પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. પ્રમાણભૂત વિચલન

અનુભવમાંથી મેળવેલા મૂલ્યોમાં વિવિધ કારણોને લીધે અનિવાર્યપણે ભૂલો હોય છે. તેમાંથી, વ્યક્તિએ વ્યવસ્થિત અને રેન્ડમ ભૂલો વચ્ચે તફાવત કરવો જોઈએ. વ્યવસ્થિત ભૂલો એવા કારણોને કારણે થાય છે જે ખૂબ ચોક્કસ રીતે કાર્ય કરે છે, અને તેને હંમેશા દૂર કરી શકાય છે અથવા તદ્દન ચોક્કસ રીતે ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. અવ્યવસ્થિત ભૂલો ખૂબ મોટી સંખ્યામાં વ્યક્તિગત કારણોને કારણે થાય છે જે ચોક્કસ રીતે ગણી શકાતા નથી અને દરેક વ્યક્તિગત માપમાં અલગ અલગ રીતે કાર્ય કરી શકતા નથી. આ ભૂલોને સંપૂર્ણપણે બાકાત કરી શકાતી નથી; તેઓ ફક્ત સરેરાશ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, જેના માટે રેન્ડમ ભૂલોને સંચાલિત કરતા કાયદાઓ જાણવું જરૂરી છે.

અમે A દ્વારા માપેલ જથ્થાને અને x દ્વારા માપવામાં રેન્ડમ ભૂલ દર્શાવીશું. કારણ કે ભૂલ x કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે, તે સતત રેન્ડમ ચલ છે, જે તેના વિતરણ કાયદા દ્વારા સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા ધરાવે છે.

સૌથી સરળ અને સૌથી સચોટ રીતે પ્રતિબિંબિત વાસ્તવિકતા (મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં) કહેવાતી સામાન્ય ભૂલ વિતરણ કાયદો:

આ વિતરણ કાયદો વિવિધ સૈદ્ધાંતિક પરિસરમાંથી મેળવી શકાય છે, ખાસ કરીને, અજ્ઞાત જથ્થાનું સૌથી સંભવિત મૂલ્ય કે જેના માટે પ્રત્યક્ષ માપન દ્વારા સમાન પ્રમાણની ચોકસાઈ સાથે મૂલ્યોની શ્રેણી મેળવવામાં આવે છે તે જરૂરી છે તેનો અંકગણિત સરેરાશ આ મૂલ્યો. જથ્થો 2 કહેવાય છે વિખેરવુંઆ સામાન્ય કાયદાની.

અંકગણિત સરેરાશ

પ્રાયોગિક ડેટામાંથી વિક્ષેપનું નિર્ધારણ. જો કોઈપણ મૂલ્ય A માટે, n મૂલ્યો a i એ સમાન પ્રમાણની ચોકસાઈ સાથે સીધા માપન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે અને જો મૂલ્ય A ની ભૂલો સામાન્ય વિતરણ કાયદાને આધીન હોય, તો A નું સૌથી સંભવિત મૂલ્ય હશે. અંકગણિત સરેરાશ:

a - અંકગણિત સરેરાશ,

a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

અવલોકન કરેલ મૂલ્યનું વિચલન (દરેક અવલોકન માટે) a i નું મૂલ્ય A માંથી અંકગણિત સરેરાશ: a i - a.

આ કિસ્સામાં સામાન્ય ભૂલ વિતરણ કાયદાના તફાવતને નિર્ધારિત કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

2 - વિખેરવું,
a - અંકગણિત સરેરાશ,
n - પરિમાણ માપનની સંખ્યા,

પ્રમાણભૂત વિચલન

પ્રમાણભૂત વિચલનમાંથી માપેલા મૂલ્યોનું સંપૂર્ણ વિચલન બતાવે છે અંકગણિત સરેરાશ. રેખીય સંયોજનની ચોકસાઈના માપન માટેના સૂત્ર અનુસાર સરેરાશ ચોરસ ભૂલઅંકગણિત સરેરાશ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

, ક્યાં

a - અંકગણિત સરેરાશ,
n - પરિમાણ માપનની સંખ્યા,
a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

વિવિધતાનો ગુણાંક

વિવિધતાનો ગુણાંકમાંથી માપેલા મૂલ્યોના વિચલનના સંબંધિત માપને લાક્ષણિકતા આપે છે અંકગણિત સરેરાશ:

, ક્યાં

V - વિવિધતાના ગુણાંક,
- પ્રમાણભૂત વિચલન,
a - અંકગણિત સરેરાશ.

મૂલ્ય જેટલું ઊંચું છે વિવિધતાના ગુણાંક, અભ્યાસ કરેલ મૂલ્યોની પ્રમાણમાં વધુ સ્કેટર અને ઓછી એકરૂપતા. જો વિવિધતાના ગુણાંક 10% કરતા ઓછું હોય, તો ભિન્નતા શ્રેણીની પરિવર્તનક્ષમતા નજીવી ગણવામાં આવે છે, 10% થી 20% સુધી સરેરાશ ગણવામાં આવે છે, 20% કરતા વધુ અને 33% કરતા ઓછા નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે અને જો વિવિધતાના ગુણાંક 33% થી વધી જાય છે, આ માહિતીની વિવિધતા અને સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોને બાકાત રાખવાની જરૂરિયાત દર્શાવે છે.

સરેરાશ રેખીય વિચલન

વિવિધતાના અવકાશ અને તીવ્રતાના સૂચકોમાંનું એક છે સરેરાશ રેખીય વિચલન(સરેરાશ વિચલન મોડ્યુલ) અંકગણિત સરેરાશમાંથી. સરેરાશ રેખીય વિચલનસૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

, ક્યાં

_
a - સરેરાશ રેખીય વિચલન,
a - અંકગણિત સરેરાશ,
n - પરિમાણ માપનની સંખ્યા,
a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

સામાન્ય વિતરણના કાયદા સાથે અભ્યાસ કરેલ મૂલ્યોનું પાલન ચકાસવા માટે, સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે અસમપ્રમાણતા સૂચકતેની ભૂલ અને વલણ માટે કર્ટોસિસ સૂચકતેની ભૂલ માટે.

અસમપ્રમાણતા સૂચક

અસમપ્રમાણતા સૂચક(A) અને તેની ભૂલ (m a) ની ગણતરી નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

, ક્યાં

A - અસમપ્રમાણતા સૂચક,
- પ્રમાણભૂત વિચલન,
a - અંકગણિત સરેરાશ,
n - પરિમાણ માપનની સંખ્યા,
a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

કુર્ટોસિસ સૂચક

કુર્ટોસિસ સૂચક(E) અને તેની ભૂલ (m e) ની ગણતરી નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

, ક્યાં

X i -રેન્ડમ (વર્તમાન) ચલો;

X̅– નમૂના માટે રેન્ડમ ચલોની સરેરાશ કિંમત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

તેથી, વિચલન એ વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ છે . એટલે કે, સરેરાશ મૂલ્યની પ્રથમ ગણતરી કરવામાં આવે છે, પછી લેવામાં આવે છે દરેક મૂળ અને સરેરાશ મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત વર્ગમાં છે , ઉમેરવામાં આવે છે અને પછી આપેલ વસ્તીમાં મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

વ્યક્તિગત મૂલ્ય અને સરેરાશ વચ્ચેનો તફાવત વિચલનના માપને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેથી તમામ વિચલનો ફક્ત હકારાત્મક સંખ્યાઓ બની જાય અને જ્યારે તેનો સારાંશ કરવામાં આવે ત્યારે સકારાત્મક અને નકારાત્મક વિચલનોના પરસ્પર વિનાશને ટાળવા માટે. પછી, ચોરસ વિચલનોને જોતાં, આપણે ફક્ત અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ છીએ.

જાદુઈ શબ્દ "વિક્ષેપ" નો જવાબ ફક્ત આ ત્રણ શબ્દોમાં રહેલો છે: સરેરાશ - ચોરસ - વિચલનો.

માનક વિચલન (MSD)

વિભિન્નતાના વર્ગમૂળને લઈને, આપણે કહેવાતા “પ્રાપ્ત કરીએ છીએ. પ્રમાણભૂત વિચલન"નામો છે "માનક વિચલન" અથવા "સિગ્મા" (ગ્રીક અક્ષરના નામ પરથી σ .). પ્રમાણભૂત વિચલન માટેનું સૂત્ર છે:

તેથી, વિક્ષેપ એ સિગ્મા સ્ક્વેર છે, અથવા પ્રમાણભૂત વિચલન સ્ક્વેર છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન, દેખીતી રીતે, ડેટાના વિક્ષેપના માપને પણ દર્શાવે છે, પરંતુ હવે (વિક્ષેપથી વિપરીત) તેની તુલના મૂળ ડેટા સાથે કરી શકાય છે, કારણ કે તેમની પાસે માપનના સમાન એકમો છે (આ ગણતરીના સૂત્રમાંથી સ્પષ્ટ છે). વિવિધતાની શ્રેણી એ આત્યંતિક મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે. પ્રમાણભૂત વિચલન, અનિશ્ચિતતાના માપદંડ તરીકે, ઘણી આંકડાકીય ગણતરીઓમાં પણ સામેલ છે. તેની મદદથી, વિવિધ અંદાજો અને આગાહીઓની ચોકસાઈની ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવે છે. જો ભિન્નતા ખૂબ મોટી છે, તો પ્રમાણભૂત વિચલન પણ મોટું હશે, અને તેથી આગાહી અચોક્કસ હશે, જે વ્યક્ત કરવામાં આવશે, ઉદાહરણ તરીકે, ખૂબ વિશાળ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોમાં.

તેથી, રિયલ એસ્ટેટ આકારણીઓમાં આંકડાકીય માહિતી પ્રક્રિયાની પદ્ધતિઓમાં, કાર્યની આવશ્યક ચોકસાઈના આધારે, બે અથવા ત્રણ સિગ્માનો નિયમ વપરાય છે.

બે-સિગ્મા નિયમ અને ત્રણ-સિગ્મા નિયમની તુલના કરવા માટે, અમે લેપ્લેસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

F - F ,

જ્યાં Ф(x) એ લેપ્લેસ ફંક્શન છે;

ન્યૂનતમ મૂલ્ય

β = મહત્તમ મૂલ્ય

s = સિગ્મા મૂલ્ય (માનક વિચલન)

a = સરેરાશ

આ કિસ્સામાં, જ્યારે રેન્ડમ ચલ X ના મૂલ્યોની સીમાઓ α અને β એ ચોક્કસ મૂલ્ય d: a દ્વારા વિતરણ a = M(X) ના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય ત્યારે લેપ્લેસના સૂત્રના ચોક્કસ સ્વરૂપનો ઉપયોગ થાય છે. = a-d, b = a+d. અથવા (1) ફોર્મ્યુલા (1) તેની ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) = a થી સામાન્ય વિતરણ કાયદા સાથે રેન્ડમ ચલ X ના આપેલ વિચલન d ની સંભાવના નક્કી કરે છે.

જો સૂત્ર (1) માં આપણે ક્રમશઃ d = 2s અને d = 3s લઈએ, તો આપણને મળે છે: (2), (3).

બે સિગ્મા નિયમ

ચાલો બે-સિગ્મા નિયમને ભૌમિતિક રીતે સમજાવીએ. ફિગ માં. આકૃતિ 6 વિતરણ કેન્દ્ર a સાથે ગૌસીયન વળાંક દર્શાવે છે. સમગ્ર વળાંક અને ઓક્સ અક્ષ દ્વારા બંધાયેલો વિસ્તાર 1 (100%) ની બરાબર છે, અને બે-સિગ્મા નિયમ અનુસાર એબ્સિસાસ a–2s અને a+2s વચ્ચેના વક્રીય ટ્રેપેઝોઈડનો વિસ્તાર સમાન છે. થી 0.954 (કુલ વિસ્તારના 95.4%). છાયાવાળા વિસ્તારોનો વિસ્તાર 1-0.954 = 0.046 (»કુલ વિસ્તારના 5%) છે. આ વિસ્તારોને રેન્ડમ ચલનો નિર્ણાયક પ્રદેશ કહેવામાં આવે છે. નિર્ણાયક પ્રદેશમાં આવતા રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો અસંભવિત છે અને વ્યવહારમાં પરંપરાગત રીતે અશક્ય તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે.

શરતી રીતે અશક્ય મૂલ્યોની સંભાવનાને રેન્ડમ ચલનું મહત્વ સ્તર કહેવામાં આવે છે. મહત્વનું સ્તર સૂત્ર દ્વારા આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે સંબંધિત છે:

જ્યાં q એ ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવેલ મહત્વ સ્તર છે.

ત્રણ સિગ્મા નિયમ

વધુ વિશ્વસનીયતાની જરૂર હોય તેવા મુદ્દાઓને ઉકેલતી વખતે, જ્યારે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના (Pd) 0.997 (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, 0.9973) ની બરાબર લેવામાં આવે છે, ત્યારે સૂત્ર (3) અનુસાર, ટુ-સિગ્મા નિયમને બદલે, નિયમનો ઉપયોગ થાય છે. ત્રણ સિગ્મા

અનુસાર ત્રણ સિગ્મા નિયમ 0.9973 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના સાથે, નિર્ણાયક વિસ્તાર એ અંતરાલ (a-3s, a+3s) ની બહારના લક્ષણ મૂલ્યોનો વિસ્તાર હશે. મહત્વ સ્તર 0.27% છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિચલનનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય પ્રમાણભૂત વિચલન કરતાં ત્રણ ગણું વધી જશે તેવી સંભાવના ખૂબ જ નાની છે, એટલે કે 0.0027 = 1-0.9973. આનો અર્થ એ છે કે માત્ર 0.27% કેસોમાં આવું થશે. અસંભવિત ઘટનાઓની અશક્યતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત આવી ઘટનાઓને વ્યવહારીક રીતે અશક્ય ગણી શકાય. તે. સેમ્પલિંગ અત્યંત સચોટ છે.

આ ત્રણ સિગ્મા નિયમનો સાર છે:

જો રેન્ડમ ચલ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી તેના વિચલનનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય પ્રમાણભૂત વિચલન (MSD) કરતાં ત્રણ ગણા કરતાં વધી જતું નથી.

વ્યવહારમાં, થ્રી-સિગ્મા નિયમ નીચે પ્રમાણે લાગુ કરવામાં આવે છે: જો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા રેન્ડમ ચલનું વિતરણ અજ્ઞાત હોય, પરંતુ ઉપરોક્ત નિયમમાં ઉલ્લેખિત શરત પૂરી થઈ હોય, તો એવું માનવા માટેનું કારણ છે કે અભ્યાસ કરવામાં આવેલ ચલ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. ; અન્યથા તે સામાન્ય રીતે વિતરિત થતું નથી.

જોખમની અનુમતિ પ્રાપ્ત ડિગ્રી અને હાથ પરના કાર્યના આધારે મહત્વનું સ્તર લેવામાં આવે છે. રિયલ એસ્ટેટ મૂલ્યાંકન માટે, ટુ-સિગ્મા નિયમને અનુસરીને, સામાન્ય રીતે ઓછા ચોક્કસ નમૂનાને અપનાવવામાં આવે છે.

આ લેખમાં હું તેના વિશે વાત કરીશ પ્રમાણભૂત વિચલન કેવી રીતે શોધવું. ગણિતની સંપૂર્ણ સમજણ માટે આ સામગ્રી અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, તેથી ગણિતના શિક્ષકે તેનો અભ્યાસ કરવા માટે એક અલગ પાઠ અથવા તો ઘણા બધા સમર્પિત કરવા જોઈએ. આ લેખમાં તમને વિગતવાર અને સમજી શકાય તેવા વિડિયો ટ્યુટોરિયલની લિંક મળશે જે સમજાવે છે કે પ્રમાણભૂત વિચલન શું છે અને તેને કેવી રીતે શોધવું.

પ્રમાણભૂત વિચલનચોક્કસ પરિમાણને માપવાના પરિણામે પ્રાપ્ત મૂલ્યોના પ્રસારનું મૂલ્યાંકન કરવાનું શક્ય બનાવે છે. પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ગ્રીક અક્ષર "સિગ્મા").

ગણતરી માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે. પ્રમાણભૂત વિચલન શોધવા માટે, તમારે વિચલનનું વર્ગમૂળ લેવાની જરૂર છે. તો હવે તમારે પૂછવું પડશે, "વિવિધતા શું છે?"

ભિન્નતા શું છે

વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા આ પ્રમાણે છે. વિક્ષેપ એ સરેરાશમાંથી મૂલ્યોના ચોરસ વિચલનોનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

તફાવત શોધવા માટે, નીચેની ગણતરીઓ ક્રમિક રીતે કરો:

• સરેરાશ (મૂલ્યોની શ્રેણીની સરળ અંકગણિત સરેરાશ) નક્કી કરો.
• પછી દરેક મૂલ્યમાંથી સરેરાશ બાદ કરો અને પરિણામી તફાવતનો વર્ગ કરો (તમને મળશે ચોરસ તફાવત).
• આગળનું પગલું પરિણામી વર્ગના તફાવતોના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાનું છે (તમે નીચે શા માટે બરાબર ચોરસ છે તે શોધી શકો છો).

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો કહીએ કે તમે અને તમારા મિત્રો તમારા કૂતરાઓની ઊંચાઈ (મિલિમીટરમાં) માપવાનું નક્કી કરો છો. માપના પરિણામ રૂપે, તમને નીચેની ઊંચાઈના માપન પ્રાપ્ત થયા છે (વળવા પર): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm અને 300 mm.

ચાલો સરેરાશ, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરીએ.

પ્રથમ ચાલો સરેરાશ મૂલ્ય શોધીએ. જેમ તમે પહેલાથી જ જાણો છો, આ કરવા માટે તમારે બધા માપેલા મૂલ્યો ઉમેરવાની અને માપની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. ગણતરી પ્રગતિ:

સરેરાશ મીમી.

તેથી, સરેરાશ (અંકગણિત સરેરાશ) 394 મીમી છે.

હવે આપણે નક્કી કરવાની જરૂર છે સરેરાશથી દરેક કૂતરાની ઊંચાઈનું વિચલન:

છેવટે, તફાવતની ગણતરી કરવા માટે, અમે દરેક પરિણામી તફાવતોને ચોરસ કરીએ છીએ, અને પછી પ્રાપ્ત પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધીએ છીએ:

વિક્ષેપ mm 2 .

આમ, વિક્ષેપ 21704 mm 2 છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન કેવી રીતે શોધવું

તો હવે આપણે વિચલન જાણીને, પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકીએ? જેમ આપણે યાદ કરીએ છીએ, તેનું વર્ગમૂળ લો. એટલે કે, પ્રમાણભૂત વિચલન સમાન છે:

મીમી (મીમીમાં નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા સુધી ગોળાકાર).

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમને જાણવા મળ્યું કે કેટલાક શ્વાન (ઉદાહરણ તરીકે, રોટવીલર્સ) ખૂબ મોટા કૂતરા છે. પરંતુ ત્યાં ખૂબ નાના કૂતરા પણ છે (ઉદાહરણ તરીકે, ડાચશન્ડ્સ, પરંતુ તમારે તેમને તે કહેવું જોઈએ નહીં).

સૌથી રસપ્રદ બાબત એ છે કે પ્રમાણભૂત વિચલન ઉપયોગી માહિતી વહન કરે છે. હવે આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે મેળવેલ ઊંચાઈ માપન પરિણામોમાંથી કયા અંતરાલની અંદર છે જો આપણે સરેરાશ (તેની બંને બાજુએ) થી પ્રમાણભૂત વિચલનનું કાવતરું કરીએ તો આપણને મળે છે.

એટલે કે, પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને, અમે એક "પ્રમાણભૂત" પદ્ધતિ મેળવીએ છીએ જે અમને તે શોધવાની મંજૂરી આપે છે કે કયા મૂલ્યો સામાન્ય છે (આંકડાકીય રીતે સરેરાશ), અને જે અસાધારણ રીતે મોટું છે અથવા, તેનાથી વિપરીત, નાનું છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન શું છે

પરંતુ... જો આપણે વિશ્લેષણ કરીશું તો બધું થોડું અલગ હશે નમૂનાડેટા અમારા ઉદાહરણમાં અમે ધ્યાનમાં લીધા સામાન્ય વસ્તી.એટલે કે, અમારા 5 કૂતરા વિશ્વના એકમાત્ર કૂતરા હતા જે અમને રસ ધરાવતા હતા.

પરંતુ જો ડેટા નમૂના છે (મોટી વસ્તીમાંથી પસંદ કરેલ મૂલ્યો), તો ગણતરીઓ અલગ રીતે કરવાની જરૂર છે.

જો ત્યાં મૂલ્યો છે, તો પછી:

સરેરાશના નિર્ધારણ સહિત અન્ય તમામ ગણતરીઓ સમાન રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણા પાંચ શ્વાન કૂતરાઓની વસ્તી (પૃથ્વી પરના તમામ કૂતરા) નો માત્ર એક નમૂનો છે, તો આપણે વિભાજિત કરવું જોઈએ 4, 5 નહીં,એટલે કે:

નમૂના ભિન્નતા = મીમી 2.

આ કિસ્સામાં, નમૂના માટે પ્રમાણભૂત વિચલન બરાબર છે mm (નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા સુધી ગોળાકાર).

અમે કહી શકીએ કે અમારા મૂલ્યો માત્ર એક નાનો નમૂનો છે તે કિસ્સામાં અમે કેટલાક "સુધારણા" કર્યા છે.

નોંધ. શા માટે બરાબર સ્ક્વેર્ડ તફાવતો?

પરંતુ ભિન્નતાની ગણતરી કરતી વખતે આપણે શા માટે બરાબર ચોરસ તફાવતો લઈએ છીએ? ચાલો કહીએ કે અમુક પરિમાણને માપતી વખતે, તમને નીચેના મૂલ્યોનો સમૂહ પ્રાપ્ત થયો: 4; 4; -4; -4. જો આપણે સરેરાશ (તફાવત)માંથી સંપૂર્ણ વિચલનોને એકસાથે ઉમેરીએ તો... નકારાત્મક મૂલ્યો સકારાત્મક મૂલ્યો સાથે રદ થાય છે:

.

તે તારણ આપે છે કે આ વિકલ્પ નકામું છે. પછી કદાચ વિચલનોના સંપૂર્ણ મૂલ્યો (એટલે ​​​​કે, આ મૂલ્યોના મોડ્યુલો) અજમાવવા યોગ્ય છે?

પ્રથમ નજરમાં, તે સારી રીતે બહાર આવ્યું છે (પરિણામી મૂલ્ય, માર્ગ દ્વારા, સરેરાશ સંપૂર્ણ વિચલન કહેવાય છે), પરંતુ તમામ કિસ્સાઓમાં નહીં. ચાલો બીજું ઉદાહરણ અજમાવીએ. માપનનું પરિણામ નીચેના મૂલ્યોના સમૂહમાં આવવા દો: 7; 1; -6; -2. પછી સરેરાશ સંપૂર્ણ વિચલન છે:

વાહ! ફરીથી અમને 4 નું પરિણામ મળ્યું, જો કે તફાવતો ઘણો મોટો ફેલાવો ધરાવે છે.

હવે ચાલો જોઈએ કે જો આપણે તફાવતોને વર્ગીકૃત કરીએ તો શું થાય છે (અને પછી તેમના સરવાળાનું વર્ગમૂળ લઈએ).

પ્રથમ ઉદાહરણ માટે તે હશે:

.

બીજા ઉદાહરણ માટે તે હશે:

હવે તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે! તફાવતોનો ફેલાવો જેટલો મોટો છે, તેટલું પ્રમાણભૂત વિચલન વધારે છે... જે માટે આપણે લક્ષ્ય રાખ્યું હતું.

હકીકતમાં, આ પદ્ધતિ પોઈન્ટ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરતી વખતે સમાન વિચારનો ઉપયોગ કરે છે, ફક્ત અલગ રીતે લાગુ પડે છે.

અને ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, ચોરસ અને વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાથી આપણે નિરપેક્ષ વિચલન મૂલ્યોમાંથી મેળવી શકીએ તેના કરતાં વધુ લાભો પૂરા પાડે છે, જે અન્ય ગાણિતિક સમસ્યાઓ માટે પ્રમાણભૂત વિચલન લાગુ કરે છે.

સેર્ગેઈ વેલેરીવિચે તમને કહ્યું કે પ્રમાણભૂત વિચલન કેવી રીતે શોધવું

ભિન્નતા શ્રેણીની પરિવર્તનશીલતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેની અંદાજિત પદ્ધતિ એ મર્યાદા અને કંપનવિસ્તાર નક્કી કરવાની છે, પરંતુ શ્રેણીની અંદરના ચલના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી. વિવિધતા શ્રેણીમાં માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાની પરિવર્તનશીલતાનું મુખ્ય સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત માપ છે પ્રમાણભૂત વિચલન (σ - સિગ્મા). પ્રમાણભૂત વિચલન જેટલું મોટું છે, આ શ્રેણીની વધઘટની ડિગ્રી વધારે છે.

પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિમાં નીચેના પગલાં શામેલ છે:

1. અંકગણિત સરેરાશ (M) શોધો.

2. અંકગણિત સરેરાશ (d=V-M) માંથી વ્યક્તિગત વિકલ્પોના વિચલનો નક્કી કરો. તબીબી આંકડાઓમાં, સરેરાશથી વિચલનોને ડી (વિચલિત) તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. તમામ વિચલનોનો સરવાળો શૂન્ય છે.

3. દરેક વિચલનનો વર્ગ કરો d 2.

4. અનુરૂપ આવર્તન d 2 *p દ્વારા વિચલનોના વર્ગોનો ગુણાકાર કરો.

5. ઉત્પાદનોનો સરવાળો å(d 2 *p) શોધો

6. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો:

જ્યારે n 30 કરતા વધારે હોય, અથવા જ્યારે n 30 કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોય, જ્યાં n એ તમામ વિકલ્પોની સંખ્યા હોય છે.

માનક વિચલન મૂલ્ય:

1. પ્રમાણભૂત વિચલન સરેરાશ મૂલ્ય (એટલે ​​​​કે, ભિન્નતા શ્રેણીની પરિવર્તનક્ષમતા) ની તુલનામાં વેરિઅન્ટનો ફેલાવો દર્શાવે છે. સિગ્મા જેટલું વધારે છે, આ શ્રેણીની વિવિધતાની ડિગ્રી વધારે છે.

2. પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ અંકગણિતના પત્રવ્યવહારની ડિગ્રીના તુલનાત્મક મૂલ્યાંકન માટે થાય છે જેના માટે તેની ગણતરી કરવામાં આવી હતી.

સામૂહિક ઘટનાની ભિન્નતા સામાન્ય વિતરણના કાયદાનું પાલન કરે છે. આ વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું વળાંક એક સરળ ઘંટડી આકારના સપ્રમાણ વળાંક (ગૌસિયન વળાંક) જેવો દેખાય છે. સંભાવનાના સિદ્ધાંત મુજબ, સામાન્ય વિતરણના કાયદાનું પાલન કરતી ઘટનાઓમાં, અંકગણિત સરેરાશના મૂલ્યો અને પ્રમાણભૂત વિચલન વચ્ચે સખત ગાણિતિક સંબંધ છે. સજાતીય વિવિધતા શ્રેણીમાં વેરિઅન્ટનું સૈદ્ધાંતિક વિતરણ થ્રી-સિગ્મા નિયમનું પાલન કરે છે.

જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની સિસ્ટમમાં જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા (ચલો) ના મૂલ્યો એબ્સિસા અક્ષ પર રચાયેલ છે, અને વિવિધતા શ્રેણીમાં ભિન્નતાની ઘટનાની આવર્તન ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર રચાયેલ છે, તો પછી મોટા અને નાના વેરિયન્ટ્સ મૂલ્યો અંકગણિત સરેરાશની બાજુઓ પર સમાનરૂપે સ્થિત છે.

તે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે કે લાક્ષણિકતાના સામાન્ય વિતરણ સાથે:

ચલ મૂલ્યોના 68.3% M±1s ની અંદર છે

ચલ મૂલ્યોના 95.5% M±2s ની અંદર છે

ચલ મૂલ્યોના 99.7% M±3s ની અંદર છે

3. પ્રમાણભૂત વિચલન તમને ક્લિનિકલ અને જૈવિક પરિમાણો માટે સામાન્ય મૂલ્યો સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. દવામાં, અંતરાલ M±1s સામાન્ય રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઘટના માટે સામાન્ય શ્રેણી તરીકે લેવામાં આવે છે. અંકગણિત સરેરાશમાંથી અંદાજિત મૂલ્યનું 1 સે કરતાં વધુનું વિચલન એ ધોરણમાંથી અભ્યાસ કરેલ પરિમાણનું વિચલન સૂચવે છે.

4. ચિકિત્સામાં, ત્રણ-સિગ્મા નિયમનો ઉપયોગ બાળકોના શારીરિક વિકાસના સ્તરના વ્યક્તિગત મૂલ્યાંકન (સિગ્મા વિચલન પદ્ધતિ), બાળકોના કપડાં માટેના ધોરણોના વિકાસ માટે બાળરોગમાં થાય છે.

5. અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતાની વિવિધતાની ડિગ્રી દર્શાવવા અને અંકગણિત સરેરાશની ભૂલની ગણતરી કરવા માટે પ્રમાણભૂત વિચલન જરૂરી છે.

પ્રમાણભૂત વિચલનનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે સમાન પ્રકારની શ્રેણીની વિવિધતાની તુલના કરવા માટે વપરાય છે. જો જુદી જુદી લાક્ષણિકતાઓ ધરાવતી બે શ્રેણીની સરખામણી કરવામાં આવે (ઊંચાઈ અને વજન, હોસ્પિટલમાં સારવારની સરેરાશ અવધિ અને હોસ્પિટલમાં મૃત્યુદર, વગેરે), તો સિગ્મા કદની સીધી સરખામણી અશક્ય છે. , કારણ કે પ્રમાણભૂત વિચલન એ નિરપેક્ષ સંખ્યામાં દર્શાવવામાં આવેલ નામાંકિત મૂલ્ય છે. આ કિસ્સાઓમાં, ઉપયોગ કરો વિવિધતાના ગુણાંક (Cv), જે સંબંધિત મૂલ્ય છે: અંકગણિત સરેરાશ સાથે પ્રમાણભૂત વિચલનનો ટકાવારી ગુણોત્તર.

વિવિધતાના ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

વિવિધતાનો ગુણાંક જેટલો વધારે છે , આ શ્રેણીની વધુ પરિવર્તનક્ષમતા. એવું માનવામાં આવે છે કે 30% થી વધુની વિવિધતાનો ગુણાંક વસ્તીની ગુણાત્મક વિજાતીયતા સૂચવે છે.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે વિભિન્નતાની આ ગણતરીમાં ખામી છે - તે પક્ષપાતી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, એટલે કે. તેની ગાણિતિક અપેક્ષા ભિન્નતાના સાચા મૂલ્ય જેટલી નથી. આ વિશે વધુ વાંચો. તે જ સમયે, બધું એટલું ખરાબ નથી. જેમ જેમ નમૂનાનું કદ વધે છે, તેમ તેમ તે હજુ પણ તેના સૈદ્ધાંતિક એનાલોગનો સંપર્ક કરે છે, એટલે કે. એસિમ્પ્ટોટિકલી નિષ્પક્ષ છે. તેથી, મોટા નમૂનાના કદ સાથે કામ કરતી વખતે, તમે ઉપરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

ચિહ્નોની ભાષાને શબ્દોની ભાષામાં અનુવાદિત કરવા માટે તે ઉપયોગી છે. તે તારણ આપે છે કે વિચલન એ વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ છે. એટલે કે, સરેરાશ મૂલ્યની પ્રથમ ગણતરી કરવામાં આવે છે, પછી દરેક મૂળ અને સરેરાશ મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત લેવામાં આવે છે, ચોરસ કરવામાં આવે છે, ઉમેરવામાં આવે છે અને પછી વસ્તીમાં મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. વ્યક્તિગત મૂલ્ય અને સરેરાશ વચ્ચેનો તફાવત વિચલનના માપને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેથી તમામ વિચલનો ફક્ત હકારાત્મક સંખ્યાઓ બની જાય અને જ્યારે તેનો સારાંશ કરવામાં આવે ત્યારે સકારાત્મક અને નકારાત્મક વિચલનોના પરસ્પર વિનાશને ટાળવા માટે. પછી, ચોરસ વિચલનોને જોતાં, આપણે ફક્ત અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ છીએ. સરેરાશ - ચોરસ - વિચલનો. વિચલનોનો વર્ગ કરવામાં આવે છે અને સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ઉકેલ માત્ર ત્રણ શબ્દોમાં છે.

જો કે, તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં, જેમ કે અંકગણિત સરેરાશ, અથવા અનુક્રમણિકા, વિક્ષેપનો ઉપયોગ થતો નથી. તે એક સહાયક અને મધ્યવર્તી સૂચક છે જે અન્ય પ્રકારના આંકડાકીય વિશ્લેષણ માટે જરૂરી છે. તેની પાસે માપનનું સામાન્ય એકમ પણ નથી. સૂત્ર દ્વારા અભિપ્રાય આપતા, આ મૂળ ડેટાના માપનના એકમનો ચોરસ છે. બોટલ વિના, જેમ તેઓ કહે છે, તમે તેને શોધી શકતા નથી.

(મોડ્યુલ 111)

ભિન્નતાને વાસ્તવિકતામાં પરત કરવા માટે, એટલે કે, વધુ ભૌતિક હેતુઓ માટે તેનો ઉપયોગ કરવા માટે, તેમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવામાં આવે છે. તે કહેવાતા બહાર વળે છે માનક વિચલન (RMS). "માનક વિચલન" અથવા "સિગ્મા" (ગ્રીક અક્ષરના નામ પરથી) નામો છે. પ્રમાણભૂત વિચલન સૂત્ર છે:

નમૂના માટે આ સૂચક મેળવવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

ભિન્નતાની જેમ, ગણતરીનો થોડો અલગ વિકલ્પ છે. પરંતુ જેમ જેમ સેમ્પલ વધે છે તેમ તેમ તફાવત અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન, દેખીતી રીતે, ડેટાના વિક્ષેપના માપને પણ દર્શાવે છે, પરંતુ હવે (વિક્ષેપથી વિપરીત) તેની તુલના મૂળ ડેટા સાથે કરી શકાય છે, કારણ કે તેમની પાસે માપનના સમાન એકમો છે (આ ગણતરીના સૂત્રમાંથી સ્પષ્ટ છે). પરંતુ આ સૂચક તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં પણ ખૂબ માહિતીપ્રદ નથી, કારણ કે તેમાં ઘણી બધી મધ્યવર્તી ગણતરીઓ છે જે ગૂંચવણમાં મૂકે છે (વિચલન, વર્ગ, સરવાળો, સરેરાશ, મૂળ). જો કે, પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે સીધા જ કામ કરવું પહેલેથી જ શક્ય છે, કારણ કે આ સૂચકના ગુણધર્મો સારી રીતે અભ્યાસ અને જાણીતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ છે ત્રણ સિગ્મા નિયમ, જે જણાવે છે કે 1000 ડેટા મૂલ્યોમાંથી 997 અંકગણિત સરેરાશના ±3 સિગ્માની અંદર છે. પ્રમાણભૂત વિચલન, અનિશ્ચિતતાના માપદંડ તરીકે, ઘણી આંકડાકીય ગણતરીઓમાં પણ સામેલ છે. તેની મદદથી, વિવિધ અંદાજો અને આગાહીઓની ચોકસાઈની ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવે છે. જો ભિન્નતા ખૂબ મોટી છે, તો પ્રમાણભૂત વિચલન પણ મોટું હશે, અને તેથી આગાહી અચોક્કસ હશે, જે વ્યક્ત કરવામાં આવશે, ઉદાહરણ તરીકે, ખૂબ વિશાળ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોમાં.

વિવિધતાનો ગુણાંક

પ્રમાણભૂત વિચલન વિક્ષેપના માપનો ચોક્કસ અંદાજ આપે છે. તેથી, મૂલ્યોની તુલનામાં સ્કેટર કેટલું મોટું છે તે સમજવા માટે (એટલે ​​​​કે, તેમના સ્કેલને ધ્યાનમાં લીધા વિના), સંબંધિત સૂચક જરૂરી છે. આ સૂચક કહેવામાં આવે છે વિવિધતાના ગુણાંકઅને નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:

વિવિધતાના ગુણાંકને ટકાવારી તરીકે માપવામાં આવે છે (જો 100% દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે તો). આ સૂચકનો ઉપયોગ કરીને, તમે વિવિધ પ્રકારની ઘટનાઓની તુલના કરી શકો છો, તેમના સ્કેલ અને માપનના એકમોને ધ્યાનમાં લીધા વગર. આ હકીકત એ છે કે જે વિવિધતાના ગુણાંકને ખૂબ લોકપ્રિય બનાવે છે.

આંકડાઓમાં, તે સ્વીકારવામાં આવે છે કે જો વિવિધતાના ગુણાંકનું મૂલ્ય 33% કરતા ઓછું હોય, તો વસ્તીને સજાતીય ગણવામાં આવે છે જો તે 33% કરતા વધુ હોય, તો તે વિજાતીય છે. મારા માટે અહીં કંઈપણ પર ટિપ્પણી કરવી મુશ્કેલ છે. મને ખબર નથી કે આ કોણે અને શા માટે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે, પરંતુ તે એક સ્વયંસિદ્ધ માનવામાં આવે છે.

મને લાગે છે કે હું શુષ્ક સિદ્ધાંત દ્વારા વહી ગયો છું અને કંઈક દ્રશ્ય અને અલંકારિક લાવવાની જરૂર છે. બીજી બાજુ, તમામ ભિન્નતા સૂચકાંકો લગભગ સમાન વસ્તુનું વર્ણન કરે છે, માત્ર તેમની ગણતરી અલગ રીતે કરવામાં આવે છે. તેથી, વિવિધ ઉદાહરણો દર્શાવવાનું મુશ્કેલ છે, ફક્ત સૂચકોના મૂલ્યો અલગ હોઈ શકે છે, પરંતુ તેમનો સાર નહીં. તો ચાલો સરખામણી કરીએ કે ડેટાના સમાન સમૂહ માટે વિવિધ ભિન્નતા સૂચકાંકોના મૂલ્યો કેવી રીતે અલગ પડે છે. ચાલો સરેરાશ રેખીય વિચલન (માંથી ) ની ગણતરીનું ઉદાહરણ લઈએ. અહીં સ્ત્રોત ડેટા છે:

અને તમને યાદ કરાવવાનું શેડ્યૂલ.

આ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે વિવિધતાના વિવિધ સૂચકાંકોની ગણતરી કરીએ છીએ.

સરેરાશ મૂલ્ય એ સામાન્ય અંકગણિત સરેરાશ છે.

વિવિધતાની શ્રેણી એ મહત્તમ અને લઘુત્તમ વચ્ચેનો તફાવત છે:

સરેરાશ રેખીય વિચલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

માનક વિચલન:

ચાલો કોષ્ટકમાં ગણતરીનો સારાંશ આપીએ.

જેમ જોઈ શકાય છે, રેખીય સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલન ડેટા વિવિધતાની ડિગ્રી માટે સમાન મૂલ્યો આપે છે. ભિન્નતા એ સિગ્મા સ્ક્વેર છે, તેથી તે હંમેશા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યા હશે, જેનો વાસ્તવમાં કોઈ અર્થ નથી. વિવિધતાની શ્રેણી એ આત્યંતિક મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે અને વોલ્યુમો બોલી શકે છે.

ચાલો કેટલાક પરિણામોનો સારાંશ આપીએ.

સૂચકની ભિન્નતા પ્રક્રિયા અથવા ઘટનાની પરિવર્તનશીલતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેની ડિગ્રી કેટલાક સૂચકાંકોનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે.

1. વિવિધતાની શ્રેણી - મહત્તમ અને લઘુત્તમ વચ્ચેનો તફાવત. સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણીને પ્રતિબિંબિત કરે છે.
2. સરેરાશ રેખીય વિચલન – વિશ્લેષણ કરેલ વસ્તીના તમામ મૂલ્યોના નિરપેક્ષ (મોડ્યુલો) વિચલનોની સરેરાશ તેમના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી પ્રતિબિંબિત કરે છે.
3. વિક્ષેપ - વિચલનોનો સરેરાશ ચોરસ.
4. પ્રમાણભૂત વિચલન એ વિક્ષેપનું મૂળ છે (વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ).
5. વિવિધતાનો ગુણાંક એ સૌથી સાર્વત્રિક સૂચક છે, જે મૂલ્યોના સ્કેટરિંગની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેમના સ્કેલ અને માપનના એકમોને ધ્યાનમાં લીધા વગર. વિવિધતાના ગુણાંકને ટકાવારી તરીકે માપવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓની વિવિધતાની તુલના કરવા માટે થઈ શકે છે.

આમ, આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં સૂચકોની એક સિસ્ટમ છે જે ઘટનાની એકરૂપતા અને પ્રક્રિયાઓની સ્થિરતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ઘણીવાર વિવિધતા સૂચકાંકોનો સ્વતંત્ર અર્થ હોતો નથી અને તેનો ઉપયોગ વધુ ડેટા વિશ્લેષણ માટે થાય છે (વિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી