કયા આંકડા બહુકોણ નથી? બહુકોણ અને તેમના ગુણધર્મો

વિભાગો: ગણિત

વિષય, વિદ્યાર્થી વય: ભૂમિતિ, 9મું ધોરણ

પાઠનો હેતુ: બહુકોણના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરો.

શૈક્ષણિક કાર્ય: બહુકોણ વિશે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવા, વિસ્તૃત કરવા અને સામાન્ય બનાવવા માટે; બહુકોણના "ઘટક ભાગો" નો વિચાર બનાવો; નિયમિત બહુકોણના ઘટક તત્વોની સંખ્યાનો અભ્યાસ કરો (ત્રિકોણથી એન-ગોન સુધી);

વિકાસલક્ષી કાર્ય: પૃથ્થકરણ, સરખામણી, તારણો કાઢવાની ક્ષમતા વિકસાવવા, કોમ્પ્યુટેશનલ કૌશલ્યો વિકસાવવા, મૌખિક અને લેખિત ગાણિતિક ભાષણ, મેમરી, તેમજ વિચાર અને શીખવાની પ્રવૃત્તિઓમાં સ્વતંત્રતા, જોડી અને જૂથોમાં કામ કરવાની ક્ષમતા; સંશોધન અને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓનો વિકાસ;

શૈક્ષણિક કાર્ય: સ્વતંત્રતા કેળવવી, પ્રવૃત્તિ, સોંપેલ કાર્ય માટેની જવાબદારી, ધ્યેય પ્રાપ્ત કરવામાં દ્રઢતા.

પાઠ પ્રગતિ:બોર્ડ પર લખેલ અવતરણ

"પ્રકૃતિ ગણિતની ભાષા બોલે છે, આ ભાષાના અક્ષરો ... ગાણિતિક આંકડાઓ."જી.ગેલીલી

પાઠની શરૂઆતમાં, વર્ગને કાર્યકારી જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે (અમારા કિસ્સામાં, દરેકને 4 લોકોના જૂથોમાં વહેંચવામાં આવે છે - જૂથના સભ્યોની સંખ્યા પ્રશ્ન જૂથોની સંખ્યા જેટલી હોય છે).

1. કૉલ સ્ટેજ-

લક્ષ્યો:

a) વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું;

b) અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિષયમાં રસ જાગૃત કરવો, દરેક વિદ્યાર્થીને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ માટે પ્રેરિત કરવો.

ટેકનીક: ગેમ "શું તમે માનો છો કે...", ટેક્સ્ટ સાથે કામનું સંગઠન.

કાર્યના સ્વરૂપો: આગળનો, જૂથ.

"શું તમે માનો છો કે..."

1. ... શબ્દ "બહુકોણ" સૂચવે છે કે આ પરિવારની તમામ આકૃતિઓ "ઘણા ખૂણાઓ" ધરાવે છે?

2. ... શું ત્રિકોણ બહુકોણના વિશાળ પરિવારનો છે, જે પ્લેનમાં વિવિધ ભૌમિતિક આકારોમાં અલગ છે?

3. ... શું ચોરસ નિયમિત અષ્ટકોણ (ચાર બાજુ + ચાર ખૂણા) છે?

આજે પાઠમાં આપણે બહુકોણ વિશે વાત કરીશું. આપણે જાણીએ છીએ કે આ આંકડો બંધ તૂટેલી લાઇન દ્વારા મર્યાદિત છે, જે બદલામાં સરળ, બંધ થઈ શકે છે. ચાલો એ હકીકત વિશે વાત કરીએ કે બહુકોણ સપાટ, નિયમિત અથવા બહિર્મુખ હોઈ શકે છે. સપાટ બહુકોણમાંથી એક ત્રિકોણ છે, જેની સાથે તમે લાંબા સમયથી પરિચિત છો (તમે વિદ્યાર્થીઓને બહુકોણ દર્શાવતા પોસ્ટરો, એક તૂટેલી રેખા, તેમના વિવિધ પ્રકારો બતાવી શકો છો, તમે TSO નો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો).

2. વિભાવના સ્ટેજ

ધ્યેય: નવી માહિતી મેળવવી, તેને સમજવી, તેને પસંદ કરવી.

ટેકનીક: ઝિગઝેગ.

કાર્યના સ્વરૂપો: વ્યક્તિગત->જોડી->જૂથ.

જૂથના દરેક સભ્યને પાઠના વિષય પર એક ટેક્સ્ટ આપવામાં આવે છે, અને ટેક્સ્ટને એવી રીતે સંકલિત કરવામાં આવે છે કે તેમાં વિદ્યાર્થીઓને પહેલેથી જ જાણીતી માહિતી અને સંપૂર્ણપણે નવી માહિતી બંનેનો સમાવેશ થાય છે. ટેક્સ્ટની સાથે, વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્નો મેળવે છે, જેના જવાબો આ ટેક્સ્ટમાં હોવા જોઈએ.

બહુકોણ. બહુકોણના પ્રકાર.

કોણે રહસ્યમય બર્મુડા ત્રિકોણ વિશે સાંભળ્યું નથી, જેમાં વહાણો અને વિમાનો કોઈ નિશાન વિના અદૃશ્ય થઈ જાય છે? પરંતુ ત્રિકોણ, બાળપણથી જ આપણને પરિચિત છે, તે ઘણી બધી રસપ્રદ અને રહસ્યમય વસ્તુઓથી ભરપૂર છે.

ત્રિકોણના પ્રકારો જે આપણને પહેલાથી જ ઓળખે છે તે ઉપરાંત, બાજુઓ (સ્કેલિન, સમદ્વિબાજુ, સમભુજ) અને ખૂણા (તીવ્ર, સ્થૂળ, લંબચોરસ) દ્વારા વિભાજિત, ત્રિકોણ બહુકોણના વિશાળ પરિવારનો છે, જે વિવિધ ભૌમિતિક આકારોમાં અલગ છે. વિમાન

"બહુકોણ" શબ્દ સૂચવે છે કે આ પરિવારની તમામ આકૃતિઓ "ઘણા ખૂણાઓ" ધરાવે છે. પરંતુ આકૃતિને દર્શાવવા માટે આ પૂરતું નથી.

તૂટેલી રેખા A 1 A 2 ...A n એ એક આકૃતિ છે જેમાં બિંદુઓ A 1, A 2, ...A n અને તેમને A 1 A 2, A 2 A 3,.... સાથે જોડતા ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. બિંદુઓને પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને વિભાગોને પોલિલાઇનની લિંક્સ કહેવામાં આવે છે. (ફિગ.1)

તૂટેલી રેખાને સરળ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં કોઈ સ્વ-છેદન ન હોય (ફિગ. 2, 3).

જો તેના છેડા એકસરખા હોય તો તેને બંધ કહેવામાં આવે છે. તૂટેલી રેખાની લંબાઈ તેની લિંક્સની લંબાઈનો સરવાળો છે (ફિગ. 4).

એક સરળ બંધ તૂટેલી રેખાને બહુકોણ કહેવામાં આવે છે જો તેની પડોશી કડીઓ સમાન સીધી રેખા પર ન હોય (ફિગ. 5).

"ઘણા" ભાગને બદલે "બહુકોણ" શબ્દમાં, ઉદાહરણ તરીકે 3, ચોક્કસ સંખ્યાને બદલો. તમને ત્રિકોણ મળશે. અથવા 5. પછી - એક પેન્ટાગોન. નોંધ કરો કે, જેટલા ખૂણા છે, તેટલી બાજુઓ છે, તેથી આ આંકડાઓને બહુપક્ષીય કહી શકાય.

તૂટેલી રેખાના શિરોબિંદુઓને બહુકોણના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને તૂટેલી રેખાની લિંક્સને બહુકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે.

બહુકોણ પ્લેનને બે વિસ્તારોમાં વિભાજિત કરે છે: આંતરિક અને બાહ્ય (ફિગ. 6).

પ્લેન બહુકોણ અથવા બહુકોણ વિસ્તાર એ બહુકોણ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેનનો મર્યાદિત ભાગ છે.

બહુકોણના બે શિરોબિંદુઓ કે જે એક બાજુના છેડા છે તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. શિરોબિંદુઓ કે જે એક બાજુના છેડા નથી તે બિન-પડોશી છે.

n શિરોબિંદુઓ અને તેથી n બાજુઓ સાથેનો બહુકોણ, n-ગોન કહેવાય છે.

જોકે બહુકોણની બાજુઓની સૌથી નાની સંખ્યા 3 છે. પરંતુ ત્રિકોણ, જ્યારે એકબીજા સાથે જોડાયેલ હોય, ત્યારે અન્ય આકૃતિઓ બનાવી શકે છે, જે બદલામાં બહુકોણ પણ છે.

બહુકોણના બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતા ભાગોને કર્ણ કહેવામાં આવે છે.

બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો તે તેની બાજુ ધરાવતી કોઈપણ રેખાની તુલનામાં સમાન અર્ધ-વિમાનમાં હોય. આ કિસ્સામાં, સીધી રેખા પોતે અર્ધ-વિમાનની હોવાનું માનવામાં આવે છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો ખૂણો તેની બાજુઓ દ્વારા આ શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થવાથી બનેલો ખૂણો છે.

ચાલો પ્રમેય સાબિત કરીએ (બહિર્મુખ n-ગોનના ખૂણાઓના સરવાળા વિશે): બહિર્મુખ n-gon ના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 0 *(n - 2) ની બરાબર છે.

પુરાવો. n=3 કિસ્સામાં પ્રમેય માન્ય છે. ચાલો A ​​1 A 2 ...A n ને આપેલ બહિર્મુખ બહુકોણ અને n>3. ચાલો તેમાં કર્ણ દોરીએ (એક શિરોબિંદુમાંથી). બહુકોણ બહિર્મુખ હોવાથી, આ કર્ણ તેને n – 2 ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો એ આ બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો છે. દરેક ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 0 જેટલો છે, અને આ ત્રિકોણ n ની સંખ્યા 2 છે. તેથી, બહિર્મુખ n-gon A 1 A 2 ...A n ના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ની બરાબર છે. 0 * (n - 2). પ્રમેય સાબિત થયો છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય કોણ એ આ શિરોબિંદુ પરના બહુકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો છે.

બહિર્મુખ બહુકોણને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેની બધી બાજુઓ સમાન હોય અને બધા ખૂણા સમાન હોય.

તેથી ચોરસને અલગ રીતે કહી શકાય - નિયમિત ચતુર્ભુજ. સમબાજુ ત્રિકોણ પણ નિયમિત છે. ઇમારતોને સુશોભિત કરનારા કારીગરો માટે આવા આંકડા લાંબા સમયથી રસ ધરાવતા હતા. તેઓએ સુંદર પેટર્ન બનાવ્યાં, ઉદાહરણ તરીકે લાકડાંની પર. પરંતુ તમામ નિયમિત બહુકોણનો ઉપયોગ લાકડાનું પાતળું પડ બનાવવા માટે થઈ શકતો નથી. નિયમિત અષ્ટકોણમાંથી લાકડી બનાવી શકાતી નથી. હકીકત એ છે કે દરેક ખૂણો 135 0 ની બરાબર છે. અને જો અમુક બિંદુ આવા બે અષ્ટકોણનું શિરોબિંદુ હોય, તો તે 270 0 ગણાશે, અને ત્રીજા અષ્ટકોણને ત્યાં ફિટ કરવા માટે ક્યાંય નથી: 360 0 - 270 0 = 90 0. પરંતુ ચોરસ માટે આ પૂરતું છે. તેથી, તમે નિયમિત અષ્ટકોણ અને ચોરસમાંથી લાકડાનું પાતળું પડ બનાવી શકો છો.

તારાઓ પણ સાચા છે. આપણો પાંચ-પોઇન્ટેડ તારો નિયમિત પંચકોણીય તારો છે. અને જો તમે ચોરસને કેન્દ્રની આસપાસ 45 0 દ્વારા ફેરવો છો, તો તમને નિયમિત અષ્ટકોણ તારો મળશે.

1 જૂથ

તૂટેલી રેખા શું છે? પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓ અને લિંક્સ શું છે તે સમજાવો.

કઈ તૂટેલી લાઇનને સરળ કહેવામાં આવે છે?

કઈ તૂટેલી લાઈન બંધ કહેવાય છે?

બહુકોણ શું કહેવાય છે? બહુકોણના શિરોબિંદુઓને શું કહેવામાં આવે છે? બહુકોણની બાજુઓને શું કહે છે?

2 જી જૂથ

કયા બહુકોણને સપાટ કહેવામાં આવે છે? બહુકોણના ઉદાહરણો આપો.

n – ચોરસ શું છે?

બહુકોણના કયા શિરોબિંદુઓ અડીને છે અને કયા નથી તે સમજાવો.

બહુકોણનો કર્ણ શું છે?

3 જૂથ

કયા બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે?

બહુકોણના કયા ખૂણા બાહ્ય છે અને કયા આંતરિક છે તે સમજાવો?

કયા બહુકોણને નિયમિત કહેવામાં આવે છે? નિયમિત બહુકોણના ઉદાહરણો આપો.

4 જૂથ

બહિર્મુખ n-ગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે? તે સાબિત કરો.

વિદ્યાર્થીઓ ટેક્સ્ટ સાથે કામ કરે છે, પૂછાયેલા પ્રશ્નોના જવાબો શોધે છે, ત્યારબાદ નિષ્ણાત જૂથો રચાય છે, જેમાં સમાન મુદ્દાઓ પર કાર્ય હાથ ધરવામાં આવે છે: વિદ્યાર્થીઓ મુખ્ય મુદ્દાઓને પ્રકાશિત કરે છે, સહાયક સારાંશ દોરે છે અને તેમાંની એકમાં માહિતી રજૂ કરે છે. ગ્રાફિક સ્વરૂપો. કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, વિદ્યાર્થીઓ તેમના કાર્ય જૂથોમાં પાછા ફરે છે.

3. પ્રતિબિંબ સ્ટેજ -

એ) વ્યક્તિના જ્ઞાનનું મૂલ્યાંકન, જ્ઞાનના આગલા પગલા માટે પડકાર;

b) પ્રાપ્ત માહિતીની સમજ અને વિનિયોગ.

સ્વાગત: સંશોધન કાર્ય.

કાર્યના સ્વરૂપો: વ્યક્તિગત->જોડી->જૂથ.

કાર્યકારી જૂથોમાં સૂચિત પ્રશ્નોના દરેક વિભાગના જવાબ આપવા માટે નિષ્ણાતોનો સમાવેશ થાય છે.

કાર્યકારી જૂથમાં પાછા ફરતા, નિષ્ણાત તેના પ્રશ્નોના જવાબો અન્ય જૂથના સભ્યોને રજૂ કરે છે. જૂથ કાર્યકારી જૂથના તમામ સભ્યો વચ્ચે માહિતીની આપલે કરે છે. આમ, દરેક કાર્યકારી જૂથમાં, નિષ્ણાતોના કાર્યને આભારી છે, જે વિષયનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેની સામાન્ય સમજણ રચાય છે.

વિદ્યાર્થીઓનું સંશોધન કાર્ય - ટેબલ ભરવાનું.

પાઠના વિષય પર રસપ્રદ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

• ચતુષ્કોણમાં, એક સીધી રેખા દોરો જેથી તે તેને ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે.
• નિયમિત બહુકોણની કેટલી બાજુઓ હોય છે, તેનો દરેક આંતરિક ખૂણો 135 0 માપે છે?
• ચોક્કસ બહુકોણમાં, બધા આંતરિક ખૂણા એકબીજા સાથે સમાન હોય છે. શું આ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન હોઈ શકે: 360 0, 380 0?

પાઠનો સારાંશ. હોમવર્ક રેકોર્ડિંગ.

બહુકોણનો ખ્યાલ. બહુકોણ શું છે

બહુકોણભૌમિતિક આકૃતિ છે જે બંધ તૂટેલી રેખા છે.

બહુકોણ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ત્રણ વિકલ્પો છે:

• બહુકોણ એ સપાટ બંધ તૂટેલી રેખા છે;
• બહુકોણ એ સ્વ-છેદન વિનાની સપાટ બંધ તૂટેલી રેખા છે;
• બહુકોણ એ પ્લેનનો એક ભાગ છે જે બંધ પોલિલાઇન દ્વારા બંધાયેલ છે.

તૂટેલી રેખાના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે બહુકોણના શિરોબિંદુઓ, અને સેગમેન્ટ્સ - બહુકોણની બાજુઓ.

શિખરોબહુકોણ કહેવાય છે પડોશી, જો તેઓ તેની એક બાજુના છેડા હોય.

બહુકોણના બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો કહેવાય છે કર્ણ.

બહુકોણનો ખૂણો (અથવા આંતરિક ખૂણો).આપેલ શિરોબિંદુ પર, આ શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થતા અને બહુકોણના આંતરિક ભાગમાં સ્થિત તેની બાજુઓ દ્વારા રચાયેલ કોણ કહેવાય છે.

બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય ખૂણોઆપેલ શિરોબિંદુ પર આ શિરોબિંદુ પરના બહુકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલા ખૂણાને કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, બાહ્ય કોણ એ 180° અને આંતરિક કોણ વચ્ચેનો તફાવત છે

બહુકોણ કહેવાય છે બહિર્મુખ, જો કે નીચેની શરતોમાંથી એક સાચી હોય તો:

• બહિર્મુખ બહુકોણ તેની નજીકના શિરોબિંદુઓને જોડતી કોઈપણ રેખાની એક બાજુ પર રહેલું છે;
• બહિર્મુખ બહુકોણ એ કેટલાક અર્ધ-વિમાનોનું આંતરછેદ છે;
• બહિર્મુખ બહુકોણના બિંદુઓ પર છેડા સાથેનો કોઈપણ સેગમેન્ટ સંપૂર્ણપણે તેનો છે.

બહિર્મુખ બહુકોણ કહેવાય છે યોગ્ય, જો બધી બાજુઓ સમાન હોય અને બધા ખૂણા સમાન હોય, ઉદાહરણ તરીકે, એક સમબાજુ ત્રિકોણ, એક ચોરસ અને નિયમિત પંચકોણ.

બહિર્મુખ બહુકોણ વર્તુળમાં અંકિત કહેવાય છે જો તેના બધા શિરોબિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર આવેલા હોય.

બહિર્મુખ બહુકોણને વર્તુળની આસપાસ પરિક્રમા કહેવાય છે જો તેની બધી બાજુઓ અમુક વર્તુળને સ્પર્શે છે.

બહુકોણનું વર્ગીકરણ (પ્રકાર).

પ્રકાર દ્વારા બહુકોણનું વર્ગીકરણ ઘણા ગુણધર્મો પર આધારિત હોઈ શકે છે, જેમાંથી સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે:

• શિરોબિંદુઓની સંખ્યા
• બહિર્મુખ
• અધિકાર
• વર્તુળ લખવાની અથવા તેનું વર્ણન કરવાની ક્ષમતા

બહિર્મુખ બહુકોણ હંમેશા રેખાની એક બાજુએ રહે છે જેમાં તેની કોઈપણ બાજુ હોય છે. (ઉપર જુઓ)

નિયમિત બહુકોણમાં સમાન બાજુઓ અને ખૂણા હોય છે. આને કારણે, તેમની પાસે કેટલીક વિશેષ ગુણધર્મો છે (ચોરસ જુઓ).

સ્વ-છેદતા બહુકોણ પણ નિયમિત હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પેન્ટાગ્રામ ("પાંચ-પોઇન્ટેડ સ્ટાર").

બહુકોણને બહુકોણમાં ફિટ કરવાની અથવા બહુકોણની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરવાની ક્ષમતાના સંબંધમાં પણ ઓળખી શકાય છે. ત્યાં બહુકોણ હોઈ શકે છે જેની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરવું અશક્ય છે, અને એક અંકિત કરવું પણ અશક્ય છે. તે જ સમયે, કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરવું હંમેશા શક્ય છે.

બહુકોણ ગુણધર્મો

• n-ગોનના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો (n − 2)π છે.
• નિયમિત n-ગોનના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 180(n − 2) છે.
• કોઈપણ બહુકોણના કર્ણની સંખ્યા n(n − 3) / 2 છે, જ્યાં n એ બાજુઓની સંખ્યા છે.

આ પાઠમાં આપણે એક નવો વિષય શરૂ કરીશું અને આપણા માટે એક નવો ખ્યાલ રજૂ કરીશું: “બહુકોણ”. આપણે બહુકોણ સાથે સંકળાયેલા મૂળભૂત વિભાવનાઓને જોઈશું: બાજુઓ, શિરોબિંદુ કોણ, બહિર્મુખતા અને બિન-કન્વેક્સિટી. પછી આપણે બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય, બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય જેવા સૌથી મહત્વપૂર્ણ તથ્યો સાબિત કરીશું. પરિણામે, અમે બહુકોણના વિશેષ કેસોનો અભ્યાસ કરવાની નજીક આવીશું, જે આગળના પાઠોમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

વિષય: ચતુર્ભુજ

પાઠ: બહુકોણ

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં, અમે ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ અને તેમાંથી સૌથી સરળ: ત્રિકોણ અને વર્તુળોની તપાસ કરી છે. તે જ સમયે, અમે આ આંકડાઓના ચોક્કસ વિશિષ્ટ કેસોની પણ ચર્ચા કરી, જેમ કે જમણો, સમદ્વિબાજુ અને નિયમિત ત્રિકોણ. હવે વધુ સામાન્ય અને જટિલ આંકડાઓ વિશે વાત કરવાનો સમય છે - બહુકોણ.

ખાસ કેસ સાથે બહુકોણઆપણે પહેલેથી જ પરિચિત છીએ - આ એક ત્રિકોણ છે (ફિગ 1 જુઓ).

ચોખા. 1. ત્રિકોણ

નામ પોતે પહેલેથી જ ભાર મૂકે છે કે આ ત્રણ ખૂણાઓવાળી આકૃતિ છે. તેથી, માં બહુકોણતેમાંના ઘણા હોઈ શકે છે, એટલે કે. ત્રણ કરતાં વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પેન્ટાગોન દોરીએ (ફિગ 2 જુઓ), એટલે કે. પાંચ ખૂણાઓ સાથે આકૃતિ.

ચોખા. 2. પેન્ટાગોન. બહિર્મુખ બહુકોણ

વ્યાખ્યા.બહુકોણ- એક આકૃતિ જેમાં કેટલાક બિંદુઓ (બે કરતાં વધુ) અને અનુરૂપ સંખ્યાબંધ વિભાગો છે જે તેમને અનુક્રમે જોડે છે. આ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે શિખરોબહુકોણ, અને સેગમેન્ટ્સ છે પક્ષો. આ કિસ્સામાં, કોઈ બે અડીને બાજુઓ એક જ સીધી રેખા પર રહેતી નથી અને કોઈ બે બિન-સંલગ્ન બાજુઓ છેદે છે.

વ્યાખ્યા.નિયમિત બહુકોણબહિર્મુખ બહુકોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ અને ખૂણા સમાન હોય છે.

કોઈપણ બહુકોણપ્લેનને બે ક્ષેત્રોમાં વહેંચે છે: આંતરિક અને બાહ્ય. આંતરિક વિસ્તાર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે બહુકોણ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તેઓ પેન્ટાગોન વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો અર્થ તેનો સમગ્ર આંતરિક વિસ્તાર અને તેની સરહદ બંને થાય છે. અને આંતરિક પ્રદેશમાં બહુકોણની અંદર આવેલા તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. બિંદુ પેન્ટાગોનનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે (ફિગ 2 જુઓ).

બહુકોણને કેટલીકવાર n-gons પણ કહેવામાં આવે છે, જેના પર ભાર મૂકવામાં આવે છે કે કેટલાક અજ્ઞાત સંખ્યાના ખૂણાઓ (n ટુકડાઓ) ની હાજરીનો સામાન્ય કેસ ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. બહુકોણ પરિમિતિ- બહુકોણની બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો.

હવે આપણે બહુકોણના પ્રકારોથી પરિચિત થવાની જરૂર છે. તેઓ વિભાજિત કરવામાં આવે છે બહિર્મુખઅને બિન-બહિર્મુખ. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ બહુકોણ. 2 બહિર્મુખ છે, અને ફિગમાં. 3 બિન-બહિર્મુખ.

ચોખા. 3. બિન-બહિર્મુખ બહુકોણ

વ્યાખ્યા 1. બહુકોણકહેવાય છે બહિર્મુખ, જો તેની કોઈપણ બાજુઓ દ્વારા સીધી રેખા દોરતી વખતે, સમગ્ર બહુકોણઆ સીધી રેખાની માત્ર એક બાજુ પર આવેલું છે. બિન-બહિર્મુખબીજા બધા છે બહુકોણ.

ફિગમાં પેન્ટાગોનની કોઈપણ બાજુને વિસ્તરે ત્યારે કલ્પના કરવી સરળ છે. 2 તે બધું આ સીધી રેખાની એક બાજુ પર હશે, એટલે કે. તે બહિર્મુખ છે. પરંતુ જ્યારે ફિગમાં ચતુષ્કોણ દ્વારા સીધી રેખા દોરો. 3 આપણે પહેલેથી જ જોયું છે કે તે તેને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, એટલે કે. તે બહિર્મુખ નથી.

પરંતુ બહુકોણની બહિર્મુખતાની બીજી વ્યાખ્યા છે.

વ્યાખ્યા 2. બહુકોણકહેવાય છે બહિર્મુખ, જો તેના આંતરિક બિંદુઓમાંથી કોઈપણ બે પસંદ કરતી વખતે અને તેમને સેગમેન્ટ સાથે જોડતી વખતે, સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પણ બહુકોણના આંતરિક બિંદુઓ છે.

આ વ્યાખ્યાના ઉપયોગનું પ્રદર્શન ફિગમાં સેગમેન્ટ બનાવવાના ઉદાહરણમાં જોઈ શકાય છે. 2 અને 3.

વ્યાખ્યા. કર્ણબહુકોણ એ બે બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતો કોઈપણ સેગમેન્ટ છે.

બહુકોણના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા માટે, તેમના ખૂણા વિશે બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય છે: બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેયઅને બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પરનું પ્રમેય. ચાલો તેમને જોઈએ.

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર (n-ગોન).

તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા ક્યાં છે.

પુરાવો 1. ચાલો ફિગમાં દર્શાવીએ. 4 બહિર્મુખ n-gon.

ચોખા. 4. બહિર્મુખ n-gon

શિરોબિંદુમાંથી આપણે તમામ સંભવિત કર્ણ દોરીએ છીએ. તેઓ n-ગોનને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે, કારણ કે બહુકોણની દરેક બાજુઓ શિરોબિંદુને અડીને આવેલી બાજુઓ સિવાય ત્રિકોણ બનાવે છે. આકૃતિ પરથી એ જોવાનું સરળ છે કે આ બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો n-ગોનના આંતરિક ખૂણાના સરવાળા બરાબર હશે. કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હોવાથી, n-ગોનના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો છે:

Q.E.D.

પુરાવો 2. આ પ્રમેયનો બીજો પુરાવો શક્ય છે. ચાલો ફિગમાં સમાન n-gon દોરીએ. 5 અને તેના કોઈપણ આંતરિક બિંદુઓને તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડો.

ચોખા. 5.

આપણે n-ગોનનું n ત્રિકોણમાં વિભાજન મેળવ્યું છે (ત્રિકોણ જેટલી બાજુઓ છે). તેમના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો બહુકોણના આંતરિક ખૂણાના સરવાળા અને આંતરિક બિંદુ પરના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો છે અને આ કોણ છે. અમારી પાસે છે:

Q.E.D.

સાબિત.

સાબિત પ્રમેય મુજબ, તે સ્પષ્ટ છે કે n-ગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો તેની બાજુઓની સંખ્યા (n પર) પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમાં, અને ખૂણાઓનો સરવાળો છે. ચતુર્ભુજમાં, અને ખૂણાઓનો સરવાળો છે, વગેરે.

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પર (n-ગોન).

તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા ક્યાં છે અને , ..., બાહ્ય ખૂણા છે.

પુરાવો. ચાલો ફિગમાં બહિર્મુખ એન-ગોનનું ચિત્રણ કરીએ. 6 અને તેના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓને નિયુક્ત કરો.

ચોખા. 6. નિયુક્ત બાહ્ય ખૂણાઓ સાથે બહિર્મુખ n-gon

કારણ કે બાહ્ય ખૂણો અડીને, પછી આંતરિક એક સાથે જોડાયેલ છે અને તે જ રીતે બાકીના બાહ્ય ખૂણાઓ માટે. પછી:

રૂપાંતરણો દરમિયાન, અમે n-gon ના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા વિશે પહેલાથી જ સાબિત થયેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો.

સાબિત.

સાબિત થયેલા પ્રમેયમાંથી એક રસપ્રદ હકીકત અનુસરે છે કે બહિર્મુખ n-ગોનના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા પર. માર્ગ દ્વારા, આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળાથી વિપરીત.

સંદર્ભો

1. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ એ.ડી. અને અન્ય ભૂમિતિ, 8 ગ્રેડ. - એમ.: શિક્ષણ, 2006.
2. બુતુઝોવ વી.એફ., કડોમત્સેવ એસ.બી., પ્રસોલોવ વી.વી. ભૂમિતિ, 8 મા ધોરણ. - એમ.: શિક્ષણ, 2011.
3. મેર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એસ.એમ. ભૂમિતિ, 8 મા ધોરણ. - એમ.: વેન્ટાના-ગ્રાફ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

હોમવર્ક

વિષય: "બહુકોણના પ્રકાર"

9મા ધોરણ

SHL નંબર 20

શિક્ષક: ખારીટોનોવિચ ટી.આઈ.પાઠનો હેતુ: બહુકોણના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરો.

શીખવાનું કાર્ય:બહુકોણ વિશે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરો, વિસ્તૃત કરો અને સામાન્ય બનાવો; બહુકોણના "ઘટક ભાગો" નો વિચાર બનાવો; નિયમિત બહુકોણના ઘટક તત્વોની સંખ્યાનો અભ્યાસ કરો (ત્રિકોણથી એન-ગોન સુધી);

વિકાસલક્ષી કાર્ય:વિશ્લેષણ, સરખામણી, તારણો કાઢવા, કોમ્પ્યુટેશનલ કુશળતા, મૌખિક અને લેખિત ગાણિતિક ભાષણ, મેમરી, તેમજ વિચાર અને શીખવાની પ્રવૃત્તિઓમાં સ્વતંત્રતા, જોડી અને જૂથોમાં કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવાની ક્ષમતા; સંશોધન અને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓનો વિકાસ;

શૈક્ષણિક કાર્ય:સ્વતંત્રતા, પ્રવૃત્તિ, સોંપેલ કાર્ય માટેની જવાબદારી, ધ્યેય પ્રાપ્ત કરવામાં દ્રઢતા કેળવો.

સાધનો: ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ (પ્રસ્તુતિ)

પાઠ પ્રગતિ

પ્રસ્તુતિ દર્શાવે છે: "બહુકોણ"

"પ્રકૃતિ ગણિતની ભાષા બોલે છે, આ ભાષાના અક્ષરો ... ગાણિતિક આંકડાઓ." જી.ગેલીલી

પાઠની શરૂઆતમાં, વર્ગને કાર્યકારી જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે (અમારા કિસ્સામાં, 3 જૂથોમાં વિભાજિત)

1. કૉલ સ્ટેજ-

a) વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું;

b) અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિષયમાં રસ જાગૃત કરવો, દરેક વિદ્યાર્થીને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ માટે પ્રેરિત કરવો.

ટેકનીક: ગેમ "શું તમે માનો છો કે...", ટેક્સ્ટ સાથે કામનું સંગઠન.

કાર્યના સ્વરૂપો: આગળનો, જૂથ.

"શું તમે માનો છો કે..."

1. ... શબ્દ "બહુકોણ" સૂચવે છે કે આ પરિવારની તમામ આકૃતિઓ "ઘણા ખૂણાઓ" ધરાવે છે?

2. ... શું ત્રિકોણ બહુકોણના વિશાળ પરિવારનો છે, જે પ્લેનમાં વિવિધ ભૌમિતિક આકારોની વિવિધતામાં અલગ છે?

3. ... શું ચોરસ નિયમિત અષ્ટકોણ (ચાર બાજુ + ચાર ખૂણા) છે?

આજે પાઠમાં આપણે બહુકોણ વિશે વાત કરીશું. આપણે જાણીએ છીએ કે આ આંકડો બંધ તૂટેલી લાઇન દ્વારા મર્યાદિત છે, જે બદલામાં સરળ, બંધ થઈ શકે છે. ચાલો એ હકીકત વિશે વાત કરીએ કે બહુકોણ સપાટ, નિયમિત અથવા બહિર્મુખ હોઈ શકે છે. સપાટ બહુકોણમાંથી એક ત્રિકોણ છે, જેની સાથે તમે લાંબા સમયથી પરિચિત છો (તમે વિદ્યાર્થીઓને બહુકોણ દર્શાવતા પોસ્ટરો, એક તૂટેલી રેખા, તેમના વિવિધ પ્રકારો બતાવી શકો છો, તમે TSO નો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો).

2. વિભાવના સ્ટેજ

ધ્યેય: નવી માહિતી મેળવવી, તેને સમજવી, તેને પસંદ કરવી.

ટેકનીક: ઝિગઝેગ.

કાર્યના સ્વરૂપો: વ્યક્તિગત->જોડી->જૂથ.

જૂથના દરેક સભ્યને પાઠના વિષય પર એક ટેક્સ્ટ આપવામાં આવે છે, અને ટેક્સ્ટને એવી રીતે સંકલિત કરવામાં આવે છે કે તેમાં વિદ્યાર્થીઓને પહેલેથી જ જાણીતી માહિતી અને સંપૂર્ણપણે નવી માહિતી બંનેનો સમાવેશ થાય છે. ટેક્સ્ટની સાથે, વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્નો મેળવે છે, જેના જવાબો આ ટેક્સ્ટમાં હોવા જોઈએ.

બહુકોણ. બહુકોણના પ્રકાર.

કોણે રહસ્યમય બર્મુડા ત્રિકોણ વિશે સાંભળ્યું નથી, જેમાં વહાણો અને વિમાનો કોઈ નિશાન વિના અદૃશ્ય થઈ જાય છે? પરંતુ ત્રિકોણ, બાળપણથી જ આપણને પરિચિત છે, તે ઘણી બધી રસપ્રદ અને રહસ્યમય વસ્તુઓથી ભરપૂર છે.

ત્રિકોણના પ્રકારો જે આપણને પહેલાથી જ ઓળખે છે તે ઉપરાંત, બાજુઓ (સ્કેલિન, સમદ્વિબાજુ, સમભુજ) અને ખૂણા (તીવ્ર, સ્થૂળ, લંબચોરસ) દ્વારા વિભાજિત, ત્રિકોણ બહુકોણના વિશાળ પરિવારનો છે, જે વિવિધ ભૌમિતિક આકારોમાં અલગ છે. વિમાન

"બહુકોણ" શબ્દ સૂચવે છે કે આ પરિવારની તમામ આકૃતિઓ "ઘણા ખૂણાઓ" ધરાવે છે. પરંતુ આકૃતિને દર્શાવવા માટે આ પૂરતું નથી.

તૂટેલી રેખા A1A2...A એ એક આકૃતિ છે જેમાં પોઈન્ટ A1,A2,...A અને સેગમેન્ટ્સ A1A2, A2A3,... તેમને જોડે છે. બિંદુઓને પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને વિભાગોને પોલિલાઇનની લિંક્સ કહેવામાં આવે છે. (ફિગ.1)

તૂટેલી રેખાને સરળ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં કોઈ સ્વ-છેદન ન હોય (ફિગ. 2, 3).

જો તેના છેડા એકસરખા હોય તો તેને બંધ કહેવામાં આવે છે. તૂટેલી રેખાની લંબાઈ તેની લિંક્સની લંબાઈનો સરવાળો છે (ફિગ. 4)

એક સરળ બંધ તૂટેલી રેખાને બહુકોણ કહેવામાં આવે છે જો તેની પડોશી કડીઓ સમાન સીધી રેખા પર ન હોય (ફિગ. 5).

"ઘણા" ભાગને બદલે "બહુકોણ" શબ્દમાં, ઉદાહરણ તરીકે 3, ચોક્કસ સંખ્યાને બદલો. તમને ત્રિકોણ મળશે. અથવા 5. પછી - એક પેન્ટાગોન. નોંધ કરો કે, જેટલા ખૂણા છે, તેટલી બાજુઓ છે, તેથી આ આંકડાઓને બહુપક્ષીય કહી શકાય.

તૂટેલી રેખાના શિરોબિંદુઓને બહુકોણના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને તૂટેલી રેખાની લિંક્સને બહુકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે.

બહુકોણ પ્લેનને બે વિસ્તારોમાં વિભાજિત કરે છે: આંતરિક અને બાહ્ય (ફિગ. 6).

પ્લેન બહુકોણ અથવા બહુકોણ વિસ્તાર એ બહુકોણ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેનનો મર્યાદિત ભાગ છે.

બહુકોણના બે શિરોબિંદુઓ કે જે એક બાજુના છેડા છે તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. શિરોબિંદુઓ કે જે એક બાજુના છેડા નથી તે બિન-પડોશી છે.

n શિરોબિંદુઓ અને તેથી n બાજુઓ સાથેનો બહુકોણ, n-ગોન કહેવાય છે.

જોકે બહુકોણની બાજુઓની સૌથી નાની સંખ્યા 3 છે. પરંતુ ત્રિકોણ, જ્યારે એકબીજા સાથે જોડાયેલ હોય, ત્યારે અન્ય આકૃતિઓ બનાવી શકે છે, જે બદલામાં બહુકોણ પણ છે.

બહુકોણના બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતા ભાગોને કર્ણ કહેવામાં આવે છે.

બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો તે તેની બાજુ ધરાવતી કોઈપણ રેખાની તુલનામાં સમાન અર્ધ-વિમાનમાં હોય. આ કિસ્સામાં, સીધી રેખા પોતે અર્ધ પ્લેન સાથે સંબંધિત માનવામાં આવે છે

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો ખૂણો તેની બાજુઓ દ્વારા આ શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થવાથી બનેલો ખૂણો છે.

ચાલો પ્રમેય સાબિત કરીએ (બહિર્મુખ n-ગોનના ખૂણાઓના સરવાળા વિશે): બહિર્મુખ n-gon ના ખૂણાઓનો સરવાળો 1800*(n - 2) ની બરાબર છે.

પુરાવો. n=3 કિસ્સામાં પ્રમેય માન્ય છે. ચાલો A1A2...A n ને આપેલ બહિર્મુખ બહુકોણ અને n>3. ચાલો તેમાં કર્ણ દોરીએ (એક શિરોબિંદુમાંથી). બહુકોણ બહિર્મુખ હોવાથી, આ કર્ણ તેને n – 2 ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો એ આ બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો છે. દરેક ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 1800 છે, અને આ ત્રિકોણ n ની સંખ્યા 2 છે. તેથી, બહિર્મુખ n ત્રિકોણ A1A2...A n ના ખૂણાઓનો સરવાળો 1800* (n - 2) છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય કોણ એ આ શિરોબિંદુ પરના બહુકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો છે.

બહિર્મુખ બહુકોણને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેની બધી બાજુઓ સમાન હોય અને બધા ખૂણા સમાન હોય.

તેથી ચોરસને અલગ રીતે કહી શકાય - નિયમિત ચતુર્ભુજ. સમબાજુ ત્રિકોણ પણ નિયમિત છે. ઇમારતોને સુશોભિત કરનારા કારીગરો માટે આવા આંકડા લાંબા સમયથી રસ ધરાવતા હતા. તેઓએ સુંદર પેટર્ન બનાવ્યાં, ઉદાહરણ તરીકે લાકડાંની પર. પરંતુ તમામ નિયમિત બહુકોણનો ઉપયોગ લાકડાનું પાતળું પડ બનાવવા માટે થઈ શકતો નથી. નિયમિત અષ્ટકોણમાંથી લાકડી બનાવી શકાતી નથી. હકીકત એ છે કે દરેક ખૂણો 1350 ની બરાબર છે. અને જો કોઈપણ બિંદુ આવા બે અષ્ટકોણનું શિરોબિંદુ હોય, તો તેનો હિસ્સો 2700 હશે, અને ત્રીજા અષ્ટકોણ માટે ત્યાં કોઈ સ્થાન નથી: 3600 - 2700 = 900. પરંતુ ચોરસ માટે આ પૂરતું છે. તેથી, તમે નિયમિત અષ્ટકોણ અને ચોરસમાંથી લાકડાનું પાતળું પડ બનાવી શકો છો.

તારાઓ પણ સાચા છે. આપણો પાંચ-પોઇન્ટેડ તારો નિયમિત પંચકોણીય તારો છે. અને જો તમે ચોરસ 450 ને કેન્દ્રની આસપાસ ફેરવો છો, તો તમને નિયમિત અષ્ટકોણ તારો મળે છે.

તૂટેલી રેખા શું છે? પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓ અને લિંક્સ શું છે તે સમજાવો.

કઈ તૂટેલી લાઇનને સરળ કહેવામાં આવે છે?

કઈ તૂટેલી લાઈન બંધ કહેવાય છે?

બહુકોણ શું કહેવાય છે? બહુકોણના શિરોબિંદુઓને શું કહેવામાં આવે છે? બહુકોણની બાજુઓને શું કહે છે?

કયા બહુકોણને સપાટ કહેવામાં આવે છે? બહુકોણના ઉદાહરણો આપો.

n – ચોરસ શું છે?

બહુકોણના કયા શિરોબિંદુઓ અડીને છે અને કયા નથી તે સમજાવો.

બહુકોણનો કર્ણ શું છે?

કયા બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે?

બહુકોણના કયા ખૂણા બાહ્ય છે અને કયા આંતરિક છે તે સમજાવો?

કયા બહુકોણને નિયમિત કહેવામાં આવે છે? નિયમિત બહુકોણના ઉદાહરણો આપો.

બહિર્મુખ n-ગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે? તે સાબિત કરો.

વિદ્યાર્થીઓ ટેક્સ્ટ સાથે કામ કરે છે, પૂછાયેલા પ્રશ્નોના જવાબો શોધે છે, ત્યારબાદ નિષ્ણાત જૂથો રચાય છે, જેમાં સમાન મુદ્દાઓ પર કાર્ય હાથ ધરવામાં આવે છે: વિદ્યાર્થીઓ મુખ્ય મુદ્દાઓને પ્રકાશિત કરે છે, સહાયક સારાંશ દોરે છે અને તેમાંની એકમાં માહિતી રજૂ કરે છે. ગ્રાફિક સ્વરૂપો. કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, વિદ્યાર્થીઓ તેમના કાર્ય જૂથોમાં પાછા ફરે છે.

3. પ્રતિબિંબ સ્ટેજ -

એ) વ્યક્તિના જ્ઞાનનું મૂલ્યાંકન, જ્ઞાનના આગલા પગલા માટે પડકાર;

b) પ્રાપ્ત માહિતીની સમજ અને વિનિયોગ.

સ્વાગત: સંશોધન કાર્ય.

કાર્યના સ્વરૂપો: વ્યક્તિગત->જોડી->જૂથ.

કાર્યકારી જૂથોમાં સૂચિત પ્રશ્નોના દરેક વિભાગના જવાબ આપવા માટે નિષ્ણાતોનો સમાવેશ થાય છે.

કાર્યકારી જૂથમાં પાછા ફરતા, નિષ્ણાત તેના પ્રશ્નોના જવાબો અન્ય જૂથના સભ્યોને રજૂ કરે છે. જૂથ કાર્યકારી જૂથના તમામ સભ્યો વચ્ચે માહિતીની આપલે કરે છે. આમ, દરેક કાર્યકારી જૂથમાં, નિષ્ણાતોના કાર્યને આભારી છે, જે વિષયનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેની સામાન્ય સમજણ રચાય છે.

વિદ્યાર્થી સંશોધન કાર્ય- ટેબલ ભરો.

નિયમિત બહુકોણ રેખાંકન બાજુઓની સંખ્યા શિરોબિંદુઓની સંખ્યા તમામ આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો આંતરિક ડિગ્રી માપ. બાહ્ય કોણનું કોણ ડિગ્રી માપ કર્ણની સંખ્યા

એ) ત્રિકોણ

બી) ચતુર્ભુજ

બી) પાંચ છિદ્ર

ડી) ષટ્કોણ

ડી) એન-ગોન

પાઠના વિષય પર રસપ્રદ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

1) નિયમિત બહુકોણની કેટલી બાજુઓ હોય છે, જેનો દરેક આંતરિક ખૂણો 1350 છે?

2) ચોક્કસ બહુકોણમાં, બધા આંતરિક ખૂણા એકબીજાના સમાન હોય છે. શું આ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો હોઈ શકે: 3600, 3800?

3) શું 100,103,110,110,116 ડિગ્રીના ખૂણા સાથે પેન્ટાગોન બનાવવું શક્ય છે?

પાઠનો સારાંશ.

હોમવર્કનું રેકોર્ડિંગ: પૃષ્ઠ 66-72 નંબર 15,17 અને કાર્ય: ચતુષ્કોણમાં, એક સીધી રેખા દોરો જેથી તે તેને ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે.

પરીક્ષણોના સ્વરૂપમાં પ્રતિબિંબ (ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ પર)

બહુકોણના ગુણધર્મો

બહુકોણ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેને સામાન્ય રીતે સ્વ-છેદન વિના બંધ તૂટેલી રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (એક સરળ બહુકોણ (ફિગ. 1a)), પરંતુ કેટલીકવાર સ્વ-છેદનને મંજૂરી આપવામાં આવે છે (પછી બહુકોણ સરળ નથી).

બહુકોણના શિરોબિંદુઓને બહુકોણના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને ભાગોને બહુકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. બહુકોણના શિરોબિંદુઓ જો તેની એક બાજુના છેડા હોય તો તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. બહુકોણના બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતા ભાગોને કર્ણ કહેવામાં આવે છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો કોણ (અથવા આંતરિક ખૂણો) એ તેની બાજુઓ દ્વારા આ શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થવાથી બનેલો ખૂણો છે, અને ખૂણાની ગણતરી બહુકોણની બાજુમાંથી કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, જો બહુકોણ બિન-બહિર્મુખ હોય તો કોણ 180° થી વધી શકે છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય કોણ એ આ શિરોબિંદુ પરના બહુકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો છે. સામાન્ય રીતે, બાહ્ય કોણ એ 180° અને આંતરિક કોણ વચ્ચેનો તફાવત છે. > 3 માટે -gon ના દરેક શિરોબિંદુમાંથી 3 કર્ણ છે, તેથી -gon ના કર્ણની કુલ સંખ્યા સમાન છે.

ત્રણ શિરોબિંદુઓવાળા બહુકોણને ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે, જેમાં ચાર - એક ચતુષ્કોણ, પાંચ સાથે - એક પંચકોણ, વગેરે.

સાથે બહુકોણ nશિરોબિંદુ કહેવાય છે n-ચોરસ

સપાટ બહુકોણ એ એક આકૃતિ છે જેમાં બહુકોણ અને તેના દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તારનો મર્યાદિત ભાગ હોય છે.

બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો નીચેની (સતુલ્ય) શરતોમાંથી એક પૂરી થાય છે:

• 1. તે તેના પડોશી શિરોબિંદુઓને જોડતી કોઈપણ સીધી રેખાની એક બાજુ પર આવેલું છે. (એટલે ​​​​કે, બહુકોણની બાજુઓનું વિસ્તરણ તેની બીજી બાજુઓને છેદતું નથી);
• 2. તે અનેક અર્ધ-વિમાનોનું આંતરછેદ (એટલે ​​​​કે સામાન્ય ભાગ) છે;
• 3. બહુકોણ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ પર છેડા સાથેનો કોઈપણ સેગમેન્ટ સંપૂર્ણપણે તેનો છે.

બહિર્મુખ બહુકોણ નિયમિત કહેવાય છે જો બધી બાજુઓ સમાન હોય અને બધા ખૂણા સમાન હોય, ઉદાહરણ તરીકે, સમભુજ ત્રિકોણ, ચોરસ અને પંચકોણ.

બહિર્મુખ બહુકોણને વર્તુળની આસપાસ પરિક્રમા કહેવાય છે જો તેની બધી બાજુઓ અમુક વર્તુળને સ્પર્શે છે

નિયમિત બહુકોણ એ બહુકોણ છે જેમાં બધા ખૂણા અને બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

બહુકોણના ગુણધર્મો:

1 બહિર્મુખ -ગોનનો દરેક કર્ણ, જ્યાં >3, તેને બે બહિર્મુખ બહુકોણમાં વિઘટિત કરે છે.

2 બહિર્મુખ ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે.

D-vo: અમે ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રમેય સાબિત કરીશું. પર = 3 તે સ્પષ્ટ છે. ચાલો ધારીએ કે પ્રમેય a -gon, where માટે સાચું છે <, અને -gon માટે તે સાબિત કરો.

આપેલ બહુકોણ બનવા દો. ચાલો આ બહુકોણનો કર્ણ દોરીએ. પ્રમેય 3 મુજબ, બહુકોણ ત્રિકોણ અને બહિર્મુખ ત્રિકોણ (ફિગ. 5) માં વિઘટિત થાય છે. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા. બીજી બાજુ, . આ સમાનતાઓ ઉમેરવી અને તે ધ્યાનમાં લેવી (- આંતરિક કોણ બીમ ) અને (- આંતરિક કોણ બીમ ), જ્યારે આપણે મેળવીએ છીએ: .

3 કોઈપણ નિયમિત બહુકોણની આસપાસ તમે વર્તુળનું વર્ણન કરી શકો છો, અને માત્ર એક.

D-vo: તેને નિયમિત બહુકોણ બનવા દો, અને અને ખૂણાઓના દ્વિભાજકો, અને (ફિગ. 150). ત્યારથી, તેથી, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке વિશે.ચાલો તે સાબિત કરીએ ઓ = ઓએ 2 = વિશે =… = ઓએ n . ત્રિકોણ વિશેસમદ્વિબાજુ, તેથી વિશે= વિશે. ત્રિકોણની સમાનતા માટેના બીજા માપદંડ મુજબ, તેથી, વિશે = વિશે. તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે વિશે = વિશેવગેરે તેથી બિંદુ વિશેબહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે છે, તેથી કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ વિશેત્રિજ્યા વિશેબહુકોણ વિશે ઘેરાયેલું છે.

ચાલો હવે સાબિત કરીએ કે માત્ર એક જ પરિમાણિત વર્તુળ છે. બહુકોણના કેટલાક ત્રણ શિરોબિંદુઓને ધ્યાનમાં લો, ઉદાહરણ તરીકે, એ 2 , . કારણ કે આ બિંદુઓમાંથી માત્ર એક વર્તુળ પસાર થાય છે, પછી બહુકોણની આસપાસ … તમે એક કરતાં વધુ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકતા નથી.

• 4 તમે કોઈપણ નિયમિત બહુકોણમાં વર્તુળ લખી શકો છો, અને માત્ર એક.
• 5 નિયમિત બહુકોણમાં અંકિત એક વર્તુળ તેમના મધ્યબિંદુઓ પર બહુકોણની બાજુઓને સ્પર્શે છે.
• 6 નિયમિત બહુકોણની આસપાસના વર્તુળનું કેન્દ્ર સમાન બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે.
• 7 સમપ્રમાણતા:

તેઓ કહે છે કે આકૃતિમાં સમપ્રમાણતા (સપ્રમાણતા) હોય છે જો ત્યાં આવી ચળવળ હોય (સમાન નથી) જે આ આકૃતિને પોતાનામાં અનુવાદિત કરે છે.

• 7.1. સામાન્ય ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાના કોઈ અક્ષો અથવા કેન્દ્રો હોતા નથી; સમદ્વિબાજુ (પરંતુ સમભુજ નથી) ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાનો એક અક્ષ હોય છે: આધારનો લંબ દ્વિભાજક.
• 7.2. સમભુજ ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાના ત્રણ અક્ષો હોય છે (બાજુઓ પર લંબ દ્વિભાજકો) અને 120°ના પરિભ્રમણ કોણ સાથે કેન્દ્ર વિશે પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતા હોય છે.

7.3 કોઈપણ નિયમિત n-ગોનમાં સમપ્રમાણતાના n અક્ષો હોય છે, તે બધા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તે પરિભ્રમણ કોણ સાથે કેન્દ્ર વિશે રોટેશનલ સપ્રમાણતા પણ ધરાવે છે.

જ્યારે પણ nસમપ્રમાણતાના કેટલાક અક્ષો વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અન્યો વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

વિષમ માટે nદરેક ધરી વિરુદ્ધ બાજુની ટોચ અને મધ્યમાંથી પસાર થાય છે.

બાજુઓની સમાન સંખ્યાવાળા નિયમિત બહુકોણનું કેન્દ્ર તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. બાજુઓની વિષમ સંખ્યાવાળા નિયમિત બહુકોણમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોતું નથી.

8 સમાનતા:

સમાનતા સાથે અને -ગોન -ગોનમાં જાય છે, અર્ધ-વિમાન અર્ધ-વિમાનમાં જાય છે, તેથી બહિર્મુખ n-કોણ બહિર્મુખ બને છે n-ગોન.

પ્રમેય: જો બહિર્મુખ બહુકોણની બાજુઓ અને ખૂણા સમાનતાને સંતોષે છે:

પોડિયમ ગુણાંક ક્યાં છે

પછી આ બહુકોણ સમાન છે.

• 8.1 બે સમાન બહુકોણની પરિમિતિનો ગુણોત્તર સમાનતા ગુણાંક સમાન છે.
• 8.2. બે બહિર્મુખ સમાન બહુકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર સમાનતા ગુણાંકના વર્ગ જેટલો છે.

બહુકોણ ત્રિકોણ પરિમિતિ પ્રમેય