આ લેખમાં આપણે જોઈશું કે કેવી રીતે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું, અને વિપરીત પ્રક્રિયાને પણ ધ્યાનમાં લો - દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો. અહીં આપણે અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરવાના નિયમોની રૂપરેખા આપીશું અને લાક્ષણિક ઉદાહરણો માટે વિગતવાર ઉકેલો પ્રદાન કરીશું.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
ચાલો તે ક્રમ દર્શાવીએ કે જેમાં આપણે વ્યવહાર કરીશું અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું.
પ્રથમ, આપણે દશાંશ તરીકે 10, 100, 1,000, ... છેદ સાથે અપૂર્ણાંકોને કેવી રીતે રજૂ કરવા તે જોઈશું. આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંક એ 10, 100, .... સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક લખવાનું એક સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ છે.
તે પછી, આપણે આગળ જઈશું અને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક (માત્ર 10, 100, ... સાથે નહીં) કેવી રીતે લખવું તે બતાવીશું. જ્યારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને આ રીતે ગણવામાં આવે છે, ત્યારે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અને અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક બંને પ્રાપ્ત થાય છે.
હવે ચાલો ક્રમમાં બધું વિશે વાત કરીએ.
છેદ 10, 100, ... સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
કેટલાક યોગ્ય અપૂર્ણાંકોને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરતા પહેલા "પ્રારંભિક તૈયારી"ની જરૂર પડે છે. આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને લાગુ પડે છે, જેનાં અંશમાં અંકોની સંખ્યા છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા કરતાં ઓછી છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 2/100 પ્રથમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર માટે તૈયાર હોવો જોઈએ, પરંતુ અપૂર્ણાંક 9/10 માટે કોઈ તૈયારીની જરૂર નથી.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર માટે યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની "પ્રારંભિક તૈયારી" માં અંશમાં ડાબી બાજુએ એટલા બધા શૂન્ય ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે કે ત્યાંના અંકોની કુલ સંખ્યા છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા જેટલી થઈ જાય. ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય ઉમેર્યા પછીનો અપૂર્ણાંક જેવો દેખાશે.
એકવાર તમારી પાસે યોગ્ય અપૂર્ણાંક તૈયાર થઈ જાય, પછી તમે તેને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાનું શરૂ કરી શકો છો.
ચાલો આપીએ 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ...ના છેદ સાથે યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાનો નિયમ. તે ત્રણ પગલાંઓ સમાવે છે:
- 0 લખો;
- તેના પછી આપણે દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ;
- અમે અંશમાંથી સંખ્યા લખીએ છીએ (જો આપણે ઉમેરેલા શૂન્ય સાથે).
ચાલો ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે આ નિયમના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ.
યોગ્ય અપૂર્ણાંક 37/100 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
છેદમાં 100 નંબર છે, જેમાં બે શૂન્ય છે. અંશમાં નંબર 37 હોય છે, તેના સંકેતમાં બે અંકો હોય છે, તેથી, આ અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર માટે તૈયાર કરવાની જરૂર નથી.
હવે આપણે 0 લખીએ છીએ, દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ અને અંશમાંથી નંબર 37 લખીએ છીએ, અને આપણને દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.37 મળે છે.
જવાબ:
0,37 .
અંશ 10, 100, ... સાથે યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની કુશળતાને મજબૂત કરવા માટે, અમે બીજા ઉદાહરણમાં ઉકેલનું વિશ્લેષણ કરીશું.
ઉદાહરણ.
દશાંશ તરીકે યોગ્ય અપૂર્ણાંક 107/10,000,000 લખો.
ઉકેલ.
અંશમાં અંકોની સંખ્યા 3 છે, અને છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા 7 છે, તેથી આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતર માટે તૈયાર કરવાની જરૂર છે. આપણે અંશમાં ડાબી બાજુએ 7-3=4 શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે જેથી કરીને ત્યાં અંકોની કુલ સંખ્યા છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા જેટલી થાય. અમને મળે છે.
જે બાકી રહે છે તે જરૂરી દશાંશ અપૂર્ણાંક બનાવવાનું છે. આ કરવા માટે, પ્રથમ, આપણે 0 લખીએ છીએ, બીજું, આપણે અલ્પવિરામ મૂકીએ છીએ, ત્રીજું, આપણે અંશમાંથી સંખ્યાને શૂન્ય 0000107 સાથે લખીએ છીએ, પરિણામે આપણી પાસે દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.0000107 છે.
જવાબ:
0,0000107 .
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરતી વખતે કોઈ તૈયારીની જરૂર નથી. નીચેની બાબતોનું પાલન કરવું જોઈએ છેદ 10, 100, ... સાથે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો:
- અંશમાંથી નંબર લખો;
- મૂળ અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્ય હોવાથી જમણી બાજુના ઘણા અંકોને અલગ કરવા માટે આપણે દશાંશ બિંદુનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ઉદાહરણ ઉકેલતી વખતે ચાલો આ નિયમનો ઉપયોગ જોઈએ.
ઉદાહરણ.
અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 56,888,038,009/100,000 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
પ્રથમ, આપણે 56888038009 અંશમાંથી સંખ્યા લખીએ છીએ, અને બીજું, આપણે જમણી બાજુના 5 અંકોને દશાંશ બિંદુથી અલગ કરીએ છીએ, કારણ કે મૂળ અપૂર્ણાંકના છેદમાં 5 શૂન્ય છે. પરિણામે, અમારી પાસે દશાંશ અપૂર્ણાંક 568880.38009 છે.
જવાબ:
568 880,38009 .
મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અપૂર્ણાંક ભાગનો છેદ જે નંબર 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ... છે, તમે મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો, અને પછી પરિણામી રૂપાંતર કરી શકો છો. દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં અપૂર્ણાંક. પરંતુ તમે નીચેનાનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો મિશ્ર સંખ્યાઓને 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ...ના અપૂર્ણાંક છેદ સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાનો નિયમ:
- જો જરૂરી હોય તો, અમે અંશમાં ડાબી બાજુએ શૂન્યની આવશ્યક સંખ્યા ઉમેરીને મૂળ મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગની "પ્રારંભિક તૈયારી" કરીએ છીએ;
- મૂળ મિશ્ર સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ લખો;
- દશાંશ બિંદુ મૂકો;
- આપણે ઉમેરેલા શૂન્ય સાથે અંશમાંથી સંખ્યા લખીએ છીએ.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ જેમાં આપણે મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવા માટેના તમામ જરૂરી પગલાં પૂર્ણ કરીએ છીએ.
ઉદાહરણ.
મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં 4 શૂન્ય હોય છે, અને અંશમાં 17 નંબર હોય છે, જેમાં 2 અંકો હોય છે, તેથી, આપણે અંશમાં ડાબી બાજુએ બે શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે જેથી કરીને ત્યાંના અંકોની સંખ્યા સંખ્યાની સંખ્યા જેટલી થાય. છેદમાં શૂન્ય. આમ કરવાથી, અંશ 0017 થશે.
હવે આપણે મૂળ સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ લખીએ છીએ, એટલે કે 23 નંબર, દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ, ત્યારબાદ આપણે અંશમાંથી સંખ્યાને ઉમેરેલા શૂન્ય સાથે એટલે કે 0017 લખીએ છીએ, અને આપણને ઇચ્છિત દશાંશ મળે છે. અપૂર્ણાંક 23.0017.
ચાલો આખો ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ: 
.
અલબત્ત, પ્રથમ મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવી અને પછી તેને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય હતું. આ અભિગમ સાથે, ઉકેલ આના જેવો દેખાય છે: .
જવાબ:
23,0017 .
અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત અને અનંત સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
તમે છેદ 10, 100, ... સાથે માત્ર સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને જ નહીં, પરંતુ અન્ય છેદ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને પણ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો. હવે આપણે સમજીશું કે આ કેવી રીતે થાય છે.
કેટલાક કિસ્સાઓમાં, મૂળ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સરળતાથી 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ... (નવા છેદમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંક લાવતા જુઓ), જે પછી પરિણામી અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું મુશ્કેલ નથી. દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે. ઉદાહરણ તરીકે, તે સ્પષ્ટ છે કે અપૂર્ણાંક 2/5 ને છેદ 10 સાથે અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડી શકાય છે, આ માટે તમારે અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, જે અપૂર્ણાંક 4/10 આપશે, જે મુજબ, અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરેલ નિયમો, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0, 4 માં સરળતાથી રૂપાંતરિત થાય છે.
અન્ય કિસ્સાઓમાં, તમારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાની બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડશે, જેને આપણે હવે ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ છીએ.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અંશને પ્રથમ દશાંશ બિંદુ પછી શૂન્યની કોઈપણ સંખ્યા સાથે સમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવામાં આવે છે (અમે આ વિશે સમાન વિભાગમાં વાત કરી હતી અને અસમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક). આ કિસ્સામાં, ભાગાકાર એ જ રીતે કરવામાં આવે છે જે રીતે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના કૉલમ દ્વારા વિભાજન કરવામાં આવે છે, અને જ્યારે ડિવિડન્ડના સંપૂર્ણ ભાગનું વિભાજન સમાપ્ત થાય છે ત્યારે ભાગાંકમાં દશાંશ બિંદુ મૂકવામાં આવે છે. નીચે આપેલા ઉદાહરણોના ઉકેલો પરથી આ બધું સ્પષ્ટ થશે.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક 621/4 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
ચાલો અંશ 621 માંની સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ, તેના પછી દશાંશ બિંદુ અને કેટલાક શૂન્ય ઉમેરીએ. પ્રથમ, ચાલો 2 અંકો 0 ઉમેરીએ, પછીથી, જો જરૂરી હોય તો, આપણે હંમેશા વધુ શૂન્ય ઉમેરી શકીએ છીએ. તેથી, અમારી પાસે 621.00 છે.
હવે 621,000 નંબરને 4 વડે કૉલમ વડે ભાગીએ. પ્રથમ ત્રણ પગલાં કુદરતી સંખ્યાઓને કૉલમ દ્વારા વિભાજિત કરતાં અલગ નથી, તે પછી આપણે નીચેના ચિત્ર પર આવીએ છીએ: 
આ રીતે આપણે ડિવિડન્ડમાં દશાંશ બિંદુ સુધી પહોંચીએ છીએ, અને બાકીનું શૂન્યથી અલગ છે. આ કિસ્સામાં, અમે અવશેષમાં દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ અને અલ્પવિરામ પર ધ્યાન ન આપતા, કૉલમમાં વિભાજન કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ: 
આ વિભાજનને પૂર્ણ કરે છે, અને પરિણામે આપણને દશાંશ અપૂર્ણાંક 155.25 મળે છે, જે મૂળ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ છે.
જવાબ:
155,25 .
સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અન્ય ઉદાહરણના ઉકેલને ધ્યાનમાં લો.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક 21/800 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંક 21,000...ના સ્તંભ સાથે 800 વડે ભાગીએ છીએ. પ્રથમ પગલા પછી, આપણે ભાગાંકમાં દશાંશ બિંદુ મૂકવો પડશે, અને પછી વિભાગ ચાલુ રાખવો પડશે: 
અંતે, અમને બાકીનું 0 મળ્યું, આ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 21/400 નું દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર પૂર્ણ કરે છે, અને અમે દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.02625 પર પહોંચ્યા.
જવાબ:
0,02625 .
એવું બની શકે છે કે જ્યારે અંશને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા વિભાજિત કરીએ ત્યારે, આપણને હજુ પણ 0 નો શેષ મળતો નથી. આ કિસ્સાઓમાં, વિભાજન અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે. જો કે, ચોક્કસ પગલાથી શરૂ કરીને, શેષ સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ કરે છે, અને ભાગાંકમાંની સંખ્યાઓ પણ પુનરાવર્તિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે મૂળ અપૂર્ણાંક અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે આ બતાવીએ.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક 19/44 ને દશાંશ તરીકે લખો.
ઉકેલ.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, કૉલમ દ્વારા વિભાજન કરો: 
તે પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે કે વિભાજન દરમિયાન અવશેષો 8 અને 36 પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ થયું, જ્યારે ભાગાંકમાં નંબર 1 અને 8 પુનરાવર્તિત થાય છે. આમ, મૂળ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 19/44 ને સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.43181818...=0.43(18) માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
જવાબ:
0,43(18) .
આ મુદ્દાને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે શોધીશું કે કયા સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને કયા અપૂર્ણાંકને ફક્ત સામયિકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
ચાલો આપણે આપણી સામે એક અપૂર્ણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક રાખીએ (જો અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય તેવું હોય, તો આપણે પહેલા અપૂર્ણાંકને ઘટાડીશું), અને આપણે તે શોધવાની જરૂર છે કે તેને કયા દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે - મર્યાદિત અથવા સામયિક.
તે સ્પષ્ટ છે કે જો સામાન્ય અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1,000, ... માંના કોઈ એકમાં ઘટાડી શકાય છે, તો પરિણામી અપૂર્ણાંકને અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરાયેલા નિયમો અનુસાર સરળતાથી અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ 10, 100, 1,000, વગેરે છેદ માટે. બધા સામાન્ય અપૂર્ણાંકો આપવામાં આવતા નથી. માત્ર એવા અપૂર્ણાંકો જેમના છેદ 10, 100, ... સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા એક છે અને 10, 100, ...ના વિભાજકોમાં ઘટાડો કરી શકાય છે. સંખ્યાઓ 10, 100, ... અમને આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા દેશે, અને તે નીચે મુજબ છે: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... તે અનુસરે છે કે વિભાજકો 10, 100, 1,000, વગેરે છે. એવી સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે કે જેના મુખ્ય પરિબળમાં વિઘટન માત્ર 2 અને (અથવા) 5 હોય.
હવે આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા વિશે સામાન્ય નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ છીએ:
- જો અવિભાજ્ય પરિબળોમાં છેદના વિઘટનમાં માત્ર સંખ્યાઓ 2 અને (અથવા) 5 હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે;
- જો, બે અને પાંચ ઉપરાંત, છેદના વિસ્તરણમાં અન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો આ અપૂર્ણાંક અનંત દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉદાહરણ.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કર્યા વિના, મને કહો કે 47/20, 7/12, 21/56, 31/17માંથી કયા અપૂર્ણાંકને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને કયા અપૂર્ણાંકને માત્ર સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
ઉકેલ.
અપૂર્ણાંક 47/20 ના છેદને 20=2·2·5 તરીકે અવિભાજ્ય અવયવમાં અવયવિત કરવામાં આવે છે. આ વિસ્તરણમાં માત્ર બે અને પાંચ છે, તેથી આ અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1,000, ... (આ ઉદાહરણમાં, છેદ 100)માંથી એકમાં ઘટાડી શકાય છે, તેથી, અંતિમ દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અપૂર્ણાંક
અપૂર્ણાંક 7/12 ના છેદનું મુખ્ય પરિબળમાં વિઘટન 12=2·2·3 સ્વરૂપ ધરાવે છે. તે 2 અને 5 થી અલગ 3 નું અવિભાજ્ય પરિબળ ધરાવે છે, તેથી આ અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત દશાંશ તરીકે રજૂ કરી શકાતો નથી, પરંતુ તેને સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
અપૂર્ણાંક 21/56 - સંકોચનીય, સંકોચન પછી તે 3/8 સ્વરૂપ લે છે. છેદને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવિત કરવામાં 2 ની સમાન ત્રણ અવયવો હોય છે, તેથી, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 3/8, અને તેથી સમાન અપૂર્ણાંક 21/56, અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.
છેલ્લે, અપૂર્ણાંક 31/17 ના છેદનું વિસ્તરણ પોતે 17 છે, તેથી આ અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતો નથી, પરંતુ તેને અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
જવાબ:
47/20 અને 21/56 ને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, પરંતુ 7/12 અને 31/17 ને માત્ર સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
સામાન્ય અપૂર્ણાંક અનંત બિન-સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત થતા નથી
પાછલા ફકરામાંની માહિતી પ્રશ્નને જન્મ આપે છે: "શું અપૂર્ણાંકના અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાથી અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકમાં પરિણમી શકે છે?"
જવાબ: ના. સામાન્ય અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરતી વખતે, પરિણામ કાં તો મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. ચાલો સમજાવીએ કે આવું કેમ છે.
શેષ સાથે વિભાજ્યતા પરના પ્રમેયમાંથી, તે સ્પષ્ટ છે કે શેષ ભાગ હંમેશા વિભાજક કરતા ઓછો હોય છે, એટલે કે, જો આપણે અમુક પૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક q વડે ભાગીએ, તો શેષ માત્ર 0, 1, 2 નંબરોમાંથી એક હોઈ શકે છે. , ..., q−1. તે અનુસરે છે કે સ્તંભે છેદ q દ્વારા સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અંશના પૂર્ણાંક ભાગને વિભાજિત કરવાનું પૂર્ણ કર્યા પછી, q કરતાં વધુ પગલાંમાં નીચેની બે પરિસ્થિતિઓમાંથી એક ઊભી થશે:
- અથવા આપણને 0 નો બાકીનો ભાગ મળશે, આ ભાગાકારને સમાપ્ત કરશે, અને આપણને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક મળશે;
- અથવા અમને એક શેષ મળશે જે પહેલાથી જ દેખાયો છે, જે પછી શેષ ભાગ પાછલા ઉદાહરણની જેમ પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ કરશે (કારણ કે જ્યારે સમાન સંખ્યાઓને q દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમાન શેષ પ્રાપ્ત થાય છે, જે પહેલાથી ઉલ્લેખિત વિભાજ્યતા પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે), આ અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પરિણમશે.
ત્યાં અન્ય કોઈ વિકલ્પો હોઈ શકતા નથી, તેથી, જ્યારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક મેળવી શકાતો નથી.
આ ફકરામાં આપેલા તર્ક પરથી તે પણ અનુસરે છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમયગાળાની લંબાઈ હંમેશા સંબંધિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકના છેદના મૂલ્ય કરતાં ઓછી હોય છે.
દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું
હવે ચાલો જાણીએ કે દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું. ચાલો અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીને શરૂઆત કરીએ. આ પછી, અમે અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને ઊંધું કરવા માટેની પદ્ધતિ પર વિચાર કરીશું. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની અશક્યતા વિશે કહીએ.
પાછળના દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું
અંતિમ દશાંશ તરીકે લખાયેલ અપૂર્ણાંક મેળવવો એકદમ સરળ છે. અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાનો નિયમત્રણ પગલાંઓ સમાવે છે:
- પ્રથમ, આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકને અંશમાં લખો, અગાઉ દશાંશ બિંદુ અને ડાબી બાજુના તમામ શૂન્ય, જો કોઈ હોય તો;
- બીજું, છેદમાં એક લખો અને મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછીના અંકો હોય તેટલા શૂન્ય ઉમેરો;
- ત્રીજે સ્થાને, જો જરૂરી હોય તો, પરિણામી અપૂર્ણાંક ઘટાડો.
ચાલો ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.
ઉદાહરણ.
દશાંશ 3.025 ને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
જો આપણે મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાંથી દશાંશ બિંદુ દૂર કરીએ, તો આપણને 3,025 નંબર મળશે. ડાબી બાજુએ કોઈ શૂન્ય નથી જેને આપણે કાઢી નાખીશું. તેથી, આપણે ઇચ્છિત અપૂર્ણાંકના અંશમાં 3,025 લખીએ છીએ.
આપણે છેદમાં નંબર 1 લખીએ છીએ અને તેની જમણી બાજુએ 3 શૂન્ય ઉમેરીએ છીએ, કારણ કે મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછી 3 અંકો છે.
તેથી અમને સામાન્ય અપૂર્ણાંક 3,025/1,000 મળ્યો. આ અપૂર્ણાંક 25 થી ઘટાડી શકાય છે, અમને મળે છે 
.
જવાબ:
.
ઉદાહરણ.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.0017 ને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
દશાંશ બિંદુ વિના, મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંક 00017 જેવો દેખાય છે, ડાબી બાજુના શૂન્યને કાઢી નાખવાથી આપણને નંબર 17 મળે છે, જે ઇચ્છિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ છે.
આપણે છેદમાં ચાર શૂન્ય સાથે એક લખીએ છીએ, કારણ કે મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછી 4 અંકો હોય છે.
પરિણામે, અમારી પાસે સામાન્ય અપૂર્ણાંક 17/10,000 છે. આ અપૂર્ણાંક અફર છે, અને દશાંશ અપૂર્ણાંકનું સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર પૂર્ણ થયું છે.
જવાબ:
.
જ્યારે મૂળ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકનો પૂર્ણાંક ભાગ બિન-શૂન્ય હોય, ત્યારે તેને તરત જ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને બાયપાસ કરીને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. ચાલો આપીએ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનો નિયમ:
- દશાંશ બિંદુ પહેલાની સંખ્યા ઇચ્છિત મિશ્ર સંખ્યાના પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે લખવી આવશ્યક છે;
- અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં તમારે ડાબી બાજુના તમામ શૂન્યને કાઢી નાખ્યા પછી મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકના અપૂર્ણાંક ભાગમાંથી મેળવેલ સંખ્યા લખવાની જરૂર છે;
- અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં તમારે નંબર 1 લખવાની જરૂર છે, જેમાં મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછીના અંકો હોય તેટલા શૂન્યને જમણી બાજુએ ઉમેરો;
- જો જરૂરી હોય તો, પરિણામી મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગને ઘટાડવો.
ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.
ઉદાહરણ.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 152.06005 ને મિશ્ર સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરો
અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યામાં અથવા દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. એક અયોગ્ય અપૂર્ણાંક, જેનો અંશ છેદ કરતા મોટો છે અને તેના દ્વારા શેષ વિના વિભાજ્ય છે, તે પૂર્ણ સંખ્યામાં રૂપાંતરિત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે: 20/5. 20 ને 5 વડે ભાગો અને 4 નંબર મેળવો. જો અપૂર્ણાંક યોગ્ય હોય, એટલે કે અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય, તો તેને સંખ્યા (દશાંશ અપૂર્ણાંક) માં રૂપાંતરિત કરો. તમે અમારા વિભાગમાંથી અપૂર્ણાંક વિશે વધુ માહિતી મેળવી શકો છો -.
અપૂર્ણાંકને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાની રીતો
- અપૂર્ણાંકને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાની પ્રથમ રીત એ અપૂર્ણાંક માટે યોગ્ય છે જે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પ્રથમ, ચાલો જોઈએ કે આપેલ અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે કે કેમ. આ કરવા માટે, ચાલો છેદ પર ધ્યાન આપીએ (સંખ્યા જે રેખાની નીચે અથવા ઢાળવાળી રેખાની જમણી બાજુએ છે). જો છેદને પરિબળ બનાવી શકાય છે (અમારા ઉદાહરણમાં - 2 અને 5), જે પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે, તો આ અપૂર્ણાંક ખરેખર અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). આ સામાન્ય અપૂર્ણાંક દશાંશ સ્થાનોની મર્યાદિત સંખ્યા સાથે સંખ્યા (દશાંશ) માં રૂપાંતરિત થશે. પરંતુ અપૂર્ણાંક 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) દશાંશ સ્થાનોની અનંત સંખ્યા સાથેની સંખ્યામાં રૂપાંતરિત થશે. એટલે કે, સંખ્યાત્મક મૂલ્યની સચોટ ગણતરી કરતી વખતે, અંતિમ દશાંશ સ્થાન નક્કી કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે, કારણ કે ત્યાં આવા ચિહ્નોની અસંખ્ય સંખ્યા છે. તેથી, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સામાન્ય રીતે મૂલ્યને સોમા અથવા હજારમા ભાગ સુધી ગોળાકાર કરવાની જરૂર પડે છે. આગળ, તમારે અંશ અને છેદ બંનેને આવી સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને છેદ 10, 100, 1000, વગેરે સંખ્યાઓ ઉત્પન્ન કરે. ઉદાહરણ તરીકે: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0.275
- અપૂર્ણાંકને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાની બીજી રીત સરળ છે: તમારે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. આ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે, અમે ફક્ત ભાગાકાર કરીએ છીએ, અને પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત દશાંશ અપૂર્ણાંક હશે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે અપૂર્ણાંક 2/15 ને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. 2 ને 15 વડે ભાગો. આપણને 0.1333 મળે છે... - એક અનંત અપૂર્ણાંક. અમે તેને આ રીતે લખીએ છીએ: 0.13(3). જો અપૂર્ણાંક અયોગ્ય અપૂર્ણાંક છે, એટલે કે, અંશ છેદ કરતાં મોટો છે (ઉદાહરણ તરીકે, 345/100), તો તેને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાથી સંપૂર્ણ સંખ્યાની કિંમત અથવા સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંક ભાગ સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંક આવશે. અમારા ઉદાહરણમાં તે 3.45 હશે. 3 2 / 7 જેવા મિશ્ર અપૂર્ણાંકને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે પહેલા તેને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે: (3∙7+2)/7 = 23/7. આગળ, 23 ને 7 વડે ભાગો અને 3.2857143 નંબર મેળવો, જેને આપણે ઘટાડીને 3.29 કરીએ.
અપૂર્ણાંકને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો કેલ્ક્યુલેટર અથવા અન્ય કમ્પ્યુટિંગ ઉપકરણનો ઉપયોગ કરવાનો છે. પ્રથમ આપણે અપૂર્ણાંકનો અંશ સૂચવીએ છીએ, પછી "વિભાજિત" ચિહ્ન સાથેનું બટન દબાવો અને છેદ દાખલ કરો. "=" કી દબાવ્યા પછી, અમને ઇચ્છિત નંબર મળે છે.
અપૂર્ણાંક પરની સામગ્રી અને અનુક્રમે અભ્યાસ. નીચે તમને ઉદાહરણો અને સમજૂતીઓ સાથે વિગતવાર માહિતી મળશે.
1. સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં મિશ્રિત સંખ્યા.ચાલો નંબરને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ:
અમને એક સરળ નિયમ યાદ છે - અમે આખા ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરીએ છીએ, એટલે કે:
ઉદાહરણો:
2. તેનાથી વિપરીત, મિશ્ર સંખ્યામાં સામાન્ય અપૂર્ણાંક. *અલબત્ત, આ માત્ર અયોગ્ય અપૂર્ણાંક સાથે જ થઈ શકે છે (જ્યારે અંશ છેદ કરતા મોટો હોય).
"નાની" સંખ્યાઓ સાથે, સામાન્ય રીતે, પરિણામ તરત જ "દૃશ્યમાન" થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક:
*વધુ વિગતો:
15:13 = 1 શેષ 2
4:3 = 1 શેષ 1
9:5 = 1 શેષ 4
પરંતુ જો સંખ્યાઓ વધુ હોય, તો તમે ગણતરીઓ વિના કરી શકતા નથી. અહીં બધું સરળ છે - અંશને એક ખૂણા વડે છેદ દ્વારા વિભાજિત કરો જ્યાં સુધી બાકીનો ભાગ વિભાજક કરતા ઓછો ન હોય. વિભાગ યોજના:
ઉદાહરણ તરીકે:
*અમારો અંશ એ ડિવિડન્ડ છે, છેદ એ વિભાજક છે.
આપણને આખો ભાગ (અપૂર્ણ ભાગ) અને બાકીનો ભાગ મળે છે. અમે પૂર્ણાંક લખીએ છીએ, પછી અપૂર્ણાંક (અંશમાં શેષનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ છેદ એ જ રહે છે):
3. દશાંશને સામાન્યમાં કન્વર્ટ કરો.
આંશિક રીતે પ્રથમ ફકરામાં, જ્યાં અમે દશાંશ અપૂર્ણાંક વિશે વાત કરી હતી, અમે આના પર પહેલેથી જ સ્પર્શ કર્યો છે. અમે તેને સાંભળીએ છીએ તેમ લખીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે - 0.3; 0.45; 0.008; 4.38; 10.00015
અમારી પાસે પૂર્ણાંક ભાગ વિના પ્રથમ ત્રણ અપૂર્ણાંક છે. અને ચોથા અને પાંચમા પાસે તે છે, ચાલો તેને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ, આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આ કેવી રીતે કરવું:
*અમે જોઈએ છીએ કે અપૂર્ણાંકો પણ ઘટાડી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 અને અન્ય, પરંતુ અમે અહીં આવું કરીશું નહીં. ઘટાડા અંગે, તમને નીચે એક અલગ ફકરો મળશે, જ્યાં અમે દરેક વસ્તુનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું.
4. સામાન્યને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરો.
તે એટલું સરળ નથી. કેટલાક અપૂર્ણાંક સાથે તે તરત જ સ્પષ્ટ છે અને તેની સાથે શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે જેથી તે દશાંશ બની જાય, ઉદાહરણ તરીકે:
અમે અપૂર્ણાંકના અમારા અદ્ભુત મૂળભૂત ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ - અમે અંશ અને છેદને અનુક્રમે 5, 25, 2, 5, 4, 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને આપણને મળે છે:
જો ત્યાં સંપૂર્ણ ભાગ છે, તો પછી કંઈ જટિલ નથી:
અમે અપૂર્ણાંક ભાગને અનુક્રમે 2, 25, 2 અને 5 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:
અને એવા લોકો છે કે જેના માટે અનુભવ વિના તે નક્કી કરવું અશક્ય છે કે તેઓ દશાંશમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે:
આપણે અંશ અને છેદને કઈ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ?
અહીં ફરીથી એક સાબિત પદ્ધતિ બચાવમાં આવે છે - ખૂણા દ્વારા વિભાજન, એક સાર્વત્રિક પદ્ધતિ, તમે હંમેશા તેનો ઉપયોગ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરવા માટે કરી શકો છો:
આ રીતે તમે હંમેશા નક્કી કરી શકો છો કે શું અપૂર્ણાંક દશાંશમાં રૂપાંતરિત થાય છે. હકીકત એ છે કે દરેક સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતો નથી, ઉદાહરણ તરીકે, જેમ કે 1/9, 3/7, 7/26 રૂપાંતરિત થતા નથી. તો પછી 1 ને 9, 3 વડે 7, 5 ને 11 વડે ભાગતા અપૂર્ણાંક શું મળે છે? મારો જવાબ અનંત દશાંશ છે (અમે ફકરા 1 માં તેમના વિશે વાત કરી છે). ચાલો વિભાજીત કરીએ:
બસ એટલું જ! તમને શુભકામનાઓ!
આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ.
જો આપણે 497 ને 4 વડે વિભાજિત કરવાની જરૂર હોય, તો ભાગાકાર કરતી વખતે આપણે જોશું કે 497 4 વડે સરખે ભાગે વિભાજ્ય નથી, એટલે કે. વિભાગ બાકી રહે છે. આવા કિસ્સાઓમાં તે પૂર્ણ થયું હોવાનું કહેવાય છે શેષ સાથે વિભાજન, અને ઉકેલ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:
497: 4 = 124 (1 શેષ).
સમાનતાની ડાબી બાજુના વિભાજન ઘટકોને શેષ વિનાના વિભાજનની જેમ જ કહેવામાં આવે છે: 497 - ડિવિડન્ડ, 4 - વિભાજક. જ્યારે શેષ સાથે ભાગવામાં આવે ત્યારે ભાગાકારનું પરિણામ કહેવાય છે અપૂર્ણ ખાનગી. અમારા કિસ્સામાં, આ નંબર 124 છે. અને છેલ્લે, છેલ્લો ઘટક, જે સામાન્ય વિભાગમાં નથી, તે છે બાકી. એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં કોઈ બાકી ન હોય, એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે ટ્રેસ વિના, અથવા સંપૂર્ણપણે. એવું માનવામાં આવે છે કે આવા વિભાજન સાથે શેષ શૂન્ય છે. અમારા કિસ્સામાં, બાકી 1 છે.
શેષ હંમેશા વિભાજક કરતા ઓછો હોય છે.
ભાગાકારને ગુણાકાર દ્વારા ચકાસી શકાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ત્યાં સમાનતા 64: 32 = 2 છે, તો પછી ચેક આ રીતે કરી શકાય છે: 64 = 32 * 2.
ઘણીવાર એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં શેષ સાથે વિભાજન કરવામાં આવે છે, તે સમાનતાનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ છે
a = b * n + r,
જ્યાં a એ ડિવિડન્ડ છે, b એ વિભાજક છે, n એ આંશિક ભાગ છે, r એ શેષ છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ભાગને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.
અપૂર્ણાંકનો અંશ એ ડિવિડન્ડ છે, અને છેદ એ વિભાજક છે.
કારણ કે અપૂર્ણાંકનો અંશ એ ડિવિડન્ડ છે અને છેદ એ વિભાજક છે, માને છે કે અપૂર્ણાંકની રેખાનો અર્થ ભાગાકારની ક્રિયા છે. કેટલીકવાર ":" ચિહ્નનો ઉપયોગ કર્યા વિના ભાગાકારને અપૂર્ણાંક તરીકે લખવાનું અનુકૂળ છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ m અને n ના ભાગલા ભાગને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે \(\frac(m)(n) \), જ્યાં અંશ m એ ડિવિડન્ડ છે, અને છેદ n એ વિભાજક છે:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
નીચેના નિયમો સાચા છે:
અપૂર્ણાંક \(\frac(m)(n)\) મેળવવા માટે, તમારે એકમને n સમાન ભાગો (શેર) માં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે અને m આવા ભાગો લેવા પડશે.
અપૂર્ણાંક \(\frac(m)(n)\) મેળવવા માટે, તમારે સંખ્યા m ને સંખ્યા n વડે ભાગવાની જરૂર છે.
સંપૂર્ણનો ભાગ શોધવા માટે, તમારે સંપૂર્ણને અનુરૂપ સંખ્યાને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાની અને આ ભાગને વ્યક્ત કરતા અપૂર્ણાંકના અંશ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
તેના ભાગમાંથી સંપૂર્ણ શોધવા માટે, તમારે આ ભાગને અનુરૂપ સંખ્યાને અંશ દ્વારા વિભાજીત કરવાની અને આ ભાગને વ્યક્ત કરતા અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
\(\મોટા \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
\(\મોટો \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
આ મિલકત કહેવાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.
છેલ્લા બે પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.
જો અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર હોય, તો આ ક્રિયા કહેવાય છે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડીને.
યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. મિશ્ર સંખ્યાઓ
તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે સંપૂર્ણને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને અને આવા કેટલાક ભાગો લઈને અપૂર્ણાંક મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(4)\) નો અર્થ છે એકના ત્રણ-ચતુર્થાંશ. પાછલા ફકરામાં ઘણી બધી સમસ્યાઓમાં, અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ સમગ્રના ભાગોને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. સામાન્ય બુદ્ધિ સૂચવે છે કે ભાગ હંમેશા સંપૂર્ણ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ, પરંતુ અપૂર્ણાંક વિશે શું જેમ કે \(\frac(5)(5)\) અથવા \(\frac(8)(5)\)? તે સ્પષ્ટ છે કે આ હવે એકમનો ભાગ નથી. કદાચ આ જ કારણ છે કે જેના અંશ છેદ કરતા મોટા અથવા સમાન હોય તેવા અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. બાકીના અપૂર્ણાંકો, એટલે કે અપૂર્ણાંક કે જેના અંશ છેદ કરતા ઓછા હોય, તેને કહેવામાં આવે છે. યોગ્ય અપૂર્ણાંક.
જેમ તમે જાણો છો, કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક, યોગ્ય અને અયોગ્ય બંને, અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવાના પરિણામ તરીકે વિચારી શકાય છે. તેથી, ગણિતમાં, સામાન્ય ભાષાથી વિપરીત, "અયોગ્ય અપૂર્ણાંક" શબ્દનો અર્થ એ નથી કે આપણે કંઈક ખોટું કર્યું છે, પરંતુ માત્ર એટલું જ કે આ અપૂર્ણાંકનો અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા તેની સમાન છે.
જો સંખ્યા પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ધરાવે છે, તો પછી અપૂર્ણાંકને મિશ્ર કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 એ પૂર્ણાંક ભાગ છે, અને \(\frac(2)(3) \) એ અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
જો અપૂર્ણાંકનો અંશ \(\frac(a)(b) \) કુદરતી સંખ્યા n વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને n વડે ભાગવા માટે, તેના અંશને આ સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવો આવશ્યક છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
જો અપૂર્ણાંકનો અંશ \(\frac(a)(b)\) કુદરતી સંખ્યા n વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને n વડે ભાગવા માટે, તમારે તેના છેદને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:
\(\મોટા \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
નોંધ કરો કે જ્યારે અંશ n વડે વિભાજ્ય હોય ત્યારે બીજો નિયમ પણ સાચો છે. તેથી, જ્યારે અપૂર્ણાંકનો અંશ n વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં તે પ્રથમ નજરમાં નક્કી કરવું મુશ્કેલ હોય ત્યારે આપણે તેનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અપૂર્ણાંક સાથેની ક્રિયાઓ. અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ.
તમે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની જેમ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે અંકગણિત કામગીરી કરી શકો છો. ચાલો પહેલા અપૂર્ણાંક ઉમેરવા જોઈએ. સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાનું સરળ છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, \(\frac(2)(7)\) અને \(\frac(3)(7)\) નો સરવાળો શોધીએ. તે સમજવું સરળ છે કે \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે અને છેદને સમાન છોડવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટા \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
જો તમારે અલગ-અલગ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો તેમને પહેલા સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવું આવશ્યક છે. ઉદાહરણ તરીકે:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
અપૂર્ણાંકો માટે, કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ, સરવાળાના વિનિમયાત્મક અને સહયોગી ગુણધર્મો માન્ય છે.
મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે
નોટેશન જેમ કે \(2\frac(2)(3)\) કહેવાય છે મિશ્ર અપૂર્ણાંક. આ કિસ્સામાં, નંબર 2 કહેવામાં આવે છે આખો ભાગમિશ્ર અપૂર્ણાંક, અને સંખ્યા \(\frac(2)(3)\) તેની છે અપૂર્ણાંક ભાગ. એન્ટ્રી \(2\frac(2)(3)\) નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે: "બે અને બે તૃતીયાંશ."
નંબર 8 ને નંબર 3 વડે વિભાજિત કરતી વખતે, તમે બે જવાબો મેળવી શકો છો: \(\frac(8)(3)\) અને \(2\frac(2)(3)\). તેઓ સમાન અપૂર્ણાંક સંખ્યાને વ્યક્ત કરે છે, એટલે કે \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
આમ, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક \(\frac(8)(3)\) મિશ્ર અપૂર્ણાંક \(2\frac(2)(3)\) તરીકે રજૂ થાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં તેઓ કહે છે કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી આખો ભાગ પ્રકાશિત કર્યો.
અપૂર્ણાંક બાદબાકી (અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ)
અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓની બાદબાકી, કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ, સરવાળાની ક્રિયાના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે: એક સંખ્યામાંથી બીજી બાદબાકી કરવાનો અર્થ એ છે કે એવી સંખ્યા શોધવી જે, જ્યારે બીજામાં ઉમેરવામાં આવે, ત્યારે પ્રથમ આપે. ઉદાહરણ તરીકે:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ત્યારથી \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = frac(8)(9)\)
સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદ કરવાનો નિયમ આવા અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા માટેના નિયમ જેવો જ છે:
સમાન છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી બીજાના અંશને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, અને છેદને સમાન છોડવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, આ નિયમ આ રીતે લખાયેલ છે:
\(\મોટા \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને પ્રથમ ઉત્પાદનને અંશ તરીકે અને બીજાને છેદ તરીકે લખવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર માટેનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
ઘડવામાં આવેલા નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તમે અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા, મિશ્ર અપૂર્ણાંક દ્વારા અને મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો પણ ગુણાકાર કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે 1 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે કુદરતી સંખ્યા અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે મિશ્ર અપૂર્ણાંક લખવાની જરૂર છે.
અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગને અલગ કરીને ગુણાકારનું પરિણામ સરળ બનાવવું જોઈએ (જો શક્ય હોય તો).
અપૂર્ણાંકો માટે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની જેમ, ગુણાકારના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મો, તેમજ સરવાળો સંબંધિત ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ માન્ય છે.
અપૂર્ણાંકનું વિભાજન
ચાલો અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) લઈએ અને તેને "ફ્લિપ" કરીએ, અંશ અને છેદની અદલાબદલી કરીએ. આપણને અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\) મળે છે. આ અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે વિપરીતઅપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\).
જો આપણે હવે અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\ ને "વિપરીત" કરીએ, તો આપણને મૂળ અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) મળશે. તેથી, અપૂર્ણાંક જેમ કે \(\frac(2)(3)\) અને \(\frac(3)(2)\) કહેવાય છે પરસ્પર વિપરીત.
ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(6)(5) \) અને \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) અને \(\frac (18) )(7)\).
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: \(\frac(a)(b) \) અને \(\frac(b)(a) \)
તે સ્પષ્ટ છે કે પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન 1 બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, તમે અપૂર્ણાંકના વિભાજનને ગુણાકારમાં ઘટાડી શકો છો.
અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવાનો નિયમ છે:
એક અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે વિભાજકના પરસ્પર દ્વારા ડિવિડન્ડનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
જો ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક કુદરતી સંખ્યા અથવા મિશ્ર અપૂર્ણાંક છે, તો પછી અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવા માટે, તેને પ્રથમ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવું આવશ્યક છે.
