પરોક્ષ માપની કુલ ભૂલની મર્યાદાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. પરોક્ષ માપની ભૂલોનો અંદાજ

ભૌતિક જથ્થાના માપનમાં ભૂલો અને

માપન પરિણામોની પ્રક્રિયા

માપીનેવિશેષ તકનીકી માધ્યમોનો ઉપયોગ કરીને પ્રાયોગિક ધોરણે ભૌતિક જથ્થાના મૂલ્યો શોધવાનું કહેવાય છે. માપન પ્રત્યક્ષ અથવા પરોક્ષ હોઈ શકે છે. મુ પ્રત્યક્ષમાપમાં, ભૌતિક જથ્થાનું ઇચ્છિત મૂલ્ય સીધા માપવાના સાધનોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે (ઉદાહરણ તરીકે, કેલિપરનો ઉપયોગ કરીને શરીરના પરિમાણોને માપવા). પરોક્ષમાપન કહેવાય છે જેમાં ભૌતિક જથ્થાનું ઇચ્છિત મૂલ્ય માપેલ જથ્થા અને સીધા માપને આધિન જથ્થા વચ્ચેના જાણીતા કાર્યાત્મક સંબંધના આધારે જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સિલિન્ડરનું વોલ્યુમ V નક્કી કરતી વખતે, તેનો વ્યાસ D અને ઊંચાઈ H માપવામાં આવે છે, અને પછી સૂત્ર અનુસારપી D 2/4 તેના વોલ્યુમની ગણતરી કરો.

માપવાના સાધનોની અચોક્કસતાને કારણે અને માપ દરમિયાન તમામ આડ અસરોને ધ્યાનમાં લેવામાં મુશ્કેલીને કારણે, માપન ભૂલો અનિવાર્યપણે ઊભી થાય છે. અચોક્કસતાઅથવા ભૂલમાપન એ માપેલ ભૌતિક જથ્થાના સાચા મૂલ્યમાંથી માપન પરિણામના વિચલનને કહે છે.

માપન ભૂલ સામાન્ય રીતે અજ્ઞાત છે, કારણ કે માપેલ જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય છે. તેથી, માપન પરિણામોની પ્રાથમિક પ્રક્રિયાનું કાર્ય એક અંતરાલ સ્થાપિત કરવાનું છે જેમાં આપેલ સંભાવના સાથે, માપેલ ભૌતિક જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય સ્થિત છે.

માપન ભૂલોનું વર્ગીકરણ

ભૂલોને ત્રણ પ્રકારમાં વહેંચવામાં આવી છે:

1) અસંસ્કારી અથવા ભૂલો,

2) વ્યવસ્થિત,.

3) રેન્ડમએકંદર ભૂલો

- આ ભૂલભરેલા માપ છે જે ઉપકરણ પર બેદરકાર વાંચન, રેકોર્ડિંગ રીડિંગ્સની અયોગ્યતાના પરિણામે ઉદ્ભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિણામને 2.65 ને બદલે 26.5 તરીકે રેકોર્ડ કરવું; 13 ને બદલે 18 ના સ્કેલ પર ગણવું વગેરે.- ભૂલો કે જે, પુનરાવર્તિત માપન દરમિયાન, સ્થિર રહે છે અથવા ચોક્કસ કાયદા અનુસાર બદલાય છે. આ ભૂલો માપન પદ્ધતિની ખોટી પસંદગી, અપૂર્ણતા અથવા સાધનોની ખામીને કારણે હોઈ શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય ઓફસેટ હોય તેવા ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને માપન). શક્ય તેટલી વ્યવસ્થિત ભૂલોને દૂર કરવા માટે, તમારે હંમેશા માપન પદ્ધતિનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરવું જોઈએ અને ધોરણો સાથે સાધનોની તુલના કરવી જોઈએ. ભવિષ્યમાં, અમે ધારીશું કે તમામ વ્યવસ્થિત ભૂલો દૂર કરવામાં આવી છે, સિવાય કે સાધનોના ઉત્પાદનમાં અચોક્કસતા અને ગણતરીની ભૂલોને કારણે. અમે આ ભૂલ કહીશું હાર્ડવેર

રેન્ડમ ભૂલો - આ ભૂલો છે જેનું કારણ અગાઉથી ધ્યાનમાં લઈ શકાતું નથી. અવ્યવસ્થિત ભૂલો આપણી ઇન્દ્રિયોની અપૂર્ણતા પર, બદલાતી બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ (તાપમાન, દબાણ, ભેજ, હવાના કંપન વગેરેમાં ફેરફાર)ની સતત ક્રિયા પર આધાર રાખે છે. અવ્યવસ્થિત ભૂલો દૂર કરી શકાતી નથી; તે બધા માપમાં અનિવાર્યપણે હાજર હોય છે, પરંતુ સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે.

સીધા માપન પરિણામોની પ્રક્રિયા

ભૌતિક જથ્થાના સીધા માપનના પરિણામે તેના સંખ્યાબંધ મૂલ્યો મેળવવા દો:

x 1, x 2, ... x n.

સંખ્યાઓની આ શ્રેણીને જાણીને, તમારે માપેલ મૂલ્યના સાચા મૂલ્યની સૌથી નજીકનું મૂલ્ય સૂચવવાની અને રેન્ડમ ભૂલની તીવ્રતા શોધવાની જરૂર છે.

આ સમસ્યાનો ઉકેલ સંભાવના સિદ્ધાંતના આધારે કરવામાં આવે છે, જેની વિગતવાર રજૂઆત અમારા અભ્યાસક્રમના અવકાશની બહાર છે.

. (1)

માપેલ ભૌતિક જથ્થાનું સૌથી સંભવિત મૂલ્ય (સાચા મૂલ્યની નજીક) એ અંકગણિત સરેરાશ ગણવામાં આવે છેઅહીં x i એ i-th માપનનું પરિણામ છે; n - માપની સંખ્યા. રેન્ડમ માપન ભૂલનો અંદાજ ચોક્કસ ભૂલની તીવ્રતા દ્વારા કરી શકાય છે ડી

, (2)

x, જે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે જ્યાં t(a,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે a,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે .

આત્મવિશ્વાસ મૂલ્યપ્રયોગકર્તાએ પોતે પૂછ્યું.

સંભાવના,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે અવ્યવસ્થિત ઘટના એ આપેલ ઘટના માટે અનુકૂળ કેસોની સંખ્યા અને સમાન સંભવિત કેસોની કુલ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.

ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના 1 છે, અને અશક્ય ઘટનાની સંભાવના 0 છે.

આપેલ આત્મવિશ્વાસની સંભાવનાને અનુરૂપ વિદ્યાર્થીનું ગુણાંક મૂલ્ય અને માપ n ની ચોક્કસ સંખ્યા, કોષ્ટકમાંથી મળી આવે છે. 1.	કોષ્ટક 1,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે
		0,95	0,98
	1,38	12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

નંબર,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે પરિમાણો n,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે =0.95.

જો કે, માત્ર માપની સંખ્યામાં વધારો કરવાથી એકંદર ભૂલને શૂન્ય સુધી ઘટાડી શકાતી નથી, કારણ કે કોઈપણ માપન ઉપકરણ ભૂલ આપે છે.અહીં x i એ i-th માપનનું પરિણામ છે; n - માપની સંખ્યા. રેન્ડમ માપન ભૂલનો અંદાજ ચોક્કસ ભૂલની તીવ્રતા દ્વારા કરી શકાય છે ચાલો સંપૂર્ણ ભૂલ શબ્દોનો અર્થ સમજાવીએ,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે x અને આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સંખ્યા અક્ષનો ઉપયોગ કરીને. માપેલા જથ્થાના સરેરાશ મૂલ્યને દો(ફિગ. 1), અને ગણતરી કરેલ સંપૂર્ણ ભૂલ ડીએક્સ. ડીને બાજુ પર રાખો x થી - જમણે અને ડાબે. માંથી પરિણામી સંખ્યાત્મક અંતરાલ ( ડી x) થી ( +ડી x) કહેવાય છેઆત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

. આ વિશ્વાસ અંતરાલની અંદર માપેલ મૂલ્ય xનું સાચું મૂલ્ય છે.

ફિગ.1જો સમાન જથ્થાના માપને સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ સમાન સાધનો સાથે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે, તો માપેલ જથ્થા x ist નું સાચું મૂલ્ય સમાન વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવશે, પરંતુ હિટ વિશ્વસનીય નહીં હોય, પરંતુ સંભાવના સાથે

aઅહીં x i એ i-th માપનનું પરિણામ છે; n - માપની સંખ્યા. રેન્ડમ માપન ભૂલનો અંદાજ ચોક્કસ ભૂલની તીવ્રતા દ્વારા કરી શકાય છે સંપૂર્ણ ભૂલની તીવ્રતાની ગણતરી કર્યા પછી x એ સૂત્ર (2) મુજબ, માપેલ ભૌતિક જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય x x= તરીકે લખી શકાય છે

±D x. ભૌતિક જથ્થાના માપનની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, ગણતરી કરોસંબંધિત ભૂલ

. (3)

, જે સામાન્ય રીતે ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,

આમ, પ્રત્યક્ષ માપના પરિણામોની પ્રક્રિયા કરતી વખતે, નીચેના કરવું આવશ્યક છે:

1. માપ n વખત લો.

2. સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરો. 3. આત્મવિશ્વાસનું સ્તર સેટ કરો

a (સામાન્ય રીતે a = 0.95 લો).,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે 4. કોષ્ટક 1 નો ઉપયોગ કરીને, આપેલ આત્મવિશ્વાસની સંભાવનાને અનુરૂપ વિદ્યાર્થી ગુણાંક શોધો

અને પરિમાણોની સંખ્યા n.

5. સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ ભૂલની ગણતરી કરો અને તેની ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ સાથે સરખામણી કરો.વધુ ગણતરીઓ માટે, જે મોટું છે તે લો.

6. સૂત્ર (3) નો ઉપયોગ કરીને, સંબંધિત ભૂલની ગણતરી કરો

ઇ. 7. અંતિમ પરિણામ લખો x=±D xજો સમાન જથ્થાના માપને સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ સમાન સાધનો સાથે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે, તો માપેલ જથ્થા x ist નું સાચું મૂલ્ય સમાન વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવશે, પરંતુ હિટ વિશ્વસનીય નહીં હોય, પરંતુ સંભાવના સાથે

સંબંધિત ભૂલ સૂચવે છે

ઇ

અને આત્મવિશ્વાસની સંભાવના

પરોક્ષ માપન પરિણામોની પ્રક્રિયાઅહીં x i એ i-th માપનનું પરિણામ છે; n - માપની સંખ્યા. રેન્ડમ માપન ભૂલનો અંદાજ ચોક્કસ ભૂલની તીવ્રતા દ્વારા કરી શકાય છે અમુક કાર્યાત્મક સંબંધ દ્વારા ઇચ્છિત ભૌતિક જથ્થા y ને અન્ય જથ્થાઓ x 1, x 2, ... x k સાથે સંબંધિત થવા દો±D Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

x 1 , x 2 , ... x k મૂલ્યોમાં પ્રત્યક્ષ માપન અને ટેબ્યુલર ડેટામાંથી મેળવેલ મૂલ્યો છે. તે સંપૂર્ણ નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે

. (5)

y અને સંબંધી y મૂલ્યમાં ભૂલો.અહીં x i એ i-th માપનનું પરિણામ છે; n - માપની સંખ્યા. રેન્ડમ માપન ભૂલનો અંદાજ ચોક્કસ ભૂલની તીવ્રતા દ્વારા કરી શકાય છે x i - મૂલ્ય x i ની સંપૂર્ણ ભૂલ. જો x i સીધા માપના પરિણામે મેળવવામાં આવે છે, તો તેનું સરેરાશ મૂલ્ય અને સંપૂર્ણ ભૂલઅહીં x i એ i-th માપનનું પરિણામ છે; n - માપની સંખ્યા. રેન્ડમ માપન ભૂલનો અંદાજ ચોક્કસ ભૂલની તીવ્રતા દ્વારા કરી શકાય છે x ની ગણતરી સૂત્રો (1) અને (2) નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. તમામ માપેલ મૂલ્યો x i માટે સમાન વિશ્વાસની સંભાવના સ્પષ્ટ કરેલ છે,n) – વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, માપન n અને આત્મવિશ્વાસના સ્તરની સંખ્યાના આધારે .પી જો અભિવ્યક્તિ (5) માં વર્ગીકૃત થયેલ કોઈપણ પદ અન્ય પદો કરતાં (10 ગણો) નાનો ક્રમ હોય, તો તેની અવગણના કરી શકાય છે.

ટેબ્યુલર મૂલ્યો પસંદ કરતી વખતે આ ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે (

, g, વગેરે) સંબંધિત ભૂલ સૂત્રમાં શામેલ છે. તેમની કિંમત એવી રીતે પસંદ કરવી આવશ્યક છે કે તેમની સંબંધિત ભૂલ એ સૌથી મોટી સંબંધિત ભૂલ કરતાં ઓછી તીવ્રતાનો ક્રમ છે. ચાલો અંતિમ પરિણામ લખીએ:

y= ±D y.અહીં .

- તેમાં સરેરાશ મૂલ્યો xi ને બદલીને સૂત્ર (4) માંથી મેળવેલ પરોક્ષ માપનું સરેરાશ મૂલ્ય;

Dy=e

. (6)

સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક માપમાં બંને રેન્ડમ અને વ્યવસ્થિત (હાર્ડવેર) ભૂલો હોય છે. જો પ્રત્યક્ષ માપની ગણતરી કરેલ રેન્ડમ ભૂલ બે કે તેથી વધુ વખત ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ ભૂલ કરતાં શૂન્ય અથવા ઓછી હોય, તો પછી પરોક્ષ માપની ભૂલની ગણતરી કરતી વખતે, ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ ભૂલને ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. જો આ ભૂલો બે કરતા ઓછા વખતથી અલગ હોય, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ ભૂલની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. સિલિન્ડરના વોલ્યુમની ગણતરી કરવી જરૂરી છે: અહીં D એ સિલિન્ડરનો વ્યાસ છે, H તેની ઊંચાઈ છે, 0.1 mm ના વિભાજન મૂલ્ય સાથે કેલિપર વડે માપવામાં આવે છે. પુનરાવર્તિત માપનના પરિણામે આપણે સરેરાશ મૂલ્યો શોધીશું

, (7)

=10.0 મીમી અને =40.0 મીમી. સિલિન્ડરના વોલ્યુમના પરોક્ષ માપનની સંબંધિત ભૂલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છેજ્યાં ડી ડી અને ડી H - વ્યાસ અને ઊંચાઈના સીધા માપની સંપૂર્ણ ભૂલો. અમે સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને તેમના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ: D D=0.01 mm; ડી H=0.13 mm. ચાલો ગણતરી કરેલ ભૂલોની હાર્ડવેર ભૂલો સાથે સરખામણી કરીએ, જે કેલિપરના વિભાજન મૂલ્યની બરાબર છે.<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо અહીં x i એ i-th માપનનું પરિણામ છે; n - માપની સંખ્યા. રેન્ડમ માપન ભૂલનો અંદાજ ચોક્કસ ભૂલની તીવ્રતા દ્વારા કરી શકાય છે ડી

ડી ડી 0.01 મીમી નથી, પરંતુ 0.1 મીમી છે. p મૂલ્ય પસંદ કરવું આવશ્યક છે જેથી સંબંધિત ભૂલડીપી/પી સૂત્રમાં (7) અવગણવામાં આવી શકે છે. માપેલા મૂલ્યો અને ગણતરી કરેલ સંપૂર્ણ ભૂલોના વિશ્લેષણમાંથીડી ડી અને ડી H તે જોઈ શકાય છે કે વોલ્યુમ માપનમાં સંબંધિત ભૂલમાં સૌથી મોટો ફાળો ઊંચાઈ માપનમાં ભૂલ દ્વારા કરવામાં આવે છે. સંબંધિત ઊંચાઈની ગણતરી ભૂલ આપે છે e એચ =0.01.તેથી, મૂલ્ય

પી

તમારે 3.14 લેવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં

1. જો માપ એકવાર કરવામાં આવે અથવા બહુવિધ માપનના પરિણામો સમાન હોય, તો ચોક્કસ માપન ભૂલ માટે તમારે ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ ભૂલ લેવાની જરૂર છે, જે મોટા ભાગના વગાડવા માટે વપરાયેલ ઉપકરણના વિભાજન મૂલ્યની બરાબર છે (વધુ માહિતી માટે ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ ભૂલ, "માપવાના સાધનો" વિભાગ જુઓ).

2. જો ટેબ્યુલર અથવા પ્રાયોગિક ડેટા ભૂલ દર્શાવ્યા વિના આપવામાં આવે છે, તો આવી સંખ્યાઓની સંપૂર્ણ ભૂલ છેલ્લા નોંધપાત્ર અંકના અડધા ક્રમની બરાબર લેવામાં આવે છે.

અંદાજિત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ

વિવિધ ગણતરીની ચોકસાઈનો મુદ્દો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે ગણતરીની ચોકસાઈને વધુ પડતો અંદાજ આપવાથી ઘણાં બિનજરૂરી કામ થાય છે. વિદ્યાર્થીઓ ઘણીવાર પાંચ કે તેથી વધુ નોંધપાત્ર આંકડાઓની ચોકસાઈ સાથે જરૂરી જથ્થાની ગણતરી કરે છે. તે સમજવું જોઈએ કે આ ચોકસાઈ અતિશય છે. સચોટતાની મર્યાદાની બહાર ગણતરીઓ હાથ ધરવાનો કોઈ અર્થ નથી કે જે સીધી રીતે માપેલા જથ્થાને નિર્ધારિત કરવાની ચોકસાઈ દ્વારા સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. માપન પર પ્રક્રિયા કર્યા પછી, તેઓ ઘણીવાર વ્યક્તિગત પરિણામોની ભૂલોની ગણતરી કરતા નથી અને આ સંખ્યામાં સાચા નોંધપાત્ર અંકોની સંખ્યા દર્શાવીને મૂલ્યના અંદાજિત મૂલ્યની ભૂલનો ન્યાય કરે છે.

નોંધપાત્ર આંકડાઅંદાજિત સંખ્યા એ શૂન્ય સિવાયના તમામ અંકો છે, તેમજ બે કિસ્સાઓમાં શૂન્ય છે:

1) જ્યારે તે નોંધપાત્ર આંકડાઓ વચ્ચે હોય (ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 1071 માં ચાર નોંધપાત્ર આંકડાઓ છે);

2) જ્યારે તે સંખ્યાના અંતમાં રહે છે અને જ્યારે તે જાણીતું છે કે અનુરૂપ અંકનું એકમ આ સંખ્યામાં હાજર નથી. ઉદાહરણ. 5.20 નંબરમાં ત્રણ મહત્વપૂર્ણ આંકડાઓ છે, અને આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે માપવામાં આવે ત્યારે આપણે માત્ર એકમો જ નહીં, પરંતુ દસમા અને સોમાને પણ ધ્યાનમાં લીધા હતા, અને 5.2 નંબરમાં ફક્ત બે મહત્વપૂર્ણ આંકડાઓ છે, અને આનો અર્થ એ છે કે આપણે ફક્ત સંપૂર્ણ સંખ્યાઓને ધ્યાનમાં લીધી છે અને દસમો

અંદાજિત ગણતરીઓ નીચેના નિયમોના પાલનમાં થવી જોઈએ.

1. જ્યારે ઉમેરો અને બાદબાકી કરોપરિણામે, તેઓ ઓછા દશાંશ સ્થાનો સાથેની સંખ્યામાં સમાયેલ હોય તેટલા દશાંશ સ્થાનોનો સંગ્રહ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે: 0.8934+3.24+1.188=5.3214» 5.32.

2. રકમ સોમાં ગોળાકાર હોવી જોઈએ, એટલે કે. 5.32 ની બરાબર લો.જ્યારે ગુણાકાર અને ભાગાકારપરિણામે, તેઓ ઓછામાં ઓછા નોંધપાત્ર અંકો ધરાવતા અંદાજિત સંખ્યા જેટલા નોંધપાત્ર અંકો જાળવી રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે 8.632 ને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે ´ 2.8 ´

3.53. તેના બદલે આ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન કરવું જોઈએ

મધ્યવર્તી પરિણામોની ગણતરી કરતી વખતે, નિયમોની ભલામણ કરતાં વધુ એક અંક જાળવી રાખવામાં આવે છે (કહેવાતા ફાજલ અંક). અંતિમ પરિણામમાં, ફાજલ અંક કાઢી નાખવામાં આવે છે. પરિણામના છેલ્લા નોંધપાત્ર અંકના મૂલ્યને સ્પષ્ટ કરવા માટે, તમારે તેના પછીના અંકની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. જો તે પાંચ કરતાં ઓછું હોય, તો તેને ખાલી કાઢી નાખવું જોઈએ, અને જો તે પાંચ અથવા પાંચ કરતાં વધુ હોય, તો તેને કાઢી નાખ્યા પછી, અગાઉના અંકમાં એક વધારવો જોઈએ. સામાન્ય રીતે, નિરપેક્ષ ભૂલને એક નોંધપાત્ર અંક પર છોડી દેવામાં આવે છે, અને માપેલ મૂલ્યને તે અંક પર ગોળાકાર કરવામાં આવે છે જેમાં સંપૂર્ણ ભૂલનો નોંધપાત્ર અંક સ્થિત છે.

3. વિધેયોના મૂલ્યોની ગણતરીનું પરિણામ x n , , log( x) અમુક અંદાજિત સંખ્યા xસંખ્યામાં જેટલા છે તેટલા નોંધપાત્ર આંકડા હોવા જોઈએ x. ઉદાહરણ તરીકે: .

આલેખન

પ્રયોગશાળાના કાર્ય દરમિયાન મેળવેલા પરિણામો ઘણીવાર મહત્વપૂર્ણ અને ગ્રાફિકલી પ્રસ્તુત કરવા માટે જરૂરી હોય છે. ગ્રાફ બનાવવા માટે, તમારે લેવાયેલા માપના આધારે એક કોષ્ટક બનાવવાની જરૂર છે, જેમાં એક જથ્થાનું દરેક મૂલ્ય બીજાના ચોક્કસ મૂલ્યને અનુરૂપ હોય.

ગ્રાફ પેપર પર ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે. જ્યારે આલેખની રચના કરતી વખતે, સ્વતંત્ર ચલના મૂલ્યો એબ્સિસા અક્ષ પર અને ફંક્શનના મૂલ્યો ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર લખવા જોઈએ. દરેક અક્ષની નજીક તમારે ચિત્રિત જથ્થાનું હોદ્દો લખવાની જરૂર છે અને તે કયા એકમોમાં માપવામાં આવે છે તે દર્શાવવાની જરૂર છે (ફિગ. 2).

ફિગ.2

ગ્રાફના સાચા બાંધકામ માટે, સ્કેલની પસંદગી મહત્વપૂર્ણ છે: વળાંક સમગ્ર શીટ પર કબજો કરે છે, અને લંબાઈ અને ઊંચાઈમાં ગ્રાફના પરિમાણો લગભગ સમાન છે. સ્કેલ સરળ હોવો જોઈએ. સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે જો માપેલ મૂલ્યનું એકમ (0.1; 10; 100, વગેરે) 1, 2 અથવા 5 સે.મી.ને અનુરૂપ હોય તો તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે સંકલન અક્ષોનું આંતરછેદ જરૂરી નથી. પ્લોટ કરેલ મૂલ્યોના શૂન્ય મૂલ્યો (ફિગ. 2).

પ્રાપ્ત કરેલ દરેક પ્રાયોગિક મૂલ્ય ગ્રાફ પર એકદમ ધ્યાનપાત્ર રીતે રચાયેલ છે: બિંદુ, ક્રોસ, વગેરે સાથે.

માપેલા મૂલ્યો માટે ભૂલો વિશ્વાસ અંતરાલની લંબાઈના સેગમેન્ટના સ્વરૂપમાં સૂચવવામાં આવે છે, જેની મધ્યમાં પ્રાયોગિક બિંદુઓ સ્થિત છે. કારણ કે ભૂલો સૂચવવાથી ગ્રાફમાં ગડબડ થાય છે, આ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે ભૂલો વિશેની માહિતીની ખરેખર જરૂર હોય: પ્રાયોગિક બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને વળાંક બાંધતી વખતે, ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ભૂલો નક્કી કરતી વખતે, જ્યારે સૈદ્ધાંતિક વળાંક (આકૃતિ 2) સાથે પ્રાયોગિક ડેટાની તુલના કરવામાં આવે ત્યારે. ઘણીવાર તે એક અથવા ઘણા બિંદુઓ માટે ભૂલ સૂચવવા માટે પૂરતું છે.

પ્રાયોગિક બિંદુઓ દ્વારા સરળ વળાંક દોરવા જરૂરી છે. ઘણીવાર પ્રાયોગિક બિંદુઓ એક સરળ તૂટેલી રેખા દ્વારા જોડાયેલા હોય છે. આ સૂચવે છે કે જમ્પલીક રીતે જથ્થાઓ એકબીજા પર આધાર રાખે છે. અને આ અસંભવિત છે. વળાંક સરળ હોવો જોઈએ અને તે ચિહ્નિત બિંદુઓમાંથી પસાર થઈ શકતો નથી, પરંતુ તેમની નજીક હોઈ શકે છે જેથી આ બિંદુઓ તેનાથી સમાન અંતરે વળાંકની બંને બાજુએ હોય.

જો કોઈ બિંદુ નોંધપાત્ર રીતે ગ્રાફની બહાર આવે છે, તો આ માપનું પુનરાવર્તન કરવું જોઈએ. તેથી, પ્રયોગ દરમિયાન સીધા ગ્રાફ બનાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. આલેખ પછી નિરીક્ષણોને નિયંત્રિત કરવા અને સુધારવા માટે સેવા આપી શકે છે.

માપવાના સાધનો અને તેમની ભૂલોનો હિસાબΔ ભૌતિક જથ્થાના સીધા માપ માટે, માપન સાધનોનો ઉપયોગ થાય છે.કોઈપણ માપન સાધનો માપેલા મૂલ્યનું સાચું મૂલ્ય આપતા નથી.Δ આ, પ્રથમ, એ હકીકતને કારણે છે કે ઉપકરણના સ્કેલ પર માપેલ મૂલ્યની ચોક્કસ ગણતરી કરવી અશક્ય છે, અને બીજું, માપન સાધનોના ઉત્પાદનમાં અચોક્કસતા. પ્રથમ પરિબળને ધ્યાનમાં લેવા માટે, ગણતરી ભૂલ Δx o રજૂ કરવામાં આવે છે, બીજા માટે - અનુમતિપાત્ર ભૂલ:

x ડી

આ ભૂલોનો સરવાળો ઉપકરણની ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ અથવા સંપૂર્ણ ભૂલ બનાવે છે

x ± અનુમતિપાત્ર ભૂલ રાજ્યના ધોરણો દ્વારા પ્રમાણિત છે અને પાસપોર્ટ અથવા ઉપકરણના વર્ણનમાં દર્શાવેલ છે.વાંચન ભૂલ સામાન્ય રીતે સાધનના અડધા સ્કેલ ડિવિઝન મૂલ્યની બરાબર લેવામાં આવે છે, પરંતુ કેટલાક સાધનો માટે (સ્ટોપવોચ, એનરોઇડ બેરોમીટર) - ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ ડિવિઝન મૂલ્યની બરાબર (કારણ કે આ સાધનોના તીરની સ્થિતિ એક વિભાગ દ્વારા કૂદકામાં બદલાય છે. ) અને કેટલાક સ્કેલ વિભાગો પણ, જો પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓ વિશ્વાસપૂર્વક એક વિભાગમાં ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપતી નથી (ઉદાહરણ તરીકે, જાડા પોઇન્ટર અથવા નબળી લાઇટિંગ સાથે). આમ, ગણતરીની ભૂલ પ્રયોગકર્તા પોતે જ સ્થાપિત કરે છે, જે ચોક્કસ પ્રયોગની શરતોને ખરેખર પ્રતિબિંબિત કરે છે.

જો અનુમતિપાત્ર ભૂલ વાંચન ભૂલ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી હોય, તો તેને અવગણી શકાય છે. સામાન્ય રીતે ઉપકરણની સંપૂર્ણ ભૂલ ઉપકરણના સ્કેલ ડિવિઝનની બરાબર લેવામાં આવે છે. ± (3–4) µm (0–25 mmની માપન શ્રેણી સાથે માઇક્રોમીટર માટે). ગણતરીની ભૂલને વિભાજન મૂલ્યના અડધા ગણવામાં આવે છે. આમ, માઇક્રોમીટરની સંપૂર્ણ ભૂલને વિભાજન મૂલ્યની બરાબર લઈ શકાય છે, એટલે કે. 0.01 મીમી.

વજન કરતી વખતે, તકનીકી ભીંગડાની અનુમતિપાત્ર ભૂલ લોડ પર આધાર રાખે છે અને 20 થી 200 ગ્રામ સુધીના લોડ માટે 50 મિલિગ્રામ અને 20 ગ્રામથી ઓછા લોડ માટે 25 મિલિગ્રામ છે.

ડિજિટલ સાધનોની ભૂલ ચોકસાઈ વર્ગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, પ્રયોગ દરમિયાન, કેટલાક સાધનો દ્વારા ઘણી માત્રાને માપવામાં આવે છે, અને અંતિમ પરિણામ મેળવવા માટે, આ માપનની પ્રક્રિયા ગાણિતિક ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને કરવી આવશ્યક છે: ઉમેરા, ગુણાકાર, વગેરે. તેથી, પ્રયોગની સીમાંત અને સરેરાશ ચોરસ ભૂલોની ગણતરી કરીને સમગ્ર પ્રયોગની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે.

મહત્તમ સંબંધિત પ્રાયોગિક ભૂલની ગણતરી માટેના નિયમો:

1. સરવાળાની ભૂલ એ શરતોની સંબંધિત ભૂલોમાં સૌથી મોટી અને સૌથી નાની વચ્ચેની છે. સામાન્ય રીતે, ક્યાં તો સૌથી મોટી ભૂલ અથવા અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે (પ્રયોગશાળાના કાર્યમાં આપણે અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીશું).

2. ઉત્પાદન અથવા ભાગની ભૂલ અનુક્રમે પરિબળો અથવા ડિવિડન્ડ અને વિભાજકની સંબંધિત ભૂલોના સરવાળા જેટલી હોય છે.

3. ભૂલ nમાં આધારની મી ડિગ્રી nઆધારની સંબંધિત ભૂલ ગણી.

પરોક્ષ માપના પરિણામની રુટ સરેરાશ ચોરસ ભૂલની ગણતરી કરવા માટે, માપનના પરિણામોની સ્વતંત્રતાની ખાતરી કરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, રુટ એટલે કે મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં ચોરસ ભૂલ ડબલ્યુ, જે સીધા માપેલા પરિમાણોનું કાર્ય છે x, y, z, ... સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:

ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી પરિમાણોના સરેરાશ મૂલ્યો પર ક્યાં કરવામાં આવે છે x, y, z, …, - અનુક્રમે સુધારેલ ભિન્નતા x, y, z, ….

ઉદાહરણ. પરોક્ષ માપની ભૂલનું નિર્ધારણ

પુનરાવર્તિત માપનના પરિણામે, 3 પરસ્પર સ્વતંત્ર પરિમાણોની સરેરાશ મૂલ્યો અને રૂટ-મીન-સ્ક્વેર ભૂલો પ્રાપ્ત થઈ હતી:

a) મહત્તમ સંબંધિત માપન ભૂલ અને કાર્ય નક્કી કરવામાં મહત્તમ સંબંધિત ભૂલ

b) સરેરાશ મૂલ્ય અને રુટ એટલે કાર્ય નક્કી કરવામાં ચોરસ ભૂલ

a) મહત્તમ સંબંધિત માપન ભૂલો શોધો x, y, zસૂત્ર અનુસાર (13):

કાર્ય નક્કી કરવામાં મહત્તમ સંબંધિત ભૂલ

ચાલો, પ્રયોગની મહત્તમ સંબંધિત ભૂલની ગણતરી માટેના નિયમો અનુસાર શોધીએ:

b) ફંક્શનના સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરો

ફોર્મ્યુલા (14) નો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન નક્કી કરવામાં રૂટ-મીન-ચોરસ ભૂલની ગણતરી કરવા માટે, અમે આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શોધીએ છીએ:

અને સરેરાશ મૂલ્યો પર તેમની ગણતરી કરો x, y, z:

ફોર્મ્યુલા (14) માં અવેજીમાં, આપણને મળે છે:

4. રેખીય રીગ્રેસન મોડેલ લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી

પરિબળો વચ્ચેના સંબંધો સ્થાપિત કરવા માટેની અસરકારક પદ્ધતિઓમાંની એક સહસંબંધ-રીગ્રેશન વિશ્લેષણ છે.

સહસંબંધ-રીગ્રેસન પદ્ધતિનું કાર્ય એક પ્રયોગમૂલક સમીકરણ શોધવાનું છે જે પરિણામી પરિમાણ વચ્ચેના સંબંધને લાક્ષણિકતા આપે છે. વાયચોક્કસ ઇનપુટ પરિબળ સાથે એક્સ.

સંચારના સ્વરૂપ તરીકે વાયઅને એક્સગણતરીમાં તેની સરળતાને કારણે રેખીય અવલંબનનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, અને તે હકીકતને કારણે પણ કે તેના પર અન્ય ઘણા પ્રકારની અવલંબન ઘટાડી શકાય છે.

રેખીય રીગ્રેસન મોડેલની ગણતરીમાં નીચેના પગલાં શામેલ છે:

1. સૈદ્ધાંતિક રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણની ગણતરી;

2. જોડાણની મજબૂતાઈનું મૂલ્યાંકન, સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી;

3. સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન;

4. રીગ્રેસન સમીકરણ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન;

5. રીગ્રેસન સમીકરણ અને આત્મવિશ્વાસ મર્યાદાની પર્યાપ્તતા નક્કી કરવી.

લીનિયર રીગ્રેશન વાયપર એક્સફોર્મ ધરાવે છે:

જ્યાં α અને β એ રીગ્રેશન પેરામીટર્સ છે (β એ રીગ્રેસન ગુણાંક કહેવાય છે).

રીગ્રેસન પેરામીટર્સ α અને β ના આંકડાકીય અંદાજો પસંદ કરવામાં આવ્યા છે જેથી કરીને ફોર્મ્યુલા દ્વારા ગણવામાં આવતા મૂલ્યો પ્રાયોગિક મૂલ્યોની શક્ય તેટલી નજીક હોય. સ્ક્વેર વિચલનોનો સરવાળો નિકટતાના માપ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. સમાન બિંદુઓ પર સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યોમાંથી પ્રયોગમૂલક મૂલ્યોના વિચલનોના વર્ગોના સરવાળાને ઘટાડીને પરિમાણો શોધવાની પદ્ધતિને લઘુત્તમ ચોરસ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

આ પદ્ધતિ અનુસાર મેળવેલ શ્રેષ્ઠ પરિમાણ મૂલ્યો સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

સરેરાશ મૂલ્યો ક્યાં અને છે એક્સઅને વાય, જેની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

ધ્યાનમાં લેતા (15), અમે ફોર્મમાં પ્રયોગમૂલક રીગ્રેસન લાઇન લખીએ છીએ:

રેખીય સહસંબંધ અવલંબનની શક્તિ વાયઅને એક્સસહસંબંધ ગુણાંક દર્શાવે છે આર. ગુણાંક આર 1 થી બદલાય છે. તે જેટલો નજીક છે, તેટલો મજબૂત રેખીય સંબંધ વાયઅને એક્સ, મર્યાદિત કિસ્સામાં, જો , ત્યાં ચોક્કસ રેખીય કાર્યાત્મક અવલંબન છે વાયથી એક્સ. જો, તો પછી વાયઅને એક્સસહસંબંધ નથી. સહસંબંધ ગુણાંકનો અંદાજ લગાવીને આરનમૂના સહસંબંધ ગુણાંક તરીકે સેવા આપે છે, જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

નમૂનાના ડેટામાંથી નિર્ધારિત સહસંબંધ ગુણાંક સામાન્ય વસ્તીને અનુરૂપ વાસ્તવિક મૂલ્ય સાથે સુસંગત ન હોઈ શકે. નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વ વિશે આંકડાકીય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, ઉપયોગ કરો tવિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ, જેનું અવલોકન કરેલ મૂલ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

નિર્ણાયક મૂલ્ય tસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી અને મહત્વના સ્તરની સંખ્યા માટે માપદંડ α વિદ્યાર્થીઓના વિતરણના નિર્ણાયક મુદ્દાઓના કોષ્ટકોમાંથી જોવા મળે છે. જો , તો પછી સહસંબંધ ગુણાંકના શૂન્ય મૂલ્ય વિશેની ધારણાની પુષ્ટિ થતી નથી, અને નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક નોંધપાત્ર છે. જો, તો મૂલ્ય આરશૂન્યની નજીક.

રીગ્રેસન સમીકરણ (16) માં સમાવિષ્ટ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે, વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, આપણે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલ બાંધવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ. આપેલ વિશ્વસનીયતા γ માટે, પરિમાણો અને β માટે વિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

નિર્ણાયક મૂલ્ય ક્યાં છે t- સ્વતંત્રતા અને મહત્વના સ્તરની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે માપદંડ, જે વિદ્યાર્થી વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુઓના કોષ્ટકોમાંથી જોવા મળે છે, - શેષ વિભિન્નતાનું વર્ગમૂળ, જે સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

પ્રયોગમૂલક રીગ્રેસન સમીકરણ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તે નિરીક્ષણ પરિણામોને કેટલી સારી રીતે અનુરૂપ છે તે તપાસો. રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, ઉપયોગ કરો એફ-ફિશર માપદંડ, જેનું અવલોકન કરેલ મૂલ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

સુધારેલ તફાવત ક્યાં છે વાય, જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

નિર્ણાયક મૂલ્ય એફ-ફિશર-સ્નેડેકોર વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુઓના કોષ્ટકોમાંથી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા અને મહત્વ સ્તર α માટેના માપદંડો જોવા મળે છે. જો , તો પછી રીગ્રેસન સમીકરણની તુચ્છતા વિશેની પૂર્વધારણાની પુષ્ટિ થઈ નથી, અને સમીકરણ નિરીક્ષણ પરિણામોને અનુરૂપ છે. જો , તો પરિણામી સમીકરણ નજીવું છે.

પ્રયોગમૂલક સમીકરણ આપેલ અવલોકન પ્રણાલીને કેટલી સારી રીતે વર્ણવે છે તેના માપની બીજી લાક્ષણિકતા એ નિર્ધારણનો ગુણાંક છે ડી, જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

ગુણાંક જેટલા નજીક છે ડીએક માટે, વધુ સારું વર્ણન.

એકવાર મૉડલ બની ગયા પછી, તેનો ઉપયોગ વિશ્લેષણ અને આગાહી માટે થાય છે. પરિબળને સમીકરણ (17) માં બદલીને આગાહી કરવામાં આવે છે. પરિણામી બિંદુ અંદાજ છે:

અનુમાનિત મૂલ્ય માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ છે:

નિર્ણાયક મૂલ્ય ક્યાં છે tસ્વતંત્રતા અને મહત્વના સ્તરની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે માપદંડ, જે વિદ્યાર્થી વિતરણના નિર્ણાયક મુદ્દાઓના કોષ્ટકોમાંથી મળે છે.

ઉદાહરણ.લીનિયર રીગ્રેસન મોડલ બનાવવું

નિરીક્ષણ ડેટાના આધારે, રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણના પરિમાણો નક્કી કરો વાયપર એક્સ. રીગ્રેસન અને સહસંબંધ ગુણાંક શોધો અને નમૂના સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરો. રીગ્રેસન સમીકરણના પરિમાણો માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો શોધો. નિર્ધારણનો ગુણાંક નક્કી કરો. પરિણામી રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરો. મોડેલ દ્વારા અનુમાનિત મૂલ્ય શોધો yખાતે x=x 0 અને તેના માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો. મહત્વના સ્તરને 0.05 ની બરાબર લો.

એક્સ
વાય	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

રીગ્રેસન સમીકરણના પરિમાણો મેળવવા માટે, ચાલો એક કોષ્ટક બનાવીએ. કોષ્ટક 2


0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7	0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
9,6			1,66	83,8		0,0479

કોષ્ટકની છેલ્લી પંક્તિ ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા કૉલમનો સરવાળો દર્શાવે છે.

ચાલો સરેરાશ મૂલ્યો શોધીએ એક્સઅને વાયસૂત્ર અનુસાર (16):

ચાલો સૂત્ર (15) નો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન ગુણાંકની ગણતરી કરીએ:

અને અમે (17) ને બદલીને પ્રયોગમૂલક રીગ્રેસન સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

ફોર્મ્યુલા (28) નો ઉપયોગ કરીને, અમે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ અને કોષ્ટક 2 ની છેલ્લી બે કૉલમ ભરીએ છીએ.

ચાલો સૂત્ર (18) નો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરીએ:

અને ચાલો તેના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરીએ. અમે સૂત્ર (19) નો ઉપયોગ કરીને માપદંડનું અવલોકન કરેલ મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

વિદ્યાર્થી વિતરણના નિર્ણાયક મુદ્દાઓના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, અમે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી અને મહત્વના સ્તરની સંખ્યા સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુને શોધીએ છીએ અને તેની તુલના કરીએ છીએ અને: તેથી, સહસંબંધ ગુણાંક નોંધપાત્ર છે, અને વાયઅને એક્સરેખીય સહસંબંધ દ્વારા જોડાયેલા છે.

રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ (28) ના પરિમાણોના આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે સૂત્ર (22) નો ઉપયોગ કરીને શેષ તફાવત શોધીએ છીએ:

સૂત્ર (20) માં સ્થાનાંતરિત કરીને, અમે ગણતરી માટે વિશ્વાસ અંતરાલ મેળવીએ છીએ, અમે વિશ્વસનીયતા સાથે અંતરાલ અંદાજ મેળવીએ છીએ

અમે ફોર્મ્યુલા (21) નો ઉપયોગ કરવા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મેળવીએ છીએ:

તેથી, વિશ્વસનીયતા સાથે પરિમાણ માટે અંતરાલ અંદાજ

ચાલો પરિણામી રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણા તપાસીએ. અવલોકન કરેલ મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે એફ- માપદંડ અમે સુધારેલ તફાવત શોધીશું વાયફોર્મ્યુલા (24) નો ઉપયોગ કરીને: ફોર્મ્યુલા (23) માં બદલીને, અમે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ: સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે અને મહત્વના સ્તરે ફિશર-સ્નેડેકોર વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુઓના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, અમે અવલોકન કરેલ અને નિર્ણાયક મૂલ્યોની તુલના કરીએ છીએ. એફ- માપદંડ, તેથી અમે મેળવીએ છીએ કે સમીકરણ નોંધપાત્ર છે.

અવલોકન કરેલ મૂલ્યો માટે રેખીય મોડેલની પર્યાપ્તતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, અમે સૂત્ર (25) નો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારણનો ગુણાંક પણ શોધીએ છીએ:

આ પરિણામનું અર્થઘટન નીચે મુજબ છે: 97.1% પરિવર્તનક્ષમતા વાયપરિબળમાં ફેરફાર દ્વારા સમજાવ્યું એક્સ, અને બાકીના રેન્ડમ પરિબળો પરિવર્તનશીલતાના 2.9% માટે જવાબદાર છે. જો કે, આ નિષ્કર્ષ ફક્ત મૂલ્યોની ગણવામાં આવેલ શ્રેણી માટે જ માન્ય છે એક્સ.

અમે આગાહી માટે સમીકરણ (28) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. માટે એક બિંદુ અંદાજ સાથે yઆપણે ફોર્મ્યુલા (28) માં બદલીને મેળવીએ છીએ: ફોર્મ્યુલા (27) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ તે માટેનો વિશ્વાસ અંતરાલ:

છેલ્લે, વિશ્વસનીયતા સાથે માટે અંતરાલ અંદાજ

સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: ઇચ્છિત જથ્થો દો zઅન્ય જથ્થા દ્વારા નિર્ધારિત a, b, c, ... પ્રત્યક્ષ માપનમાંથી મેળવેલ

z = f (a, b, c,...) (1.11)

કાર્યનું સરેરાશ મૂલ્ય અને તેના માપનની ભૂલ શોધવા માટે તે જરૂરી છે, એટલે કે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધો

વિશ્વસનીયતા અને સંબંધિત ભૂલ સાથે.

માટે, તેને બદલે (11) ની જમણી બાજુએ બદલીને જોવા મળે છે a, b, c,...તેમના સરેરાશ મૂલ્યો

પરોક્ષ માપની સંપૂર્ણ ભૂલ એ પ્રત્યક્ષ માપની સંપૂર્ણ ભૂલોનું કાર્ય છે અને સૂત્ર દ્વારા તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

(1.14)

અહીં ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે fચલો દ્વારા a, b, …

જો મૂલ્યો a, b, c,... એક કાર્યમાં Z = f (a, b, c,...)એક ડિગ્રી અથવા અન્ય પરિબળોના સ્વરૂપમાં શામેલ છે, એટલે કે જો

, (1.15)

પછી સંબંધિત ભૂલની પ્રથમ ગણતરી કરવી અનુકૂળ છે

, (1.16)

અને પછી નિરપેક્ષ

ડી માટે ફોર્મ્યુલા zઅને e z સંદર્ભ સાહિત્યમાં આપવામાં આવે છે.

તમારે 3.14 લેવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં

1. પરોક્ષ માપ માટે, ગણતરીના સૂત્રોમાં જાણીતા ભૌતિક સ્થિરાંકો (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગક) શામેલ હોઈ શકે છે g, વેક્યૂમમાં પ્રકાશની ગતિ સાથેવગેરે), અપૂર્ણાંક પરિબળો જેવી સંખ્યાઓ... . આ મૂલ્યો ગણતરી દરમિયાન ગોળાકાર હોય છે. આ કિસ્સામાં, અલબત્ત, ગણતરીમાં ભૂલ રજૂ કરવામાં આવી છે - ગણતરીઓમાં રાઉન્ડિંગ ભૂલ, જે ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે.

તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે અંદાજિત સંખ્યાની ગોળાકાર ભૂલ એ અંકના અડધા એકમ જેટલી હોય છે જેના પર આ સંખ્યા ગોળાકાર હતી. ઉદાહરણ તરીકે, પી = 3.14159... જો આપણે p = 3.1 લઈએ, તો Dp = 0.05, જો p = 3.14, તો Dp = 0.005 ... વગેરે. અંદાજિત સંખ્યાને કયા અંક પર ગોળાકાર બનાવવો તે પ્રશ્ન નીચે મુજબ ઉકેલવામાં આવે છે: રાઉન્ડિંગ દ્વારા રજૂ કરાયેલ સંબંધિત ભૂલ સમાન ક્રમની હોવી જોઈએ અથવા અન્ય પ્રકારની સંબંધિત ભૂલોની મહત્તમ કરતાં ઓછી તીવ્રતાનો ક્રમ હોવો જોઈએ. ટેબ્યુલર ડેટાની સંપૂર્ણ ભૂલ એ જ રીતે અંદાજવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટક r = 13.6 × 10 3 kg/m 3 સૂચવે છે, તેથી, Dr = 0.05 × 10 3 kg/m 3.

સાર્વત્રિક સ્થિરાંકોના મૂલ્યોમાં ભૂલ ઘણીવાર સરેરાશ તરીકે લેવામાં આવેલા તેમના મૂલ્યો સાથે સૂચવવામાં આવે છે: ( સાથે = m/s, જ્યાં ડી સાથે= 0.3×10 3 m/s.

2. કેટલીકવાર, પરોક્ષ માપ સાથે, પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓ પુનરાવર્તિત અવલોકનો સાથે મેળ ખાતી નથી. આ કિસ્સામાં, કાર્ય મૂલ્ય zદરેક વ્યક્તિગત માપ માટે ગણતરી કરવામાં આવે છે, અને વિશ્વાસ અંતરાલ સમગ્ર મૂલ્યોમાં ગણવામાં આવે છે zપ્રત્યક્ષ માપની જેમ જ (અહીંની બધી ભૂલો એક રેન્ડમ માપન ભૂલમાં સમાવવામાં આવેલ છે z). મૂલ્યો કે જે માપવામાં આવતાં નથી, પરંતુ ઉલ્લેખિત (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) પૂરતા પ્રમાણમાં ઉચ્ચ ચોકસાઈ સાથે દર્શાવવા જોઈએ.

માપન પરિણામો પર પ્રક્રિયા કરવાની પ્રક્રિયા

પ્રત્યક્ષ માપન

1. માટે સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરો nમાપ

2. વ્યક્તિગત માપની ભૂલો શોધો .

3. વ્યક્તિગત માપનની ચોરસ ભૂલો અને તેમના સરવાળાની ગણતરી કરો: .

4. વિશ્વસનીયતા સેટ કરો (અમારા હેતુઓ માટે અમે a = 0.95 લઈએ છીએ) અને વિદ્યાર્થી ગુણાંક નક્કી કરવા માટે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો t a nઅને t a, ¥ .

5. પદ્ધતિસરની ભૂલોનું મૂલ્યાંકન કરો: સાધન ડી એક્સમાપમાં ગોળાકાર ભૂલોD એક્સ env = D/2 (D એ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ ડિવિઝન મૂલ્ય છે) અને માપન પરિણામની કુલ ભૂલ શોધો (વિશ્વાસ અંતરાલની અડધી-પહોળાઈ):

6. સંબંધિત ભૂલનો અંદાજ કાઢો

7. ફોર્મમાં અંતિમ પરિણામ લખો

a = ... માટે ε = … %

પરોક્ષ માપ

1. દરેક જથ્થા માટે સીધું માપવામાં આવે છે, ઇચ્છિત જથ્થો નક્કી કરવા માટેના સૂત્રમાં શામેલ છે , ઉપર સૂચવ્યા મુજબ પ્રક્રિયા હાથ ધરવા. જો જથ્થાઓ વચ્ચે a, b, c, ... ત્યાં કોષ્ટક સ્થિરાંકો અથવા સંખ્યાઓ છે જેમ કે p, ઇ,..., પછી ગણતરી દરમિયાન તેઓને ગોળાકાર કરવા જોઈએ (જો શક્ય હોય તો) કે રજૂ કરવામાં આવેલી સંબંધિત ભૂલ સીધી માપવામાં આવેલ જથ્થાની સૌથી મોટી સંબંધિત ભૂલ કરતાં ઓછી તીવ્રતાનો ક્રમ છે.