જટિલ રેડિકલને કેવી રીતે સરળ બનાવવું. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે વર્ગમૂળને ફેક્ટર કરવાની પ્રક્રિયા જટિલ અને અપ્રાપ્ય છે. પરંતુ તે સાચું નથી. આ લેખમાં, અમે તમને બતાવીશું કે કેવી રીતે વર્ગમૂળ અને પરિબળોનો સંપર્ક કરવો અને બે સાબિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વર્ગમૂળને સરળતા સાથે ઉકેલવા.

Yandex.RTB R-A-339285-1

રુટ ફેક્ટરિંગ

સૌપ્રથમ, ચાલો વર્ગમૂળ ફેક્ટરાઇઝેશન પ્રક્રિયાના હેતુને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. લક્ષ્ય- વર્ગમૂળને સરળ બનાવો અને તેને ગણતરી માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં લખો.

વ્યાખ્યા 1

વર્ગમૂળને અવયવિત કરવું એ બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓ શોધવાનું છે જેનો જ્યારે એકબીજાથી ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળની સમાન સંખ્યા મળશે. ઉદાહરણ તરીકે: 4x4 = 16.

જો તમે પરિબળો શોધી શકો છો, તો તમે સરળતાથી વર્ગમૂળ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકો છો અથવા તેને સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકો છો:

ઉદાહરણ 1

આમૂલ સંખ્યાને 2 વડે વિભાજીત કરો જો તે સમ હોય.

આમૂલ સંખ્યા હંમેશા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજિત થવી જોઈએ, કારણ કે કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા મૂલ્યને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ બનાવી શકાય છે. જો તમારી પાસે એક વિષમ સંખ્યા હોય, તો તેને 3 વડે ભાગવાનો પ્રયાસ કરો. 3 વડે વિભાજ્ય નથી? 5, 7, 9, વગેરે વડે ભાગવાનું ચાલુ રાખો.

બે સંખ્યાઓના ઉત્પાદનના મૂળ તરીકે અભિવ્યક્તિ લખો.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે આ રીતે 98 ને સરળ બનાવી શકો છો: = 98 ÷ 2 = 49. તે 2 × 49 = 98 ને અનુસરે છે, તેથી આપણે સમસ્યાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકીએ છીએ: 98 = (2 × 49).

જ્યાં સુધી બે સરખી સંખ્યાઓ અને અન્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન મૂળની નીચે રહે ત્યાં સુધી સંખ્યાઓનું વિઘટન કરવાનું ચાલુ રાખો.

ચાલો આપણું ઉદાહરણ લઈએ (2 × 49):

2 પહેલેથી જ મહત્તમ રીતે સરળ હોવાથી, 49 ને સરળ બનાવવું જરૂરી છે. અમે એક અવિભાજ્ય સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ જેને 49 વડે ભાગી શકાય. દેખીતી રીતે, ન તો 3 કે 5 યોગ્ય છે. તે 7: 49 ÷ 7 = 7 છોડે છે, તેથી 7 × 7 = 49.

અમે નીચેના સ્વરૂપમાં ઉદાહરણ લખીએ છીએ: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

વર્ગમૂળ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

કૌંસમાં આપણી પાસે 2 અને બે સરખા નંબરો (7) નું ઉત્પાદન હોવાથી, આપણે મૂળ ચિહ્નમાંથી 7 નંબર લઈ શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

આ ક્ષણે જ્યારે મૂળની નીચે બે સરખા નંબરો હોય, ત્યારે સંખ્યાઓને ફેક્ટર કરવાનું બંધ કરો. અલબત્ત, જો તમે બધી શક્યતાઓનો મહત્તમ ઉપયોગ કર્યો હોય.

યાદ રાખો: ત્યાં મૂળ છે જે ઘણી વખત સરળ કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, આપણે મૂળની નીચેથી જે સંખ્યાઓ કાઢીએ છીએ અને તેની સામે જે સંખ્યાઓ છે તેનો ગુણાકાર થાય છે.

ઉદાહરણ 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

પરંતુ 45 ને ફેક્ટરાઇઝ કરી શકાય છે અને રુટને ફરીથી સરળ બનાવી શકાય છે.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

જ્યારે રુટ ચિહ્ન હેઠળ બે સમાન સંખ્યાઓ મેળવવાનું અશક્ય છે, ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે આવા મૂળને સરળ બનાવી શકાતું નથી.

જો, આમૂલ અભિવ્યક્તિને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત કર્યા પછી, તમે બે સમાન સંખ્યાઓ મેળવવામાં અસમર્થ હતા, તો આવા મૂળને સરળ બનાવી શકાતું નથી.

ઉદાહરણ 4

70 = 35 × 2, તેથી 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, તેથી (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્રણેય પરિબળ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે જેનું અવયવીકરણ કરી શકાતું નથી. તેમની વચ્ચે કોઈ સમાન સંખ્યાઓ નથી, તેથી મૂળની નીચેથી પૂર્ણાંકને દૂર કરવું શક્ય નથી. સરળ બનાવો 70 તે પ્રતિબંધિત છે.

સંપૂર્ણ ચોરસ

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કેટલાક વર્ગોને યાદ રાખો.

સંખ્યાનો વર્ગ તેને પોતાનાથી ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે. જ્યારે વર્ગીકરણ. જો તમને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના દસ ચોરસ યાદ છે, તો આ મૂળને વધુ સરળ બનાવવા માટે તમારા જીવનને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે.

ઉદાહરણ 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

જો વર્ગમૂળના મૂળ ચિન્હ હેઠળ સંપૂર્ણ ચોરસ હોય, તો તે મૂળ ચિન્હને દૂર કરીને આ સંપૂર્ણ વર્ગના વર્ગમૂળને લખવા યોગ્ય છે.

મુશ્કેલ? ના:

ઉદાહરણ 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યાને સંપૂર્ણ ચોરસ અને બીજી સંખ્યાના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત કરવાનો પ્રયાસ કરો.

જો તમે જોશો કે આમૂલ અભિવ્યક્તિ સંપૂર્ણ ચોરસ અને અમુક સંખ્યાના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત થાય છે, તો પછી થોડા ઉદાહરણો યાદ રાખીને, તમે નોંધપાત્ર રીતે સમય અને ચેતા બચાવશો:

ઉદાહરણ 7

50 = (25 × 2) = 5 2. જો આમૂલ સંખ્યા 25, 50 અથવા 75 માં સમાપ્ત થાય છે, તો તમે હંમેશા તેને 25 અને અમુક સંખ્યાના ગુણાંકમાં પરિબળ કરી શકો છો.

1700 = (100 × 17) = 10 17. જો આમૂલ સંખ્યા 00 માં સમાપ્ત થાય છે, તો તમે હંમેશા તેને 100 અને અમુક સંખ્યાના ગુણાંકમાં પરિબળ કરી શકો છો.

72 = (9 × 8) = 3 8. જો રેડિકલ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 હોય, તો તમે તેને હંમેશા 9 અને અમુક સંખ્યાના ગુણાંકમાં પરિબળ કરી શકો છો.

કેટલાક સંપૂર્ણ ચોરસના ઉત્પાદનમાં આમૂલ સંખ્યાને વિઘટન કરવાનો પ્રયાસ કરો: તેમને મૂળ ચિહ્નની નીચેથી બહાર કાઢો અને ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

રુટ સૂત્રો. વર્ગમૂળના ગુણધર્મો.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

અગાઉના પાઠમાં આપણે વર્ગમૂળ શું છે તે શોધી કાઢ્યું. કયા અસ્તિત્વમાં છે તે શોધવાનો સમય છે મૂળ માટે સૂત્રોશું છે મૂળના ગુણધર્મો, અને આ બધા સાથે શું કરી શકાય છે.

મૂળના સૂત્રો, મૂળના ગુણધર્મો અને મૂળ સાથે કામ કરવાના નિયમો- આ અનિવાર્યપણે સમાન વસ્તુ છે. ચોરસ મૂળ માટે આશ્ચર્યજનક રીતે થોડા સૂત્રો છે. જે ચોક્કસપણે મને ખુશ કરે છે! અથવા તેના બદલે, તમે ઘણાં વિવિધ સૂત્રો લખી શકો છો, પરંતુ મૂળ સાથે વ્યવહારુ અને આત્મવિશ્વાસપૂર્ણ કાર્ય માટે, ફક્ત ત્રણ જ પૂરતા છે. બીજું બધું આ ત્રણમાંથી વહે છે. જોકે ઘણા લોકો ત્રણ મૂળ સૂત્રમાં મૂંઝવણ અનુભવે છે, હા...

ચાલો સૌથી સરળ સાથે શરૂ કરીએ. તે અહીં છે:

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

આમૂલ અભિવ્યક્તિ એ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ છે જે મૂળ (ચોરસ, ઘન અથવા ઉચ્ચ ક્રમ) ની નિશાની હેઠળ હોય છે. કેટલીકવાર વિવિધ અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ સમાન હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. આમૂલ અભિવ્યક્તિના સરળીકરણનો હેતુ તેને સંકેતના કેટલાક પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવાનો છે. જો બે અભિવ્યક્તિઓ કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે તે હજી પણ અલગ છે, તો તેમની કિંમતો સમાન નથી. ગણિતમાં, એવું માનવામાં આવે છે કે આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ લખવાનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ (તેમજ મૂળ સાથેના અભિવ્યક્તિઓ) નીચેના નિયમોને અનુરૂપ છે:

• જો શક્ય હોય તો, રુટ ચિહ્ન હેઠળના અપૂર્ણાંકથી છુટકારો મેળવો
• અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે અભિવ્યક્તિઓથી છુટકારો મેળવો
• જો શક્ય હોય તો, છેદમાં મૂળમાંથી છુટકારો મેળવો
• રુટ-બાય-રુટ ગુણાકારની કામગીરીથી છુટકારો મેળવો
• રુટ ચિહ્ન હેઠળ, તમારે ફક્ત તે જ શરતો છોડવાની જરૂર છે જેમાંથી પૂર્ણાંક રુટ કાઢવાનું અશક્ય છે.

આ નિયમો પરીક્ષણ કાર્યો પર લાગુ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે કોઈ સમસ્યા હલ કરી છે, પરંતુ પરિણામ આપેલા કોઈપણ જવાબો સાથે મેળ ખાતું નથી, તો પરિણામ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખો. ધ્યાનમાં રાખો કે પરીક્ષણ કાર્યોના જવાબો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે, તેથી જો તમે સમાન સ્વરૂપમાં પરિણામ લખો છો, તો તમે સરળતાથી સાચો જવાબ નક્કી કરી શકો છો. જો કોઈ સમસ્યાને "જવાબને સરળ બનાવવા" અથવા "આમૂલ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા"ની જરૂર હોય, તો પરિણામ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખવું જરૂરી છે. વધુમાં, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ સમીકરણોને હલ કરવાનું સરળ બનાવે છે, જો કે જો તમે પ્રામાણિક સંકેતને થોડા સમય માટે ભૂલી જાઓ તો કેટલાક સમીકરણો ઉકેલવા માટે સરળ છે.

પગલાં

સંપૂર્ણ ચોરસ અને સંપૂર્ણ સમઘનથી છુટકારો મેળવવો

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે અભિવ્યક્તિમાંથી છૂટકારો મેળવવો

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની અભિવ્યક્તિને આમૂલ અભિવ્યક્તિમાં રૂપાંતરિત કરો. અથવા, જો જરૂરી હોય તો, આમૂલ અભિવ્યક્તિને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિમાં રૂપાંતરિત કરો, પરંતુ સમાન સમીકરણમાં આવા અભિવ્યક્તિઓને ક્યારેય મિશ્રિત કરશો નહીં, ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવું: √5 + 5^(3/2). ચાલો કહીએ કે તમે મૂળ સાથે કામ કરવાનું નક્કી કરો છો; આપણે n ના વર્ગમૂળને √n તરીકે અને n ના ઘનમૂળને cube√n તરીકે દર્શાવીશું.

રુટ ચિહ્ન હેઠળ અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવવો

નોટેશનના પ્રામાણિક સ્વરૂપ અનુસાર, અપૂર્ણાંકના મૂળને પૂર્ણાંકોના મૂળના વિભાજન તરીકે દર્શાવવું આવશ્યક છે.

આમૂલ અભિવ્યક્તિ જુઓ.જો તે અપૂર્ણાંક છે, તો આગલા પગલા પર જાઓ.

નીચેની ઓળખ અનુસાર અપૂર્ણાંકના મૂળને બે મૂળના ગુણોત્તર સાથે બદલો:√(a/b) = √a/√b.

• આ ઓળખનો ઉપયોગ કરશો નહીં જો છેદ નકારાત્મક હોય અથવા તેમાં કોઈ ચલ શામેલ હોય જે નકારાત્મક હોઈ શકે. આ કિસ્સામાં, પ્રથમ અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવો.

1. સંપૂર્ણ ચોરસ (જો તમારી પાસે હોય તો) સરળ બનાવો.ઉદાહરણ તરીકે, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

ગુણાકારના મૂળની કામગીરીને દૂર કરવી

પરફેક્ટ ચોરસ હોય તેવા પરિબળોથી છુટકારો મેળવવો

આમૂલ સંખ્યાને અવયવિત કરો.અવયવ એવી કેટલીક સંખ્યાઓ છે જેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ સંખ્યા ઉત્પન્ન થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 5 અને 4 એ સંખ્યા 20 ના બે અવયવ છે. જો કોઈ પૂર્ણાંક રુટ રેડિકલ નંબરમાંથી કાઢી શકાતો નથી, તો સંખ્યાને તેના સંભવિત પરિબળોમાં પરિબળ કરો અને તેમની વચ્ચે એક સંપૂર્ણ વર્ગ શોધો.

• ઉદાહરણ તરીકે, 45 ના તમામ અવયવો લખો: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 એ 45 (9 x 5 = 45) નો અવયવ છે અને સંપૂર્ણ વર્ગ (9 = 3^2) છે.

1. ગુણક લો, જે મૂળ ચિહ્નની બહાર એક સંપૂર્ણ ચોરસ છે. 9 એ સંપૂર્ણ ચોરસ છે કારણ કે 3 x 3 = 9. મૂળ ચિન્હ હેઠળના 9માંથી છૂટકારો મેળવો અને મૂળ ચિન્હ પહેલાં 3 લખો; મૂળ ચિન્હ હેઠળ 5 હશે. જો તમે મૂળ ચિન્હ હેઠળ નંબર 3 મૂકો છો, તો તે પોતે જ અને સંખ્યા 5 વડે ગુણાકાર થશે, એટલે કે, 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. આમ, 3 √ 5 એ સંકેતનું સરળ સ્વરૂપ છે √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. ચલ વડે આમૂલ અભિવ્યક્તિમાં સંપૂર્ણ ચોરસ શોધો.યાદ રાખો: √(a^2) = |a|. આવી અભિવ્યક્તિને "a" માં સરળ બનાવી શકાય છે, પરંતુ જો ચલ હકારાત્મક મૂલ્યો લે તો જ. √(a^3) √a * √(a^2) માં વિઘટિત થઈ શકે છે, કારણ કે જ્યારે સમાન ચલોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે (a * a^2 = a^3).

   • આમ, a^3 અભિવ્યક્તિમાં, સંપૂર્ણ ચોરસ a^2 છે.

3. ચલને બહાર કાઢો કે જે મૂળ ચિહ્નની બહાર એક સંપૂર્ણ ચોરસ છે.રુટ ચિહ્ન હેઠળ a^2 થી છુટકારો મેળવો અને રુટ ચિહ્નની પહેલા "a" લખો. આમ, √(a^3) = a√a.

   સમાન શબ્દો આપો અને કોઈપણ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવો.

છેદમાં મૂળમાંથી છુટકારો મેળવવો (છેદનું તર્કસંગતકરણ)

1. પ્રામાણિક સ્વરૂપ અનુસાર, છેદમાં, જો શક્ય હોય તો, માત્ર પૂર્ણાંકો (અથવા જો ચલ હાજર હોય તો બહુપદી)નો સમાવેશ કરવો જોઈએ.

   • જો છેદ આમૂલ મોનોમિયલ હોય, જેમ કે [અંશ]/√5, તો અંશ અને છેદને તે મૂળ વડે ગુણાકાર કરો: ([અંશ] * √5)/(√5 * √5) = ([અંશ] * √5 )/5.
     • ઘનમૂળ અથવા મોટા મૂળ માટે, છેદને તર્કસંગત બનાવવા માટે અંશ અને છેદને મૂળ વડે મૂળથી યોગ્ય શક્તિથી ગુણાકાર કરો. જો, ઉદાહરણ તરીકે, છેદ એ √5 નો ઘન છે, તો અંશ અને છેદને √(5^2) ના ઘન વડે ગુણાકાર કરો.
   • જો છેદ એ વર્ગમૂળનો સરવાળો અથવા તફાવત છે, જેમ કે √2 + √6, તો અંશ અને છેદને સંયોજક વડે ગુણાકાર કરો, એટલે કે તેની શરતો વચ્ચેની વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથેની અભિવ્યક્તિ. ઉદાહરણ તરીકે: [અંશ]/(√2 + √6) = ([અંશ] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). પછી છેદને તર્કસંગત બનાવવા માટે વર્ગોના સૂત્ર ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) નો ઉપયોગ કરો: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાનો તફાવત 5 + √3 ફોર્મની અભિવ્યક્તિ પર પણ લાગુ કરી શકાય છે કારણ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક એ બીજા પૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ છે. ઉદાહરણ તરીકે: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • આ પદ્ધતિ વર્ગમૂળના સરવાળા પર લાગુ કરી શકાય છે જેમ કે √5 - √6 + √7. જો તમે આ અભિવ્યક્તિને (√5 - √6) + √7 ફોર્મમાં જૂથબદ્ધ કરો છો અને તેને (√5 - √6) - √7 વડે ગુણાકાર કરો છો, તો તમે મૂળથી છૂટકારો મેળવશો નહીં, પરંતુ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મેળવશો. a + b * √30, જ્યાં " a" અને "b" એ રુટ વગરના મોનોમિયલ છે. પછી પરિણામી અભિવ્યક્તિને તેના સંયોજક દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે: (a + b * √30)(a - b * √30) મૂળમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે. એટલે કે, જો કોઈ ચોક્કસ સંખ્યાના મૂળમાંથી છૂટકારો મેળવવા માટે સંયોજક અભિવ્યક્તિનો એકવાર ઉપયોગ કરી શકાય છે, તો પછી તે બધા મૂળમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે જરૂરી તેટલી વખત ઉપયોગ કરી શકાય છે.
     • આ પદ્ધતિ ઉચ્ચ શક્તિઓના મૂળને પણ લાગુ પડે છે, જેમ કે અભિવ્યક્તિ "3નું 4થું મૂળ વત્તા 9નું 7મું મૂળ." આ કિસ્સામાં, અંશ અને છેદને છેદના સંયુક્ત અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરો. પરંતુ અહીં સંયોજક અભિવ્યક્તિ ઉપર વર્ણવેલની તુલનામાં થોડી અલગ હશે. તમે બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકોમાં આ કેસ વિશે વાંચી શકો છો.
2. વર્ણવેલ પદ્ધતિઓ કેટલીક સરળ સમસ્યાઓ પર લાગુ કરી શકાતી નથી. કેટલીક જટિલ સમસ્યાઓ માટે, આ પદ્ધતિઓ એક કરતા વધુ વખત લાગુ કરવાની જરૂર છે. પરિણામી અભિવ્યક્તિઓને તબક્કાવાર સરળ બનાવો, અને પછી તપાસો કે અંતિમ જવાબ પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે કે કેમ, જેના માટેના માપદંડ આ લેખની શરૂઆતમાં આપવામાં આવ્યા છે. જો જવાબ પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે, તો સમસ્યા હલ થાય છે; નહિંતર, વર્ણવેલ પદ્ધતિઓમાંથી એકનો ફરીથી ઉપયોગ કરો.
3. એક નિયમ તરીકે, સંકેતનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ જટિલ સંખ્યાઓ (i = √(-1)) પર પણ લાગુ પડે છે. જો કોઈ જટિલ સંખ્યાને મૂળને બદલે i તરીકે લખવામાં આવે તો પણ છેદમાં i થી છુટકારો મેળવવો વધુ સારું છે.
4. અહીં વર્ણવેલ કેટલીક પદ્ધતિઓમાં વર્ગમૂળ સાથે કામ કરવું શામેલ છે. સામાન્ય સિદ્ધાંતો ઘનમૂળ અથવા ઉચ્ચ મૂળ માટે સમાન છે, પરંતુ કેટલીક પદ્ધતિઓ (ખાસ કરીને, છેદ તર્કીકરણ પદ્ધતિ) તેમને લાગુ કરવી ખૂબ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. વધુમાં, તમારા શિક્ષકને મૂળ (cube√4 અથવા cube√(2^2)) ના સાચા સંકેત વિશે પૂછો.
5. આ લેખના કેટલાક વિભાગોમાં "પ્રમાણિક સ્વરૂપ" ની વિભાવના ખોટી રીતે વપરાય છે; આપણે ખરેખર જેની વાત કરવી જોઈએ તે નોટેશનનું "માનક સ્વરૂપ" છે. તફાવત એ છે કે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ માટે 1 + √2 અથવા √2 +1 લખવું જરૂરી છે; પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ સૂચવે છે કે બંને અભિવ્યક્તિઓ (1 + √2 અને √2 +1) નિઃશંકપણે સમાન છે, ભલે અલગ રીતે લખાયેલ હોય. અહીં, "ચોક્કસપણે" નો અર્થ બીજગણિત ગુણધર્મોને બદલે અંકગણિત (ઉમેરો વિનિમયાત્મક છે) થાય છે (√2 એ x^2-2 નો બિન-નકારાત્મક મૂળ છે).
6. જો વર્ણવેલ પદ્ધતિઓ અસ્પષ્ટ લાગતી હોય અથવા એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરતી હોય, તો સુસંગત અને અસંદિગ્ધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરો અને શિક્ષક દ્વારા અથવા પાઠ્યપુસ્તકમાં સૂચવ્યા મુજબ જવાબ લખો.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

વર્ગમૂળને સરળ બનાવવાનો ધ્યેય તેને એવા સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાનો છે જેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં સરળ હોય.

સંખ્યાને અવયવિત કરવી એ બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓ શોધવાનું છે જેનો જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ સંખ્યા આપશે, ઉદાહરણ તરીકે, 3 x 3 = 9. અવયવો શોધીને, તમે વર્ગમૂળને સરળ બનાવી શકો છો અથવા તેને એકસાથે દૂર કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, √9 = √(3x3) = 3.જો આમૂલ સંખ્યા સમાન હોય, તો તેને 2 વડે ભાગો.

જો આમૂલ સંખ્યા વિષમ હોય, તો તેને 3 વડે ભાગવાનો પ્રયાસ કરો (જો સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો તેને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની યાદી દ્વારા 5, 7 વડે વિભાજિત કરો). આમૂલ સંખ્યાને ફક્ત અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં વિભાજીત કરો, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે રેડિકલને 4 વડે ભાગવાની જરૂર નથી કારણ કે 4 એ 2 વડે વિભાજ્ય છે અને તમે રેડિકલને 2 વડે વિભાજિત કરી ચૂક્યા છે.સમસ્યાને બે સંખ્યાના ઉત્પાદનના મૂળ તરીકે ફરીથી લખો.