પિરામિડ. કાપેલા પિરામિડ

પિરામિડપોલિહેડ્રોન છે, જેનો એક ચહેરો બહુકોણ છે ( આધાર ), અને અન્ય તમામ ચહેરાઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ સાથે ત્રિકોણ છે ( બાજુના ચહેરા ) (ફિગ. 15). પિરામિડ કહેવાય છે યોગ્ય , જો તેનો આધાર નિયમિત બહુકોણ હોય અને પિરામિડની ટોચ આધારની મધ્યમાં પ્રક્ષેપિત હોય (ફિગ. 16). ત્રિકોણાકાર પિરામિડ કહેવાય છે જેની તમામ કિનારીઓ સમાન હોય છે ટેટ્રાહેડ્રોન .

બાજુની પાંસળીપિરામિડ એ બાજુના ચહેરાની બાજુ છે જે આધાર સાથે સંબંધિત નથી ઊંચાઈ પિરામિડ એ તેની ટોચથી બેઝ પ્લેન સુધીનું અંતર છે. નિયમિત પિરામિડની બધી બાજુની કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે, બધા બાજુના ચહેરા સમાન સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોય છે. શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા નિયમિત પિરામિડના બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે એપોથેમ . કર્ણ વિભાગ બે બાજુની ધારમાંથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા પિરામિડનો એક વિભાગ કહેવામાં આવે છે જે સમાન ચહેરાના નથી.

બાજુની સપાટી વિસ્તારપિરામિડ એ તમામ બાજુના ચહેરાઓના વિસ્તારોનો સરવાળો છે. કુલ સપાટી વિસ્તાર તમામ બાજુના ચહેરા અને આધારના ક્ષેત્રોનો સરવાળો કહેવાય છે.

પ્રમેય

1. જો પિરામિડમાં તમામ બાજુની કિનારીઓ બેઝના પ્લેન તરફ સમાન રીતે વળેલી હોય, તો પિરામિડની ટોચ આધારની નજીકના વર્તુળના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.

2. જો પિરામિડમાં તમામ બાજુની કિનારીઓ સમાન લંબાઈ ધરાવે છે, તો પિરામિડની ટોચ પાયાની નજીકના વર્તુળના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.

3. જો પિરામિડના તમામ ચહેરાઓ આધારના પ્લેન તરફ સમાન રીતે વળેલા હોય, તો પિરામિડની ટોચ બેઝમાં અંકિત વર્તુળના મધ્યમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.

મનસ્વી પિરામિડના વોલ્યુમની ગણતરી કરવા માટે, યોગ્ય સૂત્ર છે:

જ્યાં વી- વોલ્યુમ;

એસ આધાર- આધાર વિસ્તાર;

એચ- પિરામિડની ઊંચાઈ.

નિયમિત પિરામિડ માટે, નીચેના સૂત્રો સાચા છે:

જ્યાં પી- આધાર પરિમિતિ;

h એ- એપોથેમ;

એચ- ઊંચાઈ;

એસ સંપૂર્ણ

એસ બાજુ

એસ આધાર- આધાર વિસ્તાર;

વી- નિયમિત પિરામિડનું પ્રમાણ.

કાપેલા પિરામિડપિરામિડના પાયાની સમાંતર બેઝ અને કટીંગ પ્લેન વચ્ચે બંધ પિરામિડનો ભાગ કહેવાય છે (ફિગ. 17). નિયમિત કાપેલા પિરામિડ બેઝ અને પિરામિડના પાયાની સમાંતર કટીંગ પ્લેન વચ્ચે બંધાયેલ નિયમિત પિરામિડનો ભાગ કહેવાય છે.

મેદાનોકાપેલા પિરામિડ - સમાન બહુકોણ. બાજુના ચહેરા - ટ્રેપેઝોઇડ્સ. ઊંચાઈ કાપેલા પિરામિડનું તેના પાયા વચ્ચેનું અંતર છે. કર્ણ કાપવામાં આવેલ પિરામિડ એ તેના શિરોબિંદુઓને જોડતો ભાગ છે જે એક જ ચહેરા પર નથી પડતો. કર્ણ વિભાગ બે બાજુની કિનારીઓમાંથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા કાપેલા પિરામિડનો એક વિભાગ છે જે એક જ ચહેરાના નથી.

કાપેલા પિરામિડ માટે નીચેના સૂત્રો માન્ય છે:

(4)

જ્યાં એસ 1 , એસ 2 - ઉપલા અને નીચલા પાયાના વિસ્તારો;

એસ સંપૂર્ણ- કુલ સપાટી વિસ્તાર;

એસ બાજુ- બાજુની સપાટી વિસ્તાર;

એચ- ઊંચાઈ;

વી- કાપેલા પિરામિડનો જથ્થો.

નિયમિત કાપેલા પિરામિડ માટે સૂત્ર સાચું છે:

જ્યાં પી 1 , પી 2 - પાયાની પરિમિતિ;

h એ- નિયમિત કાપેલા પિરામિડનું એપોથેમ.

ઉદાહરણ 1.નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડમાં, આધાર પરનો ડાયહેડ્રલ કોણ 60º છે. આધારના સમતલ તરફ બાજુની ધારના ઝોકના કોણની સ્પર્શક શોધો.

ઉકેલ.ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ (ફિગ. 18).

પિરામિડ નિયમિત છે, જેનો અર્થ છે કે આધાર પર એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે અને તમામ બાજુના ચહેરા સમાન સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. આધાર પરનો ડાયહેડ્રલ એંગલ એ પિરામિડના બાજુના ચહેરાના બેઝના પ્લેન તરફ ઝોકનો કોણ છે. રેખીય કોણ એ કોણ છે aબે લંબ વચ્ચે: વગેરે. પિરામિડની ટોચ ત્રિકોણના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત છે (પરિવર્તનનું કેન્દ્ર અને ત્રિકોણનું અંકિત વર્તુળ ABC). બાજુની ધારના ઝોકનો કોણ (ઉદાહરણ તરીકે એસ.બી.) એ ધાર અને તેના આધારના પ્લેન પરના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. પાંસળી માટે એસ.બી.આ કોણ કોણ હશે SBD. સ્પર્શક શોધવા માટે તમારે પગ જાણવાની જરૂર છે SOઅને ઓ.બી.. સેગમેન્ટની લંબાઈ દો બી.ડીબરાબર 3 એ. ડોટ વિશેસેગમેન્ટ બી.ડીભાગોમાં વહેંચાયેલું છે: અને અમે શોધીએ છીએ SO: જેમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.નિયમિત કાપેલા ચતુષ્કોણીય પિરામિડનું કદ શોધો જો તેના પાયાના કર્ણ સેમી અને સેમી સમાન હોય અને તેની ઊંચાઈ 4 સેમી હોય.

ઉકેલ.કાપેલા પિરામિડનું કદ શોધવા માટે, અમે સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પાયાનો વિસ્તાર શોધવા માટે, તમારે પાયાના ચોરસની બાજુઓ શોધવાની જરૂર છે, તેમના કર્ણને જાણીને. પાયાની બાજુઓ અનુક્રમે 2 સેમી અને 8 સેમી જેટલી છે, આનો અર્થ એ છે કે પાયાના વિસ્તારો અને તમામ ડેટાને સૂત્રમાં બદલીને, અમે કાપેલા પિરામિડના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ: 112 સેમી 3.

ઉદાહરણ 3.નિયમિત ત્રિકોણાકાર કાપેલા પિરામિડના બાજુના ચહેરાનો વિસ્તાર શોધો, જેના પાયાની બાજુઓ 10 સેમી અને 4 સેમી છે, અને પિરામિડની ઊંચાઈ 2 સેમી છે.

ઉકેલ.ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ (ફિગ. 19).

આ પિરામિડનો બાજુનો ચહેરો એક સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ છે. ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આધાર અને ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર છે. શરત મુજબ પાયા આપવામાં આવે છે, માત્ર ઊંચાઈ અજાણ રહે છે. અમે તેને ક્યાંથી શોધીશું એ 1 ઇબિંદુ પરથી લંબરૂપ એ 1 નીચલા પાયાના પ્લેન પર, એ 1 ડી- થી લંબરૂપ એ 1 પ્રતિ એસી. એ 1 ઇ= 2 સે.મી., કારણ કે આ પિરામિડની ઊંચાઈ છે. શોધવા માટે ડી.ઇચાલો ટોચનું દૃશ્ય દર્શાવતું વધારાનું ચિત્ર બનાવીએ (ફિગ. 20). ડોટ વિશે- ઉપલા અને નીચલા પાયાના કેન્દ્રોનું પ્રક્ષેપણ. ત્યારથી (જુઓ ફિગ. 20) અને બીજી તરફ ઠીક છે– વર્તુળમાં અંકિત ત્રિજ્યા અને ઓમ- વર્તુળમાં અંકિત ત્રિજ્યા:

MK = DE.

થી પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

બાજુનો ચહેરો વિસ્તાર:

જવાબ:

ઉદાહરણ 4.પિરામિડના પાયા પર એક સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ છે, જેના પાયા છે એઅને b (a> b). દરેક બાજુનો ચહેરો પિરામિડના પાયાના સમતલ સમાન ખૂણો બનાવે છે j. પિરામિડનો કુલ સપાટી વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ.ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ (ફિગ. 21). પિરામિડનો કુલ સપાટી વિસ્તાર SABCDવિસ્તારોના સરવાળા અને ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની બરાબર એબીસીડી.

ચાલો આ વિધાનનો ઉપયોગ કરીએ કે જો પિરામિડના તમામ ચહેરા આધારના સમતલ તરફ સમાન રીતે વળેલા હોય, તો શિરોબિંદુ આધારમાં અંકિત વર્તુળના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે. ડોટ વિશે- શિરોબિંદુ પ્રક્ષેપણ એસપિરામિડના પાયા પર. ત્રિકોણ એસઓડીત્રિકોણનું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે સીએસડીઆધાર ના પ્લેન માટે. પ્લેન આકૃતિના ઓર્થોગોનલ પ્રોજેક્શનના ક્ષેત્ર પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

તેવી જ રીતે તેનો અર્થ થાય છે આમ, ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધવામાં સમસ્યા ઓછી થઈ એબીસીડી. ચાલો ટ્રેપેઝોઇડ દોરીએ એબીસીડીઅલગથી (ફિગ. 22). ડોટ વિશે- ટ્રેપેઝોઇડમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર.

કારણ કે વર્તુળ ટ્રેપેઝોઇડમાં લખી શકાય છે, તો પછી અથવા પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી આપણી પાસે છે

• 29.05.2016

  ઓસીલેટરી સર્કિટ એ એક વિદ્યુત સર્કિટ છે જેમાં ઇન્ડક્ટર, કેપેસિટર અને વિદ્યુત ઊર્જાનો સ્ત્રોત હોય છે. જ્યારે સર્કિટ તત્વો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય છે, ત્યારે ઓસીલેટરી સર્કિટને સીરીયલ કહેવામાં આવે છે, અને જ્યારે સમાંતરમાં જોડાયેલ હોય, ત્યારે તેને સમાંતર કહેવામાં આવે છે. ઓસીલેટરી સર્કિટ એ સૌથી સરળ સિસ્ટમ છે જેમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેશન થઈ શકે છે. સર્કિટની રેઝોનન્ટ આવર્તન કહેવાતા થોમસન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: ƒ = 1/(2π√(LC)) માટે ...

• 20.09.2014

  રીસીવર DV શ્રેણી (150 kHz…300 kHz) માં સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરવા માટે રચાયેલ છે. રીસીવરની મુખ્ય વિશેષતા એ એન્ટેના છે, જે પરંપરાગત ચુંબકીય એન્ટેના કરતાં વધુ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવે છે. આનાથી 4...20 pF ની રેન્જમાં ટ્યુનિંગ કેપેસિટરની કેપેસીટન્સનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બને છે, અને આવા રીસીવરમાં સ્વીકાર્ય સંવેદનશીલતા અને RF પાથમાં થોડો વધારો થાય છે. રીસીવર હેડફોન્સ (હેડફોન) માટે કામ કરે છે, સંચાલિત છે...

• 24.09.2014

  આ ઉપકરણને ટાંકીઓમાં પ્રવાહીના સ્તરને મોનિટર કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યું છે, જ્યારે પ્રવાહી એક નિર્ણાયક સ્તરે પહોંચે છે, ત્યારે ઉપકરણ સતત ધ્વનિ સંકેતનું ઉત્સર્જન કરવાનું શરૂ કરશે; તૂટક તૂટક સંકેત. સૂચકમાં 2 જનરેટર હોય છે, તે સેન્સર તત્વ E દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે. તે ટાંકીમાં ... સુધીના સ્તરે મૂકવામાં આવે છે.

• 22.09.2014

  KR1016VI1 એ એક ડિજિટલ મલ્ટિ-પ્રોગ્રામ ટાઈમર છે જે ILC3-5\7 સૂચક સાથે કામ કરવા માટે રચાયેલ છે. તે વર્તમાન સમયની ગણતરી અને પ્રદર્શન કલાકો અને મિનિટોમાં, અઠવાડિયાના દિવસ અને નિયંત્રણ ચેનલ નંબર (9 એલાર્મ્સ) પ્રદાન કરે છે. એલાર્મ ક્લોક સર્કિટ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવી છે. માઇક્રોસર્કિટ ઘડિયાળ છે. રેઝોનેટર Q1 32768Hz પર. ખોરાક નકારાત્મક છે, કુલ વત્તા જાય છે...

એ બહુહેડ્રોન છે જે પિરામિડના પાયા અને તેની સમાંતર વિભાગ દ્વારા રચાય છે. આપણે કહી શકીએ કે કપાયેલો પિરામિડ એ એક પિરામિડ છે જેનો ટોચનો ભાગ કાપી નાખે છે. આ આંકડો ઘણી અનન્ય ગુણધર્મો ધરાવે છે:

• પિરામિડના બાજુના ચહેરાઓ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે;
• નિયમિત કાપેલા પિરામિડની બાજુની કિનારીઓ સમાન લંબાઈની હોય છે અને સમાન ખૂણા પર આધાર તરફ વળેલી હોય છે;
• પાયા સમાન બહુકોણ છે;
• નિયમિત કાપેલા પિરામિડમાં, ચહેરા સમાન સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે, જેનો વિસ્તાર સમાન છે. તેઓ એક ખૂણા પર આધાર તરફ પણ વલણ ધરાવે છે.

કાપેલા પિરામિડની બાજુની સપાટીના વિસ્તાર માટેનું સૂત્ર તેની બાજુઓના વિસ્તારોનો સરવાળો છે:

કાપેલા પિરામિડની બાજુઓ ટ્રેપેઝોઇડ હોવાથી, પરિમાણોની ગણતરી કરવા માટે તમારે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો પડશે ટ્રેપેઝોઇડ વિસ્તાર. નિયમિત કાપેલા પિરામિડ માટે, તમે વિસ્તારની ગણતરી માટે અલગ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરી શકો છો. આધાર પર તેની તમામ બાજુઓ, ચહેરાઓ અને ખૂણાઓ સમાન હોવાથી, આધાર અને એપોથેમની પરિમિતિ લાગુ કરવી શક્ય છે, અને આધાર પરના ખૂણા દ્વારા વિસ્તાર પણ મેળવી શકાય છે.

જો, નિયમિત કાપેલા પિરામિડની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, એપોથેમ (બાજુની ઊંચાઈ) અને પાયાની બાજુઓની લંબાઈ આપવામાં આવે છે, તો પછી વિસ્તારની પરિમિતિના સરવાળાના અડધા-ઉત્પાદન દ્વારા ગણતરી કરી શકાય છે. પાયા અને એપોથેમ:

ચાલો કાપેલા પિરામિડની બાજુની સપાટીના વિસ્તારની ગણતરીનું ઉદાહરણ જોઈએ.
નિયમિત પંચકોણીય પિરામિડ આપવામાં આવે છે. એપોથેમ l= 5 સે.મી., મોટા પાયામાં ધારની લંબાઈ છે a= 6 સે.મી., અને ધાર નાના પાયા પર છે b= 4 સેમી કાપેલા પિરામિડના વિસ્તારની ગણતરી કરો.

પ્રથમ, ચાલો પાયાની પરિમિતિ શોધીએ. અમને પંચકોણીય પિરામિડ આપવામાં આવ્યા હોવાથી, અમે સમજીએ છીએ કે પાયા પંચકોણ છે. આનો અર્થ એ છે કે પાયામાં પાંચ સમાન બાજુઓ સાથેની આકૃતિ છે. ચાલો મોટા આધારની પરિમિતિ શોધીએ:

તે જ રીતે આપણે નાના આધારની પરિમિતિ શોધીએ છીએ:

હવે આપણે નિયમિત કાપેલા પિરામિડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. ફોર્મ્યુલામાં ડેટાને બદલો:

આમ, અમે પરિમિતિ અને એપોથેમ દ્વારા નિયમિત કાપેલા પિરામિડના વિસ્તારની ગણતરી કરી.

નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની બીજી રીત એ સૂત્ર છે આધાર પરના ખૂણાઓ દ્વારા અને આ ખૂબ જ પાયાના ક્ષેત્રફળ દ્વારા.

ચાલો એક ઉદાહરણ ગણતરી જોઈએ. યાદ રાખો કે આ સૂત્ર ફક્ત નિયમિત કાપેલા પિરામિડને જ લાગુ પડે છે.

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ આપવા દો. નીચલા પાયાની ધાર a = 6 સેમી છે, અને ઉપલા આધારની ધાર b = 4 સેમી છે. નિયમિત કાપેલા પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર શોધો.

પ્રથમ, ચાલો પાયાના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ. પિરામિડ નિયમિત હોવાથી, પાયાની બધી કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે. આધાર ચતુર્ભુજ છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે સમજીએ છીએ કે તેની ગણતરી કરવી જરૂરી રહેશે ચોરસનો વિસ્તાર. તે પહોળાઈ અને લંબાઈનું ઉત્પાદન છે, પરંતુ જ્યારે વર્ગીકરણ કરવામાં આવે ત્યારે આ મૂલ્યો સમાન હોય છે. ચાલો મોટા પાયાનો વિસ્તાર શોધીએ:


હવે આપણે બાજુની સપાટીના વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે મળેલા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

કેટલાક સરળ સૂત્રો જાણીને, અમે વિવિધ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને કાપેલા પિરામિડના લેટરલ ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની સરળતાથી ગણતરી કરી.

આ પાઠમાં આપણે કાપેલા પિરામિડને જોઈશું, નિયમિત કાપેલા પિરામિડથી પરિચિત થઈશું અને તેમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીશું.

ચાલો ત્રિકોણાકાર પિરામિડના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને n-ગોનલ પિરામિડની કલ્પનાને યાદ કરીએ. ત્રિકોણ ABC આપેલ છે. ત્રિકોણના સમતલની બહાર, એક બિંદુ P લેવામાં આવે છે, જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલ છે. પરિણામી પોલિહેડ્રલ સપાટીને પિરામિડ (ફિગ. 1) કહેવામાં આવે છે.

ચોખા. 1. ત્રિકોણાકાર પિરામિડ

ચાલો પિરામિડના પાયાના પ્લેનની સમાંતર પ્લેન સાથે પિરામિડને કાપીએ. આ વિમાનો વચ્ચે મેળવેલ આકૃતિને કપાયેલ પિરામિડ (ફિગ. 2) કહેવામાં આવે છે.

ચોખા. 2. કાપેલા પિરામિડ

મુખ્ય ઘટકો:

ઉપલા આધાર;

એબીસી નીચલા આધાર;

બાજુનો ચહેરો;

જો PH એ મૂળ પિરામિડની ઊંચાઈ છે, તો તે કાપેલા પિરામિડની ઊંચાઈ છે.

કાપેલા પિરામિડના ગુણધર્મો તેના બાંધકામની પદ્ધતિથી ઉદ્ભવે છે, એટલે કે પાયાના વિમાનોની સમાંતરતામાંથી:

કાપેલા પિરામિડના તમામ બાજુના ચહેરાઓ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારનો વિચાર કરો. તેની પાસે સમાંતર વિમાનોની મિલકત છે (વિમાન સમાંતર હોવાથી, તેઓ મૂળ AVR પિરામિડની બાજુના ચહેરાને સમાંતર સીધી રેખાઓ સાથે કાપી નાખે છે), પરંતુ તે જ સમયે તે સમાંતર નથી. દેખીતી રીતે, ચતુષ્કોણ એ ટ્રેપેઝોઇડ છે, જેમ કે કાપેલા પિરામિડના તમામ બાજુના ચહેરાઓ.

પાયાનો ગુણોત્તર બધા ટ્રેપેઝોઇડ્સ માટે સમાન છે:

આપણી પાસે સમાન સમાનતા ગુણાંક સાથે સમાન ત્રિકોણની ઘણી જોડી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ અને આરએબી પ્લેનની સમાંતરતાને કારણે સમાન છે અને , સમાનતા ગુણાંક:

તે જ સમયે, ત્રિકોણ અને આરવીએસ સમાનતા ગુણાંક સાથે સમાન છે:

દેખીતી રીતે, સમાન ત્રિકોણની ત્રણેય જોડી માટે સમાનતા ગુણાંક સમાન છે, તેથી પાયાનો ગુણોત્તર તમામ ટ્રેપેઝોઇડ્સ માટે સમાન છે.

નિયમિત કાપવામાં આવેલ પિરામિડ એ કાપવામાં આવેલ પિરામિડ છે જે પાયાની સમાંતર સમતલ સાથે નિયમિત પિરામિડને કાપીને મેળવવામાં આવે છે (ફિગ. 3).

ચોખા. 3. નિયમિત કાપેલા પિરામિડ

વ્યાખ્યા.

પિરામિડને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેનો આધાર નિયમિત n-gon હોય, અને તેનું શિરોબિંદુ આ n-gon ના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે (કોતરેલા અને ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર).

આ કિસ્સામાં, પિરામિડના પાયા પર એક ચોરસ છે, અને ટોચ તેના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ પર અંદાજવામાં આવે છે. પરિણામી નિયમિત ચતુષ્કોણીય કાપેલા પિરામિડ એબીસીડીનો આધાર નીચો અને ઉપરનો આધાર છે. મૂળ પિરામિડની ઊંચાઈ RO છે, કપાયેલ પિરામિડ છે (ફિગ. 4).

ચોખા. 4. નિયમિત ચતુષ્કોણીય કાપેલા પિરામિડ

વ્યાખ્યા.

કાપેલા પિરામિડની ઊંચાઈ એ એક પાયાના કોઈપણ બિંદુથી બીજા પાયાના સમતલ સુધી દોરવામાં આવેલ લંબ છે.

મૂળ પિરામિડનું એપોથેમ RM છે (M એ AB ની મધ્યમાં છે), કાપેલા પિરામિડનું એપોથેમ છે (ફિગ. 4).

વ્યાખ્યા.

કાપેલા પિરામિડનું એપોથેમ એ કોઈપણ બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે કાપેલા પિરામિડની બધી બાજુની કિનારીઓ એકબીજાની સમાન છે, એટલે કે, બાજુના ચહેરા સમાન સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે.

નિયમિત કાપેલા પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પાયા અને એપોથેમની પરિમિતિના અડધા સરવાળાના ઉત્પાદન જેટલું છે.

પુરાવો (નિયમિત ચતુષ્કોણીય કાપેલા પિરામિડ માટે - ફિગ. 4):

તેથી, આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે:

અહીં બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર બાજુના ચહેરાના વિસ્તારોના સરવાળાનો સમાવેશ કરશે - ટ્રેપેઝોઇડ્સ. ટ્રેપેઝોઇડ્સ સમાન હોવાથી, અમારી પાસે છે:

સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ એ પાયાના અડધા સરવાળાનું ઉત્પાદન છે અને એપોથેમ એ ટ્રેપેઝોઇડની ઊંચાઈ છે. અમારી પાસે છે:

Q.E.D.

એન-ગોનલ પિરામિડ માટે:

જ્યાં n એ પિરામિડના બાજુના ચહેરાઓની સંખ્યા છે, a અને b એ ટ્રેપેઝોઇડના પાયા છે અને એપોથેમ છે.

નિયમિત કાપેલા ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયાની બાજુઓ સમાન 3 સેમી અને 9 સેમી, ઊંચાઈ - 4 સેમી બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ચોખા. 5. સમસ્યા 1 માટેનું ઉદાહરણ

ઉકેલ. ચાલો શરત સમજાવીએ:

દ્વારા પૂછવામાં આવ્યું: , ,

બિંદુ O દ્વારા આપણે નીચલા આધારની બે બાજુઓની સમાંતર એક સીધી રેખા MN દોરીએ છીએ, અને તે જ રીતે બિંદુ દ્વારા આપણે એક સીધી રેખા દોરીએ છીએ (ફિગ. 6). કાપેલા પિરામિડના પાયા પરના ચોરસ અને બાંધકામો સમાંતર હોવાથી, અમે બાજુના ચહેરા સમાન ટ્રેપેઝોઇડ મેળવીએ છીએ. તદુપરાંત, તેની બાજુ બાજુના ચહેરાના ઉપલા અને નીચલા ધારના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થશે અને કાપેલા પિરામિડનું એપોથેમ હશે.

ચોખા. 6. વધારાના બાંધકામો

ચાલો પરિણામી ટ્રેપેઝોઇડ (ફિગ. 6) ને ધ્યાનમાં લઈએ. આ ટ્રેપેઝોઇડમાં, ઉપલા આધાર, નીચલા આધાર અને ઊંચાઈ જાણીતા છે. તમારે તે બાજુ શોધવાની જરૂર છે જે આપેલ કાપેલા પિરામિડનું એપોથેમ છે. ચાલો MN ને કાટખૂણે દોરીએ. બિંદુ પરથી આપણે લંબરૂપ NQ ને નીચે કરીએ છીએ. અમને લાગે છે કે મોટા પાયાને ત્રણ સેન્ટિમીટર () ના ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. એક જમણો ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો, તેમાંના પગ જાણીતા છે, આ એક ઇજિપ્તીયન ત્રિકોણ છે, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે કર્ણોની લંબાઈ નક્કી કરીએ છીએ: 5 સે.મી.

હવે પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટેના બધા તત્વો છે:

પિરામિડ આધારની સમાંતર પ્લેન દ્વારા છેદે છે. ત્રિકોણાકાર પિરામિડના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે પિરામિડની બાજુની કિનારીઓ અને ઊંચાઈ આ પ્લેન દ્વારા પ્રમાણસર ભાગોમાં વહેંચાયેલી છે.

પુરાવો. ચાલો સમજાવીએ:

ચોખા. 7. સમસ્યા 2 માટેનું ચિત્રણ

RABC પિરામિડ આપવામાં આવેલ છે. PO - પિરામિડની ઊંચાઈ. પિરામિડને પ્લેન દ્વારા કાપવામાં આવે છે, એક કપાયેલ પિરામિડ મેળવવામાં આવે છે, અને. બિંદુ - કાપેલા પિરામિડના પાયાના પ્લેન સાથે RO ની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ. તે સાબિત કરવું જરૂરી છે:

ઉકેલની ચાવી એ સમાંતર વિમાનોની મિલકત છે. બે સમાંતર વિમાનો કોઈપણ ત્રીજા વિમાનને છેદે છે જેથી આંતરછેદની રેખાઓ સમાંતર હોય. અહીંથી:. અનુરૂપ રેખાઓની સમાંતરતા સમાન ત્રિકોણની ચાર જોડીની હાજરી સૂચવે છે:

ત્રિકોણની સમાનતાથી અનુરૂપ બાજુઓની પ્રમાણસરતાને અનુસરે છે. એક મહત્વપૂર્ણ લક્ષણ એ છે કે આ ત્રિકોણના સમાનતા ગુણાંક સમાન છે:

Q.E.D.

પાયાની ઊંચાઈ અને બાજુ સાથેનો નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ આરએબીસી બેઝ એબીસીની સમાંતર ઊંચાઈ PH ની મધ્યમાંથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા વિચ્છેદિત થાય છે. પરિણામી કાપેલા પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ. ચાલો સમજાવીએ:

ચોખા. 8. સમસ્યા 3 માટેનું ચિત્રણ

ACB એ એક નિયમિત ત્રિકોણ છે, H એ આ ત્રિકોણનું કેન્દ્ર છે (કોતરેલા અને ઘેરાયેલા વર્તુળોનું કેન્દ્ર). RM એ આપેલ પિરામિડનું એપોથેમ છે. - કાપેલા પિરામિડનું એપોથેમ. સમાંતર વિમાનોના ગુણધર્મ અનુસાર (બે સમાંતર વિમાનો કોઈપણ ત્રીજા વિમાનને કાપે છે જેથી આંતરછેદ રેખાઓ સમાંતર હોય), આપણી પાસે સમાન સમાનતા ગુણાંક સાથે સમાન ત્રિકોણની ઘણી જોડી છે. ખાસ કરીને, અમને સંબંધમાં રસ છે:

ચાલો NM શોધીએ. આ આધારમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, આપણે અનુરૂપ સૂત્ર જાણીએ છીએ:

હવે જમણા ત્રિકોણ PHM થી, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે RM શોધીએ છીએ - મૂળ પિરામિડનું એપોથેમ:

પ્રારંભિક ગુણોત્તરમાંથી:

હવે આપણે કાપેલા પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના તમામ તત્વો જાણીએ છીએ:

તેથી, અમે કાપેલા પિરામિડ અને નિયમિત કાપેલા પિરામિડની વિભાવનાઓથી પરિચિત થયા, મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ આપી, ગુણધર્મોની તપાસ કરી અને બાજુની સપાટીના ક્ષેત્ર પર પ્રમેય સાબિત કર્યો. આગળનો પાઠ સમસ્યાના ઉકેલ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરશે.

સંદર્ભો

1. આઇ.એમ. સ્મિર્નોવા, વી.એ. સ્મિર્નોવ. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10-11: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ (મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ સ્તરો) ના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠયપુસ્તક / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5મી આવૃત્તિ, રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર.
2. શારીગિન આઈ.એફ. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10-11: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / શારીગીન I. F. - M.: બસ્ટાર્ડ, 1999. - 208 પૃષ્ઠ: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10: ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અને વિશિષ્ટ અભ્યાસ સાથે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક /E. વી. પોટોસ્કુએવ, એલ.આઈ. ઝ્વલિચ. - 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ., સ્ટીરિયોટાઇપ. - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2008. - 233 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

હોમવર્ક