પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના મૂળ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ. પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ

તે સાબિત થયું છે કે બહુપદીને પરિબળ કરવા માટે, તમારે તેના મૂળ શોધવાની જરૂર છે. ચોરસ બહુપદીના મૂળ માટેના સૂત્રો. સંપૂર્ણ મૂળ શોધવા માટેની પદ્ધતિ. દ્વિપક્ષીય બહુપદીને અવયવિત કરવાની અને તેને ચતુર્ભુજમાં ઘટાડવાની પદ્ધતિ. આવર્તક બહુપદી.

પદ્ધતિનો આધાર

દો

- ડિગ્રી n ≥ નો બહુપદી 1 વાસ્તવિક અથવા જટિલ ચલ z ના વાસ્તવિક અથવા જટિલ ગુણાંક સાથે a i.

ચાલો પુરાવા વિના નીચેના પ્રમેયને સ્વીકારીએ.

પ્રમેય 1 સમીકરણ Pn(z) = 0

ઓછામાં ઓછું એક મૂળ છે.

ચાલો નીચેના લેમ્માને સાબિત કરીએ.

લેમ્મા 1 ચાલો Pn(z) 1 - ડિગ્રી n, z નો બહુપદી
- સમીકરણનું મૂળ: પી.એન.
(z 1) = 0 ચાલો Pnપછી પી.એન
- સમીકરણનું મૂળ: ફોર્મમાં માત્ર એક જ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) જ્યાં Pn- 1(z) 1 .

- ડિગ્રી n નો બહુપદી -

પુરાવો ચાલો Pnતેને સાબિત કરવા માટે, અમે પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ (જુઓ બહુપદીનો એક ખૂણા અને કૉલમ દ્વારા ભાગાકાર અને ગુણાકાર), જે મુજબ કોઈપણ બે બહુપદી માટે P n ચાલો Pnઅને Q k
- સમીકરણનું મૂળ: , ડિગ્રી n અને k, n ≥ k સાથે, ફોર્મમાં એક અનન્ય રજૂઆત છે:,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) ચાલો Pnજ્યાં Pn-k જ્યાં Pn-- ડિગ્રી n-k, U k- નો બહુપદી 1 .

- ડિગ્રીનું બહુપદી k કરતાં વધારે નહીં- 1 ચાલો k = મૂકીએ , Q k(z) = z - z 1
- સમીકરણનું મૂળ: , પછી,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c 1 જ્યાં c એક અચલ છે. ચાલો અહીં z = z ને બદલીએ પી.એન:
- સમીકરણનું મૂળ: અને ધ્યાનમાં લો કે P n;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + c 0 તેથી c =
.
પછી

Pn, ચાલો Pn Q.E.D. 1 તેથી, પ્રમેય 1 પર આધારિત, બહુપદી P n પી.એનઓછામાં ઓછું એક મૂળ ધરાવે છે. ચાલો તેને z તરીકે દર્શાવીએ
- સમીકરણનું મૂળ: ,Pn.
. 1 પછી, લેમ્મા 1 પર આધારિત: જ્યાં Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2 આગળ, જો n > , પછી બહુપદી P n-તેથી c =
ઓછામાં ઓછું એક મૂળ પણ છે, જેને આપણે z તરીકે દર્શાવીએ છીએ ,Pn-;
- સમીકરણનું મૂળ: 1 (z 2) = 0.

Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)
- સમીકરણનું મૂળ: આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ત્યાં n સંખ્યાઓ z છે.
1 , z 2 , ... , z n જેમ કે(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1) પરંતુ પી 0(z).

સંખ્યાઓ z i એ બહુપદી P n ના મૂળ છે ચાલો Pn.

સામાન્ય રીતે, તમામ z હું સમાવિષ્ટ નથી (1) , અલગ છે. તેમની વચ્ચે સમાન મૂલ્યો હોઈ શકે છે. પછી બહુપદીનું પરિબળ (1) આ રીતે લખી શકાય છે:
(2) પરંતુ પી (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
અહીં z i ≠ z j માટે i ≠ j. 1 જો n i = , તેમૂળ z iસરળ કહેવાય છે . તે ફોર્મમાં ફેક્ટરાઇઝેશનમાં પ્રવેશ કરે છે(z-z i) 1 જો n i = , તેમૂળ .જો n i > ગુણાકારનું બહુવિધ મૂળ કહેવાય છે.

n i.

તે n i મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે ફેક્ટરાઇઝેશનમાં પ્રવેશ કરે છે:

(z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i

- ડિગ્રી n નો બહુપદી -

વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદી

લેમ્મા 2
,
જો વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીનું જટિલ રુટ છે, તો જટિલ સંયોજક સંખ્યા પણ બહુપદીનું મૂળ છે, .
ખરેખર, જો , અને બહુપદીના ગુણાંક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો પછી. (2) આમ, જટિલ મૂળ તેમના જટિલ સંયુક્ત મૂલ્યો સાથે જોડીમાં પરિબળ દાખલ કરે છે:
(3) ;
.

જ્યાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

પછી વિઘટન 0 પરિબળોમાં વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીને એવા સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે જેમાં ફક્ત વાસ્તવિક સ્થિરાંકો હાજર હોય: (3) .

બહુપદીના પરિબળ માટે પદ્ધતિઓ
1. ઉપરોક્ત બાબતોને ધ્યાનમાં લેતા, બહુપદીને અવયવિત કરવા માટે, તમારે P n (z) = સમીકરણના તમામ મૂળ શોધવાની જરૂર છે. 1 અને તેમની બહુવિધતા નક્કી કરો. જટિલ મૂળ ધરાવતા પરિબળોને જટિલ સંયોજકો સાથે જૂથબદ્ધ કરવું આવશ્યક છે. પછી વિસ્તરણ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે આમ, બહુપદીના પરિબળની પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે:.
2.1. મૂળ z શોધવી 1 સમીકરણો Pn (z 1) = 0 (z 1) = 0 1 :
.
જો મૂળ zવાસ્તવિક, પછી આપણે વિસ્તરણમાં પરિબળ ઉમેરીએ છીએ (1) (z - z 1)
2.2. 1(z)

,
, બિંદુથી શરૂ થાય છે જ્યાં સુધી આપણે બધા મૂળ ન શોધીએ.જો મૂળ જટિલ હોય, તો જટિલ સંયોજક સંખ્યા પણ બહુપદીનું મૂળ છે. પછી વિસ્તરણમાં પરિબળનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં બી.
1 = - 2 x 1 , સી 1 = x 1 2 + y 1 2 , સીઆ કિસ્સામાં, અમે વિસ્તરણમાં પરિબળ ઉમેરીએ છીએ 2 :
.
(z 2 + b 1 z + c 1) અને બહુપદી P n (z) ને વડે વિભાજિત કરોવાસ્તવિક, પછી આપણે વિસ્તરણમાં પરિબળ ઉમેરીએ છીએ (1) (z - z 1)

.

પરિણામે, આપણે ડિગ્રી n નો બહુપદી મેળવીએ છીએ -

આગળ આપણે બહુપદી P n- માટેની પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ.

પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદી એ રેખીય કાર્ય છે. તેનું એક મૂળ છે. વિસ્તરણમાં માત્ર એક પરિબળ છે જેમાં ચલ z છે:
.

બીજી ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ

બીજી ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે, તમારે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે:
પી 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
જો ભેદભાવ કરનાર છે, તો સમીકરણના બે વાસ્તવિક મૂળ છે:
, .
પછી ફેક્ટરાઇઝેશનનું સ્વરૂપ છે:
.
જો ભેદભાવ D = 0 , પછી સમીકરણમાં એક ડબલ રૂટ છે:
;
.
જો ભેદભાવ કરનાર ડી< 0 , તો સમીકરણના મૂળ જટિલ છે,
.

બે કરતા વધારે ડિગ્રીના બહુપદી

3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવા માટેના સૂત્રો છે. જો કે, તેઓ ભાગ્યે જ ઉપયોગમાં લેવાય છે કારણ કે તે વિશાળ છે. 4 થી વધુ ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે કોઈ સૂત્રો નથી. આ હોવા છતાં, કેટલાક કિસ્સાઓમાં બહુપદીનું પરિબળ શક્ય છે.

સંપૂર્ણ મૂળ શોધવી

જો તે જાણીતું છે કે બહુપદી જેના ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે તેમાં પૂર્ણાંક મૂળ છે, તો તે તમામ સંભવિત મૂલ્યો દ્વારા શોધીને શોધી શકાય છે.

લેમ્મા 3

બહુપદી દો
,
ગુણાંક a i જેમાંથી પૂર્ણાંકો છે, તેમાં પૂર્ણાંક મૂળ z છે 1 . 0 .

- ડિગ્રી n નો બહુપદી -

પછી આ મૂળ એ સંખ્યાનો વિભાજક છે પી.એનચાલો P n સમીકરણ ફરીથી લખીએ
.
ફોર્મમાં:
પછી સમગ્ર Mz.
1 = - a 0 1 :
.
z વડે ભાગાકાર કરો

M એ પૂર્ણાંક હોવાથી, M એ પૂર્ણાંક છે. Q.E.D. 0 તેથી, જો બહુપદીના ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે, તો પછી તમે પૂર્ણાંક મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે મફત શબ્દ a ના તમામ વિભાજકો શોધવાની જરૂર છે સમીકરણ Pnઅને, સમીકરણ P n માં બદલીને
, તેઓ આ સમીકરણના મૂળ છે કે કેમ તે તપાસો.નોંધ સમીકરણ Pn. જો બહુપદીના ગુણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓ હોય, તો પછી સમીકરણ P n નો ગુણાકાર

સંખ્યાઓના સામાન્ય છેદ a i દ્વારા, આપણે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદી માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

તર્કસંગત મૂળ શોધો 1 જો બહુપદીના ગુણાંક પૂર્ણાંકો હોય અને કોઈ પૂર્ણાંક મૂળ ન હોય, તો n ≠ માટે
, તમે તર્કસંગત મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ કરવા માટે તમારે અવેજી બનાવવાની જરૂર છે
z = y/a n 1 અને સમીકરણને n n- વડે ગુણાકાર કરો
.

પરિણામે, અમે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે ચલ y માં બહુપદી માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ, આગળ, અમે મુક્ત પદના વિભાજકોમાં આ બહુપદીના પૂર્ણાંક મૂળ શોધીએ છીએ. જો આપણને આવા મૂળ y i મળ્યા હોય, તો પછી x ચલ તરફ જવાથી, આપણે તર્કસંગત મૂળ મેળવીએ છીએ.

z i = y i /a n .

ઉપયોગી સૂત્રો
- સમીકરણનું મૂળ: અમે એવા સૂત્રો રજૂ કરીએ છીએ જેનો ઉપયોગ બહુપદીના પરિબળ માટે થઈ શકે છે.,
વધુ સામાન્ય રીતે, બહુપદીને વિસ્તૃત કરવા માટે 0 (z) = z n - a 0
જ્યાં એ 0 .
- જટિલ, તમારે તેના બધા મૂળ શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે, સમીકરણ હલ કરો: 0 મોડ્યુલસ આર અને દલીલ દ્વારા φ:
.
ત્યારથી એ 0 જો આપણે દલીલ ઉમેરીશું તો બદલાશે નહીં 2π, પછી કલ્પના કરો a 0 ચાલો P n સમીકરણ ફરીથી લખીએ
,
જ્યાં k પૂર્ણાંક છે. પછી
;
.
k ની કિંમતો k = સોંપવી 0, 1, 2, ... n-1, આપણને બહુપદીના n મૂળ મળે છે. પછી તેના ફેક્ટરાઇઝેશનનું સ્વરૂપ છે:
.

દ્વિપક્ષીય બહુપદી

દ્વિપક્ષીય બહુપદીને ધ્યાનમાં લો:
.
દ્વિપક્ષીય બહુપદીને મૂળ શોધ્યા વિના પરિબળ બનાવી શકાય છે.

જ્યારે, અમારી પાસે છે:

,
ક્યાં.

બાયક્યુબિક અને ચતુર્ભુજ બહુપદી

બહુપદીને ધ્યાનમાં લો:
.
તેના મૂળ સમીકરણ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે:
.
તે t = z n ને બદલીને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં ઘટાડો થાય છે:
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
આ સમીકરણને હલ કર્યા પછી, આપણે તેના મૂળ શોધીએ છીએ, ટી 1 ,ટી 2 .
.
પછી આપણે ફોર્મમાં વિસ્તરણ શોધીએ છીએ: 1 આગળ, ઉપર દર્શાવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે z n - t ને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ 2 અને z n - t

.

અંતે, અમે જટિલ સંયોજક મૂળ ધરાવતા પરિબળોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ. આવર્તક બહુપદીબહુપદી કહેવાય છે

પરત કરી શકાય તેવું
.

, જો તેના ગુણાંક સપ્રમાણ હોય તો: -1 રીફ્લેક્સિવ બહુપદીનું ઉદાહરણ: + 1 જો આવર્તક બહુપદી n ની ડિગ્રી વિષમ હોય, તો આવા બહુપદીમાં મૂળ z = હોય છે. - 1 .
. 2 આવા બહુપદીને z વડે ભાગવું

, આપણે ડિગ્રી n નું આવર્તક બહુપદી મેળવીએ છીએ

જો પુનરાવર્તિત બહુપદી n ની ડિગ્રી સમાન હોય, તો અવેજીકરણ દ્વારા, તે ડિગ્રી n/ ની બહુપદીમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

.સેમી.

સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, ઘણી વખત બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું જરૂરી છે જેની ડિગ્રી ત્રણ કે તેથી વધુ હોય. આ લેખમાં આપણે આ કરવાની સૌથી સહેલી રીત જોઈશું. હંમેશની જેમ, ચાલો મદદ માટે સિદ્ધાંત તરફ વળીએ.

બેઝાઉટનું પ્રમેય

જણાવે છે કે બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજિત કરતી વખતે શેષ છે.

પરંતુ આપણા માટે જે મહત્વનું છે તે પ્રમેય પોતે નથી, પરંતુ તેમાંથી પરિણામ:.

જો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે, તો બહુપદી એ શેષ વિના દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે.

બહુપદીનું ઓછામાં ઓછું એક રુટ શોધવાનું, પછી બહુપદીને , બહુપદીનું મૂળ ક્યાં છે વડે વિભાજિત કરવાના કાર્યનો આપણે સામનો કરી રહ્યા છીએ. પરિણામે, આપણે બહુપદી મેળવીએ છીએ જેની ડિગ્રી મૂળની ડિગ્રી કરતા એક ઓછી છે. અને પછી, જો જરૂરી હોય તો, તમે પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરી શકો છો.

આ કાર્ય બે ભાગમાં વિભાજિત થાય છે:

બહુપદીનું મૂળ કેવી રીતે શોધવું અને બહુપદીને દ્વિપદી વડે કેવી રીતે વિભાજિત કરવું

ચાલો આ મુદ્દાઓ પર નજીકથી નજર કરીએ.

1. બહુપદીનું મૂળ કેવી રીતે શોધવું.

જો બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો એકી સત્તાઓ પરના ગુણાંકના સરવાળા જેટલો હોય, તો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે.મુક્ત શબ્દને એક સમાન ડિગ્રી માટે ગુણાંક ગણવામાં આવે છે, કારણ કે , a એ એક સમાન સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીમાં સમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો છે: , અને વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો છે: . બહુપદીનું મૂળ શું છે તે તપાસવું સરળ છે.

જો 1 કે -1 એ બહુપદીના મૂળ નથી, તો આપણે આગળ વધીએ છીએ.

ડિગ્રીના ઘટાડેલા બહુપદી માટે (એટલે ​​​​કે, બહુપદી જેમાં અગ્રણી ગુણાંક - પર ગુણાંક - એકતા સમાન છે), વિએટા સૂત્ર માન્ય છે:

બહુપદીના મૂળ ક્યાં છે.

બહુપદીના બાકીના ગુણાંકને લગતા વિએટા સૂત્રો પણ છે, પરંતુ અમને આમાં રસ છે.

આ વિએટા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે જો બહુપદીના મૂળ પૂર્ણાંકો છે, તો તે તેના મુક્ત પદના વિભાજક છે, જે પૂર્ણાંક પણ છે.

આના આધારે, આપણે બહુપદીના મુક્ત પદને પરિબળ કરવાની જરૂર છે, અને ક્રમિક રીતે, નાનાથી મોટા સુધી, તપાસો કે કયું પરિબળ બહુપદીનું મૂળ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીનો વિચાર કરો

ફ્રી ટર્મના વિભાજકો: ;

;

;

બહુપદીના તમામ ગુણાંકનો સરવાળો બરાબર છે, તેથી, સંખ્યા 1 એ બહુપદીનું મૂળ નથી.

સમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો:

વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો:

તેથી, સંખ્યા -1 એ બહુપદીનું મૂળ પણ નથી.

ચાલો જોઈએ કે નંબર 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ: તેથી, સંખ્યા 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે. આનો અર્થ એ છે કે, બેઝાઉટના પ્રમેય મુજબ, બહુપદી એ શેષ વિના દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે.

2. બહુપદીને દ્વિપદીમાં કેવી રીતે વિભાજીત કરવી.

બહુપદીને કૉલમ દ્વારા દ્વિપદીમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

કૉલમનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજીત કરો: બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા વિભાજીત કરવાની બીજી રીત છે - હોર્નરની યોજના.

સમજવા માટે આ વિડિયો જુઓ

સ્તંભ સાથે દ્વિપદી દ્વારા બહુપદીને કેવી રીતે વિભાજીત કરવી અને હોર્નરના ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને.

હું નોંધું છું કે જો, જ્યારે કૉલમ દ્વારા ભાગાકાર કરવામાં આવે ત્યારે, મૂળ બહુપદીમાં અજ્ઞાતની અમુક ડિગ્રી ખૂટે છે, તો અમે તેની જગ્યાએ 0 લખીએ છીએ - તે જ રીતે જ્યારે હોર્નરની યોજના માટે કોષ્ટકનું સંકલન કરતી વખતે. તેથી, જો આપણે બહુપદીને દ્વિપદી વડે ભાગવાની જરૂર હોય અને ભાગાકારના પરિણામે આપણને બહુપદી મળે, તો આપણે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીના ગુણાંક શોધી શકીએ છીએ:આપેલ સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે: જો સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે, તો બહુપદીને વડે વિભાજિત કરતી વખતે બાકીની રકમ શૂન્યની બરાબર છે, એટલે કે, બીજી પંક્તિની છેલ્લી કૉલમમાં હોર્નરની આકૃતિ આપણને 0 મળે છે.

હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે "એક પથ્થરથી બે પક્ષીઓને મારીએ છીએ": અમે એક સાથે તપાસ કરીએ છીએ કે સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ અને આ બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજીત કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ.સમીકરણ ઉકેલો:

1. ચાલો મુક્ત પદના વિભાજકો લખીએ અને મુક્ત પદના વિભાજકોમાં બહુપદીના મૂળ શોધીએ.

24 ના વિભાજકો:

2. ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર 1 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ.

બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો, તેથી, સંખ્યા 1 એ બહુપદીનું મૂળ છે.

3. હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને મૂળ બહુપદીને દ્વિપદીમાં વિભાજીત કરો.

A) ચાલો કોષ્ટકની પ્રથમ હરોળમાં મૂળ બહુપદીના ગુણાંક લખીએ.

સમાવિષ્ટ શબ્દ ખૂટતો હોવાથી, કોષ્ટકની કૉલમ જેમાં ગુણાંક લખવો જોઈએ તેમાં આપણે 0 લખીએ છીએ. ડાબી બાજુએ આપણે મળી આવેલ મૂળ લખીએ છીએ: નંબર 1.

બી) કોષ્ટકની પ્રથમ પંક્તિ ભરો.

છેલ્લી કૉલમમાં, અપેક્ષા મુજબ, અમને શૂન્ય મળ્યું; અમે મૂળ બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કર્યું. વિભાજનના પરિણામે બહુપદીના ગુણાંક કોષ્ટકની બીજી હરોળમાં વાદળી રંગમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે:

તે તપાસવું સરળ છે કે સંખ્યાઓ 1 અને -1 બહુપદીના મૂળ નથી

બી) ચાલો કોષ્ટક ચાલુ રાખીએ. ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ:

તેથી બહુપદીની ડિગ્રી, જે એક વડે વિભાજનના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે, તે મૂળ બહુપદીની ડિગ્રી કરતાં ઓછી છે, તેથી, ગુણાંકની સંખ્યા અને કૉલમની સંખ્યા એક ઓછી છે.

છેલ્લી કૉલમમાં આપણને -40 મળ્યો - એક એવી સંખ્યા જે શૂન્યની બરાબર નથી, તેથી, બહુપદી એ શેષ સાથે દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે, અને સંખ્યા 2 એ બહુપદીનું મૂળ નથી.

C) ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર -2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ. અગાઉનો પ્રયાસ નિષ્ફળ ગયો હોવાથી, ગુણાંક સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે, હું આ પ્રયાસને અનુરૂપ રેખા ભૂંસીશ:

સરસ! અમને શેષ તરીકે શૂન્ય મળ્યું, તેથી, બહુપદીને શેષ વિના દ્વિપદીમાં વિભાજિત કરવામાં આવી હતી, તેથી, સંખ્યા -2 એ બહુપદીનું મૂળ છે. બહુપદીના ગુણાંક કે જે બહુપદીને દ્વિપદી વડે ભાગવાથી મેળવવામાં આવે છે તે કોષ્ટકમાં લીલા રંગમાં બતાવવામાં આવે છે.

વિભાજનના પરિણામે આપણને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી મળે છે , જેના મૂળ વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી શોધી શકાય છે:

તેથી, મૂળ સમીકરણના મૂળ છે:

{}

જવાબ: ( }

આ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક છે. જો પૂર્ણાંક આ બહુપદીનું મૂળ છે, તો તે સંખ્યા 16નો વિભાજક છે. આમ, જો આપેલ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો તે માત્ર ±1 સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે છે; ±2; ±4; ±8; ±16. પ્રત્યક્ષ ચકાસણી દ્વારા, અમને ખાતરી છે કે સંખ્યા 2 એ આ બહુપદીનું મૂળ છે, એટલે કે, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), જ્યાં Q (x) એ બહુપદીનું મૂળ છે. બીજી ડિગ્રી. પરિણામે, બહુપદી પરિબળોમાં વિઘટિત થાય છે, જેમાંથી એક છે (x – 2). બહુપદી Q (x) નો પ્રકાર શોધવા માટે અમે કહેવાતી હોર્નર યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો એ નોટેશનની કોમ્પેક્ટનેસ અને બહુપદીને દ્વિપદીમાં ઝડપથી વિભાજીત કરવાની ક્ષમતા છે. વાસ્તવમાં, હોર્નરની સ્કીમ એ ગ્રૂપિંગ પદ્ધતિને રેકોર્ડ કરવાનું બીજું સ્વરૂપ છે, જોકે, બાદમાંની જેમ, તે સંપૂર્ણપણે બિન-દૃશ્ય છે. જવાબ (ફેક્ટરાઇઝેશન) અહીં જાતે જ પ્રાપ્ત થાય છે, અને આપણે તેને મેળવવાની પ્રક્રિયા જોતા નથી. અમે હોર્નરની યોજનાના સખત પુરાવામાં જોડાઈશું નહીં, પરંતુ તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે જ બતાવીશું.

તેની ઉપરના કોષમાંથી નંબર નીચેની લાઇનના બીજા કોષમાં "ખસેડવામાં" આવે છે, એટલે કે, 1. પછી તેઓ આ કરે છે. સમીકરણનું મૂળ (નંબર 2) છેલ્લી લેખિત સંખ્યા (1) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને પરિણામ તે સંખ્યા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે જે આગામી ફ્રી સેલની ઉપરની પંક્તિમાં છે, અમારા ઉદાહરણમાં અમારી પાસે છે:

ચલ x માં બહુપદી એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, જ્યાં n એ કુદરતી સંખ્યા છે; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - આ બહુપદીના ગુણાંક તરીકે ઓળખાતી કોઈપણ સંખ્યા. અભિવ્યક્તિઓ anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 એ બહુપદીના પદો કહેવાય છે, અને 0 એ મુક્ત પદ છે. an એ xn નો ગુણાંક છે, an-1 એ xn-1 નો ગુણાંક છે, વગેરે. બહુપદી જેમાં બધા ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય છે તેને શૂન્ય કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી 0 x2+0 x+0 શૂન્ય છે. બહુપદીના સંકેત પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે તે ઘણા સભ્યો ધરાવે છે. આ તે છે જ્યાં ‹ ‹ બહુપદી›› (ઘણા પદો) શબ્દ આવે છે. કેટલીકવાર બહુપદીને બહુપદી કહેવામાં આવે છે. આ શબ્દ ગ્રીક શબ્દો πολι - ઘણા અને νομχ - સભ્ય પરથી આવ્યો છે.

એક ચલ x માં બહુપદી સૂચવવામાં આવે છે: . f (x), g (x), h (x), વગેરે ઉદાહરણ તરીકે, જો ઉપરોક્ત બહુપદીમાંથી પ્રથમ f (x) સૂચવવામાં આવે છે, તો આપણે લખી શકીએ: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. બહુપદી h(x) એ બહુપદી f(x) અને g(x) નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કહેવાય છે જો તે f(x), g ને વિભાજિત કરે છે. (x) અને તેમના દરેક સામાન્ય વિભાજક. 2. ડિગ્રી n ના ક્ષેત્ર P ના ગુણાંક સાથે બહુપદી f(x) ક્ષેત્ર P પર ઘટાડી શકાય તેવું કહેવાય છે જો ત્યાં n કરતાં ઓછી ડિગ્રીના h(x) О P[x] બહુપદી અસ્તિત્વમાં છે. કે f(x) = h(x)g(x).

જો બહુપદી f(x) =anxn+an-1 xn-1+ હોય. . . +a 1 x+a 0 અને an≠ 0, પછી સંખ્યા n ને બહુપદી f(x) ની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે (અથવા તેઓ કહે છે: f (x) - nth ડિગ્રી) અને કલા લખો. f(x)=n. આ કિસ્સામાં, an ને અગ્રણી ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, અને anxn એ આ બહુપદીનો અગ્રણી શબ્દ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો f(x) =5 x 4 -2 x+3, તો આર્ટ. f (x) =4, અગ્રણી ગુણાંક - 5, અગ્રણી પદ - 5 x4. બહુપદીની ડિગ્રી તેના ગુણાંકની સૌથી મોટી બિન-શૂન્ય સંખ્યા છે. ડિગ્રી શૂન્યના બહુપદીઓ શૂન્ય સિવાયની સંખ્યાઓ છે. , શૂન્ય બહુપદીની કોઈ ડિગ્રી નથી; બહુપદી f (x) =a, જ્યાં a એ બિન-શૂન્ય સંખ્યા છે અને તેની ડિગ્રી 0 છે; કોઈપણ અન્ય બહુપદીની ડિગ્રી ચલ xના સૌથી મોટા ઘાતાંકની બરાબર છે, જેનો ગુણાંક શૂન્ય બરાબર છે.

બહુપદીની સમાનતા. બે બહુપદી f (x) અને g (x) સમાન ગણવામાં આવે છે જો ચલ x અને મુક્ત પદોની સમાન શક્તિઓ માટે તેમના ગુણાંક સમાન હોય (તેમના અનુરૂપ ગુણાંક સમાન હોય). f (x) = g (x). ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી f(x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 અને g(x) =2 x 23 x+1 સમાન નથી, તેમાંના પ્રથમનો ગુણાંક x3 1 ની બરાબર છે, અને બીજામાં શૂન્ય છે ( સ્વીકૃત સંમેલનો અનુસાર, આપણે લખી શકીએ છીએ: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. આ કિસ્સામાં: f (x) ≠g (x) અને બહુપદી સમાન નથી: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, કારણ કે x માટે તેમના ગુણાંક અલગ છે.

પરંતુ બહુપદી f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 અને g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 સમાન હોય અને માત્ર જો a = 3, a b = -2. બહુપદી f(x) =anxn+an-1 xn-1+ આપવા દો. . . +a 1 x+a 0 અને અમુક સંખ્યા c. સંખ્યા f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 એ x=c પર બહુપદી f (x) ની કિંમત કહેવાય છે. આમ, f(c) શોધવા માટે, તમારે x ને બદલે c ને બહુપદીમાં બદલવાની જરૂર છે અને જરૂરી ગણતરીઓ હાથ ધરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, જો f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, તો f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. બહુપદી x ચલના વિવિધ મૂલ્યો માટે વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે. સંખ્યા c એ બહુપદી f (x) નું મૂળ કહેવાય છે જો f (c) =0 હોય.

ચાલો આપણે બે વિધાનો વચ્ચેના તફાવત પર ધ્યાન આપીએ: “બહુપદી f (x) શૂન્યની બરાબર છે (અથવા, શું સમાન છે, બહુપદી f (x) શૂન્ય છે)” અને “બહુપદી f (x) નું મૂલ્ય ) x = c પર શૂન્ય બરાબર છે.” ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી f(x) =x 2 -1 શૂન્યની બરાબર નથી, તેમાં બિન-શૂન્ય ગુણાંક છે, અને તેનું મૂલ્ય x=1 શૂન્યની બરાબર છે. f (x) ≠ 0, અને f (1) =0. બહુપદીની સમાનતાના ખ્યાલો અને બહુપદીના મૂલ્ય વચ્ચે ગાઢ સંબંધ છે. જો બે સમાન બહુપદી f (x) અને g (x) આપવામાં આવે, તો તેમના અનુરૂપ ગુણાંક સમાન છે, જેનો અર્થ દરેક સંખ્યા c માટે f (c) = g (c) છે.

બહુપદી પરની ક્રિયાઓ કૌંસ ખોલવા અને સમાન શરતો લાવવાના સામાન્ય નિયમોનો ઉપયોગ કરીને બહુપદી ઉમેરી, બાદબાકી અને ગુણાકાર કરી શકાય છે. પરિણામ ફરીથી બહુપદી છે. આ કામગીરીમાં જાણીતા ગુણધર્મો છે: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

બે બહુપદી f(x) =anxn+an-1 xn-1+ આપવા દો. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, અને g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. તે સ્પષ્ટ છે કે આર્ટ. f(x)=n, અને st. g(x)=m જો આપણે આ બે બહુપદીઓનો ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને f(x) g(x)=anbmxm+n+ ફોર્મનો બહુપદી મળે છે. . . +a 0 b 0. ત્યારથી an≠ 0 અને bn≠ 0, પછી anbm≠ 0, જેનો અર્થ st. (f(x)g(x))=m+n. આના પરથી એક મહત્વપૂર્ણ નિવેદન આવે છે.

બે શૂન્ય બિન-શૂન્ય બહુપદીના ઉત્પાદનની ડિગ્રી એ પરિબળો, કલાની ડિગ્રીના સરવાળા જેટલી છે. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). બે બિન-શૂન્ય બહુપદીના ગુણાંકનો અગ્રણી પદ (ગુણાંક) પરિબળના અગ્રણી પદો (ગુણો) ના ગુણાંક સમાન છે. બે બહુપદીના ઉત્પાદનની મુક્ત અવધિ અવયવની મુક્ત શરતોના ગુણાંક જેટલી છે. બહુપદી f (x), g (x) અને f (x) ±g (x) ની શક્તિઓ નીચેના સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે: કલા. (f (x) ±g (x)) ≤ મહત્તમ (st. f (x), st. g (x)).

બહુપદી f (x) અને g (x) ની સુપરપોઝિશન કહેવાય છે. બહુપદી સૂચિત f (g (x)), જે પ્રાપ્ત થાય છે જો બહુપદી f (x) માં આપણે x ને બદલે બહુપદી g (x) ને બદલીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો f(x)=x 2+2 x-1 અને g(x) =2 x+3, તો f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. તે જોઈ શકાય છે કે f (g (x)) ≠g (f (x)), એટલે કે, બહુપદીઓની સુપરપોઝિશન f (x), g (x) અને બહુપદીઓની સુપરપોઝિશન g (x), f ( x) અલગ છે. આમ, સુપરપોઝિશન ઓપરેશનમાં વિનિમયક્ષમતા ગુણધર્મ નથી.

, શેષ સાથે વિભાજન અલ્ગોરિધમ કોઈપણ f(x), g(x) માટે, ત્યાં q(x) (ભાગાંક) અને r(x) (શેષ) છે જેમ કે f(x)=g(x)q(x)+ r(x), અને ડિગ્રી r(x)

બહુપદીના વિભાજક બહુપદી f(x) નો વિભાજક બહુપદી g(x) છે, જેમ કે f(x)=g(x)q(x). બે બહુપદીઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક f(x) અને g(x) નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક તેમનો સામાન્ય વિભાજક d(x) છે જે તેમના અન્ય સામાન્ય વિભાજકોમાંથી કોઈ પણ વડે વિભાજ્ય છે.

બહુપદી f(x) અને g(x) નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ (ક્રમિક વિભાજન અલ્ગોરિધમ) પછી f(x) અને g(x) નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે.

અપૂર્ણાંક ઘટાડવો ઉકેલ: યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને આ બહુપદીઓની gcd શોધો 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 તેથી, બહુપદી (– x2 – 3 x – 2) એ અંશની GCD છે અને આપેલ અપૂર્ણાંકનો છેદ. આ બહુપદી દ્વારા છેદને વિભાજિત કરવાનું પરિણામ જાણીતું છે.

ચાલો અંશના ભાગાકારનું પરિણામ શોધીએ. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 આમ, જવાબ:

હોર્નરની સ્કીમ બહુપદી f(x) ને શૂન્ય બહુપદી g(x) વડે શેષ સાથે વિભાજીત કરવાનો અર્થ છે f(x) સ્વરૂપ f(x)=g(x) s(x)+r(x), જ્યાં s (x ) અને r(x) બહુપદી છે અને કાં તો r(x)=0 અથવા st. r(x)

આ સંબંધની ડાબી અને જમણી બાજુના બહુપદી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે તેમના અનુરૂપ ગુણાંક સમાન છે. ચાલો પહેલા કૌંસ ખોલીને અને સમાનતાની જમણી બાજુએ સમાન પદો લાવીને તેમની સમાનતા કરીએ. આપણને મળે છે: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. યાદ કરો કે આપણે અપૂર્ણ ભાગ શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે તેના ગુણાંક અને બાકીના. ચાલો તેમને પ્રાપ્ત સમાનતાઓમાંથી વ્યક્ત કરીએ: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. અમને એવા સૂત્રો મળ્યા છે જેનો ઉપયોગ આંશિક ભાગ s (x) અને બાકીના r ના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, ગણતરીઓ નીચેના કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે; તેને હોર્નર સ્કીમ કહેવામાં આવે છે.

કોષ્ટક 1. ગુણાંક f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 ગુણાંક s (x) બાકી આ કોષ્ટકની પ્રથમ પંક્તિમાં, પ્રથમ કોષને મુક્ત રાખીને, બહુપદી f (x) ના તમામ ગુણાંકને એક પંક્તિમાં લખો. બીજી લાઇનમાં, પ્રથમ કોષમાં, c નંબર લખો. આ રેખાના બાકીના કોષો એક પછી એક અપૂર્ણ ભાગ s (x) અને બાકીના r ના ગુણાંકની ગણતરી કરીને ભરવામાં આવે છે. બીજા કોષમાં, ગુણાંક bn-1 લખો, જે આપણે સ્થાપિત કર્યું છે, તે એક સમાન છે.

દરેક અનુગામી કોષમાં ગુણાંકની ગણતરી નીચેના નિયમ અનુસાર કરવામાં આવે છે: સંખ્યા c ને અગાઉના કોષમાંની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને કોષની ઉપરની સંખ્યાને પરિણામમાં ઉમેરવામાં આવે છે. યાદ રાખવા માટે, કહો, પાંચમો કોષ, એટલે કે, તેમાં ગુણાંક શોધવા માટે, તમારે ચોથા કોષની સંખ્યા દ્વારા c ને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પરિણામમાં પાંચમા કોષની ઉપરની સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને, બહુપદી f(x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 ને x-2 દ્વારા શેષ સાથે વિભાજીત કરીએ. આ રેખાકૃતિની પ્રથમ લાઇન ભરતી વખતે, આપણે બહુપદીના શૂન્ય ગુણાંક વિશે ભૂલવું જોઈએ નહીં. તેથી, ગુણાંક f (x) એ સંખ્યાઓ 3, 0, - 5, 3, - 1 છે. અને તમારે એ પણ યાદ રાખવું જોઈએ કે અપૂર્ણ ભાગની ડિગ્રી એ બહુપદી f (x) ની ડિગ્રી કરતા એક ઓછી છે.

તેથી, અમે હોર્નરની યોજના અનુસાર વિભાજન કરીએ છીએ: કોષ્ટક 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 અમે આંશિક ભાગાંક s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 મેળવીએ છીએ. અને બાકીનું r=33. નોંધ કરો કે તે જ સમયે આપણે બહુપદી f (2) =33 ની કિંમતની ગણતરી કરી. ચાલો હવે એ જ બહુપદી f(x) ને x+2 વડે શેષ સાથે ભાગીએ. આ કિસ્સામાં c=-2. આપણને મળે છે: કોષ્ટક 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 પરિણામે, આપણી પાસે f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

બહુપદીના મૂળ c1, c2, …, cm એ બહુપદી f (x) ના જુદા જુદા મૂળ હોવા દો. પછી f (x) ને x-c1 વડે ભાગવામાં આવે છે, એટલે કે f (x) = (x-c 1) s 1 (x). ચાલો આ સમાનતામાં x=c2 મૂકીએ. આપણને f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) અને, તેથી f (c 2) =0, પછી (c2 -c1) s 1 (c 2) =0 મળે છે. પરંતુ с2≠с1, એટલે કે с2 -с1≠ 0, જેનો અર્થ થાય છે s 1 (c 2) =0. આમ, c2 એ બહુપદી s 1 (x) નું મૂળ છે. તે અનુસરે છે કે s 1 (x) એ x-c2 દ્વારા વિભાજ્ય છે, એટલે કે s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). ચાલો પરિણામી સમીકરણ s 1 (x) ને સમાનતા f (x) = (x-c 1) s 1 (x) માં બદલીએ. આપણી પાસે f(x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x) છે. છેલ્લી સમાનતામાં x=c3 મૂકીને, એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, આપણે મેળવીએ છીએ કે c3 એ બહુપદી s 2 (x) નું મૂળ છે. આનો અર્થ છે s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), અને પછી f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), વગેરે. માટે આ તર્ક ચાલુ રાખવો બાકીના મૂળ c4, c5, ..., cm, આપણે આખરે f(x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) મેળવીએ છીએ, એટલે કે, નીચે આપેલ વિધાન સાબિત થયું છે.

જો с1, с2, …, сm એ બહુપદી f(x) ના જુદા જુદા મૂળ હોય, તો f(x) ને f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x) તરીકે રજૂ કરી શકાય. ). આના પરથી એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ આવે છે. જો c1, c2, ..., cm એ બહુપદી f(x) ના જુદા જુદા મૂળ હોય, તો f(x) એ બહુપદી (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) વડે ભાગવામાં આવે છે. બિનશૂન્ય બહુપદી f (x) ના વિવિધ મૂળની સંખ્યા તેની ડિગ્રી કરતા વધારે નથી. ખરેખર, જો f(x) પાસે કોઈ મૂળ નથી, તો તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રમેય સાચું છે, કારણ કે કલા. f(x) ≥ 0. હવે ચાલો f(x) પાસે m મૂળ с1, с2, …, сm છે અને તે બધા અલગ છે. પછી, હમણાં જ જે સાબિત થયું છે તેના દ્વારા, f (x) ને (x-c1) (x -c2)…(x-cm) માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, આર્ટ. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, એટલે કે કલા. f(x)≥m, અને m એ પ્રશ્નમાં બહુપદીના મૂળની સંખ્યા છે. પરંતુ શૂન્ય બહુપદીમાં અનંતપણે ઘણા બધા મૂળ હોય છે, કારણ કે કોઈપણ x માટે તેનું મૂલ્ય 0 ની બરાબર છે. ખાસ કરીને, આ કારણોસર તેને કોઈ ચોક્કસ ડિગ્રી સૂચવવામાં આવી નથી. નીચેનું નિવેદન હમણાં જ સાબિત થયેલા પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે.

જો બહુપદી f(x) એ n કરતાં મોટી ડિગ્રીનો બહુપદી નથી અને n કરતાં વધુ મૂળ ધરાવે છે, તો f(x) એ શૂન્ય બહુપદી છે. વાસ્તવમાં, આ વિધાનની શરતો પરથી તે અનુસરે છે કે કાં તો f (x) શૂન્ય બહુપદી અથવા કલા છે. f (x) ≤n. જો આપણે ધારીએ કે બહુપદી f(x) શૂન્ય નથી, તો આર્ટ. f (x) ≤n, અને પછી f (x) પાસે વધુમાં વધુ n મૂળ છે. અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે f(x) એ બિન-શૂન્ય બહુપદી છે. f (x) અને g (x) ને મહત્તમ n ડિગ્રીના બિનશૂન્ય બહુપદી હોવા દો. જો આ બહુપદીઓ x ચલના n+1 મૂલ્યો માટે સમાન મૂલ્યો લે છે, તો f(x) =g (x).

આ સાબિત કરવા માટે, બહુપદી h (x) = f (x) - g (x) ને ધ્યાનમાં લો. તે સ્પષ્ટ છે કે કાં તો h (x) =0 અથવા st. h (x) ≤n, એટલે કે h (x) એ n કરતાં મોટી ડિગ્રીનો બહુપદી નથી. હવે c સંખ્યાને એવી રહેવા દો કે f (c) = g (c). પછી h (c) = f (c) - g (c) = 0, એટલે કે c એ બહુપદી h (x) નું મૂળ છે. તેથી, બહુપદી h (x) પાસે n+1 મૂળ છે, અને જ્યારે, હમણાં જ સાબિત થયા મુજબ, h (x) =0, એટલે કે f (x) =g (x). જો f (x) અને g (x) ચલ x ના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન મૂલ્યો લે છે, તો આ બહુપદી સમાન છે

બહુપદીના બહુવિધ મૂળ જો સંખ્યા c બહુપદી f (x) નું મૂળ હોય, તો આ બહુપદી x-c વડે વિભાજ્ય હોવાનું જાણીતું છે. એવું બની શકે છે કે f (x) એ બહુપદી x-c ની અમુક શક્તિથી પણ વિભાજ્ય છે, એટલે કે (x-c) k, k>1 વડે. આ કિસ્સામાં, c ને બહુવિધ મૂળ કહેવામાં આવે છે. ચાલો વ્યાખ્યા વધુ સ્પષ્ટ રીતે ઘડીએ. જો બહુપદી (x - c) k, k>1 (k એ કુદરતી સંખ્યા છે), પરંતુ વિભાજ્ય ન હોય તો સંખ્યા c ને બહુપદી f (x) ના ગુણાકાર k (k- ગણો મૂળ) કહેવામાં આવે છે. (x - c) k+ 1 દ્વારા. જો k=1, તો c ને સરળ મૂળ કહેવાય છે, અને જો k>1, તો તેને બહુપદી f (x) નું બહુવિધ મૂળ કહેવાય છે.

જો બહુપદી f(x) ને f(x)=(x-c)mg(x) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, m એ કુદરતી સંખ્યા છે, તો તે (x-c) m+1 વડે વિભાજ્ય છે અને જો g(x) વિભાજ્ય હોય તો જ x-s પર. હકીકતમાં, જો g(x) x-c વડે વિભાજ્ય હોય, એટલે કે g(x)=(x-c)s(x), તો f(x)=(x-c) m+1 s(x), અને આનો અર્થ f(x) થાય છે ) એ (x-c) m+1 વડે વિભાજ્ય છે. તેનાથી વિપરીત, જો f(x) (x-c) m+1 વડે વિભાજ્ય હોય, તો f(x)=(x-c) m+1 s(x). પછી (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) અને (x-c)m ઘટાડા પછી આપણને g(x)=(x-c)s(x) મળે છે. તે અનુસરે છે કે g(x) x-c વડે વિભાજ્ય છે.

ચાલો શોધી કાઢીએ, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 2 એ બહુપદી f(x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24નું મૂળ છે કે કેમ, અને જો એમ હોય તો, તેની ગુણાકાર શોધો. પ્રથમ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો હોર્નરની સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને તપાસ કરીએ કે f(x) x-2 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ. અમારી પાસે છે: કોષ્ટક 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 જેમ તમે જોઈ શકો છો, f(x) ને x-2 વડે વિભાજીત કરતી વખતે શેષ 0 બરાબર છે, એટલે કે, તે છે. x-2 વડે ભાગ્યા. મતલબ કે 2 આ બહુપદીનું મૂળ છે. વધુમાં, અમને તે f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12) મળ્યું. હવે ચાલો શોધી કાઢીએ કે f(x) (x-2) 2 પર છે કે કેમ. આ આધાર રાખે છે, જેમ આપણે હમણાં જ સાબિત કર્યું છે, બહુપદી g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x ની વિભાજ્યતા પર -12 x-2 દ્વારા.

ચાલો ફરીથી હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ: કોષ્ટક 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 અમને જાણવા મળ્યું કે g(x) એ x-2 અને g(x)=(x-2)(x-2) વડે વિભાજ્ય છે. x 3 -x 2 -5 x+6). પછી f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). તેથી f(x) (x-2)2 વડે વિભાજ્ય છે, હવે આપણે એ શોધવાની જરૂર છે કે શું f(x) (x-2)3 વડે વિભાજ્ય છે. આ કરવા માટે, ચાલો તપાસ કરીએ કે h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 એ x-2 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ: કોષ્ટક 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 આપણે શોધીએ છીએ કે h(x) ) એ x-2 વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ છે f(x) ને (x-2) 3 વડે ભાગ્યા છે અને f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

આગળ, આપણે એ જ રીતે તપાસીએ છીએ કે f(x) (x-2)4 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ, એટલે કે s(x)=x 2+x-3 x-2 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ: કોષ્ટક 7. 2 1 1 1 3 -3 3 આપણે શોધીએ છીએ કે જ્યારે s(x) ને x-2 વડે ભાગીએ ત્યારે શેષ 3 બરાબર છે, એટલે કે s(x) x-2 વડે વિભાજ્ય નથી. આનો અર્થ એ છે કે f(x) (x-2)4 વડે વિભાજ્ય નથી આમ f(x) (x-2)3 વડે વિભાજ્ય છે પરંતુ (x-2)4 વડે વિભાજ્ય નથી. તેથી, સંખ્યા 2 એ બહુપદી f(x) ના ગુણાકાર 3 નું મૂળ છે.

સામાન્ય રીતે, ગુણાકાર માટે રૂટ તપાસવાનું એક કોષ્ટકમાં કરવામાં આવે છે. આ ઉદાહરણ માટે, આ કોષ્ટક આના જેવું દેખાય છે: કોષ્ટક 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 બીજા શબ્દોમાં, હોર્નરની યોજના અનુસાર બહુપદી f (x) ના x-2 દ્વારા વિભાજન, બીજી લાઇનમાં આપણને બહુપદી g (x) ના ગુણાંક મળે છે. પછી આપણે આ બીજી લાઇનને નવી હોર્નર સિસ્ટમની પ્રથમ લાઇન ગણીએ છીએ અને g (x) ને x-2 વગેરે વડે વિભાજીત કરીએ છીએ. જ્યાં સુધી આપણને શૂન્યથી અલગ શેષ ન મળે ત્યાં સુધી અમે ગણતરીઓ ચાલુ રાખીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, મૂળની ગુણાકાર મેળવેલ શૂન્ય અવશેષોની સંખ્યા જેટલી છે. છેલ્લી બિન-શૂન્ય શેષ ધરાવતી રેખામાં f (x) ને (x-2) 3 વડે વિભાજિત કરતી વખતે ભાગના ગુણાંકનો પણ સમાવેશ થાય છે.

હવે, ગુણાકાર માટે રૂટને તપાસવા માટે માત્ર પ્રસ્તાવિત યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેની સમસ્યા હલ કરીશું. a અને b માટે બહુપદી f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 પાસે બહુવિધ 2 ના મૂળ તરીકે સંખ્યા - 2 છે? તેથી રુટ - 2 નો ગુણાકાર 2 ની બરાબર હોવો જોઈએ, પછી, જ્યારે સૂચિત યોજના અનુસાર x+2 વડે ભાગીએ ત્યારે, આપણને બે વાર 0 નો શેષ ભાગ મળવો જોઈએ, અને ત્રીજી વખત - શૂન્યથી અલગ શેષ. અમારી પાસે છે: કોષ્ટક 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

આમ, સંખ્યા - 2 એ મૂળ બહુપદીના ગુણાકાર 2 નું મૂળ છે જો અને માત્ર જો

બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ જો અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંક l/m (l, m પૂર્ણાંકો છે) પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદી f (x) નું મૂળ હોય, તો આ બહુપદીના અગ્રણી ગુણાંકને m વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને મુક્ત શબ્દ છે. 1 વડે ભાગ્યા. ખરેખર, જો f(x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, જ્યાં an, an-1, . . . , a 1, a 0 પૂર્ણાંકો છે, પછી f(l/m) =0, એટલે કે аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. ચાલો આ સમાનતાની બંને બાજુઓને mn વડે ગુણાકાર કરીએ. આપણને anln+an-1 ln-1 m+ મળે છે. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. આ anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) સૂચવે છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે પૂર્ણાંક anln m વડે વિભાજ્ય છે. પરંતુ l/m એ અફર અપૂર્ણાંક છે, એટલે કે, સંખ્યાઓ l અને m કોપ્રાઈમ છે, અને પછી, જેમ કે પૂર્ણાંકોના વિભાજ્યતાના સિદ્ધાંત પરથી જાણીતું છે, સંખ્યાઓ ln અને m પણ કોપ્રાઈમ છે. તેથી, anln એ m વડે વિભાજ્ય છે અને m એ ln થી કોપ્રાઈમ છે, જેનો અર્થ છે an m વડે વિભાજ્ય છે. ચાલો બહુપદી f(x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8 ના તર્કસંગત મૂળ શોધીએ. પ્રમેય મુજબ, આ બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ એ l/m સ્વરૂપના અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંકોમાંના છે, જ્યાં l એ મુક્ત પદ a 0=8 નો વિભાજક છે, અને m એ અગ્રણી ગુણાંક a 4=6 નો વિભાજક છે. . તદુપરાંત, જો અપૂર્ણાંક l/m નકારાત્મક હોય, તો "-" ચિહ્ન અંશને સોંપવામાં આવશે. ઉદાહરણ તરીકે, - (1/3) = (-1) /3. તેથી આપણે કહી શકીએ કે l એ સંખ્યા 8 નો વિભાજક છે, અને m એ સંખ્યા 6 નો ધન ભાજક છે.

સંખ્યા 8 ના વિભાજકો ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 હોવાથી અને સંખ્યા 6 ના ધન વિભાજકો 1, 2, 3, 6 છે, તો પ્રશ્નમાં બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ સંખ્યાઓમાં છે. ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. ચાલો યાદ કરીએ કે અમે ફક્ત અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક લખ્યા છે. આમ, અમારી પાસે વીસ નંબરો છે - મૂળ માટે "ઉમેદવારો". જે બાકી છે તે દરેકને તપાસવાનું છે અને જે ખરેખર મૂળ છે તેને પસંદ કરવાનું છે. નીચેનું પ્રમેય આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંક l/m એ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદી f (x) નું મૂળ છે, તો f (k) કોઈપણ પૂર્ણાંક k માટે l-km વડે વિભાજ્ય છે, જો કે l-km≠ 0 હોય.

આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, f(x) ને x-k વડે શેષ સાથે ભાગો. આપણને f(x)=(x-k)s(x)+f(k) મળે છે. કારણ કે f(x) પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદી છે, તેથી બહુપદી s(x), અને f(k) પૂર્ણાંક છે. ચાલો s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. પછી f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). ચાલો આ સમાનતામાં 1 x=l/m મૂકીએ. f(l/m)=0 ધ્યાનમાં લેતા, આપણને f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- મળે છે. 2+…+b 1(l/m)+b 0). છેલ્લી સમાનતાની બંને બાજુઓને mn વડે ગુણાકાર કરો: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). તે અનુસરે છે કે પૂર્ણાંક mnf (k) l-km વડે વિભાજ્ય છે. પરંતુ l અને m કોપ્રાઈમ હોવાથી, mn અને l-km પણ કોપ્રાઈમ છે, જેનો અર્થ છે f(k) l-km વડે વિભાજ્ય છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ અને, સાબિત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે તર્કસંગત મૂળ માટે શોધના વર્તુળને વધુ સંકુચિત કરીશું. ચાલો આ પ્રમેય k=1 અને k=-1 માટે લાગુ કરીએ, એટલે કે જો અફર અપૂર્ણાંક l/m એ બહુપદી f(x) નું મૂળ હોય, તો f(1)/(l-m), અને f(-1) /(l +m). અમે સરળતાથી શોધીએ છીએ કે અમારા કિસ્સામાં f(1)=-5, અને f(-1)= -15. નોંધ કરો કે તે જ સમયે આપણે ± 1 ને વિચારણામાંથી બાકાત રાખ્યું છે, તેથી, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, વચ્ચેના તર્કસંગત મૂળને શોધવું જોઈએ. ± 4/3, ± 8/3. l/m=1/2 ધ્યાનમાં લો. પછી l-m=-1 અને f(1) =-5 ને આ સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે. આગળ, l+m=3 અને f (1) =-15 પણ 3 વડે વિભાજ્ય છે. આનો અર્થ એ થાય કે મૂળ માટેના "ઉમેદવારો" વચ્ચે અપૂર્ણાંક 1/2 રહે છે.

ચાલો હવે lm=-(1/2)=(-1)/2. આ કિસ્સામાં, l-m=-3 અને f (1) =-5 એ - 3 વડે વિભાજ્ય નથી. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક -1/2 આ બહુપદીનું મૂળ હોઈ શકતું નથી, અને અમે તેને વધુ વિચારણામાંથી બાકાત રાખીએ છીએ. ચાલો ઉપર લખેલા દરેક અપૂર્ણાંક માટે તપાસ કરીએ અને જોઈએ કે જરૂરી મૂળ 1/2, ± 2/3, 2, - 4 નંબરો વચ્ચે છે. આમ, એકદમ સરળ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને, અમે તર્કસંગત માટે શોધ વિસ્તારને નોંધપાત્ર રીતે સંકુચિત કર્યો છે. પ્રશ્નમાં બહુપદીના મૂળ. સારું, બાકીના નંબરો તપાસવા માટે, અમે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીશું: કોષ્ટક 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

આપણે જોઈએ છીએ કે 1/2 એ બહુપદી f(x) અને f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) નું મૂળ છે. (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). તે સ્પષ્ટ છે કે બહુપદી f (x) ના અન્ય તમામ મૂળ બહુપદી g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 ના મૂળ સાથે સુસંગત છે, જેનો અર્થ છે કે મૂળ માટે "ઉમેદવારો" ની વધુ ચકાસણી આ બહુપદી માટે કરી શકાય છે. અમે શોધીએ છીએ: કોષ્ટક 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 અમને જાણવા મળ્યું કે જ્યારે g(x) ને x-2/3 વડે વિભાજીત કરીએ ત્યારે શેષ ભાગ - 80/9, એટલે કે 2/3 એ બહુપદી g(x) નું મૂળ નથી અને તેથી f(x) પણ નથી. આગળ આપણે શોધીએ છીએ કે - 2/3 એ બહુપદી g(x) અને g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4) નું મૂળ છે.

પછી f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). બહુપદી x 2+2 x-4 માટે વધુ ચકાસણી હાથ ધરવામાં આવી શકે છે, જે અલબત્ત, g (x) કરતાં અથવા, તેથી પણ વધુ, f (x) માટે સરળ છે. પરિણામે, આપણે શોધી કાઢ્યું છે કે નંબરો 2 અને - 4 મૂળ નથી. તેથી, બહુપદી f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 બે તર્કસંગત મૂળ ધરાવે છે: 1/2 અને - 2/3. આ પદ્ધતિ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના માત્ર તર્કસંગત મૂળ શોધવાનું શક્ય બનાવે છે. દરમિયાન, બહુપદીમાં અતાર્કિક મૂળ પણ હોઈ શકે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ઉદાહરણમાં ગણવામાં આવેલ બહુપદીના વધુ બે મૂળ છે: - 1±√ 5 (આ બહુપદી x2+2 x-4ના મૂળ છે). બહુપદીમાં તર્કસંગત મૂળ બિલકુલ ન હોઈ શકે.

જ્યારે ઉપરોક્ત સાબિત થયેલા પ્રમેયમાંથી બીજા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બહુપદી f(x) ના "ઉમેદવાર" મૂળનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, બાદમાં સામાન્ય રીતે કેસ k = ± 1 માટે વપરાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો l/m એ "ઉમેદવાર" મૂળ છે, તો પછી તપાસો કે શું f(1) અને f (-1) અનુક્રમે l-m અને l+m દ્વારા. પરંતુ એવું બની શકે છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, f(1) =0, એટલે કે 1 એ મૂળ છે, અને પછી f(1) કોઈપણ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે, અને આપણો ચેક અર્થહીન બની જાય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે f(x) ને x-1 વડે ભાગવું જોઈએ, એટલે કે f(x)=(x-1)s(x) મેળવો અને બહુપદી s(x) માટે પરીક્ષણ કરો. તે જ સમયે, આપણે એ ન ભૂલવું જોઈએ કે આપણને બહુપદી f(x)-x 1=1 નું એક મૂળ મળી ગયું છે. જો આપણે હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને, તર્કસંગત મૂળ પર બીજા પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યા પછી બાકી રહેલા મૂળ માટે "ઉમેદવારો" તપાસીએ, તો આપણે શોધીએ છીએ કે, ઉદાહરણ તરીકે, l/m એ મૂળ છે, તો તેની ગુણાકાર શોધવી જોઈએ. જો તે બરાબર છે, કહો, k, તો પછી f(x)=(x-l/m) ks (x), અને વધુ પરીક્ષણ s(x) પર કરી શકાય છે, જે ગણતરી ઘટાડે છે.

ઉકેલ. ચલ y=2 x ને બદલ્યા પછી, આપણે ઉચ્ચતમ ડિગ્રી પર એક સમાન ગુણાંક સાથે બહુપદી તરફ આગળ વધીએ છીએ. આ કરવા માટે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિને 4 વડે ગુણાકાર કરો. જો પરિણામી ફંક્શનમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો તે મુક્ત પદના વિભાજકોમાંના છે. ચાલો તેમને લખીએ: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

જ્યાં સુધી આપણે શૂન્ય પર ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી ચાલો આ બિંદુઓ પર ફંક્શન g(y) ના મૂલ્યોની ક્રમિક રીતે ગણતરી કરીએ. એટલે કે, y=-5 એ રુટ છે અને તેથી મૂળ કાર્યનું મૂળ છે. ચાલો કૉલમ (ખૂણા) નો ઉપયોગ કરીને બહુપદીને દ્વિપદી વડે ભાગીએ.

બાકીના વિભાજકોને તપાસવાનું ચાલુ રાખવું યોગ્ય નથી, કારણ કે પરિણામી ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું પરિબળ બનાવવું સરળ છે.

બહુપદીને અવયવવા માટે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો અને ન્યૂટનના દ્વિપદીનો ઉપયોગ કરીને કેટલીકવાર બહુપદીનો દેખાવ તેને પરિબળ બનાવવાનો માર્ગ સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાદા રૂપાંતરણો પછી, ગુણાંક ન્યુટનના દ્વિપદીના ગુણાંક માટે પાસ્કલના ત્રિકોણમાંથી એક લીટીમાં ગોઠવાય છે. ઉદાહરણ. બહુપદીનું પરિબળ.

ઉકેલ. ચાલો અભિવ્યક્તિને સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ: કૌંસમાંના સરવાળાના ગુણાંકનો ક્રમ સ્પષ્ટપણે સૂચવે છે કે આ છે તેથી, હવે આપણે ચોરસ સૂત્રનો તફાવત લાગુ કરીએ છીએ: બીજા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, અને બહુપદી માટે પ્રથમ કૌંસ આપણે ફરી એકવાર ચોરસ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત લાગુ કરીએ છીએ

વિએટા સૂત્રો તેના મૂળ દ્વારા બહુપદીના ગુણાંકને વ્યક્ત કરે છે. બહુપદીના મૂળ શોધવાની સાચીતા ચકાસવા તેમજ તેના આપેલ મૂળના આધારે બહુપદીની રચના કરવા માટે આ સૂત્રો વાપરવા માટે અનુકૂળ છે. ફોર્મ્યુલેશન જો બહુપદીના મૂળ હોય, તો ગુણાંક મૂળના સપ્રમાણ બહુપદીના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થાય છે, એટલે કે

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ak એ k મૂળના તમામ સંભવિત ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે. જો અગ્રણી ગુણાંક બહુપદી હોય, તો વિયેટા સૂત્ર લાગુ કરવા માટે સૌપ્રથમ બધા ગુણાંકને 0 વડે વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, વિએટા સૂત્રો અગ્રણી ગુણાંકના તમામ ગુણોત્તર માટે અભિવ્યક્તિ આપે છે. વિએટાના છેલ્લા સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે જો બહુપદીના મૂળ પૂર્ણાંક હોય, તો તે તેના મુક્ત પદના વિભાજક છે, જે પૂર્ણાંક પણ છે. બહુપદીને મૂળ દ્વારા વિસ્તરણ કરીને મેળવેલી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈને સાબિતી હાથ ધરવામાં આવે છે, તે ધ્યાનમાં લેતા કે 0 = 1 એ x ની સમાન શક્તિઓ પર ગુણાંકને સમાન કરીને, આપણે વિએટા સૂત્રો મેળવીએ છીએ.

સમીકરણ x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 ઉકેલો. ચાલો y = x 3 સૂચવીએ, પછી મૂળ સમીકરણ y 2 – 5 y + 4 = 0 સ્વરૂપ લે છે, જેને ઉકેલવાથી આપણે Y 1 = 1 મેળવીએ છીએ; Y 2 = 4. આમ, મૂળ સમીકરણ સમીકરણોના સમૂહની સમકક્ષ છે: x 3 = 1 અથવા x 3 = 4, એટલે કે X 1 = 1 અથવા X 2 = જવાબ: 1;

બેઝાઉટની પ્રમેય વ્યાખ્યા 1. એક તત્વને બહુપદીનું મૂળ કહેવામાં આવે છે જો f(c)=0. બેઝાઉટનું પ્રમેય. બહુપદી Pn(x) ને દ્વિપદી (x-a) વડે વિભાજીત કરવાનો બાકીનો ભાગ x = a પર આ બહુપદીના મૂલ્ય જેટલો છે. પુરાવો. વિભાજન અલ્ગોરિધમના આધારે, f(x)=(xc)q(x)+r(x), જ્યાં કાં તો r(x)=0, અથવા, અને તેથી. તેથી f(x)=(x-c)q(x)+r, તેથી f(c)=(c-c)q(c)+r=r, અને તેથી f(x)=(xc)q(x) +f (c).

કોરોલરી 1: બહુપદી Pn (x) ને દ્વિપદી ax+b વડે વિભાજીત કરવાનો બાકીનો ભાગ આ બહુપદીના x = -b/a, એટલે કે R=Pn (-b/a) પરના મૂલ્ય જેટલો છે. કોરોલરી 2: જો સંખ્યા a એ બહુપદી P (x) નું મૂળ છે, તો આ બહુપદી શેષ વિના (x-a) વડે વિભાજ્ય છે. કોરોલરી 3: જો બહુપદી P(x) ના જોડીમાં અલગ મૂળ a 1 , a 2 , ... , an હોય, તો તે શેષ વગરના ઉત્પાદન (x-a 1) ... (x-an) દ્વારા વિભાજિત થાય છે. કોરોલરી 4: ડિગ્રી n ના બહુપદીમાં વધુમાં વધુ n વિવિધ મૂળ હોય છે. કોરોલરી 5: કોઈપણ બહુપદી P(x) અને સંખ્યા a માટે, તફાવત (P(x)-P(a)) શેષ વિના દ્વિપદી (x-a) વડે વિભાજ્ય છે. કોરોલરી 6: સંખ્યા a એ ઓછામાં ઓછી પ્રથમ ડિગ્રીના બહુપદી P(x) નું મૂળ છે જો અને માત્ર જો P(x) શેષ વિના (x-a) વડે વિભાજ્ય હોય.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન ચાલો બતાવીએ કે કોઈપણ યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને સાદા અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિઘટિત કરી શકાય છે. યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક (1) આપવા દો.

પ્રમેય 1. ચાલો x=a સંક્ષિપ્ત k ના છેદનું મૂળ હોઈએ, એટલે કે, જ્યાં f(a)≠ 0 હોય, તો આ યોગ્ય અપૂર્ણાંકને નીચે પ્રમાણે અન્ય બે યોગ્ય અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: (2) , જ્યાં A એ શૂન્યની બરાબર નથી, અને F 1(x) એ બહુપદી છે જેની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતા ઓછી છે

જો બહુપદી

- ડિગ્રી n નો બહુપદી -

બહુપદીના તમામ ગુણાંકને પૂર્ણાંક થવા દો, અને પૂર્ણાંક a ને આ બહુપદીનું મૂળ બનવા દો. કારણ કે આ કિસ્સામાં તે અનુસરે છે કે ગુણાંકને a વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી. આ પ્રમેય વાસ્તવમાં તમને ઉચ્ચ ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે જ્યારે આ બહુપદીના ગુણાંક પૂર્ણાંકો હોય અને મૂળ એક તર્કસંગત સંખ્યા હોય. પ્રમેયને નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે: જો આપણે જાણીએ કે બહુપદીના ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે, અને તેના મૂળ તર્કસંગત છે, તો આ તર્કસંગત મૂળ ફક્ત તે જ સ્વરૂપના હોઈ શકે છે જ્યાં p સંખ્યાનો વિભાજક છે (મુક્ત શબ્દ), અને સંખ્યા q એ સંખ્યાનો વિભાજક છે (અગ્રણી ગુણાંક).

પૂર્ણાંક મૂળ પ્રમેય,સમાવતી

જો પૂર્ણાંક α એ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીનું મૂળ છે, તો α એ તેના મુક્ત પદનો વિભાજક છે.

પુરાવો. ચાલો:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેનો બહુપદી અને પૂર્ણાંક α તેનું મૂળ છે.

પછી, મૂળની વ્યાખ્યા દ્વારા, સમાનતા P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

સામાન્ય પરિબળ α ને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીને, અમે સમાનતા મેળવીએ છીએ:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , ક્યાં

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

સંખ્યાઓ a 0 , a 1 , …a n-1 , an અને α પૂર્ણાંકો હોવાથી, કૌંસમાં પૂર્ણાંક છે, અને તેથી, n એ α વડે વિભાજ્ય છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સાબિત પ્રમેય નીચે પ્રમાણે પણ ઘડી શકાય છે: પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના દરેક પૂર્ણાંક મૂળ તેના મુક્ત પદનો વિભાજક છે.
પ્રમેય પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના પૂર્ણાંક મૂળ શોધવા માટેના અલ્ગોરિધમ પર આધારિત છે: મુક્ત પદના તમામ વિભાજકો લખો અને એક પછી એક આ સંખ્યાઓના બહુપદીના મૂલ્યો લખો.

2. પૂર્ણાંક મૂળ પર વધારાનું પ્રમેય

જો પૂર્ણાંક α એ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદી P(x) નું મૂળ છે, તો α-1 એ સંખ્યા P(1) નો વિભાજક છે, α+1 એ સંખ્યા P(-1) નો વિભાજક છે.

પુરાવો.ઓળખ પરથી

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

તે અનુસરે છે કે પૂર્ણાંકો b અને c માટે, સંખ્યા bⁿ-cⁿ એ b∙c વડે વિભાજ્ય છે. પરંતુ કોઈપણ બહુપદી P માટે તફાવત

P(b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n) =

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

અને તેથી, પૂર્ણાંક ગુણાંક અને પૂર્ણાંકો b અને c સાથે બહુપદી P માટે, તફાવત P(b)-P(c) ને b-c વડે ભાગવામાં આવે છે.

પછી: b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1) માટે, જેનો અર્થ છે P(1) ને α-1 વડે ભાગવામાં આવે છે. બીજા કેસને સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે.

હોર્નર યોજના

પ્રમેય:અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક p/q ને સમીકરણનું મૂળ બનવા દો a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે =0, પછી સંખ્યા q અગ્રણી ગુણાંક a0 અને સંખ્યાનો વિભાજક છે આર મુક્ત શબ્દ a n નો વિભાજક છે.

નોંધ 1. પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના સમીકરણનું કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂળ તેના મુક્ત પદનો વિભાજક છે.

નોંધ 2.જો પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના સમીકરણનો અગ્રણી ગુણાંક 1 બરાબર હોય, તો બધા તર્કસંગત મૂળ, જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય, તો પૂર્ણાંક છે.

બહુપદીનું મૂળ.બહુપદીનું મૂળ f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n છે x = c , જેમ કે f (c)=0 .

નોંધ 3.જો x = c બહુપદીનું મૂળ , પછી બહુપદીને આ રીતે લખી શકાય છે: f(x)=(x−c)q(x) , ક્યાં બહુપદીનો ભાગ છે f(x) મોનોમિયલ દ્વારા x - c

હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીને એકવિધ વડે વિભાજિત કરી શકાય છે:

જો f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , પછી વિભાજન કરતી વખતે f (x) પર g (x) ખાનગી q(x) જેવો દેખાય છે q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , ક્યાં b 0 = a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1.બાકી આર સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે r=c b n − 1 +a n

ઉકેલ:સર્વોચ્ચ ડિગ્રીનો ગુણાંક 1 છે, તેથી સમીકરણના પૂર્ણાંક મૂળને મુક્ત શબ્દના વિભાજકોમાં જોવું આવશ્યક છે: 1; 2; 3; 4; 6; 12. હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણના પૂર્ણાંક મૂળ શોધીએ છીએ:

જો એક રુટ હોર્નરની યોજના અનુસાર પસંદ કરવામાં આવે છે. પછી તમે આના જેવું આગળ નિર્ણય કરી શકો છો x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3