કઈ સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

n અજ્ઞાત સાથે m રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમફોર્મની સિસ્ટમ કહેવાય છે

જ્યાં એક ijઅને b i (i=1,…,m; b=1,…,n) કેટલીક જાણીતી સંખ્યાઓ છે, અને x 1,…,x n- અજ્ઞાત. ગુણાંકના હોદ્દામાં એક ijપ્રથમ અનુક્રમણિકા iસમીકરણ નંબર સૂચવે છે અને બીજો j- અજાણ્યાની સંખ્યા કે જેના પર આ ગુણાંક રહે છે.

અમે મેટ્રિક્સના રૂપમાં અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંક લખીશું , જેને અમે કૉલ કરીશું સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ.

સમીકરણોની જમણી બાજુની સંખ્યાઓ છે b 1,…,b mકહેવાય છે મફત સભ્યો.

સંપૂર્ણતા nસંખ્યાઓ c 1,…,c nકહેવાય છે નિર્ણયઆપેલ સિસ્ટમની, જો સિસ્ટમનું દરેક સમીકરણ તેમાં સંખ્યાઓ બદલ્યા પછી સમાનતા બની જાય c 1,…,c nઅનુરૂપ અજાણ્યાઓને બદલે x 1,…,x n.

અમારું કાર્ય સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવાનું રહેશે. આ કિસ્સામાં, ત્રણ પરિસ્થિતિઓ ઊભી થઈ શકે છે:

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કે જેમાં ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ હોય તેને કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત. નહિંતર, એટલે કે. જો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, તો તેને કહેવામાં આવે છે બિન-સંયુક્ત.

ચાલો સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવાની રીતો પર વિચાર કરીએ.

રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ ઉકેલવા માટેની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ

મેટ્રિસિસ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંક્ષિપ્તમાં લખવાનું શક્ય બનાવે છે. ત્રણ અજ્ઞાત સાથે 3 સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે:

સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ ધ્યાનમાં લો અને અજ્ઞાત અને મફત શરતોની મેટ્રિસીસ કૉલમ

ચાલો કામ શોધીએ

તે ઉત્પાદનના પરિણામે, અમે આ સિસ્ટમના સમીકરણોની ડાબી બાજુઓ મેળવીએ છીએ. પછી, મેટ્રિસિસની સમાનતાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આ સિસ્ટમ ફોર્મમાં લખી શકાય છે

અથવા ટૂંકા એ∙X=B.

અહીં મેટ્રિસિસ છે એઅને બીજાણીતા છે, અને મેટ્રિક્સ એક્સઅજ્ઞાત તે શોધવું જરૂરી છે, કારણ કે ... તેના તત્વો આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. આ સમીકરણ કહેવાય છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ.

મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકને શૂન્યથી અલગ રહેવા દો | એ| ≠ 0. પછી મેટ્રિક્સ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે હલ થાય છે. ડાબી બાજુના સમીકરણની બંને બાજુઓને મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરો A-1, મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત એ: . કારણ કે A -1 A = Eઅને ઇ∙X = X, પછી આપણે ફોર્મમાં મેટ્રિક્સ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ X = A -1 B .

નોંધ કરો કે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ શોધી શકાય છે, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ ફક્ત તે સિસ્ટમ્સને હલ કરી શકે છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે. જો કે, સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ રેકોર્ડિંગ એવા કિસ્સામાં પણ શક્ય છે જ્યારે સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી ન હોય, તો મેટ્રિક્સ એચોરસ હશે નહીં અને તેથી ફોર્મમાં સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવાનું અશક્ય છે X = A -1 B.

ઉદાહરણો.સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલો.

ક્રેમરનો નિયમ

ત્રણ અજ્ઞાત સાથે 3 રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો:

સિસ્ટમ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયક, એટલે કે. અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંકથી બનેલું,

કહેવાય છે સિસ્ટમનો નિર્ધારક.

ચાલો નીચે પ્રમાણે વધુ ત્રણ નિર્ણાયકો કંપોઝ કરીએ: કૉલમ 1, 2 અને 3 ને નિર્ણાયક D માં ક્રમિક રીતે મુક્ત શબ્દોના કૉલમ સાથે બદલો

પછી આપણે નીચેના પરિણામને સાબિત કરી શકીએ છીએ.

પ્રમેય (ક્રેમરનો નિયમ).જો સિસ્ટમનો નિર્ણાયક Δ ≠ 0 હોય, તો વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમ પાસે એક અને માત્ર એક જ ઉકેલ છે, અને

પુરાવો. તેથી, ચાલો ત્રણ અજ્ઞાત સાથે 3 સમીકરણોની સિસ્ટમ પર વિચાર કરીએ. ચાલો સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને બીજગણિતીય પૂરક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ એ 11તત્વ a 11, 2જી સમીકરણ – ચાલુ એ 21અને 3જી - ચાલુ A 31:

ચાલો આ સમીકરણો ઉમેરીએ:

ચાલો દરેક કૌંસ અને આ સમીકરણની જમણી બાજુ જોઈએ. 1લી સ્તંભના ઘટકોમાં નિર્ણાયકના વિસ્તરણ પરના પ્રમેય દ્વારા

એ જ રીતે, તે બતાવી શકાય છે કે અને .

છેલ્લે, તે નોંધવું સરળ છે

આમ, આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ: .

આથી, .

સમાનતાઓ અને તે જ રીતે તારવેલી છે, જેમાંથી પ્રમેયનું નિવેદન અનુસરે છે.

આમ, અમે નોંધીએ છીએ કે જો સિસ્ટમનો નિર્ણાયક Δ ≠ 0 હોય, તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે અને ઊલટું. જો સિસ્ટમનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય, તો સિસ્ટમમાં કાં તો અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે અથવા તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, એટલે કે. અસંગત.

ઉદાહરણો.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ગૌસ પદ્ધતિ

અગાઉ ચર્ચા કરેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ફક્ત તે જ સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય છે અને સિસ્ટમનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ હોવો જોઈએ. ગૌસ પદ્ધતિ વધુ સાર્વત્રિક અને કોઈપણ સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમો માટે યોગ્ય છે. તે ક્રમશઃ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી અજાણ્યાઓને દૂર કરવામાં સમાવે છે.

ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ફરીથી વિચાર કરો:

.

અમે પ્રથમ સમીકરણને યથાવત છોડી દઈશું, અને 2જી અને 3જીથી અમે સમાવિષ્ટ શરતોને બાકાત રાખીશું x 1. આ કરવા માટે, બીજા સમીકરણને વડે વિભાજીત કરો એ 21 અને વડે ગુણાકાર કરો - એ 11, અને પછી તેને 1લા સમીકરણમાં ઉમેરો. એ જ રીતે, આપણે ત્રીજા સમીકરણને વડે વિભાજીત કરીએ છીએ એ 31 અને વડે ગુણાકાર કરો - એ 11, અને પછી તેને પ્રથમ સાથે ઉમેરો. પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

હવે છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે સમાવિષ્ટ શબ્દને દૂર કરીએ છીએ x 2. આ કરવા માટે, ત્રીજા સમીકરણને વડે વિભાજીત કરો, વડે ગુણાકાર કરો અને બીજા સાથે ઉમેરો. પછી આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ હશે:

અહીંથી, છેલ્લા સમીકરણમાંથી તે શોધવાનું સરળ છે x 3, પછી બીજા સમીકરણમાંથી x 2અને છેવટે, 1લી થી - x 1.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, જો જરૂરી હોય તો સમીકરણોને બદલી શકાય છે.

ઘણીવાર, સમીકરણોની નવી સિસ્ટમ લખવાને બદલે, તેઓ પોતાને સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખવા માટે મર્યાદિત કરે છે:

અને પછી પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને તેને ત્રિકોણાકાર અથવા ત્રાંસા સ્વરૂપમાં લાવો.

TO પ્રાથમિક પરિવર્તનોમેટ્રિસિસમાં નીચેના રૂપાંતરણોનો સમાવેશ થાય છે:

1. પંક્તિઓ અથવા કૉલમ ફરીથી ગોઠવો;
2. શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા દ્વારા શબ્દમાળાનો ગુણાકાર કરવો;
3. એક લીટીમાં અન્ય લીટીઓ ઉમેરી રહ્યા છીએ.

ઉદાહરણો:ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલો.

આમ, સિસ્ટમ પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જો કે, વ્યવહારમાં બે વધુ કેસો વ્યાપક છે:

- સિસ્ટમ અસંગત છે (કોઈ ઉકેલો નથી);
- સિસ્ટમ સુસંગત છે અને તેમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

નોંધ : શબ્દ "સતતતા" સૂચવે છે કે સિસ્ટમ પાસે ઓછામાં ઓછો કોઈ ઉકેલ છે. અસંખ્ય સમસ્યાઓમાં, પ્રથમ સુસંગતતા માટે સિસ્ટમની તપાસ કરવી જરૂરી છે, આ કેવી રીતે કરવું, લેખ જુઓ મેટ્રિસિસનો ક્રમ.

આ સિસ્ટમો માટે, તમામ ઉકેલ પદ્ધતિઓમાં સૌથી વધુ સાર્વત્રિક ઉપયોગ થાય છે - ગૌસીયન પદ્ધતિ. વાસ્તવમાં, "શાળા" પદ્ધતિ પણ જવાબ તરફ દોરી જશે, પરંતુ ઉચ્ચ ગણિતમાં અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવા માટે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો રિવાજ છે. જેઓ ગૌસીયન પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમથી પરિચિત નથી, કૃપા કરીને પહેલા પાઠનો અભ્યાસ કરો ડમી માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ.

પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ રૂપાંતરણો પોતે બરાબર સમાન છે, તફાવત ઉકેલના અંતમાં હશે. પ્રથમ, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ જ્યારે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો ન હોય (અસંગત).

ઉદાહરણ 1

આ સિસ્ટમ વિશે તમારી નજર તરત જ શું આવે છે? સમીકરણોની સંખ્યા ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછી છે. જો સમીકરણોની સંખ્યા ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય, તો પછી આપણે તરત જ કહી શકીએ કે સિસ્ટમ કાં તો અસંગત છે અથવા તેમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે. અને જે બાકી છે તે શોધવાનું છે.

સોલ્યુશનની શરૂઆત સંપૂર્ણપણે સામાન્ય છે - અમે સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ છીએ અને, પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

(1) ઉપરના ડાબા પગલા પર આપણે +1 અથવા -1 મેળવવાની જરૂર છે. પ્રથમ કૉલમમાં આવી કોઈ સંખ્યાઓ નથી, તેથી પંક્તિઓ ફરીથી ગોઠવવાથી કંઈ થશે નહીં. એકમે પોતાને ગોઠવવું પડશે, અને આ ઘણી રીતે કરી શકાય છે. મેં આ કર્યું: પ્રથમ લીટીમાં આપણે ત્રીજી લીટી ઉમેરીએ છીએ, -1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

(2) હવે આપણને પ્રથમ કોલમમાં બે શૂન્ય મળે છે. બીજી લાઇનમાં આપણે 3 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ. ત્રીજી લીટીમાં આપણે 5 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ.

(3) રૂપાંતરણ પૂર્ણ થયા પછી, તે હંમેશા જોવાની સલાહ આપવામાં આવે છે કે શું પરિણામી તારોને સરળ બનાવવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અમે બીજી લાઇનને 2 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, તે જ સમયે બીજા પગલા પર જરૂરી -1 મેળવીએ છીએ. ત્રીજી લીટીને –3 વડે વિભાજીત કરો.

(4) ત્રીજી લીટીમાં બીજી લીટી ઉમેરો.

સંભવતઃ દરેક વ્યક્તિએ પ્રાથમિક રૂપાંતરણોથી પરિણમેલી ખરાબ રેખાની નોંધ લીધી: . તે સ્પષ્ટ છે કે આવું ન હોઈ શકે. ખરેખર, ચાલો પરિણામી મેટ્રિક્સને ફરીથી લખીએ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પર પાછા જાઓ:

જો, પ્રારંભિક પરિવર્તનના પરિણામે, ફોર્મની સ્ટ્રિંગ પ્રાપ્ત થાય છે, જ્યાં શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા છે, તો સિસ્ટમ અસંગત છે (કોઈ ઉકેલો નથી).

કાર્યનો અંત કેવી રીતે લખવો? ચાલો સફેદ ચાકથી દોરીએ: "પ્રાથમિક પરિવર્તનના પરિણામે, ફોર્મની સ્ટ્રિંગ , જ્યાં " મેળવવામાં આવે છે અને જવાબ આપો: સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી (અસંગત).

જો, શરત અનુસાર, સુસંગતતા માટે સિસ્ટમનું સંશોધન કરવું જરૂરી છે, તો ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને વધુ નક્કર શૈલીમાં ઉકેલને ઔપચારિક બનાવવો જરૂરી છે. મેટ્રિક્સ રેન્ક અને ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં ગૌસિયન અલ્ગોરિધમનો કોઈ રિવર્સલ નથી - ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી અને શોધવા માટે કંઈ જ નથી.

ઉદાહરણ 2

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ. હું તમને ફરીથી યાદ કરાવું છું કે તમારું સોલ્યુશન મારા સોલ્યુશનથી અલગ હોઈ શકે છે.

સોલ્યુશનની બીજી તકનીકી વિશેષતા: પ્રારંભિક પરિવર્તનને રોકી શકાય છે તરત જ, જલદી એક લીટી જેમ કે , જ્યાં . ચાલો શરતી ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ: ધારો કે પ્રથમ પરિવર્તન પછી મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થાય છે . મેટ્રિક્સને હજી સુધી એકલન સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવ્યું નથી, પરંતુ વધુ પ્રાથમિક પરિવર્તનની જરૂર નથી, કારણ કે ફોર્મની એક લાઇન દેખાય છે, જ્યાં . જવાબ તાત્કાલિક આપવો જોઈએ કે સિસ્ટમ અસંગત છે.

જ્યારે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી, ત્યારે આ લગભગ એક ભેટ છે, એ હકીકતને કારણે કે ટૂંકા ઉકેલ મેળવવામાં આવે છે, કેટલીકવાર શાબ્દિક રીતે 2-3 પગલાંમાં.

પરંતુ આ વિશ્વમાં દરેક વસ્તુ સંતુલિત છે, અને એક સમસ્યા જેમાં સિસ્ટમ પાસે અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો છે તે માત્ર લાંબી છે.

ઉદાહરણ 3

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ત્યાં 4 સમીકરણો અને 4 અજાણ્યા છે, તેથી સિસ્ટમમાં કાં તો એક જ ઉકેલ હોઈ શકે છે, અથવા કોઈ ઉકેલો નથી, અથવા અનંત ઘણા ઉકેલો હોઈ શકે છે. તે ગમે તે હોય, ગૌસીયન પદ્ધતિ કોઈ પણ સંજોગોમાં આપણને જવાબ તરફ દોરી જશે. આ તેની વર્સેટિલિટી છે.

શરૂઆત ફરીથી પ્રમાણભૂત છે. ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

બસ, અને તમે ડરતા હતા.

(1) મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રથમ સ્તંભની બધી સંખ્યાઓ 2 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી ઉપરના ડાબા પગલા પર 2 બરાબર છે. બીજી લાઇનમાં આપણે પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ, –4 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. ત્રીજી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ, -2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. ચોથી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ, -1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

ધ્યાન આપો!ચોથી પંક્તિથી ઘણા લલચાઈ શકે છે બાદબાકીપ્રથમ પંક્તિ. આ કરી શકાય છે, પરંતુ તે જરૂરી નથી અનુભવ દર્શાવે છે કે ગણતરીમાં ભૂલની સંભાવના ઘણી વખત વધે છે. ફક્ત ઉમેરો: ચોથી લીટીમાં –1 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરો બરાબર તે જેમ!

(2) છેલ્લી ત્રણ લીટીઓ પ્રમાણસર છે, તેમાંથી બે કાઢી શકાય છે.

અહીં ફરીથી આપણે બતાવવાની જરૂર છે વધેલું ધ્યાન, પરંતુ શું રેખાઓ ખરેખર પ્રમાણસર છે? સલામત બાજુએ રહેવા માટે (ખાસ કરીને ચાની કીટલી માટે), બીજી લાઇનને –1 વડે ગુણાકાર કરવો અને ચોથી લાઇનને 2 વડે વિભાજીત કરવી એ સારો વિચાર છે, પરિણામે ત્રણ સરખી રેખાઓ આવશે. અને તે પછી જ તેમાંથી બે દૂર કરો.

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોના પરિણામે, સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

નોટબુકમાં કાર્ય લખતી વખતે, સ્પષ્ટતા માટે પેન્સિલમાં સમાન નોંધો બનાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ચાલો આપણે સમીકરણોની અનુરૂપ સિસ્ટમને ફરીથી લખીએ:

અહીં સિસ્ટમ માટે "સામાન્ય" એકલ ઉકેલની કોઈ ગંધ નથી. ત્યાં કોઈ ખરાબ રેખા પણ નથી. આનો અર્થ એ છે કે આ ત્રીજો બાકીનો કેસ છે - સિસ્ટમ પાસે અનંત ઘણા ઉકેલો છે. કેટલીકવાર, શરત અનુસાર, સિસ્ટમની સુસંગતતાની તપાસ કરવી જરૂરી છે (એટલે ​​​​કે કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે તે સાબિત કરો), તમે લેખના છેલ્લા ફકરામાં આ વિશે વાંચી શકો છો. મેટ્રિક્સની રેન્ક કેવી રીતે શોધવી?પરંતુ હમણાં માટે ચાલો મૂળભૂત બાબતો પર જઈએ:

સિસ્ટમના ઉકેલોનો અનંત સમૂહ ટૂંકમાં કહેવાતા સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ .

અમે ગૌસીયન પદ્ધતિના વિપરીતનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ.

પ્રથમ આપણે વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે કે આપણી પાસે કયા ચલ છે મૂળભૂત, અને કયા ચલો મફત. તમારે રેખીય બીજગણિતની શરતોથી તમારી જાતને પરેશાન કરવાની જરૂર નથી, ફક્ત યાદ રાખો કે આવા છે મૂળભૂત ચલોઅને મફત ચલો.

મૂળભૂત ચલો હંમેશા મેટ્રિક્સના પગલાઓ પર સખત રીતે "બેસે છે"..
આ ઉદાહરણમાં, મૂળભૂત ચલો છે અને

મફત ચલો બધું છે બાકીચલો કે જેને એક પગલું પ્રાપ્ત થયું નથી. અમારા કિસ્સામાં તેમાંથી બે છે: - ફ્રી વેરિયેબલ.

હવે તમારે જરૂર છે બધા મૂળભૂત ચલોવ્યક્ત દ્વારા જ મફત ચલો.

ગૌસીયન અલ્ગોરિધમનું વિપરીત પરંપરાગત રીતે નીચેથી ઉપરથી કામ કરે છે.
સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાંથી આપણે મૂળભૂત ચલ વ્યક્ત કરીએ છીએ:

હવે પ્રથમ સમીકરણ જુઓ: . પ્રથમ આપણે તેમાં મળેલી અભિવ્યક્તિને બદલીએ છીએ:

તે મુક્ત ચલોના સંદર્ભમાં મૂળભૂત ચલને વ્યક્ત કરવાનું બાકી છે:

અંતે અમને જે જોઈએ તે મળ્યું - બધામૂળભૂત ચલો ( અને ) વ્યક્ત કરવામાં આવે છે દ્વારા જમફત ચલો:

ખરેખર, સામાન્ય ઉકેલ તૈયાર છે:

સામાન્ય ઉકેલ યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લખવો?
મફત ચલો સામાન્ય ઉકેલમાં "પોતાના દ્વારા" અને સખત રીતે તેમના સ્થાનો પર લખવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, મફત ચલો બીજા અને ચોથા સ્થાને લખવા જોઈએ:
.

મૂળભૂત ચલો માટે પરિણામી સમીકરણો અને દેખીતી રીતે પ્રથમ અને ત્રીજા સ્થાને લખવાની જરૂર છે:

મફત ચલો આપવી મનસ્વી મૂલ્યો, તમે અનંત ઘણા શોધી શકો છો ખાનગી ઉકેલો. સૌથી વધુ લોકપ્રિય મૂલ્યો શૂન્ય છે, કારણ કે ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવા માટે સૌથી સરળ છે. ચાલો સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ:

- ખાનગી ઉકેલ.

બીજી મીઠી જોડી છે, ચાલો તેને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ:

- અન્ય ખાનગી ઉકેલ.

તે જોવાનું સરળ છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે અનંત ઘણા ઉકેલો(કારણ કે આપણે મફત ચલ આપી શકીએ છીએ કોઈપણમૂલ્યો)

દરેકચોક્કસ ઉકેલ સંતોષવા જ જોઈએ દરેકનેસિસ્ટમનું સમીકરણ. આ સોલ્યુશનની શુદ્ધતાની "ઝડપી" તપાસ માટેનો આધાર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ સોલ્યુશન લો અને તેને મૂળ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ બદલો:

બધું એકસાથે આવવું જોઈએ. અને તમે પ્રાપ્ત કરેલ કોઈપણ ચોક્કસ ઉકેલ સાથે, બધું પણ સંમત થવું જોઈએ.

પરંતુ, કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોક્કસ સોલ્યુશન તપાસવું એ ક્યારેક છેતરતી હોય છે, એટલે કે. અમુક ચોક્કસ ઉકેલ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષી શકે છે, પરંતુ સામાન્ય ઉકેલ પોતે જ ખોટો જોવા મળે છે.

તેથી, સામાન્ય ઉકેલની ચકાસણી વધુ સંપૂર્ણ અને વિશ્વસનીય છે. પરિણામી સામાન્ય સોલ્યુશન કેવી રીતે તપાસવું ?

તે મુશ્કેલ નથી, પરંતુ તદ્દન કંટાળાજનક છે. આપણે અભિવ્યક્તિઓ લેવાની જરૂર છે મૂળભૂતચલો, આ કિસ્સામાં અને , અને તેમને સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ અવેજી કરો.

સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણની ડાબી બાજુએ:

સિસ્ટમના બીજા સમીકરણની ડાબી બાજુએ:


મૂળ સમીકરણની જમણી બાજુ પ્રાપ્ત થાય છે.

ઉદાહરણ 4

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો. સામાન્ય ઉકેલ અને બે વિશિષ્ટ ઉકેલો શોધો. સામાન્ય ઉકેલ તપાસો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. અહીં, માર્ગ દ્વારા, ફરીથી સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછી છે, જેનો અર્થ એ છે કે તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમ કાં તો અસંગત હશે અથવા તેની પાસે અસંખ્ય ઉકેલો હશે. નિર્ણય પ્રક્રિયામાં જ શું મહત્વનું છે? ધ્યાન, અને ફરીથી ધ્યાન. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

અને સામગ્રીને મજબૂત કરવા માટે થોડા વધુ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 5

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો. જો સિસ્ટમ પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે, તો બે ચોક્કસ ઉકેલો શોધો અને સામાન્ય ઉકેલ તપાસો

ઉકેલ: ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

(1) બીજી લીટીમાં પ્રથમ લીટી ઉમેરો. ત્રીજી લીટીમાં આપણે 2 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ. ચોથી લીટીમાં આપણે 3 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ.
(2) ત્રીજી લીટીમાં આપણે બીજી લીટી ઉમેરીએ છીએ, જે –5 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. ચોથી લીટીમાં આપણે બીજી લીટી ઉમેરીએ છીએ, –7 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
(3) ત્રીજી અને ચોથી લાઇન સમાન છે, અમે તેમાંથી એક કાઢી નાખીએ છીએ.

આ એક સુંદરતા છે:

મૂળભૂત ચલો પગથિયાં પર બેસે છે, તેથી - મૂળભૂત ચલો.
ત્યાં માત્ર એક મફત ચલ છે જેને એક પગલું મળ્યું નથી:

વિપરીત:
ચાલો મૂળભૂત ચલોને ફ્રી વેરીએબલ દ્વારા વ્યક્ત કરીએ:
ત્રીજા સમીકરણમાંથી:

ચાલો બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેમાં મળેલી અભિવ્યક્તિને બદલીએ:

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ અને મળેલા સમીકરણોને બદલીએ અને તેમાં:

હા, એક કેલ્ક્યુલેટર જે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરે છે તે હજુ પણ અનુકૂળ છે.

તેથી સામાન્ય ઉકેલ છે:

ફરી એકવાર, તે કેવી રીતે બહાર આવ્યું? મુક્ત ચલ તેના યોગ્ય ચોથા સ્થાને એકલા બેસે છે. મૂળભૂત ચલો માટે પરિણામી અભિવ્યક્તિઓ પણ તેમના ક્રમબદ્ધ સ્થાનો લે છે.

ચાલો તરત જ સામાન્ય ઉકેલ તપાસીએ. કામ કાળા લોકો માટે છે, પરંતુ મેં તે પહેલેથી જ કરી લીધું છે, તેથી તેને પકડો =)

અમે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ ત્રણ હીરો , , બદલીએ છીએ:

સમીકરણોની અનુરૂપ જમણી બાજુઓ મેળવવામાં આવે છે, આમ સામાન્ય ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળે છે.

હવે મળેલા સામાન્ય ઉકેલમાંથી અમે બે વિશિષ્ટ ઉકેલો મેળવીએ છીએ. અહીં માત્ર મફત ચલ રસોઇયા છે. તમારા મગજને રેક કરવાની જરૂર નથી.

તે પછી રહેવા દો - ખાનગી ઉકેલ.
તે પછી રહેવા દો - અન્ય ખાનગી ઉકેલ.

જવાબ આપો: સામાન્ય ઉકેલ: , ખાનગી ઉકેલો: , .

મને અશ્વેતો વિશે યાદ ન હોવું જોઈએ... ...કારણ કે મારા મગજમાં તમામ પ્રકારના ઉદાસી હેતુઓ આવ્યા અને મને પ્રખ્યાત ફોટોશોપ યાદ આવી જેમાં સફેદ ઝભ્ભો પહેરેલા કુ ક્લ્ક્સ ક્લાન્સમેન કાળા ફૂટબોલ ખેલાડી પછી મેદાનમાં દોડી રહ્યા છે. હું શાંતિથી બેસીને હસું છું. તમે જાણો છો કે કેવી રીતે વિચલિત થાય છે ...

ઘણું ગણિત હાનિકારક છે, તેથી અહીં તમારા માટે એક સમાન અંતિમ ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે ઉકેલી શકો છો.

ઉદાહરણ 6

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

મેં પહેલાથી જ સામાન્ય ઉકેલ તપાસ્યો છે, જવાબ પર વિશ્વાસ કરી શકાય છે. તમારું સોલ્યુશન મારા સોલ્યુશનથી અલગ હોઈ શકે છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સામાન્ય ઉકેલો એકરૂપ છે.

સંભવતઃ, ઘણા લોકોએ ઉકેલોમાં એક અપ્રિય ક્ષણ જોયું: ઘણી વાર, ગૌસીયન પદ્ધતિના વિપરીત અભ્યાસક્રમ દરમિયાન, અમારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે ટિંકર કરવું પડ્યું. વ્યવહારમાં, આ ખરેખર કેસ છે જ્યાં કોઈ અપૂર્ણાંક નથી ખૂબ ઓછા સામાન્ય છે. માનસિક રીતે અને સૌથી અગત્યનું, તકનીકી રીતે તૈયાર રહો.

હું ઉકેલની કેટલીક વિશેષતાઓ પર ધ્યાન આપીશ જે ઉકેલાયેલા ઉદાહરણોમાં મળી નથી.

સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલમાં કેટલીકવાર સ્થિર (અથવા સ્થિરાંકો) શામેલ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે: . અહીં મૂળભૂત ચલોમાંથી એક સ્થિર સંખ્યા સમાન છે: . આ વિશે વિચિત્ર કંઈ નથી, તે થાય છે. દેખીતી રીતે, આ કિસ્સામાં, કોઈપણ વિશિષ્ટ ઉકેલમાં પ્રથમ સ્થાનમાં પાંચ હશે.

ભાગ્યે જ, પરંતુ ત્યાં સિસ્ટમો છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલોની સંખ્યા કરતા વધારે છે. ગૌસીયન પદ્ધતિ સૌથી ગંભીર પરિસ્થિતિઓમાં કામ કરે છે; વ્યક્તિએ પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને એક સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું જોઈએ. આવી સિસ્ટમ અસંગત હોઈ શકે છે, તેમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોઈ શકે છે, અને, વિચિત્ર રીતે, એક જ ઉકેલ હોઈ શકે છે.

સુસંગતતા માટે રેખીય એજબ્રેઇક સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરવાનો અર્થ એ છે કે આ સિસ્ટમમાં ઉકેલો છે કે તે નથી. ઠીક છે, જો ત્યાં ઉકેલો છે, તો પછી સૂચિત કરો કે કેટલા છે.

અમને "રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ. મૂળભૂત શરતો. નોટેશનનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ" વિષયમાંથી માહિતીની જરૂર પડશે. ખાસ કરીને, સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ અને વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ જેવા ખ્યાલોની જરૂર છે, કારણ કે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયની રચના તેમના પર આધારિત છે. હંમેશની જેમ, સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને $A$ અક્ષર દ્વારા અને સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને $\widetilde(A)$ દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે જો અને માત્ર જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની સમાન હોય, એટલે કે. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સિસ્ટમને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો તેમાં ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ હોય. ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય આ કહે છે: જો $\rang A=\rang\widetilde(A)$, તો એક ઉકેલ છે; જો $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, તો આ SLAE પાસે કોઈ ઉકેલ નથી (અસંગત). આ ઉકેલોની સંખ્યા વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના કોરોલરી દ્વારા આપવામાં આવે છે. કોરોલરીની રચનામાં, $n$ અક્ષરનો ઉપયોગ થાય છે, જે આપેલ SLAE ના ચલોની સંખ્યા જેટલી છે.

ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયને કોરોલરી

1. જો $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, તો SLAE અસંગત છે (કોઈ ઉકેલ નથી).
2. જો $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. જો $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, તો SLAE ચોક્કસ છે (એક જ ઉકેલ છે).

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ફોર્મ્યુલેટેડ પ્રમેય અને તેની કોરોલરી SLAE નો ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો તે સૂચવતા નથી. તેમની સહાયથી, તમે ફક્ત તે જ શોધી શકો છો કે આ ઉકેલો અસ્તિત્વમાં છે કે નહીં, અને જો તેઓ અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી કેટલા.

ઉદાહરણ નંબર 1

SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42 નું અન્વેષણ કરો. \end(સંરેખિત) )\right.$ સુસંગતતા માટે જો SLAE સુસંગત છે, તો ઉકેલોની સંખ્યા સૂચવો.

આપેલ SLAE ના ઉકેલોનું અસ્તિત્વ શોધવા માટે, અમે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમને સિસ્ટમના મેટ્રિક્સ $A$ અને સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સની જરૂર પડશે $\widetilde(A)$, અમે તેમને લખીશું:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(એરે) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(એરે) \જમણે). $$

આપણે $\rang A$ અને $\rang\widetilde(A)$ શોધવાની જરૂર છે. આ કરવાની ઘણી રીતો છે, જેમાંથી કેટલીક મેટ્રિક્સ રેન્ક વિભાગમાં સૂચિબદ્ધ છે. સામાન્ય રીતે, આવી સિસ્ટમોનો અભ્યાસ કરવા માટે બે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: "વ્યાખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી" અથવા "પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિ દ્વારા મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી".

પદ્ધતિ નંબર 1. વ્યાખ્યા દ્વારા કમ્પ્યુટિંગ રેન્ક.

વ્યાખ્યા મુજબ, ક્રમ એ મેટ્રિક્સના સગીરોનો સર્વોચ્ચ ક્રમ છે, જેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક એવો છે જે શૂન્યથી અલગ છે. સામાન્ય રીતે, અભ્યાસ પ્રથમ-ક્રમના સગીરોથી શરૂ થાય છે, પરંતુ અહીં મેટ્રિક્સ $A$ના ત્રીજા ક્રમના સગીર માટે તરત જ ગણતરી કરવાનું શરૂ કરવું વધુ અનુકૂળ છે. ત્રીજા ક્રમના નાના તત્વો પ્રશ્નમાં મેટ્રિક્સની ત્રણ પંક્તિઓ અને ત્રણ કૉલમના આંતરછેદ પર સ્થિત છે. મેટ્રિક્સ $A$ માં માત્ર 3 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ હોવાથી, મેટ્રિક્સ $A$ નો ત્રીજો ક્રમ માઇનોર એ મેટ્રિક્સ $A$ નો નિર્ણાયક છે, એટલે કે. $\Delta A$. નિર્ણાયકની ગણતરી કરવા માટે, અમે "બીજા અને ત્રીજા ઓર્ડરના નિર્ધારકોની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો" વિષયમાંથી સૂત્ર નંબર 2 લાગુ કરીએ છીએ:

$$ \Delta A=\left| \begin(એરે) (ccc) -3 અને 9 અને -7 \\ -1 અને 2 અને -4 \\ 4 અને -2 અને 19 \end(એરે) \right|=-21. $$

તેથી, મેટ્રિક્સ $A$નો ત્રીજો ક્રમ માઇનોર છે, જે શૂન્યની બરાબર નથી. ચોથા ક્રમની માઇનોર બનાવવી અશક્ય છે, કારણ કે તેને 4 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ્સની જરૂર છે, અને મેટ્રિક્સ $A$ માં માત્ર 3 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ છે. તેથી, મેટ્રિક્સ $A$ ના સગીરોનો સર્વોચ્ચ ક્રમ, જેમાં ઓછામાં ઓછો એક એવો છે જે શૂન્યની બરાબર નથી, 3 છે. તેથી, $\rang A=3$.

આપણે $\rang\widetilde(A)$ પણ શોધવાની જરૂર છે. ચાલો મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ ની રચના જોઈએ. મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ માં લાઇન સુધી મેટ્રિક્સ $A$ ના ઘટકો છે, અને અમને જાણવા મળ્યું કે $\Delta A\neq 0$. પરિણામે, મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ પાસે ત્રીજા ક્રમના નાના છે, જે શૂન્યની બરાબર નથી. અમે મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ ના ચોથા ક્રમના સગીર બનાવી શકતા નથી, તેથી અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: $\rang\widetilde(A)=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ હોવાથી, પછી ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય મુજબ સિસ્ટમ સુસંગત છે, એટલે કે. ઉકેલ છે (ઓછામાં ઓછો એક). ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે અમારા SLAE માં 3 અજાણ્યા છે: $x_1$, $x_2$ અને $x_3$. અજ્ઞાતની સંખ્યા $n=3$ હોવાથી, અમે તારણ કાઢીએ છીએ: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, તેથી, ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના કોરોલરી અનુસાર, સિસ્ટમ ચોક્કસ છે, એટલે કે. એક અનન્ય ઉકેલ છે.

સમસ્યા હલ થાય છે. આ પદ્ધતિમાં કયા ગેરફાયદા અને ફાયદા છે? પ્રથમ, ચાલો ફાયદા વિશે વાત કરીએ. પ્રથમ, આપણે ફક્ત એક નિર્ણાયક શોધવાની જરૂર છે. આ પછી, અમે તરત જ ઉકેલોની સંખ્યા વિશે નિષ્કર્ષ કાઢ્યો. સામાન્ય રીતે, પ્રમાણભૂત પ્રમાણભૂત ગણતરીઓ સમીકરણોની પ્રણાલીઓ આપે છે જેમાં ત્રણ અજાણ્યા હોય છે અને તેનો અનન્ય ઉકેલ હોય છે. આવી સિસ્ટમો માટે, આ પદ્ધતિ ખૂબ અનુકૂળ છે, કારણ કે આપણે અગાઉથી જાણીએ છીએ કે ત્યાં એક ઉકેલ છે (નહીંતર ઉદાહરણ પ્રમાણભૂત ગણતરીમાં ન હોત). તે. આપણે માત્ર એટલુ જ કરવાનું છે કે ઉકેલનું અસ્તિત્વ સૌથી ઝડપી રીતે બતાવવાનું છે. બીજું, સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ (એટલે ​​​​કે $\Delta A$) ના નિર્ણાયકની ગણતરી કરેલ મૂલ્ય પછીથી ઉપયોગી થશે: જ્યારે આપણે ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અથવા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને આપેલ સિસ્ટમને હલ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ.

જો કે, રેન્કની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ વ્યાખ્યા પ્રમાણે વાપરવા માટે અનિચ્છનીય છે જો સિસ્ટમ $A$નું મેટ્રિક્સ લંબચોરસ હોય. આ કિસ્સામાં, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે, જેની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવશે. વધુમાં, જો $\Delta A=0$, તો આપણે આપેલ અસંગત SLAE ના ઉકેલોની સંખ્યા વિશે કશું કહી શકતા નથી. કદાચ SLAE પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે, અથવા કદાચ કોઈ નહીં. જો $\Delta A=0$, તો વધારાના સંશોધનની આવશ્યકતા છે, જે ઘણી વખત બોજારૂપ હોય છે.

શું કહેવામાં આવ્યું છે તેનો સારાંશ આપવા માટે, હું નોંધું છું કે પ્રથમ પદ્ધતિ તે SLAE માટે સારી છે જેમની સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ ચોરસ છે. તદુપરાંત, SLAE પોતે ત્રણ અથવા ચાર અજાણ્યાઓ ધરાવે છે અને તે પ્રમાણભૂત પ્રમાણભૂત ગણતરીઓ અથવા પરીક્ષણોમાંથી લેવામાં આવે છે.

પદ્ધતિ નંબર 2. પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિ દ્વારા ક્રમની ગણતરી.

આ પદ્ધતિને સંબંધિત વિષયમાં વિગતવાર વર્ણવેલ છે. અમે મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ ની રેન્કની ગણતરી કરવાનું શરૂ કરીશું. શા માટે મેટ્રિસિસ $\widetilde(A)$ અને $A$ નહીં? હકીકત એ છે કે મેટ્રિક્સ $A$ એ મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ નો ભાગ છે, તેથી, મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ ના ક્રમની ગણતરી કરીને આપણે એક સાથે મેટ્રિક્સ $A$ નો ક્રમ શોધીશું. .

\begin(સંરેખિત) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 અને 9 &-7 અને 17 \\ -1 અને 2 & -4 અને 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(એરે) \right) \rightarrow \left|\text(પહેલી અને બીજી લાઈનો સ્વેપ કરો)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(એરે) \right) \begin(એરે) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(એરે) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 અને 2 અને -4 અને 9 \\ 0 અને 3 &5 અને -10\\ 0 અને 6 અને 3 અને -6 \end(એરે) \right) \begin(એરે) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(એરે)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 અને 2 અને -4 અને 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 અને 0 & -7 અને 14 \end(એરે) \જમણે) \end(સંરેખિત)

અમે મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ ને echelon સ્વરૂપમાં ઘટાડી દીધું છે. પરિણામી એકેલન મેટ્રિક્સમાં ત્રણ બિન-શૂન્ય પંક્તિઓ છે, તેથી તેનો ક્રમ 3 છે. પરિણામે, મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ ની રેન્ક 3 ની બરાબર છે, એટલે કે. $\rang\widetilde(A)=3$. મેટ્રિક્સ $\widetilde(A)$ ના તત્વો સાથે રૂપાંતર કરતી વખતે, અમે વારાફરતી રેખા સુધી સ્થિત મેટ્રિક્સ $A$ ના તત્વોને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. મેટ્રિક્સ $A$ પણ ઘટાડીને એચેલોન ફોર્મમાં આવે છે: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(એરે) \અધિકાર )$. નિષ્કર્ષ: મેટ્રિક્સ $A$ નો રેન્ક પણ 3 છે, એટલે કે. $\રેંગ A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ હોવાથી, પછી ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય મુજબ સિસ્ટમ સુસંગત છે, એટલે કે. ઉકેલ છે. ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે અમારા SLAE માં 3 અજાણ્યા છે: $x_1$, $x_2$ અને $x_3$. અજ્ઞાતની સંખ્યા $n=3$ હોવાથી, અમે તારણ કાઢીએ છીએ: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, તેથી, ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના કોરોલરી અનુસાર, સિસ્ટમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, એટલે કે. એક અનન્ય ઉકેલ છે.

બીજી પદ્ધતિના ફાયદા શું છે? મુખ્ય ફાયદો તેની વૈવિધ્યતા છે. સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ ચોરસ છે કે નહીં તેનાથી અમને કોઈ ફરક પડતો નથી. વધુમાં, અમે વાસ્તવમાં ગૌસીયન પદ્ધતિના આગળના પરિવર્તનો હાથ ધર્યા. ત્યાં માત્ર બે પગલાં બાકી છે, અને અમે આ SLAE નો ઉકેલ મેળવી શકીએ છીએ. પ્રમાણિક બનવા માટે, મને પ્રથમ કરતાં બીજી પદ્ધતિ વધુ ગમે છે, પરંતુ પસંદગી એ સ્વાદની બાબત છે.

જવાબ આપો: આપેલ SLAE સુસંગત અને વ્યાખ્યાયિત છે.

ઉદાહરણ નંબર 2

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-નું અન્વેષણ કરો સુસંગતતા માટે 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(સંરેખિત) \right.$.

અમે પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ અને વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધીશું. વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(એરે) \right)$. ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને બદલીને જરૂરી રેન્ક શોધીએ:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 અને 5 અને 1 \\ 2 અને -1 અને 3 અને 2 \અંત(એરે) \right) \begin(એરે) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(એરે)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 અને 1 અને -2 \\ 0 અને 1 અને -1 અને 4 \\ 0 અને 1 અને -1 અને 4 \\ અંત(એરે) \જમણે) \begin(એરે) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(એરે)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 અને 2 અને -1\\ 0 અને 1 અને -1 અને 2 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 2 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 2 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 0 \\ (એરે) \\ જમણે) \begin(એરે) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(એરે) (ccc 0 અને 0 અને 0 અને 0 \end(એરે) \right) $$

સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. ઇકેલોન મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેની બિનશૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલો છે, તેથી $\rang\widetilde(A)=3$. મેટ્રિક્સ $A$ (રેખા સુધી) પણ ઘટાડીને એકલન સ્વરૂપમાં આવે છે, અને તેનો ક્રમ 2, $\rang(A)=2$ છે.

ત્યારથી $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, પછી ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય મુજબ સિસ્ટમ અસંગત છે (એટલે ​​​​કે, કોઈ ઉકેલ નથી).

જવાબ આપો: સિસ્ટમ અસંગત છે.

ઉદાહરણ નંબર 3

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=6-નું અન્વેષણ કરો ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(સંરેખિત) \right.$ સુસંગતતા માટે.

અમે સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

$$ \left(\begin(array)(cccc & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(એરે) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 અને -2 અને 3 અને 0 અને 2 અને 17\\ 2 અને 0 અને 7 & -5 અને 11 અને 42\\ -3 અને 9 અને -11 અને 0 અને -7 અને -64\\ -5 અને 17 અને -16 અને -5 અને -4 અને -90\\ 7 અને -17 અને 23 & 0 અને 15 અને 132 \end(એરે) \right) \begin(એરે) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \ end( એરે) \rightarrow \left(\begin(array)(cccc 2 અને 0 અને -1 અને -13\\ 0 અને 7 અને -1 અને -5 અને 6 અને -5 \\ 0 અને -3 અને 2 અને 0 અને 1 અને 13 \અંત(એરે) \જમણે) \begin( એરે) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(એરે) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (એરે)(સીસીસીસી \\ 0 અને 0 અને -11 અને 15 અને -25 અને -76 \\ 0 અને 0 અને 11 અને -15 અને 25 અને 76 \ એન્ડ(એરે) \જમણે) \begin(એરે) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(એરે) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 અને -2 & 3 અને 0 અને 2 અને 17\\ 0 અને 4 અને 1 અને -5 અને 7 અને 8\\ 0 અને 0 અને -11 અને 15 અને -25 અને -76\\ 0 અને 0 અને 0 અને 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 0 અને 0 અને 0 \અંત(એરે) \જમણે) $$

અમે સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ અને સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવ્યા છીએ. સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ ત્રણની બરાબર છે, સિસ્ટમના મેટ્રિક્સનો ક્રમ પણ ત્રણની બરાબર છે. સિસ્ટમમાં $n=5$ અજ્ઞાત હોવાથી, એટલે કે. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, તો પછી ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના કોરોલરી અનુસાર, આ સિસ્ટમ અનિશ્ચિત છે, એટલે કે. અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જવાબ આપો: સિસ્ટમ અનિશ્ચિત છે.

બીજા ભાગમાં, અમે ઉચ્ચ ગણિતમાં પ્રમાણભૂત ગણતરીઓ અથવા પરીક્ષણોમાં સમાવિષ્ટ ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરીશું: તેમાં સમાવિષ્ટ પરિમાણોના મૂલ્યોના આધારે SLAE નું સુસંગતતા સંશોધન અને ઉકેલ.

વિભાગો: ગણિત

જો કોઈ સમસ્યામાં ત્રણ કરતા ઓછા ચલ હોય, તો તે કોઈ સમસ્યા નથી; જો તે આઠ કરતા વધુ હોય, તો તે વણઉકેલાયેલ છે. એનન.

પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના તમામ સંસ્કરણોમાં જોવા મળે છે, કારણ કે તેમને હલ કરવાથી સ્નાતકનું જ્ઞાન કેટલું ઊંડું અને અનૌપચારિક છે તે સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે. આવા કાર્યોને પૂર્ણ કરતી વખતે વિદ્યાર્થીઓ જે મુશ્કેલીઓનો સામનો કરે છે તે માત્ર તેમની સંબંધિત જટિલતાને કારણે જ નહીં, પરંતુ પાઠ્યપુસ્તકોમાં તેમના પર અપૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે તે હકીકતને કારણે પણ થાય છે. ગણિતમાં KIM ના સંસ્કરણોમાં, પરિમાણો સાથેના બે પ્રકારના કાર્યો છે. પ્રથમ: "પેરામીટરના દરેક મૂલ્ય માટે, સમીકરણ, અસમાનતા અથવા સિસ્ટમ ઉકેલો." બીજું: "પેરામીટરના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક માટે અસમાનતા, સમીકરણ અથવા સિસ્ટમના ઉકેલો આપેલ શરતોને સંતોષે છે." તદનુસાર, આ બે પ્રકારની સમસ્યાઓના જવાબો સારમાં ભિન્ન છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, જવાબ પરિમાણના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની સૂચિ આપે છે અને આ દરેક મૂલ્યો માટે સમીકરણના ઉકેલો લખવામાં આવે છે. બીજા બધા પરિમાણ મૂલ્યોની સૂચિ આપે છે કે જેના પર સમસ્યાની શરતો પૂરી થાય છે. જવાબ લખવો એ ઉકેલનો આવશ્યક તબક્કો છે; જવાબમાં ઉકેલના તમામ તબક્કાઓને પ્રતિબિંબિત કરવાનું ભૂલશો નહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. વિદ્યાર્થીઓએ આ તરફ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે.
પાઠના પરિશિષ્ટમાં "પરિમાણો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા" વિષય પર વધારાની સામગ્રી છે, જે વિદ્યાર્થીઓને અંતિમ પ્રમાણપત્ર માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે.

પાઠ હેતુઓ:

• વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનું વ્યવસ્થિતકરણ;
• સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલતી વખતે ગ્રાફિકલ રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;
• પરિમાણો ધરાવતી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;
• વિદ્યાર્થીઓના ઓપરેશનલ નિયંત્રણ અને સ્વ-નિયંત્રણનું અમલીકરણ;
• શાળાના બાળકોની સંશોધન અને જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિનો વિકાસ, પ્રાપ્ત પરિણામોનું મૂલ્યાંકન કરવાની ક્ષમતા.

પાઠ બે કલાક ચાલે છે.

પાઠ પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ

પાઠના વિષય, ધ્યેયો અને ઉદ્દેશ્યોની વાતચીત કરો.

1. વિદ્યાર્થીઓના મૂળભૂત જ્ઞાનને અપડેટ કરવું

હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે. હોમવર્ક તરીકે, વિદ્યાર્થીઓને રેખીય સમીકરણોની ત્રણ સિસ્ટમોમાંથી દરેકને ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવ્યું હતું

a) b) વી)

ગ્રાફિકલી અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે; દરેક કેસ માટે મેળવેલ ઉકેલોની સંખ્યા વિશે નિષ્કર્ષ દોરો

વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા લેવામાં આવેલા તારણો સાંભળવામાં આવે છે અને તેનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. શિક્ષકના માર્ગદર્શન હેઠળના કાર્યના પરિણામોનો સારાંશ નોટબુકમાં આપવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે: .

આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને ગ્રાફિકલી ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણોના આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી. પ્લેન પર આ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણનો ગ્રાફ ચોક્કસ સીધી રેખા છે.

પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓની પરસ્પર ગોઠવણીના ત્રણ સંભવિત કિસ્સાઓ છે:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

દરેક કેસ માટે તે ડ્રોઇંગ બનાવવા માટે ઉપયોગી છે.

1. નવી સામગ્રી શીખવી

આજે પાઠમાં આપણે શીખીશું કે પરિમાણો ધરાવતી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી. પરિમાણ એક સ્વતંત્ર ચલ છે જેનું મૂલ્ય સમસ્યામાં આપેલ નિશ્ચિત અથવા મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા અથવા પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહની સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે. પરિમાણ સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવો જે પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્યને સિસ્ટમને અનુરૂપ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પરિમાણ સાથેની સમસ્યાનો ઉકેલ તેમાં પૂછાયેલા પ્રશ્ન પર આધાર રાખે છે. જો તમારે પેરામીટરના વિવિધ મૂલ્યો માટે સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાની અથવા તેનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર હોય, તો તમારે પેરામીટરના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અથવા અગાઉ ઉલ્લેખિત સેટ સાથે સંબંધિત પરિમાણના મૂલ્ય માટે વાજબી જવાબ આપવાની જરૂર છે. સમસ્યા જો ચોક્કસ શરતોને સંતોષતા પરિમાણ મૂલ્યો શોધવા માટે જરૂરી હોય, તો સંપૂર્ણ અભ્યાસની જરૂર નથી, અને સિસ્ટમનો ઉકેલ આ ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્યો શોધવા માટે મર્યાદિત છે.

ઉદાહરણ 1.દરેક પરિમાણ મૂલ્ય માટે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ

ઉકેલ.

1. સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે જો

આ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે

1. જો a = 0 હોય, તો સિસ્ટમ ફોર્મ લે છે

સિસ્ટમ અસંગત છે, એટલે કે. કોઈ ઉકેલ નથી.

1. જો પછી સિસ્ટમ ફોર્મમાં લખાયેલ છે

દેખીતી રીતે, આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ પાસે x = t ફોર્મના અનંત ઘણા ઉકેલો છે; જ્યાં t કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

• એક અનન્ય ઉકેલ છે;
• ઘણા ઉકેલો છે;
• કોઈ ઉકેલ નથી?

ઉકેલ.

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.ચાલો આપણે પરિમાણો a અને b નો સરવાળો શોધીએ જેના માટે સિસ્ટમ છે

અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ઉકેલ.સિસ્ટમ પાસે અનંતપણે ઘણા ઉકેલો છે જો

એટલે કે, જો a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 = 48.

જવાબ: 48.

1. સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે જે શીખવામાં આવ્યું છે તેને મજબૂત બનાવવું

1. નંબર 15.24(a) . દરેક પરિમાણ મૂલ્ય માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

1. નંબર 15.25(a) દરેક પરિમાણ મૂલ્ય માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

1. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણોની સિસ્ટમ કરે છે

એ) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી; b) અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જવાબ: a = 2 માટે કોઈ ઉકેલો નથી, a = -2 માટે અસંખ્ય ઉકેલો છે

1. જૂથોમાં વ્યવહારુ કાર્ય

વર્ગ 4-5 લોકોના જૂથોમાં વહેંચાયેલો છે. દરેક જૂથમાં ગાણિતિક તૈયારીના વિવિધ સ્તરો ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓનો સમાવેશ થાય છે. દરેક જૂથને ટાસ્ક કાર્ડ મળે છે. તમે બધા જૂથોને સમીકરણોની એક સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે આમંત્રિત કરી શકો છો અને ઉકેલને ઔપચારિક બનાવી શકો છો. જૂથ કે જે કાર્યને યોગ્ય રીતે પૂર્ણ કરનાર પ્રથમ હતું તે તેના ઉકેલને રજૂ કરે છે; બાકીના ઉકેલ શિક્ષકને સોંપો.

કાર્ડ.રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

પરિમાણના તમામ મૂલ્યો માટે a.

જવાબ: ક્યારે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે ; જ્યારે કોઈ ઉકેલો ન હોય; a = -1 માટે ફોર્મના અનંત ઘણા ઉકેલો છે, (t; 1- t) જ્યાં t R

જો વર્ગ મજબૂત હોય, તો જૂથોને સમીકરણોની વિવિધ પ્રણાલીઓ ઓફર કરવામાં આવી શકે છે, જેની સૂચિ આમાં છે પરિશિષ્ટ 1. પછી દરેક જૂથ વર્ગ સમક્ષ તેમનો ઉકેલ રજૂ કરે છે.

કાર્યને યોગ્ય રીતે પૂર્ણ કરનાર પ્રથમ જૂથનો અહેવાલ

સહભાગીઓ અવાજ કરે છે અને તેમના ઉકેલને સમજાવે છે અને અન્ય જૂથોના પ્રતિનિધિઓ દ્વારા ઉઠાવવામાં આવેલા પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે.

1. સ્વતંત્ર કાર્ય

વિકલ્પ 1

વિકલ્પ 2

1. પાઠ સારાંશ

પરિમાણો સાથે રેખીય સમીકરણોના ઉકેલની પ્રણાલીઓને ત્રણ મૂળભૂત શરતોનો સમાવેશ કરતા અભ્યાસ સાથે સરખાવી શકાય છે. શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને તેમની રચના કરવા આમંત્રણ આપે છે.

નક્કી કરતી વખતે, યાદ રાખો:

1. સિસ્ટમમાં અનન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે, તે જરૂરી છે કે સિસ્ટમના સમીકરણને અનુરૂપ રેખાઓ છેદે છે, એટલે કે. શરત પૂરી થવી જોઈએ;
2. કોઈ ઉકેલ ન હોવા માટે, રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ, એટલે કે. શરત પૂરી થઈ
3. અને, છેવટે, સિસ્ટમ માટે અનંત ઘણા ઉકેલો હોય, રેખાઓ એકરૂપ હોવી જોઈએ, એટલે કે. શરત પૂરી થઈ.

શિક્ષક સમગ્ર વર્ગના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરે છે અને વ્યક્તિગત વિદ્યાર્થીઓને પાઠ માટે ગુણ સોંપે છે. તેમના સ્વતંત્ર કાર્યની તપાસ કર્યા પછી, દરેક વિદ્યાર્થીને પાઠ માટે ગ્રેડ પ્રાપ્ત થશે.

1. હોમવર્ક

સમીકરણોની સિસ્ટમ b પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર કરે છે

• અનંત ઘણા ઉકેલો છે;
• કોઈ ઉકેલ નથી?

ફંક્શન y = 4x + b અને y = kx + 6 ના આલેખ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે.

• b અને k શોધો,
• આ આલેખના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

m અને n ના તમામ મૂલ્યો માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

પરિમાણ a (તમારી પસંદગીની કોઈપણ કિંમત) ના તમામ મૂલ્યો માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

સાહિત્ય

1. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠયપુસ્તક. 11મા ધોરણ માટે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: શિક્ષણ, 2008.
2. ગણિત: 9મો ગ્રેડ: રાજ્યના અંતિમ પ્રમાણપત્રની તૈયારી / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. અમે યુનિવર્સિટીની તૈયારી કરી રહ્યા છીએ. ગણિત. ભાગ 2. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી, કેન્દ્રિય પરીક્ષણમાં ભાગ લેવા અને કુબાન સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી/કુબાનમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓ પાસ કરવા માટેની પાઠ્યપુસ્તક. રાજ્ય ટેકનોલોજી યુનિવર્સિટી; આધુનિક સંસ્થા ટેકનોલોજી અને અર્થતંત્ર.; દ્વારા સંકલિત: એસ. એન. ગોર્શકોવા, એલ. એમ. ડેનોવિચ, એન. એ. નૌમોવા, એ.વી. માર્ટિનેન્કો, I.A. પાલશ્ચિકોવા. - ક્રાસ્નોદર, 2006.
4. TUSUR પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: પાઠ્યપુસ્તક / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. કુડિનોવા. - ટોમ્સ્ક: ટોમ્સ્ક. રાજ્ય યુનિવર્સિટી ઓફ કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સ એન્ડ રેડિયોઈલેક્ટ્રોનિક્સ, 1998.
5. ગણિત: સઘન પરીક્ષા તૈયારી અભ્યાસક્રમ / ઓ. યુ. ચેરકાસોવ, એ. જી. યાકુશેવ. - એમ.: રોલ્ફ, આઇરિસ-પ્રેસ, 1998.