વિભાગઅને તેમના પરના અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ સામાન્ય વિભાજક, એકથી અલગ, કહેવાય છે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે, તમારે તેના અંશ અને છેદને સમાન કુદરતી સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.

આ સંખ્યા આપેલ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે.

નીચેના શક્ય છે નિર્ણય રેકોર્ડિંગ ફોર્મ્સસામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઘટાડવા માટેના ઉદાહરણો.

વિદ્યાર્થીને રેકોર્ડિંગનું કોઈપણ સ્વરૂપ પસંદ કરવાનો અધિકાર છે.

ઉદાહરણો. અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવો.

અપૂર્ણાંકને 3 વડે ઘટાડવો (અંશને 3 વડે વિભાજીત કરો;

છેદને 3 વડે વિભાજીત કરો).

અપૂર્ણાંકને 7 વડે ઘટાડો.

અમે દર્શાવેલ ક્રિયાઓ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં કરીએ છીએ.

પરિણામી અપૂર્ણાંક 5 દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે.

ચાલો આ અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ 4) ચાલુ 5·7³- અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક (GCD), જેમાં અંશ અને છેદના સામાન્ય અવયવોનો સમાવેશ થાય છે, જેને સૌથી નાના ઘાતાંક સાથે ઘાત પર લેવામાં આવે છે.

ચાલો આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ.

અમને મળે છે: 756=2²·3³·7અને 1176=2³·3·7².

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદના GCD (સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક) નક્કી કરો 5) .

આ સૌથી ઓછા ઘાતાંક સાથે લેવામાં આવેલા સામાન્ય પરિબળોનું ઉત્પાદન છે.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

અમે આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને તેમના gcd દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, એટલે કે. 2²·3·7અમને એક અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક મળે છે 9/14 .

અથવા અંશ અને છેદના વિઘટનને અવિભાજ્ય પરિબળોના ઉત્પાદનના રૂપમાં લખવાનું શક્ય હતું, પાવરના ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યા વિના, અને પછી અંશ અને છેદમાં સમાન પરિબળોને વટાવીને અપૂર્ણાંકને ઘટાડી શકાય છે. જ્યારે કોઈ સમાન અવયવ બાકી ન હોય, ત્યારે આપણે બાકીના અવયવોને અંશમાં અને છેદમાં અલગથી ગુણાકાર કરીએ છીએ અને પરિણામી અપૂર્ણાંક લખીએ છીએ. 9/14 .

અને છેવટે, આ અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનું શક્ય હતું 5) ક્રમશઃ, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંને માટે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાના સંકેતો લાગુ કરવા. ચાલો આના જેવું વિચારીએ: સંખ્યાઓ 756 અને 1176 એક સમાન સંખ્યામાં સમાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે બંને વડે વિભાજ્ય છે 2 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 2 . નવા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ એ સંખ્યાઓ છે 378 અને 588 માં પણ વિભાજિત 2 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 2 . અમે નોંધ્યું છે કે સંખ્યા 294 - સમ, અને 189 વિચિત્ર છે, અને 2 નો ઘટાડો હવે શક્ય નથી. ચાલો સંખ્યાઓની વિભાજ્યતા તપાસીએ 189 અને 294 ચાલુ 3 .

(1+8+9)=18 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે અને (2+9+4)=15 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી સંખ્યાઓ પોતે 189 અને 294 માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે 3 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 3 . આગળ, 63 3 વડે વિભાજ્ય છે અને 98 - ના. ચાલો અન્ય મુખ્ય પરિબળો જોઈએ. બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય છે 7 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 7 અને આપણને અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક મળે છે 9/14 .

તે તેમની મુખ્ય મિલકત પર આધારિત છે: જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન બિન-શૂન્ય બહુપદી દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો એક સમાન અપૂર્ણાંક પ્રાપ્ત થશે.

તમે માત્ર ગુણક ઘટાડી શકો છો!

બહુપદીના સભ્યોને સંક્ષિપ્ત કરી શકાતા નથી!

બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે, અંશ અને છેદમાં બહુપદીઓ પ્રથમ અવયવિત હોવી જોઈએ.

ચાલો અપૂર્ણાંક ઘટાડવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં મોનોમિયલ હોય છે. તેઓ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કામ(સંખ્યાઓ, ચલો અને તેમની શક્તિઓ), ગુણકઅમે ઘટાડી શકીએ છીએ.

અમે સંખ્યાઓને તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા ઘટાડીએ છીએ, એટલે કે, સૌથી મોટી સંખ્યા દ્વારા જેના દ્વારા આ દરેક સંખ્યાઓ વિભાજિત થાય છે. 24 અને 36 માટે આ 12 છે. ઘટાડા પછી, 24 માંથી 2 અને 36 માંથી 3 રહે છે.

અમે સૌથી નીચા ઇન્ડેક્સ સાથે ડિગ્રી દ્વારા ડિગ્રી ઘટાડે છે. અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે અંશ અને છેદને સમાન વિભાજક વડે વિભાજિત કરો અને ઘાતાંકને બાદ કરો.

a² અને a⁷ ઘટીને a² થાય છે. આ કિસ્સામાં, a² ના અંશમાં એક રહે છે (અમે 1 ફક્ત તે કિસ્સામાં લખીએ છીએ જ્યારે, ઘટાડા પછી, ત્યાં કોઈ અન્ય અવયવ બાકી ન હોય. 24 થી, 2 રહે છે, તેથી આપણે a²માંથી 1 બાકી રહે છે તે લખતા નથી). a⁷ થી, ઘટાડા પછી, a⁵ રહે છે.

b અને b ને b દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, પરિણામી એકમો લખેલા નથી.

c³º અને c⁵ ટૂંકાવીને c⁵ કરવામાં આવે છે. c³º માંથી જે બચે છે તે c²⁵ છે, c⁵ માંથી એક છે (અમે તેને લખતા નથી). આમ,

આ બીજગણિત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બહુપદી છે. તમે બહુપદીની શરતોને રદ કરી શકતા નથી! (તમે ઘટાડી શકતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, 8x² અને 2x!). આ અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે, તમારે જરૂર છે. અંશમાં 4x નો સામાન્ય અવયવ છે. ચાલો તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:

અંશ અને છેદ બંને સમાન અવયવ ધરાવે છે (2x-3). અમે આ પરિબળ દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ. અંશમાં આપણને 4x મળ્યો છે, છેદમાં - 1. બીજગણિત અપૂર્ણાંકના 1 ગુણધર્મ અનુસાર, અપૂર્ણાંક 4x બરાબર છે.

તમે માત્ર પરિબળોને ઘટાડી શકો છો (તમે આ અપૂર્ણાંકને 25x² ઘટાડી શકતા નથી!). તેથી, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં બહુપદીઓ અવયવિત હોવી જોઈએ.

અંશ એ સરવાળોનો સંપૂર્ણ વર્ગ છે, છેદ એ વર્ગોનો તફાવત છે. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વિઘટન કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ:

અમે અપૂર્ણાંકને (5x+1) વડે ઘટાડીએ છીએ (આ કરવા માટે, ઘાતાંક તરીકે અંશમાં બેને વટાવો, (5x+1)² (5x+1) છોડી દો):

અંશમાં 2 નો સામાન્ય અવયવ છે, ચાલો તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ. છેદ એ ક્યુબ્સના તફાવત માટેનું સૂત્ર છે:

વિસ્તરણના પરિણામે, અંશ અને છેદ સમાન પરિબળ (9+3a+a²) પ્રાપ્ત કરે છે. અમે તેના દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ:

અંશમાં બહુપદી 4 પદો ધરાવે છે. પ્રથમ શબ્દ બીજા સાથે, ત્રીજો ચોથો સાથે, અને પ્રથમ કૌંસમાંથી સામાન્ય પરિબળ x² દૂર કરો. અમે ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાના સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને છેદનું વિઘટન કરીએ છીએ:

અંશમાં, ચાલો કૌંસમાંથી સામાન્ય પરિબળ (x+2) લઈએ:

અપૂર્ણાંકને (x+2) વડે ઘટાડો:

પ્રવેશ સ્તર

રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ. વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)

અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતરિત

આપણે વારંવાર આ અપ્રિય વાક્ય સાંભળીએ છીએ: "અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો." સામાન્ય રીતે આપણે આના જેવા અમુક પ્રકારના રાક્ષસને જોઈએ છીએ:

"તે ખૂબ સરળ છે," અમે કહીએ છીએ, પરંતુ આવા જવાબ સામાન્ય રીતે કામ કરતું નથી.

હવે હું તમને શીખવીશ કે આવા કોઈપણ કાર્યોથી ડરશો નહીં. તદુપરાંત, પાઠના અંતે, તમે જાતે જ આ ઉદાહરણને (ફક્ત!) એક સામાન્ય સંખ્યા (હા, આ અક્ષરો સાથે નરકમાં) સરળ બનાવશો.

પરંતુ તમે આ પાઠ શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે અપૂર્ણાંક અને પરિબળ બહુપદીને હેન્ડલ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. તેથી, પ્રથમ, જો તમે આ પહેલાં ન કર્યું હોય, તો "" અને "" વિષયોમાં નિપુણતા મેળવવાની ખાતરી કરો.

તમે તે વાંચ્યું છે? જો હા, તો હવે તમે તૈયાર છો.

મૂળભૂત સરળીકરણ કામગીરી

હવે ચાલો મૂળભૂત તકનીકો જોઈએ જેનો ઉપયોગ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે થાય છે.

સૌથી સરળ છે

1. સમાન લાવવું

શું સમાન છે? તમે આને 7મા ધોરણમાં લીધું હતું, જ્યારે ગણિતમાં સંખ્યાને બદલે અક્ષરો પ્રથમ દેખાયા હતા. સમાન અક્ષરના ભાગ સાથે સમાન શબ્દો (મોનોમિઅલ્સ) છે. ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળામાં, સમાન શબ્દો છે અને.

શું તમને યાદ છે?

સમાન લાવવાનો અર્થ એકબીજા સાથે ઘણી સમાન શરતો ઉમેરવા અને એક પદ મેળવવા માટે.

આપણે અક્ષરોને એકસાથે કેવી રીતે મૂકી શકીએ? - તમે પૂછો.

જો તમે કલ્પના કરો કે અક્ષરો અમુક પ્રકારની વસ્તુઓ છે તો આ સમજવું ખૂબ જ સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક પત્ર એ ખુરશી છે. તો પછી અભિવ્યક્તિ શું સમાન છે? બે ખુરશી વત્તા ત્રણ ખુરશી, કેટલી હશે? તે સાચું છે, ખુરશીઓ: .

હવે આ અભિવ્યક્તિનો પ્રયાસ કરો: .

મૂંઝવણ ટાળવા માટે, વિવિધ અક્ષરો વિવિધ વસ્તુઓને રજૂ કરવા દો. ઉદાહરણ તરીકે, - (હંમેશની જેમ) ખુરશી છે, અને - એક ટેબલ છે. પછી:

ખુરશીઓ કોષ્ટકો ખુરશી કોષ્ટકો ખુરશીઓ ખુરશીઓ કોષ્ટકો

જે સંખ્યાઓ દ્વારા આવા શબ્દોના અક્ષરોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ગુણાંક. ઉદાહરણ તરીકે, એકવિધમાં ગુણાંક સમાન છે. અને તેમાં સમાન છે.

તેથી, સમાન લાવવાનો નિયમ છે:

ઉદાહરણો:

સમાન આપો:

જવાબો:

2. (અને સમાન, કારણ કે, તેથી, આ શબ્દોમાં સમાન અક્ષરનો ભાગ છે).

2. ફેક્ટરાઇઝેશન

આ સામાન્ય રીતે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. તમે સમાન આપ્યા પછી, મોટાભાગે પરિણામી અભિવ્યક્તિને પરિબળ બનાવવાની જરૂર છે, એટલે કે, ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંકમાં આ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે: અપૂર્ણાંકને ઘટાડવામાં સક્ષમ થવા માટે, અંશ અને છેદને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવું આવશ્યક છે.

તમે "" વિષયમાં વિગતવાર અભિવ્યક્તિઓના ફેક્ટરિંગની પદ્ધતિઓમાંથી પસાર થયા છો, તેથી અહીં તમારે ફક્ત તમે જે શીખ્યા તે યાદ રાખવું પડશે. આ કરવા માટે, થોડા નક્કી કરો ઉદાહરણો(ફેક્ટરાઇઝ્ડ કરવાની જરૂર છે):

ઉકેલો:

3. અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.

સારું, અંશ અને છેદના ભાગને વટાવીને અને તેમને તમારા જીવનમાંથી બહાર ફેંકી દેવા કરતાં વધુ સુખદ શું હોઈ શકે?

તે ઘટાડાની સુંદરતા છે.

તે સરળ છે:

જો અંશ અને છેદ સમાન પરિબળો ધરાવે છે, તો તે ઘટાડી શકાય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકમાંથી દૂર કરી શકાય છે.

આ નિયમ અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મમાંથી અનુસરે છે:

એટલે કે, ઘટાડાની કામગીરીનો સાર એ છે કે આપણે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા (અથવા સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા) વિભાજીત કરીએ છીએ.

અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે તમારે જરૂર છે:

1) અંશ અને છેદ કારણભૂત

2) જો અંશ અને છેદ સમાવે છે સામાન્ય પરિબળો, તેઓ ઓળંગી શકાય છે.

સિદ્ધાંત, મને લાગે છે, સ્પષ્ટ છે?

સંક્ષિપ્ત કરતી વખતે હું તમારું ધ્યાન એક લાક્ષણિક ભૂલ તરફ દોરવા માંગુ છું. આ વિષય સરળ હોવા છતાં, ઘણા લોકો બધું ખોટું કરે છે, તે સમજતા નથી ઘટાડો- આનો અર્થ છે વિભાજનઅંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા છે.

જો અંશ અથવા છેદ રકમ હોય તો કોઈ સંક્ષેપ નથી.

ઉદાહરણ તરીકે: આપણે સરળ બનાવવાની જરૂર છે.

કેટલાક લોકો આવું કરે છે: જે તદ્દન ખોટું છે.

બીજું ઉદાહરણ: ઘટાડો.

"સૌથી હોશિયાર" આ કરશે: .

મને કહો કે અહીં શું ખોટું છે? એવું લાગે છે: - આ એક ગુણક છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઘટાડી શકાય છે.

પરંતુ ના: - આ અંશમાં માત્ર એક પદનો અવયવ છે, પરંતુ અંશ પોતે સંપૂર્ણ રીતે અવયવિત નથી.

અહીં બીજું ઉદાહરણ છે: .

આ અભિવ્યક્તિ ફેક્ટરાઇઝ્ડ છે, જેનો અર્થ છે કે તમે તેને ઘટાડી શકો છો, એટલે કે, અંશ અને છેદને આના દ્વારા અને પછી દ્વારા વિભાજીત કરો:

તમે તેને તરત જ વિભાજિત કરી શકો છો:

આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાની એક સરળ રીત યાદ રાખો:

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે છેલ્લે કરવામાં આવતી અંકગણિત કામગીરી એ "માસ્ટર" ક્રિયા છે. એટલે કે, જો તમે અક્ષરોને બદલે કેટલીક (કોઈપણ) સંખ્યાઓ બદલો છો અને અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જો છેલ્લી ક્રિયા ગુણાકાર છે, તો અમારી પાસે ઉત્પાદન છે (અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે). જો છેલ્લી ક્રિયા સરવાળો અથવા બાદબાકી હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે અભિવ્યક્તિ પરિબળિત નથી (અને તેથી ઘટાડી શકાતી નથી).

એકીકૃત કરવા માટે, થોડાક જાતે ઉકેલો ઉદાહરણો:

જવાબો:

1. હું આશા રાખું છું કે તમે તરત જ કાપવા માટે ઉતાવળ કરી નથી અને? આના જેવા એકમોને "ઘટાડવા" માટે તે હજી પણ પૂરતું ન હતું:

પ્રથમ પગલું ફેક્ટરાઇઝેશન હોવું જોઈએ:

4. અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી એ એક પરિચિત ક્રિયા છે: અમે એક સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ. ચાલો યાદ કરીએ:

જવાબો:

1. છેદ અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, એટલે કે, તેમાં સામાન્ય પરિબળો નથી. તેથી, આ સંખ્યાઓનો LCM તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે. આ સામાન્ય છેદ હશે:

2. અહીં સામાન્ય છેદ છે:

3. અહીં, સૌ પ્રથમ, અમે મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને પછી સામાન્ય યોજના અનુસાર:

જો અપૂર્ણાંકમાં અક્ષરો હોય તો તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

a) છેદમાં અક્ષરો હોતા નથી

અહીં બધું સામાન્ય આંકડાકીય અપૂર્ણાંકો જેવું જ છે: આપણે સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ:

હવે અંશમાં તમે સમાન આપી શકો છો, જો કોઈ હોય તો, અને તેમને અવયવી શકો છો:

તેને જાતે અજમાવી જુઓ:

b) છેદમાં અક્ષરો હોય છે

ચાલો અક્ષરો વિના સામાન્ય છેદ શોધવાના સિદ્ધાંતને યાદ કરીએ:

· સૌ પ્રથમ, અમે સામાન્ય પરિબળો નક્કી કરીએ છીએ;

· પછી આપણે એક સમયે બધા સામાન્ય પરિબળો લખીએ છીએ;

· અને તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.

છેદના સામાન્ય પરિબળોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે પ્રથમ તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ:

ચાલો સામાન્ય પરિબળો પર ભાર મૂકીએ:

હવે ચાલો એક સમયે એક સામાન્ય પરિબળ લખીએ અને તેમાં બધા બિન-સામાન્ય (અન્ડરલાઇન કરેલ નથી) પરિબળો ઉમેરીએ:

આ સામાન્ય છેદ છે.

ચાલો પત્રો પર પાછા જઈએ. છેદ બરાબર એ જ રીતે આપવામાં આવે છે:

· છેદનું પરિબળ;

સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો;

· બધા સામાન્ય પરિબળો એકવાર લખો;

· તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.

તેથી, ક્રમમાં:

1) છેદનું પરિબળ:

2) સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો:

3) બધા સામાન્ય અવયવોને એકવાર લખો અને તેમને અન્ય તમામ (બિન રેખાંકિત) પરિબળો વડે ગુણાકાર કરો:

તેથી અહીં એક સામાન્ય છેદ છે. પ્રથમ અપૂર્ણાંકને વડે ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, બીજો - વડે:

માર્ગ દ્વારા, ત્યાં એક યુક્તિ છે:

ઉદાહરણ તરીકે: .

આપણે છેદમાં સમાન પરિબળો જોઈએ છીએ, ફક્ત બધા જ અલગ-અલગ સૂચકાંકો સાથે. સામાન્ય છેદ હશે:

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી.

ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ:

અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ કેવી રીતે બનાવવું?

ચાલો અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતને યાદ કરીએ:

તે ક્યાંય એવું નથી કહેતું કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાંથી સમાન સંખ્યાને બાદ કરી શકાય (અથવા ઉમેરી શકાય). કારણ કે તે સાચું નથી!

તમારા માટે જુઓ: કોઈપણ અપૂર્ણાંક લો, ઉદાહરણ તરીકે, અને અંશ અને છેદમાં કેટલીક સંખ્યા ઉમેરો, ઉદાહરણ તરીકે, . તમે શું શીખ્યા?

તેથી, બીજો અવિશ્વસનીય નિયમ:

જ્યારે તમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડી દો, ત્યારે માત્ર ગુણાકારની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરો!

પરંતુ તમારે શું મેળવવા માટે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે?

તેથી વડે ગુણાકાર કરો. અને વડે ગુણાકાર કરો:

અમે એવા અભિવ્યક્તિઓ કહીશું જેનું પરિબળ "પ્રાથમિક પરિબળો" કરી શકાતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, - આ એક પ્રાથમિક પરિબળ છે. - સમાન. પરંતુ ના: તે પરિબળ બની શકે છે.

અભિવ્યક્તિ વિશે શું? શું તે પ્રાથમિક છે?

ના, કારણ કે તે પરિબળ બની શકે છે:

(તમે પહેલેથી "" વિષયમાં ફેક્ટરાઇઝેશન વિશે વાંચ્યું છે).

તેથી, પ્રાથમિક પરિબળો કે જેમાં તમે અક્ષરો સાથે અભિવ્યક્તિનું વિઘટન કરો છો તે સરળ પરિબળોના એનાલોગ છે જેમાં તમે સંખ્યાઓનું વિઘટન કરો છો. અને અમે તેમની સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીશું.

આપણે જોઈએ છીએ કે બંને છેદનો ગુણક છે. તે ડિગ્રી સુધી સામાન્ય સંપ્રદાય પર જશે (શા માટે યાદ રાખો?).

પરિબળ પ્રાથમિક છે, અને તેમની પાસે સામાન્ય પરિબળ નથી, જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને ફક્ત તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવો પડશે:

બીજું ઉદાહરણ:

ઉકેલ:

તમે ગભરાટમાં આ છેદનો ગુણાકાર કરો તે પહેલાં, તમારે તેમને કેવી રીતે પરિબળ બનાવવું તે વિશે વિચારવાની જરૂર છે? તેઓ બંને રજૂ કરે છે:

સરસ! પછી:

બીજું ઉદાહરણ:

ઉકેલ:

હંમેશની જેમ, ચાલો છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. પ્રથમ છેદમાં આપણે તેને ફક્ત કૌંસની બહાર મૂકીએ છીએ; બીજામાં - ચોરસનો તફાવત:

એવું લાગે છે કે ત્યાં કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી. પરંતુ જો તમે નજીકથી જુઓ, તો તે સમાન છે... અને તે સાચું છે:

તો ચાલો લખીએ:

એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું: કૌંસની અંદર આપણે શરતોની અદલાબદલી કરી, અને તે જ સમયે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ ગયું. નોંધ લો, તમારે આ વારંવાર કરવું પડશે.

હવે ચાલો તેને સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવીએ:

સમજાયું? ચાલો હવે તેને તપાસીએ.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

જવાબો:

અહીં આપણે એક વધુ વસ્તુ યાદ રાખવાની જરૂર છે - સમઘનનો તફાવત:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાં "સરવાળાનો વર્ગ" સૂત્ર નથી! સરવાળોનો વર્ગ આના જેવો દેખાશે: .

A એ સરવાળોનો કહેવાતો અપૂર્ણ વર્ગ છે: તેમાંનો બીજો શબ્દ પ્રથમ અને છેલ્લો ગુણાંક છે, અને તેમના ડબલ ગુણાંકનો નહીં. સરવાળોનો આંશિક ચોરસ એ ક્યુબ્સના તફાવતના વિસ્તરણના પરિબળોમાંનું એક છે:

જો ત્યાં પહેલેથી જ ત્રણ અપૂર્ણાંક હોય તો શું કરવું?

હા, એ જ વાત! સૌ પ્રથમ, ચાલો ખાતરી કરીએ કે છેદમાં પરિબળોની મહત્તમ સંખ્યા સમાન છે:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જો તમે એક કૌંસની અંદરના ચિહ્નો બદલો છો, તો અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. જ્યારે આપણે બીજા કૌંસમાં ચિહ્નો બદલીએ છીએ, ત્યારે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન ફરીથી વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. પરિણામે, તે (અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન) બદલાયું નથી.

અમે સંપૂર્ણ પ્રથમ છેદને સામાન્ય છેદમાં લખીએ છીએ, અને પછી તેમાં એવા બધા પરિબળો ઉમેરીએ છીએ જે હજી સુધી લખાયા નથી, બીજામાંથી અને પછી ત્રીજામાંથી (અને તેથી વધુ, જો ત્યાં વધુ અપૂર્ણાંક હોય તો). એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું છે:

હમ્મ... અપૂર્ણાંક સાથે શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે. પણ બેનું શું?

તે સરળ છે: તમે અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઉમેરવું તે જાણો છો, બરાબર? તેથી, આપણે બેને અપૂર્ણાંક બનાવવાની જરૂર છે! ચાલો યાદ રાખીએ: અપૂર્ણાંક એ ભાગાકારની ક્રિયા છે (અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જો તમે ભૂલી ગયા હોવ તો). અને સંખ્યાને વડે ભાગવા સિવાય બીજું કંઈ સરળ નથી. આ કિસ્સામાં, સંખ્યા પોતે બદલાશે નહીં, પરંતુ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવાશે:

તમને જે જોઈએ છે તે જ!

5. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.

સારું, સૌથી મુશ્કેલ ભાગ હવે સમાપ્ત થઈ ગયો છે. અને આપણી આગળ સૌથી સરળ છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી મહત્વપૂર્ણ:

પ્રક્રિયા

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા શું છે? આ અભિવ્યક્તિના અર્થની ગણતરી કરીને યાદ રાખો:

શું તમે ગણતરી કરી?

તે કામ કરવું જોઈએ.

તેથી, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું.

પ્રથમ પગલું એ ડિગ્રીની ગણતરી કરવાનું છે.

બીજું ગુણાકાર અને ભાગાકાર છે. જો ત્યાં એક જ સમયે અનેક ગુણાકાર અને વિભાગો હોય, તો તે કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.

અને અંતે, અમે સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ છીએ. ફરીથી, કોઈપણ ક્રમમાં.

પરંતુ: કૌંસમાં અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન બદલામાં કરવામાં આવે છે!

જો ઘણા કૌંસ એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો આપણે પહેલા દરેક કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી તેમને ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરીએ છીએ.

જો કૌંસની અંદર વધુ કૌંસ હોય તો શું? સારું, ચાલો વિચારીએ: કૌંસની અંદર કેટલીક અભિવ્યક્તિ લખેલી છે. અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે પ્રથમ શું કરવું જોઈએ? તે સાચું છે, કૌંસની ગણતરી કરો. સારું, અમે તેને શોધી કાઢ્યું: પહેલા આપણે આંતરિક કૌંસની ગણતરી કરીએ છીએ, પછી બાકીનું બધું.

તેથી, ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ માટેની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે (હાલની ક્રિયા લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે, એટલે કે, જે ક્રિયા હું અત્યારે કરી રહ્યો છું):

ઠીક છે, તે બધું સરળ છે.

પરંતુ આ અક્ષરો સાથેની અભિવ્યક્તિ સમાન નથી?

ના, તે જ છે! ફક્ત અંકગણિત કામગીરીને બદલે, તમારે બીજગણિત કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ ક્રિયાઓ: સમાન લાવવું, અપૂર્ણાંક ઉમેરવું, અપૂર્ણાંક ઘટાડવું, વગેરે. માત્ર એટલો જ તફાવત ફેક્ટરિંગ બહુપદીની ક્રિયા હશે (અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે આપણે ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ). મોટેભાગે, ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે, તમારે I નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે અથવા સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવાની જરૂર છે.

સામાન્ય રીતે અમારો ધ્યેય અભિવ્યક્તિને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ.

1) પ્રથમ, અમે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ. ત્યાં આપણી પાસે અપૂર્ણાંકનો તફાવત છે, અને અમારો ધ્યેય તેને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે. તેથી, અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ અને ઉમેરીએ છીએ:

આ અભિવ્યક્તિને વધુ સરળ બનાવવી અશક્ય છે અહીં તમામ પરિબળો પ્રાથમિક છે (શું તમને હજુ પણ યાદ છે કે આનો અર્થ શું છે?).

2) અમને મળે છે:

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર: શું સરળ હોઈ શકે છે.

3) હવે તમે ટૂંકી કરી શકો છો:

બસ, બસ. કંઈ જટિલ નથી, બરાબર?

બીજું ઉદાહરણ:

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

પ્રથમ, તેને જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, અને તે પછી જ ઉકેલ જુઓ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરીએ. પ્રથમ, ચાલો કૌંસમાં અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ, તેથી બે અપૂર્ણાંકને બદલે આપણને એક મળે છે. પછી આપણે અપૂર્ણાંકનું વિભાજન કરીશું. સારું, ચાલો છેલ્લા અપૂર્ણાંક સાથે પરિણામ ઉમેરીએ. હું પગલાઓને યોજનાકીય રીતે નંબર આપીશ:

હવે હું તમને પ્રક્રિયા બતાવીશ, વર્તમાન ક્રિયાને લાલ રંગમાં ટિન્ટ કરીને:

અંતે, હું તમને બે ઉપયોગી ટીપ્સ આપીશ:

1. જો ત્યાં સમાન હોય, તો તેઓ તરત જ લાવવા જોઈએ. આપણા દેશમાં જે પણ સમયે સમાન મુદ્દાઓ ઉદભવે છે, તેને તાત્કાલિક લાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

2. આ જ અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે લાગુ પડે છે: ઘટાડવાની તક દેખાય કે તરત જ તેનો લાભ લેવો જોઈએ. અપવાદ એ અપૂર્ણાંકો માટે છે જે તમે ઉમેરો અથવા બાદ કરો છો: જો તેઓ હવે સમાન છેદ ધરાવે છે, તો પછી ઘટાડો પછી માટે છોડી દેવો જોઈએ.

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે અહીં કેટલાક કાર્યો છે:

અને શરૂઆતમાં શું વચન આપવામાં આવ્યું હતું:

ઉકેલો (સંક્ષિપ્ત):

જો તમે ઓછામાં ઓછા પ્રથમ ત્રણ ઉદાહરણોનો સામનો કર્યો હોય, તો પછી તમે આ વિષયમાં નિપુણતા મેળવી લીધી હોવાનું માની લો.

હવે શીખવા પર!

રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ. સારાંશ અને મૂળભૂત સૂત્રો

મૂળભૂત સરળીકરણ કામગીરી:

• સમાન લાવવું: સમાન શબ્દો ઉમેરવા (ઘટાડવા) માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવા અને અક્ષરનો ભાગ સોંપવો પડશે.
• અવયવીકરણ:સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું, તેને લાગુ કરવું વગેરે.
• અપૂર્ણાંક ઘટાડવો: અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે, જે અપૂર્ણાંકના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતું નથી.
  1) અંશ અને છેદ કારણભૂત
  2) જો અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવો હોય, તો તેને વટાવી શકાય છે.

  મહત્વપૂર્ણ: માત્ર ગુણક ઘટાડી શકાય છે!

• અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી:
  ;
• અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર:
  ;

આ લેખમાં આપણે જોઈશું બીજગણિત અપૂર્ણાંક સાથે મૂળભૂત કામગીરી:

• અપૂર્ણાંક ઘટાડવા
• અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
• વિભાજન અપૂર્ણાંક

સાથે શરૂઆત કરીએ બીજગણિત અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડો.

લાગશે અલ્ગોરિધમસ્પષ્ટ

થી બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકો ઘટાડે છે, જરૂર છે

1. અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અવયવ કરો.

2. સમાન પરિબળોમાં ઘટાડો.

જો કે, શાળાના બાળકો ઘણીવાર પરિબળોને નહીં, પરંતુ શરતોને "ઘટાડવાની" ભૂલ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્યાં એમેચ્યોર છે જેઓ અપૂર્ણાંકને "ઘટાડે છે" અને પરિણામે મેળવે છે, જે, અલબત્ત, સાચું નથી.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

1. અપૂર્ણાંક ઘટાડો:

1. ચાલો સરવાળાના વર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંશનું અવયવીકરણ કરીએ અને વર્ગોના તફાવતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેદ

2. અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરો

2. અપૂર્ણાંક ઘટાડો:

1. ચાલો અંશનું અવયવીકરણ કરીએ. અંશમાં ચાર પદો હોવાથી, અમે જૂથીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

2. ચાલો છેદનું અવયવીકરણ કરીએ. અમે જૂથીકરણનો પણ ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

3. ચાલો આપણે મેળવેલ અપૂર્ણાંકને લખીએ અને સમાન પરિબળોને ઘટાડીએ:

બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર.

બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરતી વખતે, આપણે અંશને અંશ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને છેદને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ.

મહત્વપૂર્ણ!અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવા માટે ઉતાવળ કરવાની જરૂર નથી. આપણે અંશમાં અપૂર્ણાંકના અંશનો ગુણાંક અને છેદમાં છેદનો ગુણાંક લખ્યા પછી, આપણે દરેક અવયવને અવયવિત કરવાની અને અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર છે.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

3. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

1. ચાલો અપૂર્ણાંકનો ગુણાંક લખીએ: અંશમાં અંશનું ઉત્પાદન, અને છેદમાં છેદનું ઉત્પાદન:

2. ચાલો દરેક કૌંસને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ:

હવે આપણે સમાન પરિબળોને ઘટાડવાની જરૂર છે. નોંધ કરો કે અભિવ્યક્તિઓ અને માત્ર ચિહ્નમાં અલગ પડે છે: અને પ્રથમ અભિવ્યક્તિને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાના પરિણામે આપણને -1 મળે છે.

તેથી,

અમે નીચેના નિયમ અનુસાર બીજગણિત અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરીએ છીએ:

એટલે કે અપૂર્ણાંક દ્વારા ભાગાકાર કરવા માટે, તમારે "ઊંધી" એક વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે ભાગાકાર અપૂર્ણાંક ગુણાકારમાં નીચે આવે છે, અને ગુણાકાર આખરે અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે નીચે આવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

4. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

આ લેખ બીજગણિત અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરવાનો વિષય ચાલુ રાખે છે: બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા જેવી ક્રિયાને ધ્યાનમાં લો. ચાલો શબ્દ પોતે જ વ્યાખ્યાયિત કરીએ, ઘટાડો નિયમ ઘડીએ અને વ્યવહારુ ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરીએ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનો અર્થ

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો વિશેની સામગ્રીમાં, અમે તેના ઘટાડાને જોયો. અમે અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને તેના અંશ અને છેદને સામાન્ય અવયવ દ્વારા વિભાજિત કરવા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે.

બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવો એ એક સમાન કામગીરી છે.

વ્યાખ્યા 1

બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડવોસામાન્ય અવયવ દ્વારા તેના અંશ અને છેદનું વિભાજન છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય અપૂર્ણાંક (સામાન્ય છેદ માત્ર એક સંખ્યા હોઈ શકે છે) ના ઘટાડાથી વિપરીત, બીજગણિત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સામાન્ય પરિબળ બહુપદી હોઈ શકે છે, ખાસ કરીને, એકવિધ અથવા સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે, બીજગણિત અપૂર્ણાંક 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 નંબર 3 દ્વારા ઘટાડી શકાય છે, પરિણામે: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 આપણે ચલ x દ્વારા સમાન અપૂર્ણાંકને ઘટાડી શકીએ છીએ, અને આ આપણને 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 અભિવ્યક્તિ આપશે. આપેલ અપૂર્ણાંકને મોનોમિયલ દ્વારા ઘટાડવાનું પણ શક્ય છે 3 એક્સઅથવા કોઈપણ બહુપદી x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y અથવા 3 x 2 + 6 x y.

બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો અંતિમ ધ્યેય એ સરળ સ્વરૂપનો અપૂર્ણાંક છે, શ્રેષ્ઠ રીતે અફર અપૂર્ણાંક.

શું બધા બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડોને પાત્ર છે?

ફરીથી, સામાન્ય અપૂર્ણાંકો પરની સામગ્રીમાંથી, આપણે જાણીએ છીએ કે ત્યાં ઘટાડી શકાય તેવા અને અફર અપૂર્ણાંક છે. અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંક એવા અપૂર્ણાંકો છે કે જેમાં 1 સિવાયના સામાન્ય અંશ અને છેદના પરિબળો નથી.

તે બીજગણિત અપૂર્ણાંક સાથે સમાન છે: તેઓ અંશ અને છેદમાં સામાન્ય પરિબળો હોઈ શકે છે, અથવા તેઓ ન પણ હોઈ શકે. સામાન્ય પરિબળોની હાજરી તમને ઘટાડા દ્વારા મૂળ અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવા દે છે. જ્યારે કોઈ સામાન્ય પરિબળો ન હોય, ત્યારે ઘટાડો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપેલ અપૂર્ણાંકને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવું અશક્ય છે.

સામાન્ય કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંકના પ્રકારને જોતાં તે ઘટાડી શકાય છે કે કેમ તે સમજવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. અલબત્ત, કેટલાક કિસ્સાઓમાં અંશ અને છેદ વચ્ચે સામાન્ય પરિબળની હાજરી સ્પષ્ટ છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજગણિત અપૂર્ણાંક 3 x 2 3 y માં તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સામાન્ય અવયવ નંબર 3 છે.

અપૂર્ણાંકમાં - x · y 5 · x · y · z 3 આપણે તરત જ સમજીએ છીએ કે તેને x, અથવા y, અથવા x · y દ્વારા ઘટાડી શકાય છે. અને તેમ છતાં, ઘણી વાર બીજગણિત અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો છે, જ્યારે અંશ અને છેદનું સામાન્ય પરિબળ જોવાનું એટલું સરળ નથી, અને વધુ વખત, તે ફક્ત ગેરહાજર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે અપૂર્ણાંક x 3 - 1 x 2 - 1 ને x - 1 દ્વારા ઘટાડી શકીએ છીએ, જ્યારે ઉલ્લેખિત સામાન્ય પરિબળ એન્ટ્રીમાં હાજર નથી. પરંતુ અપૂર્ણાંક x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ઘટાડી શકાતો નથી, કારણ કે અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવ નથી.

આમ, બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકની ઘટાડાપાત્રતા નક્કી કરવાનો પ્રશ્ન એટલો સરળ નથી, અને આપેલ સ્વરૂપના અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવું તે ઘટાડી શકાય તેવું છે કે કેમ તે શોધવાનો પ્રયાસ કરવા કરતાં ઘણી વાર સરળ બને છે. આ કિસ્સામાં, આવા પરિવર્તનો થાય છે જે ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં અંશ અને છેદના સામાન્ય અવયવને નિર્ધારિત કરવાનું અથવા અપૂર્ણાંકની અપૂર્ણતા વિશે કોઈ નિષ્કર્ષ દોરવાનું શક્ય બનાવે છે. અમે લેખના આગળના ફકરામાં આ મુદ્દાની વિગતવાર તપાસ કરીશું.

બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનો નિયમ

બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનો નિયમબે ક્રમિક ક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે:

• અંશ અને છેદના સામાન્ય પરિબળો શોધવા;
• જો કોઈ મળી આવે, તો અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની ક્રિયા સીધી હાથ ધરવામાં આવે છે.

સામાન્ય છેદ શોધવાની સૌથી અનુકૂળ પદ્ધતિ એ આપેલ બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં હાજર બહુપદીઓનો પરિબળ છે. આ તમને સામાન્ય પરિબળોની હાજરી અથવા ગેરહાજરી તરત જ સ્પષ્ટપણે જોવાની મંજૂરી આપે છે.

બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની ખૂબ જ ક્રિયા બીજગણિત અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત પર આધારિત છે, જે અવ્યાખ્યાયિત સમાનતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જ્યાં a, b, c કેટલાક બહુપદી છે અને b અને c બિન-શૂન્ય છે. પ્રથમ પગલું એ અપૂર્ણાંકને a · c b · c સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનું છે, જેમાં આપણે તરત જ સામાન્ય પરિબળ c નોંધીએ છીએ. બીજું પગલું એ ઘટાડો કરવા માટે છે, એટલે કે. a b ફોર્મના અપૂર્ણાંકમાં સંક્રમણ.

લાક્ષણિક ઉદાહરણો

કેટલીક સ્પષ્ટતા હોવા છતાં, જ્યારે બીજગણિત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ સમાન હોય ત્યારે ચાલો આપણે વિશિષ્ટ કેસને સ્પષ્ટ કરીએ. સમાન અપૂર્ણાંક આ અપૂર્ણાંકના ચલોના સમગ્ર ODZ પર સમાન રીતે 1 સમાન છે:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

સામાન્ય અપૂર્ણાંક એ બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો એક વિશિષ્ટ કેસ હોવાથી, ચાલો આપણે યાદ કરીએ કે તેઓ કેવી રીતે ઘટાડવામાં આવે છે. અંશ અને છેદમાં લખેલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત થાય છે, પછી સામાન્ય અવયવો રદ થાય છે (જો કોઈ હોય તો).

ઉદાહરણ તરીકે, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

સરળ સમાન પરિબળોના ઉત્પાદનને શક્તિઓ તરીકે લખી શકાય છે, અને અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની પ્રક્રિયામાં, સમાન પાયા સાથે વિભાજન શક્તિઓની મિલકતનો ઉપયોગ કરો. પછી ઉપરોક્ત ઉકેલ હશે:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(અંશ અને છેદ એક સામાન્ય અવયવ દ્વારા ભાગ્યા 2 2 3). અથવા સ્પષ્ટતા માટે, ગુણાકાર અને ભાગાકારના ગુણધર્મોના આધારે, અમે ઉકેલને નીચેનું સ્વરૂપ આપીએ છીએ:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

સાદ્રશ્ય દ્વારા, બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો ઘટાડો હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાં અંશ અને છેદ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે મોનોમિયલ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 1

બીજગણિત અપૂર્ણાંક આપેલ છે - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. તેને ઘટાડવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

આપેલ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સરળ પરિબળો અને ચલોના ઉત્પાદન તરીકે લખવાનું શક્ય છે, અને પછી ઘટાડો કરો:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

જો કે, વધુ તર્કસંગત રીત એ છે કે ઉકેલને શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિ તરીકે લખવો:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

જવાબ:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

જ્યારે બીજગણિત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં અપૂર્ણાંક સંખ્યાત્મક ગુણાંક હોય છે, ત્યારે આગળની કાર્યવાહીની બે સંભવિત રીતો છે: કાં તો આ અપૂર્ણાંક ગુણાંકને અલગથી વિભાજીત કરો, અથવા પ્રથમ અમુક કુદરતી સંખ્યા દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરીને અપૂર્ણાંક ગુણાંકમાંથી છુટકારો મેળવો. છેલ્લું પરિવર્તન બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતને કારણે હાથ ધરવામાં આવે છે (તમે તેના વિશે "બીજગણિત અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં ઘટાડીને" લેખમાં વાંચી શકો છો).

ઉદાહરણ 2

આપેલ અપૂર્ણાંક 2 5 x 0, 3 x 3 છે. તેને ઘટાડવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

આ રીતે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનું શક્ય છે:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

ચાલો સમસ્યાને અલગ રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, પ્રથમ અપૂર્ણાંક ગુણાંકમાંથી છૂટકારો મેળવ્યો - અંશ અને છેદને આ સહગુણાંકોના છેદના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરો, એટલે કે. LCM (5, 10) = 10 પર. પછી આપણને મળે છે:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

જવાબ: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

જ્યારે આપણે સામાન્ય બીજગણિત અપૂર્ણાંકોને ઘટાડીએ છીએ, જેમાં અંશ અને છેદ કાં તો મોનોમિયલ અથવા બહુપદી હોઈ શકે છે, ત્યાં એક સમસ્યા આવી શકે છે જ્યાં સામાન્ય પરિબળ હંમેશા તરત જ દેખાતું નથી. અથવા વધુમાં, તે ફક્ત અસ્તિત્વમાં નથી. પછી, સામાન્ય અવયવ નક્કી કરવા અથવા તેની ગેરહાજરીની હકીકત રેકોર્ડ કરવા માટે, બીજગણિત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અવયવિત કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 આપેલ છે. તેને ઘટાડવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

ચાલો અંશ અને છેદમાં બહુપદીઓનો પરિબળ કરીએ. ચાલો તેને કૌંસની બહાર મૂકીએ:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

આપણે જોઈએ છીએ કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

તે સ્પષ્ટપણે જોવામાં આવે છે કે સામાન્ય પરિબળ દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનું શક્ય છે b 2 (a + 7). ચાલો ઘટાડો કરીએ:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

ચાલો સમાનતાની સાંકળ તરીકે સમજૂતી વિના ટૂંકા ઉકેલ લખીએ:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

જવાબ: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

એવું બને છે કે સામાન્ય પરિબળો સંખ્યાત્મક ગુણાંક દ્વારા છુપાયેલા છે. પછી, જ્યારે અપૂર્ણાંકો ઘટાડતા હોય, ત્યારે કૌંસની બહાર અંશ અને છેદની ઉચ્ચ શક્તિઓ પર સંખ્યાત્મક પરિબળો મૂકવાનું શ્રેષ્ઠ છે.

ઉદાહરણ 4

બીજગણિત અપૂર્ણાંક આપેલ છે 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . જો શક્ય હોય તો તેને ઘટાડવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

પ્રથમ નજરમાં, અંશ અને છેદમાં સામાન્ય છેદ નથી. જો કે, ચાલો આપેલ અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો અંશમાં પરિબળ x કાઢીએ:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

હવે તમે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ અને x 2 y ને કારણે છેદમાં અભિવ્યક્તિ વચ્ચે થોડી સમાનતા જોઈ શકો છો. . ચાલો આ બહુપદીઓની ઉચ્ચ શક્તિઓના સંખ્યાત્મક ગુણાંકને બહાર કાઢીએ:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

હવે સામાન્ય પરિબળ દૃશ્યમાન બને છે, અમે ઘટાડો કરીએ છીએ:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

જવાબ: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

ચાલો આપણે ભારપૂર્વક જણાવીએ કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઘટાડવાનું કૌશલ્ય બહુપદીને પરિબળ કરવાની ક્ષમતા પર આધારિત છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો