ય વિભાજક એ $D(a;b)$ નંબરનો વિભાજક છે.