અનંત દશાંશની તુલના કેવી રીતે કરવી. પાઠ "દશાંશની તુલના કરવી"

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

• દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા માટેના નિયમ અને તેને લાગુ કરવાની ક્ષમતા માટે શરતો બનાવો;
• સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ, ગોળાકાર દશાંશ તરીકે લખવાનું પુનરાવર્તન કરો;
• તાર્કિક વિચારસરણી, સામાન્યીકરણ કરવાની ક્ષમતા, સંશોધન કૌશલ્યો, ભાષણનો વિકાસ કરો.

પાઠ પ્રગતિ

મિત્રો, ચાલો યાદ કરીએ કે અમે અગાઉના પાઠમાં તમારી સાથે શું કર્યું?

જવાબ:દશાંશ અપૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ કર્યો, સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ તરીકે અને તેનાથી વિપરીત, ગોળાકાર દશાંશ લખ્યા.

તમે આજે શું કરવા માંગો છો?

(વિદ્યાર્થીઓ જવાબ આપે છે.)

પરંતુ તમે થોડીવારમાં શોધી શકશો કે અમે વર્ગમાં શું કરીશું. તમારી નોટબુક ખોલો અને તારીખ લખો. એક વિદ્યાર્થી બોર્ડમાં જશે અને બોર્ડની પાછળથી કામ કરશે. હું તમને એવા કાર્યો ઓફર કરીશ જે તમે મૌખિક રીતે પૂર્ણ કરો. તમારા જવાબો તમારી નોટબુકમાં અર્ધવિરામથી અલગ કરેલી લાઇન પર લખો. બ્લેકબોર્ડ પર એક વિદ્યાર્થી કૉલમમાં લખે છે.

હું બોર્ડ પર અગાઉથી લખેલા કાર્યો વાંચું છું:

ચાલો તપાસીએ. કોની પાસે બીજા જવાબો છે? નિયમો યાદ રાખો.

પ્રાપ્ત: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

એક પેટર્ન સ્થાપિત કરો અને બીજી 2 સંખ્યાઓ માટે પરિણામી શ્રેણી ચાલુ રાખો. ચાલો તપાસીએ.

ટ્રાન્સક્રિપ્ટ લો અને દરેક નંબરની નીચે (બોર્ડ પર જવાબ આપનાર વ્યક્તિ નંબરની બાજુમાં એક પત્ર મૂકે છે) અનુરૂપ પત્ર મૂકો. શબ્દ વાંચો.

સમજૂતી:

તો, આપણે વર્ગમાં શું કરીશું?

જવાબ:સરખામણી

સરખામણી કરીને! ઠીક છે, ઉદાહરણ તરીકે, હવે હું મારા હાથ, 2 પાઠયપુસ્તકો, 3 શાસકોની સરખામણી કરવાનું શરૂ કરીશ. તમે શું સરખામણી કરવા માંગો છો?

જવાબ:દશાંશ અપૂર્ણાંક.

આપણે પાઠનો કયો વિષય લખીશું?

હું બોર્ડ પર પાઠનો વિષય લખું છું, અને વિદ્યાર્થીઓ તેને તેમની નોટબુકમાં લખે છે: "દશાંશની તુલના કરવી."

વ્યાયામ:સંખ્યાઓની તુલના કરો (બોર્ડ પર લખાયેલ)

પ્રથમ આપણે ડાબી બાજુ ખોલીએ છીએ. સમગ્ર ભાગો અલગ છે. અમે વિવિધ પૂર્ણાંક ભાગો સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા વિશે નિષ્કર્ષ દોરીએ છીએ. જમણી બાજુ ખોલો. સંપૂર્ણ ભાગો સમાન સંખ્યામાં છે. કેવી રીતે સરખામણી કરવી?

ઑફર:દશાંશને અપૂર્ણાંક તરીકે લખો અને સરખામણી કરો.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી લખો. જો તમે દરેક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો છો અને 2 અપૂર્ણાંકની તુલના કરો છો, તો તે ઘણો સમય લેશે. કદાચ આપણે સરખામણીના નિયમ સાથે આવી શકીએ? (વિદ્યાર્થીઓ સૂચવે છે.) મેં દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાનો નિયમ લખ્યો છે, જે લેખક સૂચવે છે. ચાલો સરખામણી કરીએ.

કાગળના ટુકડા પર 2 નિયમો મુદ્રિત છે:

1. જો દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગો અલગ હોય, તો મોટા સંપૂર્ણ ભાગ સાથેનો અપૂર્ણાંક વધારે છે.
2. જો દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગો સમાન હોય, તો અપૂર્ણાંક જેનું પ્રથમ મેળ ન ખાતું દશાંશ સ્થાન મોટું હોય તે મોટો છે.

તમે અને મેં એક શોધ કરી છે. અને આ શોધ એ દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાનો નિયમ છે. તે પાઠ્યપુસ્તકના લેખક દ્વારા પ્રસ્તાવિત નિયમ સાથે સુસંગત છે.

મેં નોંધ્યું છે કે નિયમો કહે છે કે 2 માંથી કયો અપૂર્ણાંક મોટો છે. શું તમે મને કહી શકશો કે 2 દશાંશ અપૂર્ણાંકમાંથી કયો નાનો છે?

પૃષ્ઠ 172 પર નોટબુક નંબર 785(1, 2) માં પૂર્ણ કરો. કાર્ય બોર્ડ પર લખેલું છે. વિદ્યાર્થીઓ ટિપ્પણી કરે છે અને શિક્ષક સંકેતો આપે છે.

વ્યાયામ:સરખામણી

3.4208 અને 3.4028

તો આજે આપણે શું કરવાનું શીખ્યા? ચાલો આપણી જાતને તપાસીએ. કાર્બન પેપર વડે કાગળના ટુકડા પર કામ કરો.

વિદ્યાર્થીઓ >, નો ઉપયોગ કરીને દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરે છે<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

સ્વતંત્ર કાર્ય.

(ચેક - બોર્ડની પાછળના જવાબો.)

સરખામણી કરો

148.05 અને 14.805

6.44806 અને 6.44863

35.601 અને 35.6010

તે કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ કાર્ય મેળવે છે (બોર્ડની પાછળથી કરે છે) નંબર 786(1, 2):

પેટર્ન શોધો અને અનુક્રમમાં આગળની સંખ્યા લખો. કયા ક્રમમાં સંખ્યાઓ ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે અને તે ઉતરતા ક્રમમાં કઈ છે?

જવાબ:

1. 0.1; 0.02; 0.003; 0.0004; 0.00005; (0.000006) – ઘટી રહ્યું છે
2. 0.1; 0.11; 0.111; 0.1111; 0.11111; (0.111111) - વધે છે.

છેલ્લા વિદ્યાર્થીએ કાર્ય સબમિટ કર્યા પછી, તેને તપાસો.

વિદ્યાર્થીઓ તેમના જવાબોની તુલના કરે છે.

જેમણે બધું બરાબર કર્યું છે તેઓ પોતાને “5” માર્ક આપશે, જેમણે 1-2 ભૂલો કરી છે – “4”, 3 ભૂલો – “3”. કઈ સરખામણીમાં ભૂલો થઈ, કયા નિયમ પર તે શોધો.

તમારું હોમવર્ક લખો: નંબર 813, નંબર 814 (ક્લોઝ 4, પૃષ્ઠ 171). ટિપ્પણી. જો તમારી પાસે સમય હોય, તો નંબર 786(1, 3), નંબર 793(a) પૂર્ણ કરો.

પાઠ સારાંશ.

1. તમે લોકો વર્ગમાં શું કરવાનું શીખ્યા?
2. તમને તે ગમ્યું કે નહીં?
3. મુશ્કેલીઓ શું હતી?

શીટ્સ લો અને તેને ભરો, સામગ્રીના તમારા એસિમિલેશનની ડિગ્રી સૂચવે છે:

• સંપૂર્ણ રીતે નિપુણ, હું પ્રદર્શન કરી શકું છું;
• મેં તેમાં સંપૂર્ણ નિપુણતા મેળવી છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ કરવો મુશ્કેલ છે;
• આંશિક રીતે mastered;
• શીખ્યા નથી.

પાઠ માટે આભાર.

આ વિષય દશાંશ અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવા માટેની સામાન્ય યોજના અને મર્યાદિત અને અનંત અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવાના સિદ્ધાંતના વિગતવાર વિશ્લેષણ બંનેને ધ્યાનમાં લેશે. અમે લાક્ષણિક સમસ્યાઓ હલ કરીને સૈદ્ધાંતિક ભાગને મજબૂત કરીશું. આપણે કુદરતી અથવા મિશ્ર સંખ્યાઓ અને સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલનાના ઉદાહરણો પણ જોઈશું.

ચાલો એક સ્પષ્ટતા કરીએ: સિદ્ધાંતમાં, માત્ર હકારાત્મક દશાંશ અપૂર્ણાંકોની સરખામણી નીચે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી માટે સામાન્ય સિદ્ધાંત

દરેક મર્યાદિત દશાંશ અને અનંત સામયિક દશાંશ માટે, તેમને અનુરૂપ અમુક સામાન્ય અપૂર્ણાંકો હોય છે. પરિણામે, મર્યાદિત અને અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકોની તુલના અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી તરીકે કરી શકાય છે. વાસ્તવમાં, આ વિધાન દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવા માટેનો સામાન્ય સિદ્ધાંત છે.

સામાન્ય સિદ્ધાંતના આધારે, દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાના નિયમો ઘડવામાં આવે છે, જેનું પાલન કરીને તુલનાત્મક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય નથી.

જ્યારે દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંકની કુદરતી સંખ્યાઓ અથવા મિશ્ર સંખ્યાઓ, સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે ત્યારે એવા કિસ્સાઓ વિશે પણ એવું જ કહી શકાય - આપેલ સંખ્યાઓ તેમના અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે બદલવી આવશ્યક છે.

જો આપણે અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, તો તે સામાન્ય રીતે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે. વિચારણા માટે, તુલનાત્મક અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના આવા સંખ્યાબંધ ચિહ્નો લેવામાં આવે છે, જે સરખામણીનું પરિણામ મેળવવાનું શક્ય બનાવશે.

સમાન અને અસમાન દશાંશ

સમાન દશાંશ- આ બે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે જેના અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સમાન છે. અન્યથા દશાંશ છે અસમાન.

આ વ્યાખ્યાના આધારે, નીચેના વિધાનને યોગ્ય ઠેરવવું સરળ છે: જો તમે સહી કરો છો અથવા, તેનાથી વિપરીત, આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંતે કેટલાક અંકો 0 કાઢી નાખો છો, તો તમને તેના બરાબર દશાંશ અપૂર્ણાંક મળશે. ઉદાહરણ તરીકે: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = …. અથવા: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. અનિવાર્યપણે, જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકના અંતે શૂન્ય ઉમેરવા અથવા છોડવાનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 10 વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવો. ચાલો આપણે અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મમાં શું કહેવામાં આવ્યું છે તે ઉમેરીએ (અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન પ્રાકૃતિક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરીને, આપણે મૂળ એક સમાન અપૂર્ણાંક મેળવીએ છીએ) અને અમારી પાસે ઉપરોક્ત વિધાનનો પુરાવો છે.

ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.7 સામાન્ય અપૂર્ણાંક 7 10 ને અનુરૂપ છે. જમણી બાજુએ શૂન્ય ઉમેરીને, આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંક 0, 70 મેળવીએ છીએ, જે સામાન્ય અપૂર્ણાંક 70 100, 7 70 100: 10 ને અનુરૂપ છે. . એટલે કે: 0.7 = 0.70. અને ઊલટું: દશાંશ અપૂર્ણાંક 0, 70 માં જમણી બાજુના શૂન્યને કાઢી નાખવાથી, આપણને અપૂર્ણાંક 0, 7 મળે છે - આમ, દશાંશ અપૂર્ણાંક 70 100 માંથી આપણે અપૂર્ણાંક 7 10 પર જઈએ છીએ, પરંતુ 7 10 = 70: 10 100 : 10 પછી: 0, 70 = 0 , 7.

હવે સમાન અને અસમાન અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના ખ્યાલની સામગ્રીને ધ્યાનમાં લો.

વ્યાખ્યા 2

સમાન અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકઅનંત સામયિક અપૂર્ણાંકો છે જેના અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સમાન હોય છે. જો તેમને અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સમાન ન હોય, તો સરખામણી માટે આપવામાં આવેલા સામયિક અપૂર્ણાંકો પણ અસમાન.

આ વ્યાખ્યા અમને નીચેના નિષ્કર્ષ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે:

જો આપેલ સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંકેતો એકરૂપ થાય છે, તો આવા અપૂર્ણાંક સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.21 (5423) અને 0.21 (5423) સમાન છે;

જો આપેલ દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંકમાં સમયગાળો સમાન સ્થાનથી શરૂ થાય છે, તો પ્રથમ અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો 0 છે, અને બીજો - 9; અંક પહેલાના સમયગાળા 0 નું મૂલ્ય 9 પહેલાના અંકના મૂલ્ય કરતાં એક મોટું છે, તો પછી આવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક અપૂર્ણાંક 91, 3 (0) અને 91, 2 (9), તેમજ અપૂર્ણાંકો: 135, (0) અને 134, (9) સમાન છે;

અન્ય કોઈપણ બે સામયિક અપૂર્ણાંક સમાન નથી. ઉદાહરણ તરીકે: 8, 0 (3) અને 6, (32); 0 , (42) અને 0 , (131), વગેરે.

તે સમાન અને અસમાન અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકોને ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે. આવા અપૂર્ણાંકો અતાર્કિક સંખ્યાઓ છે અને તેને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતા નથી. પરિણામે, અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકોની સરખામણી સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણીમાં ઓછી થતી નથી.

વ્યાખ્યા 3

સમાન અનંત બિન-સામયિક દશાંશ- આ બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક છે, જેની એન્ટ્રીઓ સંપૂર્ણપણે એકરૂપ છે.

તાર્કિક પ્રશ્ન હશે: જો આવા અપૂર્ણાંકોના "સમાપ્ત" રેકોર્ડને જોવું અશક્ય હોય તો રેકોર્ડ્સની તુલના કેવી રીતે કરવી? અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરતી વખતે, તમારે સરખામણી માટે ઉલ્લેખિત અપૂર્ણાંકોના માત્ર અમુક મર્યાદિત ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને આ તમને નિષ્કર્ષ દોરવા દે. તે. અનિવાર્યપણે, અનંત બિન-સામયિક દશાંશની તુલના કરવી એ મર્યાદિત દશાંશની તુલના છે.

આ અભિગમ માત્ર પ્રશ્નમાં રહેલા અંક સુધી અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકોની સમાનતાનો દાવો કરવાનું શક્ય બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 6, 73451... અને 6, 73451... નજીકના સો હજારમા ભાગના સમાન છે, કારણ કે અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક 6, 73451 અને 6, 7345 સમાન છે. અપૂર્ણાંક 20, 47... અને 20, 47... નજીકના સોમા ભાગના સમાન છે, કારણ કે અપૂર્ણાંક 20, 47 અને 20, 47 અને તેથી વધુ સમાન છે.

અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકોની અસમાનતા ખાસ કરીને સંકેતોમાં સ્પષ્ટ તફાવતો સાથે સ્થાપિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 6, 4135... અને 6, 4176... અથવા 4, 9824... અને 7, 1132... અને તેથી વધુ અસમાન છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાના નિયમો. ઉદાહરણો ઉકેલવા

જો તે સ્થાપિત થયેલ છે કે બે દશાંશ અપૂર્ણાંક અસમાન છે, તો સામાન્ય રીતે તે નક્કી કરવું પણ જરૂરી છે કે કયું મોટું છે અને કયું ઓછું છે. ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લઈએ, જે ઉપરોક્ત સમસ્યાને હલ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

ઘણી વાર સરખામણી માટે આપેલા દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગોની તુલના કરવા માટે તે પૂરતું છે.

વ્યાખ્યા 4

દશાંશ અપૂર્ણાંક જેનો સંપૂર્ણ ભાગ મોટો છે તે મોટો છે. નાનો અપૂર્ણાંક એ છે જેનો સંપૂર્ણ ભાગ નાનો છે.

આ નિયમ મર્યાદિત અને અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક બંનેને લાગુ પડે છે.

ઉદાહરણ 1

દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવી જરૂરી છે: 7, 54 અને 3, 97823....

ઉકેલ

તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંક સમાન નથી. તેમના સમગ્ર ભાગો અનુક્રમે સમાન છે: 7 અને 3. કારણ કે 7 > 3, પછી 7, 54 > 3, 97823….

જવાબ: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

એવા કિસ્સામાં જ્યારે સરખામણી માટે આપેલા અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગો સમાન હોય, તો સમસ્યાનું સમાધાન અપૂર્ણાંક ભાગોની સરખામણીમાં ઘટાડવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક ભાગોની સરખામણી થોડી-થોડી વાર કરવામાં આવે છે - દસમા સ્થાનથી નીચલા ભાગો સુધી.

જ્યારે આપણે સીમિત દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાની જરૂર હોય ત્યારે ચાલો પ્રથમ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 2

અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.65 અને 0.6411 ની તુલના કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

દેખીતી રીતે, આપેલ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગો સમાન છે (0 = 0). ચાલો અપૂર્ણાંક ભાગોની તુલના કરીએ: દસમા સ્થાને મૂલ્યો સમાન છે (6 = 6), પરંતુ સોમા સ્થાને અપૂર્ણાંક 0.65 નું મૂલ્ય અપૂર્ણાંક 0.6411 (5 > 4) માં સોમા સ્થાનના મૂલ્ય કરતાં વધુ છે. . આમ, 0.65 > 0.6411.

જવાબ: 0 , 65 > 0 , 6411 .

દશાંશ સ્થાનોની વિવિધ સંખ્યાઓ સાથે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરતી કેટલીક સમસ્યાઓમાં, ઓછા દશાંશ સ્થાનો સાથે અપૂર્ણાંકની જમણી બાજુએ શૂન્યની આવશ્યક સંખ્યા ઉમેરવી જરૂરી છે. સરખામણી શરૂ કરતા પહેલા જ આપેલ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને આ રીતે બરાબર કરવી અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ 3

અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક 67, 0205 અને 67, 020542 ની સરખામણી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

આ અપૂર્ણાંક દેખીતી રીતે સમાન નથી, કારણ કે તેમના રેકોર્ડ અલગ છે. વધુમાં, તેમના પૂર્ણાંક ભાગો સમાન છે: 67 = 67. આપેલ અપૂર્ણાંકના અપૂર્ણાંક ભાગોની બીટવાઇઝ સરખામણી શરૂ કરીએ તે પહેલાં, ચાલો ઓછા દશાંશ સ્થાનોવાળા અપૂર્ણાંકમાં જમણી બાજુએ શૂન્ય ઉમેરીને દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને સમાન કરીએ. પછી આપણને સરખામણી માટે અપૂર્ણાંક મળે છે: 67, 020500 અને 67, 020542. અમે બીટવાઇઝ સરખામણી કરીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે સો હજારમા ભાગની જગ્યાએ અપૂર્ણાંક 67.020542 નું મૂલ્ય અપૂર્ણાંક 67.020500 (4 > 0) માં અનુરૂપ મૂલ્ય કરતાં વધારે છે. આમ, 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

જવાબ: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

જો મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનંત સાથે સરખાવવો જરૂરી હોય, તો મર્યાદિત અપૂર્ણાંકને 0 ની અવધિ સાથે સમાન, અનંત અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પછી થોડીવાર સરખામણી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 4

મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક 6, 24 ની અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 6, 240012 સાથે સરખામણી કરવી જરૂરી છે ...

ઉકેલ

આપણે જોઈએ છીએ કે આપેલ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગો સમાન છે (6 = 6). દસમા અને સોમા સ્થાને, બંને અપૂર્ણાંકના મૂલ્યો પણ સમાન છે. નિષ્કર્ષ કાઢવામાં સમર્થ થવા માટે, અમે સરખામણી ચાલુ રાખીએ છીએ, મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકને 0 ના સમયગાળા સાથે સમાન અનંત અપૂર્ણાંક સાથે બદલીએ છીએ અને અમને મળે છે: 6, 240000 .... પાંચમા દશાંશ સ્થાને પહોંચ્યા પછી, આપણે તફાવત શોધીએ છીએ: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

જવાબ: 6, 24< 6 , 240012 … .

અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરતી વખતે, સ્થાન-દર-સ્થળ સરખામણીનો પણ ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે જ્યારે આપેલ અપૂર્ણાંકના અમુક સ્થાનના મૂલ્યો અલગ હોય ત્યારે સમાપ્ત થાય છે.

ઉદાહરણ 5

અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક 7, 41 (15) અને 7, 42172 ની સરખામણી કરવી જરૂરી છે....

ઉકેલ

આપેલ અપૂર્ણાંકોમાં સમાન પૂર્ણાંક ભાગો છે, દસમાના મૂલ્યો પણ સમાન છે, પરંતુ સોના સ્થાને આપણે તફાવત જોઈએ છીએ: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

જવાબ: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

ઉદાહરણ 6

અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક 4, (13) અને 4, (131) ની તુલના કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ:

સમાનતાઓ સ્પષ્ટ અને સાચી છે: 4, (13) = 4, 131313... અને 4, (133) = 4, 131131.... અમે પૂર્ણાંક ભાગો અને બીટવાઇઝ અપૂર્ણાંક ભાગોની તુલના કરીએ છીએ, અને ચોથા દશાંશ સ્થાને અમે વિસંગતતા રેકોર્ડ કરીએ છીએ: 3 > 1. પછી: 4, 131313... > 4, 131131..., અને 4, (13) > 4, (131).

જવાબ: 4 , (13) > 4 , (131) .

કુદરતી સંખ્યા સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાનું પરિણામ મેળવવા માટે, તમારે આપેલ અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગને આપેલ કુદરતી સંખ્યા સાથે સરખાવવાની જરૂર છે. તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે 0 અથવા 9 ની અવધિ સાથે સામયિક અપૂર્ણાંકો પ્રથમ તેમના સમાન મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા જોઈએ.

વ્યાખ્યા 5

જો આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકનો પૂર્ણાંક ભાગ આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા ઓછો હોય, તો આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંક નાનો હોય છે. જો આપેલ અપૂર્ણાંકનો પૂર્ણાંક ભાગ આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા મોટો અથવા તેની બરાબર હોય, તો અપૂર્ણાંક આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા મોટો છે.

ઉદાહરણ 7

કુદરતી સંખ્યા 8 અને દશાંશ અપૂર્ણાંક 9, 3142 ની સરખામણી કરવી જરૂરી છે....

ઉકેલ:

આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગ કરતા ઓછી છે (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

જવાબ: 8 < 9 , 3142 … .

ઉદાહરણ 8

કુદરતી સંખ્યા 5 અને દશાંશ અપૂર્ણાંક 5, 6 ની તુલના કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

આપેલ અપૂર્ણાંકનો પૂર્ણાંક ભાગ આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા જેટલો હોય છે, પછી ઉપરના નિયમ મુજબ, 5< 5 , 6 .

જવાબ: 5 < 5 , 6 .

ઉદાહરણ 9

કુદરતી સંખ્યા 4 અને સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 3, (9) ની તુલના કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો 9 છે, જેનો અર્થ છે કે સરખામણી કરતા પહેલા આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકને તેની સમાન મર્યાદિત અથવા કુદરતી સંખ્યા સાથે બદલવો જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં: 3, (9) = 4. આમ, મૂળ ડેટા સમાન છે.

જવાબ: 4 = 3, (9).

અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યા સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા માટે, તમારે:

દશાંશ તરીકે અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યા લખો, અને પછી દશાંશ અથવા તુલના કરો
- દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખો (અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકના અપવાદ સાથે), અને પછી આપેલ સામાન્ય અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યા સાથે સરખામણી કરો.

ઉદાહરણ 10

દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.34 અને સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1 3 ની તુલના કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો સમસ્યાને બે રીતે હલ કરીએ.

1. ચાલો આપેલ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1 3 ને સમાન સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખીએ: 0, 33333.... પછી દશાંશ અપૂર્ણાંક 0, 34 અને 0, 33333 ની સરખામણી કરવી જરૂરી બની જાય છે.... આપણને મળે છે: 0, 34 > 0, 33333 ..., જેનો અર્થ છે 0, 34 > 1 3.
2. ચાલો આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંક 0, 34 ને તેના સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ. એટલે કે: 0, 34 = 34,100 = 17,50. ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને વિવિધ છેદ સાથે સરખાવીએ અને મેળવો: 17 50 > 1 3. આમ, 0, 34 > 1 3.

જવાબ: 0 , 34 > 1 3 .

ઉદાહરણ 11

અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 4, 5693 ... અને મિશ્ર સંખ્યાની તુલના કરવી જરૂરી છે 4 3 8 .

ઉકેલ

અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યા તરીકે રજૂ કરી શકાતો નથી, પરંતુ મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે, અને બદલામાં તેને સમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખો. પછી: 4 3 8 = 35 8 અને

તે.: 4 3 8 = 35 8 = 4.375. ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરીએ: 4, 5693 ... અને 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) અને મેળવો: 4, 5693 ... > 4 3 8.

જવાબ: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

અપૂર્ણાંક એ એક સંપૂર્ણના એક અથવા વધુ સમાન ભાગો છે. અપૂર્ણાંક બે કુદરતી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે જે રેખા દ્વારા અલગ પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1/2, 14/4, ¾, 5/9, વગેરે.

લીટીની ઉપર લખેલી સંખ્યાને અપૂર્ણાંકનો અંશ કહેવાય છે અને લીટીની નીચે લખેલ સંખ્યાને અપૂર્ણાંકનો છેદ કહેવાય છે.

અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ માટે જેનો છેદ 10, 100, 1000, વગેરે છે. અમે છેદ વિના નંબર લખવા સંમત થયા. આ કરવા માટે, પ્રથમ નંબરનો પૂર્ણાંક ભાગ લખો, અલ્પવિરામ મૂકો અને આ સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક ભાગ લખો, એટલે કે, અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ.

ઉદાહરણ તરીકે, 6 * (7/10) ને બદલે તેઓ 6.7 લખે છે.

આ સંકેતને સામાન્ય રીતે દશાંશ અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.

બે દશાંશની તુલના કેવી રીતે કરવી

ચાલો બે દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કેવી રીતે કરવી તે શોધીએ. આ કરવા માટે, ચાલો પહેલા એક સહાયક હકીકત ચકાસીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ સેગમેન્ટની લંબાઈ 7 સેન્ટિમીટર અથવા 70 મીમી છે. તેમજ 7 cm = 7/10 dm અથવા દશાંશ સંકેતમાં 0.7 dm.

બીજી બાજુ, 1 mm = 1/100 dm, પછી 70 mm = 70/100 dm અથવા દશાંશ સંકેતમાં 0.70 dm.

આમ, આપણને તે 0.7 = 0.70 મળે છે.

આમાંથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે જો આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંતે શૂન્ય ઉમેરીએ અથવા કાઢી નાખીએ, તો આપણને આપેલ અપૂર્ણાંક સમાન અપૂર્ણાંક મળશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં.

સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક

ચાલો કહીએ કે આપણે બે દશાંશ અપૂર્ણાંક 4.345 અને 4.36 ની તુલના કરવાની જરૂર છે.

પ્રથમ તમારે જમણી બાજુએ શૂન્ય ઉમેરીને અથવા કાઢી નાખીને દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા બરાબર કરવાની જરૂર છે. પરિણામો 4.345 અને 4.360 હશે.

હવે તમારે તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખવાની જરૂર છે:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

પરિણામી અપૂર્ણાંકોમાં સમાન છેદ હોય છે. અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાના નિયમ મુજબ, આપણે જાણીએ છીએ કે આ કિસ્સામાં મોટા અંશ સાથેનો અપૂર્ણાંક મોટો છે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક 4.36 એ અપૂર્ણાંક 4.345 કરતાં મોટો છે.

આમ, બે દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવા માટે, તમારે પહેલા જમણી બાજુએ તેમાંના એકમાં શૂન્ય ઉમેરીને તેમાંના દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને બરાબર કરવી જોઈએ, અને પછી, અલ્પવિરામને કાઢી નાખીને, પરિણામી કુદરતી સંખ્યાઓની તુલના કરો.

દશાંશ અપૂર્ણાંકને સંખ્યા રેખા પર બિંદુઓ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને તેથી, કેટલીકવાર એવા કિસ્સામાં જ્યારે એક સંખ્યા બીજા કરતા મોટી હોય, ત્યારે તેઓ કહે છે કે આ સંખ્યા બીજાની જમણી બાજુએ સ્થિત છે, અથવા જો તે ઓછી છે, તો ડાબી બાજુએ છે.

જો બે દશાંશ અપૂર્ણાંક સમાન હોય, તો તે સંખ્યા રેખા પર સમાન બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

આ લેખમાં આપણે વિષય પર ધ્યાન આપીશું " દશાંશની તુલના" પ્રથમ, ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાના સામાન્ય સિદ્ધાંતની ચર્ચા કરીએ. આ પછી, આપણે શોધીશું કે કયા દશાંશ અપૂર્ણાંક સમાન છે અને કયા અસમાન છે. આગળ, આપણે તે નક્કી કરવાનું શીખીશું કે કયો દશાંશ અપૂર્ણાંક મોટો છે અને કયો ઓછો છે. આ કરવા માટે, અમે મર્યાદિત, અનંત સામયિક અને અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવાના નિયમોનો અભ્યાસ કરીશું. અમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે ઉદાહરણો સાથે સમગ્ર સિદ્ધાંત પ્રદાન કરીશું. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો કુદરતી સંખ્યાઓ, સામાન્ય અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી જોઈએ.

ચાલો તરત જ કહીએ કે અહીં આપણે માત્ર હકારાત્મક દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા વિશે વાત કરીશું (ધન અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ જુઓ). બાકીના કેસોની ચર્ચા તર્કસંગત સંખ્યાઓની તુલનાના લેખોમાં કરવામાં આવી છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સરખામણી.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી માટે સામાન્ય સિદ્ધાંત

સરખામણીના આ સિદ્ધાંતના આધારે, દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા માટેના નિયમો બનાવવામાં આવ્યા છે જે તુલનાત્મક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કર્યા વિના કરવાનું શક્ય બનાવે છે. અમે નીચેના ફકરાઓમાં આ નિયમો તેમજ તેમની અરજીના ઉદાહરણોની ચર્ચા કરીશું.

સમાન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકની કુદરતી સંખ્યાઓ, સામાન્ય અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ સાથે સરખામણી કરવા માટે થાય છે: તુલનાત્મક સંખ્યાઓ તેમના અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે પછી સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવામાં આવે છે.

અંગે અનંત બિન-સામયિક દશાંશની તુલના, પછી તે સામાન્ય રીતે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા માટે નીચે આવે છે. આ કરવા માટે, તુલનાત્મક અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના ચિહ્નોની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લો જે તમને સરખામણીનું પરિણામ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

સમાન અને અસમાન દશાંશ

પ્રથમ અમે પરિચય સમાન અને અસમાન દશાંશ અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાઓ.

વ્યાખ્યા.

બે અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે સમાન, જો તેમના અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સમાન હોય, અન્યથા આ દશાંશ અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે અસમાન.

આ વ્યાખ્યાના આધારે, નીચેના વિધાનને યોગ્ય ઠેરવવું સરળ છે: જો તમે આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંતે ઘણા અંકો 0 ઉમેરો અથવા કાઢી નાખો, તો તમને તેના બરાબર દશાંશ અપૂર્ણાંક મળશે. ઉદાહરણ તરીકે, 0.3=0.30=0.300=…, અને 140.000=140.00=140.0=140.

ખરેખર, જમણી બાજુના દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંતે શૂન્ય ઉમેરવા અથવા કાઢી નાખવું એ સંબંધિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 10 વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવાને અનુરૂપ છે. અને આપણે અપૂર્ણાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મને જાણીએ છીએ, જે જણાવે છે કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન કુદરતી સંખ્યા વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવાથી મૂળ એક સમાન અપૂર્ણાંક મળે છે. આ સાબિત કરે છે કે દશાંશના અપૂર્ણાંક ભાગમાં જમણી બાજુએ શૂન્ય ઉમેરવા અથવા કાઢી નાખવાથી મૂળ એક સમાન અપૂર્ણાંક મળે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.5 સામાન્ય અપૂર્ણાંક 5/10 ને અનુરૂપ છે, જમણી બાજુએ શૂન્ય ઉમેર્યા પછી, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.50 અનુલક્ષે છે, જે સામાન્ય અપૂર્ણાંક 50/100 ને અનુરૂપ છે, અને. આમ, 0.5=0.50. તેનાથી વિપરીત, જો દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.50 માં આપણે જમણી બાજુએ 0 કાઢી નાખીએ, તો આપણને અપૂર્ણાંક 0.5 મળે છે, તેથી સામાન્ય અપૂર્ણાંક 50/100 થી આપણે અપૂર્ણાંક 5/10 પર આવીએ છીએ, પરંતુ . તેથી, 0.50=0.5.

ચાલો આગળ વધીએ સમાન અને અસમાન અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકનું નિર્ધારણ.

વ્યાખ્યા.

બે અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક સમાન, જો અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સમાન હોય; જો તેમને અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સમાન ન હોય, તો તુલનાત્મક સામયિક અપૂર્ણાંકો પણ સમાન નથી.

આ વ્યાખ્યામાંથી ત્રણ તારણો આવે છે:

• જો સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંકેતો સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે, તો આવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક દશાંશ 0.34(2987) અને 0.34(2987) સમાન છે.
• જો તુલનાત્મક દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો એ જ સ્થાનથી શરૂ થાય છે, તો પ્રથમ અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો 0 છે, બીજામાં 9નો સમયગાળો છે અને 0 પહેલાના અંકનું મૂલ્ય અંકના મૂલ્ય કરતાં એક વધારે છે. પહેલાની અવધિ 9, પછી આવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક અપૂર્ણાંક 8,3(0) અને 8,2(9) સમાન છે, અને અપૂર્ણાંક 141,(0) અને 140,(9) પણ સમાન છે.
• અન્ય કોઈપણ બે સામયિક અપૂર્ણાંક સમાન નથી. અહીં અસમાન અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો છે: 9,0(4) અને 7,(21), 0,(12) અને 0,(121), 10,(0) અને 9,8(9).

તેની સાથે વ્યવહાર કરવાનું બાકી છે સમાન અને અસમાન અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક. જેમ કે જાણીતું છે, આવા દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતા નથી (આવા દશાંશ અપૂર્ણાંક અતાર્કિક સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે), તેથી અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી સામાન્ય અપૂર્ણાંકની સરખામણીમાં ઘટાડી શકાતી નથી.

વ્યાખ્યા.

બે અનંત બિન-સામયિક દશાંશ સમાન, જો તેમનો રેકોર્ડ સંપૂર્ણપણે મેળ ખાતો હોય.

પરંતુ ત્યાં એક ચેતવણી છે: અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકનો "સમાપ્ત" રેકોર્ડ જોવો અશક્ય છે, તેથી, તેમના રેકોર્ડ્સના સંપૂર્ણ સંયોગની ખાતરી કરવી અશક્ય છે. આ કેવી રીતે હોઈ શકે?

અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરતી વખતે, સરખામણી કરવામાં આવતા અપૂર્ણાંકના માત્ર મર્યાદિત ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જે જરૂરી તારણો કાઢવા માટે પરવાનગી આપે છે. આમ, અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

આ અભિગમ સાથે, આપણે ફક્ત પ્રશ્નમાં રહેલા અંક સુધીના અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકની સમાનતા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. ચાલો ઉદાહરણો આપીએ. અનંત બિન-સામયિક દશાંશ 5.45839... અને 5.45839... નજીકના સો હજારમા સમાન છે, કારણ કે મર્યાદિત દશાંશ 5.45839 અને 5.45839 સમાન છે; બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 19.54... અને 19.54810375... નજીકના સોમાના સમાન છે, કારણ કે તે અપૂર્ણાંક 19.54 અને 19.54 સમાન છે.

આ અભિગમ સાથે, અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકોની અસમાનતા તદ્દન નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અનંત બિન-સામયિક દશાંશ 5.6789... અને 5.67732... સમાન નથી, કારણ કે તેમના સંકેતોમાં તફાવત સ્પષ્ટ છે (સીમિત દશાંશ 5.6789 અને 5.6773 સમાન નથી). અનંત દશાંશ 6.49354... અને 7.53789... પણ સમાન નથી.

દશાંશ અપૂર્ણાંક, ઉદાહરણો, ઉકેલોની તુલના કરવા માટેના નિયમો

બે દશાંશ અપૂર્ણાંક અસમાન છે તે હકીકત સ્થાપિત કર્યા પછી, તમારે ઘણીવાર તે શોધવાની જરૂર છે કે આમાંથી કયો અપૂર્ણાંક મોટો છે અને કયો બીજા કરતા ઓછો છે. હવે આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાના નિયમો જોઈશું, જે આપણને પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવા દેશે.

ઘણા કિસ્સાઓમાં, જે દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવામાં આવી રહી છે તેના સંપૂર્ણ ભાગોની તુલના કરવા માટે તે પૂરતું છે. નીચેની વાત સાચી છે દશાંશની તુલના કરવાનો નિયમ: દશાંશ અપૂર્ણાંક જેટલો મોટો છે તે દશાંશ અપૂર્ણાંક છે જેનો આખો ભાગ મોટો છે, અને ઓછો તે દશાંશ અપૂર્ણાંક છે જેનો સંપૂર્ણ ભાગ ઓછો છે.

આ નિયમ મર્યાદિત અને અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક બંનેને લાગુ પડે છે. ચાલો ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

દશાંશ 9.43 અને 7.983023 ની સરખામણી કરો….

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, આ દશાંશ સમાન નથી. મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક 9.43 નો પૂર્ણાંક ભાગ 9 ની બરાબર છે, અને અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક 7.983023... નો પૂર્ણાંક ભાગ 7 ની બરાબર છે. 9>7 થી (કુદરતી સંખ્યાઓની સરખામણી જુઓ), પછી 9.43>7.983023.

જવાબ:

9,43>7,983023 .

ઉદાહરણ.

કયો દશાંશ અપૂર્ણાંક 49.43(14) અને 1045.45029... નાનો છે?

ઉકેલ.

સામયિક અપૂર્ણાંક 49.43(14) નો પૂર્ણાંક ભાગ અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 1045.45029 ના પૂર્ણાંક ભાગ કરતાં ઓછો છે..., તેથી, 49.43(14)<1 045,45029… .

જવાબ:

49,43(14) .

જો સરખામણી કરવામાં આવતા દશાંશ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગો સમાન હોય, તો તેમાંથી કયો મોટો અને કયો ઓછો છે તે શોધવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંક ભાગોની સરખામણી કરવી પડશે. દશાંશ અપૂર્ણાંકના અપૂર્ણાંક ભાગોની સરખામણી થોડી થોડી વારે કરવામાં આવે છે- દસમાની શ્રેણીથી નીચલા લોકો સુધી.

પ્રથમ, ચાલો બે સીમિત દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

અંતિમ દશાંશ 0.87 અને 0.8521 ની સરખામણી કરો.

ઉકેલ.

આ દશાંશ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગો સમાન છે (0=0), તેથી આપણે અપૂર્ણાંક ભાગોની સરખામણી કરવા આગળ વધીએ છીએ. દસમા સ્થાનના મૂલ્યો સમાન છે (8=8), અને અપૂર્ણાંકના સોમા સ્થાનનું મૂલ્ય 0.8521 (7>5) અપૂર્ણાંકના સોમા સ્થાનના મૂલ્ય કરતાં 0.87 વધારે છે. તેથી, 0.87>0.8521.

જવાબ:

0,87>0,8521 .

કેટલીકવાર, દશાંશ સ્થાનોની વિવિધ સંખ્યાઓ સાથે અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા માટે, ઓછા દશાંશ સ્થાનો સાથેના અપૂર્ણાંકને જમણી બાજુએ સંખ્યાબંધ શૂન્ય સાથે જોડવા જોઈએ. તેમાંથી એકની જમણી બાજુએ ચોક્કસ સંખ્યામાં શૂન્ય ઉમેરીને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાનું શરૂ કરતા પહેલા દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને બરાબર કરવી ખૂબ અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ.

અંતિમ દશાંશ 18.00405 અને 18.0040532 ની સરખામણી કરો.

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, આ અપૂર્ણાંક અસમાન છે, કારણ કે તેમના સંકેતો અલગ છે, પરંતુ તે જ સમયે તેઓ સમાન પૂર્ણાંક ભાગો (18 = 18) ધરાવે છે.

આ અપૂર્ણાંકોના અપૂર્ણાંક ભાગોની બીટવાઇઝ સરખામણી પહેલાં, આપણે દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને સમાન કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, આપણે અપૂર્ણાંક 18.00405 ના અંતે બે અંકો 0 ઉમેરીએ છીએ, અને આપણને સમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક 18.0040500 મળે છે.

18.0040500 અને 18.0040532 અપૂર્ણાંકના દશાંશ સ્થાનોના મૂલ્યો સો હજારમા ભાગ સુધી સમાન છે, અને અપૂર્ણાંક 18.0040500ના દશાંશ સ્થાનનું મૂલ્ય અપૂર્ણાંક 18.0040500 (18.0040500) ના અનુરૂપ સ્થાનના મૂલ્ય કરતાં ઓછું છે.<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

જવાબ:

18,00405<18,0040532 .

મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકની અનંત સાથે સરખામણી કરતી વખતે, મર્યાદિત અપૂર્ણાંકને 0 ની અવધિ સાથે સમાન અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે પછી અંક દ્વારા સરખામણી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.

મર્યાદિત દશાંશ 5.27 ની અનંત બિન-સામયિક દશાંશ 5.270013 સાથે સરખામણી કરો... .

ઉકેલ.

આ દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમગ્ર ભાગો સમાન છે. આ અપૂર્ણાંકના દસમા અને સોમા અંકોના મૂલ્યો સમાન છે, અને વધુ સરખામણી કરવા માટે, અમે 5.270000 ફોર્મના 0 ના સમયગાળા સાથે સમાન અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક સાથે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકને બદલીએ છીએ.... પાંચમા દશાંશ સ્થાન સુધી, દશાંશ સ્થાનો 5.270000... અને 5.270013... સમાન છે, અને પાંચમા દશાંશ સ્થાન પર આપણી પાસે 0 છે<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

જવાબ:

5,27<5,270013… .

અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી પણ સ્થળ પ્રમાણે કરવામાં આવે છે, અને જલદી સમાપ્ત થાય છે કારણ કે કેટલાક અંકોની કિંમતો અલગ હોય છે.

ઉદાહરણ.

અનંત દશાંશ 6.23(18) અને 6.25181815 ની સરખામણી કરો….

ઉકેલ.

આ અપૂર્ણાંકોના સમગ્ર ભાગો સમાન છે, અને દસમા સ્થાનની કિંમતો પણ સમાન છે. અને સામયિક અપૂર્ણાંક 6.23(18) ના સોમા અંકનું મૂલ્ય અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 6.25181815 ના સોમા અંક કરતા ઓછું છે..., તેથી, 6.23(18)<6,25181815… .

જવાબ:

6,23(18)<6,25181815… .

ઉદાહરણ.

અનંત સામયિક દશાંશ 3,(73) અને 3,(737)માંથી કયો મોટો છે?

ઉકેલ.

તે સ્પષ્ટ છે કે 3,(73)=3.73737373... અને 3,(737)=3.737737737... . ચોથા દશાંશ સ્થાને બીટવાઇઝ સરખામણી સમાપ્ત થાય છે, કારણ કે ત્યાં આપણી પાસે 3 છે<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

જવાબ:

3,(737) .

કુદરતી સંખ્યાઓ, અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ સાથે દશાંશની તુલના કરો.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાનું પરિણામ આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા સાથે આપેલ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગની તુલના કરીને મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, 0 અથવા 9 ની અવધિ સાથે સામયિક અપૂર્ણાંકને પહેલા તેમના સમાન મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકો સાથે બદલવું આવશ્યક છે.

નીચેની વાત સાચી છે દશાંશ અપૂર્ણાંક અને કુદરતી સંખ્યાઓની સરખામણી કરવા માટેનો નિયમ: જો દશાંશ અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા ઓછો હોય, તો સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંક આ કુદરતી સંખ્યા કરતા ઓછો હોય; જો અપૂર્ણાંકનો પૂર્ણાંક ભાગ આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા મોટો અથવા તેની બરાબર હોય, તો અપૂર્ણાંક આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા મોટો છે.

ચાલો આ સરખામણી નિયમના ઉપયોગના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા 7 ને દશાંશ અપૂર્ણાંક 8.8329 સાથે સરખાવો….

ઉકેલ.

આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગ કરતા ઓછી હોવાથી, આ સંખ્યા આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંક કરતા ઓછી છે.

જવાબ:

7<8,8329… .

ઉદાહરણ.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા 7 અને દશાંશ અપૂર્ણાંક 7.1 ની તુલના કરો.

આ પાઠમાં આપણે શીખીશું કે કેવી રીતે અપૂર્ણાંકની એકબીજા સાથે સરખામણી કરવી. આ એક ખૂબ જ ઉપયોગી કૌશલ્ય છે જે વધુ જટિલ સમસ્યાઓના સમગ્ર વર્ગને ઉકેલવા માટે જરૂરી છે.

પ્રથમ, ચાલો હું તમને અપૂર્ણાંકની સમાનતાની વ્યાખ્યા યાદ કરાવું:

અપૂર્ણાંક a /b અને c /d સમાન કહેવાય છે જો ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, ત્યારથી 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, ત્યારથી 3 18 = 2 27 = 54.

અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંક અસમાન છે, અને નીચેના નિવેદનોમાંથી એક તેમના માટે સાચું છે:

1. અપૂર્ણાંક a/b અપૂર્ણાંક c/d કરતાં મોટો છે;
2. અપૂર્ણાંક a/b અપૂર્ણાંક c/d કરતા ઓછો છે.

અપૂર્ણાંક a /b અપૂર્ણાંક c /d કરતાં મોટો હોવાનું કહેવાય છે જો a /b − c /d > 0 હોય.

અપૂર્ણાંક x /y એ અપૂર્ણાંક s /t કરતાં નાનો હોવાનું કહેવાય છે જો x /y − s /t હોય< 0.

હોદ્દો:

આમ, અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવાથી તેમને બાદબાકી કરવામાં આવે છે. પ્રશ્ન: "થી વધુ" (>) અને "ઓછું"<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. જેકડોનો ભડકાયેલો ભાગ હંમેશા મોટી સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે;
2. જેકડોનું તીક્ષ્ણ નાક હંમેશા ઓછી સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે.

ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં જ્યાં તમારે સંખ્યાઓની તુલના કરવાની જરૂર હોય, તેમની વચ્ચે "∨" ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે. આ તેની નાક નીચે ધરાવતું એક ડાઘ છે, જે સંકેત આપે છે: મોટી સંખ્યા હજુ સુધી નક્કી કરવામાં આવી નથી.

કાર્ય. સંખ્યાઓની સરખામણી કરો:

વ્યાખ્યાને અનુસરીને, અપૂર્ણાંકને એકબીજામાંથી બાદ કરો:

દરેક સરખામણીમાં, અમારે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની જરૂર હતી. ખાસ કરીને, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અને ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ શોધો. મેં જાણીજોઈને આ મુદ્દાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું નથી, પરંતુ જો કંઈક સ્પષ્ટ ન હોય, તો "અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી" પાઠ પર એક નજર નાખો - તે ખૂબ જ સરળ છે.

દશાંશની સરખામણી

દશાંશ અપૂર્ણાંકના કિસ્સામાં, બધું ખૂબ સરળ છે. અહીં કંઈપણ બાદબાકી કરવાની જરૂર નથી - ફક્ત અંકોની તુલના કરો. સંખ્યાનો નોંધપાત્ર ભાગ શું છે તે યાદ રાખવું એક સારો વિચાર છે. જેઓ ભૂલી ગયા છે, હું "દશાંશનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર" પાઠનું પુનરાવર્તન કરવાનું સૂચન કરું છું - આમાં પણ થોડી મિનિટો લાગશે.

ધન દશાંશ X ધન દશાંશ Y કરતા મોટો છે જો તેમાં દશાંશ સ્થાન હોય જેમ કે:

1. અપૂર્ણાંક X માં આ સ્થાનનો અંક અપૂર્ણાંક Y માં અનુરૂપ અંક કરતા મોટો છે;
2. અપૂર્ણાંક X અને Y માટે આનાથી ઊંચા બધા અંકો સમાન છે.

1. 12.25 > 12.16. પ્રથમ બે અંકો સમાન છે (12 = 12), અને ત્રીજો મોટો છે (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એક પછી એક દશાંશ સ્થાનોમાંથી પસાર થઈએ છીએ અને તફાવત શોધીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, મોટી સંખ્યા મોટા અપૂર્ણાંકને અનુલક્ષે છે.

જો કે, આ વ્યાખ્યાને સ્પષ્ટતાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ સ્થાનો કેવી રીતે લખવા અને તુલના કરવી? યાદ રાખો: દશાંશ સ્વરૂપમાં લખેલી કોઈપણ સંખ્યાની ડાબી બાજુએ શૂન્યની સંખ્યા ઉમેરી શકાય છે. અહીં થોડા વધુ ઉદાહરણો છે:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300.5 > 0.0025, કારણ કે 0.0025 = 0000.0025 - ડાબી બાજુએ ત્રણ શૂન્ય ઉમેરવામાં આવ્યા હતા. હવે તમે જોઈ શકો છો કે તફાવત પ્રથમ અંકથી શરૂ થાય છે: 2 > 0.

અલબત્ત, શૂન્ય સાથેના આપેલા ઉદાહરણોમાં સ્પષ્ટ ઓવરકિલ હતી, પરંતુ મુદ્દો બરાબર આ છે: ડાબી બાજુએ ખૂટતા બિટ્સ ભરો અને પછી સરખામણી કરો.

કાર્ય. અપૂર્ણાંકની તુલના કરો:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:

1. 0.029 > 0.007. પ્રથમ બે અંકો એકરૂપ થાય છે (00 = 00), પછી તફાવત શરૂ થાય છે (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. અહીં તમારે કાળજીપૂર્વક શૂન્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. બંને અપૂર્ણાંકમાં પ્રથમ 5 અંક શૂન્ય છે, પરંતુ પછી પ્રથમ અપૂર્ણાંકમાં 3 છે, અને બીજામાં - 0. દેખીતી રીતે, 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501. ચાલો બીજા અપૂર્ણાંકને 0000.99501 તરીકે ફરીથી લખીએ, ડાબી બાજુએ 3 શૂન્ય ઉમેરીએ. હવે બધું સ્પષ્ટ છે: 1 > 0 - તફાવત પ્રથમ અંકમાં જોવા મળે છે.

કમનસીબે, દશાંશ અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવા માટેની આપેલ યોજના સાર્વત્રિક નથી. આ પદ્ધતિ માત્ર સરખામણી કરી શકે છે હકારાત્મક સંખ્યાઓ. સામાન્ય કિસ્સામાં, ઓપરેટિંગ અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

1. હકારાત્મક અપૂર્ણાંક હંમેશા નકારાત્મક અપૂર્ણાંક કરતાં મોટો હોય છે;
2. ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને બે હકારાત્મક અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવામાં આવે છે;
3. બે ઋણ અપૂર્ણાંકની સરખામણી એ જ રીતે કરવામાં આવે છે, પરંતુ અંતે અસમાનતાનું ચિહ્ન ઊલટું થાય છે.

સારું, ખરાબ નથી? હવે ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણો જોઈએ - અને બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે.

કાર્ય. અપૂર્ણાંકની તુલના કરો:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0.192 > −0.39. અપૂર્ણાંક નકારાત્મક છે, 2જી અંક અલગ છે. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > −11.3. હકારાત્મક સંખ્યા હંમેશા નકારાત્મક સંખ્યા કરતા મોટી હોય છે;
4. 19.032 > 0.091. 00.091 ફોર્મમાં બીજા અપૂર્ણાંકને ફરીથી લખવા માટે તે પૂરતું છે કે તફાવત 1 લી અંકમાં પહેલેથી જ ઉદ્ભવે છે તે જોવા માટે;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. તફાવત પ્રથમ શ્રેણીમાં છે.