ગાણિતિક બિંદુ વોલ્યુમેટ્રિક છે. જટિલ બિંદુ (ગણિત)

નિર્ણાયક બિંદુની વિભાવનાને વિભેદક મેપિંગના કિસ્સામાં અને મનસ્વી મેનીફોલ્ડ્સના વિભેદક મેપિંગના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે. f: N n → M m (\ displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). આ કિસ્સામાં, નિર્ણાયક બિંદુની વ્યાખ્યા એ છે કે મેપિંગના જેકોબિયન મેટ્રિક્સનો ક્રમ f (\પ્રદર્શન શૈલી f)તે ની બરાબર મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય કરતાં ઓછું સમાવે છે.

ગણિતના વિભેદક સમીકરણો, ભિન્નતાનું કલન, સ્થિરતા સિદ્ધાંત, તેમજ મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્ર જેવા ક્ષેત્રોમાં કાર્યો અને નકશાના નિર્ણાયક બિંદુઓ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સરળ મેપિંગના નિર્ણાયક મુદ્દાઓનો અભ્યાસ એ આપત્તિ સિદ્ધાંતના મુખ્ય પ્રશ્નોમાંનો એક છે. નિર્ણાયક બિંદુની વિભાવનાને અનંત-પરિમાણીય ફંક્શન સ્પેસ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યોના કિસ્સામાં પણ સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે. આવા ફંક્શનલના નિર્ણાયક બિંદુઓને શોધવું એ વિવિધતાઓની ગણતરીનો એક મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. ફંક્શનલ્સના નિર્ણાયક બિંદુઓ (જે બદલામાં, કાર્યો છે) કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક રમતો.

ઔપચારિક વ્યાખ્યા

ક્રિટિકલ(અથવા ખાસઅથવા સ્થિર) સતત વિભેદક મેપિંગનું બિંદુ f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))બિંદુ કે જેના પર આ મેપિંગનો તફાવત કહેવામાં આવે છે f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x)))છે અધોગતિઅનુરૂપ સ્પર્શક જગ્યાઓનું રેખીય પરિવર્તન T x 0 R n (\Displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))અને T f (x 0) R m (\ displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), એટલે કે, રૂપાંતર ઇમેજનું પરિમાણ f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))ઓછું મિનિટ ( n , m ) (\ displaystyle \min\(n,m\)). સંકલન સંકેતમાં જ્યારે n = m (\Displaystyle n=m)આનો અર્થ એ છે કે જેકોબિયન એ મેપિંગના જેકોબિયન મેટ્રિક્સનું નિર્ણાયક છે f (\પ્રદર્શન શૈલી f), તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝથી બનેલું ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- એક બિંદુ પર શૂન્ય બને છે. જગ્યાઓ અને R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m))આ વ્યાખ્યામાં જાતો દ્વારા બદલી શકાય છે N n (\Displaystyle N^(n))અને M m (\ displaystyle M^(m))સમાન પરિમાણો.

સાર્ડનું પ્રમેય

નિર્ણાયક બિંદુ પરના મેપિંગ મૂલ્યને તેનું કહેવામાં આવે છે નિર્ણાયક મૂલ્ય. સાર્ડના પ્રમેય મુજબ, કોઈપણ પૂરતા પ્રમાણમાં સરળ મેપિંગના નિર્ણાયક મૂલ્યોનો સમૂહ f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))શૂન્ય લેબેસગ્યુ માપ ધરાવે છે (જોકે ત્યાં ગમે તેટલા નિર્ણાયક બિંદુઓ હોઈ શકે છે; ઉદાહરણ તરીકે, ઓળખ મેપિંગ માટે, કોઈપણ બિંદુ મહત્વપૂર્ણ છે).

સતત રેન્ક ડિસ્પ્લે

જો કોઈ બિંદુની નજીકમાં હોય x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n))સતત વિભેદક મેપિંગનો ક્રમ f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))સમાન સંખ્યા સમાન r (\displaystyle r), પછી આ બિંદુની નજીકમાં x 0 (\પ્રદર્શન શૈલી x_(0))પર કેન્દ્રિત સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે x 0 (\પ્રદર્શન શૈલી x_(0)), અને તેની છબીની પડોશમાં - પોઈન્ટ y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- ત્યાં સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m)))પર કેન્દ્રિત f (\પ્રદર્શન શૈલી f)સંબંધો દ્વારા આપવામાં આવે છે:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

ખાસ કરીને, જો r = n = m (\displaystyle r=n=m), પછી સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n)))પર કેન્દ્રિત x 0 (\પ્રદર્શન શૈલી x_(0))અને સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))પર કેન્દ્રિત y 0 (\પ્રદર્શન શૈલી y_(0)), જેમ કે તેમનામાં મેપિંગ f (\પ્રદર્શન શૈલી f)સમાન છે.

થઈ રહ્યું છે m = 1

આ કિસ્સામાં, આ વ્યાખ્યાનો અર્થ એ છે કે ઢાળ ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))આ બિંદુએ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

ચાલો ધારીએ કે કાર્ય f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) )સરળતાનો વર્ગ ઓછો નથી C 3 (\ displaystyle C^(3)). કાર્યનું નિર્ણાયક બિંદુ fકહેવાય છે બિન-અધોગતિ, જો તેમાં હેસિયન હોય |∂ 2 f ∂ x 2 | f(\Displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))

શૂન્યથી અલગ. બિન-ડિજનરેટ જટિલ બિંદુની પડોશમાં એવા કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે જેમાં ફંક્શન હોય છે ચતુર્ભુજ સામાન્ય સ્વરૂપ (મોર્સ લેમ્મા) ધરાવે છે.નિર્ણાયક મુદ્દાઓ માટે મોર્સના લેમ્માનું કુદરતી સામાન્યીકરણ છે fતુજરોનનું પ્રમેય: કાર્યના અધોગતિશીલ નિર્ણાયક બિંદુની પડોશમાં, મર્યાદિત ગુણાકારની અનંત સંખ્યામાં () વખત અલગ કરી શકાય છે μ (\પ્રદર્શન શૈલી \mu )એક સંકલન પ્રણાલી છે જેમાં સરળ કાર્ય ડિગ્રીના બહુપદીનું સ્વરૂપ ધરાવે છે μ + 1 (\Displaystyle \mu +1)(જેમ P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x))આપણે ફંક્શનનો ટેલર બહુપદી લઈ શકીએ છીએ

મુ m = 1 (\displaystyle m=1)મહત્તમ અને લઘુત્તમ કાર્ય વિશે પૂછવું અર્થપૂર્ણ છે. ગાણિતિક પૃથ્થકરણના જાણીતા વિધાન મુજબ, સતત વિભેદક કાર્ય f (\પ્રદર્શન શૈલી f), સમગ્ર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))અથવા તેના ખુલ્લા સબસેટમાં, માત્ર નિર્ણાયક બિંદુઓ પર જ સ્થાનિક મહત્તમ (લઘુત્તમ) સુધી પહોંચી શકે છે, અને જો બિંદુ બિન-ડિજનરેટ હોય, તો મેટ્રિક્સ (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,)તે નકારાત્મક (સકારાત્મક) ચોક્કસ હોવું જોઈએ. બાદમાં સ્થાનિક મહત્તમ (અનુક્રમે, લઘુત્તમ) માટે પણ પૂરતી સ્થિતિ છે.

થઈ રહ્યું છે n = m = 2

કિસ્સામાં n=m=2અમારી પાસે ડિસ્પ્લે છે fપ્લેન ટુ પ્લેન (અથવા દ્વિ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડથી બીજા દ્વિ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ). ચાલો ધારીએ કે મેપિંગ fઅસંખ્ય વખત અલગ કરી શકાય છે ( C ∞ (\Displaystyle C^(\infty ))). આ કિસ્સામાં, મેપિંગના લાક્ષણિક જટિલ મુદ્દાઓ fતે છે જેમાં જેકોબિયન મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન છે, પરંતુ તેનો ક્રમ 1 ની બરાબર છે, અને તેથી મેપિંગનો તફાવત fઆવા બિંદુઓ પર એક-પરિમાણીય કર્નલ હોય છે. લાક્ષણિકતાની બીજી શરત એ છે કે પ્રોટોટાઇપ પ્લેન પર પ્રશ્નમાં રહેલા બિંદુની પડોશમાં જટિલ બિંદુઓનો સમૂહ નિયમિત વળાંક બનાવે છે. એસ, અને વળાંકના લગભગ તમામ બિંદુઓ પર એસકોર ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*))ચિંતા કરતું નથી એસ, અને બિંદુઓ જ્યાં આ કેસ નથી તે અલગ છે અને તેમના પરની સ્પર્શકતા પ્રથમ ક્રમની છે. પ્રથમ પ્રકારના જટિલ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે ફોલ્ડ પોઈન્ટ, અને બીજો પ્રકાર - એસેમ્બલ પોઈન્ટ. ફોલ્ડ્સ અને એસેમ્બલી એ પ્લેન-ટુ-પ્લેન મેપિંગની એકલતાના એકમાત્ર પ્રકાર છે જે નાના વિક્ષેપોના સંદર્ભમાં સ્થિર હોય છે: નાના વિક્ષેપો માટે, વળાંકના વિરૂપતા સાથે ફોલ્ડ અને એસેમ્બલ પોઈન્ટ માત્ર થોડા જ આગળ વધે છે. એસ, પરંતુ અદૃશ્ય થશો નહીં, અધોગતિ કરશો નહીં અને અન્ય સુવિધાઓમાં ક્ષીણ થશો નહીં.

MKOOUST સેનેટોરિયમ શાળા - બોર્ડિંગ

બિંદુ અને ભૌમિતિક આકારો.

ગણિતમાં સંશોધન કાર્ય.

આના દ્વારા પૂર્ણ: એનાટોલી વાસિલીવ, 3જા ધોરણનો વિદ્યાર્થી

કાર્યના વડા:

ડુબોવાયા નતાલ્યા લિયોનીડોવના,

પ્રાથમિક શાળાના શિક્ષક.

ટોમોટ, 2013

1. સંક્ષિપ્ત સારાંશ. ................................................................ ......................2
2. ટીકા. ................................................................ ......................................3
3. વૈજ્ઞાનિક લેખ. ................................................................ ......................................6
4. નિષ્કર્ષ ................................................... ................................................7

સંદર્ભો.

સંક્ષિપ્ત સારાંશ.

કાર્ય બિંદુ અને ભૌમિતિક આકૃતિઓની તપાસ કરે છે: રેખા, કિરણ, સેગમેન્ટ, કોણ, ત્રિકોણ, ચતુષ્કોણ, વર્તુળ અને વર્તુળ, તેમજ આ આંકડાઓની રચના અને નિર્માણમાં બિંદુની ભૂમિકા.

ટીકા.

અભ્યાસનો હેતુ:બિંદુની વિભાવનાઓનો અર્થ શું છે અને ભૌમિતિક આકૃતિઓ શું બને છે તે શોધો: સીધી રેખા, કિરણ, કોણ, ચતુષ્કોણ, ત્રિકોણ, વર્તુળ.

અભ્યાસનો હેતુ:ભૌમિતિક આકૃતિઓની બિંદુ અને વ્યાખ્યાઓ: સીધી રેખા, કિરણ, કોણ, ચતુષ્કોણ, ત્રિકોણ, વર્તુળ.

સંશોધનનો વિષય:બિંદુ અને ભૌમિતિક આકૃતિઓ: સીધી રેખા, કિરણ, કોણ, ચતુર્ભુજ, ત્રિકોણ, વર્તુળ.

સંશોધન પૂર્વધારણા:એક બિંદુ એ એકમાત્ર ભૌમિતિક આકૃતિ છે, અને અન્ય તમામમાં ઘણા બધા બિંદુઓ હોય છે.

સંશોધન હેતુઓ:

1. વિષય પર અભ્યાસ સામગ્રી: "બિંદુ અને ભૌમિતિક આકૃતિઓ: સીધી રેખા, કિરણ, કોણ, ચતુષ્કોણ, ત્રિકોણ, વર્તુળ.";
2. બિંદુ, સીધી રેખા, ચતુષ્કોણ, ત્રિકોણ, કોણ, કિરણ, વર્તુળની વ્યાખ્યાઓ શોધો;
3. આ વિષય પર તમારું વિશ્લેષણ અને પ્રતિબિંબ રજૂ કરો;
4. આ સંશોધન કાર્ય પર આધારિત પ્રસ્તુતિ આપો.

સંશોધન પદ્ધતિઓ:સાહિત્યનો અભ્યાસ કરવો, શબ્દકોશો સાથે કામ કરવું, સંશોધન વિશ્લેષણ, નિષ્કર્ષ.

વૈજ્ઞાનિક લેખ.

ગણિત પ્રાચીન સમયમાં લોકોની વ્યવહારિક જરૂરિયાતોમાંથી ઉદ્ભવ્યું હતું. ગણિતની પ્રાચીનતા વિશે કોઈ દલીલ કરશે નહીં, પરંતુ લોકોને તેનો અભ્યાસ કરવા માટે શું પ્રોત્સાહિત કર્યું તે વિશે એક અલગ અભિપ્રાય છે. તેમના મતે, ગણિત, સામાન્ય રીતે કવિતા, ચિત્ર, સંગીત, થિયેટર અને કલાની જેમ, માણસની આધ્યાત્મિક જરૂરિયાતો દ્વારા, જ્ઞાન અને સૌંદર્યની તેની, કદાચ હજી સુધી સંપૂર્ણ રીતે સમજાયું ન હોય તેવી ઇચ્છા દ્વારા જીવનમાં લાવવામાં આવ્યું હતું.

શું તમે ક્યારેય વિચાર્યું છે કે બિંદુ શું છે અને કયા ભૌમિતિક આકારો બને છે?

પ્રથમ નજરમાં, અહીં બધું સ્પષ્ટ છે: એક બિંદુ એક બિંદુ છે, એક સીધી રેખા સીધી રેખા છે, અહીં શું અગમ્ય હોઈ શકે છે? ઠીક છે, પરંતુ તેમ છતાં, જે આ બિલકુલ જાણતો નથી અને તે ઉપરાંત, બધું શાબ્દિક રીતે સમજે છે તેને કોઈ આ કેવી રીતે સમજાવી શકે? શું તે ખરેખર એટલું સરળ છે? તે બહાર વળે બિલકુલ નથી!

મજૂર પાઠ દરમિયાન, જ્યારે અમે આઇસોથ્રેડ તકનીકનો અભ્યાસ કર્યો, ત્યારે મારી ધારણા હતી કે તમામ ભૌમિતિક આકૃતિઓ બિંદુઓ ધરાવે છે. આ જ વિષય છે જેના પર મેં મારું સંશોધન કાર્ય સમર્પિત કરવાનું નક્કી કર્યું છે.

"હું જાણું છું કે હું કંઈ જાણતો નથી," સોક્રેટિસે કહ્યું, અને તેના વાર્તાલાપ સાથે સંવાદ દ્વારા તે જાણવાનો પ્રયાસ કર્યો કે તે બરાબર શું જાણતો હતો. તેથી જ મેં ભૌમિતિક આકારો વિશે હું શું જાણું છું તે શોધવાનું પ્રથમ નક્કી કર્યું.

તેથી, ચાલો મારા સંશોધન કાર્યના વિષય દ્વારા નિયુક્ત ભૌમિતિક આકારોની વ્યાખ્યાઓ જોઈએ.

1. ડોટ - આ એક નિશાન છે, સ્પર્શમાંથી એક નિશાન, તીક્ષ્ણ કંઈક સાથેનું ઇન્જેક્શન; નાના ગોળાકાર સ્પોટ, સ્પેક; કંઈક ખૂબ જ નાનું, ભાગ્યે જ દૃશ્યમાન. બિંદુ એ મૂળભૂત ભૌમિતિક આકૃતિ છે

1. રેખા- આ પોઈન્ટનો સમૂહ છે. જો ભૂમિતિના નિર્માણ માટેનો આધાર અવકાશમાંના બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરનો ખ્યાલ છે, તો સીધી રેખાને એક રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેની સાથે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સૌથી ટૂંકું છે.પ્રત્યક્ષ - ત્યાં એક રેખા છે જે તેના તમામ બિંદુઓના સંબંધમાં સમાન રીતે સ્થિત છે. શબ્દ "લાઇન" લેટિન લિનમ પરથી આવ્યો છે - "લિનન, લિનન થ્રેડ."

_________________________________________________

1. બીમ એ લાઇનનો એક ભાગ છે જેમાં આપેલ બિંદુની એક બાજુએ આ રેખાના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે.

1. સેગમેન્ટ એ રેખાનો એક ભાગ છે જેમાં આપેલ બે બિંદુઓ વચ્ચે આ રેખાના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે.

1. ખૂણો- આ એક આકૃતિ છે જેમાં કોણના શિરોબિંદુનો સમાવેશ થાય છે અને આ બિંદુથી ઉતરતી બે જુદી જુદી અર્ધ-રેખાઓ, કોણની બાજુઓ છે.

1. ચતુષ્કોણએક આકૃતિ છે જેમાં ચાર પોઈન્ટ અને તેમને જોડતા સતત ચાર સેગમેન્ટનો સમાવેશ થાય છે.

1. ત્રિકોણ - ત્રણ બિંદુઓથી બનેલી આકૃતિ જે એક જ લાઇન પર ન હોય, સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જોડાયેલ હોય.

1. વર્તુળ -

વર્તુળ એક આકૃતિ છે જેમાં આપેલ બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલા પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. વર્તુળની આસપાસ બંધ રેખા.

નિષ્કર્ષ.

બિંદુ અને સીધી રેખાના ખ્યાલો આપણા જીવનમાં દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે રશિયન ભાષા પર નજર નાખો, તો સમયગાળો એ વિરામચિહ્ન (.) છે જે સંપૂર્ણ વાક્યને અલગ કરે છે. રશિયન ભાષામાં પણ અર્ધવિરામ, કોલોન, એલિપ્સિસ જેવા વિરામચિહ્નો છે.

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, બિંદુ એ જથ્થાનું ચોક્કસ મૂલ્ય છે.

ભૂગોળમાં, બિંદુને અવકાશમાં ચોક્કસ સ્થાન તરીકે ગણવામાં આવે છે.

જીવવિજ્ઞાનમાં, આ છોડનો વિકાસ બિંદુ છે.

રસાયણશાસ્ત્રમાં - ઠંડું બિંદુ, ઉત્કલન બિંદુ, ગલનબિંદુ.

સંગીતમાં, બિંદુ એ એક સંકેત છે જે સંગીતના સંકેતના મુખ્ય ઘટકોમાંનું એક છે.

ગણિતમાં, બિંદુ એ મૂળભૂત ભૌમિતિક આકૃતિ છે; બે સીધી રેખાઓનું આંતરછેદ, રેખાખંડની સીમા, કિરણની શરૂઆત વગેરે.

કોઈપણ આકૃતિ બનાવવા માટે, અમને એક બિંદુની જરૂર છે. સીધી રેખાની વ્યાખ્યાના આધારે,એક લાઇન ઘણા બિંદુઓ છે, અને વ્યાખ્યાઓમાંથી, આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ આકૃતિ એક બિંદુ અને રેખાનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે, તેથી તમામ આકૃતિઓ બિંદુઓથી બનેલી છે.

આપણા જીવનમાં, ટપકું એ ઇન્જેક્શન આઇકોન છે, એક નાનો સ્પેક છે.

મારું સંશોધન કાર્ય મને નિષ્કર્ષ પર પહોંચવા દે છે કે બિંદુ એકમાત્ર ભૌમિતિક આકૃતિ છે. દરેક વસ્તુ એક બિંદુથી શરૂ થાય છે અને તેની સાથે સમાપ્ત થાય છે, અને તે હજુ સુધી જાણી શકાયું નથી કે તે કયા પ્રકારની શોધ શરૂઆત તરીકે સેવા આપશે.

સાહિત્ય:

1 .અક્સેનોવા એમ.ડી. બાળકો માટે જ્ઞાનકોશ. T.11. - ગણિત, એમ.: અવંતા+, 1999. પૃષ્ઠ 575.

2 .આતનાસ્યાન એલ.એસ., ભૂમિતિ, 7-9: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / 12મી આવૃત્તિ. - એમ.: એજ્યુકેશન, 2002. પીપી. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., ભૂમિતિ, 10-11: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / 15મી આવૃત્તિ, વધારાની. - એમ.: શિક્ષણ, 2006. પૃષ્ઠ 5-7.

4 .વિનોગ્રાડોવ આઈ.એમ., ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ/એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. પૃષ્ઠ 410, 722.

5 .એવજેનીવા એ.પી. રશિયન ભાષાનો શબ્દકોશ. - એમ.: શિક્ષણ, 1984.

6 .કબાર્ડિન ઓ.એફ. ભૌતિકશાસ્ત્ર: સંદર્ભ સામગ્રી. - એમ.: શિક્ષણ, 1991.

7 ક્રેમર જી. આંકડાઓની ગાણિતિક પદ્ધતિઓ, અંગ્રેજીમાંથી અનુવાદ, 2જી આવૃત્તિ, એમ., 1975.

8 .લાપટુખીન એમ.એસ. રશિયન ભાષાનો શાળા સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ. - એમ.: શિક્ષણ, 1981.

9 .પ્રોખોરોવ એ.એમ. વિશાળ જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ. - એમ.: શિક્ષણ, 1998.

10. પ્રોખોરોવ યુ.વી. ગાણિતિક જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ. - એમ.: શિક્ષણ, 1998.

11 .સાવિન એ.પી. યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ. - એમ.: શિક્ષણશાસ્ત્ર, 1985, પૃષ્ઠ 69.

12 શરીગિન આઈ.એફ. વિઝ્યુઅલ ભૂમિતિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1995.

ડોટ- અવકાશમાં એક અમૂર્ત પદાર્થ કે જેમાં કોઈ માપી શકાય તેવી લાક્ષણિકતાઓ નથી (શૂન્ય-પરિમાણીય પદાર્થ). બિંદુ એ ગણિતમાં મૂળભૂત ખ્યાલોમાંથી એક છે.

યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં બિંદુ

યુક્લિડે બિંદુને "એવી વસ્તુ કે જેના કોઈ ભાગો નથી" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યા. યુક્લિડિયન ભૂમિતિના આધુનિક અક્ષીયશાસ્ત્રમાં, બિંદુ એ પ્રાથમિક ખ્યાલ છે, જે ફક્ત તેના ગુણધર્મોની સૂચિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - સ્વયંસિદ્ધ.

પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં, દ્વિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના કોઈપણ બિંદુને ઓર્ડર કરેલ જોડી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે ( x; y) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. તેવી જ રીતે, બિંદુ n-ડાયમેન્શનલ યુક્લિડિયન સ્પેસ (તેમજ વેક્ટર અથવા અફાઈન સ્પેસ)ને ટ્યુપલ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે ( a 1 , a 2 , … , a n) થી nસંખ્યાઓ

લિંક્સ

• બિંદુ(અંગ્રેજી) પ્લેનેટમેથ વેબસાઇટ પર.
• વેઇસ્ટીન, એરિક ડબલ્યુ.વુલ્ફ્રામ મેથવર્લ્ડ વેબસાઇટ પર પોઇન્ટ (અંગ્રેજી).

મુદ્દો છે:

બિંદુઓની પેટર્ન. | ઇન્જેક્શન પોઇન્ટ. | શહેર નકશા પર નાના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે અને તમે ફક્ત બાયપાસ રોડની હાજરી વિશે અનુમાન કરી શકો છો.

2. ડોટ- આ ખૂબ જ નાની વસ્તુ છે, જે અંતર અથવા અન્ય કારણોસર જોવામાં મુશ્કેલ છે.

ક્ષિતિજ પર એક બિંદુ. | જેમ જેમ બોલ પશ્ચિમી આકાશમાં ક્ષિતિજની નજીક પહોંચ્યો, તે બિંદુ બની જાય ત્યાં સુધી તે ધીમે ધીમે કદમાં ઘટાડો થવા લાગ્યો.

3. ડોટ- એક વિરામચિહ્ન કે જે વાક્યના અંતે અથવા શબ્દોનું સંક્ષેપ કરતી વખતે મૂકવામાં આવે છે.

એક મુદ્દો બનાવો. | વાક્યના અંતે સમયગાળો મૂકવાનું ભૂલશો નહીં

4. ગણિત, ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બિંદુ- આ એક એકમ છે જે અવકાશમાં સ્થાન ધરાવે છે, રેખાખંડની સીમા.

ગાણિતિક બિંદુ.

5. ડોટઅવકાશમાં, જમીન પર અથવા કોઈ વસ્તુની સપાટી પર ચોક્કસ સ્થાનનું નામ આપો.

પ્લેસમેન્ટ પોઈન્ટ. | પીડા બિંદુ.

6. ડોટતેઓ તે સ્થાનને કહે છે જ્યાં કંઈક સ્થિત છે અથવા હાથ ધરવામાં આવે છે, સિસ્ટમમાં ચોક્કસ નોડ અથવા કેટલાક બિંદુઓના નેટવર્ક.

દરેક રિટેલ આઉટલેટનું પોતાનું સાઇન હોવું આવશ્યક છે.

7. ડોટતેઓ કોઈ વસ્તુના વિકાસની મર્યાદા, ચોક્કસ સ્તર અથવા વિકાસની ક્ષણ કહે છે.

સર્વોચ્ચ બિંદુ. | વિકાસમાં બિંદુ. | સ્થિતિ નિર્ણાયક તબક્કે પહોંચી ગઈ છે. | આ માનવ આધ્યાત્મિક શક્તિના અભિવ્યક્તિનું સર્વોચ્ચ બિંદુ છે.

8. ડોટતેઓ તાપમાનની મર્યાદાને કહે છે કે જેના પર પદાર્થનું એકત્રીકરણની એક સ્થિતિમાંથી બીજી સ્થિતિમાં પરિવર્તન થાય છે.

ઉત્કલન બિંદુ. | ઠંડું બિંદુ. | ગલનબિંદુ. | ઊંચાઈ જેટલી વધારે છે, પાણીનો ઉત્કલન બિંદુ ઓછો.

9. અર્ધવિરામ (;)જટિલ વાક્યના સામાન્ય, વધુ સ્વતંત્ર ભાગોને અલગ કરવા માટે વપરાતું વિરામચિહ્ન છે.

અંગ્રેજીમાં, લગભગ સમાન વિરામચિહ્નોનો ઉપયોગ રશિયનમાં થાય છે: પીરિયડ, અલ્પવિરામ, અર્ધવિરામ, ડેશ, એપોસ્ટ્રોફી, કૌંસ, એલિપ્સિસ, પ્રશ્ન અને ઉદ્ગારવાચક ચિહ્નો, હાઇફન.

10. જ્યારે તેઓ વાત કરે છે દૃષ્ટિકોણ, એટલે કે કોઈ ચોક્કસ સમસ્યા વિશે કોઈનો અભિપ્રાય, વસ્તુઓને જોવાની રીત.

અન્ય દૃષ્ટિકોણ, જે અગાઉ લગભગ સર્વત્ર સ્વીકૃત હતું, તે હવે ઓછું લોકપ્રિય છે. | આપણા સમયમાં આ દૃષ્ટિકોણ કોઈ શેર કરતું નથી.

11. જો તેઓ લોકો વિશે કહે છે કે તેમની પાસે છે સામાન્ય જમીન, જેનો અર્થ છે કે તેઓ સામાન્ય હિતો ધરાવે છે.

કદાચ આપણે સામાન્ય જમીન શોધી શકીએ.

12. જો કંઈક કહેવામાં આવે છે પોઇન્ટ ટુ પોઇન્ટ, અમારો અર્થ એકદમ ચોક્કસ મેચ છે.

ડોટ ટુ ડોટ, જ્યાં તે સૂચવવામાં આવ્યું હતું ત્યાં એક કોફી રંગની કાર હતી.

13. જો તેઓ કોઈ વ્યક્તિ વિશે કહે છે કે તે બિંદુએ પહોંચીઆનો અર્થ એ છે કે તે કેટલાક નકારાત્મક ગુણોના અભિવ્યક્તિમાં ચરમ સીમાએ પહોંચી ગયો છે.

અમે બિંદુ સુધી પહોંચી ગયા છીએ! તમે હવે આ રીતે જીવી શકતા નથી! | તમે તેને કહી શકતા નથી કે તેમના શાણા નેતૃત્વ હેઠળ વિશેષ સેવાઓ બિંદુએ પહોંચી છે.

14. જો કોઈ તેનો અંત લાવે છેકેટલાક વ્યવસાયમાં, તેનો અર્થ એ છે કે તે તેને બંધ કરે છે.

પછી તે સ્થળાંતરથી તેના વતન, રશિયા, સોવિયત સંઘમાં પાછો ફર્યો, અને આ સાથે તેણે તેની બધી શોધ અને વિચારોનો અંત લાવ્યો.

15. જો કોઈ "i" ને ટપકાં(અથવા હું ઉપર), જેનો અર્થ છે કે તે વસ્તુઓને તેમના તાર્કિક નિષ્કર્ષ પર લાવે છે અને કશું જ કહ્યા વિના છોડતું નથી.

ચાલો બધા i's ડોટ કરીએ. મને તમારી પહેલ વિશે કંઈ ખબર નહોતી.

16. જો કોઈ એક બિંદુને ફટકારે છે, જેનો અર્થ છે કે તેણે એક લક્ષ્ય હાંસલ કરવા પર તેના તમામ પ્રયત્નો કેન્દ્રિત કર્યા.

તેથી જ તેની છબીઓ ખૂબ સ્પષ્ટ છે; તે હંમેશા એક જ મુદ્દાને હિટ કરે છે, નાની વિગતોથી ક્યારેય દૂર જતા નથી. | તે તેના વ્યવસાયનું કાર્ય શું છે તે ખૂબ સારી રીતે સમજે છે અને હેતુપૂર્વક એક બિંદુને હિટ કરે છે.

17. જો કોઈ સ્થળ હિટ, તેનો અર્થ એ છે કે તેણે જે કહ્યું અથવા કર્યું તે બરાબર કર્યું, તેણે સાચું અનુમાન લગાવ્યું.

સ્પર્ધાના આગલા રાઉન્ડમાં આવેલા પહેલા જ પત્રે સંપાદકોને આનંદથી આશ્ચર્યચકિત કર્યા - સૂચિબદ્ધ વિકલ્પોમાંથી એકમાં, અમારા વાચકે તરત જ માથા પર ખીલી મારી દીધી!

એક્યુપ્રેશર.

દિમિત્રીવ દ્વારા રશિયન ભાષાનો સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ. ડી.વી. દિમિત્રીવ. 2003.

ડોટ

ડોટઅર્થ હોઈ શકે છે:

• બિંદુ એ અવકાશમાં એક અમૂર્ત પદાર્થ છે જેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ સિવાય કોઈ માપી શકાય તેવી લાક્ષણિકતાઓ હોતી નથી.
• ડોટ એ ડાયક્રિટિક છે જે ઉપર, નીચે અથવા અક્ષરની મધ્યમાં મૂકી શકાય છે.
• બિંદુ એ રશિયન અને અંગ્રેજી માપદંડ પ્રણાલીમાં અંતર માપનનું એકમ છે.
• સમયગાળો એ દશાંશ વિભાજકની રજૂઆતોમાંની એક છે.
• ડોટ (નેટવર્ક ટેકનોલોજી) - વૈશ્વિક નેટવર્ક ડોમેન વંશવેલોમાં રૂટ ડોમેનનું હોદ્દો.
• ટોચકા - ઇલેક્ટ્રોનિક્સ અને મનોરંજન સ્ટોર્સની સાંકળ
• ટોચકા - જૂથ "લેનિનગ્રાડ" નું આલ્બમ
• ધ પોઈન્ટ એ 2006 ની રશિયન ફિલ્મ છે જે ગ્રિગોરી રાયઝસ્કીની સમાન નામની વાર્તા પર આધારિત છે.
• ટોચકા એ રેપ કલાકાર સ્ટેનનું બીજું સ્ટુડિયો આલ્બમ છે.
• ટોચકા - વિભાગીય મિસાઇલ સંકુલ.
• ટોચકા - ક્રાસ્નોયાર્સ્ક યુવા ઉપસાંસ્કૃતિક મેગેઝિન.
• ટોચકા એ મોસ્કોમાં એક ક્લબ અને કોન્સર્ટ સ્થળ છે.
• બિંદુ એ મોર્સ કોડ પ્રતીકોમાંનું એક છે.
• બિંદુ એ લડાઇ ફરજનું સ્થાન છે.
• બિંદુ (પ્રોસેસિંગ) - મશીનિંગ, ટર્નિંગ, શાર્પનિંગની પ્રક્રિયા.
• POINT - NTV પર માહિતી અને વિશ્લેષણાત્મક કાર્યક્રમ.
• ટોચકા એ 2012 માં સ્થપાયેલ નોરિલ્સ્કનું રોક બેન્ડ છે.

ટોપનામ

કઝાકિસ્તાન

• ડોટ- 1992 સુધી, પૂર્વ કઝાકિસ્તાન ક્ષેત્રના ઉલાન જિલ્લાના બાયશ ઉતેપોવ ગામનું નામ.

રશિયા

• ટોચકા એ વોલોગ્ડા પ્રદેશના શેક્સનિન્સ્કી જિલ્લામાં આવેલું એક ગામ છે.
• ટોચકા એ નોવગોરોડ પ્રદેશના વોલોટોવ્સ્કી જિલ્લામાં આવેલું એક ગામ છે.
• ટોચકા એ પેન્ઝા પ્રદેશના લોપાટિન્સકી જિલ્લામાં આવેલું એક ગામ છે.

શું તમે આવા ખ્યાલોને બિંદુ અને રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો?

અમારી શાળાઓ અને યુનિવર્સિટીઓમાં આ વ્યાખ્યાઓ નથી, જોકે તે મારા મતે મુખ્ય છે (મને ખબર નથી કે અન્ય દેશોમાં તે કેવી રીતે છે). અમે આ ખ્યાલોને "સફળ અને અસફળ" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ અને વિચારણાના વિકાસ માટે આ ઉપયોગી છે કે કેમ તે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ.

કુસ્તીબાજ

તે વિચિત્ર છે, પરંતુ તેઓએ અમને બિંદુની વ્યાખ્યા આપી. આ અવકાશમાં સ્થિત એક અમૂર્ત પદાર્થ (સંમેલન) છે જેનું કોઈ પરિમાણ નથી. આ પહેલી વસ્તુ છે જે શાળામાં આપણા માથામાં ઘૂસી ગઈ હતી - બિંદુનું કોઈ પરિમાણ નથી, તે "શૂન્ય-પરિમાણીય" પદાર્થ છે. એક શરતી ખ્યાલ, જેમ કે ભૂમિતિની દરેક વસ્તુ.

સીધી રેખા સાથે તે વધુ મુશ્કેલ છે. સૌ પ્રથમ, આ એક લીટી છે. બીજું, તે ચોક્કસ રીતે અવકાશમાં સ્થિત બિંદુઓનો સમૂહ છે. તેની સરળ વ્યાખ્યામાં, તે બે બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખા છે જેના દ્વારા તે પસાર થાય છે.

મેડીવહ

બિંદુ એ અમુક પ્રકારની અમૂર્ત વસ્તુ છે. બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, પરંતુ તેમાં કોઈ દળ અથવા પરિમાણ નથી. ભૂમિતિમાં, દરેક વસ્તુ ચોક્કસ રીતે એક બિંદુથી શરૂ થાય છે; સીધી રેખા એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે.

લિયોનીદ કુટની

કોઈપણ વસ્તુને કોઈપણ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પરંતુ એક પ્રશ્ન છે: શું આ વ્યાખ્યા ચોક્કસ વિજ્ઞાનમાં "કાર્ય" કરશે? આપણી પાસે જે છે તેના આધારે, બિંદુ, સીધી રેખા અને સમતલની વ્યાખ્યા આપવાનો કોઈ અર્થ નથી. મને આર્થરની ટિપ્પણીઓ ખરેખર ગમતી હતી, હું ઉમેરવા માંગુ છું કે બિંદુમાં ઘણા ગુણધર્મો છે: તેની લંબાઈ, પહોળાઈ, ઊંચાઈ નથી, કોઈ દળ અથવા વજન નથી, વગેરે. પરંતુ બિંદુની મુખ્ય મિલકત એ છે કે તે સ્પષ્ટપણે તેનું સ્થાન સૂચવે છે. ઑબ્જેક્ટ, ઑબ્જેક્ટ પ્લેન પર, અવકાશમાં. તેથી જ આપણને એક બિંદુની જરૂર છે, પરંતુ એક સ્માર્ટ રીડર કહેશે કે પછી એક પુસ્તક, એક ખુરશી, ઘડિયાળ અને અન્ય વસ્તુઓને બિંદુ તરીકે લઈ શકાય છે. એકદમ સાચું! તેથી, બિંદુની વ્યાખ્યા આપવાનો કોઈ અર્થ નથી. આપની, એલ.એ. કુટની

સીધી રેખા એ ભૂમિતિની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક છે.

ઘણી ભાષાઓમાં લખતી વખતે સમયગાળો એ વિરામચિહ્ન છે.

ઉપરાંત, બિંદુ એ મોર્સ કોડ પ્રતીકોમાંનું એક છે

ઘણી બધી વ્યાખ્યાઓ: ડી

બિંદુ, સીધી રેખા અને વિમાનની વ્યાખ્યાઓ મારા દ્વારા 80ના દાયકાના અંતમાં અને 20મી સદીના 90ના દાયકાની શરૂઆતમાં આપવામાં આવી હતી. હું લિંક આપું છું:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328-પૃષ્ઠ વોલ્યુમ આ વિભાવનાઓના જ્ઞાનાત્મક સારને સંપૂર્ણપણે નવા પાસામાં વર્ણવે છે, જે વાસ્તવિક ભૌતિક વિશ્વ દૃષ્ટિકોણ અને "હું છું" ની અનુભૂતિના આધારે સમજાવવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે "હું" અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે બ્રહ્માંડ પોતે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જે હું છું તે અસ્તિત્વમાં છે.

આ કાર્યમાં લખાયેલ દરેક વસ્તુ પ્રકૃતિ અને તેના ગુણધર્મો વિશેના માનવતાના જ્ઞાન દ્વારા પુષ્ટિ આપે છે જે લાંબા સમયથી શોધાયેલ છે અને હજી પણ આ સમયે શોધાયેલ છે. તકનીકી પ્રગતિની પ્રેક્ટિસમાં તેની અમૂર્ત છબીઓને લાગુ કરવા માટે ગણિતને સમજવું અને તેની કલ્પના કરવી ખૂબ મુશ્કેલ બની ગયું છે. ફાઉન્ડેશનોને જાહેર કરીને, જે મૂળભૂત સિદ્ધાંતો છે, પ્રાથમિક શાળાના વિદ્યાર્થીને પણ બ્રહ્માંડના અસ્તિત્વના કારણો સમજાવવાનું શક્ય છે. વાંચો અને સત્યની નજીક જાઓ. ધ્યાન રાખો, જે વિશ્વમાં આપણે અસ્તિત્વમાં છીએ તે તમારી સમક્ષ એક નવા પ્રકાશમાં ખુલી રહ્યું છે.

શું ગણિત અને ભૂમિતિમાં "બિંદુ" ખ્યાલની કોઈ વ્યાખ્યા છે.

મિખાઇલ લેવિન

શું "અનિર્ધારિત ખ્યાલ" એક વ્યાખ્યા છે?

વાસ્તવમાં, તે ચોક્કસ ખ્યાલોની અનિશ્ચિતતા છે જે વિવિધ પદાર્થો પર ગણિતને લાગુ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

એક ગણિતશાસ્ત્રી એમ પણ કહી શકે છે કે "એક બિંદુથી હું યુક્લિડિયન પ્લેન સમજીશ, પ્લેન દ્વારા - એક યુક્લિડિયન બિંદુ" - બધા સ્વયંસિદ્ધિઓ તપાસો અને નવી ભૂમિતિ અથવા નવા પ્રમેય મેળવો.

હકીકત એ છે કે શબ્દ A ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તમારે B શબ્દનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. B ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તમારે C શબ્દની જરૂર છે. અને તેથી વધુ જાહેરાત અનંત. અને આ અનંતતામાંથી આપણી જાતને બચાવવા માટે, આપણે કેટલીક શરતોને વ્યાખ્યા વિના સ્વીકારવી પડશે અને તેના પર અન્યની વ્યાખ્યાઓ બાંધવી પડશે. ©

ગ્રિગોરી પિવેન

ગણિતમાં પિવેન ગ્રેગરી એ બિંદુ એ અવકાશનો એક ભાગ છે જે અમૂર્ત રીતે (પ્રતિબિંબિત) 1 જેટલી લંબાઈના લઘુત્તમ સેગમેન્ટ તરીકે લેવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ અવકાશના અન્ય ભાગોને માપવા માટે થાય છે. તેથી, એક વ્યક્તિ ઉત્પાદક માપન પ્રક્રિયા માટે અનુકૂળતા માટે બિંદુનું સ્કેલ પસંદ કરે છે: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. ઇ., 1 સેન્ટ. વર્ષ વગેરે

માપન અને પરિમાણના એકમો શું છે તે સમજ્યા પછી, હવે આપણે વાસ્તવિક માપન તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ. શાળાના ગણિતમાં, માપવાના બે સાધનોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે - (1) અંતર માપવા માટે એક શાસક અને (2) ખૂણા માપવા માટે પ્રોટ્રેક્ટર.

ડોટ

અંતર હંમેશા કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે માપવામાં આવે છે. વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ, ટપકું એ એક નાનો સ્પેક છે જે પેન્સિલ અથવા પેન વડે પોક કરવામાં આવે ત્યારે કાગળ પર રહે છે. બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરવાની બીજી, વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ રીત એ છે કે બે પાતળી રેખાઓ સાથે ક્રોસ દોરો, જે વ્યાખ્યામાં પરિણમે છે. બિંદુતેમના આંતરછેદો. પુસ્તકોમાં રેખાંકનોમાં, બિંદુને ઘણીવાર નાના કાળા વર્તુળ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. પરંતુ આ બધી માત્ર અંદાજિત વિઝ્યુઅલ ઈમેજીસ છે અને કડક ગાણિતિક અર્થમાં, બિંદુ - તે એક કાલ્પનિક વસ્તુ છે જેનું કદ બધી દિશામાં શૂન્ય છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે, સમગ્ર વિશ્વમાં પોઈન્ટનો સમાવેશ થાય છે. બિંદુઓ સર્વત્ર છે. જ્યારે આપણે કાગળમાં પેન નાખીએ છીએ અથવા ક્રોસ દોરીએ છીએ, ત્યારે આપણે કોઈ નવો મુદ્દો બનાવતા નથી, પરંતુ કોઈનું ધ્યાન તેના તરફ આકર્ષિત કરવા માટે ફક્ત અસ્તિત્વમાં છે તે પર એક ચિહ્ન મૂકીએ છીએ. જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય ત્યાં સુધી, એવું માનવામાં આવે છે કે બિંદુઓ ગતિહીન છે અને તેમની સંબંધિત સ્થિતિને બદલતા નથી. પરંતુ એક સ્થાનેથી બીજી જગ્યાએ ફરતા ફરતા બિંદુની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ નથી, જેમ કે એક નિશ્ચિત બિંદુ સાથે ભળી જાય છે, પછી બીજા સાથે.

સીધું

બે બિંદુઓ પર શાસક મૂકીને, આપણે તેમના દ્વારા સીધી રેખા દોરી શકીએ છીએ, અને વધુમાં એકમાત્ર રસ્તો. કાલ્પનિક ગાણિતિક સીધા, એક કાલ્પનિક આદર્શ શાસક સાથે દોરવામાં આવે છે, તેની જાડાઈ શૂન્ય હોય છે અને તે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે. વાસ્તવિક ચિત્રમાં, આ કાલ્પનિક રચના આ સ્વરૂપ લે છે:

હકીકતમાં, આ ચિત્રમાં બધું ખોટું છે. અહીં લીટીની જાડાઈ સ્પષ્ટપણે શૂન્ય કરતાં વધારે છે, અને એવું કહેવાની કોઈ રીત નથી કે રેખા અનંત સુધી વિસ્તરે છે. તેમ છતાં, આવા અનિયમિત રેખાંકનો કલ્પનાના સમર્થન તરીકે ખૂબ જ ઉપયોગી છે, અને અમે તેનો સતત ઉપયોગ કરીશું. એક બિંદુને બીજાથી અલગ પાડવા માટે તેને વધુ અનુકૂળ બનાવવા માટે, તેઓ સામાન્ય રીતે લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરોથી ચિહ્નિત થાય છે. આ આકૃતિમાં, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુઓ અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એઅને બી. બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા એઅને બી, આપોઆપ "સીધું" નામ પ્રાપ્ત કરે છે એબી" સંક્ષિપ્તતા માટે, સંકેત ( એબી), જ્યાં "સીધો" શબ્દ અવગણવામાં આવે છે અને કૌંસ ઉમેરવામાં આવે છે. સીધી રેખાઓ નાના અક્ષરોમાં પણ સૂચવી શકાય છે. ઉપરની આકૃતિમાં, સીધી રેખા એબીપત્ર દ્વારા દર્શાવેલ છે n.

બિંદુઓથી આગળ એઅને બીસીધી રેખા પર nઅન્ય બિંદુઓની વિશાળ સંખ્યા છે, જેમાંથી દરેકને કોઈ અન્ય રેખા સાથે આંતરછેદ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. એક જ બિંદુ દ્વારા ઘણી જુદી જુદી સીધી રેખાઓ દોરી શકાય છે.

જો આપણે જાણીએ કે રેખા પર બિન-સંયોગી બિંદુઓ છે એ, બી, સીઅને ડી, તો પછી તેને યોગ્ય રીતે નિયુક્ત કરી શકાય છે એટલું જ નહીં ( એબી), પણ કેવી રીતે ( A.C.), (બી.ડી), (સીડી) વગેરે.

સેગમેન્ટ. સેગમેન્ટની લંબાઈ. પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર

બે બિંદુઓથી બંધાયેલ રેખાના ભાગને કહેવામાં આવે છે સેગમેન્ટ. આ મર્યાદિત બિંદુઓ પણ સેગમેન્ટના છે અને તેને તેના કહેવામાં આવે છે સમાપ્ત થાય છે. એક સેગમેન્ટ જેના છેડા પોઈન્ટ પર પડે છે એઅને બી, "સેગમેન્ટ" તરીકે સૂચિત એબી"અથવા, કંઈક અંશે ટૂંકા, [ એબી].

દરેક સેગમેન્ટની લાક્ષણિકતા છે લંબાઈ- "પગલાઓ" ની સંખ્યા (કદાચ અપૂર્ણાંક) કે જે એક છેડેથી બીજા છેડા સુધી જવા માટે સેગમેન્ટ સાથે લેવામાં આવવી જોઈએ. આ કિસ્સામાં, "પગલાં" ની લંબાઈ પોતે એક સખત નિશ્ચિત મૂલ્ય છે, જે માપનના એકમ તરીકે લેવામાં આવે છે. માં કાગળની શીટ પર દોરેલા સેગમેન્ટ્સની લંબાઈને માપવા માટે તે સૌથી અનુકૂળ છે સેન્ટીમીટર. જો સેગમેન્ટના છેડા પોઈન્ટ પર પડે છે એઅને બી, પછી તેની લંબાઈ | તરીકે સૂચવવામાં આવે છે એબી|.

હેઠળ અંતરબે બિંદુઓ વચ્ચે તેમને જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ છે. હકીકતમાં, તેમ છતાં, અંતર માપવા માટે કોઈ સેગમેન્ટ દોરવાની જરૂર નથી - તે બંને બિંદુઓ સાથે શાસકને જોડવા માટે પૂરતું છે (જેના પર "પગલાઓ" ના નિશાન પૂર્વ-ચિહ્નિત છે). કારણ કે ગણિતમાં બિંદુ એક કાલ્પનિક વસ્તુ છે, અમને અમારી કલ્પનામાં એક આદર્શ શાસકનો ઉપયોગ કરવાથી કોઈ રોકતું નથી જે સંપૂર્ણ ચોકસાઈથી અંતર માપે છે. જો કે, તે ભૂલવું જોઈએ નહીં કે કાગળ પરના ક્રોસના ફોલ્લીઓ અથવા કેન્દ્રો પર લાગુ કરાયેલ વાસ્તવિક શાસક તમને માત્ર એક મિલીમીટરની ચોકસાઈ સાથે - આશરે અંતર સેટ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અંતર હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે.

રેખા પરના બિંદુની સ્થિતિ

ચાલો આપણે થોડી સીધી રેખા આપીએ. ચાલો તેના પર એક મનસ્વી બિંદુને ચિહ્નિત કરીએ અને તેને અક્ષર સાથે નિયુક્ત કરીએ ઓ. ચાલો તેની બાજુમાં 0 નંબર મૂકીએ, ચાલો સીધી રેખા સાથેની બે સંભવિત દિશાઓમાંથી એકને "પોઝિટિવ" કહીએ, અને વિરુદ્ધ એક - "નકારાત્મક". સામાન્ય રીતે હકારાત્મક દિશા ડાબેથી જમણે અથવા નીચેથી ઉપર સુધી લેવામાં આવે છે, પરંતુ આ જરૂરી નથી. ચાલો આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, તીર વડે હકારાત્મક દિશાને ચિહ્નિત કરીએ:

હવે રેખા પર સ્થિત કોઈપણ બિંદુ માટે, આપણે તેને નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ સ્થિતિ. બિંદુ સ્થિતિ એતે મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે જે નકારાત્મક, શૂન્ય અથવા હકારાત્મક હોઈ શકે છે. તેનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલું છે ઓઅને એ(એટલે ​​​​કે, સેગમેન્ટની લંબાઈ ઓએ), અને ચિહ્ન બિંદુથી દિશા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે ઓતમારે મુદ્દા પર જવા માટે ખસેડવું પડશે એ. જો તમારે સકારાત્મક દિશામાં આગળ વધવાની જરૂર હોય, તો સંકેત હકારાત્મક છે. જો તે નકારાત્મક છે, તો પછી ચિહ્ન નકારાત્મક છે. "સ્થિતિ" શબ્દને બદલે "ઘણીવાર ઉપયોગ થાય છે" સંકલન».

અતાર્કિક અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

જ્યારે આપણે વાસ્તવિક ડ્રોઇંગ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ અને શાળાના શાસકનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક ઉદઘાટન પર વાસ્તવિક બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણને નજીકના મિલીમીટર સુધી ગોળાકાર મૂલ્ય મળે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પરિણામ એ નીચેની શ્રેણીમાંથી લેવામાં આવેલ મૂલ્ય છે:

0 મીમી, 1 મીમી, −1 મીમી, 2 મીમી, −2 મીમી, 3 મીમી, −3 મીમીવગેરે

પરિણામ સમાન હોઈ શકતું નથી, ઉદાહરણ તરીકે, 1/3 સેમી, કારણ કે, જેમ આપણે જાણીએ છીએ, સેન્ટીમીટરના ત્રીજા ભાગને અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

0,333333333... સેમી,

જે રાઉન્ડિંગ પછી 0.3 ની બરાબર થવી જોઈએ સેમી.

જ્યારે આપણે આપણી કલ્પનામાં આદર્શ ગાણિતિક વસ્તુઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ ત્યારે તે અલગ બાબત છે.

સૌપ્રથમ, આ કિસ્સામાં તમે માપનના એકમોને સરળતાથી કાઢી શકો છો અને માત્ર પરિમાણહીન જથ્થા સાથે કામ કરી શકો છો. પછી આપણે ભૌમિતિક બાંધકામ પર આવીએ છીએ જેની સાથે આપણે પરિચયિત સંખ્યાઓમાંથી પસાર થયા ત્યારે પરિચિત થયા, અને જેને આપણે કહીએ છીએ. સંખ્યા રેખા:

ભૂમિતિમાં "સીધો" શબ્દ પહેલેથી જ ભારે "લોડ" હોવાથી, આ જ બાંધકામને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે. સંખ્યા અક્ષઅથવા માત્ર ધરી.

બીજું, આપણે સારી રીતે કલ્પના કરી શકીએ છીએ કે બિંદુનું સંકલન અમુક સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમ કે

તદુપરાંત, આપણે અનંતની કલ્પના કરી શકીએ છીએ બિન-સામયિકઅપૂર્ણાંક - જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે,

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

આવી કાલ્પનિક સંખ્યાઓ, જે અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ થાય છે, કહેવામાં આવે છે અતાર્કિક. અતાર્કિક સંખ્યાઓ, અમને પહેલેથી જ પરિચિત તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે મળીને, કહેવાતા બનાવે છે માન્યસંખ્યાઓ “વાસ્તવિક” શબ્દને બદલે આપણે “વાસ્તવિક” શબ્દનો પણ ઉપયોગ કરીશું. વાસ્તવિક" રેખા પરના બિંદુની કોઈપણ કલ્પનાશીલ સ્થિતિને વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. અને ઊલટું, જો આપણને અમુક વાસ્તવિક સંખ્યા આપવામાં આવે x, આપણે હંમેશા એક બિંદુની કલ્પના કરી શકીએ છીએ એક્સ, જેની સ્થિતિ નંબર દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે x.

પૂર્વગ્રહ

દો a- બિંદુ સંકલન એ, એ b- બિંદુ સંકલન બી. પછી મૂલ્ય

વિ = b − a

છે વિસ્થાપન, જે બિંદુનું ભાષાંતર કરે છે એબિંદુ સુધી બી. આ ખાસ કરીને સ્પષ્ટ બને છે જો અગાઉની સમાનતા ફોર્મમાં ફરીથી લખવામાં આવે

b = a + વિ.

કેટલીકવાર "વિસ્થાપન" શબ્દને બદલે તેઓ "" શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે વેક્ટર" તે પરિસ્થિતિ જોવી સરળ છે xમનસ્વી બિંદુ એક્સ- આ એક ઑફસેટ કરતાં વધુ કંઈ નથી જે બિંદુનું ભાષાંતર કરે છે ઓ(શૂન્ય સમાન સંકલન સાથે) એક બિંદુ સુધી એક્સ:

x= 0 + x.

ઑફસેટ્સ એકબીજામાં ઉમેરી શકાય છે અને એકબીજામાંથી બાદબાકી પણ કરી શકાય છે. તેથી, જો ઓફસેટ ( b − a) બિંદુનું ભાષાંતર કરે છે એબિંદુ સુધી બી, અને ઓફસેટ ( c − b) બિંદુ બીબિંદુ સુધી સી, પછી ઓફસેટ

(b − a) + (c − b) = c − a

બિંદુનું ભાષાંતર કરે છે એબિંદુ સુધી સી.

નોંધ.તાર્કિક રીતે, અતાર્કિક સંખ્યાઓને કેવી રીતે ઉમેરવી અને બાદબાકી કરવી તે સ્પષ્ટ કરવું જરૂરી છે, કારણ કે વિસ્થાપન અતાર્કિક હોઈ શકે છે. અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યોગ્ય ઔપચારિક પ્રક્રિયાઓ વિકસાવવા માટે કાળજી લીધી હતી, પરંતુ વ્યવહારમાં અમે આ કરીશું નહીં, કારણ કે ગોળાકાર મૂલ્યો સાથેની અંદાજિત ગણતરીઓ હંમેશા વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પૂરતી હોય છે. હમણાં માટે, અમે ફક્ત વિશ્વાસ પર લઈશું કે "ઉમેર" અને "બાદબાકી" - તેમજ "ગુણાકાર" અને "ભાગાકાર" - ની વિભાવનાઓ કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે (જોકે, ચેતવણી સાથે, કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી).

અહીં, કદાચ, "વિસ્થાપન" અને "અંતર" ની વિભાવનાઓ વચ્ચેના સૂક્ષ્મ તફાવતની નોંધ લેવી યોગ્ય રહેશે. અંતર હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે. તે વાસ્તવમાં નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં લીધેલા વિસ્થાપનને રજૂ કરે છે. તેથી, જો ઓફસેટ

વિ = b − a

બિંદુનું ભાષાંતર કરે છે એબિંદુ સુધી બી, પછી અંતર sપોઈન્ટ વચ્ચે એઅને બીબરાબર

s = |v| = |b − a|

બેમાંથી કઈ સંખ્યા મોટી છે તેને ધ્યાનમાં લીધા વિના આ સમાનતા માન્ય રહે છે - aઅથવા b.

પ્લેન

વ્યવહારિક અર્થમાં, પ્લેન એ કાગળનો ટુકડો છે જેના પર આપણે આપણી ભૌમિતિક ડિઝાઇન દોરીએ છીએ. કાલ્પનિક ગાણિતિક વિમાનતે કાગળની શીટથી અલગ છે કે તેમાં શૂન્ય જાડાઈ અને અમર્યાદિત સપાટી છે જે અનંત સુધી જુદી જુદી દિશામાં વિસ્તરે છે. વધુમાં, કાગળની શીટથી વિપરીત, ગાણિતિક પ્લેન એકદમ કઠોર છે: તે ક્યારેય વાળતું નથી કે કરચલીઓ પડતી નથી - ભલે તે ડેસ્ક પરથી ફાટી જાય અને કોઈપણ રીતે અવકાશમાં મૂકવામાં આવે.

અવકાશમાં પ્લેનનું સ્થાન અનન્ય રીતે ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (સિવાય કે તેઓ કોઈપણ એક સીધી રેખા પર હોય). આની વધુ સ્પષ્ટ કલ્પના કરવા માટે, ચાલો ત્રણ મનસ્વી બિંદુઓ દોરીએ, ઓ, એઅને બી, અને તેમના દ્વારા બે સીધી રેખાઓ દોરો ઓ.એ.અને ઓ.બી.ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે:

તમારી કલ્પનામાં પ્લેનને બે છેદતી સીધી રેખાઓ પર "ખેંચવું" એ તેને ત્રણ બિંદુઓ પર "સપોર્ટ કરવા" કરતાં થોડું સરળ છે. પરંતુ વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો કેટલાક વધારાના બાંધકામો કરીએ. ચાલો રેન્ડમ પર બે બિંદુઓ લઈએ: લીટી પર ગમે ત્યાં એક ઓ.એ., અને અન્ય - સીધી રેખા પર ગમે ત્યાં ઓ.બી.. ચાલો બિંદુઓની આ જોડી દ્વારા એક નવી રેખા દોરીએ. આગળ, તે જ રીતે, બિંદુઓની બીજી જોડી પસંદ કરો અને તેમના દ્વારા બીજી સીધી રેખા દોરો. આ પ્રક્રિયાને ઘણી વખત પુનરાવર્તિત કરવાથી, અમને વેબ જેવું કંઈક મળે છે:

આવા સ્ટ્રક્ચર પર પ્લેન લાદવું તે પહેલેથી જ એકદમ સરળ છે - ખાસ કરીને કારણ કે આ કાલ્પનિક વેબ એટલી જાડી બનાવી શકાય છે કે તે આખા પ્લેનને ગાબડા વિના આવરી લેશે.

નોંધ કરો કે જો આપણે પ્લેન પર અલગ-અલગ બિંદુઓની જોડી લઈએ અને તેમાંથી એક સીધી રેખા દોરીએ, તો આ સીધી રેખા આવશ્યકપણે સમાન પ્લેનમાં હશે.

અમૂર્ત

ડોટ (એ, બી, વગેરે): એક કાલ્પનિક વસ્તુ જેની બધી દિશામાં કદ શૂન્ય છે.

સીધું (n, mઅથવા ( એબી)): એક અનંત પાતળી રેખા; બે બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવે છે ( એઅને બી) એક અસ્પષ્ટ રીતે રેખા સાથે; બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.

સેગમેન્ટ ([એબી]): બે બિંદુઓથી બંધાયેલ રેખાનો ભાગ ( એઅને બી) - સેગમેન્ટના છેડા, જેને સેગમેન્ટના પણ માનવામાં આવે છે.

વિભાગ લંબાઈ(|એબી|): (અપૂર્ણાંક) સેન્ટિમીટરની સંખ્યા (અથવા માપનનું અન્ય એકમ) જે છેડા વચ્ચે બંધબેસે છે ( એઅને બી).

બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર: આ બિંદુઓ પર છેડા સાથે સેગમેન્ટની લંબાઈ.

રેખા પરના બિંદુની સ્થિતિ (સંકલન): બિંદુથી અમુક પૂર્વ-પસંદ કરેલ કેન્દ્ર સુધીનું અંતર (એક સીધી રેખા પર પણ પડેલું છે) અસાઇન કરેલ વત્તા અથવા ઓછા ચિહ્ન સાથે, બિંદુ કેન્દ્રની કઈ બાજુ સ્થિત છે તેના આધારે.

લીટી પરના બિંદુની સ્થિતિ સ્પષ્ટ થયેલ છે માન્ય(વાસ્તવિક)સંખ્યા, એટલે કે દશાંશ અપૂર્ણાંક, જે કાં તો (1) મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક ( તર્કસંગત સંખ્યાઓ), અથવા (2) અનંત બિન-સામયિક ( અતાર્કિક સંખ્યાઓ).

પૂર્વગ્રહ, જે બિંદુનું ભાષાંતર કરે છે એ(સંકલન સાથે a) બિંદુ સુધી બી(સંકલન સાથે b): વિ = b − a.

અંતર નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં લીધેલા વિસ્થાપન જેટલું છે: | એબી| = |b − a|.

પ્લેન: કાગળની અનંત પાતળી શીટ જે વિવિધ બાજુઓ પર અનંત સુધી વિસ્તરે છે; ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે સમાન રેખા પર આવેલા નથી.

આ પણ જુઓ: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

અઢી સહસ્ત્રાબ્દીથી, ગણિતમાં પરિમાણહીન બિંદુના અમૂર્તકરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે, જે માત્ર સામાન્ય જ્ઞાનનો જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન જેવા વિજ્ઞાન દ્વારા મેળવેલ આપણી આસપાસના વિશ્વ વિશેના જ્ઞાનનો પણ વિરોધાભાસ કરે છે.

અન્ય અમૂર્તતાઓથી વિપરીત, પરિમાણહીન ગાણિતિક બિંદુનું અમૂર્ત વાસ્તવિકતાને આદર્શ બનાવતું નથી, તેના જ્ઞાનને સરળ બનાવે છે, પરંતુ તેને ઇરાદાપૂર્વક વિકૃત કરે છે, તેને ચોક્કસ વિપરીત અર્થ આપે છે, જે, ખાસ કરીને, ઉચ્ચ પરિમાણની જગ્યાઓને સમજવા અને અભ્યાસ કરવાનું મૂળભૂત રીતે અશક્ય બનાવે છે!

ગણિતમાં પરિમાણહીન બિંદુ અમૂર્તતાના ઉપયોગની તુલના આર્થિક ગણતરીઓમાં શૂન્ય મૂલ્ય સાથેના આધાર ચલણ એકમના ઉપયોગ સાથે કરી શકાય છે. સદનસીબે, અર્થશાસ્ત્રે આ વિશે વિચાર્યું ન હતું.

ચાલો પરિમાણહીન બિંદુના અમૂર્તતાની વાહિયાતતા સાબિત કરીએ.

પ્રમેય. ગાણિતિક બિંદુ વોલ્યુમેટ્રિક છે.

પુરાવો.

જેમ ગણિતમાં

બિંદુ_માપ = 0,

મર્યાદિત (બિન-શૂન્ય) લંબાઈના સેગમેન્ટ માટે આપણી પાસે છે

સેગમેન્ટ_સાઇઝ = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

સેગમેન્ટનું પરિણામી શૂન્ય કદ, તેના ઘટક બિંદુઓના ક્રમ તરીકે, તે સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે કે સેગમેન્ટની લંબાઈ મર્યાદિત છે. વધુમાં, શૂન્ય બિંદુનું કદ વાહિયાત છે કારણ કે શૂન્યનો સરવાળો શબ્દોની સંખ્યા પર આધારિત નથી, એટલે કે, સેગમેન્ટમાં "શૂન્ય" બિંદુઓની સંખ્યા સેગમેન્ટના કદને અસર કરતી નથી.

તેથી, ગાણિતિક બિંદુના શૂન્ય કદ વિશેની પ્રારંભિક ધારણા ખોટી છે.

આમ, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે ગાણિતિક બિંદુમાં બિન-શૂન્ય (મર્યાદિત) કદ હોય છે. કારણ કે બિંદુ માત્ર સેગમેન્ટનો જ નથી, પણ તે જગ્યાનો પણ છે જેમાં સેગમેન્ટ સ્થિત છે, તે જગ્યાનું પરિમાણ ધરાવે છે, એટલે કે, ગાણિતિક બિંદુ વોલ્યુમેટ્રિક છે. Q.E.D.

પરિણામ.

ઉપરોક્ત પુરાવા, બાલમંદિરના જુનિયર જૂથના ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, પાદરીઓ અને "બધા વિજ્ઞાનની રાણી" ના નિષ્ણાતોના અમર્યાદ શાણપણમાં ગર્વ અનુભવે છે, જેઓ સહસ્ત્રાબ્દી પસાર કરવામાં અને તેના વંશજો માટે સાચવવામાં સફળ રહ્યા હતા. મૂળ સ્વરૂપ માનવજાતની પ્રાચીન-પ્રાચીન ભ્રમણા છે.

સમીક્ષાઓ

પ્રિય એલેક્ઝાન્ડર! હું ગણિતમાં સારો નથી, પણ કદાચ તમે મને કહી શકો કે બિંદુ શૂન્ય બરાબર છે એવું ક્યાં અને કોના દ્વારા કહેવામાં આવ્યું છે? બીજી બાબત એ છે કે તેનું અમર્યાદ મૂલ્ય છે, સંમેલનના બિંદુ સુધી પણ, પરંતુ શૂન્ય બિલકુલ નથી. આમ, કોઈપણ સેગમેન્ટને શૂન્ય ગણી શકાય, કારણ કે ત્યાં અન્ય સેગમેન્ટ છે જેમાં અસીમ સેગમેન્ટની સંખ્યા હોય છે, આશરે કહીએ તો. કદાચ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રને ગૂંચવવાની જરૂર નથી. ગણિત એ અસ્તિત્વનું વિજ્ઞાન છે, ભૌતિકશાસ્ત્ર એ અસ્તિત્વનું વિજ્ઞાન છે. આપની.

મેં એચિલીસનો બે વાર વિગતવાર અને ઘણી વખત ઉલ્લેખ કર્યો:
"એચિલીસ કાચબાને કેમ પકડી શકતો નથી"
"એચિલીસ અને કાચબો - એક ક્યુબ્ડ વિરોધાભાસ"

કદાચ ઝેનોના વિરોધાભાસનો એક ઉકેલ એ છે કે અવકાશ અલગ છે અને સમય સતત છે. તે માનતો હતો, જેમ તમે કરો છો, બંને અલગ છે. શરીર અવકાશમાં અમુક સમયે અમુક સમય માટે રહી શકે છે. પરંતુ તે એક જ સમયે એક જ સમયે જુદી જુદી જગ્યાએ હોઈ શકતો નથી. આ બધું, અલબત્ત, કલાપ્રેમી છે, આપણા સમગ્ર સંવાદની જેમ. આપની.
માર્ગ દ્વારા, જો કોઈ બિંદુ ત્રિ-પરિમાણીય હોય, તો તેના પરિમાણો શું છે?

સમયની વિવેકબુદ્ધિ અનુસરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, “તીર” એપોરિયામાંથી. માત્ર એક ઇલેક્ટ્રોન જ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે "એક જ સમયે જુદી જુદી જગ્યાએ રહી શકે છે", જેઓ સૈદ્ધાંતિક રીતે ઈથરની રચના અથવા 4-પરિમાણીય અવકાશની રચનાને સમજી શકતા નથી અને સ્વીકારતા નથી. મને આ ઘટનાના અન્ય કોઈ ઉદાહરણોની ખબર નથી. મને અમારી વાતચીતમાં કોઈ "કલાપ્રેમી" દેખાતું નથી. તેનાથી વિપરીત, બધું અત્યંત સરળ છે: બિંદુ કાં તો પરિમાણહીન હોય છે અથવા તેનું કદ હોય છે; સાતત્ય અને અનંત કાં તો અસ્તિત્વમાં છે અથવા તેઓ નથી. ત્યાં કોઈ ત્રીજો વિકલ્પ નથી - કાં તો સાચું કે ખોટું! ગણિતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો, કમનસીબે, 2500 વર્ષ પહેલાં અજ્ઞાનતામાંથી અપનાવવામાં આવેલા ખોટા સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે.

બિંદુનું કદ સમસ્યા હલ કરવાની શરતો અને જરૂરી ચોકસાઈ પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે કાંડા ઘડિયાળ માટે ગિયર ડિઝાઇન કરી રહ્યાં છો, તો ચોકસાઈ અણુના કદ દ્વારા, એટલે કે આઠ દશાંશ સ્થાનો દ્વારા મર્યાદિત કરી શકાય છે. અહીં અણુ પોતે ગાણિતિક બિંદુનું ભૌતિક એનાલોગ હશે. કદાચ ક્યાંક 16 અંકો સુધીની ચોકસાઈની જરૂર પડશે; પછી બિંદુની ભૂમિકા ઈથરના કણ દ્વારા ભજવવામાં આવશે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે વ્યવહારમાં માનવામાં આવતી "અનંત" સચોટતા વિશે વાત જંગલી બકવાસમાં ફેરવાઈ જાય છે, અથવા, તેને હળવી રીતે કહીએ તો, વાહિયાતતા.

હું હજી પણ સમજી શકતો નથી: શું મુદ્દો અસ્તિત્વમાં છે? જો તે ઉદ્દેશ્ય રૂપે અસ્તિત્વમાં છે, તેથી તેનું ચોક્કસ ભૌતિક મૂલ્ય છે; જો તે આપણા મનના અમૂર્ત સ્વરૂપમાં અસ્તિત્વમાં છે, તો તેનું ગાણિતિક મૂલ્ય છે. શૂન્ય પાસે કંઈ નથી, તે અસ્તિત્વમાં નથી, આ ગણિતમાં અસ્તિત્વ અથવા ભૌતિકશાસ્ત્રમાં શૂન્યતાની અમૂર્ત વ્યાખ્યા છે. સંબંધોની બહાર બિંદુ પોતે અસ્તિત્વમાં નથી. જલદી બીજો બિંદુ દેખાય છે, એક સેગમેન્ટ દેખાય છે - કંઈક, વગેરે. આ વિષય અવિરતપણે વિકસાવી શકાય છે. યુવી સાથે.

મને એવું લાગ્યું કે મેં સ્પષ્ટ ઉદાહરણ આપ્યું છે, પરંતુ કદાચ પૂરતું વિગતવાર નથી. ઉદ્દેશ્યપૂર્વક, એક વિશ્વ છે જેને વિજ્ઞાન ઓળખે છે, અને હાલમાં તે મુખ્યત્વે ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઓળખે છે. ગણિત ગાણિતિક મોડેલો બનાવીને વિશ્વને સમજે છે. આ મોડેલો બનાવવા માટે, મૂળભૂત ગાણિતિક અમૂર્તનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને, જેમ કે: બિંદુ, રેખા, સાતત્ય, અનંત. આ અમૂર્તતા મૂળભૂત છે કારણ કે હવે તેમને વધુ ટુકડા કરવા અને સરળ બનાવવાનું શક્ય નથી. દરેક મૂળભૂત એબ્સ્ટ્રેક્શન કાં તો ઉદ્દેશ્ય વાસ્તવિકતા (સાચું) અથવા નહીં (ખોટું) માટે પર્યાપ્ત હોઈ શકે છે. ઉપરોક્ત તમામ અમૂર્તતા સ્વાભાવિક રીતે ખોટા છે કારણ કે તે વાસ્તવિક દુનિયા વિશેના નવીનતમ જ્ઞાનનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે આ અમૂર્તતા વાસ્તવિક દુનિયાની સાચી સમજણને અટકાવે છે. જ્યારે વિજ્ઞાન 3-પરિમાણીય વિશ્વનો અભ્યાસ કરે છે ત્યારે આ કોઈક રીતે સહન કરી શકાય છે. જો કે, પરિમાણહીન બિંદુ અને સાતત્યની અમૂર્તતા ઉચ્ચ પરિમાણની તમામ દુનિયાને સિદ્ધાંતમાં અજાણ બનાવે છે!

બ્રહ્માંડની ઈંટ - એક બિંદુ - ખાલી ન હોઈ શકે. દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે ખાલીપણાથી કશું જ આવતું નથી. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓએ, ઈથરને અવિદ્યમાન જાહેર કરીને, વિશ્વને શૂન્યતાથી ભરી દીધું. હું માનું છું કે તેના ખાલી બિંદુ સાથે ગણિત તેમને આ મૂર્ખતા તરફ ધકેલી દે છે. હું 4D કરતા ઉચ્ચ પરિમાણ ધરાવતા વિશ્વના અણુ-બિંદુઓ વિશે પણ વાત કરતો નથી. તેથી, દરેક પરિમાણ માટે, અવિભાજ્ય (શરતી) ગાણિતિક બિંદુની ભૂમિકા આ ​​વિશ્વના (શરતી રીતે) અવિભાજ્ય અણુ (અવકાશ, પદાર્થ) દ્વારા ભજવવામાં આવે છે. 3D માટે - એક ભૌતિક અણુ, 4D માટે - ઈથરનો કણ, 5D માટે - એક અપાર્થિવ અણુ, 6D માટે - માનસિક અણુ વગેરે. આપની,

તો, શું બ્રહ્માંડની ઈંટનું કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય છે? અને તમારા મતે, એથરિક અથવા માનસિક વિશ્વમાં તે કેવું દેખાય છે. મને દુનિયા વિશે પૂછવામાં પણ ડર લાગે છે. વ્યાજ સાથે...

ઈથર કણો (આ અણુઓ નથી!) એ ઈલેક્ટ્રોન-પોઝીટ્રોન જોડી છે, જેમાં કણો પોતે પ્રકાશની ઝડપે એકબીજાની સાપેક્ષે ફરે છે. આ તમામ ન્યુક્લિઅન્સની રચના, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેશનના પ્રચાર અને કહેવાતા ભૌતિક શૂન્યાવકાશની તમામ અસરોને સંપૂર્ણપણે સમજાવે છે. વિચારના અણુની રચના કોઈને ખબર નથી. ત્યાં માત્ર પુરાવા છે કે તમામ ઉચ્ચતમ વિશ્વ ભૌતિક છે, એટલે કે, તેમના પોતાના અણુઓ છે. સંપૂર્ણ બાબત સુધી. જો કે, તમે નિરર્થક વ્યંગાત્મક છો. શું વોર્મહોલ્સ અને મોટા વિસ્ફોટ તમને વધુ બુદ્ધિગમ્ય લાગે છે?

અહીં કેટલી વિડંબના છે, માહિતીના આવા હિમપ્રપાત પછી હું થોડો અચંબામાં પડી ગયો હતો. હું, તમારાથી વિપરીત, પ્રોફેશનલ નથી અને જગ્યાઓની પાંચ- અથવા છ-પરિમાણીયતા વિશે કંઈપણ કહેવું મુશ્કેલ લાગે છે. હું અમારા સહનશીલ મુદ્દા વિશે વાત કરી રહ્યો છું... જ્યાં સુધી હું સમજું છું, તમે ભૌતિક સાતત્ય અને સમયગાળાની વિરુદ્ધ છો, તમારી પાસે ખરેખર અસ્તિત્વમાંનો "લોકશાહી" અણુ છે. "બ્રહ્માંડની ઈંટ." કદાચ હું બેદરકાર હતો, પરંતુ તેમ છતાં, તેની રચના, ભૌતિક પરિમાણો, પરિમાણો વગેરે શું છે તે પુનરાવર્તન કરવું મુશ્કેલ હશે.
અને એ પણ જવાબ આપો, શું એકમ પોતાનામાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમ કે, કોઈપણ સંબંધોની બહાર? આભાર.