વાસ્તવમાં, આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત અવિભાજ્યના આટલા જ્ઞાનની જરૂર નથી. "ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરો" કાર્યમાં હંમેશા ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે, તેથી વધુ પ્રસંગોચિત મુદ્દોડ્રોઇંગમાં તમારું જ્ઞાન અને કૌશલ્ય હશે. આ સંદર્ભે, મુખ્યના ગ્રાફની તમારી મેમરીને તાજી કરવી ઉપયોગી છે પ્રાથમિક કાર્યો, અને, ઓછામાં ઓછા, એક સીધી રેખા અને અતિપરવલય બાંધવામાં સક્ષમ બનો.

વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સપાટ આકૃતિ, અક્ષ દ્વારા મર્યાદિત, સીધી રેખાઓ અને સેગમેન્ટ પર સતત કાર્યનો ગ્રાફ, જે આ અંતરાલ પર ચિહ્નને બદલતું નથી. દો આ આંકડોસ્થિત ઓછું નહીં x-અક્ષ:

પછી વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અવિભાજ્ય સમાન છે. કોઈપણ ચોક્કસ અભિન્ન (જે અસ્તિત્વમાં છે)નો ખૂબ જ સારો ભૌમિતિક અર્થ છે.

ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી ચોક્કસ અભિન્ન- આ એક વિસ્તાર છે.

તે જ,ચોક્કસ અભિન્ન (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) ભૌમિતિક રીતે ચોક્કસ આકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ અભિન્ન ધ્યાનમાં લો. ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શન અક્ષની ઉપર સ્થિત પ્લેન પર એક વળાંકનો ઉલ્લેખ કરે છે (જેઓ ઇચ્છે છે તે ચિત્ર બનાવી શકે છે), અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ પોતે સંખ્યાત્મક રીતે છે વિસ્તાર સમાનઅનુરૂપ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ.

ઉદાહરણ 1

આ એક લાક્ષણિક અસાઇનમેન્ટ સ્ટેટમેન્ટ છે. પ્રથમ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષણઉકેલો - ડ્રોઇંગ ડ્રોઇંગ. તદુપરાંત, ડ્રોઇંગનું નિર્માણ કરવું આવશ્યક છે અધિકાર.

ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, હું નીચેના ક્રમની ભલામણ કરું છું: સૌ પ્રથમબધી સીધી રેખાઓ બાંધવી વધુ સારું છે (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) અને માત્ર પછી- પેરાબોલાસ, હાયપરબોલાસ, અન્ય કાર્યોના આલેખ. કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટે તે વધુ નફાકારક છે બિંદુ દ્વારા બિંદુ.

આ સમસ્યામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે.
ચાલો ડ્રોઇંગ દોરીએ (નોંધ કરો કે સમીકરણ ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે):

સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ સ્થિત છે ધરી ઉપર, એ કારણે:

જવાબ:

કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, ડ્રોઇંગ જોવા અને જવાબ વાસ્તવિક છે કે કેમ તે શોધવાનું હંમેશા ઉપયોગી છે. IN આ બાબતે"આંખ દ્વારા" આપણે ડ્રોઇંગમાં કોષોની સંખ્યા ગણીએ છીએ - સારું, ત્યાં લગભગ 9 હશે, તે સાચું લાગે છે. તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે કે જો અમને જવાબ મળ્યો, તો કહો: 20 ચોરસ એકમો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યાંક ભૂલ થઈ હતી - 20 કોષો સ્પષ્ટપણે પ્રશ્નમાંની આકૃતિમાં બંધબેસતા નથી, વધુમાં વધુ એક ડઝન. જો જવાબ નકારાત્મક છે, તો કાર્ય પણ ખોટી રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ 3

આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત, અને સંકલન અક્ષો.

ઉકેલ: ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડસ્થિત ધરી હેઠળ(અથવા ઓછામાં ઓછું ઉચ્ચ નથીઆપેલ અક્ષ), પછી તેનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

આ બાબતે:

ધ્યાન આપો! બે પ્રકારનાં કાર્યોમાં ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ:

1) જો તમને કોઈ પણ વગર ચોક્કસ અવિભાજ્યને હલ કરવાનું કહેવામાં આવે ભૌમિતિક અર્થ, પછી તે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

2) જો તમને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો તે ક્ષેત્ર હંમેશા હકારાત્મક હોય છે! તેથી જ માત્ર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલામાં માઈનસ દેખાય છે.

વ્યવહારમાં, મોટેભાગે આકૃતિ ઉપલા અને નીચલા અડધા-પ્લેન બંનેમાં સ્થિત હોય છે, અને તેથી, સરળમાંથી શાળા સમસ્યાઓચાલો વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેન આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ: પ્રથમ તમારે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિસ્તારની સમસ્યાઓમાં ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, અમને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓમાં સૌથી વધુ રસ હોય છે. ચાલો પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ અને સીધી રેખા શોધીએ. આ બે રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે. અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણની નીચી મર્યાદા છે મહત્તમ મર્યાદાએકીકરણ

જો શક્ય હોય તો, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે..

પોઈન્ટ બાય લાઈનો બાંધવી તે વધુ નફાકારક અને ઝડપી છે અને એકીકરણની મર્યાદા "પોતાના દ્વારા" સ્પષ્ટ થઈ જાય છે. તેમ છતાં, વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિજો, ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ ઘણો મોટો હોય, અથવા વિગતવાર બાંધકામમાં એકીકરણની મર્યાદાઓ (તે અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે) દર્શાવતી ન હોય તો પણ કેટલીકવાર મર્યાદા શોધવાનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. અને અમે આવા ઉદાહરણ પર પણ વિચાર કરીશું.

ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: પ્રથમ એક સીધી રેખા અને તે પછી જ પેરાબોલા બનાવવું વધુ તર્કસંગત છે. ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

અને હવે કાર્યકારી સૂત્ર: જો સેગમેન્ટ પર અમુક સતત કાર્ય હોય કરતાં વધુ અથવા તેના સમાનકેટલાક સતત કાર્ય, પછી આકૃતિનો વિસ્તાર, સમયપત્રક દ્વારા મર્યાદિતઆપેલ કાર્યો અને સીધી રેખાઓ , , સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

અહીં તમારે હવે આકૃતિ ક્યાં સ્થિત છે તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી - ધરીની ઉપર અથવા ધરીની નીચે, અને, આશરે કહીએ તો, કયો ગ્રાફ વધુ છે તે મહત્વનું છે(બીજા ગ્રાફને સંબંધિત), અને જે નીચે છે.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સેગમેન્ટ પર પેરાબોલા સીધી રેખાની ઉપર સ્થિત છે, અને તેથી તેમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે

પૂર્ણ થયેલ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:

ઇચ્છિત આકૃતિ ઉપરના પેરાબોલા અને નીચે એક સીધી રેખા દ્વારા મર્યાદિત છે.
સેગમેન્ટ પર, અનુસાર અનુરૂપ સૂત્ર:

જવાબ:

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો , , .

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

આકૃતિ જેનો વિસ્તાર આપણે શોધવાની જરૂર છે તે વાદળી છાંયો છે(સ્થિતિ પર ધ્યાનથી જુઓ - આકૃતિ કેવી રીતે મર્યાદિત છે!). પરંતુ વ્યવહારમાં, બેદરકારીને લીધે, ઘણી વખત "ભૂલ" થાય છે કે તમારે છાયાવાળી આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે લીલા!

આ ઉદાહરણ એમાં પણ ઉપયોગી છે કે તે બે નિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે.

ખરેખર:

1) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર સીધી રેખાનો ગ્રાફ છે;

2) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર અતિપરવલયનો ગ્રાફ છે.

તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે વિસ્તારો ઉમેરી શકાય છે (અને જોઈએ) તેથી:

ચાલો એપ્લિકેશન્સ પર આગળ વધીએ અભિન્ન કલન. આ પાઠમાં આપણે લાક્ષણિક અને સૌથી સામાન્ય કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીશું ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી. છેવટે, દરેક વ્યક્તિ તેનો અર્થ શોધી રહ્યો છે ઉચ્ચ ગણિત- તેઓ તેને શોધી શકે. તમે ક્યારેય જાણતા નથી. વાસ્તવિક જીવનમાં, તમારે પ્રારંભિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ડાચા પ્લોટનો અંદાજ કાઢવો પડશે અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધવો પડશે.

સામગ્રીને સફળતાપૂર્વક માસ્ટર કરવા માટે, તમારે:

1) સમજો અનિશ્ચિત અભિન્નઓછામાં ઓછા સરેરાશ સ્તરે. આમ, ડમીઓએ પ્રથમ પાઠ વાંચવો જોઈએ નથી.

2) ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર લાગુ કરવા અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ બનો. તમે પૃષ્ઠ પર ચોક્કસ અભિન્ન અંગો સાથે ગરમ મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો સ્થાપિત કરી શકો છો ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો. "ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરો" કાર્યમાં હંમેશા ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે, તેથી તમારું જ્ઞાન અને ચિત્ર કૌશલ્ય પણ એક સંબંધિત મુદ્દો હશે. ઓછામાં ઓછા, તમારે એક સીધી રેખા, પેરાબોલા અને હાઇપરબોલા બનાવવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે.

ચાલો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સાથે પ્રારંભ કરીએ. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ એ અમુક કાર્યના ગ્રાફ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ છે y = f(x), અક્ષ ઓક્સઅને રેખાઓ x = a; x = b.

વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અવિભાજ્ય સમાન છે

કોઈપણ ચોક્કસ અભિન્ન (જે અસ્તિત્વમાં છે)નો ખૂબ જ સારો ભૌમિતિક અર્થ છે. પાઠ પર ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણોઅમે કહ્યું કે ચોક્કસ પૂર્ણાંક એ સંખ્યા છે. અને હવે વધુ એક જણાવવાનો સમય છે ઉપયોગી હકીકત. ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી, ચોક્કસ અભિન્ન AREA છે. તે જ, ચોક્કસ અભિન્ન (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) ભૌમિતિક રીતે ચોક્કસ આકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ હોય છે. ચોક્કસ અભિન્ન ધ્યાનમાં લો

ઇન્ટિગ્રેન્ડ

પ્લેન પરના વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (જો ઇચ્છિત હોય તો તે દોરવામાં આવી શકે છે), અને ચોક્કસ અભિન્ન પોતે સંખ્યાત્મક રીતે સંબંધિત વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રની બરાબર છે.

ઉદાહરણ 1

, , , .

આ એક લાક્ષણિક અસાઇનમેન્ટ સ્ટેટમેન્ટ છે. નિર્ણયમાં સૌથી મહત્વનો મુદ્દો એ ડ્રોઇંગનું બાંધકામ છે. તદુપરાંત, ડ્રોઇંગનું નિર્માણ કરવું આવશ્યક છે અધિકાર.

ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, હું નીચેના ક્રમની ભલામણ કરું છું: સૌ પ્રથમબધી સીધી રેખાઓ બાંધવી વધુ સારું છે (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) અને માત્ર પછી- પેરાબોલાસ, હાયપરબોલાસ, અન્ય કાર્યોના આલેખ. ટેકનોલોજી સાથે પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામમાં મળી શકે છે સંદર્ભ સામગ્રી પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો. ત્યાં તમે અમારા પાઠ માટે ખૂબ જ ઉપયોગી સામગ્રી પણ મેળવી શકો છો - કેવી રીતે ઝડપથી પેરાબોલા બનાવવું.

આ સમસ્યામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે.

ચાલો ડ્રોઈંગ કરીએ (નોંધ લો કે સમીકરણ y= 0 ધરી સ્પષ્ટ કરે છે ઓક્સ):

અમે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડને છાંયો નહીં કરીએ; અહીં તે સ્પષ્ટ છે કે કયો વિસ્તાર અમે વાત કરી રહ્યા છીએ. ઉકેલ આ રીતે ચાલુ રહે છે:

સેગમેન્ટ પર [-2; 1] કાર્ય ગ્રાફ y = x 2 + 2 સ્થિત છે ધરી ઉપરઓક્સ, એ કારણે:

જવાબ: .

ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવામાં અને ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રને લાગુ કરવામાં કોને મુશ્કેલીઓ છે

,

વ્યાખ્યાન નો સંદર્ભ લો ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો. કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, ડ્રોઇંગ જોવા અને જવાબ વાસ્તવિક છે કે કેમ તે શોધવાનું હંમેશા ઉપયોગી છે. આ કિસ્સામાં, અમે "આંખ દ્વારા" ડ્રોઇંગમાં કોષોની સંખ્યા ગણીએ છીએ - સારું, ત્યાં લગભગ 9 હશે, જે સાચું લાગે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો અમને જવાબ મળ્યો, કહો, 20 ચોરસ એકમો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યાંક ભૂલ થઈ હતી - 20 કોષો દેખીતી રીતે પ્રશ્નમાંની આકૃતિમાં બંધબેસતા નથી, વધુમાં વધુ એક ડઝન. જો જવાબ નકારાત્મક છે, તો કાર્ય પણ ખોટી રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ 2

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો xy = 4, x = 2, x= 4 અને ધરી ઓક્સ.

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સ્થિત હોય તો શું કરવું ધરી હેઠળઓક્સ?

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો y = e-x, x= 1 અને સંકલન અક્ષો.

ઉકેલ: ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સંપૂર્ણપણે ધરી હેઠળ સ્થિત છે ઓક્સ , પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધી શકાય છે:

આ બાબતે:

.

ધ્યાન આપો! બે પ્રકારના કાર્યોમાં મૂંઝવણ ન થવી જોઈએ:

1) જો તમને કોઈપણ ભૌમિતિક અર્થ વિના ફક્ત ચોક્કસ અભિન્નને હલ કરવાનું કહેવામાં આવે, તો તે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

2) જો તમને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો તે ક્ષેત્ર હંમેશા હકારાત્મક હોય છે! તેથી જ માત્ર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલામાં માઈનસ દેખાય છે.

વ્યવહારમાં, મોટેભાગે આકૃતિ ઉપલા અને નીચલા અર્ધ-પ્લેન બંનેમાં સ્થિત હોય છે, અને તેથી, સરળ શાળા સમસ્યાઓમાંથી આપણે વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેન આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો y = 2x – x 2 , y = -x.

ઉકેલ: પ્રથમ તમારે ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર છે. વિસ્તારની સમસ્યાઓમાં ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, અમને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓમાં સૌથી વધુ રસ હોય છે. ચાલો પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ y = 2x – x 2 અને સીધા y = -x. આ બે રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે. અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણની નીચી મર્યાદા a= 0, એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા b= 3. તે ઘણી વખત વધુ નફાકારક અને ઝડપી હોય છે તે બિંદુ દ્વારા રેખાઓ બાંધવામાં આવે છે, અને એકીકરણની મર્યાદા "પોતાના દ્વારા" સ્પષ્ટ થઈ જાય છે. તેમ છતાં, કેટલીકવાર મર્યાદાઓ શોધવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે છે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ પૂરતો મોટો હોય, અથવા વિગતવાર બાંધકામ એકીકરણની મર્યાદાઓને જાહેર કરતું ન હોય (તે અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે). ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: પ્રથમ એક સીધી રેખા અને તે પછી જ પેરાબોલા બનાવવું વધુ તર્કસંગત છે. ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

ચાલો પુનરાવર્તિત કરીએ કે પોઈન્ટવાઈઝ બનાવતી વખતે, એકીકરણની મર્યાદા મોટાભાગે "ઓટોમેટીકલી" નક્કી કરવામાં આવે છે.

અને હવે કાર્યકારી સૂત્ર:

જો સેગમેન્ટ પર [ a; b] કેટલાક સતત કાર્ય f(x) કરતાં વધુ અથવા તેના સમાનકેટલાક સતત કાર્ય g(x), પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અનુરૂપ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધી શકાય છે:

અહીં તમારે હવે આકૃતિ ક્યાં સ્થિત છે તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી - ધરીની ઉપર અથવા ધરીની નીચે, પરંતુ કયો ગ્રાફ વધુ છે તે મહત્વનું છે(બીજા ગ્રાફને સંબંધિત), અને જે નીચે છે.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સેગમેન્ટ પર પેરાબોલા સીધી રેખાની ઉપર સ્થિત છે, અને તેથી 2 થી x – x 2 બાદબાકી કરવી આવશ્યક છે - x.

પૂર્ણ થયેલ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:

ઇચ્છિત આકૃતિ પેરાબોલા દ્વારા મર્યાદિત છે y = 2x – x 2 ઉપર અને સીધા y = -xનીચે.

સેગમેન્ટ 2 પર x – x 2 ≥ -x. અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ: .

હકિકતમાં, શાળા સૂત્રનીચલા અર્ધ-વિમાનમાં વક્ર ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તાર માટે (ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ) – ખાસ કેસસૂત્રો

.

કારણ કે ધરી ઓક્સસમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે y= 0, અને કાર્યનો ગ્રાફ g(x) અક્ષની નીચે સ્થિત છે ઓક્સ, તે

.

અને હવે તમારા પોતાના ઉકેલ માટે થોડા ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 5

ઉદાહરણ 6

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ક્યારેક એક રમુજી ઘટના બને છે. ડ્રોઇંગ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હતું, ગણતરીઓ સાચી હતી, પરંતુ બેદરકારીને કારણે ... ખોટા આંકડાનો વિસ્તાર મળી આવ્યો હતો.

ઉદાહરણ 7

પ્રથમ ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

આકૃતિ જેનો વિસ્તાર આપણે શોધવાની જરૂર છે તે વાદળી છાંયો છે(સ્થિતિ પર ધ્યાનથી જુઓ - આકૃતિ કેવી રીતે મર્યાદિત છે!). પરંતુ વ્યવહારમાં, બેદરકારીને લીધે, લોકો ઘણીવાર નક્કી કરે છે કે તેઓએ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે જે લીલા રંગમાં છાંયો છે!

આ ઉદાહરણ પણ ઉપયોગી છે કારણ કે તે બે નિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે. ખરેખર:

1) સેગમેન્ટ પર [-1; 1] ધરી ઉપર ઓક્સગ્રાફ સીધો સ્થિત થયેલ છે y = x+1;

2) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર ઓક્સહાઇપરબોલાનો ગ્રાફ સ્થિત છે y = (2/x).

તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે વિસ્તારો ઉમેરી શકાય છે (અને જોઈએ) તેથી:

જવાબ:

ઉદાહરણ 8

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

ચાલો સમીકરણોને "શાળા" સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ

અને પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ ડ્રોઈંગ બનાવો:

ડ્રોઇંગ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અમારી ઉપલી મર્યાદા "સારી" છે: b = 1.

પરંતુ નીચી મર્યાદા શું છે ?! તે સ્પષ્ટ છે કે આ પૂર્ણાંક નથી, પરંતુ તે શું છે?

કદાચ, a=(-1/3)? પરંતુ ક્યાં ગેરંટી છે કે ચિત્ર સંપૂર્ણ ચોકસાઈ સાથે બનાવવામાં આવ્યું છે, તે સારી રીતે બહાર આવી શકે છે a=(-1/4). જો આપણે ગ્રાફ ખોટી રીતે બનાવ્યો હોય તો શું?

આવા કિસ્સાઓમાં તમારે ખર્ચ કરવો પડશે વધારે સમયઅને એકીકરણની મર્યાદાને વિશ્લેષણાત્મક રીતે સ્પષ્ટ કરો.

ચાલો આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ

આ કરવા માટે, અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

.

આથી, a=(-1/3).

આગળનો ઉકેલ તુચ્છ છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે અવેજી અને ચિહ્નોમાં મૂંઝવણમાં ન આવવું. અહીંની ગણતરીઓ સૌથી સરળ નથી. સેગમેન્ટ પર

, ,

યોગ્ય સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ:

પાઠ સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો વધુ બે મુશ્કેલ કાર્યો જોઈએ.

ઉદાહરણ 9

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

ઉકેલ: ચાલો આ આકૃતિને ચિત્રમાં દર્શાવીએ.

પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ ડ્રોઈંગ દોરવા માટે તમારે જાણવાની જરૂર છે દેખાવ sinusoids. સામાન્ય રીતે, તમામ પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ તેમજ કેટલાક સાઈન મૂલ્યો જાણવા માટે તે ઉપયોગી છે. તેઓ મૂલ્યોના કોષ્ટકમાં મળી શકે છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો . કેટલાક કિસ્સાઓમાં (ઉદાહરણ તરીકે, આ કિસ્સામાં), યોજનાકીય રેખાંકનનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે, જેના પર આલેખ અને એકીકરણની મર્યાદા મૂળભૂત રીતે યોગ્ય રીતે પ્રદર્શિત થવી જોઈએ.

અહીં એકીકરણની મર્યાદાઓ સાથે કોઈ સમસ્યા નથી;

- "x" શૂન્યમાંથી "pi" માં બદલાય છે. ચાલો વધુ નિર્ણય લઈએ:

સેગમેન્ટ પર, ફંક્શનનો ગ્રાફ y= પાપ 3 xધરી ઉપર સ્થિત છે ઓક્સ, એ કારણે:

(1) તમે પાઠમાં જોઈ શકો છો કે કેવી રીતે સાઈન અને કોસાઈન્સ વિષમ શક્તિઓમાં એકીકૃત થાય છે. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સંકલન. અમે એક સાઇનસને ચૂંટીએ છીએ.

(2) અમે ફોર્મમાં મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

(3) ચાલો ચલ બદલીએ t=cos x, પછી: ધરીની ઉપર સ્થિત છે, તેથી:

.

.

નૉૅધ:નોંધ કરો કે ક્યુબમાં સ્પર્શકનો અભિન્ન ભાગ અહીં કેવી રીતે લેવામાં આવે છે; ત્રિકોણમિતિ ઓળખ

.

અ)

ઉકેલ.

નિર્ણયનો પ્રથમ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો એ ડ્રોઇંગનું બાંધકામ છે.

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

સમીકરણ y=0 "x" અક્ષ સેટ કરે છે;

- x=-2 અને x=1 - સીધો, ધરીની સમાંતર OU;

- y=x 2 +2 - એક પેરાબોલા, જેની શાખાઓ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત છે, બિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે (0;2).

ટિપ્પણી.પેરાબોલા બનાવવા માટે, સંકલન અક્ષો સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધવા માટે તે પૂરતું છે, એટલે કે. મૂકવું x=0 ધરી સાથે આંતરછેદ શોધો OU અને તે મુજબ નિર્ણય લે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ, ધરી સાથે આંતરછેદ શોધો ઓહ .

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

તમે બિંદુ દ્વારા રેખાઓ પણ બનાવી શકો છો.

અંતરાલ [-2;1] પર ફંક્શનનો ગ્રાફ y=x 2 +2 સ્થિત ધરી ઉપર બળદ , એ કારણે:

જવાબ: એસ =9 ચોરસ એકમો

કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, ડ્રોઇંગ જોવા અને જવાબ વાસ્તવિક છે કે કેમ તે શોધવાનું હંમેશા ઉપયોગી છે. આ કિસ્સામાં, "આંખ દ્વારા" આપણે ડ્રોઇંગમાં કોષોની સંખ્યા ગણીએ છીએ - સારું, ત્યાં લગભગ 9 હશે, તે સાચું લાગે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો અમને જવાબ મળ્યો, કહો, 20 ચોરસ એકમો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યાંક ભૂલ થઈ હતી - 20 કોષો દેખીતી રીતે પ્રશ્નમાંની આકૃતિમાં બંધબેસતા નથી, વધુમાં વધુ એક ડઝન. જો જવાબ નકારાત્મક છે, તો કાર્ય પણ ખોટી રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું.

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સ્થિત હોય તો શું કરવું ધરી હેઠળ ઓહ?

b)રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો y=-e x , x=1 અને સંકલન અક્ષો.

ઉકેલ.

ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ.

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સંપૂર્ણપણે ધરી હેઠળ સ્થિત છે ઓહ , પછી તેનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

જવાબ: S=(e-1) ચોરસ એકમો" 1.72 ચોરસ એકમો

ધ્યાન આપો! બે પ્રકારનાં કાર્યોમાં ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ:

1) જો તમને કોઈપણ ભૌમિતિક અર્થ વિના ફક્ત ચોક્કસ અભિન્નને હલ કરવાનું કહેવામાં આવે, તો તે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

2) જો તમને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો તે ક્ષેત્ર હંમેશા હકારાત્મક હોય છે! તેથી જ માત્ર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલામાં માઈનસ દેખાય છે.

વ્યવહારમાં, મોટેભાગે આકૃતિ ઉપલા અને નીચલા અડધા-પ્લેન બંનેમાં સ્થિત હોય છે.

સાથે)રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેન આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો y=2x-x 2, y=-x.

ઉકેલ.

પ્રથમ તમારે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિસ્તારની સમસ્યાઓમાં ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, અમને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓમાં સૌથી વધુ રસ હોય છે. ચાલો પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ અને સીધા આ બે રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે.

અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણની નીચી મર્યાદા a=0 , એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા b=3 .

તમે બિંદુ દ્વારા રેખાઓ બનાવી શકો છો, અને એકીકરણની મર્યાદા "પોતાના દ્વારા" સ્પષ્ટ થઈ જાય છે. તેમ છતાં, કેટલીકવાર મર્યાદાઓ શોધવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે છે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ પૂરતો મોટો હોય, અથવા વિગતવાર બાંધકામ એકીકરણની મર્યાદાઓને જાહેર કરતું ન હોય (તે અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે).

ઇચ્છિત આકૃતિ ઉપરના પેરાબોલા અને નીચે એક સીધી રેખા દ્વારા મર્યાદિત છે.

સેગમેન્ટ પર , અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ: એસ =4.5 ચોરસ એકમો

ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

ચાલો ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના એપ્લીકેશનને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ. આ પાઠમાં આપણે લાક્ષણિક અને સૌથી સામાન્ય કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીશું - પ્લેન ફિગરના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો. છેવટે, જેઓ ઉચ્ચ ગણિતમાં અર્થ શોધી રહ્યા છે - તેઓ તેને શોધી શકે છે. તમે ક્યારેય જાણતા નથી. વાસ્તવિક જીવનમાં, તમારે પ્રારંભિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ડાચા પ્લોટનો અંદાજ કાઢવો પડશે અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધવો પડશે.

સામગ્રીને સફળતાપૂર્વક માસ્ટર કરવા માટે, તમારે:

1) ઓછામાં ઓછા મધ્યવર્તી સ્તરે અનિશ્ચિત અભિન્ન સમજો. આમ, ડમીઓએ પ્રથમ પાઠ વાંચવો જોઈએ નથી.

2) ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર લાગુ કરવા અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ બનો. તમે પૃષ્ઠ પર ચોક્કસ અભિન્ન અંગો સાથે ગરમ મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો સ્થાપિત કરી શકો છો ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

વાસ્તવમાં, આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત અવિભાજ્યના આટલા જ્ઞાનની જરૂર નથી. "ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરો" કાર્યમાં હંમેશા ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે, તેથી તમારું જ્ઞાન અને ડ્રોઇંગ કૌશલ્ય એ વધુ મહત્વનો મુદ્દો હશે. આ સંદર્ભમાં, મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખની તમારી યાદશક્તિને તાજી કરવી, અને ઓછામાં ઓછું, એક સીધી રેખા, પેરાબોલા અને હાઇપરબોલા બનાવવા માટે સક્ષમ થવા માટે તે ઉપયોગી છે. આનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે (ઘણા લોકો માટે, તે જરૂરી છે). પદ્ધતિસરની સામગ્રીઅને આલેખના ભૌમિતિક પરિવર્તન પરના લેખો.

વાસ્તવમાં, દરેક વ્યક્તિ શાળાના સમયથી ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધવાના કાર્યથી પરિચિત છે, અને અમે તેનાથી વધુ આગળ વધીશું નહીં. શાળા અભ્યાસક્રમ. આ લેખ કદાચ અસ્તિત્વમાં ન હોત, પરંતુ હકીકત એ છે કે સમસ્યા 100 માંથી 99 કેસોમાં થાય છે, જ્યારે વિદ્યાર્થી નફરતની શાળામાંથી પીડાય છે અને ઉત્સાહપૂર્વક ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં માસ્ટર કરે છે.

સામગ્રી આ વર્કશોપનીસરળ રીતે, વિગતવાર અને ઓછામાં ઓછા સિદ્ધાંત સાથે પ્રસ્તુત.

ચાલો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડથી પ્રારંભ કરીએ.

વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડઅક્ષ, સીધી રેખાઓ અને અંતરાલ પર સતત કાર્યનો આલેખ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ છે જે આ અંતરાલ પર સાઇન બદલતી નથી. આ આંકડો સ્થિત થવા દો ઓછું નહીં x-અક્ષ:

પછી વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અવિભાજ્ય સમાન છે. કોઈપણ ચોક્કસ અભિન્ન (જે અસ્તિત્વમાં છે)નો ખૂબ જ સારો ભૌમિતિક અર્થ છે. પાઠ પર ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણોમેં કહ્યું કે ચોક્કસ પૂર્ણાંક એ સંખ્યા છે. અને હવે બીજી ઉપયોગી હકીકત જણાવવાનો સમય છે. ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી, ચોક્કસ અભિન્ન AREA છે.

તે જ, ચોક્કસ અભિન્ન (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) ભૌમિતિક રીતે ચોક્કસ આકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ અભિન્ન ધ્યાનમાં લો. ઇન્ટિગ્રેન્ડ અક્ષની ઉપર સ્થિત પ્લેન પરના વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (જેઓ ઇચ્છે છે તેઓ ડ્રોઇંગ બનાવી શકે છે), અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ પોતે સંબંધિત વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે.

ઉદાહરણ 1

આ એક લાક્ષણિક અસાઇનમેન્ટ સ્ટેટમેન્ટ છે. નિર્ણયનો પ્રથમ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો એ ડ્રોઇંગનું નિર્માણ છે. તદુપરાંત, ડ્રોઇંગનું નિર્માણ કરવું આવશ્યક છે અધિકાર.

ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, હું નીચેના ક્રમની ભલામણ કરું છું: સૌ પ્રથમબધી સીધી રેખાઓ બાંધવી વધુ સારું છે (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) અને માત્ર પછી- પેરાબોલાસ, હાયપરબોલાસ, અન્ય કાર્યોના આલેખ. કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટે તે વધુ નફાકારક છે બિંદુ દ્વારા બિંદુ, બિંદુ-બાય-પોઇન્ટ બાંધકામ તકનીક સંદર્ભ સામગ્રીમાં મળી શકે છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો. ત્યાં તમે અમારા પાઠ માટે ખૂબ જ ઉપયોગી સામગ્રી પણ મેળવી શકો છો - કેવી રીતે ઝડપથી પેરાબોલા બનાવવું.

આ સમસ્યામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે.
ચાલો ડ્રોઈંગ દોરીએ (નોંધ કરો કે સમીકરણ અક્ષને વ્યાખ્યાયિત કરે છે):

હું વક્ર ટ્રેપેઝોઇડને શેડ કરીશ નહીં; તે અહીં સ્પષ્ટ છે કે આપણે કયા ક્ષેત્ર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ઉકેલ આ રીતે ચાલુ રહે છે:

સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ સ્થિત છે ધરી ઉપર, એ કારણે:

જવાબ:

ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવામાં અને ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રને લાગુ કરવામાં કોને મુશ્કેલીઓ છે , વ્યાખ્યાન નો સંદર્ભ લો ચોક્કસ અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, ડ્રોઇંગ જોવા અને જવાબ વાસ્તવિક છે કે કેમ તે શોધવાનું હંમેશા ઉપયોગી છે. આ કિસ્સામાં, અમે "આંખ દ્વારા" ડ્રોઇંગમાં કોષોની સંખ્યા ગણીએ છીએ - સારું, ત્યાં લગભગ 9 હશે, જે સાચું લાગે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો અમને જવાબ મળ્યો, કહો, 20 ચોરસ એકમો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યાંક ભૂલ થઈ હતી - 20 કોષો દેખીતી રીતે પ્રશ્નમાંની આકૃતિમાં બંધબેસતા નથી, વધુમાં વધુ એક ડઝન. જો જવાબ નકારાત્મક છે, તો કાર્ય પણ ખોટી રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ 2

રેખાઓ , , અને અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સ્થિત હોય તો શું કરવું ધરી હેઠળ?

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ અને સંકલન અક્ષો દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના વિસ્તારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ: ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ સ્થિત છે ધરી હેઠળ(અથવા ઓછામાં ઓછું ઉચ્ચ નથીઆપેલ અક્ષ), પછી તેનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
આ બાબતે:

ધ્યાન આપો! બે પ્રકારનાં કાર્યોમાં ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ:

1) જો તમને કોઈપણ ભૌમિતિક અર્થ વિના ફક્ત ચોક્કસ અભિન્નને હલ કરવાનું કહેવામાં આવે, તો તે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

2) જો તમને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો તે ક્ષેત્ર હંમેશા હકારાત્મક હોય છે! તેથી જ માત્ર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલામાં માઈનસ દેખાય છે.

વ્યવહારમાં, મોટેભાગે આકૃતિ ઉપલા અને નીચલા અર્ધ-પ્લેન બંનેમાં સ્થિત હોય છે, અને તેથી, સરળ શાળા સમસ્યાઓમાંથી આપણે વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેન આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ: પ્રથમ તમારે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિસ્તારની સમસ્યાઓમાં ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, અમને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓમાં સૌથી વધુ રસ હોય છે. ચાલો પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ અને સીધી રેખા શોધીએ. આ બે રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે. અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણની નીચલી મર્યાદા છે, એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા છે.
જો શક્ય હોય તો, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે..

પોઈન્ટ બાય લાઈનો બનાવવી તે વધુ નફાકારક અને ઝડપી છે અને એકીકરણની મર્યાદાઓ "પોતાના દ્વારા" સ્પષ્ટ થઈ જાય છે. વિવિધ ગ્રાફ માટે પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામ તકનીકની મદદમાં વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો. તેમ છતાં, કેટલીકવાર મર્યાદાઓ શોધવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે છે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ પૂરતો મોટો હોય, અથવા વિગતવાર બાંધકામ એકીકરણની મર્યાદાઓને જાહેર કરતું ન હોય (તે અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે). અને આપણે આવા ઉદાહરણ પર પણ વિચાર કરીશું.

ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: પ્રથમ એક સીધી રેખા અને તે પછી જ પેરાબોલા બનાવવું વધુ તર્કસંગત છે. ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

હું પુનરાવર્તિત કરું છું કે જ્યારે બિંદુ પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છે, ત્યારે એકીકરણની મર્યાદા મોટાભાગે "આપમેળે" મળી આવે છે.

અને હવે કાર્યકારી સૂત્ર: જો સેગમેન્ટ પર અમુક સતત કાર્ય હોય કરતાં વધુ અથવા તેના સમાનકેટલાક સતત કાર્ય , પછી આ ફંકશનના આલેખ અને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર , , સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

અહીં તમારે હવે આકૃતિ ક્યાં સ્થિત છે તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી - ધરીની ઉપર અથવા ધરીની નીચે, અને, આશરે કહીએ તો, કયો ગ્રાફ વધુ છે તે મહત્વનું છે(બીજા ગ્રાફને સંબંધિત), અને જે નીચે છે.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સેગમેન્ટ પર પેરાબોલા સીધી રેખાની ઉપર સ્થિત છે, અને તેથી તેમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે

પૂર્ણ થયેલ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:

ઇચ્છિત આકૃતિ ઉપરના પેરાબોલા અને નીચે એક સીધી રેખા દ્વારા મર્યાદિત છે.
સેગમેન્ટ પર, અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ:

વાસ્તવમાં, નીચલા અર્ધ-વિમાનમાં વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્ર માટે શાળા સૂત્ર (સાદું ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ) એ સૂત્રનો એક વિશેષ કેસ છે. . કારણ કે ધરી સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી છે, અને કાર્યનો ગ્રાફ સ્થિત છે ઉચ્ચ નથીકુહાડીઓ, પછી

અને હવે તમારા પોતાના ઉકેલ માટે થોડા ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 5

ઉદાહરણ 6

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ક્યારેક એક રમુજી ઘટના બને છે. ડ્રોઇંગ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હતું, ગણતરીઓ સાચી હતી, પરંતુ બેદરકારીને કારણે ... ખોટા આંકડાનો વિસ્તાર મળી આવ્યો હતો, આ રીતે તમારા નમ્ર સેવકે ઘણી વખત ખરાબ કર્યું છે. અહીં વાસ્તવિક કેસજીવનમાંથી:

ઉદાહરણ 7

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો , , .

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

...એહ, ચિત્ર વાહિયાત બહાર આવ્યું, પરંતુ બધું સુવાચ્ય લાગે છે.

આકૃતિ જેનો વિસ્તાર આપણે શોધવાની જરૂર છે તે વાદળી છાંયો છે(સ્થિતિ પર ધ્યાનથી જુઓ - આકૃતિ કેવી રીતે મર્યાદિત છે!). પરંતુ વ્યવહારમાં, બેદરકારીને લીધે, ઘણી વખત "ભૂલ" થાય છે કે તમારે આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે જે લીલા રંગમાં છાંયો છે!

આ ઉદાહરણ એમાં પણ ઉપયોગી છે કે તે બે નિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે. ખરેખર:

1) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર સીધી રેખાનો ગ્રાફ છે;

2) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર અતિપરવલયનો ગ્રાફ છે.

તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે વિસ્તારો ઉમેરી શકાય છે (અને જોઈએ) તેથી:

જવાબ:

ચાલો બીજા અર્થપૂર્ણ કાર્ય તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 8

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો,
ચાલો સમીકરણોને “શાળા” સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ અને પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ ડ્રોઈંગ બનાવીએ:

ડ્રોઇંગ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અમારી ઉપલી મર્યાદા "સારી" છે: .
પરંતુ નીચલી મર્યાદા શું છે ?! તે સ્પષ્ટ છે કે આ પૂર્ણાંક નથી, પરંતુ તે શું છે? કદાચ ? પરંતુ એ વાતની ગેરંટી ક્યાં છે કે ડ્રોઇંગ સંપૂર્ણ ચોકસાઈ સાથે બનાવવામાં આવી છે, તે સારી રીતે બહાર આવી શકે છે કે ... અથવા મૂળ. જો આપણે ગ્રાફ ખોટી રીતે બનાવ્યો હોય તો શું?

આવા કિસ્સાઓમાં, તમારે વધારાનો સમય પસાર કરવો પડશે અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે એકીકરણની મર્યાદા સ્પષ્ટ કરવી પડશે.

ચાલો સીધી રેખા અને પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ.
આ કરવા માટે, અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:


,

ખરેખર, .

આગળનો ઉકેલ નજીવો છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે અવેજી અને ચિહ્નોમાં મૂંઝવણમાં ન આવવું અહીંની ગણતરીઓ સૌથી સરળ નથી.

સેગમેન્ટ પર , અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ:

સારું, પાઠ સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો વધુ બે મુશ્કેલ કાર્યો જોઈએ.

ઉદાહરણ 9

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, ,

ઉકેલ: ચાલો આ આકૃતિને ચિત્રમાં દર્શાવીએ.

અરે, હું શેડ્યૂલ પર હસ્તાક્ષર કરવાનું ભૂલી ગયો, અને માફ કરશો, હું ચિત્ર ફરીથી કરવા માંગતો ન હતો. ડ્રોઇંગ ડે નથી, ટૂંકમાં, આજનો દિવસ છે =)

પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામ માટે, સાઈનસાઈડનો દેખાવ જાણવો જરૂરી છે (અને સામાન્ય રીતે તે જાણવું ઉપયોગી છે. તમામ પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ), તેમજ કેટલાક સાઈન મૂલ્યો, તેઓ આમાં મળી શકે છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક. કેટલાક કિસ્સાઓમાં (જેમ કે આ કિસ્સામાં), યોજનાકીય રેખાંકન બનાવવું શક્ય છે, જેના પર આલેખ અને એકીકરણની મર્યાદા મૂળભૂત રીતે યોગ્ય રીતે પ્રદર્શિત થવી જોઈએ.

અહીં એકીકરણની મર્યાદાઓ સાથે કોઈ સમસ્યા નથી; તેઓ શરતથી સીધા અનુસરે છે: "x" શૂન્યથી "pi" માં બદલાય છે. ચાલો વધુ નિર્ણય લઈએ:

સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની ઉપર સ્થિત છે, તેથી:

આ લેખમાં તમે શીખી શકશો કે અભિન્ન ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો. હાઈસ્કૂલમાં આવી સમસ્યાની રચનાનો પ્રથમ વખત અમે સામનો કરીએ છીએ, જ્યારે અમે હમણાં જ ચોક્કસ પૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ પૂર્ણ કર્યો છે અને તે શરૂ કરવાનો સમય છે. ભૌમિતિક અર્થઘટનવ્યવહારમાં જ્ઞાન મેળવ્યું.

તેથી, પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રને શોધવાની સમસ્યાને સફળતાપૂર્વક હલ કરવા માટે શું જરૂરી છે:

• સક્ષમ રેખાંકનો બનાવવાની ક્ષમતા;
• ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્ન ઉકેલની ક્ષમતા પ્રખ્યાત સૂત્રન્યૂટન-લીબનીઝ;
• વધુ નફાકારક ઉકેલ વિકલ્પ "જોવા" કરવાની ક્ષમતા - એટલે કે. સમજો કે એક અથવા બીજા કિસ્સામાં એકીકરણ હાથ ધરવા તે કેવી રીતે વધુ અનુકૂળ રહેશે? એક્સ-અક્ષ (OX) અથવા y-અક્ષ (OY) સાથે?
• ઠીક છે, સાચી ગણતરીઓ વિના આપણે ક્યાં હોઈશું?) આમાં તે અન્ય પ્રકારના પૂર્ણાંકો અને સાચી સંખ્યાત્મક ગણતરીઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે સમજવાનો સમાવેશ થાય છે.

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરીની સમસ્યાને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ:

1. અમે એક ડ્રોઇંગ બનાવી રહ્યા છીએ. કાગળના ચેકર્ડ ટુકડા પર આ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, સાથે મોટા પાયે. અમે દરેક ગ્રાફ ઉપર પેન્સિલ વડે આ ફંક્શનના નામ પર સહી કરીએ છીએ. આલેખ પર સહી કરવી એ ફક્ત આગળની ગણતરીઓની સુવિધા માટે કરવામાં આવે છે. ઇચ્છિત આકૃતિનો ગ્રાફ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તે તરત જ સ્પષ્ટ થઈ જશે કે એકીકરણની કઈ મર્યાદાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. આ રીતે આપણે સમસ્યા હલ કરીએ છીએ ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ. જો કે, એવું બને છે કે મર્યાદાના મૂલ્યો અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક છે. તેથી, તમે વધારાની ગણતરીઓ કરી શકો છો, પગલું બે પર જાઓ.

2. જો એકીકરણની મર્યાદા સ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત ન હોય, તો પછી આપણે એકબીજા સાથે આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે શું આપણા ગ્રાફિક ઉકેલવિશ્લેષણાત્મક સાથે.

3. આગળ, તમારે ડ્રોઇંગનું વિશ્લેષણ કરવાની જરૂર છે. ફંક્શન ગ્રાફ કેવી રીતે ગોઠવાય છે તેના આધારે, ત્યાં છે વિવિધ અભિગમોઆકૃતિનો વિસ્તાર શોધવા માટે. ચાલો વિચાર કરીએ વિવિધ ઉદાહરણોપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવા માટે.

3.1. જ્યારે તમારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર હોય ત્યારે સમસ્યાનું સૌથી ક્લાસિક અને સરળ સંસ્કરણ છે. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ શું છે? આ એક્સ-અક્ષ દ્વારા મર્યાદિત સપાટ આકૃતિ છે (y = 0), સીધા x = a, x = bઅને થી અંતરાલ પર સતત કોઈપણ વળાંક aપહેલાં b. વધુમાં, આ આંકડો બિન-નકારાત્મક છે અને તે x-અક્ષની નીચે સ્થિત નથી. આ કિસ્સામાં, વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અવિભાજ્ય સમાન છે, જે ન્યૂટન-લેબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

આકૃતિ કઈ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે? અમારી પાસે પેરાબોલા છે y = x2 – 3x + 3, જે ધરીની ઉપર સ્થિત છે ઓહ, તે બિન-નકારાત્મક છે, કારણ કે આ પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ છે હકારાત્મક મૂલ્યો. આગળ, સીધી રેખાઓ આપવામાં આવે છે x = 1અને x = 3, જે ધરીની સમાંતર ચાલે છે OU, ડાબી અને જમણી બાજુની આકૃતિની સીમા રેખાઓ છે. વેલ y = 0, તે x-અક્ષ પણ છે, જે નીચેથી આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પરિણામી આકૃતિ શેડમાં છે, જેમ કે ડાબી બાજુની આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમે તરત જ સમસ્યા હલ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. આપણી સમક્ષ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું એક સરળ ઉદાહરણ છે, જેને આપણે પછી ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ.

3.2. અગાઉના ફકરા 3.1 માં, અમે કેસની તપાસ કરી જ્યારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે. હવે જ્યારે સમસ્યાની સ્થિતિ સમાન હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો, સિવાય કે કાર્ય x-અક્ષ હેઠળ આવેલું છે. પ્રતિ પ્રમાણભૂત સૂત્રન્યૂટન-લીબનીઝ માઈનસ ઉમેરવામાં આવે છે. કેવી રીતે નક્કી કરવું સમાન કાર્યચાલો તેને આગળ જોઈએ.

ઉદાહરણ 2 . રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN આ ઉદાહરણમાંઅમારી પાસે પેરાબોલા છે y = x2 + 6x + 2, જે ધરીમાંથી ઉદ્દભવે છે ઓહ, સીધા x = -4, x = -1, y = 0. અહીં y = 0ઉપરથી ઇચ્છિત આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પ્રત્યક્ષ x = -4અને x = -1આ તે સીમાઓ છે જેની અંદર ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરવામાં આવશે. આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાને ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત લગભગ સંપૂર્ણ રીતે ઉદાહરણ નંબર 1 સાથે સુસંગત છે. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે આપેલ કાર્યહકારાત્મક નથી, અને અંતરાલ પર હજુ પણ ચાલુ છે [-4; -1] . તમારો મતલબ શું સકારાત્મક નથી? આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, આપેલ x ની અંદર આવેલ આકૃતિ ફક્ત "નકારાત્મક" કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, જે સમસ્યાને ઉકેલતી વખતે આપણે જોવાની અને યાદ રાખવાની જરૂર છે. અમે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ, ફક્ત શરૂઆતમાં ઓછા ચિહ્ન સાથે.

લેખ પૂરો થયો નથી.