અત્યાર સુધી, અમે ધારતા હતા કે અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ જાણીતો હતો અને તેનો બાંધકામમાં ઉપયોગ કરવા માટે તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરી રહ્યા હતા. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આ વિભાગમાં આપણે અંદાજો બાંધવા માટેની પદ્ધતિઓના મુદ્દા પર વિચાર કરીશું.

સંભાવના પદ્ધતિઓ

અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વેક્ટર વન, . એવું માનવામાં આવે છે કે વિતરણ કાર્યનું સ્વરૂપ પરિમાણ સુધી જાણીતું છે,

આ કિસ્સામાં, બધી ક્ષણો રેન્ડમ ચલઆમાંથી કાર્યો બનો:

ક્ષણોની પદ્ધતિને નીચેના પગલાંની જરૂર છે:

k "સૈદ્ધાંતિક" ક્ષણોની ગણતરી કરો

નમૂનાના આધારે, અમે સમાન નામના k નમૂનાની ક્ષણો બનાવીએ છીએ. વર્તમાન સંદર્ભમાં, આ ક્ષણો હશે

"સૈદ્ધાંતિક" અને સમાન નામના નમૂનાની ક્ષણોને સમાન કરીને, અમે અંદાજિત પરિમાણના ઘટકો માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ

પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરીને (ચોક્કસ અથવા અંદાજે), અમે પ્રારંભિક અંદાજો શોધીએ છીએ. તેઓ, અલબત્ત, નમૂના મૂલ્યોના કાર્યો છે.

અમે પ્રારંભિક - સૈદ્ધાંતિક અને પસંદગીયુક્ત - મુદ્દાઓના આધારે પ્રક્રિયાની રૂપરેખા આપી છે. તે ક્ષણોની અલગ પસંદગી હેઠળ સાચવવામાં આવે છે, પ્રારંભિક, કેન્દ્રિય અથવા નિરપેક્ષ, જે ઉકેલવાની સિસ્ટમ (25.1) અથવા સમાન એકની સુવિધા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ચાલો ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 25.1.રેન્ડમ ચલને અંતરાલ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવા દો [ ; ] , જ્યાં અજાણ્યા પરિમાણો છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણમાંથી વોલ્યુમ n ના નમૂના () પર આધારિત. તેનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે અને.

IN આ કિસ્સામાંવિતરણ ઘનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

1) ચાલો પ્રથમ બે પ્રારંભિક "સૈદ્ધાંતિક" ક્ષણોની ગણતરી કરીએ:

2) ચાલો નમૂનામાંથી પ્રથમ બે પ્રારંભિક નમૂનાની ક્ષણોની ગણતરી કરીએ

3) ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ

4) પ્રથમ સમીકરણથી આપણે તેને વ્યક્ત કરીએ છીએ

અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલો, જેના પરિણામે ચતુર્ભુજ સમીકરણ થાય છે

જેને ઉકેલવાથી, આપણને બે મૂળ મળે છે

અનુરૂપ મૂલ્યો છે

કારણ કે, સમસ્યાના અર્થ મુજબ, શરત મળવી આવશ્યક છે< , выбираем в качестве решения системы и оценок અજાણ્યા પરિમાણો

કરતાં વધુ કંઈ નથી તે નોંધવું નમૂના તફાવત, આપણે આખરે મેળવીએ છીએ

જો આપણે "સૈદ્ધાંતિક" બિંદુઓ તરીકે પસંદ કરીએ ગાણિતિક અપેક્ષાઅને ભિન્નતા, તો પછી આપણે સિસ્ટમ પર પહોંચીશું (અસમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા<)

જે પાછલા એક કરતાં રેખીય અને ઉકેલવા માટે સરળ છે. જવાબ, અલબત્ત, જે પ્રાપ્ત થઈ ગયું છે તેની સાથે એકરુપ છે.

છેલ્લે, અમે નોંધીએ છીએ કે અમારી સિસ્ટમમાં હંમેશા ઉકેલ હોય છે, અને તે એક અનોખો હોય છે. પ્રાપ્ત અંદાજો, અલબત્ત, સુસંગત છે, પરંતુ તેમની પાસે નિષ્પક્ષતાના ગુણધર્મો નથી.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ

અમે પહેલાની જેમ, એક રેન્ડમ ચલનો અભ્યાસ કરીએ છીએ, જેનું વિતરણ કાં તો તેના મૂલ્યોની સંભાવનાઓ દ્વારા, જો અલગ હોય, અથવા વિતરણ ઘનતા દ્વારા, જો સતત હોય, તો અજ્ઞાત વેક્ટર પરિમાણ ક્યાં છે તે દ્વારા ઉલ્લેખિત છે. ચાલો () મૂલ્યોનો નમૂનો બનીએ. પેરામીટરનું મૂલ્ય કે જેના પર હાલના નમૂના મેળવવાની સંભાવના મહત્તમ છે તેના અંદાજ તરીકે લેવાનું સ્વાભાવિક છે.

અભિવ્યક્તિ

કહેવાય છે સંભાવના કાર્ય, તે n સ્વતંત્ર કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે રેન્ડમ વેક્ટરના સંયુક્ત વિતરણ અથવા સંયુક્ત ઘનતાને રજૂ કરે છે, જેમાંના દરેકનું વિતરણ (ઘનતા) સમાન છે.

અજાણ્યા પરિમાણના અંદાજ તરીકે, અમે તેનું મૂલ્ય લઈએ છીએ જે મહત્તમ કાર્ય પ્રદાન કરે છે, જેને નિશ્ચિત મૂલ્યો માટેના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે. આકારણી કહેવામાં આવે છે મહત્તમ સંભાવના અંદાજ. નોંધ કરો કે તે નમૂનાના કદ n અને નમૂનાના મૂલ્યો પર આધારિત છે

અને, તેથી, પોતે એક રેન્ડમ ચલ છે.

ફંક્શનનો મહત્તમ પોઈન્ટ શોધવો એ એક અલગ કાર્ય છે, જે પેરામીટરના સંદર્ભમાં ફંક્શન અલગ-અલગ હોય તો સરળ બને છે.

આ કિસ્સામાં, ફંક્શનને બદલે તેના લઘુગણકને ધ્યાનમાં લેવું અનુકૂળ છે, કારણ કે ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓ અને તેના લઘુગણક એકરૂપ છે.

વિભેદક કેલ્ક્યુલસ પદ્ધતિઓ તમને એક્સ્ટ્રીમમ માટે શંકાસ્પદ બિંદુઓ શોધવાની મંજૂરી આપે છે, અને પછી તેમાંથી મહત્તમ ક્યા સુધી પહોંચે છે તે શોધો.

આ હેતુ માટે, આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણોની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ

જેના ઉકેલો એક્સ્ટ્રીમ માટે શંકાસ્પદ બિંદુઓ છે. પછી, જાણીતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોની ગણતરી

આ મૂલ્યોથી બનેલા નિર્ણાયકની નિશાનીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મહત્તમ બિંદુ શોધીએ છીએ.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ અંદાજો સુસંગત છે, જો કે તે પૂર્વગ્રહયુક્ત હોઈ શકે છે.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 25.2.કેટલાક અવ્યવસ્થિત પ્રયોગો હાથ ધરવા દો, જેનું પરિણામ અમુક ઘટના A હોઈ શકે છે, જેની સંભાવના P(A) અજ્ઞાત છે અને અનુમાનને આધીન છે.

ચાલો સમાનતા દ્વારા રેન્ડમ ચલ રજૂ કરીએ

જો ઘટના A બની હોય,

જો ઘટના A બની ન હોય (એક ઘટના બની).

રેન્ડમ ચલનું વિતરણ સમાનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે

આ કિસ્સામાં નમૂના એક મર્યાદિત ક્રમ હશે (), જ્યાં તેમાંથી દરેક 0 અથવા 1 સમાન હોઈ શકે છે.

સંભાવના કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે

ચાલો p માં તેના મહત્તમ બિંદુને શોધીએ, જેના માટે આપણે લઘુગણકના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ.

ચાલો સૂચવીએ કે આ સંખ્યા પસંદ કરેલ ક્રમમાં "સફળતા" ના એકમોની સંખ્યા જેટલી છે.

અને અન્ય).

મહત્તમ સંભાવના અંદાજ એ એક લોકપ્રિય આંકડાકીય પદ્ધતિ છે જેનો ઉપયોગ ડેટામાંથી આંકડાકીય મોડેલ બનાવવા અને મોડેલના પરિમાણોના અંદાજો પૂરા પાડવા માટે થાય છે.

આંકડાઓના ક્ષેત્રમાં ઘણી જાણીતી અંદાજ પદ્ધતિઓને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો કહીએ કે તમને યુક્રેનના લોકોના વિકાસમાં રસ છે. ધારો કે તમારી પાસે સમગ્ર વસ્તીને બદલે સંખ્યાબંધ લોકો માટે ઊંચાઈનો ડેટા છે. વધુમાં, ઊંચાઈને અજ્ઞાત ભિન્નતા અને સરેરાશ સાથે સામાન્ય રીતે વિતરિત ચલ માનવામાં આવે છે. નમૂનાની વૃદ્ધિનો સરેરાશ અને ભિન્નતા એ સમગ્ર વસ્તીનો સરેરાશ અને તફાવત હોવાની સંભાવના છે.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ડેટાના નિશ્ચિત સેટ અને મૂળભૂત સંભાવના મોડેલને જોતાં, અમે મોડેલ પરિમાણો માટે મૂલ્યો મેળવીશું જે ડેટાને વાસ્તવિક દુનિયાની "નજીક" બનાવે છે. મહત્તમ સંભાવના અંદાજ સામાન્ય વિતરણના કિસ્સામાં ઉકેલો નક્કી કરવા માટે એક અનન્ય અને સરળ રીત પ્રદાન કરે છે.

મહત્તમ સંભાવના અંદાજનો ઉપયોગ આંકડાકીય મોડેલોની વિશાળ શ્રેણી માટે થાય છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• રેખીય મોડેલો અને સામાન્ય રેખીય મોડેલો;
• પરિબળ વિશ્લેષણ;
• માળખાકીય સમીકરણ મોડેલિંગ;
• ઘણી પરિસ્થિતિઓ, પૂર્વધારણા પરીક્ષણ અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ રચનાના માળખામાં;
• સ્વતંત્ર પસંદગીના મોડલ.

પદ્ધતિનો સાર

કહેવાય છે મહત્તમ સંભાવના અંદાજપરિમાણ આમ, મહત્તમ સંભાવના અનુમાનકર્તા એ એક અનુમાનક છે જે નિશ્ચિત નમૂનાની અનુભૂતિને કારણે સંભાવના કાર્યને મહત્તમ કરે છે.

મોટે ભાગે, સંભાવના કાર્યને બદલે લોગ-સંભવિત કાર્યનો ઉપયોગ થાય છે. વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર ફંક્શન એકવિધ રીતે વધે છે, તેથી કોઈપણ ફંક્શનની મહત્તમ એ ફંક્શનની મહત્તમ છે, અને ઊલટું. આમ

જો સંભવિત કાર્ય અલગ છે, તો પછી એક્સ્ટ્રીમમ માટે એક આવશ્યક શરત એ છે કે તેનું ઢાળ શૂન્ય જેટલું હોવું જોઈએ:

એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી સ્થિતિને હેસિયનની નકારાત્મક નિશ્ચિતતા તરીકે ઘડી શકાય છે - બીજા ડેરિવેટિવ્ઝનું મેટ્રિક્સ:

કહેવાતા માહિતી મેટ્રિક્સ, જે વ્યાખ્યા દ્વારા સમાન છે:

શ્રેષ્ઠ બિંદુએ, માહિતી મેટ્રિક્સ હેસિયનની ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે મેળ ખાય છે, જે માઈનસ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે:

ગુણધર્મો

• મહત્તમ સંભાવના અંદાજો, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પક્ષપાતી હોઈ શકે છે (ઉદાહરણ જુઓ), પરંતુ સુસંગત છે. એસિમ્પટોટિકલી કાર્યક્ષમ અને એસિમ્પટોટિકલી સામાન્યઅંદાજ એસિમ્પ્ટોટિક નોર્મલિટી એટલે કે

એસિમ્પ્ટોટિક માહિતી મેટ્રિક્સ ક્યાં છે

એસિમ્પ્ટોટિક કાર્યક્ષમતાનો અર્થ એ છે કે એસિમ્પ્ટોટિક કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ એ તમામ સુસંગત અસમપ્રમાણિક રીતે સામાન્ય અંદાજકારો માટે નીચું બાઉન્ડ છે.

ઉદાહરણો

છેલ્લી સમાનતાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

જ્યાં , જેમાંથી તે જોઈ શકાય છે કે સંભાવના કાર્ય બિંદુ પર તેની મહત્તમ પહોંચે છે. આમ

તેની મહત્તમ શોધવા માટે, અમે આંશિક ડેરિવેટિવ્સને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:

શરતી મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ

શરતી મહત્તમ સંભાવના (શરતી ML)રીગ્રેશન મોડલ્સમાં વપરાય છે. પદ્ધતિનો સાર એ છે કે તમામ ચલો (આશ્રિત અને રીગ્રેસર્સ) ના સંપૂર્ણ સંયુક્ત વિતરણનો ઉપયોગ થતો નથી, પરંતુ માત્ર શરતીઆશ્રિત ચલનું સમગ્ર પરિબળોમાં વિતરણ, એટલે કે, હકીકતમાં, રીગ્રેસન મોડેલમાં રેન્ડમ ભૂલોનું વિતરણ. કુલ સંભાવના કાર્ય એ "શરતી સંભાવના કાર્ય" અને પરિબળ વિતરણ ઘનતાનું ઉત્પાદન છે. પરિબળનું વિતરણ અંદાજિત પરિમાણો પર કોઈપણ રીતે નિર્ભર ન હોય તેવા કિસ્સામાં શરતી MMP એ MMP ના સંપૂર્ણ સંસ્કરણની સમકક્ષ છે. આ સ્થિતિ ઘણીવાર સમય શ્રેણીના મોડેલોમાં ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે છે, જેમ કે ઑટોરેગ્રેસિવ મોડલ. આ કિસ્સામાં, રીગ્રેસર્સ એ આશ્રિત ચલના ભૂતકાળના મૂલ્યો છે, જેનો અર્થ છે કે તેમના મૂલ્યો સમાન એઆર મોડેલનું પણ પાલન કરે છે, એટલે કે, રીગ્રેસર્સનું વિતરણ અંદાજિત પરિમાણો પર આધારિત છે. આવા કિસ્સાઓમાં, શરતી અને સંપૂર્ણ મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાના પરિણામો અલગ હશે.

પણ જુઓ

નોંધો

સાહિત્ય

• મેગ્નસ વાય.આર., કાટિશેવ પી.કે., પેરેસેત્સ્કી એ.એ.ઇકોનોમેટ્રિક્સ. પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમ. - એમ.: ડેલો, 2007. - 504 પૃ. - ISBN 978-5-7749-0473-0

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ" શું છે તે જુઓ:મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ

- - મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ ગાણિતિક આંકડાઓમાં, કહેવાતા સંભાવના કાર્યને મહત્તમ કરવાના આધારે વિતરણ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટેની પદ્ધતિ... ... નમૂનામાંથી વિતરણ કાર્ય F(s; α1,..., αs) ના અજાણ્યા પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટેની પદ્ધતિ, જ્યાં α1, ..., αs અજાણ્યા પરિમાણો છે. જો n અવલોકનોના નમૂનાને r અસંબંધિત જૂથો s1,..., sr માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે; р1,..., pr...

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ- ગાણિતિક આંકડાઓમાં, કહેવાતા સંભાવના કાર્યને મહત્તમ કરવાના આધારે વિતરણ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટેની પદ્ધતિ (મૂલ્યો માટે અવલોકનોની સંયુક્ત સંભાવના ઘનતા ... ... આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશ

અન્ય શબ્દકોશોમાં "મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ" શું છે તે જુઓ:- maksimaliojo tikėtinumo metodas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ વોક. Methode der maksimalen Mutmaßlichkeit, f rus. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ, m pranc. méthode de મહત્તમ de vraisemblance, f;… … Automatikos terminų žodynas

મહત્તમ સંભાવના આંશિક પ્રતિભાવ પદ્ધતિ- વિટર્બી સિગ્નલ ડિટેક્શન પદ્ધતિ, જે ઇન્ટરસિમ્બોલ વિકૃતિનું ન્યૂનતમ સ્તર સુનિશ્ચિત કરે છે. પણ જુઓ. વિટરબી એલ્ગોરિધમ. [એલ.એમ. નેવદ્યાયેવ. ટેલિકોમ્યુનિકેશન ટેકનોલોજી. અંગ્રેજી-રશિયન સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ સંદર્ભ પુસ્તક. Yu.M દ્વારા સંપાદિત... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિક્વન્સ ડિટેક્ટર- પ્રતીકોના સૌથી સંભવિત ક્રમના અંદાજની ગણતરી કરવા માટેનું ઉપકરણ જે પ્રાપ્ત સિગ્નલની સંભાવના કાર્યને મહત્તમ કરે છે. [એલ.એમ. નેવદ્યાયેવ. ટેલિકોમ્યુનિકેશન ટેકનોલોજી. અંગ્રેજી-રશિયન સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ સંદર્ભ પુસ્તક. Yu.M દ્વારા સંપાદિત... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ- મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ - [L.G. માહિતી ટેકનોલોજી પર અંગ્રેજી-રશિયન શબ્દકોશ. M.: GP TsNIIS, 2003.] વિષયો માહિતી ટેકનોલોજી સામાન્ય સમાનાર્થી મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ EN મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ ... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ- પરિમાણ અંદાજની ગણતરી માટે સામાન્ય પદ્ધતિ. અંદાજો માંગવામાં આવે છે જે દરેક અવલોકન કરેલ ડેટા મૂલ્ય માટે વિતરણ કાર્ય મૂલ્યોના ઉત્પાદનની સમાન નમૂનાની સંભાવના કાર્યને મહત્તમ કરે છે. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ વધુ સારી છે... સમાજશાસ્ત્રીય આંકડાશાસ્ત્રનો શબ્દકોશ

બિંદુ પરિમાણ અંદાજની સમસ્યાનો સાર

વિતરણ પરિમાણોનો પોઈન્ટ અંદાજ

બિંદુ અંદાજ એક સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધવાનો સમાવેશ થાય છે, જે પરિમાણ મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે. ED નું પ્રમાણ પૂરતું મોટું હોય તેવા કિસ્સાઓમાં આવા મૂલ્યાંકનને નિર્ધારિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. તદુપરાંત, EDના પર્યાપ્ત વોલ્યુમનો કોઈ એક ખ્યાલ નથી, તેનું મૂલ્ય અંદાજિત પેરામીટરના પ્રકાર પર આધારિત છે (અંતરાલ પરિમાણ અંદાજ માટેની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે અમે આ મુદ્દા પર પાછા આવીશું, પરંતુ પ્રથમ અમે ઓછામાં ઓછા 10 ધરાવતા નમૂનાને ધ્યાનમાં લઈશું; પર્યાપ્ત મૂલ્યો). જ્યારે ED નું વોલ્યુમ નાનું હોય છે, ત્યારે પોઈન્ટ અંદાજો સાચા પરિમાણ મૂલ્યોથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોઈ શકે છે, જે તેમને ઉપયોગ માટે અયોગ્ય બનાવે છે.

બિંદુ પરિમાણ અંદાજ સમસ્યા લાક્ષણિક સેટિંગમાં નીચે મુજબ છે.

ઉપલબ્ધ: અવલોકનોનો નમૂનો ( x 1 , x 2 , …, x n) રેન્ડમ ચલ પાછળ એક્સ. નમૂનાનું કદ nનિશ્ચિત

જથ્થાના વિતરણ કાયદાનું સ્વરૂપ જાણીતું છે એક્સ, ઉદાહરણ તરીકે, વિતરણ ઘનતાના સ્વરૂપમાં f(Θ , x),જ્યાં Θ - અજ્ઞાત (સામાન્ય રીતે, વેક્ટર) વિતરણ પરિમાણ. પરિમાણ એ બિન-રેન્ડમ મૂલ્ય છે.

અંદાજ શોધવાની જરૂર છે Θ* પરિમાણ Θ વિતરણ કાયદો.

મર્યાદાઓ: નમૂના પ્રતિનિધિ છે.

બિંદુ પરિમાણ અંદાજની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ છે, જેમાંથી સૌથી સામાન્ય મહત્તમ સંભાવના, ક્ષણો અને ક્વોન્ટાઇલ્સ પદ્ધતિઓ છે.

આ પદ્ધતિ આર. ફિશર દ્વારા 1912 માં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. પદ્ધતિ અવલોકનોના નમૂના મેળવવાની સંભાવનાના અભ્યાસ પર આધારિત છે. (x 1 , x 2, …, x n). આ સંભાવના બરાબર છે

f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) … f(x n, Θ) dx 1 dx 2 … dx n.

સંયુક્ત સંભાવના ઘનતા

L(x 1, x 2 ..., x n; Θ) = f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) ... f(x n, Θ),(2.7)

પરિમાણના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે Θ , કહેવાય છે સંભાવના કાર્ય .

આકારણી તરીકે Θ* પરિમાણ Θ વ્યક્તિએ તે મૂલ્ય લેવું જોઈએ જે સંભવિત કાર્યને મહત્તમ બનાવે. અંદાજ શોધવા માટે, સંભવિત કાર્યમાં બદલવું જરૂરી છે ટીપર qઅને સમીકરણ ઉકેલો

dL/dΘ* = 0.

ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, અમે સંભાવના કાર્યમાંથી તેના લઘુગણક ln પર જઈએ છીએ એલ. આ રૂપાંતર સ્વીકાર્ય છે કારણ કે સંભાવના કાર્ય એ હકારાત્મક કાર્ય છે અને તેના લઘુગણકના સમાન બિંદુએ મહત્તમ પહોંચે છે. જો વિતરણ પરિમાણ વેક્ટર જથ્થો છે

Θ* =(q 1, q 2, …, q n),

પછી સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી મહત્તમ સંભાવના અંદાજો મળી આવે છે

d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q 1 = 0;

d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q 2 = 0;

. . . . . . . . .

d ln L(q 1, q 2, …, q n) /d q n = 0.

શ્રેષ્ઠ બિંદુ મહત્તમ સંભાવના કાર્યને અનુરૂપ છે તે ચકાસવા માટે, આ કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવું જરૂરી છે. અને જો શ્રેષ્ઠ બિંદુ પરનું બીજું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય, તો મળેલ પરિમાણ મૂલ્યો કાર્યને મહત્તમ કરે છે.

તેથી, મહત્તમ સંભાવના અંદાજો શોધવામાં નીચેના પગલાંનો સમાવેશ થાય છે: સંભાવના કાર્યનું નિર્માણ (તેના કુદરતી લઘુગણક); જરૂરી પરિમાણો અને સમીકરણોની સિસ્ટમનું સંકલન અનુસાર કાર્યનો તફાવત; અંદાજો શોધવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી; ફંક્શનનું બીજું ડેરિવેટિવ નક્કી કરવું, પ્રથમ ડેરિવેટિવના શ્રેષ્ઠ બિંદુ પર તેની નિશાની તપાસવી અને તારણો દોરવા.

ઉકેલ.વોલ્યુમના ED નમૂના માટે સંભાવના કાર્ય n

લોગ સંભાવના કાર્ય

પરિમાણ અંદાજ શોધવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ

પ્રથમ સમીકરણથી તે નીચે મુજબ છે:

અથવા છેલ્લે

આમ, અંકગણિત સરેરાશ એ ગાણિતિક અપેક્ષા માટે મહત્તમ સંભાવના અંદાજ છે.

બીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધી શકીએ છીએ

.

પ્રયોગમૂલક તફાવત પક્ષપાતી છે. ઓફસેટ દૂર કર્યા પછી

પરિમાણ અંદાજના વાસ્તવિક મૂલ્યો: m =27,51, s 2 = 0,91.

ચકાસવા માટે કે પ્રાપ્ત અંદાજો સંભાવના કાર્યના મૂલ્યને મહત્તમ કરે છે, અમે બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ લઈએ છીએ

ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ ln( L(m,S)) પરિમાણ મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વિના શૂન્ય કરતા ઓછા છે, તેથી, મળેલ પરિમાણ મૂલ્યો મહત્તમ સંભાવના અંદાજો છે.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ અમને સુસંગત, અસરકારક (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો પરિણામી ઉકેલ અસરકારક અંદાજો આપશે), પર્યાપ્ત, અસમપ્રમાણ રીતે સામાન્ય રીતે વિતરિત અંદાજો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે. આ પદ્ધતિ બંને પક્ષપાતી અને નિષ્પક્ષ અંદાજો ઉત્પન્ન કરી શકે છે. સુધારાઓ રજૂ કરીને પૂર્વગ્રહ દૂર કરી શકાય છે. પદ્ધતિ ખાસ કરીને નાના નમૂનાઓ સાથે ઉપયોગી છે.

વિતરણ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવાનું કાર્ય નમૂનાના ડેટાના આધારે વસ્તી વિતરણના અજાણ્યા પરિમાણોના સૌથી વધુ બુદ્ધિગમ્ય અંદાજો મેળવવાનું છે. ક્ષણોની પદ્ધતિ ઉપરાંત, વિતરણ પરિમાણોના બિંદુ અંદાજને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ. 1912 માં અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી આર. ફિશર દ્વારા મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી.

ચાલો, સંભવિત વિતરણ ઘનતા સાથે સામાન્ય વસ્તીમાંથી રેન્ડમ ચલ X ના અજાણ્યા પરિમાણ  નો અંદાજ લગાવીએ પી(x)= પી(x, ) નમૂનો કાઢવામાં આવ્યો x 1 ,x 2 ,…,x n. અમે નમૂનાના પરિણામોને અમલીકરણ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું n-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ ( એક્સ 1 ,એક્સ 2 ,…,એક્સ n). સૈદ્ધાંતિક વિતરણના અજાણ્યા પરિમાણોના પોઈન્ટ અંદાજો મેળવવા માટે ક્ષણોની અગાઉ ચર્ચા કરેલી પદ્ધતિ હંમેશા શ્રેષ્ઠ અંદાજો પ્રદાન કરતી નથી. જરૂરી (શ્રેષ્ઠ) ગુણધર્મો ધરાવતા અંદાજો શોધવા માટેની પદ્ધતિ એ પદ્ધતિ છે મહત્તમ સંભાવના.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ ચોક્કસ કાર્યના અંતિમ ભાગને નિર્ધારિત કરવા માટેની સ્થિતિ પર આધારિત છે, જેને સંભાવના કાર્ય કહેવાય છે.

સંભાવના કાર્ય DSV X

એલ (x 1 ,x 2 ,…,x n ; )=પી(x 1 ; )પી(x 2 ; )…પી(x n ; ),

જ્યાં x 1, …, x n- નિશ્ચિત નમૂનાના વિકલ્પો,  – અંદાજિત કરવા માટે અજાણ્યા પરિમાણ, પી(x i; ) - ઘટનાની સંભાવના એક્સ= x i .

સંભાવના કાર્ય NSV Xદલીલ કાર્ય કહેવાય છે :

એલ (x 1 ,x 2 ,…,x n ; )=f(x 1 ; )f(x 2 ; )…f(x n ; ),

જ્યાં f(x i; ) – પોઈન્ટ પર આપેલ સંભાવના ઘનતા કાર્ય x i .

વિતરણ પરિમાણોના બિંદુ અંદાજ તરીકે  તેનું મૂલ્ય લો કે જેના પર સંભાવના કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે. મૂલ્યાંકન
કહેવાય છે મહત્તમ સંભાવના અંદાજ. કારણ કે કાર્યો એલ અને
એલ ના સમાન મૂલ્યો પર તેમની મહત્તમ સુધી પહોંચો, પછી સામાન્ય રીતે તેઓ ઉપયોગ કરે છે તે અંતિમ (મહત્તમ) શોધવા માટે
એલવધુ અનુકૂળ સુવિધા તરીકે.

મહત્તમ બિંદુ નક્કી કરવા માટે
એલતમારે ફંક્શનની સીમાની ગણતરી કરવા માટે જાણીતા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

એવા કિસ્સામાં જ્યારે સંભાવના ઘનતા બે અજાણ્યા પરિમાણો -  1 અને  2 પર આધારિત હોય, તો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરીને નિર્ણાયક બિંદુઓ જોવા મળે છે:

તેથી, મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ અનુસાર, અજાણ્યા પરિમાણના અંદાજ તરીકે  મૂલ્ય * લેવામાં આવે છે જેના પર
નમૂના વિતરણ x 1 ,x 2 ,…,x nમહત્તમ

કાર્ય 8.ચાલો મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ શોધીએ સંભાવના માટે પીબર્નૌલીની યોજનામાં,

ચાલો હાથ ધરીએ nસ્વતંત્ર પુનરાવર્તિત અજમાયશ અને સફળતાઓની સંખ્યાને માપીએ છીએ, જે અમે સૂચવીએ છીએ m. બર્નૌલીના સૂત્ર મુજબ, ત્યાં હશે તેવી સંભાવના mથી સફળતા n–– DSV નું સંભવિત કાર્ય છે.

ઉકેલ : ચાલો એક સંભાવના કાર્ય બનાવીએ
.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ અનુસાર, અમે આવા મૂલ્ય શોધીએ છીએ પી, જે મહત્તમ થાય છે એલ, અને તેની સાથે ln એલ.

પછી લોગરીધમ લેવું એલ, અમારી પાસે છે:

ફંક્શન ln નું વ્યુત્પન્ન એલદ્વારા પીજેવો દેખાય છે
અને અંતિમ બિંદુ પર તે શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, સમીકરણ ઉકેલવા
, અમારી પાસે છે
.

ચાલો બીજા ડેરિવેટિવની નિશાની તપાસીએ
પરિણામી બિંદુ પર:

. કારણ કે
દલીલના કોઈપણ મૂલ્યો માટે, પછી મળેલ મૂલ્ય પીત્યાં મહત્તમ બિંદુ છે.

અર્થ, - માટે શ્રેષ્ઠ અંદાજ
.

તેથી, મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ અનુસાર, સંભાવના અંદાજ પી ઘટનાઓ એબર્નૌલીની યોજનામાં આ ઘટનાની સંબંધિત આવર્તનનો ઉપયોગ થાય છે .

જો નમૂના x 1 , x 2 ,…, x nસામાન્ય રીતે વિતરિત વસ્તીમાંથી કાઢવામાં આવે છે, પછી મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ દ્વારા ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિભિન્નતા માટેના અંદાજો આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

મળેલ મૂલ્યો ક્ષણોની પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલા આ પરિમાણોના અંદાજો સાથે સુસંગત છે.
કારણ કે વિક્ષેપ સ્થાનાંતરિત હોવાથી, તેને બેસેલ કરેક્શન દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે. પછી તેણી જેવો દેખાશે

, નમૂનાના તફાવત સાથે સુસંગત. 9 કાર્ય
. પોઈસન વિતરણ આપવા દો m= x iક્યાં પર
અમારી પાસે છે  .

ઉકેલ :

. ચાલો મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ શોધીએ એલ સંભાવના કાર્યનું નિર્માણ કરીને એલઅને તેનો લઘુગણક ln

. અમારી પાસે છે: ચાલો નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ એલ:
ln
અને સમીકરણ ઉકેલો  . વિતરણ પરિમાણનું પરિણામી અંદાજ
ફોર્મ લેશે:
પછી
કારણ કે ખાતે
બીજું આંશિક વ્યુત્પન્ન

પછી આ મહત્તમ બિંદુ છે. આમ, પોઈસન વિતરણ માટે પરિમાણ  ની મહત્તમ સંભાવનાના અંદાજ તરીકે નમૂનાનો સરેરાશ લઈ શકાય છે.
તે ચકાસી શકાય છે કે ઘાતાંકીય વિતરણ x 1 , x 2 , …, x nનમૂના મૂલ્યો માટે સંભાવના કાર્ય

.

ફોર્મ ધરાવે છે:
.

ઘાતાંકીય વિતરણ માટે વિતરણ પરિમાણ  નો અંદાજ બરાબર છે:

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિનો ફાયદો એ "સારા" અંદાજો મેળવવાની ક્ષમતા છે જેમાં સુસંગતતા, એસિમ્પ્ટોટિક સામાન્યતા અને સૌથી સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં મોટા નમૂનાઓ માટે કાર્યક્ષમતા જેવા ગુણધર્મો છે.