આજે આપણે જોઈશું કે કયા જથ્થાને વ્યસ્ત પ્રમાણસર કહેવાય છે, વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા ગ્રાફ કેવો દેખાય છે અને આ બધું ફક્ત ગણિતના પાઠમાં જ નહીં, પણ શાળાની બહાર પણ તમારા માટે કેવી રીતે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

આવા વિવિધ પ્રમાણ

પ્રમાણસરતાબે જથ્થાના નામ આપો જે એકબીજા પર પરસ્પર આધારિત હોય.

અવલંબન પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત હોઈ શકે છે. પરિણામે, જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધો પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા- આ બે જથ્થા વચ્ચેનો એવો સંબંધ છે જેમાં એકમાં વધારો અથવા ઘટાડો બીજામાં વધારો અથવા ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. તે. તેમનું વલણ બદલાતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે પરીક્ષાઓ માટે અભ્યાસમાં જેટલા વધુ પ્રયત્નો કરશો, તેટલા તમારા ગ્રેડ વધારે છે. અથવા તમે પર્યટન પર તમારી સાથે જેટલી વધુ વસ્તુઓ લઈ જશો, તમારું બેકપેક વહન કરવા માટે જેટલું ભારે હશે. તે. પરીક્ષાઓની તૈયારીમાં ખર્ચવામાં આવેલા પ્રયત્નોની રકમ પ્રાપ્ત ગ્રેડના સીધા પ્રમાણસર છે. અને બેકપેકમાં પેક કરેલી વસ્તુઓની સંખ્યા તેના વજનના સીધા પ્રમાણસર છે.

વ્યસ્ત પ્રમાણ- આ એક કાર્યાત્મક અવલંબન છે જેમાં સ્વતંત્ર મૂલ્યમાં ઘણી વખત ઘટાડો અથવા વધારો (તેને દલીલ કહેવામાં આવે છે) પ્રમાણસર (એટલે ​​​​કે, સમાન સંખ્યામાં) આશ્રિત મૂલ્યમાં વધારો અથવા ઘટાડો કરે છે (તે કહેવાય છે કાર્ય).

ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ સાથે સમજાવીએ. તમે બજારમાં સફરજન ખરીદવા માંગો છો. કાઉન્ટર પરના સફરજન અને તમારા વોલેટમાં પૈસાની રકમ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તે. તમે જેટલા વધુ સફરજન ખરીદશો, તેટલા ઓછા પૈસા તમારી પાસે રહેશે.

કાર્ય અને તેનો ગ્રાફ

વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્યને આ રીતે વર્ણવી શકાય છે y = k/x. જેમાં x≠ 0 અને k≠ 0.

આ કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

1. તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે x = 0. ડી(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. શ્રેણી સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે y= 0. E(y): (-∞; 0) યુ (0; +∞) .
3. મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્યો ધરાવતું નથી.
4. તે વિચિત્ર છે અને તેનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.
5. બિન-સામયિક.
6. તેનો આલેખ સંકલન અક્ષોને છેદતો નથી.
7. કોઈ શૂન્ય નથી.
8. જો k> 0 (એટલે ​​​​કે દલીલ વધે છે), કાર્ય તેના દરેક અંતરાલો પર પ્રમાણસર ઘટે છે. જો k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. જેમ જેમ દલીલ વધે છે ( k> 0) ફંક્શનના નકારાત્મક મૂલ્યો અંતરાલમાં છે (-∞; 0), અને હકારાત્મક મૂલ્યો અંતરાલમાં છે (0; +∞). જ્યારે દલીલ ઓછી થાય છે ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્યના ગ્રાફને હાઇપરબોલા કહેવામાં આવે છે. નીચે પ્રમાણે બતાવેલ છે:

વ્યસ્ત પ્રમાણની સમસ્યાઓ

તેને સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો કેટલાક કાર્યો જોઈએ. તેઓ બહુ જટિલ નથી, અને તેમને ઉકેલવાથી તમને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા શું છે અને આ જ્ઞાન તમારા રોજિંદા જીવનમાં કેવી રીતે ઉપયોગી થઈ શકે છે તેની કલ્પના કરવામાં મદદ કરશે.

કાર્ય નંબર 1. એક કાર 60 કિમી પ્રતિ કલાકની ઝડપે આગળ વધી રહી છે. તેને તેના ગંતવ્ય સુધી પહોંચવામાં 6 કલાક લાગ્યા હતા. જો તે બમણી ઝડપે આગળ વધે તો તેને સમાન અંતર કાપવામાં કેટલો સમય લાગશે?

સમય, અંતર અને ઝડપ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરતું સૂત્ર લખીને આપણે શરૂઆત કરી શકીએ છીએ: t = S/V. સંમત થાઓ, તે આપણને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્યની ખૂબ યાદ અપાવે છે. અને તે સૂચવે છે કે કાર રસ્તા પર કેટલો સમય પસાર કરે છે અને તે જે ગતિએ ચાલે છે તે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

આને ચકાસવા માટે, ચાલો V 2 શોધીએ, જે સ્થિતિ અનુસાર 2 ગણો વધારે છે: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. પછી આપણે S = V * t = 60 * 6 = 360 km સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતરની ગણતરી કરીએ છીએ. હવે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર અમારી પાસેથી જરૂરી સમય t 2 શોધવાનું મુશ્કેલ નથી: t 2 = 360/120 = 3 કલાક.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મુસાફરીનો સમય અને ઝડપ ખરેખર વિપરિત પ્રમાણસર છે: મૂળ ગતિ કરતા 2 ગણી વધુ ઝડપે, કાર રસ્તા પર 2 ગણો ઓછો સમય પસાર કરશે.

આ સમસ્યાનો ઉકેલ પણ પ્રમાણ તરીકે લખી શકાય. તો ચાલો પહેલા આ ડાયાગ્રામ બનાવીએ:

↓ 60 કિમી/કલાક – 6 કલાક

↓120 કિમી/ક - x ક

તીરો વિપરિત પ્રમાણસર સંબંધ દર્શાવે છે. તેઓ એવું પણ સૂચવે છે કે પ્રમાણ દોરતી વખતે, રેકોર્ડની જમણી બાજુ ફેરવવી આવશ્યક છે: 60/120 = x/6. આપણને x = 60 * 6/120 = 3 કલાક ક્યાં મળે છે.

કાર્ય નંબર 2. વર્કશોપમાં 6 કામદારો કામ કરે છે જે આપેલ કામ 4 કલાકમાં પૂર્ણ કરી શકે છે. જો કામદારોની સંખ્યા અડધી થઈ જાય, તો બાકીના કામદારોને સમાન પ્રમાણમાં કામ પૂર્ણ કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?

ચાલો વિઝ્યુઅલ ડાયાગ્રામના રૂપમાં સમસ્યાની શરતો લખીએ:

↓ 6 કામદારો - 4 કલાક

↓ 3 કામદારો – x h

ચાલો આને પ્રમાણ તરીકે લખીએ: 6/3 = x/4. અને આપણને x = 6 * 4/3 = 8 કલાક મળે છે, જો ત્યાં 2 ગણા ઓછા કામદારો હોય, તો બાકીના બધા કામ કરવામાં 2 ગણો વધુ સમય પસાર કરશે.

કાર્ય નંબર 3. પૂલમાં બે પાઈપો છે. એક પાઇપ દ્વારા, પાણી 2 l/s ની ઝડપે વહે છે અને 45 મિનિટમાં પૂલ ભરે છે. અન્ય પાઇપ દ્વારા, પૂલ 75 મિનિટમાં ભરાઈ જશે. આ પાઈપ દ્વારા પાણી કેટલી ઝડપે પૂલમાં પ્રવેશે છે?

શરૂ કરવા માટે, ચાલો સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર અમને આપવામાં આવેલ તમામ જથ્થાઓને માપના સમાન એકમોમાં ઘટાડી દઈએ. આ કરવા માટે, અમે પૂલને લિટર દીઠ મિનિટમાં ભરવાની ઝડપ વ્યક્ત કરીએ છીએ: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

કારણ કે તે એવી સ્થિતિને અનુસરે છે કે પૂલ બીજા પાઇપ દ્વારા વધુ ધીમેથી ભરે છે, આનો અર્થ એ છે કે પાણીના પ્રવાહનો દર ઓછો છે. પ્રમાણ વિપરિત છે. ચાલો x દ્વારા અજાણી ઝડપ વ્યક્ત કરીએ અને નીચેનો આકૃતિ દોરીએ:

↓ 120 લિ/મિનિટ – 45 મિનિટ

↓ x l/મિનિટ – 75 મિનિટ

અને પછી આપણે પ્રમાણ બનાવીએ છીએ: 120/x = 75/45, જ્યાંથી x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

સમસ્યામાં, પૂલનો ભરવાનો દર લિટર પ્રતિ સેકન્ડમાં દર્શાવવામાં આવે છે; ચાલો આપણે જે જવાબ મેળવ્યો તે સમાન ફોર્મમાં ઘટાડીએ: 72/60 = 1.2 l/s.

કાર્ય નંબર 4. એક નાનું ખાનગી પ્રિન્ટિંગ હાઉસ બિઝનેસ કાર્ડ છાપે છે. પ્રિન્ટિંગ હાઉસનો કર્મચારી 42 બિઝનેસ કાર્ડ પ્રતિ કલાકની ઝડપે કામ કરે છે અને આખો દિવસ - 8 કલાક કામ કરે છે. જો તેણે ઝડપથી કામ કર્યું અને એક કલાકમાં 48 બિઝનેસ કાર્ડ પ્રિન્ટ કર્યા, તો તે કેટલા વહેલા ઘરે જઈ શકશે?

અમે સાબિત પાથને અનુસરીએ છીએ અને ઇચ્છિત મૂલ્યને x તરીકે નિયુક્ત કરીને સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર એક આકૃતિ દોરીએ છીએ:

↓ 42 બિઝનેસ કાર્ડ્સ/કલાક – 8 કલાક

↓ 48 બિઝનેસ કાર્ડ્સ/h – x h

અમારો વિપરિત પ્રમાણસર સંબંધ છે: પ્રિન્ટિંગ હાઉસનો કર્મચારી કલાક દીઠ જેટલી વખત વધુ બિઝનેસ કાર્ડ પ્રિન્ટ કરે છે, તેટલી જ સંખ્યામાં તેને સમાન કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે ઓછા સમયની જરૂર પડશે. આ જાણીને, ચાલો પ્રમાણ બનાવીએ:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 કલાક.

આમ, 7 કલાકમાં કામ પૂર્ણ થતાં પ્રિન્ટિંગ હાઉસનો કર્મચારી એક કલાક વહેલો ઘરે જઈ શકતો હતો.

નિષ્કર્ષ

અમને લાગે છે કે આ વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા સમસ્યાઓ ખરેખર સરળ છે. અમે આશા રાખીએ છીએ કે હવે તમે પણ તેમના વિશે તે રીતે વિચારો. અને મુખ્ય બાબત એ છે કે જથ્થાના વિપરિત પ્રમાણસર અવલંબન વિશેનું જ્ઞાન ખરેખર તમારા માટે એક કરતા વધુ વખત ઉપયોગી થઈ શકે છે.

માત્ર ગણિતના પાઠ અને પરીક્ષાઓમાં જ નહીં. પરંતુ તેમ છતાં, જ્યારે તમે પ્રવાસ પર જવા માટે તૈયાર થાઓ, ખરીદી કરવા જાઓ, રજાઓ દરમિયાન થોડા વધારાના પૈસા કમાવવાનું નક્કી કરો વગેરે.

તમને તમારી આસપાસના વિપરિત અને સીધા પ્રમાણસર સંબંધોના કયા ઉદાહરણો દેખાય છે તે અમને ટિપ્પણીઓમાં જણાવો. આવી રમત રહેવા દો. તમે જોશો કે તે કેટલું રોમાંચક છે. આ લેખને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર શેર કરવાનું ભૂલશો નહીં જેથી તમારા મિત્રો અને સહપાઠીઓ પણ રમી શકે.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

વિષય પર 1 પાઠ

પૂર્ણ:

ટેલિજીના એલ.બી.

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

1. કાર્યો પર અભ્યાસ કરેલ તમામ સામગ્રીને પુનરાવર્તિત કરો.
2. વ્યસ્ત પ્રમાણની વ્યાખ્યા રજૂ કરો અને તેનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે શીખવો.
3. તાર્કિક વિચારસરણીનો વિકાસ કરો.
4. ધ્યાન, ચોકસાઈ, ચોકસાઈ કેળવો.

પાઠ યોજના:

1. પુનરાવર્તન.
2. નવી સામગ્રીની સમજૂતી.
3. શારીરિક શિક્ષણ મિનિટ.
4. એકત્રીકરણ.

સાધનો: પોસ્ટરો.

પાઠ પ્રગતિ:

1. પાઠ પુનરાવર્તન સાથે શરૂ થાય છે. વિદ્યાર્થીઓને ક્રોસવર્ડ પઝલ (જે કાગળની મોટી શીટ પર અગાઉથી તૈયાર કરવામાં આવે છે) ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે.

ક્રોસવર્ડ પ્રશ્નો:

1. ચલો વચ્ચે અવલંબન, જેમાં સ્વતંત્ર ચલનું દરેક મૂલ્ય આશ્રિત ચલના એક મૂલ્યને અનુરૂપ છે. [કાર્ય].

2. સ્વતંત્ર ચલ. [દલીલ].

3. એબ્સીસા કોઓર્ડિનેટ પ્લેનના પોઈન્ટનો સમૂહ, જે દલીલના મૂલ્યો સમાન હોય છે અને ઓર્ડિનેટ્સ ફંક્શનના મૂલ્યો સમાન હોય છે. [શેડ્યૂલ].

4. y=kx+b સૂત્ર દ્વારા આપેલ કાર્ય. [રેખીય].

5. સંખ્યાને કયા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે? k y=kx+b સૂત્રમાં? [ખૂણો].

6. રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ શું છે? [સીધું].

7. જો k≠0 હોય, તો આલેખ y=kx+b આ અક્ષને છેદે છે, અને જો k=0 હોય, તો તે તેની સમાંતર છે. આ અક્ષ કયા અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે? [X].

8. ફંક્શનના નામનો શબ્દ y=kx? [પ્રમાણસરતા].

9. y=x સૂત્ર દ્વારા આપેલ કાર્ય 2. [ચતુર્ભુજ].

10. ચતુર્ભુજ કાર્યના ગ્રાફનું નામ. [પેરાબોલા].

11. લેટિન મૂળાક્ષરોનો એક અક્ષર, જે ઘણીવાર કાર્ય સૂચવે છે. [ઇગ્રેક].

12. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની એક રીત. [સૂત્ર].

શિક્ષક : આપણે જાણીએ છીએ તે કાર્યને સ્પષ્ટ કરવાની મુખ્ય રીતો શું છે?

(એક વિદ્યાર્થીને બોર્ડ પર એક કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે: તેના દલીલના આપેલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન 12/xના મૂલ્યોનું કોષ્ટક ભરો, અને પછી સંકલન પ્લેન પર અનુરૂપ બિંદુઓને પ્લોટ કરો).

બાકીના શિક્ષકના પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે: (જે બોર્ડ પર અગાઉથી લખેલા છે)

1. સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવેલા નીચેના કાર્યોના નામ શું છે: y=kx, y=kx+b, y=x 2, y=x 3 ?

2. નીચેના કાર્યોની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સ્પષ્ટ કરો: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

પછી વિદ્યાર્થીઓ ટેબલ મુજબ કામ કરે છે, શિક્ષક દ્વારા પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે:

1. કોષ્ટકમાંથી કઈ આકૃતિ આલેખ બતાવે છે:

એ) રેખીય કાર્ય;

b) સીધી પ્રમાણસરતા;

c) ચતુર્ભુજ કાર્ય;

d) ફોર્મ y=kx ના કાર્યો 3 ?

2. y=kx+b ફોર્મ્યુલામાં ગુણાંક k પાસે કયો ચિહ્ન છે, જે કોષ્ટકના આકૃતિ 1, 2, 4, 5 માંના ગ્રાફને અનુરૂપ છે?

3. રેખીય કાર્યોના કોષ્ટક આલેખમાં શોધો જેના ઢોળાવ છે:

એ) સમાન;

b) તીવ્રતામાં સમાન અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ.

(પછી આખો વર્ગ તપાસે છે કે વિદ્યાર્થીએ બોર્ડમાં બોલાવેલ ટેબલ યોગ્ય રીતે ભર્યું છે અને પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર મૂક્યા છે કે નહીં).

2. સમજૂતી પ્રેરણાથી શરૂ થાય છે.

શિક્ષક: જેમ તમે જાણો છો, દરેક કાર્ય આપણી આસપાસની દુનિયામાં થતી કેટલીક પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બાજુઓ સાથેનો લંબચોરસ ધ્યાનમાં લો x અને y અને ક્ષેત્રફળ 12 સેમી 2 . તે જાણીતું છે કે x*y=12, પરંતુ જો તમે લંબચોરસની એક બાજુ બદલવાનું શરૂ કરો તો શું થશે, ચાલો લંબાઈવાળી બાજુ કહીએ x?

બાજુની લંબાઈ y y=12/x સૂત્રમાંથી શોધી શકાય છે. જો x 2 ગણો વધારો, તેમાં y=12/2x હશે, એટલે કે. બાજુ y 2 ગણો ઘટાડો થશે. જો કિંમત x 3, 4, 5... વખત વધારો, પછી મૂલ્ય y સમાન પ્રમાણમાં ઘટાડો થશે. તેનાથી વિપરીત, જો x ઘણી વખત ઘટાડો, પછી y સમાન રકમનો વધારો થશે. (ટેબલ મુજબ કામ કરો).

તેથી, ફોર્મ y=12/x ના કાર્યને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, તેને y=k/x તરીકે લખવામાં આવે છે, જ્યાં k એ અચલ છે અને k≠0.

આ આજના પાઠનો વિષય છે, અમે તેને અમારી નોટબુકમાં લખ્યો છે. હું કડક વ્યાખ્યા આપું છું. ફંક્શન y=12/x માટે, જે એક ખાસ પ્રકારનો વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા છે, અમે પહેલાથી જ કોષ્ટકમાં સંખ્યાબંધ દલીલો અને કાર્ય મૂલ્યો લખ્યા છે અને સંકલન પ્લેન પર અનુરૂપ બિંદુઓનું નિરૂપણ કરીશું. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે? બાંધવામાં આવેલા બિંદુઓના આધારે સમગ્ર ગ્રાફનો નિર્ણય કરવો મુશ્કેલ છે, કારણ કે પોઈન્ટ તમને ગમે તે રીતે કનેક્ટ કરી શકાય છે. ચાલો કોષ્ટક અને સૂત્રને ધ્યાનમાં લેવાથી ઉદ્ભવતા ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે તારણો કાઢવા માટે સાથે મળીને પ્રયાસ કરીએ.

વર્ગ માટે પ્રશ્નો:

1. ફંક્શન y=12/x ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શું છે?
2. y મૂલ્યો સકારાત્મક છે કે નકારાત્મક જો

a) x

b) x>0?

3. ચલનું મૂલ્ય કેવી રીતે બદલાય છે y બદલાતા મૂલ્ય સાથે x?

તેથી,

1. બિંદુ (0,0) ગ્રાફ સાથે સંબંધિત નથી, એટલે કે. તે OX અથવા OY અક્ષને છેદતું નથી;
2. આલેખ Ι અને ΙΙΙ સંકલન ક્વાર્ટરમાં છે;
3. Ι કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર અને ΙΙΙ બંનેમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષોનો સરળતાથી સંપર્ક કરે છે, અને તે ઇચ્છિત હોય તેટલી નજીક અક્ષો સુધી પહોંચે છે.

આ માહિતી હોવાને કારણે, આપણે પહેલાથી જ આકૃતિમાંના બિંદુઓને જોડી શકીએ છીએ (શિક્ષક આ જાતે બોર્ડ પર કરે છે) અને ફંક્શન y=12/x નો સંપૂર્ણ ગ્રાફ જોઈ શકીએ છીએ. પરિણામી વળાંકને હાયપરબોલા કહેવામાં આવે છે, જેનો ગ્રીકમાં અર્થ થાય છે "કંઈકમાંથી પસાર થવું." પૂર્વે ચોથી સદીની આસપાસ પ્રાચીન ગ્રીક શાળાના ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા આ વળાંકની શોધ કરવામાં આવી હતી. શબ્દ, હાયપરબોલ, એપોલોનિયસ દ્વારા પેર્ગામમ (એશિયા માઇનોર) શહેરમાંથી રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, જેઓ 6ઠ્ઠી-8મી સદીમાં રહેતા હતા. પૂર્વે

હવે, ફંક્શન y=12/x ના ગ્રાફની બાજુમાં, આપણે ફંક્શન y=-12/x નો ગ્રાફ બનાવીશું. (વિદ્યાર્થીઓ આ કાર્ય નોટબુકમાં અને એક વિદ્યાર્થી બ્લેકબોર્ડમાં પૂર્ણ કરે છે).

બંને આલેખની સરખામણી કરતા, વિદ્યાર્થીઓ નોંધે છે કે બીજો 2 અને 4 સંકલન ક્વાર્ટર ધરાવે છે. વધુમાં, જો ફંક્શન y=12/x નો ગ્રાફ op-amp અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે દર્શાવવામાં આવે, તો ફંક્શન y=-12/x નો ગ્રાફ પ્રાપ્ત થશે.

પ્રશ્ન: હાઇપરબોલા y=k/x ના ગ્રાફનું સ્થાન ચિહ્ન અને ગુણાંક k ના મૂલ્ય પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે?

વિદ્યાર્થીઓને ખાતરી છે કે જો k>0 હોય, તો આલેખ Ι માં સ્થિત છેઅને ΙΙΙ કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર, અને જો k

1. શારીરિક શિક્ષણ પાઠ શિક્ષક દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.

1. પાઠ્યપુસ્તકમાંથી નંબર 180, 185 પૂર્ણ કરતી વખતે જે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેનું એકીકરણ થાય છે.

1. પાઠનો સારાંશ છે, ગ્રેડ, હોમવર્ક: પૃષ્ઠ 8 નંબર 179, 184.

વિષય પર પાઠ 2

"વિપરીત પ્રમાણસરતા કાર્ય અને તેનો ગ્રાફ."

પૂર્ણ:

ટેલિજીના એલ.બી.

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

1. વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્યનો ગ્રાફ બનાવવાની કુશળતાને એકીકૃત કરો;
2. વિષય, તાર્કિક વિચારસરણીમાં રસ વિકસાવો;
3. સ્વતંત્રતા અને ધ્યાન કેળવો.

પાઠ યોજના:

1. હોમવર્ક પૂર્ણતા તપાસી રહ્યું છે.
2. મૌખિક કાર્ય.
3. સમસ્યાનું નિરાકરણ.
4. શારીરિક શિક્ષણ મિનિટ.
5. બહુ-સ્તરીય સ્વતંત્ર કાર્ય.
6. સારાંશ, આકારણીઓ, હોમવર્ક.

સાધનો: કાર્ડ્સ.

પાઠ પ્રગતિ:

1. શિક્ષક પાઠનો વિષય, ઉદ્દેશ્યો અને પાઠ યોજનાની જાહેરાત કરે છે.

પછી બે વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડ પર સોંપાયેલ ઘર નંબર 179, 184 પૂર્ણ કરે છે.

1. બાકીના વિદ્યાર્થીઓ શિક્ષકના પ્રશ્નોના જવાબ આપીને આગળ કામ કરે છે.

પ્રશ્નો:

• વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરો.
• વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્યનો ગ્રાફ શું છે.
• હાઇપરબોલા y=k/x ના ગ્રાફનું સ્થાન k ની કિંમત પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે?

ક્વેસ્ટ્સ:

1. સૂત્રો દ્વારા ઉલ્લેખિત કાર્યોમાં વ્યસ્ત પ્રમાણસરતાના કાર્યો છે:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. વ્યસ્ત પ્રમાણસરતાના કાર્યો માટે, ગુણાંકને નામ આપો અને ગ્રાફ કયા ક્વાર્ટરમાં આવેલો છે તે દર્શાવો.

3. વ્યસ્ત પ્રમાણસરતાના કાર્યો માટે વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.

(પછી વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડ પરના નંબરોના શિક્ષક દ્વારા તપાસેલા ઉકેલોના આધારે પેન્સિલ વડે એકબીજાનું હોમવર્ક ચેક કરે છે અને ગ્રેડ આપે છે).

પાઠ્યપુસ્તક નંબર 190, 191, 192, 193 (મૌખિક) અનુસાર આગળનું કાર્ય.

1. પાઠ્યપુસ્તક નંબર 186(બી), 187(બી), 182માંથી નોટબુકમાં અને બોર્ડ પર અમલ.

4. શિક્ષક દ્વારા શારીરિક શિક્ષણનો પાઠ હાથ ધરવામાં આવે છે.

5. વિવિધ જટિલતાના ત્રણ વિકલ્પોમાં સ્વતંત્ર કાર્ય આપવામાં આવે છે (કાર્ડ પર વિતરિત).

હું સી. (હળવા).

કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા ફંક્શન y=-6/xનો આલેખ બનાવો:

ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, શોધો:

a) y ની કિંમત જો x = - 1.5; 2;

b) x ની કિંમત કે જેના પર y = - 1; 4.

હું સદી (મધ્યમ મુશ્કેલી)

કોષ્ટકમાં પ્રથમ ભરીને, વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા ફંક્શન y=16/xનો આલેખ બનાવો.

ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, કયા મૂલ્યો પર શોધો x y >0.

હું સદી (વધેલી મુશ્કેલી)

કોષ્ટકમાં પ્રથમ ભરીને, વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્ય y=10/x-2 નો આલેખ બનાવો.

આ કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.

(વિદ્યાર્થીઓ પરીક્ષણ માટે બનાવેલ આલેખ સાથે શીટ્સ આપે છે).

6. પાઠ, ગ્રેડ, હોમવર્કનો સારાંશ આપે છે: નંબર 186 (a), 187 (a).

પ્રવેશ સ્તર

વ્યસ્ત સંબંધ.

પ્રવેશ સ્તર.

હવે આપણે વિપરિત અવલંબન વિશે વાત કરીશું, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો - વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા, એક કાર્ય તરીકે. શું તમને યાદ છે કે ફંક્શન એ ચોક્કસ પ્રકારની અવલંબન છે? જો તમે હજી સુધી વિષય વાંચ્યો નથી, તો હું ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું કે તમે બધું છોડી દો અને તેને વાંચો, કારણ કે તમે કોઈ ચોક્કસ કાર્ય શું છે તે સમજ્યા વિના અભ્યાસ કરી શકતા નથી - એક કાર્ય.

આ વિષય શરૂ કરતા પહેલા બે સરળ કાર્યોમાં નિપુણતા મેળવવી પણ ખૂબ જ ઉપયોગી છે: અને . ત્યાં તમે ફંક્શનના ખ્યાલને વધુ મજબૂત બનાવશો અને ગુણાંક અને ગ્રાફ સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તે શીખી શકશો.
તો, શું તમને યાદ છે કે કાર્ય શું છે? ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ: ફંક્શન એ એક નિયમ છે જે મુજબ એક સમૂહ (દલીલ) નું દરેક તત્વ ચોક્કસ સાથે સંકળાયેલું છે.એકમાત્ર! ) બીજા સમૂહનું તત્વ (કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ). એટલે કે, જો તમારી પાસે ફંક્શન છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે ચલની દરેક માન્ય કિંમત (જેને "દલીલ" કહેવાય છે) માટે વેરીએબલની અનુરૂપ કિંમત છે (જેને "ફંક્શન" કહેવાય છે). "સ્વીકાર્ય" નો અર્થ શું છે? જો તમે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકતા નથી, તો ફરીથી “” વિષય પર પાછા ફરો! તે બધું ખ્યાલમાં છે"વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર"

: કેટલાક કાર્યો માટે, બધી દલીલો સમાન રીતે ઉપયોગી હોતી નથી અને તેને અવલંબન માં બદલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન માટે, નકારાત્મક દલીલ મૂલ્યોને મંજૂરી નથી.

વ્યસ્ત અવલંબનનું વર્ણન કરતું કાર્ય

આ ફોર્મનું એક કાર્ય છે જ્યાં.
બીજી રીતે તેને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કહેવામાં આવે છે: દલીલમાં વધારો થવાથી કાર્યમાં પ્રમાણસર ઘટાડો થાય છે.

ચાલો વ્યાખ્યાના ડોમેનને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તે શું સમાન હોઈ શકે? અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે શું સમાન ન હોઈ શકે?

એક માત્ર સંખ્યા કે જેને વડે વિભાજિત કરી શકાતી નથી તે છે:

અથવા, સમાન શું છે,

(આ સંકેતનો અર્થ એ છે કે તે કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે, સિવાય કે: "" ચિહ્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને સૂચવે છે, એટલે કે, બધી સંભવિત સંખ્યાઓ; "" ચિહ્ન આ સમૂહમાંથી કોઈ વસ્તુને બાકાત સૂચવે છે ("માઈનસ" ના સમાન સાઇન), અને સર્પાકાર કૌંસમાં સંખ્યાનો અર્થ માત્ર એક સંખ્યા છે, તે તારણ આપે છે કે તમામ સંભવિત સંખ્યાઓમાંથી આપણે બાકાત કરીએ છીએ).

સૂત્રના કેટલાક ફેરફારો પણ શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ એક કાર્ય પણ છે જે વ્યસ્ત સંબંધનું વર્ણન કરે છે.
આ કાર્યના મૂલ્યોની વ્યાખ્યા અને શ્રેણીનું ક્ષેત્ર જાતે નક્કી કરો. તે આના જેવું દેખાવું જોઈએ:

ચાલો આ કાર્ય જોઈએ: . શું તે વિપરીત રીતે સંબંધિત છે?

પ્રથમ નજરમાં, તે કહેવું મુશ્કેલ છે: છેવટે, વધારા સાથે, અપૂર્ણાંકના છેદ અને અંશ બંને વધે છે, તેથી તે સ્પષ્ટ નથી કે શું કાર્ય ઘટશે, અને જો એમ હોય, તો તે પ્રમાણસર ઘટશે? આ સમજવા માટે, આપણે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે જેથી અંશમાં કોઈ ચલ ન હોય:

ખરેખર, અમને વિપરીત સંબંધ પ્રાપ્ત થયો છે, પરંતુ ચેતવણી સાથે: .

અહીં બીજું ઉદાહરણ છે: .

તે અહીં વધુ જટિલ છે: છેવટે, અંશ અને છેદ હવે ચોક્કસપણે રદ થતા નથી. પરંતુ અમે હજી પણ પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ:

તમે સમજો છો કે મેં શું કર્યું? અંશમાં, મેં સમાન સંખ્યા () ઉમેરી અને બાદ કરી છે, તેથી મને કંઈપણ બદલાયું નથી લાગતું, પરંતુ હવે અંશમાં એક ભાગ છે જે છેદ સમાન છે. હવે હું પદ દ્વારા પદને વિભાજિત કરીશ, એટલે કે, હું આ અપૂર્ણાંકને બે અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિભાજિત કરીશ:

(ખરેખર, જો આપણે સામાન્ય સંપ્રદાયમાં મને જે મળ્યું તે ઘટાડીએ, તો આપણને આપણો પ્રારંભિક અપૂર્ણાંક મળશે):

વાહ! તે ફરીથી કામ કરે છે વ્યસ્ત સંબંધ, માત્ર હવે તેમાં એક નંબર ઉમેરવામાં આવ્યો છે.
ગ્રાફ બનાવતી વખતે આ પદ્ધતિ અમને પછીથી ખૂબ જ ઉપયોગી થશે.

હવે અભિવ્યક્તિઓને તમારી જાતને વ્યસ્ત સંબંધમાં રૂપાંતરિત કરો:

જવાબો:

2. અહીં તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે ચોરસ ત્રિપદીનું પરિબળ કેવી રીતે બને છે (આ વિષય “” માં વિગતવાર વર્ણવેલ છે). ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આ માટે તમારે અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવાની જરૂર છે: . હું તેમને વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મૌખિક રીતે શોધીશ: , . આ કેવી રીતે થાય છે? તમે વિષય વાંચીને આ શીખી શકો છો.
તેથી, અમને મળે છે: , તેથી:

3. શું તમે તેને જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે? કેચ શું છે? ચોક્કસ હકીકત એ છે કે આપણી પાસે અંશ અને છેદ છે - તે સરળ છે. તે કોઈ સમસ્યા નથી. આપણે દ્વારા ઘટાડવાની જરૂર પડશે, તેથી અંશમાં આપણે તેને કૌંસની બહાર મૂકવું જોઈએ (જેથી કૌંસમાં આપણે તે ગુણાંક વિના મેળવી શકીએ):

વ્યસ્ત સંબંધ ગ્રાફ

હંમેશની જેમ, ચાલો સૌથી સરળ કેસથી પ્રારંભ કરીએ: .
ચાલો એક ટેબલ બનાવીએ:

ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર બિંદુઓ દોરીએ:

હવે તેઓને સરળતાથી કનેક્ટ કરવાની જરૂર છે, પરંતુ કેવી રીતે? તે જોઈ શકાય છે કે જમણી અને ડાબી બાજુઓ પરના બિંદુઓ મોટે ભાગે અનકનેક્ટેડ વક્ર રેખાઓ બનાવે છે. તે કેવી રીતે છે. ગ્રાફ આના જેવો દેખાશે:

આ ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે "હાયપરબોલા"(તે નામમાં "પેરાબોલા" જેવું કંઈક છે, બરાબર?). પેરાબોલાની જેમ, હાયપરબોલાની બે શાખાઓ હોય છે, માત્ર તેઓ એકબીજા સાથે જોડાયેલા નથી. તેમાંથી દરેક કુહાડીની નજીક જવા માટે તેના છેડા સાથે પ્રયત્ન કરે છે અને, પરંતુ ક્યારેય તેમના સુધી પહોંચતું નથી. જો તમે દૂરથી સમાન હાઇપરબોલને જોશો, તો તમને નીચેનું ચિત્ર મળશે:

આ સમજી શકાય તેવું છે: કારણ કે ગ્રાફ ધરીને પાર કરી શકતો નથી. પણ, તેથી ગ્રાફ ક્યારેય ધરીને સ્પર્શશે નહીં.

સારું, હવે ચાલો જોઈએ કે ગુણાંક શું પ્રભાવિત કરે છે. આ કાર્યોને ધ્યાનમાં લો:
:

વાહ, શું સુંદરતા!
બધા ગ્રાફને એકબીજાથી અલગ પાડવાનું સરળ બનાવવા માટે વિવિધ રંગોમાં પ્લોટ કરવામાં આવે છે.

તો, આપણે સૌ પ્રથમ શું ધ્યાન આપવું જોઈએ? ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ ફંક્શનમાં અપૂર્ણાંક પહેલા માઈનસ હોય, તો ગ્રાફ ફ્લિપ થાય છે, એટલે કે, ધરીની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે પ્રદર્શિત થાય છે.

બીજું: છેદમાં સંખ્યા જેટલી મોટી હશે, આલેખ મૂળથી "ભાગી જશે".

જો કાર્ય વધુ જટિલ લાગે, ઉદાહરણ તરીકે, તો શું?

આ કિસ્સામાં, હાયપરબોલ સામાન્યની જેમ બરાબર હશે, ફક્ત તે થોડું શિફ્ટ થશે. ચાલો વિચારીએ, ક્યાં?

તે હવે શું સમાન ન હોઈ શકે? સાચું, . આનો અર્થ એ છે કે ગ્રાફ ક્યારેય સીધી રેખા સુધી પહોંચશે નહીં. તે શું સમાન ન હોઈ શકે? હવે. આનો અર્થ એ છે કે હવે ગ્રાફ સીધી રેખા તરફ વળશે, પરંતુ તેને ક્યારેય પાર કરશે નહીં. તેથી, હવે સીધી રેખાઓ કાર્ય માટે સંકલન અક્ષો જેવી જ ભૂમિકા ભજવે છે. આવી રેખાઓ કહેવામાં આવે છે એસિમ્પ્ટોટ્સ(આલેખ જેની તરફ વળે છે પણ પહોંચતું નથી)

વિષયમાં આવા ગ્રાફ કેવી રીતે બાંધવામાં આવે છે તે વિશે આપણે વધુ જાણીશું.

હવે એકીકૃત કરવા માટે થોડા ઉદાહરણો હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો:

1. આકૃતિ ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. વ્યાખ્યાયિત કરો.

2. આકૃતિ ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. વ્યાખ્યાયિત કરો

3. આકૃતિ કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. વ્યાખ્યાયિત કરો.

4. આકૃતિ ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. વ્યાખ્યાયિત કરો.

5. આકૃતિ વિધેયોના આલેખ બતાવે છે અને.

યોગ્ય ગુણોત્તર પસંદ કરો:

જવાબો:

જીવનમાં વિપરીત અવલંબન

વ્યવહારમાં આપણે આવા કાર્ય ક્યાંથી શોધી શકીએ? ઘણા ઉદાહરણો છે. સૌથી સામાન્ય ચળવળ છે: આપણે જેટલી ઝડપે આગળ વધીએ છીએ, તેટલું જ અંતર કાપવામાં આપણને ઓછો સમય લાગશે. ખરેખર, ચાલો ઝડપ સૂત્ર યાદ રાખીએ: , ઝડપ ક્યાં છે, મુસાફરીનો સમય છે, અંતર (પાથ) છે.

અહીંથી આપણે સમય વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ:

ઉદાહરણ:

એક વ્યક્તિ કિમી/કલાકની સરેરાશ ઝડપે કામ પર જાય છે અને એક કલાકમાં ત્યાં પહોંચે છે. જો તે કિમી/કલાકની ઝડપે વાહન ચલાવશે તો તે જ રસ્તા પર તે કેટલી મિનિટ પસાર કરશે?

ઉકેલ:

સામાન્ય રીતે, તમે 5 મા અને 6ઠ્ઠા ધોરણમાં આવી સમસ્યાઓ હલ કરી છે. તમે પ્રમાણ બનાવ્યું છે:

એટલે કે, વ્યસ્ત પ્રમાણની વિભાવના તમને પહેલેથી જ પરિચિત છે. તેથી અમને યાદ આવ્યું. અને હવે તે જ વસ્તુ, ફક્ત પુખ્ત રીતે: કાર્ય દ્વારા.

ઝડપ પર મિનિટમાં સમયનું કાર્ય (એટલે ​​​​કે અવલંબન):

તે જાણીતું છે કે, પછી:

શોધવાની જરૂર છે:

હવે જીવનમાંથી કેટલાક ઉદાહરણો સાથે આવો જેમાં વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.
શું તમે તેની સાથે આવ્યા છો? જો તમે કરો તો સારું. સારા નસીબ!

રિવર્સ ડિપેન્ડન્સ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

1. વ્યાખ્યા

વ્યસ્ત અવલંબનનું વર્ણન કરતું કાર્યફોર્મનું એક કાર્ય છે જ્યાં.

બીજી રીતે, આ કાર્યને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કહેવામાં આવે છે, કારણ કે દલીલમાં વધારો થવાથી કાર્યમાં પ્રમાણસર ઘટાડો થાય છે.

એક માત્ર સંખ્યા કે જેને વડે વિભાજિત કરી શકાતી નથી તે છે:

વ્યસ્ત ગ્રાફ એ અતિપરવલય છે.

2. ગુણાંક, અને.

માટે જવાબદાર છે "સપાટતા" અને ગ્રાફની દિશા: આ ગુણાંક જેટલો મોટો છે, તેટલું આગળ હાયપરબોલા મૂળથી સ્થિત છે, અને, તેથી, તે ઓછા સીધા "વળાંક" થાય છે (આકૃતિ જુઓ). ગુણાંકનું ચિહ્ન અસર કરે છે કે ગ્રાફ કયા ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે:

• જો, પછી હાયપરબોલાની શાખાઓ અને ક્વાર્ટર્સમાં સ્થિત છે;
• જો, પછી માં અને.

x=a છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ, એટલે કે, વર્ટિકલ કે જેના તરફ ગ્રાફ વલણ ધરાવે છે.

સંખ્યા જો સંખ્યા દ્વારા ફંક્શન ગ્રાફને ઉપર તરફ ખસેડવા માટે અને જો તેને નીચે ખસેડવા માટે જવાબદાર છે.

તેથી, આ છે આડી એસિમ્પ્ટોટ.