મર્યાદાનો સિદ્ધાંત એ ગાણિતિક વિશ્લેષણની એક શાખા છે. મર્યાદા ઉકેલવાનો પ્રશ્ન ખૂબ વ્યાપક છે, કારણ કે વિવિધ પ્રકારની મર્યાદાઓને ઉકેલવા માટે ડઝનેક પદ્ધતિઓ છે. ત્યાં ડઝનેક ઘોંઘાટ અને યુક્તિઓ છે જે તમને આ અથવા તે મર્યાદાને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેમ છતાં, અમે હજી પણ મુખ્ય પ્રકારની મર્યાદાઓને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું જે મોટાભાગે વ્યવહારમાં આવે છે.
ચાલો એક મર્યાદાના ખ્યાલથી શરૂઆત કરીએ. પરંતુ પ્રથમ, સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ. ત્યાં 19મી સદીમાં એક ફ્રેંચમેન, ઓગસ્ટિન લુઈસ કોચી રહેતા હતા, જેમણે ગાણિતિક વિશ્લેષણનો પાયો નાખ્યો હતો અને કડક વ્યાખ્યાઓ આપી હતી, ખાસ કરીને મર્યાદાની વ્યાખ્યા. એવું કહેવું જ જોઇએ કે આ જ કોચી ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના વિભાગોના તમામ વિદ્યાર્થીઓના દુઃસ્વપ્નોમાં હતો, છે અને રહેશે, કારણ કે તેણે ગાણિતિક વિશ્લેષણના પ્રમેયની વિશાળ સંખ્યા સાબિત કરી છે, અને દરેક પ્રમેય બીજા કરતા વધુ ઘૃણાસ્પદ છે. આ સંદર્ભે, અમે મર્યાદાની કડક વ્યાખ્યા ધ્યાનમાં લઈશું નહીં, પરંતુ બે બાબતો કરવાનો પ્રયાસ કરીશું:
1. મર્યાદા શું છે તે સમજો.
2. મુખ્ય પ્રકારની મર્યાદાઓને ઉકેલતા શીખો.
હું કેટલાક અવૈજ્ઞાનિક ખુલાસાઓ માટે ક્ષમા ચાહું છું, તે મહત્વનું છે કે સામગ્રી ચાની કીટલી માટે પણ સમજી શકાય તેવું છે, જે હકીકતમાં, પ્રોજેક્ટનું કાર્ય છે.
તો મર્યાદા શું છે?
અને દાદીમાને શા માટે શેગી કરવી તેનું માત્ર એક ઉદાહરણ...
કોઈપણ મર્યાદા ત્રણ ભાગો ધરાવે છે:
1) જાણીતું મર્યાદા આયકન.
2) આ કિસ્સામાં, મર્યાદા આયકન હેઠળની એન્ટ્રીઓ. એન્ટ્રી "X એક તરફ વલણ ધરાવે છે" વાંચે છે. મોટેભાગે - બરાબર, જોકે વ્યવહારમાં "X" ને બદલે અન્ય ચલો છે. વ્યવહારુ કાર્યોમાં, એકનું સ્થાન એકદમ કોઈપણ સંખ્યા, તેમજ અનંત () હોઈ શકે છે.
3) આ કિસ્સામાં, મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળના કાર્યો.
રેકોર્ડિંગ પોતે 
આના જેવું વાંચે છે: "x તરીકે કાર્યની મર્યાદા એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે."
ચાલો આગળનો મહત્વનો પ્રશ્ન જોઈએ - "x" શબ્દનો અર્થ શું છે? પ્રયત્ન કરે છેએકને"? અને "પ્રયત્ન" નો અર્થ શું છે?
મર્યાદાનો ખ્યાલ એ એક ખ્યાલ છે, તેથી વાત કરવા માટે, ગતિશીલ. ચાલો એક ક્રમ બનાવીએ: પહેલા , પછી , , …, 
, ….
એટલે કે, અભિવ્યક્તિ "x પ્રયત્ન કરે છેએક માટે” નીચે પ્રમાણે સમજવું જોઈએ: “x” સતત મૂલ્યો લે છે જે એકતાને અનંત નજીક અને વ્યવહારિક રીતે તેની સાથે મેળ ખાય છે.
ઉપરોક્ત ઉદાહરણ કેવી રીતે હલ કરવું? ઉપરના આધારે, તમારે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ ફંક્શનમાં ફક્ત એકને બદલવાની જરૂર છે:
તેથી, પ્રથમ નિયમ: જ્યારે કોઈપણ મર્યાદા આપવામાં આવે છે, ત્યારે પહેલા આપણે ફંક્શનમાં નંબરને પ્લગ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ.
અમે સૌથી સરળ મર્યાદા ધ્યાનમાં લીધી છે, પરંતુ આ વ્યવહારમાં પણ થાય છે, અને ભાગ્યે જ નહીં!
અનંત સાથેનું ઉદાહરણ:
ચાલો આકૃતિ કરીએ કે તે શું છે? આ તે કેસ છે જ્યારે તે મર્યાદા વિના વધે છે, એટલે કે: પ્રથમ, પછી, પછી, પછી અને તેથી જાહેરાત અનંત.
આ સમયે કાર્યનું શું થાય છે?
, , 
, …
તેથી: જો , તો ફંક્શન માઈનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે:
સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અમારા પ્રથમ નિયમ મુજબ, "X" ને બદલે આપણે ફંક્શનમાં અનંતતાને બદલીએ છીએ અને જવાબ મેળવીએ છીએ.
અનંત સાથેનું બીજું ઉદાહરણ:
ફરીથી આપણે અનંતતામાં વધારો કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ, અને કાર્યની વર્તણૂક જુઓ: 
નિષ્કર્ષ: જ્યારે કાર્ય મર્યાદા વિના વધે છે:
અને ઉદાહરણોની બીજી શ્રેણી:
કૃપા કરીને તમારા માટે નીચેનાનું માનસિક વિશ્લેષણ કરવાનો પ્રયાસ કરો અને સરળ પ્રકારની મર્યાદાઓ યાદ રાખો:
, , , , 
, , , , 
,
જો તમને ગમે ત્યાં શંકા હોય, તો તમે કેલ્ક્યુલેટર લઈ શકો છો અને થોડી પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો.
તે ઘટનામાં , ક્રમ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો , . જો , તો , , .
નોંધ: કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનો ક્રમ બનાવવાનો આ અભિગમ ખોટો છે, પરંતુ સરળ ઉદાહરણો સમજવા માટે તે એકદમ યોગ્ય છે.
નીચેની બાબત પર પણ ધ્યાન આપો. જો ટોચ પર મોટી સંખ્યા સાથે અથવા એક મિલિયન સાથે પણ મર્યાદા આપવામાં આવી હોય તો: , તો તે બધું સમાન છે 
, કારણ કે વહેલા અથવા પછીના "X" એવા વિશાળ મૂલ્યો લેશે કે તેમની સરખામણીમાં એક મિલિયન વાસ્તવિક સૂક્ષ્મજીવાણુ હશે.
તમારે ઉપરોક્તમાંથી શું યાદ રાખવા અને સમજવાની જરૂર છે?
1) જ્યારે કોઈપણ મર્યાદા આપવામાં આવે છે, ત્યારે પહેલા આપણે ફંક્શનમાં સંખ્યાને બદલવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ.
2) તમારે સરળ મર્યાદાઓને સમજવી અને તરત જ ઉકેલવી જોઈએ, જેમ કે 
.
હવે આપણે મર્યાદાઓના જૂથને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે , અને કાર્ય એ અપૂર્ણાંક છે જેના અંશ અને છેદમાં બહુપદી હોય છે
ઉદાહરણ:
મર્યાદાની ગણતરી કરો 
અમારા નિયમ મુજબ, અમે ફંક્શનમાં અનંતને બદલવાનો પ્રયત્ન કરીશું. આપણે ટોચ પર શું મેળવીએ છીએ? અનંત. અને નીચે શું થાય છે? અનંત પણ. આમ, આપણી પાસે પ્રજાતિની અનિશ્ચિતતા કહેવાય છે. કોઈ એવું વિચારી શકે છે , અને જવાબ તૈયાર છે, પરંતુ સામાન્ય કિસ્સામાં આ બિલકુલ નથી, અને કેટલીક સોલ્યુશન તકનીક લાગુ કરવી જરૂરી છે, જેને આપણે હવે ધ્યાનમાં લઈશું.
આ પ્રકારની મર્યાદાઓને કેવી રીતે હલ કરવી?
પ્રથમ આપણે અંશને જોઈએ છીએ અને ઉચ્ચતમ શક્તિ શોધીએ છીએ: 
અંશમાં અગ્રણી શક્તિ બે છે.
હવે આપણે છેદને જોઈએ છીએ અને તેને સર્વોચ્ચ શક્તિમાં પણ શોધીએ છીએ: 
છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી બે છે.
પછી આપણે અંશ અને છેદની સર્વોચ્ચ શક્તિ પસંદ કરીએ છીએ: આ ઉદાહરણમાં, તેઓ બે સમાન અને સમાન છે.
તેથી, ઉકેલની પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે: અનિશ્ચિતતાને જાહેર કરવા માટે, અંશ અને છેદને સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે.
અહીં તે છે, જવાબ, અને અનંત બિલકુલ નથી.
નિર્ણયની રચનામાં મૂળભૂત રીતે શું મહત્વનું છે?
પ્રથમ, અમે અનિશ્ચિતતા સૂચવીએ છીએ, જો કોઈ હોય તો.
બીજું, મધ્યવર્તી સમજૂતીઓ માટે ઉકેલને વિક્ષેપિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. હું સામાન્ય રીતે ચિહ્નનો ઉપયોગ કરું છું, તેનો કોઈ ગાણિતિક અર્થ નથી, પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે મધ્યવર્તી સમજૂતી માટે ઉકેલ અવરોધાય છે.
ત્રીજે સ્થાને, મર્યાદામાં તે ક્યાં જઈ રહ્યું છે તે ચિહ્નિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. જ્યારે કામ હાથથી દોરવામાં આવે છે, ત્યારે તે આ રીતે કરવું વધુ અનુકૂળ છે: 
નોંધો માટે સરળ પેન્સિલનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે.
અલબત્ત, તમારે આમાંથી કંઈ કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ પછી, કદાચ, શિક્ષક ઉકેલમાં ખામીઓ દર્શાવશે અથવા સોંપણી વિશે વધારાના પ્રશ્નો પૂછવાનું શરૂ કરશે. શું તમને તેની જરૂર છે?
ઉદાહરણ 2
મર્યાદા શોધો 
ફરીથી અંશ અને છેદમાં આપણે ઉચ્ચતમ ડિગ્રીમાં શોધીએ છીએ: 
અંશમાં મહત્તમ ડિગ્રી: 3
છેદમાં મહત્તમ ડિગ્રી: 4
પસંદ કરો મહાનમૂલ્ય, આ કિસ્સામાં ચાર.
અમારા અલ્ગોરિધમ મુજબ, અનિશ્ચિતતા પ્રગટ કરવા માટે, અમે અંશ અને છેદને . વડે વિભાજીત કરીએ છીએ.
સંપૂર્ણ સોંપણી આના જેવી દેખાઈ શકે છે:
અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરો
ઉદાહરણ 3
મર્યાદા શોધો 
અંશમાં "X" ની મહત્તમ ડિગ્રી: 2
છેદમાં "X" ની મહત્તમ ડિગ્રી: 1 (આ રીતે લખી શકાય છે)
અનિશ્ચિતતાને છતી કરવા માટે, અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. અંતિમ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:
અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરો
નોટેશનનો અર્થ શૂન્ય વડે ભાગાકાર થતો નથી (તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી), પરંતુ અનંત સંખ્યા વડે વિભાજન.
આમ, પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતાને ઉજાગર કરીને, આપણે સક્ષમ થઈ શકીએ છીએ અંતિમ સંખ્યા, શૂન્ય અથવા અનંત.
તેમને ઉકેલવા માટેના પ્રકાર અને પદ્ધતિની અનિશ્ચિતતા સાથેની મર્યાદાઓ
મર્યાદાઓનું આગલું જૂથ હમણા ધ્યાનમાં લેવાયેલી મર્યાદાઓ જેવું જ છે: અંશ અને છેદ બહુપદી ધરાવે છે, પરંતુ "x" હવે અનંતતા તરફ વળે છે નહીં, પરંતુ મર્યાદિત સંખ્યા.
ઉદાહરણ 4
મર્યાદા ઉકેલો 
પ્રથમ, ચાલો -1 ને અપૂર્ણાંકમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ: 
આ કિસ્સામાં, કહેવાતી અનિશ્ચિતતા પ્રાપ્ત થાય છે.
સામાન્ય નિયમ: જો અંશ અને છેદમાં બહુપદી હોય, અને ફોર્મની અનિશ્ચિતતા હોય, તો તેને જાહેર કરવા તમારે અંશ અને છેદને અવયવિત કરવાની જરૂર છે.
આ કરવા માટે, મોટાભાગે તમારે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાની અને/અથવા સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. જો આ વસ્તુઓ ભૂલી ગયા હોય, તો પૃષ્ઠની મુલાકાત લો ગાણિતિક સૂત્રો અને કોષ્ટકોઅને શિક્ષણ સામગ્રી વાંચો શાળા ગણિત અભ્યાસક્રમ માટે ગરમ સૂત્રો. માર્ગ દ્વારા, તેને છાપવું શ્રેષ્ઠ છે; તે ઘણી વાર જરૂરી છે, અને માહિતી કાગળમાંથી વધુ સારી રીતે શોષાય છે.
તો ચાલો આપણી મર્યાદા ઉકેલીએ 
અંશ અને છેદને અવયવ કરો
અંશને પરિબળ કરવા માટે, તમારે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે: 
પ્રથમ આપણે ભેદભાવ શોધીએ છીએ:
અને તેનું વર્ગમૂળ: .
જો ભેદભાવ મોટો હોય, ઉદાહરણ તરીકે 361, અમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ વર્ગમૂળ કાઢવાનું કાર્ય સૌથી સરળ કેલ્ક્યુલેટર પર છે.
! જો રુટ તેની સંપૂર્ણતામાં કાઢવામાં ન આવે (અલ્પવિરામ સાથે અપૂર્ણાંક નંબર મેળવવામાં આવે છે), તો તે ખૂબ જ સંભવ છે કે ભેદભાવ કરનારની ગણતરી ખોટી રીતે કરવામાં આવી હતી અથવા કાર્યમાં કોઈ ભૂલ હતી.
આગળ આપણે મૂળ શોધીએ છીએ: 
આમ:
બધા. અંશ અવયવિત છે.
છેદ. છેદ પહેલેથી જ સૌથી સરળ પરિબળ છે, અને તેને સરળ બનાવવાની કોઈ રીત નથી.
દેખીતી રીતે, તેને ટૂંકી કરી શકાય છે:
હવે આપણે -1 ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ જે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ રહે છે:
સ્વાભાવિક રીતે, કસોટી, કસોટી અથવા પરીક્ષામાં, ઉકેલ ક્યારેય આટલી વિગતવાર લખવામાં આવતો નથી. અંતિમ સંસ્કરણમાં, ડિઝાઇન કંઈક આના જેવી હોવી જોઈએ:
ચાલો અંશનું અવયવીકરણ કરીએ. 
ઉદાહરણ 5
મર્યાદાની ગણતરી કરો 
પ્રથમ, ઉકેલનું "સમાપ્ત" સંસ્કરણ
ચાલો અંશ અને છેદનું અવયવ કરીએ.
અંશ:
છેદ: 
, 
આ ઉદાહરણમાં શું મહત્વનું છે?
પ્રથમ, તમારે અંશ કેવી રીતે પ્રગટ થાય છે તેની સારી સમજ હોવી જોઈએ, પહેલા આપણે કૌંસમાંથી 2 લીધા, અને પછી વર્ગોના તફાવત માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો. આ તે ફોર્મ્યુલા છે જે તમારે જાણવાની અને જોવાની જરૂર છે.
ક્રમ અને કાર્યોની મર્યાદાઓની વિભાવનાઓ. જ્યારે ક્રમની મર્યાદા શોધવી જરૂરી હોય, ત્યારે તે નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: lim xn=a. ક્રમના આવા ક્રમમાં, xn એ a તરફ અને n એ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. ક્રમ સામાન્ય રીતે શ્રેણી તરીકે રજૂ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
સિક્વન્સ વધતા અને ઘટતા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે:
xn=n^2 - વધતો ક્રમ
yn=1/n - ક્રમ
તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમની મર્યાદા xn=1/n^ :
લિમ 1/n^2=0
x→∞
આ મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે, કારણ કે n→∞, અને ક્રમ 1/n^2 શૂન્ય તરફ વળે છે.
સામાન્ય રીતે, ચલ જથ્થા x એ મર્યાદિત મર્યાદા a તરફ વલણ ધરાવે છે, અને x સતત a ની નજીક આવે છે, અને જથ્થો a સ્થિર છે. આ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: limx =a, જ્યારે n એ શૂન્ય અથવા અનંત પણ હોઈ શકે છે. ત્યાં અનંત કાર્યો છે, જેના માટે મર્યાદા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય ટ્રેનને ધીમું કરે છે, ત્યારે મર્યાદા શૂન્ય તરફ વળે છે.
મર્યાદામાં સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો છે. સામાન્ય રીતે, કોઈપણ કાર્ય માત્ર એક મર્યાદા ધરાવે છે. આ મર્યાદાની મુખ્ય મિલકત છે. અન્ય નીચે સૂચિબદ્ધ છે:
* રકમની મર્યાદા મર્યાદાના સરવાળા જેટલી છે:
lim(x+y)=lim x+lim y
* ઉત્પાદન મર્યાદા મર્યાદાના ઉત્પાદન જેટલી છે:
lim(xy)=lim x*lim y
* ભાગલાકારની મર્યાદા મર્યાદાના ભાગાકાર જેટલી છે:
lim(x/y)=lim x/lim y
* સ્થિર પરિબળ મર્યાદા ચિહ્નની બહાર લેવામાં આવે છે:
લિમ(Cx)=C લિમ x
ફંક્શન 1 /x આપેલ છે જેમાં x →∞, તેની મર્યાદા શૂન્ય છે. જો x→0 હોય, તો આવા કાર્યની મર્યાદા ∞ છે.
ત્રિકોણમિતિ કાર્યો માટે આમાંના કેટલાક નિયમો છે. કારણ કે ફંક્શન sin x જ્યારે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે ત્યારે હંમેશા એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે, ઓળખ તેના માટે ધરાવે છે:
lim sin x/x=1
સંખ્યાબંધ કાર્યોમાં ત્યાં કાર્યો છે, જ્યારે મર્યાદાની ગણતરી કરવામાં આવે છે જેમાં અનિશ્ચિતતા ઊભી થાય છે - એવી પરિસ્થિતિ કે જેમાં મર્યાદાની ગણતરી કરી શકાતી નથી. આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો એકમાત્ર રસ્તો L'Hopital છે. બે પ્રકારની અનિશ્ચિતતાઓ છે:
* ફોર્મ 0/0ની અનિશ્ચિતતા
* ફોર્મની અનિશ્ચિતતા ∞/∞
ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના ફોર્મની મર્યાદા આપવામાં આવી છે: લિમ f(x)/l(x), અને f(x0)=l(x0)=0. આ કિસ્સામાં, ફોર્મ 0/0 ની અનિશ્ચિતતા ઊભી થાય છે. આવી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, બંને કાર્યોને અલગ પાડવામાં આવે છે, જેના પછી પરિણામની મર્યાદા જોવા મળે છે. પ્રકાર 0/0 ની અનિશ્ચિતતાઓ માટે, મર્યાદા છે:
લિમ f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 પર)
આ જ નિયમ ∞/∞ પ્રકારની અનિશ્ચિતતાઓ માટે પણ સાચો છે. પરંતુ આ કિસ્સામાં નીચેની સમાનતા સાચી છે: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ મર્યાદાના મૂલ્યો શોધી શકો છો જેમાં અનિશ્ચિતતાઓ દેખાય છે. માટે પૂર્વશરત
વોલ્યુમ - ડેરિવેટિવ્ઝ શોધતી વખતે કોઈ ભૂલો નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન (x^2)" 2x બરાબર છે. અહીંથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે:
f"(x)=nx^(n-1)
મર્યાદા તમામ ગણિતના વિદ્યાર્થીઓને ઘણી મુશ્કેલી આપે છે. મર્યાદાને ઉકેલવા માટે, કેટલીકવાર તમારે ઘણી બધી યુક્તિઓનો ઉપયોગ કરવો પડે છે અને ચોક્કસ ઉદાહરણ માટે યોગ્ય હોય તેવી વિવિધ ઉકેલ પદ્ધતિઓમાંથી પસંદ કરવી પડે છે.
આ લેખમાં અમે તમને તમારી ક્ષમતાઓની મર્યાદાઓને સમજવામાં અથવા નિયંત્રણની મર્યાદાઓને સમજવામાં મદદ કરીશું નહીં, પરંતુ અમે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશું: ઉચ્ચ ગણિતમાં મર્યાદાને કેવી રીતે સમજવી? સમજણ અનુભવ સાથે આવે છે, તેથી તે જ સમયે અમે સ્પષ્ટીકરણો સાથે મર્યાદા ઉકેલવાના કેટલાક વિગતવાર ઉદાહરણો આપીશું.
ગણિતમાં મર્યાદાનો ખ્યાલ
પહેલો પ્રશ્ન એ છે કે આ મર્યાદા શું છે અને મર્યાદા શું છે? આપણે સંખ્યાત્મક ક્રમ અને કાર્યોની મર્યાદા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. અમને ફંક્શનની મર્યાદાના ખ્યાલમાં રસ છે, કારણ કે વિદ્યાર્થીઓ મોટાભાગે આનો સામનો કરે છે. પરંતુ પ્રથમ, મર્યાદાની સૌથી સામાન્ય વ્યાખ્યા:
ચાલો કહીએ કે અમુક ચલ મૂલ્ય છે. જો પરિવર્તનની પ્રક્રિયામાં આ મૂલ્ય અમર્યાદિત રીતે ચોક્કસ સંખ્યા સુધી પહોંચે છે a , તે a - આ મૂલ્યની મર્યાદા.
ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કાર્ય માટે f(x)=y આવી સંખ્યાને મર્યાદા કહેવામાં આવે છે એ , જે કાર્ય ક્યારે તરફ વલણ ધરાવે છે એક્સ , ચોક્કસ બિંદુ તરફ વલણ એ . ડોટ એ તે અંતરાલથી સંબંધિત છે કે જેના પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
તે બોજારૂપ લાગે છે, પરંતુ તે ખૂબ જ સરળ રીતે લખાયેલું છે:
લિમ- અંગ્રેજીમાંથી મર્યાદા- મર્યાદા.
મર્યાદા નક્કી કરવા માટે ભૌમિતિક સમજૂતી પણ છે, પરંતુ અહીં આપણે સિદ્ધાંતમાં ધ્યાન આપીશું નહીં, કારણ કે અમને મુદ્દાની સૈદ્ધાંતિક બાજુને બદલે વ્યવહારિકમાં વધુ રસ છે. જ્યારે આપણે એમ કહીએ છીએ એક્સ અમુક મૂલ્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, આનો અર્થ એ છે કે ચલ સંખ્યાના મૂલ્યને લેતું નથી, પરંતુ તેને અનંત નજીક પહોંચે છે.
ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણ આપીએ. કાર્ય મર્યાદા શોધવાનું છે.
આ ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે, અમે મૂલ્યને બદલીએ છીએ x=3 કાર્યમાં. અમને મળે છે:
માર્ગ દ્વારા, જો તમને રસ હોય, તો આ વિષય પર એક અલગ લેખ વાંચો.
ઉદાહરણોમાં એક્સ કોઈપણ મૂલ્ય તરફ વલણ કરી શકે છે. તે કોઈપણ સંખ્યા અથવા અનંત હોઈ શકે છે. અહીં એક ઉદાહરણ છે જ્યારે એક્સ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે:
સાહજિક રીતે, છેદમાં સંખ્યા જેટલી મોટી હશે, ફંક્શન જેટલું ઓછું મૂલ્ય લેશે. તેથી, અમર્યાદિત વૃદ્ધિ સાથે એક્સ અર્થ 1/x ઘટશે અને શૂન્યની નજીક જશે.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, મર્યાદાને ઉકેલવા માટે, તમારે ફંક્શનમાં પ્રયત્ન કરવા માટે માત્ર મૂલ્યને બદલવાની જરૂર છે એક્સ . જો કે, આ સૌથી સરળ કેસ છે. ઘણીવાર મર્યાદા શોધવી એટલી સ્પષ્ટ હોતી નથી. મર્યાદાની અંદર પ્રકારની અનિશ્ચિતતાઓ છે 0/0 અથવા અનંત/અનંત . આવા કિસ્સાઓમાં શું કરવું? યુક્તિઓ માટે આશરો!
અંદર અનિશ્ચિતતા
અનંત/અનંત સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતા
એક મર્યાદા રહેવા દો:
જો આપણે ફંક્શનમાં અનંતતાને બદલવાનો પ્રયત્ન કરીશું, તો આપણને અંશ અને છેદ બંનેમાં અનંતતા મળશે. સામાન્ય રીતે, તે કહેવું યોગ્ય છે કે આવી અનિશ્ચિતતાઓને ઉકેલવામાં કળાનું ચોક્કસ તત્વ છે: તમારે ધ્યાન આપવાની જરૂર છે કે તમે કાર્યને એવી રીતે કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરી શકો છો જેથી અનિશ્ચિતતા દૂર થઈ જાય. અમારા કિસ્સામાં, આપણે અંશ અને છેદને વડે વિભાજીત કરીએ છીએ એક્સ વરિષ્ઠ ડિગ્રીમાં. શું થશે?
ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણ પરથી, આપણે જાણીએ છીએ કે છેદમાં x ધરાવતા શબ્દો શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. પછી મર્યાદાનો ઉકેલ છે:
પ્રકારની અનિશ્ચિતતાઓને ઉકેલવા માટે અનંત/અનંતઅંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરો એક્સઉચ્ચતમ ડિગ્રી સુધી.
માર્ગ દ્વારા! અમારા વાચકો માટે હવે 10% ડિસ્કાઉન્ટ છે
અન્ય પ્રકારની અનિશ્ચિતતા: 0/0
હંમેશની જેમ, મૂલ્યોને ફંક્શનમાં બદલીને x=-1 આપે છે 0 અંશ અને છેદમાં. થોડી વધુ નજીકથી જુઓ અને તમે જોશો કે આપણી પાસે અંશમાં એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. ચાલો મૂળ શોધીએ અને લખીએ:
ચાલો ઘટાડીએ અને મેળવીએ:
તેથી, જો તમે પ્રકારની અનિશ્ચિતતાનો સામનો કરી રહ્યાં છો 0/0 - અંશ અને છેદનો પરિબળ.
તમારા માટે ઉદાહરણો ઉકેલવાનું સરળ બનાવવા માટે, અમે કેટલાક કાર્યોની મર્યાદાઓ સાથેનું કોષ્ટક રજૂ કરીએ છીએ:
L'Hopital નો નિયમ અંદર
બંને પ્રકારની અનિશ્ચિતતાને દૂર કરવાની બીજી શક્તિશાળી રીત. પદ્ધતિનો સાર શું છે?
જો મર્યાદામાં અનિશ્ચિતતા હોય, તો અનિશ્ચિતતા અદૃશ્ય થઈ જાય ત્યાં સુધી અંશ અને છેદનું વ્યુત્પન્ન લો.
L'Hopital નો નિયમ આના જેવો દેખાય છે:
મહત્વનો મુદ્દો : મર્યાદા જેમાં અંશ અને છેદને બદલે અંશ અને છેદના ડેરિવેટિવ્ઝ અસ્તિત્વમાં હોવા જોઈએ.
અને હવે - એક વાસ્તવિક ઉદાહરણ:
લાક્ષણિક અનિશ્ચિતતા છે 0/0 . ચાલો અંશ અને છેદના ડેરિવેટિવ્સ લઈએ:
વોઇલા, અનિશ્ચિતતા ઝડપથી અને સુંદર રીતે ઉકેલાય છે.
અમે આશા રાખીએ છીએ કે તમે આ માહિતીને વ્યવહારમાં ઉપયોગી રીતે લાગુ કરી શકશો અને "ઉચ્ચ ગણિતમાં મર્યાદાઓને કેવી રીતે હલ કરવી" પ્રશ્નનો જવાબ શોધી શકશો. જો તમારે એક બિંદુ પર ક્રમની મર્યાદા અથવા કાર્યની મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, અને આ કાર્ય માટે કોઈ ચોક્કસ સમય નથી, તો ઝડપી અને વિગતવાર ઉકેલ માટે વ્યાવસાયિક વિદ્યાર્થી સેવાનો સંપર્ક કરો.
વિષય 4.6
ફંક્શનની મર્યાદા તે મર્યાદા બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત છે કે નહીં તેના પર નિર્ભર નથી. પરંતુ પ્રાથમિક કાર્યોની મર્યાદાઓની ગણતરી કરવાની પ્રેક્ટિસમાં, આ સંજોગો નોંધપાત્ર મહત્વ ધરાવે છે.
1. જો ફંક્શન એલિમેન્ટરી છે અને જો દલીલનું મર્યાદિત મૂલ્ય તેની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત છે, તો ફંક્શનની મર્યાદાની ગણતરી કરવાથી દલીલના મર્યાદિત મૂલ્યના સરળ અવેજીમાં ઘટાડો થાય છે, કારણ કે પ્રાથમિક કાર્ય f (x) ની મર્યાદા ખાતે x માટે પ્રયત્નશીલએ , જે વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં સમાવિષ્ટ છે, તે x = પર ફંક્શનના આંશિક મૂલ્યની બરાબર છે એ, એટલે કે લિમ f(x)=f( a) .
2. જો x અનંત તરફ વલણ ધરાવે છેઅથવા દલીલ એવી સંખ્યા તરફ વલણ ધરાવે છે જે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત નથી, તો પછી આવા દરેક કિસ્સામાં, ફંક્શનની મર્યાદા શોધવા માટે વિશેષ સંશોધનની જરૂર છે.
નીચે મર્યાદાઓના ગુણધર્મો પર આધારિત સરળ મર્યાદાઓ છે જેનો ઉપયોગ સૂત્રો તરીકે થઈ શકે છે:
કાર્યની મર્યાદા શોધવાના વધુ જટિલ કિસ્સાઓ:
દરેકને અલગથી ગણવામાં આવે છે.
આ વિભાગ અનિશ્ચિતતાઓને જાહેર કરવાની મુખ્ય રીતોની રૂપરેખા આપશે.
1. કેસ જ્યારે x માટે પ્રયત્નશીલએ ફંક્શન f(x) બે અનંત જથ્થાના ગુણોત્તરને રજૂ કરે છે
a) પ્રથમ તમારે ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે ફંક્શનની મર્યાદા સીધી અવેજી દ્વારા શોધી શકાતી નથી અને, દલીલમાં દર્શાવેલ ફેરફાર સાથે, તે બે અનંત માત્રાના ગુણોત્તરને રજૂ કરે છે. 0 તરફ વલણ ધરાવતા પરિબળ દ્વારા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે પરિવર્તનો કરવામાં આવે છે. ફંક્શનની મર્યાદાની વ્યાખ્યા મુજબ, દલીલ x તેની મર્યાદા મૂલ્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, તેની સાથે ક્યારેય મેળ ખાતો નથી.
સામાન્ય રીતે, જો કોઈ ફંક્શનની મર્યાદા શોધી રહ્યું છે x માટે પ્રયત્નશીલએ , તો તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે x મૂલ્ય લેતું નથી એ, એટલે કે x એ a ની બરાબર નથી.
b) બેઝાઉટનું પ્રમેય લાગુ પડે છે. જો તમે એવા અપૂર્ણાંકની મર્યાદા શોધી રહ્યા છો કે જેના અંશ અને છેદ એ બહુપદી છે જે મર્યાદા બિંદુ x = પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે એ, તો ઉપરોક્ત પ્રમેય મુજબ બંને બહુપદીઓ x- વડે વિભાજ્ય છે એ.
c) અંશ અથવા છેદમાં અતાર્કિકતા અતાર્કિક અભિવ્યક્તિના જોડાણ દ્વારા અંશ અથવા છેદનો ગુણાકાર કરીને નાશ પામે છે, પછી અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવ્યા પછી ઘટાડો થાય છે.
d) 1લી નોંધપાત્ર મર્યાદા (4.1) વપરાય છે.
e) અનંતની સમાનતા પર પ્રમેય અને નીચેના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ થાય છે:
2. કેસ જ્યારે x માટે પ્રયત્નશીલએ ફંક્શન f(x) બે અનંત મોટી માત્રાના ગુણોત્તરને રજૂ કરે છે
a) અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અજ્ઞાતની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા વિભાજિત કરવું.
b) સામાન્ય રીતે, તમે નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો
3. કેસ જ્યારે x માટે પ્રયત્નશીલએ ફંક્શન f(x) અનંત જથ્થાના ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને અનંત મોટા એક
અપૂર્ણાંક એવા સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થાય છે જેનો અંશ અને છેદ એક સાથે 0 અથવા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે. કેસ 3 કેસ 1 અથવા કેસ 2 સુધી ઘટે છે.
4. કેસ જ્યારે x માટે પ્રયત્નશીલએ ફંક્શન f(x) બે ધનાત્મક અનંત મોટી માત્રામાં તફાવત દર્શાવે છે
આ કેસ નીચેનામાંથી એક રીતે ટાઈપ 1 અથવા 2 સુધી ઘટાડવામાં આવે છે:
a) અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં લાવવા;
b) ફંક્શનને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું;
c) અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવો.
5. કેસ જ્યારે x માટે પ્રયત્નશીલએ ફંક્શન f(x) એવી શક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેનો આધાર 1 અને ઘાતાંક અનંત તરફ વળે છે.
2જી નોંધપાત્ર મર્યાદા (4.2) નો ઉપયોગ કરવા માટે ફંક્શનને એવી રીતે રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ.શોધો 
.
કારણ કે x 3 તરફ વળે છે, પછી અપૂર્ણાંકનો અંશ નંબર 3 2 +3 *3+4=22 તરફ વલણ ધરાવે છે, અને છેદ 3+8=11 નંબર તરફ વલણ ધરાવે છે. આથી,
ઉદાહરણ
અહીં અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ છે x 2 તરફ વલણ ધરાવે છે 0 (પ્રકારની અનિશ્ચિતતા) તરફ વલણ ધરાવે છે, અમે અંશ અને છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ, અમને લિમ(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) મળે છે
ઉદાહરણ
અંશ અને છેદને અંશ સાથે જોડીને અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ, આપણી પાસે છે
અંશમાં કૌંસ ખોલવાથી, આપણને મળે છે
ઉદાહરણ
સ્તર 2. ઉદાહરણ. ચાલો આપણે આર્થિક ગણતરીઓમાં કાર્યની મર્યાદાના ખ્યાલના ઉપયોગનું ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો એક સામાન્ય નાણાકીય વ્યવહારને ધ્યાનમાં લઈએ: રકમ ધિરાણ એસ 0 એ શરત સાથે કે સમયગાળા પછી ટીરકમ પરત કરવામાં આવશે એસ ટી. ચાલો મૂલ્ય નક્કી કરીએ આર સંબંધિત વૃદ્ધિસૂત્ર
r=(S T -S 0)/S 0 (1)
સાપેક્ષ વૃદ્ધિ પરિણામી મૂલ્યનો ગુણાકાર કરીને ટકાવારી તરીકે દર્શાવી શકાય છે આર 100 દ્વારા.
સૂત્ર (1) થી મૂલ્ય નક્કી કરવું સરળ છે એસ ટી:
એસ ટી= એસ 0 (1 + આર)
ઘણા વર્ષોને આવરી લેતી લાંબા ગાળાની લોનની ગણતરી કરતી વખતે, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ યોજનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તે હકીકતમાં સમાવે છે કે જો 1 લી વર્ષ માટે રકમ એસ 0 વધીને (1 + આર) વખત, પછી બીજા વર્ષ માટે (1 + આર) ગણો સરવાળો વધે છે એસ 1 = એસ 0 (1 + આર), એટલે કે એસ 2 = એસ 0 (1 + આર) 2 . તે જ રીતે બહાર વળે છે એસ 3 = એસ 0 (1 + આર) 3 . ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાંથી, તમે રકમની વૃદ્ધિની ગણતરી માટે સામાન્ય સૂત્ર મેળવી શકો છો nવર્ષ જ્યારે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ યોજનાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:
એસ એન= એસ 0 (1 + આર) n.
નાણાકીય ગણતરીઓમાં, યોજનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જ્યાં ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની વર્ષમાં ઘણી વખત ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં તે નિર્ધારિત છે વાર્ષિક દર આરઅને દર વર્ષે ઉપાર્જનની સંખ્યા k. એક નિયમ તરીકે, ઉપાર્જન સમાન અંતરાલો પર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, દરેક અંતરાલની લંબાઈ રૂવર્ષનો ભાગ બનાવે છે. પછી માં સમયગાળા માટે ટીવર્ષો (અહીં ટીજરૂરી નથી કે પૂર્ણાંક) રકમ એસ ટીસૂત્ર દ્વારા ગણતરી
(2)
સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ ક્યાં છે, જે સંખ્યા સાથે એકરુપ છે, જો, ઉદાહરણ તરીકે, ટી? પૂર્ણાંક
વાર્ષિક દર રહેવા દો આરઅને ઉત્પન્ન થાય છે nનિયમિત અંતરાલે પ્રતિ વર્ષ ઉપાર્જન. પછી વર્ષ માટે રકમ એસ 0 એ સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત મૂલ્યમાં વધારો થયો છે
(3)
સૈદ્ધાંતિક વિશ્લેષણ અને નાણાકીય પ્રવૃત્તિની પ્રેક્ટિસમાં, "સતત ઉપાર્જિત વ્યાજ" ની વિભાવનાનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે. સતત ઉપાર્જિત વ્યાજ તરફ જવા માટે, તમારે અનુક્રમે, સંખ્યાઓ (2) અને (3) માં અનિશ્ચિતપણે વધારો કરવાની જરૂર છે. kઅને n(એટલે કે, નિર્દેશન કરવું kઅને nઅનંત સુધી) અને ગણતરી કરો કે કાર્યો કઈ મર્યાદામાં રહેશે એસ ટીઅને એસ 1. ચાલો આ પ્રક્રિયાને સૂત્ર (3) પર લાગુ કરીએ:
નોંધ કરો કે સર્પાકાર કૌંસમાં મર્યાદા બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા સાથે એકરુપ છે. તે વાર્ષિક દરે તેને અનુસરે છે આરસતત ઉપાર્જિત વ્યાજ સાથે, રકમ એસ 0 માં 1 વર્ષમાં મૂલ્ય વધે છે એસ 1 *, જે સૂત્રમાંથી નક્કી થાય છે
એસ 1 * = એસ 0 e આર (4)
ચાલો હવે સરવાળો કરીએ એસ 0 ઉપાર્જિત વ્યાજ સાથે લોન તરીકે આપવામાં આવે છે nવર્ષમાં એકવાર નિયમિત અંતરાલે. ચાલો સૂચિત કરીએ r eવાર્ષિક દર કે જેના પર વર્ષના અંતે રકમ એસ 0 એ મૂલ્યમાં વધારો થયો છે એસ 1 * ફોર્મ્યુલામાંથી (4). આ કિસ્સામાં અમે કહીશું કે r e- આ વાર્ષિક વ્યાજ દર nવર્ષમાં એકવાર, વાર્ષિક વ્યાજની સમકક્ષ આરસતત ઉપાર્જન સાથે.સૂત્ર (3) થી આપણે મેળવીએ છીએ
S* 1 =S 0 (1+r e /n) n
છેલ્લા સૂત્ર અને સૂત્ર (4) ની જમણી બાજુની સમાનતા, બાદમાં ધારી રહ્યા છીએ ટી= 1, આપણે જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધો મેળવી શકીએ છીએ આરઅને r e:
આ સૂત્રોનો વ્યાપકપણે નાણાકીય ગણતરીઓમાં ઉપયોગ થાય છે.
મર્યાદાનો સિદ્ધાંત- ગાણિતિક પૃથ્થકરણના વિભાગોમાંથી એક કે જેમાં કેટલાક માસ્ટર કરી શકે છે, જ્યારે અન્યને મર્યાદાની ગણતરી કરવામાં મુશ્કેલી પડે છે. મર્યાદા શોધવાનો પ્રશ્ન એકદમ સામાન્ય છે, કારણ કે ત્યાં ડઝનેક તકનીકો છે ઉકેલ મર્યાદાવિવિધ પ્રકારો. L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અને તેના વિના પણ સમાન મર્યાદાઓ મળી શકે છે. એવું બને છે કે અનંત કાર્યોની શ્રેણીને સુનિશ્ચિત કરવાથી તમે ઇચ્છિત પરિણામ ઝડપથી મેળવી શકો છો. ત્યાં તકનીકો અને યુક્તિઓનો સમૂહ છે જે તમને કોઈપણ જટિલતાના કાર્યની મર્યાદા શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. આ લેખમાં આપણે મુખ્ય પ્રકારની મર્યાદાઓને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું જે મોટાભાગે વ્યવહારમાં જોવા મળે છે. અમે અહીં મર્યાદાનો સિદ્ધાંત અને વ્યાખ્યા આપીશું નહીં; ઇન્ટરનેટ પર ઘણા સંસાધનો છે જ્યાં આની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. તેથી, ચાલો વ્યવહારુ ગણતરીઓ પર ઉતરીએ, અહીં તમારા "મને ખબર નથી હું નથી કરી શકતો!"
અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદાઓની ગણતરી
ઉદાહરણ 1. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
ઉકેલ: સામાન્ય અવેજીનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રકારના ઉદાહરણોની સૈદ્ધાંતિક રીતે ગણતરી કરી શકાય છે
મર્યાદા 18/11 છે.
આવી મર્યાદાઓ વિશે કંઈ જટિલ અથવા સમજદાર નથી - અમે મૂલ્યને બદલી, તેની ગણતરી કરી અને જવાબ તરીકે મર્યાદા લખી. જો કે, આવી મર્યાદાઓના આધારે, દરેકને શીખવવામાં આવે છે કે સૌ પ્રથમ તેમને કાર્યમાં મૂલ્યને બદલવાની જરૂર છે. આગળ, મર્યાદાઓ વધુ જટિલ બને છે, જે અનંતતા, અનિશ્ચિતતા અને તેના જેવા ખ્યાલનો પરિચય આપે છે.
અનંત ભાગ્યા અનંત જેવી અનિશ્ચિતતા સાથેની મર્યાદા. અનિશ્ચિતતા જાહેર કરવાની તકનીકો
ઉદાહરણ 2. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=અનંત).
ઉકેલ: બહુપદી દ્વારા ભાગ્યા ફોર્મ બહુપદીની મર્યાદા આપવામાં આવે છે, અને ચલ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે 
ચલને જે મૂલ્યમાં મળવું જોઈએ તેને ફક્ત બદલવાથી મર્યાદા શોધવામાં મદદ મળશે નહીં;
મર્યાદાના સિદ્ધાંત મુજબ, મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ અંશ અથવા છેદમાં "x" ની સૌથી મોટી શક્તિ શોધવાનું છે. આગળ, અંશ અને છેદને તેના માટે સરળ બનાવવામાં આવે છે અને કાર્યની મર્યાદા જોવા મળે છે 
જ્યારે ચલ અનંતની નજીક આવે છે ત્યારે મૂલ્ય શૂન્ય તરફ વળે છે, તેથી તેની અવગણના કરવામાં આવે છે અથવા શૂન્યના સ્વરૂપમાં અંતિમ અભિવ્યક્તિમાં લખવામાં આવે છે. 
પ્રેક્ટિસમાંથી તરત જ, તમે બે તારણો મેળવી શકો છો જે ગણતરીમાં સંકેત છે. જો ચલ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે અને અંશની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતા વધારે છે, તો મર્યાદા અનંતની સમાન છે. નહિંતર, જો છેદમાં બહુપદી અંશ કરતાં ઉચ્ચ ક્રમમાં હોય, તો મર્યાદા શૂન્ય છે.
મર્યાદા આના જેવા સૂત્રોમાં લખી શકાય છે: 
જો આપણી પાસે અપૂર્ણાંક વિના સામાન્ય ક્ષેત્રનું કાર્ય હોય, તો તેની મર્યાદા અનંત જેટલી છે. 
આગલા પ્રકારની મર્યાદાઓ શૂન્યની નજીકના કાર્યોના વર્તનની ચિંતા કરે છે.
ઉદાહરણ 3. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
ઉકેલ: અહીં બહુપદીના અગ્રણી અવયવને દૂર કરવાની જરૂર નથી. બરાબર વિપરીત, તમારે અંશ અને છેદની સૌથી નાની શક્તિ શોધવાની અને મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. 
મૂલ્ય x^2; x શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે જ્યારે ચલ શૂન્ય તરફ વળે છે તેથી, તેમની ઉપેક્ષા કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે મેળવીએ છીએ 
કે મર્યાદા 2.5 છે.
હવે તમે જાણો છો ફંક્શનની મર્યાદા કેવી રીતે શોધવીફોર્મમાં, બહુપદીને બહુપદી વડે વિભાજીત કરો જો ચલ અનંત અથવા 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. પરંતુ આ ઉદાહરણોનો માત્ર એક નાનો અને સરળ ભાગ છે. નીચેની સામગ્રીમાંથી તમે શીખી શકશો કાર્યની મર્યાદામાં અનિશ્ચિતતાઓને કેવી રીતે ઉજાગર કરવી.
પ્રકાર 0/0 ની અનિશ્ચિતતા અને તેની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓ સાથે મર્યાદા
દરેક વ્યક્તિને તરત જ એ નિયમ યાદ આવે છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી. જો કે, આ સંદર્ભમાં મર્યાદાનો સિદ્ધાંત અનંત કાર્યો સૂચવે છે.
ચાલો સ્પષ્ટતા માટે થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.
ઉદાહરણ 4. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
ઉકેલ: જ્યારે આપણે x = -1 ની કિંમતને છેદમાં બદલીએ છીએ, ત્યારે આપણને શૂન્ય મળે છે, અને આપણને અંશમાં સમાન વસ્તુ મળે છે. તેથી અમારી પાસે છે ફોર્મ 0/0ની અનિશ્ચિતતા.
આવી અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરવું સરળ છે: તમારે બહુપદીનું પરિબળ બનાવવાની જરૂર છે, અથવા તેના બદલે, કાર્યને શૂન્યમાં ફેરવે છે તે પરિબળ પસંદ કરો. 
વિસ્તરણ પછી, કાર્યની મર્યાદા તરીકે લખી શકાય છે 
ફંક્શનની મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટેની આ આખી પદ્ધતિ છે. જો બહુપદી વડે ભાગ્યા ફોર્મ બહુપદીની મર્યાદા હોય તો આપણે તે જ કરીએ છીએ.
ઉદાહરણ 5. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
ઉકેલ: ડાયરેક્ટ અવેજી બતાવે છે
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
અમારી પાસે શું છે પ્રકાર 0/0 અનિશ્ચિતતા.
ચાલો બહુપદીને પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરીએ જે એકલતાનો પરિચય કરાવે છે 
એવા શિક્ષકો છે કે જેઓ શીખવે છે કે 2જી ક્રમની બહુપદીઓ, એટલે કે, "ચતુર્ભુજ સમીકરણો" પ્રકાર, ભેદભાવ દ્વારા ઉકેલવા જોઈએ. પરંતુ વાસ્તવિક પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે આ લાંબું અને વધુ ગૂંચવણભર્યું છે, તેથી ઉલ્લેખિત અલ્ગોરિધમની મર્યાદામાં સુવિધાઓથી છૂટકારો મેળવો. આમ, આપણે ફંક્શનને સરળ પરિબળોના રૂપમાં લખીએ છીએ અને તેની મર્યાદામાં ગણતરી કરીએ છીએ 
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવી મર્યાદાઓની ગણતરી કરવામાં કંઈ જટિલ નથી. તમે મર્યાદાનો અભ્યાસ કરો ત્યાં સુધીમાં, તમે બહુપદીને કેવી રીતે વિભાજિત કરવી તે જાણો છો, ઓછામાં ઓછા પ્રોગ્રામ મુજબ તમે તેને પહેલાથી જ પસાર કરી લીધો હોવો જોઈએ.
પરના કાર્યોમાં પ્રકાર 0/0 અનિશ્ચિતતાકેટલાક એવા છે જેમાં તમારે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. પરંતુ જો તમે તેમને જાણતા નથી, તો પછી બહુપદીને એકવિધ વડે વિભાજીત કરીને તમે ઇચ્છિત સૂત્ર મેળવી શકો છો.
ઉદાહરણ 6. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((x^2-9)/(x-3), x=3).
ઉકેલ: અમારી પાસે પ્રકાર 0/0 ની અનિશ્ચિતતા છે. અંશમાં આપણે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ 
અને જરૂરી મર્યાદાની ગણતરી કરો 
તેના સંયોજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને અનિશ્ચિતતાને જાહેર કરવાની પદ્ધતિ
પદ્ધતિ એ મર્યાદાઓ પર લાગુ થાય છે જેમાં અતાર્કિક કાર્યો દ્વારા અનિશ્ચિતતા પેદા થાય છે. ગણતરીના બિંદુ પર અંશ અથવા છેદ શૂન્ય તરફ વળે છે અને સીમા કેવી રીતે શોધવી તે જાણતું નથી.
ઉદાહરણ 7. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
ઉકેલ:ચાલો મર્યાદા સૂત્રમાં ચલ રજૂ કરીએ
અવેજીમાં, અમે પ્રકાર 0/0 ની અનિશ્ચિતતા મેળવીએ છીએ.
મર્યાદાના સિદ્ધાંત મુજબ, આ લક્ષણને બાયપાસ કરવાની રીત એ છે કે અતાર્કિક અભિવ્યક્તિને તેના સંયોજક દ્વારા ગુણાકાર કરવો. અભિવ્યક્તિ બદલાતી નથી તેની ખાતરી કરવા માટે, છેદને સમાન મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે 
વર્ગોના નિયમના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને, અમે અંશને સરળ બનાવીએ છીએ અને કાર્યની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ.
અમે શરતોને સરળ બનાવીએ છીએ જે મર્યાદામાં એકલતા બનાવે છે અને અવેજી કરે છે
ઉદાહરણ 8. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
ઉકેલ: ડાયરેક્ટ અવેજી બતાવે છે કે મર્યાદામાં ફોર્મ 0/0 ની એકવચનતા છે. 
વિસ્તૃત કરવા માટે, આપણે અંશના સંયોજક દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરીએ છીએ 
અમે ચોરસનો તફાવત લખીએ છીએ
અમે એવા શબ્દોને સરળ બનાવીએ છીએ જે એકલતાનો પરિચય આપે છે અને કાર્યની મર્યાદા શોધે છે
ઉદાહરણ 9. કાર્યની મર્યાદા શોધો
લિમ((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
ઉકેલ: સૂત્રમાં બેને બદલો 
અમને મળે છે અનિશ્ચિતતા 0/0.
છેદને સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, અને અંશમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણ એકવચનને ધ્યાનમાં રાખીને હલ અથવા પરિબળ બનાવવું આવશ્યક છે. કારણ કે તે જાણીતું છે કે 2 એ મૂળ છે, આપણે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બીજું મૂળ શોધીએ છીએ
આમ, આપણે ફોર્મમાં અંશ લખીએ છીએ 
અને તેને મર્યાદામાં બદલો
વર્ગોના તફાવતને ઘટાડીને, આપણે અંશ અને છેદમાં એકવચનથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ
ઉપરોક્ત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ઘણા ઉદાહરણોમાં એકલતાથી છુટકારો મેળવવો શક્ય છે, અને જ્યાં પણ અવેજી દરમિયાન આપેલ મૂળનો તફાવત શૂન્યમાં ફેરવાય છે ત્યાં એપ્લિકેશનની નોંધ લેવી જોઈએ. અન્ય પ્રકારની મર્યાદાઓ ઘાતાંકીય કાર્યો, અનંત કાર્યો, લઘુગણક, વિશેષ મર્યાદાઓ અને અન્ય તકનીકોથી સંબંધિત છે. પરંતુ તમે મર્યાદાઓ વિશે નીચે સૂચિબદ્ધ લેખોમાં આ વિશે વાંચી શકો છો.
