ફંક્શન y sinx નો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો. કાર્યો y = sin x, y = cos x, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ - નોલેજ હાઇપરમાર્કેટ

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

લોખંડનો કોઈ ઉપયોગ ન થતાં કાટ લાગે છે,
ઠંડીમાં સ્થાયી પાણી સડે અથવા થીજી જાય,
અને વ્યક્તિનું મન, પોતાને માટે કોઈ કામ ન મળતું, સુસ્ત રહે છે.
લિયોનાર્ડો દા વિન્સી

વપરાયેલી તકનીકો:સમસ્યા-આધારિત શિક્ષણ, નિર્ણાયક વિચાર, વાતચીત સંચાર.

લક્ષ્યો:

• શીખવામાં જ્ઞાનાત્મક રસનો વિકાસ.
• ફંક્શન y = sin x ના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવો.
• અભ્યાસ કરેલ સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીના આધારે કાર્ય y = sin x નો ગ્રાફ બાંધવામાં વ્યવહારુ કુશળતાની રચના.

કાર્યો:

1. ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં કાર્ય y = sin x ના ગુણધર્મો વિશે જ્ઞાનની હાલની સંભવિતતાનો ઉપયોગ કરો.

2. કાર્ય y = sin x ના વિશ્લેષણાત્મક અને ભૌમિતિક મોડલ વચ્ચે જોડાણોની સભાન સ્થાપના લાગુ કરો.

ઉકેલ શોધવામાં પહેલ, ચોક્કસ ઇચ્છા અને રસ વિકસાવો; નિર્ણયો લેવાની ક્ષમતા, ત્યાં ન રોકો, અને તમારા દૃષ્ટિકોણનો બચાવ કરો.

વિદ્યાર્થીઓમાં જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિ, જવાબદારીની ભાવના, એકબીજા પ્રત્યે આદર, પરસ્પર સમજણ, પરસ્પર સમર્થન અને આત્મવિશ્વાસને પ્રોત્સાહન આપવું; સંદેશાવ્યવહારની સંસ્કૃતિ.

પાઠ પ્રગતિ

સ્ટેજ 1. મૂળભૂત જ્ઞાનને અપડેટ કરવું, નવી સામગ્રી શીખવા માટે પ્રેરિત કરવું

"પાઠમાં પ્રવેશ કરવો."

બોર્ડ પર 3 નિવેદનો લખેલા છે:

1. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ sin t = a હંમેશા ઉકેલો ધરાવે છે.
2. ઓય અક્ષ વિશે સમપ્રમાણતા રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને વિષમ કાર્યનો ગ્રાફ બનાવી શકાય છે.
3. ત્રિકોણમિતિ કાર્યને એક મુખ્ય અર્ધ-તરંગનો ઉપયોગ કરીને આલેખિત કરી શકાય છે.

વિદ્યાર્થીઓ જોડીમાં ચર્ચા કરે છે: શું નિવેદનો સાચા છે? (1 મિનિટ). પ્રારંભિક ચર્ચાના પરિણામો (હા, ના) પછી "પહેલાં" કૉલમમાં કોષ્ટકમાં દાખલ કરવામાં આવે છે.

શિક્ષક પાઠના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશો નક્કી કરે છે.

2. જ્ઞાન અપડેટ કરવું (ત્રિકોણમિતિ વર્તુળના મોડેલ પર આગળ).

આપણે પહેલાથી જ ફંક્શન s = sin t થી પરિચિત થઈ ગયા છીએ.

1) ચલ t કયા મૂલ્યો લઈ શકે છે. આ કાર્યનો અવકાશ શું છે?

2) sin t અભિવ્યક્તિના મૂલ્યો કયા અંતરાલમાં સમાયેલ છે? ફંક્શન s = sin t ની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો.

3) sin t = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

4) જ્યારે બિંદુ પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં આગળ વધે છે ત્યારે તેના ઓર્ડિનેટનું શું થાય છે? (ઓર્ડિનેટ વધે છે). જ્યારે બિંદુ બીજા ક્વાર્ટરમાં આગળ વધે છે ત્યારે તેના ઓર્ડિનેટનું શું થાય છે? (ઓર્ડિનેટ ધીમે ધીમે ઘટે છે). આ કાર્યની એકવિધતા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? (ફંક્શન s = sin t સેગમેન્ટ પર વધે છે અને સેગમેન્ટ પર ઘટે છે).

5) ચાલો ફંક્શન s = sin t ને y = sin x સ્વરૂપમાં લખીએ જે આપણને પરિચિત છે (આપણે તેને સામાન્ય xOy કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બનાવીશું) અને આ ફંક્શનના મૂલ્યોનું ટેબલ કમ્પાઈલ કરીએ.

સ્ટેજ 2. ધારણા, સમજણ, પ્રાથમિક એકત્રીકરણ, અનૈચ્છિક યાદ

સ્ટેજ 4. જ્ઞાનનું પ્રાથમિક વ્યવસ્થિતકરણ અને પ્રવૃત્તિની પદ્ધતિઓ, તેમના સ્થાનાંતરણ અને નવી પરિસ્થિતિઓમાં એપ્લિકેશન

6. નંબર 10.18 (b,c)

સ્ટેજ 5. અંતિમ નિયંત્રણ, કરેક્શન, આકારણી અને સ્વ-મૂલ્યાંકન

7. વિધાન પર પાછા ફરો (પાઠની શરૂઆત), ત્રિકોણમિતિ કાર્ય y = sin x ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ચર્ચા કરો અને કોષ્ટકમાં "પછી" કૉલમ ભરો.

8. D/z: કલમ 10, નં. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

આ પાઠમાં આપણે ફંક્શન y = sin x, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને ગ્રાફ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું. પાઠની શરૂઆતમાં, આપણે સંકલન વર્તુળ પર ત્રિકોણમિતિ કાર્ય y = sin t ની વ્યાખ્યા આપીશું અને વર્તુળ અને રેખા પરના કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો ગ્રાફ પર આ ફંક્શનની સામયિકતા બતાવીએ અને ફંક્શનના મુખ્ય ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ. પાઠના અંતે, આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ અને તેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સરળ સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

વિષય: ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

પાઠ: કાર્ય y=sinx, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને આલેખ

ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, દરેક દલીલ મૂલ્યને એક ફંક્શન મૂલ્ય સાથે સાંકળવું મહત્વપૂર્ણ છે. આ પત્રવ્યવહારનો કાયદોઅને કાર્ય કહેવાય છે.

ચાલો આપણે માટે પત્રવ્યવહાર કાયદો વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા એકમ વર્તુળ પરના એક બિંદુને અનુરૂપ હોય છે.

દરેક દલીલ મૂલ્ય એક કાર્ય મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે.

સ્પષ્ટ ગુણધર્મો સાઈનની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

આકૃતિ બતાવે છે કે કારણ કે એકમ વર્તુળ પરના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે.

કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો. ચાલો દલીલના ભૌમિતિક અર્થઘટનને યાદ કરીએ. દલીલ એ કેન્દ્રિય કોણ છે, જે રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે. અક્ષની સાથે આપણે રેડિયનમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા ખૂણાઓનું કાવતરું કરીશું, ધરીની સાથે ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યો.

ઉદાહરણ તરીકે, એકમ વર્તુળ પરનો કોણ ગ્રાફ પરના બિંદુને અનુરૂપ છે (ફિગ. 2)

અમે એરિયામાં ફંક્શનનો આલેખ મેળવ્યો છે પરંતુ સાઈનનો સમયગાળો જાણીને, અમે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન (ફિગ. 3) પર ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવી શકીએ છીએ.

કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો છે આનો અર્થ એ છે કે આલેખ સેગમેન્ટ પર મેળવી શકાય છે અને પછી વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ચાલુ રાખી શકાય છે.

કાર્યના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ:

2) મૂલ્યોની શ્રેણી:

3) વિચિત્ર કાર્ય:

4) સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો:

5) એબ્સીસા અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ:

6) ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ:

7) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

8) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

9) અંતરાલોમાં વધારો:

10) અંતરાલો ઘટાડવો:

11) ન્યૂનતમ પોઈન્ટ:

12) ન્યૂનતમ કાર્યો:

13) મહત્તમ પોઈન્ટ:

14) મહત્તમ કાર્યો:

અમે ફંક્શનના ગુણધર્મો અને તેના ગ્રાફને જોયા. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ગુણધર્મોનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

સંદર્ભો

1. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2009.

2. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. ગ્રેડ 10 માટે બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ (શાળાઓ અને ગણિતના અદ્યતન અભ્યાસ સાથેના વર્ગો માટે પાઠ્યપુસ્તક).

4. ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ., મોશકોવિચ એમ.એમ., શ્વાર્ટ્સબર્ડ એસ.આઈ. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ.-એમ.: શિક્ષણ, 1997.

5. ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ (એમ.આઈ. સ્કાનવી દ્વારા સંપાદિત).: ઉચ્ચ શાળા, 1992.

6. મર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એમ.એસ. બીજગણિત સિમ્યુલેટર.-કે.: A.S.K., 1997.

7. સહકયાન એસ.એમ., ગોલ્ડમેન એ.એમ., ડેનિસોવ ડી.વી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પરની સમસ્યાઓ (સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10-11ના વિદ્યાર્થીઓ માટે એક માર્ગદર્શિકા).

8. કાર્પ એ.પી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: પાઠયપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે ભથ્થું. ઊંડાઈ સાથે અભ્યાસ કર્યો ગણિત.-એમ.: શિક્ષણ, 2006.

હોમવર્ક

બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી.

એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

વધારાના વેબ સંસાધનો

3. પરીક્ષાની તૈયારી માટે શૈક્ષણિક પોર્ટલ ().

>> ગણિત: કાર્યો y = sin x, y = cos x, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

કાર્યો y = sin x, y = cos x, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

આ વિભાગમાં આપણે y = sin x, y = cos x ફંક્શનના કેટલાક ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીશું અને તેમના ગ્રાફનું નિર્માણ કરીશું.

1. કાર્ય y = sin X.

ઉપર, § 20 માં, અમે એક નિયમ ઘડ્યો છે જે દરેક સંખ્યા t ને સંખ્યા cos t સાથે સાંકળવાની મંજૂરી આપે છે, એટલે કે. લક્ષણ y = sin t. ચાલો તેના કેટલાક ગુણધર્મોની નોંધ લઈએ.

ફંક્શનના ગુણધર્મો u = sin t.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ K છે.
આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે કોઈપણ સંખ્યા 2 સંખ્યા વર્તુળ પરના બિંદુ M(1) ને અનુરૂપ છે, જે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓર્ડિનેટ ધરાવે છે; આ ઓર્ડિનેટ cos t છે.

u = sin t એ એક વિચિત્ર કાર્ય છે.

આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે, જેમ કે § 19 માં સાબિત થયું હતું, કોઈપણ સમાનતા માટે
આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન u = sin t નો ગ્રાફ, કોઈપણ વિષમ કાર્યના ગ્રાફની જેમ, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ tOi માં મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે.

ફંક્શન u = sin t અંતરાલ પર વધે છે
આ એ હકીકતને અનુસરે છે કે જ્યારે કોઈ બિંદુ સંખ્યાના વર્તુળના પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં આગળ વધે છે, ત્યારે ઓર્ડિનેટ ધીમે ધીમે વધે છે (0 થી 1 સુધી - ફિગ. 115 જુઓ), અને જ્યારે બિંદુ સંખ્યા વર્તુળના બીજા ક્વાર્ટર સાથે આગળ વધે છે, ઓર્ડિનેટ ધીમે ધીમે ઘટે છે (1 થી 0 સુધી - ફિગ 116 જુઓ).

ફંક્શન u = sint નીચે અને ઉપર બંને રીતે બંધાયેલું છે. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે, જેમ આપણે § 19 માં જોયું, કોઈપણ ટી માટે અસમાનતા

(ફંક્શન ફોર્મના કોઈપણ બિંદુએ આ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે (ફંક્શન ફોર્મના કોઈપણ બિંદુએ આ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે
પ્રાપ્ત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે અમારા માટે રસના કાર્યનો ગ્રાફ બનાવીશું. પરંતુ (ધ્યાન આપો!) u - sin t ને બદલે આપણે y = sin x લખીશું (છેવટે, આપણે y = f(x) લખવા માટે વધુ ટેવાયેલા છીએ, અને u = f(t) નહીં). આનો અર્થ એ છે કે અમે સામાન્ય સંકલન સિસ્ટમ xOy (અને toy નહીં) માં ગ્રાફ બનાવીશું.

ચાલો ફંક્શન y - sin x ના મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ:

ટિપ્પણી.

ચાલો આપણે "સાઇન" શબ્દના મૂળના સંસ્કરણોમાંથી એક આપીએ. લેટિનમાં, સાઇનસનો અર્થ થાય છે વળાંક (ધનુષની તાર).

રચાયેલ આલેખ અમુક અંશે આ પરિભાષાને યોગ્ય ઠેરવે છે.

રેખા જે ફંક્શન y = sin x ના ગ્રાફ તરીકે કામ કરે છે તેને સાઈન વેવ કહેવાય છે. સાઇનસૉઇડનો તે ભાગ જે ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 118 અથવા 119 ને સાઈન વેવ કહેવામાં આવે છે, અને સાઈન વેવનો તે ભાગ જે ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 117 ને સાઈન વેવની હાફ-વેવ અથવા આર્ક કહેવામાં આવે છે.

2. કાર્ય y = cos x.

ફંક્શન y = cos x નો અભ્યાસ લગભગ એ જ સ્કીમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવી શકે છે જેનો ઉપયોગ y = sin x માટે ઉપર કરવામાં આવ્યો હતો. પરંતુ અમે તે રસ્તો પસંદ કરીશું જે ધ્યેય તરફ ઝડપથી લઈ જાય. પ્રથમ, અમે બે સૂત્રો સાબિત કરીશું જે પોતાનામાં મહત્વપૂર્ણ છે (તમે આ હાઇ સ્કૂલમાં જોશો), પરંતુ હાલમાં અમારા હેતુઓ માટે માત્ર સહાયક મહત્વ છે.

ટીના કોઈપણ મૂલ્ય માટે નીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:

પુરાવો. સંખ્યા t ને સંખ્યાત્મક વર્તુળ n ના બિંદુ M ને અનુરૂપ થવા દો, અને સંખ્યા * + - બિંદુ P (ફિગ. 124; સરળતા ખાતર, અમે પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં બિંદુ M લીધો). ચાપ AM અને BP સમાન છે, અને જમણો ત્રિકોણ OKM અને OLBP અનુરૂપ રીતે સમાન છે. આનો અર્થ છે O K = Ob, MK = Pb. આ સમાનતાઓમાંથી અને સંકલન પ્રણાલીમાં OCM અને OBP ત્રિકોણના સ્થાન પરથી, અમે બે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ:

1) પોઈન્ટ P નો ઓર્ડિનેટ બંને મેગ્નિટ્યુડ અને સાઈન પોઈન્ટ M ના એબ્સીસા સાથે એકરુપ છે; આનો અર્થ એ છે કે

2) પોઈન્ટ P નો એબ્સીસા એ પોઈન્ટ M ના ઓર્ડિનેટના સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન છે, પરંતુ તેનાથી ચિહ્નમાં અલગ છે; આનો અર્થ એ છે કે

લગભગ સમાન તર્ક એવા કિસ્સાઓમાં હાથ ધરવામાં આવે છે જ્યાં બિંદુ M પ્રથમ ક્વાર્ટર સાથે સંબંધિત નથી.
ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ (આ ઉપર સાબિત થયેલ સૂત્ર છે, પરંતુ વેરીએબલ t ને બદલે આપણે x નો ઉપયોગ કરીએ છીએ). આ સૂત્ર આપણને શું આપે છે? તે અમને ખાતરી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે કે કાર્યો

સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે તેમના આલેખ એકરૂપ છે.
ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ આ કરવા માટે, ચાલો એક બિંદુ પર મૂળ સાથે સહાયક સંકલન સિસ્ટમ પર આગળ વધીએ (ડોટેડ રેખા ફિગ. 125 માં દોરવામાં આવી છે). ચાલો ફંક્શન y = sin x ને નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે બાંધીએ - આ ફંક્શનનો ગ્રાફ હશે (ફિગ. 125), એટલે કે. કાર્ય y - cos x નો ગ્રાફ. તે, ફંક્શન y = sin x ના ગ્રાફની જેમ, સાઈન વેવ કહેવાય છે (જે તદ્દન કુદરતી છે).

ફંક્શનના ગુણધર્મો y = cos x.

y = cos x એ સમ કાર્ય છે.

બાંધકામના તબક્કા ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. 126:

1) ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો y = cos x (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, એક અર્ધ-તરંગ);
2) 0.5 ના પરિબળ સાથે x-અક્ષમાંથી બાંધેલા ગ્રાફને ખેંચીને, અમે જરૂરી ગ્રાફનો અડધો-તરંગ મેળવીએ છીએ;
3) પરિણામી અર્ધ-તરંગનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ફંક્શન y = 0.5 cos x નો આખો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ.

અમને જાણવા મળ્યું કે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું વર્તન અને કાર્યો y = પાપ x ખાસ કરીને સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર (અથવા દલીલના તમામ મૂલ્યો માટે એક્સ) અંતરાલમાં તેના વર્તન દ્વારા સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે 0 < એક્સ < π / 2 .

તેથી, સૌ પ્રથમ, આપણે ફંક્શનને પ્લોટ કરીશું y = પાપ x બરાબર આ અંતરાલમાં.

ચાલો આપણા કાર્યના મૂલ્યોનું નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ;

સંકલન સમતલ પર અનુરૂપ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીને અને તેમને સરળ રેખા સાથે જોડીને, અમે આકૃતિમાં બતાવેલ વળાંક મેળવીએ છીએ.

પરિણામી વળાંક ફંક્શન મૂલ્યોના કોષ્ટકને સંકલિત કર્યા વિના, ભૌમિતિક રીતે પણ બાંધી શકાય છે. y = પાપ x .

1. ત્રિજ્યા 1 ના વર્તુળના પ્રથમ ક્વાર્ટરને 8 સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો વર્તુળના વિભાજન બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સ અનુરૂપ ખૂણાઓની સાઈન છે.

2.વર્તુળનો પ્રથમ ક્વાર્ટર 0 થી ખૂણાઓને અનુરૂપ છે π / 2 . તેથી, ધરી પર એક્સચાલો એક સેગમેન્ટ લઈએ અને તેને 8 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ.

3. ચાલો અક્ષોની સમાંતર સીધી રેખાઓ દોરીએ એક્સ, અને વિભાજન બિંદુઓથી આપણે કાટખૂણે બાંધીએ છીએ જ્યાં સુધી તેઓ આડી રેખાઓ સાથે છેદે નહીં.

4. એક સરળ રેખા સાથે આંતરછેદ બિંદુઓને જોડો.

હવે ઈન્ટરવલ જોઈએ π / 2 < એક્સ < π .
દરેક દલીલ મૂલ્ય એક્સઆ અંતરાલમાંથી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

x = π / 2 + φ

જ્યાં 0 < φ < π / 2 . ઘટાડો સૂત્રો અનુસાર

પાપ ( π / 2 + φ ) = cos φ = પાપ( π / 2 - φ ).

ધરી બિંદુઓ એક્સ abscissas સાથે π / 2 + φ અને π / 2 - φ અક્ષ બિંદુ વિશે એકબીજા સાથે સપ્રમાણ એક્સ abscissa સાથે π / 2 , અને આ બિંદુઓ પરના સાઈન સમાન છે. આ અમને ફંક્શનનો ગ્રાફ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે y = પાપ x અંતરાલમાં [ π / 2 , π ] સીધી રેખાની સાપેક્ષ અંતરાલમાં આ ફંક્શનના ગ્રાફને સમપ્રમાણરીતે દર્શાવીને એક્સ = π / 2 .

હવે મિલકતનો ઉપયોગ વિચિત્ર સમાનતા કાર્ય y = પાપ x,

પાપ(- એક્સ) = - પાપ એક્સ,

આ કાર્યને અંતરાલમાં બનાવવું સરળ છે [- π , 0].

કાર્ય y = sin x 2π ના સમયગાળા સાથે સામયિક છે ;. તેથી, આ ફંક્શનનો આખો ગ્રાફ બનાવવા માટે, આકૃતિમાં બતાવેલ વળાંકને સમયાંતરે ડાબી અને જમણી બાજુએ પીરિયડ સાથે ચાલુ રાખવા માટે તે પૂરતું છે. 2π .

પરિણામી વળાંક કહેવામાં આવે છે સાઇનસૉઇડ . તે ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવે છે y = પાપ x.

આકૃતિ કાર્યના તમામ ગુણધર્મોને સારી રીતે સમજાવે છે y = પાપ x , જે આપણે અગાઉ સાબિત કર્યું છે. ચાલો આ ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

1) કાર્ય y = પાપ x બધા મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત એક્સ , તેથી તેનું ડોમેન એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

2) કાર્ય y = પાપ x મર્યાદિત તે સ્વીકારે છે તે તમામ મૂલ્યો -1 અને 1 ની વચ્ચે છે, જેમાં આ બે સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. પરિણામે, આ કાર્યની વિવિધતાની શ્રેણી અસમાનતા -1 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે < ખાતે < 1. ક્યારે એક્સ = π / 2 + 2k π ફંક્શન 1 ની બરાબર સૌથી મોટી કિંમતો લે છે, અને x = - માટે π / 2 + 2k π - નાનામાં નાના મૂલ્યો - 1.

3) કાર્ય y = પાપ x વિચિત્ર છે (સાઇનસૉઇડ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે).

4) કાર્ય y = પાપ x સમયગાળા 2 સાથે સામયિક π .

5) 2n અંતરાલો માં π < x < π + 2n π (n કોઈપણ પૂર્ણાંક છે) તે હકારાત્મક છે, અને અંતરાલો છે π + 2k π < એક્સ < 2π + 2k π (k કોઈપણ પૂર્ણાંક છે) તે નકારાત્મક છે. x = k પર π કાર્ય શૂન્ય પર જાય છે. તેથી, દલીલ x (0; ±.) ના આ મૂલ્યો π ; ±2 π ; ...) ફંક્શન શૂન્ય કહેવાય છે y = પાપ x

6) અંતરાલો પર - π / 2 + 2n π < એક્સ < π / 2 + 2n π કાર્ય y = પાપ x એકવિધ રીતે અને અંતરાલોમાં વધે છે π / 2 + 2k π < એક્સ < 3π / 2 + 2k π તે એકવિધ રીતે ઘટે છે.

તમારે કાર્યના વર્તન પર વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ y = પાપ x બિંદુની નજીક એક્સ = 0 .

ઉદાહરણ તરીકે, પાપ 0.012 ≈ 0.012; પાપ(-0.05) ≈ -0,05;

પાપ 2° = પાપ π 2 / 180 = પાપ π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

તે જ સમયે, એ નોંધવું જોઈએ કે x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે

| પાપ x| < | x | . (1)

ખરેખર, આકૃતિમાં બતાવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 જેટલી થવા દો,
a / AOB = એક્સ.

પછી પાપ x= એસી. પરંતુ એ.સી< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол એક્સ. આ ચાપની લંબાઈ દેખીતી રીતે સમાન છે એક્સ, કારણ કે વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 છે. તેથી, 0 પર< એક્સ < π / 2

પાપ x< х.

તેથી, કાર્યની વિચિત્રતાને કારણે y = પાપ x તે બતાવવાનું સરળ છે કે જ્યારે - π / 2 < એક્સ < 0

| પાપ x| < | x | .

છેલ્લે, જ્યારે x = 0

| પાપ x | = | x |.

આમ, માટે | એક્સ | < π / 2 અસમાનતા (1) સાબિત થઈ છે. હકીકતમાં, આ અસમાનતા | માટે પણ સાચી છે x | > π / 2 હકીકત એ છે કે | પાપ એક્સ | < 1, એ π / 2 > 1

કસરતો

1.કાર્યના ગ્રાફ અનુસાર y = પાપ x નક્કી કરો: a) પાપ 2; b) પાપ 4; c) પાપ (-3).

2. કાર્ય ગ્રાફ અનુસાર y = પાપ x અંતરાલમાંથી કઈ સંખ્યા નક્કી કરો
[ - π / 2 , π / 2 ] ની સમાન સાઈન છે: a) 0.6; b) -0.8.

3. કાર્યના ગ્રાફ અનુસાર y = પાપ x નક્કી કરો કે કઈ સંખ્યાઓની સાઈન છે,
1/2 ની બરાબર.

4. આશરે શોધો (કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કર્યા વિના): a) sin 1°; b) પાપ 0.03;
c) પાપ (-0.015); ડી) પાપ (-2°30").

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "કાર્ય y=sin(x). વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

1C થી ગ્રેડ 10 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં મેન્યુઅલ અને સિમ્યુલેટર
ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. ગ્રેડ 7-10 માટે ઇન્ટરેક્ટિવ બાંધકામ કાર્યો
સોફ્ટવેર પર્યાવરણ "1C: મેથેમેટિકલ કન્સ્ટ્રક્ટર 6.1"

આપણે શું અભ્યાસ કરીશું:

• Y=sin(X) ફંક્શનના ગુણધર્મો.
• કાર્ય ગ્રાફ.
• ગ્રાફ અને તેનો સ્કેલ કેવી રીતે બનાવવો.
• ઉદાહરણો.

સાઈનના ગુણધર્મો. Y=sin(X)

મિત્રો, આપણે સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોથી પહેલેથી જ પરિચિત થઈ ગયા છીએ. શું તમે તેમને યાદ કરો છો?

ચાલો Y=sin(X) ફંક્શન પર નજીકથી નજર કરીએ.

ચાલો આ કાર્યના કેટલાક ગુણધર્મો લખીએ:
1) વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
2) કાર્ય વિચિત્ર છે. ચાલો એક વિચિત્ર કાર્યની વ્યાખ્યા યાદ રાખીએ. જો સમાનતા ધરાવે છે તો કાર્યને વિચિત્ર કહેવામાં આવે છે: y(-x)=-y(x). જેમ આપણે ભૂત સૂત્રોમાંથી યાદ કરીએ છીએ: sin(-x)=-sin(x). વ્યાખ્યા પૂરી થઈ છે, જેનો અર્થ છે Y=sin(X) એક વિચિત્ર કાર્ય છે.
3) ફંક્શન Y=sin(X) સેગમેન્ટ પર વધે છે અને સેગમેન્ટ પર ઘટે છે [π/2; π]. જ્યારે આપણે પ્રથમ ક્વાર્ટર (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) આગળ વધીએ છીએ, ત્યારે ઓર્ડિનેટ વધે છે, અને જ્યારે આપણે બીજા ક્વાર્ટરમાં આગળ વધીએ છીએ, ત્યારે તે ઘટે છે.

4) કાર્ય Y=sin(X) નીચેથી અને ઉપરથી મર્યાદિત છે. આ મિલકત એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય -1 છે (x = - π/2+ πk પર). ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય 1 છે (x = π/2+ πk પર).

ચાલો Y=sin(X) ફંક્શનને પ્લોટ કરવા માટે ગુણધર્મો 1-5 નો ઉપયોગ કરીએ. અમે અમારા ગુણધર્મોને લાગુ કરીને, ક્રમિક રીતે અમારો ગ્રાફ બનાવીશું. ચાલો સેગમેન્ટ પર ગ્રાફ બનાવવાનું શરૂ કરીએ.

સ્કેલ પર ખાસ ધ્યાન આપવું જોઈએ. ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર 2 કોષો સમાન એકમ સેગમેન્ટ લેવાનું વધુ અનુકૂળ છે, અને એબ્સીસા અક્ષ પર π/3 (આકૃતિ જુઓ) ની સમાન એકમ સેગમેન્ટ (બે કોષો) લેવાનું વધુ અનુકૂળ છે.

સાઈન x ફંક્શનનું પ્લોટિંગ, y=sin(x)

ચાલો આપણા સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:

ચાલો ત્રીજી ગુણધર્મને ધ્યાનમાં લઈને અમારા પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફ બનાવીએ.

ભૂત સૂત્રો માટે રૂપાંતર કોષ્ટક

ચાલો બીજા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ, જે કહે છે કે આપણું કાર્ય વિચિત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે તે મૂળના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણરીતે પ્રતિબિંબિત થઈ શકે છે:

આપણે જાણીએ છીએ કે sin(x+ 2π) = sin(x). આનો અર્થ એ છે કે અંતરાલ પર [- π; π] આલેખ સેગમેન્ટ પર જેવો જ દેખાય છે [π; 3π] અથવા અથવા [-3π; - π] અને તેથી વધુ. આપણે ફક્ત અગાઉની આકૃતિમાં આલેખને સમગ્ર x-અક્ષ સાથે કાળજીપૂર્વક ફરીથી દોરવાનું છે.

Y=sin(X) ફંક્શનના આલેખને sinusoid કહેવાય છે.

ચાલો બાંધેલા ગ્રાફ અનુસાર થોડા વધુ ગુણધર્મો લખીએ:
6) ફંક્શન Y=sin(X) ફોર્મના કોઈપણ સેગમેન્ટ પર વધે છે: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k એ પૂર્ણાંક છે અને ફોર્મના કોઈપણ સેગમેન્ટ પર ઘટે છે: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – પૂર્ણાંક.
7) કાર્ય Y=sin(X) એ સતત કાર્ય છે. ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ જોઈએ અને ખાતરી કરીએ કે આપણા ફંક્શનમાં કોઈ બ્રેક નથી, આનો અર્થ છે સાતત્ય.
8) મૂલ્યોની શ્રેણી: સેગમેન્ટ [- 1; 1]. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી પણ આ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે.
9) કાર્ય Y=sin(X) - સામયિક કાર્ય. ચાલો આલેખને ફરીથી જોઈએ અને જોઈએ કે ફંક્શન ચોક્કસ અંતરાલો પર સમાન મૂલ્યો લે છે.

સાઈન સાથે સમસ્યાઓના ઉદાહરણો

1. સમીકરણ sin(x) = x-π ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો ફંક્શનના 2 ગ્રાફ બનાવીએ: y=sin(x) અને y=x-π (આકૃતિ જુઓ).
અમારા આલેખ એક બિંદુ A(π;0) પર છેદે છે, આ જવાબ છે: x = π

2. ફંકશનનો ગ્રાફ y=sin(π/6+x)-1

ઉકેલ: ફંક્શન y=sin(x) π/6 એકમોના ગ્રાફને ડાબી તરફ અને 1 એકમ નીચે ખસેડીને ઇચ્છિત ગ્રાફ મેળવવામાં આવશે.

ઉકેલ: ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ અને આપણા સેગમેન્ટને ધ્યાનમાં લઈએ [π/2; 5π/4].
ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે કે સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો અનુક્રમે π/2 અને 5π/4 પોઈન્ટ પર સેગમેન્ટના છેડે પ્રાપ્ત થાય છે.
જવાબ: sin(π/2) = 1 – સૌથી મોટું મૂલ્ય, sin(5π/4) = સૌથી નાનું મૂલ્ય.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સાઈન સમસ્યાઓ

• સમીકરણ ઉકેલો: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• ફંક્શનનો ગ્રાફ y=sin(π/3+x)-2
• y=sin(-2π/3+x)+1 ફંક્શનનો આલેખ કરો
• સેગમેન્ટ પર ફંક્શન y=sin(x) નું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધો
• અંતરાલ પર ફંક્શન y=sin(x) નું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધો [- π/3; 5π/6]