સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ: મૂળભૂત ખ્યાલો

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ. અવેજી પદ્ધતિ, ઉમેરણ પદ્ધતિ, નવા ચલને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 9 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
અતાનાસ્યાન એલ.એસ. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તકો માટે સિમ્યુલેટર પાઠ્યપુસ્તકો માટે સિમ્યુલેટર પોગોરેલોવા એ.વી.

અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

અવેજી પદ્ધતિ

નિર્ણય લેતી વખતે તમારે કેવી રીતે આગળ વધવું જોઈએ?
1. એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો. સમીકરણોમાં મોટાભાગે ઉપયોગમાં લેવાતા ચલ x અને y છે. એક સમીકરણમાં આપણે એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ. ટીપ: તમે ઉકેલવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં બંને સમીકરણોને ધ્યાનથી જુઓ અને ચલને વ્યક્ત કરવાનું સરળ હોય ત્યાં એક પસંદ કરો.
2. પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલો, જે ચલ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો તેના બદલે.
3. આપણને મળેલ સમીકરણ ઉકેલો.
4. પરિણામી ઉકેલને બીજા સમીકરણમાં બદલો. જો ત્યાં ઘણા ઉકેલો છે, તો તમારે તેમને અનુક્રમે બદલવાની જરૂર છે જેથી કરીને કેટલાક ઉકેલો ન ગુમાવો.
5. પરિણામે, તમને $(x;y)$ નંબરોની જોડી પ્રાપ્ત થશે, જે જવાબ તરીકે લખેલી હોવી જોઈએ.

ઉદાહરણ.
અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ચલો સાથે સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

ઉકેલ.
ચાલો આપણા સમીકરણો પર નજીકથી નજર કરીએ. દેખીતી રીતે, પ્રથમ સમીકરણમાં x ની દ્રષ્ટિએ y વ્યક્ત કરવું વધુ સરળ છે.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(કેસ)$.
ચાલો પ્રથમ સમીકરણને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
ચાલો બીજા સમીકરણને અલગથી હલ કરીએ:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
અમે બીજા સમીકરણ $x_1=2$ અને $x_2=3$ના બે ઉકેલો મેળવ્યા.
બીજા સમીકરણમાં ક્રમિક રીતે અવેજી કરો.
જો $x=2$, તો $y=3$. જો $x=3$, તો $y=2$.
જવાબ નંબરોની બે જોડી હશે.
જવાબ: $(2;3)$ અને $(3;2)$.

બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

ઉદાહરણ.
સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.

ઉકેલ.
ચાલો પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ.
$\begin(કેસ)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.
ચાલો પહેલા સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામી સમીકરણનું સ્વરૂપ મૂળ કરતાં ઘણું સરળ છે. હવે આપણે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$\begin(કેસ)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.
ચાલો પરિણામી સમીકરણમાં x ને y ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\અંત(કેસો)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\અંત(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(કેસ)$.
અમને $y=-1$ અને $y=-3$ મળ્યા.
ચાલો આ મૂલ્યોને અનુક્રમે પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ. અમને સંખ્યાઓની બે જોડી મળે છે: $(1;-1)$ અને $(-1;-3)$.
જવાબ: $(1;-1)$ અને $(-1;-3)$.

નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ

ઉદાહરણ.
સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

ઉકેલ.
ચાલો બદલીએ $t=\frac(x)(y)$.
ચાલો પ્રથમ સમીકરણને નવા ચલ સાથે ફરીથી લખીએ: $t+\frac(2)(t)=3$.
ચાલો પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
અમને $t=2$ અથવા $t=1$ મળ્યા. ચાલો રિવર્સ ચેન્જ $t=\frac(x)(y)$ રજૂ કરીએ.
અમને મળ્યું: $x=2y$ અને $x=y$.

દરેક અભિવ્યક્તિ માટે, મૂળ સિસ્ટમ અલગથી હલ કરવી આવશ્યક છે:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(કેસ)$.   
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(કેસ)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(કેસ)$.      
$\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(કેસ)$.     
$\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(કેસ)$.

ઉદાહરણ.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(કેસ)$.    

ઉકેલ.
$\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(કેસ)$.
અમને ચાર જોડી ઉકેલો મળ્યા.
જવાબ: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\અંત(કેસ)$.
ચાલો બદલીને રજૂ કરીએ: $z=\frac(2)(x-3y)$ અને $t=\frac(3)(2x+y)$.
ચાલો મૂળ સમીકરણોને નવા ચલો સાથે ફરીથી લખીએ:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
ચાલો બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
$\begin(કેસ)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(કેસ)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(કેસ)$.
ચાલો વિપરીત અવેજીની રજૂઆત કરીએ:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(કેસ)$.
ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(કેસ)$.

$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(કેસ)$.

3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(કેસ)$.
4. $\begin(કેસ)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ અંત(કેસો)$.

5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(કેસ)$. ચાલો આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમોના બે પ્રકારના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરીએ: 1. અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી.
2. સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળા (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને હલ કરવી.
સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે
અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા

તમારે એક સરળ અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવાની જરૂર છે: 1. એક્સપ્રેસ. કોઈપણ સમીકરણમાંથી આપણે એક ચલ વ્યક્ત કરીએ છીએ. 2. અવેજી. અમે પરિણામી મૂલ્યને વ્યક્ત કરેલ ચલને બદલે બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.
1. એક ચલ પસંદ કરો જેના માટે આપણે સમાન ગુણાંક બનાવીશું.
2. અમે સમીકરણો ઉમેરી અથવા બાદ કરીએ છીએ, પરિણામે એક ચલ સાથે સમીકરણ થાય છે.
3. પરિણામી રેખીય સમીકરણ ઉકેલો. અમે સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધી કાઢીએ છીએ.

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ છે.

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ #1:

ચાલો અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરીએ

2x+5y=1 (1 સમીકરણ)
x-10y=3 (બીજું સમીકરણ)

1. એક્સપ્રેસ
તે જોઈ શકાય છે કે બીજા સમીકરણમાં 1 ના ગુણાંક સાથે ચલ x છે, જેનો અર્થ છે કે બીજા સમીકરણમાંથી ચલ x વ્યક્ત કરવાનું સૌથી સરળ છે.
x=3+10y

2.આપણે તેને વ્યક્ત કર્યા પછી, અમે ચલ x ને બદલે પ્રથમ સમીકરણમાં 3+10y ને બદલીએ છીએ.
2(3+10y)+5y=1

3. પરિણામી સમીકરણને એક ચલ વડે ઉકેલો.
2(3+10y)+5y=1 (કૌંસ ખોલો)
6+20y+5y=1
25વર્ષ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

સમીકરણ પદ્ધતિનો ઉકેલ એ ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ છે, તેથી આપણે x અને y શોધવાની જરૂર છે, કારણ કે આંતરછેદ બિંદુ x અને y ધરાવે છે, ચાલો x શોધીએ, જ્યાં આપણે તેને વ્યક્ત કરીએ છીએ, ત્યાં આપણે y ને બદલીએ છીએ .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

પોઈન્ટ લખવાનો રિવાજ છે પ્રથમ સ્થાને આપણે ચલ x લખીએ છીએ, અને બીજા સ્થાને ચલ y.
જવાબ: (1; -0.2)

ઉદાહરણ #2:

ચાલો ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશન (બાદબાકી) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ.

3x-2y=1 (1 સમીકરણ)
2x-3y=-10 (બીજું સમીકરણ)

1. આપણે ચલ પસંદ કરીએ છીએ, ચાલો કહીએ કે આપણે x પસંદ કરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાં, ચલ x નો ગુણાંક 3 છે, બીજામાં - 2. આપણે ગુણાંક સમાન બનાવવાની જરૂર છે, આ માટે આપણને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરવાનો અથવા કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરવાનો અધિકાર છે. આપણે પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે અને બીજાને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને કુલ ગુણાંક 6 મેળવીએ છીએ.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. રેખીય સમીકરણને ઉકેલવા માટે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરો.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. એક્સ શોધો. આપણે કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલા y ને બદલીએ છીએ, ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાં કહીએ.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

આંતરછેદ બિંદુ x=4.6 હશે; y=6.4
જવાબ: (4.6; 6.4)

શું તમે મફતમાં પરીક્ષાની તૈયારી કરવા માંગો છો? શિક્ષક ઓનલાઇન મફતમાં. મજાક નથી.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમો ઉકેલવી એ નિઃશંકપણે રેખીય બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિષય છે. ગણિતની તમામ શાખાઓમાંથી મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે. આ પરિબળો આ લેખનું કારણ સમજાવે છે. લેખની સામગ્રી પસંદ કરવામાં આવી છે અને સંરચિત છે જેથી તેની મદદથી તમે કરી શકો

• રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની તમારી સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ પસંદ કરો,
• પસંદ કરેલી પદ્ધતિના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરો,
• લાક્ષણિક ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓના વિગતવાર ઉકેલોને ધ્યાનમાં લઈને તમારી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

લેખ સામગ્રીનું સંક્ષિપ્ત વર્ણન.

પ્રથમ, અમે બધી જરૂરી વ્યાખ્યાઓ, વિભાવનાઓ આપીએ છીએ અને સંકેતો રજૂ કરીએ છીએ.

આગળ, અમે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ પર વિચાર કરીશું જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને જેનો અનન્ય ઉકેલ હોય છે. સૌપ્રથમ, અમે ક્રેમરની પદ્ધતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, બીજું, અમે સમીકરણોની આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ બતાવીશું, અને ત્રીજું, અમે ગૌસ પદ્ધતિ (અજાણ્યા ચલોને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ) નું વિશ્લેષણ કરીશું. સિદ્ધાંતને એકીકૃત કરવા માટે, અમે ચોક્કસપણે વિવિધ SLAE ને અલગ અલગ રીતે હલ કરીશું.

આ પછી, આપણે સામાન્ય સ્વરૂપના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા તરફ આગળ વધીશું, જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી અથવા સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ એકવચન છે. ચાલો આપણે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય ઘડીએ, જે આપણને SLAE ની સુસંગતતા સ્થાપિત કરવા દે છે. ચાલો આપણે મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોરના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલનું વિશ્લેષણ કરીએ (જો તેઓ સુસંગત હોય તો). અમે ગૌસ પદ્ધતિનો પણ વિચાર કરીશું અને ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું.

અમે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય અને અસંગત પ્રણાલીઓના સામાન્ય ઉકેલની રચના પર ચોક્કસપણે ધ્યાન આપીશું. ચાલો આપણે ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલીનો ખ્યાલ આપીએ અને બતાવીએ કે SLAE નો સામાન્ય ઉકેલ કેવી રીતે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમના વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે. વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

નિષ્કર્ષમાં, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લઈશું જે રેખીય રાશિઓમાં ઘટાડી શકાય છે, તેમજ SLAEs ઊભી થાય છે તે ઉકેલમાં વિવિધ સમસ્યાઓ.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

વ્યાખ્યાઓ, વિભાવનાઓ, હોદ્દો.

અમે p રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણોની n અજ્ઞાત ચલો (p બરાબર n હોઈ શકે છે) સાથેની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લઈશું.

અજ્ઞાત ચલો, - ગુણાંક (કેટલીક વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ), - મુક્ત શરતો (વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ પણ).

રેકોર્ડિંગ SLAE ના આ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે સંકલન.

IN મેટ્રિક્સ ફોર્મસમીકરણોની આ સિસ્ટમ લખવાનું સ્વરૂપ છે,
જ્યાં - સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, - અજાણ્યા ચલોનું કૉલમ મેટ્રિક્સ, - ફ્રી ટર્મ્સનું કૉલમ મેટ્રિક્સ.

જો આપણે મેટ્રિક્સ A માં (n+1)મી કૉલમ તરીકે મફત શબ્દોની મેટ્રિક્સ-કૉલમ ઉમેરીએ, તો અમને કહેવાતા વિસ્તૃત મેટ્રિક્સરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. સામાન્ય રીતે, એક વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ અક્ષર T દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને મુક્ત શબ્દોના કૉલમને બાકીના કૉલમમાંથી ઊભી રેખા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે,

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવીઅજ્ઞાત ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ કહેવાય છે જે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોને ઓળખમાં ફેરવે છે. અજ્ઞાત ચલોના આપેલ મૂલ્યો માટેનું મેટ્રિક્સ સમીકરણ પણ એક ઓળખ બની જાય છે.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો ન હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે બિન-સંયુક્ત.

જો SLAE પાસે અનન્ય ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ; જો ત્યાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો છે, તો - અનિશ્ચિત.

જો સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોની મુક્ત શરતો શૂન્ય સમાન હોય , પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સજાતીય, અન્યથા - વિજાતીય.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રાથમિક પ્રણાલીઓ ઉકેલવી.

જો સિસ્ટમના સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય અને તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો આવા SLAE કહેવામાં આવશે. પ્રાથમિક. સમીકરણોની આવી પ્રણાલીઓમાં અનન્ય ઉકેલ હોય છે, અને સજાતીય પ્રણાલીના કિસ્સામાં, બધા અજાણ્યા ચલો શૂન્ય સમાન હોય છે.

અમે હાઈસ્કૂલમાં આવા SLAE નો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું. તેમને હલ કરતી વખતે, અમે એક સમીકરણ લીધું, એક અજ્ઞાત ચલને અન્યની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કર્યું અને તેને બાકીના સમીકરણોમાં બદલ્યું, પછી આગલું સમીકરણ લીધું, આગલું અજ્ઞાત ચલ વ્યક્ત કર્યું અને તેને અન્ય સમીકરણોમાં બદલ્યું, વગેરે. અથવા તેઓએ ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો, એટલે કે, તેઓએ કેટલાક અજાણ્યા ચલોને દૂર કરવા માટે બે અથવા વધુ સમીકરણો ઉમેર્યા. અમે આ પદ્ધતિઓ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં, કારણ કે તે આવશ્યકપણે ગૌસ પદ્ધતિના ફેરફારો છે.

રેખીય સમીકરણોની પ્રાથમિક પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ ક્રેમર પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અને ગૌસ પદ્ધતિ છે. ચાલો તેમને સૉર્ટ કરીએ.

ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

ધારો કે આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે

જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ હોય છે, એટલે કે, .

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક બનવા દો, અને - મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો કે જે બદલી દ્વારા A માંથી મેળવવામાં આવે છે 1લી, 2જી, …, nમીમફત સભ્યોની કૉલમ માટે અનુક્રમે કૉલમ:

આ સંકેત સાથે, ક્રેમરની પદ્ધતિના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા ચલોની ગણતરી કરવામાં આવે છે. . ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ આ રીતે મળે છે.

ઉદાહરણ.

ક્રેમરની પદ્ધતિ .

ઉકેલ.

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે . ચાલો તેના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ):

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોવાથી, સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે જે ક્રેમરની પદ્ધતિ દ્વારા શોધી શકાય છે.

ચાલો જરૂરી નિર્ધારકો કંપોઝ અને ગણતરી કરીએ (અમે મેટ્રિક્સ Aમાં પ્રથમ કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને નિર્ણાયક મેળવીએ છીએ, નિર્ણાયક બીજા કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને અને મેટ્રિક્સ Aના ત્રીજા કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને) :

સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા ચલો શોધવી :

જવાબ:

ક્રેમરની પદ્ધતિનો મુખ્ય ગેરલાભ (જો તેને ગેરલાભ કહી શકાય) એ નિર્ધારકોની ગણતરી કરવાની જટિલતા છે જ્યારે સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ત્રણ કરતાં વધુ હોય છે.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ (વિપરીત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને) નો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં આપીએ, જ્યાં મેટ્રિક્સ A નું પરિમાણ n બાય n છે અને તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.

કારણ કે , મેટ્રિક્સ A ઉલટાવી શકાય તેવું છે, એટલે કે, ત્યાં એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે. જો આપણે સમાનતાની બંને બાજુઓને ડાબેથી ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને અજાણ્યા ચલોના મેટ્રિક્સ-કૉલમ શોધવા માટેનું સૂત્ર મળે છે. આ રીતે આપણે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવ્યો.

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ચાલો મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ ફરીથી લખીએ:

કારણ કે

પછી મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ઉકેલી શકાય છે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને, આ સિસ્ટમનો ઉકેલ આ રીતે શોધી શકાય છે .

ચાલો મેટ્રિક્સ A ના ઘટકોના બીજગણિત પૂરકમાંથી મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ બનાવીએ (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ):

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીને અજાણ્યા ચલોના મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવાનું બાકી છે. મફત સભ્યોની મેટ્રિક્સ-કૉલમમાં (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ):

જવાબ:

અથવા અન્ય સંકેતમાં x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવામાં મુખ્ય સમસ્યા એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની જટિલતા છે, ખાસ કરીને ત્રીજા કરતાં વધુ ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

ધારો કે આપણે n અજ્ઞાત ચલો સાથે n રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે
જેમાંથી મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો સારક્રમશઃ અજ્ઞાત ચલોને દૂર કરવાનો સમાવેશ થાય છે: પ્રથમ x 1 એ સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, બીજાથી શરૂ કરીને, પછી x 2 ને તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, ત્રીજાથી શરૂ કરીને, અને તેથી વધુ, જ્યાં સુધી માત્ર અજ્ઞાત ચલ x n રહે ત્યાં સુધી છેલ્લું સમીકરણ. અજ્ઞાત ચલોને ક્રમિક રીતે દૂર કરવા માટે સિસ્ટમના સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરવાની આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. સીધી ગૌસિયન પદ્ધતિ. ગૌસીયન પદ્ધતિના ફોરવર્ડ સ્ટ્રોકને પૂર્ણ કર્યા પછી, x n છેલ્લા સમીકરણમાંથી મળે છે, ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી આ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, x n-1 ની ગણતરી કરવામાં આવે છે, અને તેથી, x 1 પ્રથમ સમીકરણમાંથી મળે છે. સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ તરફ જતી વખતે અજાણ્યા ચલોની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત.

ચાલો અજાણ્યા ચલોને દૂર કરવા માટેના અલ્ગોરિધમનું ટૂંકમાં વર્ણન કરીએ.

અમે ધારીશું કે , કારણ કે આપણે હંમેશા સિસ્ટમના સમીકરણોને બદલીને આ પ્રાપ્ત કરી શકીએ છીએ. ચાલો બીજાથી શરૂ કરીને સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી અજ્ઞાત ચલ x 1 નાબૂદ કરીએ. આ કરવા માટે, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને .

જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અન્ય અજાણ્યા ચલોના સંદર્ભમાં x 1 વ્યક્ત કર્યો હોત અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને અન્ય તમામ સમીકરણોમાં બદલ્યો હોત તો આપણે સમાન પરિણામ પર પહોંચ્યા હોત. આમ, ચલ x 1 એ બીજાથી શરૂ થતા તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત છે.

આગળ, અમે તે જ રીતે આગળ વધીએ છીએ, પરંતુ માત્ર પરિણામી સિસ્ટમના ભાગ સાથે, જે આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ છે.

આ કરવા માટે, સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, ચોથા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને . આમ, ચલ x 2 ને ત્રીજાથી શરૂ કરીને તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે.

આગળ, અમે અજાણ્યા x 3 ને દૂર કરવા આગળ વધીએ છીએ, અને અમે આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ સિસ્ટમના ભાગ સાથે સમાન રીતે કાર્ય કરીએ છીએ.

તેથી જ્યાં સુધી સિસ્ટમ ફોર્મ ન લે ત્યાં સુધી અમે ગૌસીયન પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ ચાલુ રાખીએ છીએ

આ ક્ષણથી આપણે ગૌસિયન પદ્ધતિથી વિપરીત શરૂઆત કરીએ છીએ: આપણે છેલ્લા સમીકરણમાંથી x n ની ગણતરી કરીએ છીએ, x n ની પ્રાપ્ત કિંમતનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી x n-1 શોધીએ છીએ, અને તેથી, આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી x 1 શોધીએ છીએ. .

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ x 1 ને બાકાત કરીએ. આ કરવા માટે, બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોની બંને બાજુએ આપણે પ્રથમ સમીકરણના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરીએ છીએ, અનુક્રમે અને વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

હવે આપણે ત્રીજા સમીકરણમાંથી x 2 ને તેની ડાબી અને જમણી બાજુઓ પર બીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુ ઉમેરીને દૂર કરીએ છીએ, આનાથી ગુણાકાર કરીએ છીએ:

આ ગૌસ પદ્ધતિના ફોરવર્ડ સ્ટ્રોકને પૂર્ણ કરે છે અમે રિવર્સ સ્ટ્રોક શરૂ કરીએ છીએ.

પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે x 3 શોધીએ છીએ:

બીજા સમીકરણમાંથી આપણને મળે છે.

પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે બાકીના અજ્ઞાત ચલ શોધીએ છીએ અને ત્યાંથી ગૌસ પદ્ધતિની વિરુદ્ધ પૂર્ણ કરીએ છીએ.

જવાબ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

સામાન્ય સ્વરૂપના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

સામાન્ય રીતે, સિસ્ટમ p ના સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલો n ની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી:

આવા SLAE પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, એક જ ઉકેલ હોઈ શકે છે, અથવા અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો હોઈ શકે છે. આ વિધાન સમીકરણોની સિસ્ટમોને પણ લાગુ પડે છે જેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ ચોરસ અને એકવચન છે.

ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધતા પહેલા, તેની સુસંગતતા સ્થાપિત કરવી જરૂરી છે. SLAE ક્યારે સુસંગત છે અને ક્યારે અસંગત છે તે પ્રશ્નનો જવાબ દ્વારા આપવામાં આવે છે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય:
n અજ્ઞાત સાથે p સમીકરણોની સિસ્ટમ (p n ની બરાબર હોઈ શકે છે) સુસંગત રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હોય, એટલે કે , રેન્ક(A) = રેન્ક(T).

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા નક્કી કરવા માટે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ છે કે કેમ તે શોધો ઉકેલો

ઉકેલ.

. ચાલો સગીરોની સરહદની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. બીજા ક્રમના નાના શૂન્યથી અલગ. ચાલો તેની સરહદે આવેલા ત્રીજા ક્રમના સગીરોને જોઈએ:

ત્રીજા ક્રમના તમામ કિનારી સગીર શૂન્ય સમાન હોવાથી, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે સમાન છે.

બદલામાં, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ ત્રણ બરાબર છે, કારણ કે સગીર ત્રીજા ક્રમનો છે

શૂન્યથી અલગ.

આમ, રંગ(A), તેથી, ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે રેખીય સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમ અસંગત છે.

જવાબ:

તંત્ર પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

તેથી, આપણે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમની અસંગતતા સ્થાપિત કરવાનું શીખ્યા છીએ.

પરંતુ જો તેની સુસંગતતા સ્થાપિત થાય તો SLAE નો ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો?

આ કરવા માટે, અમને મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોર અને મેટ્રિક્સના રેન્ક વિશે પ્રમેયની જરૂર છે.

શૂન્યથી અલગ, મેટ્રિક્સ A ના સર્વોચ્ચ ક્રમના નાના કહેવાય છે મૂળભૂત.

બેઝિસ માઇનોરની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તેનો ક્રમ મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન છે. બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ A માટે ઘણા બેઝિસ સગીર હોઈ શકે છે, ત્યાં હંમેશા એક બેઝિસ માઈનર હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો .

આ મેટ્રિક્સના તમામ ત્રીજા ક્રમના સગીરો શૂન્યના બરાબર છે, કારણ કે આ મેટ્રિક્સની ત્રીજી પંક્તિના ઘટકો એ પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો છે.

નીચેના બીજા ક્રમના સગીર મૂળભૂત છે, કારણ કે તેઓ બિન-શૂન્ય છે

સગીરો મૂળભૂત નથી, કારણ કે તે શૂન્યની બરાબર છે.

મેટ્રિક્સ રેન્ક પ્રમેય.

જો n દ્વારા p ક્રમના મેટ્રિક્સનો ક્રમ r ની બરાબર હોય, તો મેટ્રિક્સના તમામ પંક્તિ (અને કૉલમ) ઘટકો કે જે પસંદ કરેલ આધાર ગૌણ બનાવતા નથી તે અનુરૂપ પંક્તિ (અને કૉલમ) ઘટકોની રચનાના સંદર્ભમાં રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આધાર નાના.

મેટ્રિક્સ રેન્ક પ્રમેય આપણને શું કહે છે?

જો, ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય મુજબ, અમે સિસ્ટમની સુસંગતતા સ્થાપિત કરી છે, તો પછી અમે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સ (તેનો ક્રમ r બરાબર છે) માંથી કોઈપણ આધાર ગૌણ પસંદ કરીએ છીએ, અને સિસ્ટમમાંથી તમામ સમીકરણોને બાકાત કરીએ છીએ જે કરે છે. પસંદ કરેલ આધાર ગૌણ બનાવતા નથી. આ રીતે મેળવેલ SLAE મૂળ સમકક્ષ હશે, કારણ કે કાઢી નાખવામાં આવેલા સમીકરણો હજુ પણ બિનજરૂરી છે (મેટ્રિક્સ રેન્ક પ્રમેય મુજબ, તે બાકીના સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન છે).

પરિણામે, સિસ્ટમના બિનજરૂરી સમીકરણોને નકારી કાઢ્યા પછી, બે કિસ્સાઓ શક્ય છે.

જો પરિણામી સિસ્ટમમાં સમીકરણો r ની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય, તો તે ચોક્કસ હશે અને ક્રેમર પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા એકમાત્ર ઉકેલ શોધી શકાય છે.

ઉદાહરણ.

.

ઉકેલ.

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે ની બરાબર છે, કારણ કે સગીર બીજા ક્રમનો છે શૂન્યથી અલગ. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ રેન્ક બે ની બરાબર પણ છે, કારણ કે એકમાત્ર ત્રીજો ક્રમ માઇનોર શૂન્ય છે

અને ઉપરોક્ત ગણવામાં આવતા બીજા ક્રમના નાના શૂન્યથી અલગ છે. ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના આધારે, અમે રેખીય સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમની સુસંગતતાનો દાવો કરી શકીએ છીએ, કારણ કે રેન્ક(A)=Rank(T)=2.

નાના તરીકે અમે લઈએ છીએ . તે પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા રચાય છે:


સિસ્ટમનું ત્રીજું સમીકરણ મૂળભૂત ગૌણની રચનામાં ભાગ લેતું નથી, તેથી અમે તેને મેટ્રિક્સના ક્રમ પરના પ્રમેયના આધારે સિસ્ટમમાંથી બાકાત રાખીએ છીએ:


આ રીતે આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રાથમિક સિસ્ટમ મેળવી છે. ચાલો તેને ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ:


જવાબ:

x 1 = 1, x 2 = 2.

જો પરિણામી SLAE માં સમીકરણો r ની સંખ્યા અજાણ્યા ચલો n ની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય, તો સમીકરણોની ડાબી બાજુએ આપણે એવા શબ્દો છોડી દઈએ છીએ જે આધાર નાના બનાવે છે, અને બાકીના શબ્દોને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ. વિપરીત ચિહ્ન સાથે સિસ્ટમના સમીકરણો.

સમીકરણોની ડાબી બાજુએ બાકી રહેલા અજાણ્યા ચલો (તેમાંથી આર) કહેવામાં આવે છે મુખ્ય.

અજ્ઞાત ચલો (ત્યાં n - r ટુકડાઓ છે) જે જમણી બાજુએ છે તેને કહેવામાં આવે છે મફત.

હવે અમે માનીએ છીએ કે મફત અજ્ઞાત ચલો મનસ્વી મૂલ્યો લઈ શકે છે, જ્યારે r મુખ્ય અજાણ્યા ચલો મુક્ત અજાણ્યા ચલો દ્વારા અનન્ય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવશે. ક્રેમર પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી SLAE ઉકેલીને તેમની અભિવ્યક્તિ શોધી શકાય છે.

ચાલો તેને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.

ઉદાહરણ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો .

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધીએ સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ દ્વારા. ચાલો પ્રથમ ક્રમના બિન-શૂન્ય માઇનોર તરીકે 1 1 = 1 લઈએ. ચાલો બીજા ક્રમના બિન-શૂન્ય સગીર માટે આ સગીરને સરહદે શોધવાનું શરૂ કરીએ:


આ રીતે અમને બીજા ક્રમનો બિન-શૂન્ય માઇનોર મળ્યો. ચાલો ત્રીજા ક્રમના બિન-શૂન્ય સરહદી સગીર શોધવાનું શરૂ કરીએ:


આમ, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ ત્રણ છે. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ પણ ત્રણની બરાબર છે, એટલે કે, સિસ્ટમ સુસંગત છે.

અમે ત્રીજા ક્રમના બિન-શૂન્ય ગૌણને આધાર તરીકે લઈએ છીએ.

સ્પષ્ટતા માટે, અમે એવા તત્વો બતાવીએ છીએ જે નાના આધાર બનાવે છે:


અમે સિસ્ટમ સમીકરણોની ડાબી બાજુએ પાયાના નાનામાં સમાવિષ્ટ શરતો છોડીએ છીએ, અને બાકીનાને વિરુદ્ધ ચિહ્નો સાથે જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:


ચાલો મફત અજ્ઞાત ચલો x 2 અને x 5 મનસ્વી મૂલ્યો આપીએ, એટલે કે, અમે સ્વીકારીએ છીએ , જ્યાં મનસ્વી સંખ્યાઓ છે. આ કિસ્સામાં, SLAE ફોર્મ લેશે


ચાલો ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પરિણામી પ્રાથમિક પદ્ધતિને હલ કરીએ:


આથી, .

તમારા જવાબમાં, મફત અજાણ્યા ચલો સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

જવાબ:

જ્યાં મનસ્વી સંખ્યાઓ છે.

ચાલો સારાંશ આપીએ.

સામાન્ય રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, અમે પ્રથમ ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તેની સુસંગતતા નક્કી કરીએ છીએ. જો મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની બરાબર નથી, તો અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે સિસ્ટમ અસંગત છે.

જો મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની સમાન હોય, તો અમે બેઝિસ માઇનોર પસંદ કરીએ છીએ અને સિસ્ટમના સમીકરણોને કાઢી નાખીએ છીએ જે પસંદ કરેલા બેઝિસ માઇનોરની રચનામાં ભાગ લેતા નથી.

જો બેઝિસ માઇનોરનો ક્રમ અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલો હોય, તો SLAE પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, જે અમને જાણીતી કોઈપણ પદ્ધતિ દ્વારા શોધી શકાય છે.

જો આધાર ગૌણનો ક્રમ અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય, તો સિસ્ટમ સમીકરણોની ડાબી બાજુએ આપણે મુખ્ય અજાણ્યા ચલો સાથેની શરતો છોડીએ છીએ, બાકીની શરતોને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ અને મનસ્વી મૂલ્યો આપીએ છીએ મફત અજાણ્યા ચલો. રેખીય સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમમાંથી આપણે ક્રેમર પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય અજાણ્યા ચલો શોધીએ છીએ.

સામાન્ય સ્વરૂપના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કોઈપણ પ્રકારના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને સુસંગતતા માટે પ્રથમ પરીક્ષણ કર્યા વિના ઉકેલવા માટે કરી શકાય છે. અજ્ઞાત ચલોના ક્રમિક નાબૂદીની પ્રક્રિયા SLAE ની સુસંગતતા અને અસંગતતા બંને વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવાનું શક્ય બનાવે છે, અને જો કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે, તો તે તેને શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

ગણતરીના દૃષ્ટિકોણથી, ગૌસીયન પદ્ધતિ પ્રાધાન્યક્ષમ છે.

સામાન્ય સ્વરૂપના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ લેખમાં તેનું વિગતવાર વર્ણન અને વિશ્લેષણ કરેલા ઉદાહરણો જુઓ.

ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલીના વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સજાતીય અને અસંગત રેખીય બીજગણિત પ્રણાલીઓ માટે સામાન્ય ઉકેલ લખવું.

આ વિભાગમાં આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની એક સાથે સજાતીય અને અસંગત પ્રણાલીઓ વિશે વાત કરીશું જેમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ચાલો સૌ પ્રથમ સજાતીય પ્રણાલીઓ સાથે વ્યવહાર કરીએ.

ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ n અજ્ઞાત ચલો સાથે p રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ એ આ સિસ્ટમના (n – r) રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોનો સંગ્રહ છે, જ્યાં r એ સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોરનો ક્રમ છે.

જો આપણે સજાતીય SLAE ના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) પરિમાણ n ના સ્તંભાકાર મેટ્રિસિસ તરીકે દર્શાવીએ તો 1 દ્વારા) , તો પછી આ સજાતીય પ્રણાલીના સામાન્ય ઉકેલને મનસ્વી સ્થિર ગુણાંક C 1, C 2, ..., C (n-r), એટલે કે, .

રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (ઓરોસ્લાઉ) ની સજાતીય સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલ શબ્દનો અર્થ શું થાય છે?

અર્થ સરળ છે: ફોર્મ્યુલા મૂળ SLAE ના તમામ સંભવિત ઉકેલોને સ્પષ્ટ કરે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મનસ્વી સ્થિરાંકો C 1, C 2, ..., C (n-r) ના મૂલ્યોના કોઈપણ સમૂહને લઈને, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે કરીશું. મૂળ સજાતીય SLAE ના ઉકેલોમાંથી એક મેળવો.

આમ, જો આપણે ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલી શોધીએ, તો આપણે આ સજાતીય SLAE ના તમામ ઉકેલોને તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.

ચાલો સજાતીય SLAE માટે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવવાની પ્રક્રિયા બતાવીએ.

અમે રેખીય સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમના પાયાના ગૌણને પસંદ કરીએ છીએ, સિસ્ટમમાંથી અન્ય તમામ સમીકરણોને બાકાત રાખીએ છીએ અને વિપરીત સંકેતો સાથે સિસ્ટમના સમીકરણોની જમણી બાજુએ મફત અજાણ્યા ચલો ધરાવતા તમામ પદોને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ. ચાલો મફત અજ્ઞાત ચલોને મૂલ્યો 1,0,0,...,0 આપીએ અને રેખીય સમીકરણોની પરિણામી પ્રાથમિક પદ્ધતિને કોઈપણ રીતે હલ કરીને મુખ્ય અજ્ઞાતની ગણતરી કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. આ X (1) માં પરિણમશે - મૂળભૂત સિસ્ટમનો પ્રથમ ઉકેલ. જો આપણે મફત અજ્ઞાતને 0,1,0,0, …,0 મૂલ્યો આપીએ અને મુખ્ય અજાણ્યાઓની ગણતરી કરીએ, તો આપણને X (2) મળે છે. અને તેથી વધુ. જો આપણે મફત અજ્ઞાત ચલોને 0.0,...,0.1 મૂલ્યો સોંપીએ અને મુખ્ય અજાણ્યાઓની ગણતરી કરીએ, તો આપણને X (n-r) મળે છે. આ રીતે, એક સમાન SLAE ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવવામાં આવશે અને તેના સામાન્ય ઉકેલને ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીઓ માટે, સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મમાં રજૂ થાય છે, જ્યાં અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ છે, અને મૂળ અસંગત SLAE નો ચોક્કસ ઉકેલ છે, જે આપણે મફત અજ્ઞાતને મૂલ્યો આપીને મેળવીએ છીએ. 0,0,…,0 અને મુખ્ય અજ્ઞાતના મૂલ્યોની ગણતરી.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલી અને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો .

ઉકેલ.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ હંમેશા વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હોય છે. ચાલો સગીરોની કિનારીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધીએ. પ્રથમ ક્રમના બિન-શૂન્ય માઇનોર તરીકે, અમે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનું 1 1 = 9 એલિમેન્ટ લઈએ છીએ. ચાલો બીજા ક્રમની કિનારી બિન-શૂન્ય ગૌણ શોધીએ:

બીજા ક્રમનો એક સગીર, શૂન્યથી અલગ, મળી આવ્યો છે. ચાલો બિન-શૂન્યની શોધમાં તેની સરહદે આવેલા ત્રીજા ક્રમના સગીરોમાંથી પસાર થઈએ:

તમામ ત્રીજા ક્રમની સરહદી સગીરો શૂન્ય સમાન છે, તેથી, મુખ્ય અને વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે સમાન છે. ચાલો લઈએ. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો સિસ્ટમના ઘટકોની નોંધ કરીએ જે તેને બનાવે છે:

મૂળ SLAE નું ત્રીજું સમીકરણ બેઝિસ માઇનોરની રચનામાં ભાગ લેતું નથી, તેથી, તેને બાકાત કરી શકાય છે:

અમે સમીકરણોની જમણી બાજુએ મુખ્ય અજાણ્યાઓ ધરાવતી શરતો છોડીએ છીએ, અને મુક્ત અજ્ઞાત સાથેની શરતોને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

ચાલો રેખીય સમીકરણોની મૂળ સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવીએ. આ SLAE ના ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલીમાં બે ઉકેલોનો સમાવેશ થાય છે, કારણ કે મૂળ SLAE માં ચાર અજાણ્યા ચલો હોય છે, અને તેના આધાર નાનાનો ક્રમ બે જેટલો હોય છે. X (1) ને શોધવા માટે, અમે મફત અજાણ્યા ચલોને x 2 = 1, x 4 = 0 મૂલ્યો આપીએ છીએ, પછી આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી મુખ્ય અજાણ્યા શોધીએ છીએ.
.

આ પાઠમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ જોઈશું. ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને અલગ-અલગ કાર્યોના રૂપમાં ઉકેલવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, "ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો" અને અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા દરમિયાન. ઉચ્ચ ગણિતની લગભગ તમામ શાખાઓમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે.

પ્રથમ, થોડો સિદ્ધાંત. આ કિસ્સામાં ગાણિતિક શબ્દ "રેખીય" નો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણો બધાચલો સમાવેશ થાય છે પ્રથમ ડિગ્રીમાં: કોઈપણ ફેન્સી સામગ્રી વગર વગેરે, જેનાથી માત્ર ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સમાં ભાગ લેનારા જ ખુશ છે.

ઉચ્ચ ગણિતમાં, માત્ર બાળપણથી જ પરિચિત અક્ષરોનો ઉપયોગ ચલોને દર્શાવવા માટે થતો નથી.
એકદમ લોકપ્રિય વિકલ્પ એ અનુક્રમણિકાઓ સાથેના ચલો છે: .
અથવા લેટિન મૂળાક્ષરોના પ્રારંભિક અક્ષરો, નાના અને મોટા:
ગ્રીક અક્ષરો શોધવાનું એટલું દુર્લભ નથી: - ઘણા લોકો માટે "આલ્ફા, બીટા, ગામા" તરીકે જાણીતા છે. અને સૂચકાંકો સાથેનો સમૂહ પણ, કહો, "mu" અક્ષર સાથે:

અક્ષરોના એક અથવા બીજા સમૂહનો ઉપયોગ ઉચ્ચ ગણિતના વિભાગ પર આધાર રાખે છે જેમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામનો કરી રહ્યા છીએ. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અવિભાજ્ય અને વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં, સંકેતનો ઉપયોગ કરવો પરંપરાગત છે.

પરંતુ ચલોને કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે તે કોઈ બાબત નથી, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટેના સિદ્ધાંતો, પદ્ધતિઓ અને પદ્ધતિઓ બદલાતી નથી. આમ, જો તમને ડરામણી જેવી કોઈ વસ્તુ મળે, તો ડરીને સમસ્યાનું પુસ્તક બંધ કરવા ઉતાવળ ન કરો, છેવટે, તમે તેના બદલે સૂર્ય, તેના બદલે પક્ષી અને તેના બદલે ચહેરો (શિક્ષક) દોરી શકો છો. અને, રમુજી લાગે છે તેમ, આ સંકેતો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પણ ઉકેલી શકાય છે.

મને લાગે છે કે લેખ ખૂબ લાંબો હશે, તેથી સામગ્રીનું એક નાનું કોષ્ટક. તેથી, ક્રમિક "ડિબ્રીફિંગ" આના જેવું હશે:

- અવેજી પદ્ધતિ ("શાળા પદ્ધતિ") નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી;
- સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળો (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને હલ કરવી;
- ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો ઉકેલ;
- વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી;
- ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું નિરાકરણ.

દરેક વ્યક્તિ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાંથી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોથી પરિચિત છે. આવશ્યકપણે, અમે પુનરાવર્તન સાથે પ્રારંભ કરીએ છીએ.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

આ પદ્ધતિને "શાળા પદ્ધતિ" અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહી શકાય. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, તેને "અપૂર્ણ ગૌસીયન પદ્ધતિ" પણ કહી શકાય.

ઉદાહરણ 1

અહીં આપણને બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે. નોંધ કરો કે મફત શબ્દો (સંખ્યા 5 અને 7) સમીકરણની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેઓ ડાબી બાજુ કે જમણી બાજુ ક્યાં છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, તે માત્ર એટલું જ છે કે ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યાઓમાં તેઓ ઘણીવાર તે રીતે સ્થિત હોય છે. અને જો જરૂરી હોય તો આવા રેકોર્ડિંગથી મૂંઝવણ ન થવી જોઈએ, સિસ્ટમ હંમેશા "હંમેશની જેમ" લખી શકાય છે: . ભૂલશો નહીં કે જ્યારે કોઈ શબ્દને ભાગથી બીજા ભાગમાં ખસેડો, ત્યારે તેને તેની નિશાની બદલવાની જરૂર છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાનો અર્થ શું છે? સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના ઘણા ઉકેલો શોધવા. સિસ્ટમનું સોલ્યુશન એ તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ છે, જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે. વધુમાં, સિસ્ટમ હોઈ શકે છે બિન-સંયુક્ત (કોઈ ઉકેલ નથી).શરમાશો નહીં, આ એક સામાન્ય વ્યાખ્યા છે =) આપણી પાસે માત્ર એક "x" મૂલ્ય અને એક "y" મૂલ્ય હશે, જે દરેક c-we સમીકરણને સંતોષે છે.

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે એક ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ છે, જેનાથી તમે તમારી જાતને વર્ગમાં પરિચિત કરી શકો છો. રેખા સાથેની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ. ત્યાં મેં વાત કરી ભૌમિતિક અર્થમાંબે અજ્ઞાત સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. પરંતુ હવે આ બીજગણિત, અને સંખ્યાઓ-સંખ્યાઓ, ક્રિયાઓ-ક્રિયાઓનો યુગ છે.

ચાલો નક્કી કરીએ: પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ:
અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ, સમાન શબ્દો ઉમેરીએ છીએ અને મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

આગળ, અમને યાદ છે કે અમે શા માટે નૃત્ય કર્યું:
આપણે મૂલ્ય પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, જે બાકી છે તે શોધવાનું છે:

જવાબ આપો:

સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમ કોઈપણ રીતે હલ થઈ જાય પછી, હું ભારપૂર્વક તપાસવાની ભલામણ કરું છું (મૌખિક રીતે, ડ્રાફ્ટ પર અથવા કેલ્ક્યુલેટર પર). સદનસીબે, આ સરળતાથી અને ઝડપથી થાય છે.

1) મળેલા જવાબને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

2) મળેલા જવાબને બીજા સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

અથવા, વધુ સરળ રીતે કહીએ તો, "બધું એકસાથે આવ્યું"

ઉકેલની માનવામાં આવતી પદ્ધતિ માત્ર એક જ નથી જે પ્રથમ સમીકરણથી વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું, અને નહીં.
તમે તેનાથી વિરુદ્ધ કરી શકો છો - બીજા સમીકરણમાંથી કંઈક વ્યક્ત કરો અને તેને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે ચાર પદ્ધતિઓમાંથી સૌથી વધુ ગેરલાભ એ બીજા સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરવાનું છે:

પરિણામ અપૂર્ણાંક છે, પણ શા માટે? ત્યાં વધુ તર્કસંગત ઉકેલ છે.

જો કે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં તમે હજી પણ અપૂર્ણાંક વિના કરી શકતા નથી. આ સંદર્ભમાં, મેં અભિવ્યક્તિ કેવી રીતે લખી તે તરફ હું તમારું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. આના જેવું નથી: અને કોઈ પણ સંજોગોમાં આના જેવું નથી: .

જો ઉચ્ચ ગણિતમાં તમે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છો, તો પછી બધી ગણતરીઓ સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં કરવાનો પ્રયાસ કરો.

બરાબર, અને નહીં અથવા!

અલ્પવિરામનો ઉપયોગ ફક્ત ક્યારેક જ થઈ શકે છે, ખાસ કરીને જો તે કોઈ સમસ્યાનો અંતિમ જવાબ હોય, અને આ નંબર સાથે આગળ કોઈ ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર નથી.

ઘણા વાચકોએ કદાચ વિચાર્યું કે "સુધારણા વર્ગ માટે આટલી વિગતવાર સમજૂતી શા માટે, બધું સ્પષ્ટ છે." આ પ્રકારનું કંઈ નથી, તે આવા સરળ શાળાના ઉદાહરણ જેવું લાગે છે, પરંતુ ઘણા બધા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ તારણો છે! અહીં બીજું એક છે:

તમારે કોઈપણ કાર્યને સૌથી તર્કસંગત રીતે પૂર્ણ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. જો માત્ર એટલા માટે કે તે સમય અને ચેતાને બચાવે છે, અને ભૂલ કરવાની સંભાવના પણ ઘટાડે છે.

જો ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યામાં તમે બે અજાણ્યા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં આવો છો, તો તમે હંમેશા અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો (જ્યાં સુધી તે સૂચવવામાં ન આવે કે સિસ્ટમને બીજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવાની જરૂર છે). કે તમે સકર છો અને "શાળા પદ્ધતિ" નો ઉપયોગ કરવા બદલ તમારો ગ્રેડ ઘટાડશો
તદુપરાંત, કેટલાક કિસ્સાઓમાં મોટી સંખ્યામાં ચલો સાથે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2

ત્રણ અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનું અભિન્ન અંગ શોધીએ છીએ ત્યારે અનિશ્ચિત ગુણાંકની કહેવાતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમ ઘણીવાર ઊભી થાય છે. પ્રશ્નમાં રહેલી સિસ્ટમ મારા દ્વારા ત્યાંથી લેવામાં આવી હતી.

જ્યારે અભિન્ન શોધે છે, ત્યારે ધ્યેય છે ઝડપીક્રેમરના સૂત્રો, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ વગેરેનો ઉપયોગ કરવાને બદલે ગુણાંકના મૂલ્યો શોધો. તેથી, આ કિસ્સામાં, અવેજી પદ્ધતિ યોગ્ય છે.

જ્યારે કોઈપણ સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ તે શોધવાનું ઇચ્છનીય છે કે શું તેને કોઈક રીતે તરત જ સરળ બનાવવું શક્ય છે? સિસ્ટમના સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નોંધ્યું છે કે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજિત કરી શકાય છે, જે આપણે કરીએ છીએ:

સંદર્ભ:ગાણિતિક ચિહ્નનો અર્થ થાય છે "આમાંથી તે અનુસરે છે" અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાના ઉકેલમાં થાય છે.

હવે આપણે સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીએ; મારે કયું સમીકરણ પસંદ કરવું જોઈએ? તમે કદાચ પહેલાથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે કે આ હેતુ માટે સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ લેવું:

અહીં, કોઈપણ ચલ વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ વાંધો નથી, વ્યક્તિ એટલી જ સરળતાથી વ્યક્ત કરી શકે છે અથવા .

આગળ, અમે સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં અભિવ્યક્તિને બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ:

ત્રીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજીત કરો:

બીજા સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

લગભગ બધું તૈયાર છે, ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
બીજા સમીકરણમાંથી:
પ્રથમ સમીકરણમાંથી:

તપાસો: સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ ચલોના મળેલા મૂલ્યોને બદલો:

1)
2)
3)

સમીકરણોની અનુરૂપ જમણી બાજુઓ મેળવવામાં આવે છે, આમ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળે છે.

ઉદાહરણ 3

4 અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો (પાઠના અંતે જવાબ આપો).

સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળા (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને ઉકેલવી

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો હલ કરતી વખતે, તમારે "શાળા પદ્ધતિ" નો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરણ (બાદબાકી) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. શા માટે? આ સમય બચાવે છે અને ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે, જો કે, હવે બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે.

ઉદાહરણ 4

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

મેં પ્રથમ ઉદાહરણની જેમ જ સિસ્ટમ લીધી.
સમીકરણોની સિસ્ટમનું વિશ્લેષણ કરતાં, અમે નોંધ્યું છે કે ચલના ગુણાંક તીવ્રતામાં સમાન છે અને સાઇન (–1 અને 1) માં વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરી શકાય છે:

લાલ રંગમાં ફરતી ક્રિયાઓ માનસિક રીતે કરવામાં આવે છે.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનના પરિણામે, અમે ચલ ગુમાવ્યું. આ, હકીકતમાં, શું છે પદ્ધતિનો સાર એ ચલોમાંના એકમાંથી છુટકારો મેળવવાનો છે.

આ વિડિઓ સાથે હું સમીકરણોની સિસ્ટમોને સમર્પિત પાઠોની શ્રેણી શરૂ કરું છું. આજે આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા વિશે વાત કરીશું વધારાની પદ્ધતિ- આ સૌથી સરળ પદ્ધતિઓમાંની એક છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી અસરકારક છે.

ઉમેરવાની પદ્ધતિમાં ત્રણ સરળ પગલાંઓ શામેલ છે:

1. સિસ્ટમ જુઓ અને એક ચલ પસંદ કરો જે દરેક સમીકરણમાં સમાન (અથવા વિરુદ્ધ) ગુણાંક ધરાવે છે;
2. એકબીજામાંથી સમીકરણોની બીજગણિત બાદબાકી (વિરોધી સંખ્યાઓ માટે - સરવાળો) કરો અને પછી સમાન શરતો લાવો;
3. બીજા પગલા પછી મેળવેલ નવા સમીકરણને ઉકેલો.

જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવે, તો આઉટપુટ પર આપણને એક સમીકરણ મળશે એક ચલ સાથે- તેને હલ કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય. પછી જે બાકી રહે છે તે મૂળ સિસ્ટમમાં મળેલા રુટને બદલવા અને અંતિમ જવાબ મેળવવાનું છે.

જો કે, વ્યવહારમાં બધું એટલું સરળ નથી. આના માટે ઘણા કારણો છે:

• ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવાથી સૂચિત થાય છે કે બધી રેખાઓમાં સમાન/વિરોધી ગુણાંક સાથેના ચલ હોવા જોઈએ. જો આ જરૂરિયાત પૂરી ન થાય તો શું કરવું?
• હંમેશા નહીં, દર્શાવેલ રીતે સમીકરણો ઉમેરી/બાદબાકી કર્યા પછી, આપણને એક સુંદર બાંધકામ મળે છે જે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. શું કોઈક રીતે ગણતરીઓને સરળ બનાવવી અને ગણતરીઓને ઝડપી બનાવવી શક્ય છે?

આ પ્રશ્નોના જવાબ મેળવવા માટે, અને તે જ સમયે કેટલીક વધારાની સૂક્ષ્મતાને સમજવા માટે, જેમાં ઘણા વિદ્યાર્થીઓ નિષ્ફળ જાય છે, મારો વિડિઓ પાઠ જુઓ:

આ પાઠ સાથે આપણે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને સમર્પિત વ્યાખ્યાનોની શ્રેણી શરૂ કરીએ છીએ. અને આપણે તેમાંના સૌથી સરળથી શરૂ કરીશું, એટલે કે જેમાં બે સમીકરણો અને બે ચલો છે. તેમાંના દરેક રેખીય હશે.

સિસ્ટમ્સ એ 7મા ધોરણની સામગ્રી છે, પરંતુ આ પાઠ ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ ઉપયોગી થશે જેઓ આ વિષયના તેમના જ્ઞાનને આગળ વધારવા માંગે છે.

સામાન્ય રીતે, આવી સિસ્ટમોને હલ કરવા માટે બે પદ્ધતિઓ છે:

1. ઉમેરણ પદ્ધતિ;
2. એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાની પદ્ધતિ.

આજે આપણે પ્રથમ પદ્ધતિ સાથે વ્યવહાર કરીશું - આપણે બાદબાકી અને સરવાળાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું. પરંતુ આ કરવા માટે, તમારે નીચેની હકીકત સમજવાની જરૂર છે: એકવાર તમારી પાસે બે અથવા વધુ સમીકરણો હોય, તો તમે તેમાંથી કોઈપણ બે લઈ શકો છો અને તેમને એકબીજામાં ઉમેરી શકો છો. તેઓ સભ્ય દ્વારા સભ્ય ઉમેરવામાં આવે છે, એટલે કે. "X's" ને "X's" માં ઉમેરવામાં આવે છે અને સમાન આપવામાં આવે છે, "Y's" સાથે "Y's" ફરીથી સમાન હોય છે, અને સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ જે છે તે પણ એકબીજા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે, અને સમાન ચિહ્નો પણ ત્યાં આપવામાં આવે છે. .

આવા કાવતરાંનાં પરિણામો એક નવું સમીકરણ હશે, જેનાં મૂળ હશે તો તે ચોક્કસપણે મૂળ સમીકરણનાં મૂળમાં હશે. તેથી, અમારું કાર્ય બાદબાકી અથવા સરવાળો એવી રીતે કરવાનું છે કે $x$ અથવા $y$ અદૃશ્ય થઈ જાય.

આ કેવી રીતે પ્રાપ્ત કરવું અને આ માટે કયા સાધનનો ઉપયોગ કરવો - અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

તેથી, આપણે બે સરળ સમીકરણોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું શીખીએ છીએ.

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે $y$ નો પ્રથમ સમીકરણમાં $-4$ અને બીજામાં $+4$ નો ગુણાંક છે. તેઓ પરસ્પર વિરોધી છે, તેથી એવું માનવું તાર્કિક છે કે જો આપણે તેમને ઉમેરીએ, તો પરિણામી રકમમાં "રમતો" પરસ્પર નાશ પામશે. તેને ઉમેરો અને મેળવો:

ચાલો સૌથી સરળ બાંધકામ હલ કરીએ:

સરસ, અમને "x" મળ્યો. હવે તેની સાથે શું કરવું જોઈએ? અમને તેને કોઈપણ સમીકરણોમાં બદલવાનો અધિકાર છે. ચાલો પહેલા અવેજી કરીએ:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(2;-3 \જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

અહીં પરિસ્થિતિ સંપૂર્ણપણે સમાન છે, ફક્ત "X's" સાથે. ચાલો તેમને ઉમેરીએ:

અમારી પાસે સૌથી સરળ રેખીય સમીકરણ છે, ચાલો તેને હલ કરીએ:

હવે ચાલો $x$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-3;3 \right)$.

મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ

તેથી, અમે ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની બે સરળ પ્રણાલીઓ ઉકેલી છે. મુખ્ય મુદ્દાઓ ફરીથી:

1. જો કોઈ એક ચલ માટે વિરોધી ગુણાંક હોય, તો સમીકરણમાં તમામ ચલો ઉમેરવા જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, તેમાંથી એક નાશ પામશે.
2. અમે બીજા સમીકરણો શોધવા માટે કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ.
3. અંતિમ પ્રતિભાવ રેકોર્ડ વિવિધ રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ - $x=...,y=...$, અથવા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સના સ્વરૂપમાં - $\left(...;... \right)$. બીજો વિકલ્પ પ્રાધાન્યક્ષમ છે. યાદ રાખવાની મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે પ્રથમ સંકલન $x$ છે, અને બીજું $y$ છે.
4. પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સના રૂપમાં જવાબ લખવાનો નિયમ હંમેશા લાગુ પડતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ચલો $x$ અને $y$ ન હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી, પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, $a$ અને $b$.

નીચેની સમસ્યાઓમાં આપણે બાદબાકીની તકનીકને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે ગુણાંક વિરુદ્ધ ન હોય.

બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે અહીં કોઈ વિરોધી ગુણાંક નથી, પરંતુ સમાન ગુણાંક છે. તેથી, અમે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ છીએ:

હવે આપણે $x$ ને કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં બદલીએ છીએ. ચાલો પહેલા જઈએ:

જવાબ: $\left(2;5\જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

અમે ફરીથી પ્રથમ અને બીજા સમીકરણમાં $x$ માટે $5$ નો સમાન ગુણાંક જોયો. તેથી, તે ધારવું તાર્કિક છે કે તમારે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરવાની જરૂર છે:

અમે એક ચલની ગણતરી કરી છે. હવે ચાલો બીજું શોધીએ, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય $y$ ને બીજા બાંધકામમાં બદલીને:

જવાબ: $\left(-3;-2 \right)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તો આપણે શું જોઈએ છીએ? અનિવાર્યપણે, યોજના અગાઉની સિસ્ટમોના ઉકેલથી અલગ નથી. ફરક એટલો જ છે કે આપણે સમીકરણો ઉમેરતા નથી, પણ બાદબાકી કરીએ છીએ. અમે બીજગણિત બાદબાકી કરી રહ્યા છીએ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જલદી તમે બે અજ્ઞાતમાં બે સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમ જોશો, તમારે પ્રથમ વસ્તુ જોવાની જરૂર છે તે ગુણાંક છે. જો તેઓ ગમે ત્યાં સમાન હોય, તો સમીકરણો બાદબાકી કરવામાં આવે છે, અને જો તેઓ વિરુદ્ધ હોય, તો ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ હંમેશા કરવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી એક અદૃશ્ય થઈ જાય, અને અંતિમ સમીકરણમાં, જે બાદબાકી પછી રહે છે, માત્ર એક ચલ રહે છે.

અલબત્ત, તે બધુ જ નથી. હવે આપણે એવી સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું કે જેમાં સમીકરણો સામાન્ય રીતે અસંગત હોય છે. તે. તેમાં એવા કોઈ ચલ નથી કે જે કાં તો સમાન હોય અથવા વિરુદ્ધ હોય. આ કિસ્સામાં, આવી સિસ્ટમોને હલ કરવા માટે, વધારાની તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, દરેક સમીકરણોને વિશિષ્ટ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો. તેને કેવી રીતે શોધવું અને સામાન્ય રીતે આવી સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી, અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

આપણે જોઈએ છીએ કે ન તો $x$ માટે અને ન તો $y$ માટે ગુણાંક માત્ર પરસ્પર વિરોધી જ નથી, પણ અન્ય સમીકરણ સાથે કોઈપણ રીતે સહસંબંધ ધરાવતા નથી. આ ગુણાંકો કોઈપણ રીતે અદૃશ્ય થઈ જશે નહીં, ભલે આપણે એકબીજામાંથી સમીકરણો ઉમેરીએ અથવા બાદ કરીએ. તેથી, ગુણાકાર લાગુ કરવો જરૂરી છે. ચાલો $y$ ચલથી છુટકારો મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ સમીકરણને બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ના ગુણાંક દ્વારા અને બીજા સમીકરણને પ્રથમ સમીકરણના $y$ ના ગુણાંક વડે ગુણાંક કરીએ છીએ, ચિહ્નને સ્પર્શ કર્યા વિના. અમે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને નવી સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ચાલો તેને જોઈએ: $y$ પર ગુણાંક વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. ચાલો ઉમેરીએ:

હવે આપણે $y$ શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિમાં $x$ બદલો:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(4;-2 \જમણે)$.

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ફરીથી, કોઈપણ ચલો માટેના ગુણાંક સુસંગત નથી. ચાલો $y$ ના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \જમણે. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

અમારી નવી સિસ્ટમ પાછલી સિસ્ટમની સમકક્ષ છે, પરંતુ $y$ ના ગુણાંક પરસ્પર વિરુદ્ધ છે, અને તેથી અહીં વધારાની પદ્ધતિ લાગુ કરવી સરળ છે:

હવે ચાલો પહેલા સમીકરણમાં $x$ ને બદલીને $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-2;1 \જમણે)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

અહીં મુખ્ય નિયમ નીચે મુજબ છે: અમે હંમેશા માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ - આ તમને બદલાતા ચિહ્નો સાથે સંકળાયેલ મૂર્ખ અને અપમાનજનક ભૂલોથી બચાવશે. સામાન્ય રીતે, ઉકેલ યોજના એકદમ સરળ છે:

1. અમે સિસ્ટમ જોઈએ છીએ અને દરેક સમીકરણનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
2. જો આપણે જોઈએ કે ન તો $y$ કે $x$ ગુણાંક સુસંગત છે, એટલે કે. તેઓ ન તો સમાન છે કે ન તો વિરુદ્ધ, પછી આપણે નીચે મુજબ કરીએ છીએ: આપણે ચલ પસંદ કરીએ છીએ જેમાંથી આપણે છૂટકારો મેળવવાની જરૂર છે, અને પછી આપણે આ સમીકરણોના ગુણાંકને જોઈએ છીએ. જો આપણે પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, અને બીજાને અનુરૂપ રીતે, પ્રથમમાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, તો અંતે આપણને એક સિસ્ટમ મળશે જે અગાઉના સમકક્ષ છે, અને $ ના ગુણાંક y$ સુસંગત રહેશે. અમારી બધી ક્રિયાઓ અથવા રૂપાંતરણનો હેતુ માત્ર એક સમીકરણમાં એક ચલ મેળવવાનો છે.
3. આપણે એક ચલ શોધીએ છીએ.
4. અમે સિસ્ટમના બે સમીકરણોમાંથી એકમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ અને બીજું શોધીએ છીએ.
5. જો આપણી પાસે $x$ અને $y$ હોય તો અમે પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વરૂપે જવાબ લખીએ છીએ.

પરંતુ આવા સરળ અલ્ગોરિધમમાં પણ તેની પોતાની સૂક્ષ્મતા છે, ઉદાહરણ તરીકે, $x$ અથવા $y$ ના ગુણાંક અપૂર્ણાંક અને અન્ય "નીચ" સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. હવે અમે આ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું, કારણ કે તેમાં તમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ મુજબ કંઈક અલગ રીતે કાર્ય કરી શકો છો.

અપૂર્ણાંક સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ, નોંધ લો કે બીજા સમીકરણમાં અપૂર્ણાંકો છે. પરંતુ નોંધ લો કે તમે $4$ ને $0.8$ વડે ભાગી શકો છો. અમે $5$ પ્રાપ્ત કરીશું. ચાલો બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

અમે એકબીજામાંથી સમીકરણો બાદ કરીએ છીએ:

અમને $n$ મળ્યું, હવે ચાલો $m$ ગણીએ:

જવાબ: $n=-4;m=5$

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \જમણે. \\\end(align )\ અધિકાર.\]

અહીં, અગાઉની સિસ્ટમની જેમ, અપૂર્ણાંક ગુણાંકો છે, પરંતુ કોઈપણ ચલ માટે ગુણાંક એકબીજા સાથે પૂર્ણાંક સંખ્યાની સંખ્યામાં ફિટ થતા નથી. તેથી, અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $p$ થી છુટકારો મેળવો:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

અમે બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો બીજા બાંધકામમાં $k$ ને બદલીને $p$ શોધીએ:

જવાબ: $p=-4;k=-2$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તે બધા ઓપ્ટિમાઇઝેશન છે. પ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે કોઈ પણ વસ્તુથી ગુણાકાર કર્યો નથી, પરંતુ બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કર્યો છે. પરિણામે, અમને પ્રથમ ચલ માટે સુસંગત અને સમાન સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું. બીજી સિસ્ટમમાં અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનું અનુસરણ કર્યું.

પરંતુ તમે તે સંખ્યાઓ કેવી રીતે શોધી શકશો જેના દ્વારા સમીકરણોનો ગુણાકાર કરવો? છેવટે, જો આપણે અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને નવા અપૂર્ણાંક મળે છે. તેથી, અપૂર્ણાંકનો એક એવી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર થવો જોઈએ જે નવી પૂર્ણાંક આપશે, અને તે પછી ચલોનો પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમને અનુસરીને ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે.

નિષ્કર્ષમાં, હું તમારું ધ્યાન પ્રતિભાવ રેકોર્ડ કરવા માટેના ફોર્મેટ તરફ દોરવા માંગુ છું. મેં પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, અહીં અમારી પાસે $x$ અને $y$ નથી, પરંતુ અન્ય મૂલ્યો હોવાથી, અમે ફોર્મના બિન-માનક સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

આજના વિડિયો ટ્યુટોરીયલની અંતિમ નોંધ તરીકે, ચાલો આપણે ખરેખર જટિલ સિસ્ટમો જોઈએ. તેમની જટિલતા એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ હશે કે તેમની પાસે ડાબે અને જમણે બંને પર ચલ હશે. તેથી, તેમને ઉકેલવા માટે આપણે પ્રીપ્રોસેસિંગ લાગુ કરવું પડશે.

સિસ્ટમ નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \જમણે)-1=5\લેફ્ટ(2x-1 \જમણે)+8 \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

દરેક સમીકરણ ચોક્કસ જટિલતા ધરાવે છે. તેથી, ચાલો દરેક અભિવ્યક્તિને નિયમિત રેખીય બાંધકામની જેમ ગણીએ.

કુલમાં, અમને અંતિમ સિસ્ટમ મળે છે, જે મૂળની સમકક્ષ છે:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ચાલો $y$ ના ગુણાંક જોઈએ: $3$ બે વાર $6$ માં બંધબેસે છે, તો ચાલો પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$ ના ગુણાંક હવે સમાન છે, તેથી આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ: $$

હવે ચાલો $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

સિસ્ટમ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \જમણે -12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

ચાલો પ્રથમ અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ:

ચાલો બીજા સાથે વ્યવહાર કરીએ:

\[-3\left(b-2a \જમણે)-12=2\left(a-5 \જમણે)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

કુલમાં, અમારી પ્રારંભિક સિસ્ટમ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

$a$ ના ગુણાંકને જોતા, આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ બાંધકામમાંથી બીજાને બાદ કરો:

હવે ચાલો $a$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

બસ. હું આશા રાખું છું કે આ વિડીયો ટ્યુટોરીયલ તમને આ મુશ્કેલ વિષયને સમજવામાં મદદ કરશે, એટલે કે સરળ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવામાં. ભવિષ્યમાં આ વિષય પર ઘણા વધુ પાઠ હશે: અમે વધુ જટિલ ઉદાહરણો જોઈશું, જ્યાં વધુ ચલો હશે, અને સમીકરણો પોતે બિનરેખીય હશે. ફરી મળીશું!