બિંદુ М(x, y, z) અને બિંદુ М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz) પર u(x, y, z) ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો M અને M બિંદુઓ દ્વારા 1 વેક્ટર દોરીએ. સંકલન અક્ષ x, y, z ની દિશામાં આ વેક્ટરના ઝોકના ખૂણા અનુક્રમે a, b, g દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે. આ ખૂણાઓના કોસાઇન કહેવામાં આવે છે દિશા કોસાઇન્સવેક્ટર

ચાલો વેક્ટર પરના બિંદુઓ M અને M 1 વચ્ચેના અંતરને DS તરીકે દર્શાવીએ.

જ્યાં જથ્થા e 1 , e 2 , e 3 પર અનંત છે .

ભૌમિતિક વિચારણાઓથી તે સ્પષ્ટ છે:

આમ, ઉપરોક્ત સમાનતાને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

નોંધ કરો કે જથ્થો s સ્કેલર છે. તે માત્ર વેક્ટરની દિશા નક્કી કરે છે.

આ સમીકરણમાંથી નીચેની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે:

મર્યાદા કહેવાય છે વેક્ટરની દિશામાં u(x, y, z) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્નકોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ પર (x, y, z).

ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ઉપરોક્ત સમાનતાઓનો અર્થ સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 9.1. વેક્ટરની દિશામાં બિંદુ A(1, 2) પર z = x 2 + y 2 x ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો. B (3, 0).

ઉકેલ.સૌ પ્રથમ, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા જરૂરી છે.

અમે ફંક્શન z ના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સામાન્ય સ્વરૂપમાં શોધીએ છીએ:

બિંદુ A પર આ જથ્થાના મૂલ્યો:

વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ શોધવા માટે, અમે નીચેના રૂપાંતરણો કરીએ છીએ:

=

આપેલ વેક્ટર સાથે નિર્દેશિત મનસ્વી વેક્ટરને મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે, એટલે કે. ભિન્નતાની દિશા નક્કી કરવી.

અહીંથી આપણે વેક્ટરની દિશા કોસાઈન્સના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

કોસા = ; cosb = -

છેલ્લે આપણને મળે છે: - વેક્ટરની દિશામાં આપેલ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય.

જો અમુક ડોમેન D માં ફંક્શન u = u(x, y, z) અને અમુક વેક્ટર આપવામાં આવ્યા હોય જેના કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પરના અંદાજો અનુરૂપ બિંદુ પર ફંક્શન u ના મૂલ્યો જેટલા હોય.

,

પછી આ વેક્ટર કહેવાય છે ઢાળકાર્યો u.

આ કિસ્સામાં, તેઓ કહે છે કે D પ્રદેશમાં ગ્રેડિએન્ટ્સનું ક્ષેત્ર સ્પષ્ટ થયેલ છે.

પ્રમેય: ફંક્શન u = u(x, y, z) અને ગ્રેડિયન્ટ ફીલ્ડ આપવા દો

.

પછી અમુક વેક્ટરની દિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન વેક્ટર પર વેક્ટર ગ્રેડ્યુના પ્રક્ષેપણ સમાન છે.

પુરાવો: એક એકમ વેક્ટર અને કેટલાક ફંક્શન u = u(x, y, z) ને ધ્યાનમાં લો અને વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધો અને સ્નાતક.

આ સમાનતાની જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિ એ s ની દિશામાં u ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે.

તે. . જો વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ સ્નાતકઅને j દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તો પછી સ્કેલર ઉત્પાદનને આ વેક્ટરના મોડ્યુલી અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનના ઉત્પાદન તરીકે લખી શકાય છે. વેક્ટર એકમ છે તે હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા, એટલે કે. તેનું મોડ્યુલસ એક જેટલું છે, આપણે લખી શકીએ:

આ સમાનતાની જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિ એ વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ છે ગ્રેડ યુવેક્ટર માટે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ઢાળના ભૌમિતિક અને ભૌતિક અર્થને સમજાવવા માટે, ચાલો કહીએ કે ઢાળ એ એક વેક્ટર છે જે કોઈપણ બિંદુએ કેટલાક સ્કેલર ક્ષેત્ર u ના સૌથી ઝડપી ફેરફારની દિશા દર્શાવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, તાપમાન ઢાળ, દબાણ ઢાળ, વગેરે જેવા ખ્યાલો છે. તે. ઢાળની દિશા એ કાર્યની સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા છે.

ભૌમિતિક રજૂઆતના દૃષ્ટિકોણથી, ઢાળ ફંક્શન લેવલની સપાટી પર લંબરૂપ છે.

કેટલાક ચલોના ફંક્શનના આંશિક વ્યુત્પન્નની વિભાવનાનો પરિચય આપતા, અમે અન્ય તમામ દલીલોને યથાવત રાખીને, વ્યક્તિગત રીતે ચલોમાં વધારો કર્યો છે. ખાસ કરીને, જો આપણે બે ચલો z = f(x,y) ના ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ, તો કાં તો ચલ x ને ઇન્ક્રીમેન્ટ Δx આપવામાં આવ્યું હતું, અને પછી ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુથી સંક્રમણ થયું હતું. (x,y) કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ સુધી (x + Δx;y); અથવા ચલ y ને એક ઇન્ક્રીમેન્ટ Δy આપવામાં આવ્યું હતું, અને પછી ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y) સાથેના બિંદુથી કોઓર્ડિનેટ્સ (x; y + Δy) સાથેના બિંદુમાં સંક્રમણ થયું હતું (આકૃતિ 5.6 જુઓ. ). આમ, જે બિંદુએ આપણે ફંક્શનનું આંશિક વ્યુત્પન્ન લીધું છે તે સમતલ પરના સંકલન અક્ષોની સમાંતર દિશામાં આગળ વધ્યું છે (ક્યાં તો x-અક્ષની સમાંતર અથવા ઓર્ડિનેટની સમાંતર). ચાલો હવે તે કેસ પર વિચાર કરીએ જ્યારે દિશા આપખુદ રીતે લઈ શકાય, એટલે કે. એક સાથે અનેક ચલોને ઇન્ક્રીમેન્ટ આપવામાં આવે છે. બે ચલોના કાર્યના કિસ્સામાં, આપણે બિંદુ પર જઈશું (x + Δx; y + Δy), અને વિસ્થાપન Δ હશે l(જુઓ આકૃતિ 5.6).

આપેલ દિશામાં આગળ વધતી વખતે, z ફંક્શન Δ વધશે l z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), આપેલ દિશામાં કાર્ય z ની વૃદ્ધિ કહેવાય છે l.

z નું વ્યુત્પન્ન l` દિશામાં l બે ચલોના કાર્યો
z = f(x,y) એ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ મૂલ્ય Δ સાથે આ દિશામાં ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે. lજેમ કે બાદમાં શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે .

વ્યુત્પન્ન z l` દિશામાં કાર્યના ફેરફારના દરને દર્શાવે છે l.

ડાયરેકશનલ ડેરિવેટિવની વિભાવનાને કોઈપણ સંખ્યાના ચલ સાથેના કાર્યોમાં સામાન્ય કરી શકાય છે.

આકૃતિ 5.6 – એક બિંદુને દિશામાં ખસેડવું l

તે સાબિત કરી શકાય છે કે z l` = z x `cos α + z y `cos β, જ્યાં α અને β એ કોઓર્ડિનેટ અક્ષો સાથે બિંદુની હિલચાલની દિશા દ્વારા રચાયેલા ખૂણા છે (જુઓ આકૃતિ 5.6).

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બિંદુ પર ફંક્શન z = ln (x 2 + xy) નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ.
(3; 1) આ બિંદુથી બિંદુ તરફ જતી દિશામાં (6; -3) (આકૃતિ 5.7 જુઓ).

આ કરવા માટે, પ્રથમ બિંદુ (3; 1) પર આ ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.

નોંધ કરો કે Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ l) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ l| = 5. પછી cos α = 3/5; cos β = -4/5; z l` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.

ગ્રેડિયન્ટ ફંક્શન

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે પ્લેન પરનો વેક્ટર એ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ છે. તેની શરૂઆત અને અંત બે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી અંત કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી શરૂઆતના કોઓર્ડિનેટ્સ બાદ કરીને કરવામાં આવે છે.

વેક્ટરની વિભાવનાને n-પરિમાણીય જગ્યા સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે (બે કોઓર્ડિનેટ્સને બદલે n કોઓર્ડિનેટ્સ હશે).

ઢાળફંક્શન z = f(x 1, x 2, ...x n) નો grad z એ એક બિંદુ પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો વેક્ટર છે, એટલે કે. કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર .

તે સાબિત કરી શકાય છે કે ફંક્શનનો ઢાળ એક બિંદુ પર ફંક્શનના સ્તરની સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન z = 2x 1 + x 2 (આકૃતિ 5.8 જુઓ), કોઈપણ બિંદુ પરના ઢાળમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હશે (2; 1). વેક્ટરની શરૂઆત તરીકે કોઈપણ બિંદુને લઈને તમે તેને પ્લેન પર વિવિધ રીતે બનાવી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, તમે બિંદુ (0; 0) થી બિંદુ (2; 1), અથવા બિંદુ (1; 0) થી બિંદુ (3; 1), અથવા બિંદુ (0; 3) થી બિંદુ (2; 4) ને કનેક્ટ કરી શકો છો, અથવા તેથી વધુ. (આકૃતિ 5.8 જુઓ). આ રીતે બાંધવામાં આવેલા તમામ વેક્ટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હશે (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

આકૃતિ 5.8 થી સ્પષ્ટપણે જોવામાં આવે છે કે કાર્યનું સ્તર ઢાળની દિશામાં વધે છે, કારણ કે બાંધવામાં આવેલી સ્તર રેખાઓ સ્તરના મૂલ્યો 4 > 3 > 2ને અનુરૂપ છે.

આકૃતિ 5.8 - ફંક્શન z = 2x 1 + x 2 નો ઢાળ

ચાલો બીજા ઉદાહરણ પર વિચાર કરીએ - કાર્ય z = 1/(x 1 x 2). આ ફંક્શનનો ઢાળ હવે હંમેશા જુદા જુદા બિંદુઓ પર એકસરખો રહેશે નહીં, કારણ કે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

આકૃતિ 5.9 લેવલ 2 અને 10 માટે ફંક્શન z = 1/(x 1 x 2) ની લેવલ લાઇન બતાવે છે (સીધી રેખા 1/(x 1 x 2) = 2 એ ડોટેડ લાઇન દ્વારા દર્શાવેલ છે, અને સીધી રેખા
1/(x 1 x 2) = 10 – નક્કર રેખા).

આકૃતિ 5.9 - વિવિધ બિંદુઓ પર ફંક્શન z = 1/(x 1 x 2) ના ગ્રેડિયન્ટ્સ

ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (0.5; 1) લો અને આ બિંદુએ ઢાળની ગણતરી કરો: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). નોંધ કરો કે બિંદુ (0.5; 1) સ્તર રેખા 1/(x 1 x 2) = 2 પર આવેલું છે, કારણ કે z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. વેક્ટરને દર્શાવવા માટે ( -4; -2) આકૃતિ 5.9 માં, આપણે બિંદુ (0.5; 1) ને બિંદુ (-3.5; -1) સાથે જોડીએ છીએ, કારણ કે
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

ચાલો સમાન સ્તરની રેખા પર બીજો બિંદુ લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). ચાલો આ બિંદુએ ઢાળની ગણતરી કરીએ
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). તેને આકૃતિ 5.9 માં દર્શાવવા માટે, અમે બિંદુ (1; 0.5) ને બિંદુ (-1; -3.5) સાથે જોડીએ છીએ, કારણ કે (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

ચાલો સમાન સ્તરની રેખા પર બીજો મુદ્દો લઈએ, પરંતુ હવે માત્ર બિન-પોઝિટિવ કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટરમાં. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). આ બિંદુએ ઢાળ સમાન હશે
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). ચાલો તેને આકૃતિ 5.9 માં બિંદુ (-0.5; -1) ને બિંદુ (3.5; 1) સાથે જોડીને દર્શાવીએ, કારણ કે (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4; 2).

એ નોંધવું જોઈએ કે ત્રણેય કિસ્સાઓમાં ગણવામાં આવે છે, ઢાળ ફંક્શન સ્તરની વૃદ્ધિની દિશા દર્શાવે છે (લેવલ લાઇન 1/(x 1 x 2) = 10 > 2 તરફ).

તે સાબિત કરી શકાય છે કે ગ્રેડિયન્ટ હંમેશા આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી લેવલ લાઇન (સ્તરની સપાટી) પર લંબરૂપ હોય છે.

કાર્ય કરવા દો u = f (x, y, z)કેટલાક પ્રદેશોમાં સતત ડીઅને આ પ્રદેશમાં સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે. ચાલો વિચારણા હેઠળના વિસ્તારમાં એક બિંદુ પસંદ કરીએ M(x,y,z)અને તેમાંથી વેક્ટર દોરો એસ, દિશા કોસાઇન્સ જેમાંથી cosα, cosβ, cosγ છે. વેક્ટર પર એસ અંતરે Δ sતેની શરૂઆતથી આપણે એક બિંદુ શોધીશું એમ 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), ક્યાં

ચાલો ફંક્શનના સંપૂર્ણ વધારાની કલ્પના કરીએ fફોર્મમાં:

જ્યાં

Δ વડે ભાગ્યા પછી sઅમને મળે છે:

ત્યારથી અગાઉની સમાનતાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

ઢાળ.

વ્યાખ્યાપર ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન u = f (x, y, z)વેક્ટરની દિશામાં એસ અને નિયુક્ત થયેલ છે.

આ કિસ્સામાં, (1) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

(2)

રિમાર્ક 1. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ એ ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવનો ખાસ કેસ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે અમને મળે છે:

રીમાર્ક 2. ઉપર, બે ચલોના ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્સના ભૌમિતિક અર્થને સપાટીના આંતરછેદની રેખાઓ માટે સ્પર્શકોના કોણીય ગુણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો હતો, જે વિમાનો સાથે ફંક્શનનો ગ્રાફ છે. x = x 0અને y = y 0. એવી જ રીતે, આપણે આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને દિશામાં ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ lબિંદુ પર M(x 0, y 0)આપેલ સપાટીના આંતરછેદની રેખાના કોણીય ગુણાંક અને બિંદુમાંથી પસાર થતા વિમાન તરીકે એમ O અક્ષની સમાંતર zઅને સીધા l.

વ્યાખ્યાએક વેક્ટર કે જેના ચોક્કસ પ્રદેશના દરેક બિંદુ પર કોઓર્ડિનેટ્સ ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે u = f (x, y, z)આ બિંદુએ કહેવામાં આવે છે ઢાળકાર્યો u = f (x, y, z).

હોદ્દો: ગ્રેડ u = .

ગ્રેડિયન્ટ ગુણધર્મો.

1. કેટલાક વેક્ટરની દિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન એસ વેક્ટર ગ્રેડના પ્રક્ષેપણની બરાબર છે uવેક્ટર માટે એસ . પુરાવો. એકમ દિશા વેક્ટર એસ જેવો દેખાય છે e એસ =(cosα, cosβ, cosγ), તેથી સૂત્ર (4.7) ની જમણી બાજુ એ વેક્ટર ગ્રેડનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે uઅને ઇ એસ , એટલે કે, ઉલ્લેખિત પ્રક્ષેપણ.

2. વેક્ટરની દિશામાં આપેલ બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન એસ |grad ની બરાબર સૌથી વધુ મૂલ્ય ધરાવે છે u|, જો આ દિશા ઢાળની દિશા સાથે એકરુપ હોય. પુરાવો. ચાલો વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો દર્શાવીએ એસ અને સ્નાતક uφ દ્વારા. પછી મિલકત 1 થી તે |ગ્રેડને અનુસરે છે u|∙cosφ, (4.8) તેથી, તેનું મહત્તમ મૂલ્ય φ=0 પર પ્રાપ્ત થાય છે અને તે |grad ની બરાબર છે u|.

3. વેક્ટર ગ્રેડને લંબરૂપ વેક્ટરની દિશામાં વ્યુત્પન્ન u, શૂન્ય બરાબર છે.

પુરાવો. આ કિસ્સામાં, સૂત્રમાં (4.8)

4. જો z = f(x,y)બે ચલોનું કાર્ય છે, પછી ગ્રેડ f= સ્તર રેખા પર લંબ નિર્દેશિત f (x,y) = c,આ બિંદુ પરથી પસાર થાય છે.

કેટલાક ચલોના કાર્યોની એક્સ્ટ્રીમા. એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ. એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ. શરતી આત્યંતિક. લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ. સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો.

વ્યાખ્યા 1.ડોટ M 0 (x 0, y 0)કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુકાર્યો z = f (x, y),જો f (x o , y o) > f(x,y)બધા પોઈન્ટ માટે (x, y) એમ 0.

વ્યાખ્યા 2. ડોટ M 0 (x 0, y 0)કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુકાર્યો z = f (x, y),જો f (x o , y o) < f(x,y)બધા પોઈન્ટ માટે (x, y)બિંદુના અમુક પડોશમાંથી એમ 0.

નોંધ 1. મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓકેટલાક ચલોના કાર્યો.

ટીકા 2. કોઈપણ સંખ્યાના ચલોના કાર્ય માટે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1(એક છેડા માટે જરૂરી શરતો). જો M 0 (x 0, y 0)- કાર્યનો અંતિમ બિંદુ z = f (x, y),પછી આ બિંદુએ આ ફંક્શનના પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

પુરાવો.

ચાલો વેરીએબલની કિંમત ઠીક કરીએ ખાતે, ગણતરી y = y 0. પછી કાર્ય f (x, y 0)એક ચલનું કાર્ય હશે એક્સ, જેના માટે x = x 0આત્યંતિક બિંદુ છે. તેથી, ફર્મેટના પ્રમેય દ્વારા, અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. આ જ નિવેદન માટે સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

વ્યાખ્યા 3.અનેક ચલોના ફંક્શનના ડોમેન સાથે જોડાયેલા પોઈન્ટ કે જેના પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શૂન્ય સમાન હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે. સ્થિર બિંદુઓઆ કાર્ય.

ટિપ્પણી. આમ, અંતિમ બિંદુ માત્ર સ્થિર બિંદુઓ પર પહોંચી શકાય છે, પરંતુ તે જરૂરી નથી કે તે દરેક પર અવલોકન કરવામાં આવે.

પ્રમેય 2(એક છેડા માટે પૂરતી શરતો). બિંદુના કેટલાક પડોશમાં દો M 0 (x 0, y 0), જે કાર્યનું સ્થિર બિંદુ છે z = f (x, y),આ ફંક્શનમાં 3જી ઓર્ડર સુધી સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે. ચાલો પછી સૂચિત કરીએ:

1) f(x,y)બિંદુ પર છે એમ 0મહત્તમ જો એસી-બી² > 0, એ < 0;

2) f(x,y)બિંદુ પર છે એમ 0ન્યૂનતમ જો એસી-બી² > 0, એ > 0;

3) નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ અંતિમ નથી જો એસી-બી² < 0;

4) જો એસી-બી² = 0, વધુ સંશોધનની જરૂર છે.

ઉદાહરણ. ચાલો ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ શોધીએ z = x² - 2 xy + 2y² + 2 xસ્થિર બિંદુઓ શોધવા માટે, અમે સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ . તેથી, સ્થિર બિંદુ (-2,-1) છે. તે જ સમયે A = 2, IN = -2, સાથે= 4. પછી એસી-બી² = 4 > 0, તેથી, સ્થિર બિંદુ પર એક સીમા સુધી પહોંચે છે, એટલે કે ન્યૂનતમ (ત્યારથી એ > 0).

શરતી આત્યંતિક.

વ્યાખ્યા 4.જો કાર્ય દલીલ કરે છે f (x 1 , x 2 ,…, x n)ફોર્મમાં વધારાની શરતો દ્વારા બંધાયેલા છે mસમીકરણો ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (1)

જ્યાં ફંક્શન્સ φ i માં સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ હોય, તો સમીકરણો (1) કહેવાય છે જોડાણ સમીકરણો.

વ્યાખ્યા 5.કાર્યની આત્યંતિક f (x 1 , x 2 ,…, x n)જ્યારે શરતો (1) પૂરી થાય છે, તેને કહેવામાં આવે છે શરતી અંતિમ.

ટિપ્પણી. અમે બે ચલોના ફંક્શનના શરતી સીમાનું નીચેનું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપી શકીએ છીએ: ફંક્શનની દલીલો દો f(x,y)સમીકરણ φ દ્વારા સંબંધિત (x,y)= 0, O પ્લેનમાં કેટલાક વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે xy. આ વળાંકના દરેક બિંદુથી સમતલ O પર લંબરૂપ પુનઃનિર્માણ xyજ્યાં સુધી તે સપાટી સાથે છેદે નહીં z = f (x,y),અમે વળાંક φ ની ઉપરની સપાટી પર પડેલો અવકાશી વળાંક મેળવીએ છીએ (x,y)= 0. કાર્ય પરિણામી વળાંકના અંતિમ બિંદુઓને શોધવાનું છે, જે, અલબત્ત, સામાન્ય કિસ્સામાં કાર્યના બિનશરતી અંતિમ બિંદુઓ સાથે મેળ ખાતા નથી. f(x,y).

ચાલો પ્રથમ નીચેની વ્યાખ્યા રજૂ કરીને બે ચલોના કાર્ય માટે શરતી સીમા માટે જરૂરી શરતો નક્કી કરીએ:

વ્યાખ્યા 6.કાર્ય L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

જ્યાં λi -કેટલાક સતત છે, કહેવાય છે Lagrange કાર્ય, અને સંખ્યાઓ λi– અનિશ્ચિત લેગ્રેન્જ મલ્ટિપ્લાયર્સ.

પ્રમેય(શરતી અંતિમ માટે જરૂરી શરતો). ફંક્શનની શરતી સીમા z = f (x, y)જોડાણ સમીકરણની હાજરીમાં φ ( x, y)= 0 લેગ્રેન્જ ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ પર જ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

સ્કેલર ક્ષેત્રઅવકાશના એક ભાગને (અથવા બધી જગ્યા) કહેવામાં આવે છે, દરેક બિંદુ કે જેની સાથે અમુક સ્કેલર જથ્થાનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય અનુલક્ષે છે.

ઉદાહરણો

દરેક બિંદુ પર ચોક્કસ તાપમાન મૂલ્ય ધરાવતું શરીર એ સ્કેલર ક્ષેત્ર છે.

એક અસંગત શરીર, જેમાંથી દરેક બિંદુ ચોક્કસ ઘનતાને અનુલક્ષે છે - એક સ્કેલર ઘનતા ક્ષેત્ર.

આ બધા કિસ્સાઓમાં, સ્કેલર જથ્થા U સમય પર આધારિત નથી, પરંતુ અવકાશમાં બિંદુ M ની સ્થિતિ (કોઓર્ડિનેટ્સ) પર આધારિત છે, એટલે કે, તે ત્રણ ચલોનું કાર્ય છે, તેને કહેવામાં આવે છે. ક્ષેત્ર કાર્ય. અને તેનાથી વિપરીત, ત્રણ ચલોનું દરેક કાર્ય u=f(x, y, z)કેટલાક સ્કેલર ક્ષેત્રનો ઉલ્લેખ કરે છે.

ફ્લેટ સ્કેલર ફીલ્ડ ફંક્શન બે ચલો પર આધાર રાખે છે z=f(x, y).

સ્કેલર ક્ષેત્રનો વિચાર કરો u=f(x, y, z).

એક વેક્ટર કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ આપેલ બિંદુ પર ગણતરી કરેલ ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે તેને કહેવામાં આવે છે ઢાળઆ બિંદુ અથવા સ્કેલર ક્ષેત્રના ઢાળ પર કાર્ય.

વેક્ટર અને તેના પરના બે બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો M 0 (x 0 , y 0 , z 0)અને . ચાલો દિશામાં ફંક્શનનો વધારો શોધીએ:

દિશાસૂચક વ્યુત્પન્નજો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો નીચેની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે:

વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ ક્યાં છે; α, β, γ એ કોઓર્ડિનેટ અક્ષો સાથે વેક્ટર દ્વારા બનેલા ખૂણા છે, જો .

બે ચલોના કાર્ય માટે, આ સૂત્રો ફોર્મ લે છે:

અથવા ,

કારણ કે

એક જ બિંદુ પર ઢાળ અને દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન વચ્ચે સંબંધ છે.

પ્રમેય.ફંક્શનના ઢાળનું સ્કેલર ઉત્પાદન અને અમુક દિશાના વેક્ટર આ વેક્ટરની દિશામાં આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

.

પરિણામ.જો આ દિશા ઢાળની દિશા સાથે સુસંગત હોય તો ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવનું સૌથી મોટું મૂલ્ય હોય છે (સ્કેલર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અને તે ધારીને તેને જાતે જ યોગ્ય ઠેરવો).

તારણો:

1. ગ્રેડિયન્ટ એ આપેલ બિંદુ પર કાર્યમાં સૌથી વધુ વૃદ્ધિની દિશા દર્શાવતો વેક્ટર છે અને આ વધારાના દરની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન મોડ્યુલ ધરાવે છે:

.

2. ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ એ દિશામાં ફંક્શનના ફેરફારનો દર છે: જો , તો આ દિશામાં ફંક્શન વધે છે, જો , તો ફંક્શન ઘટે છે.

3. જો વેક્ટર એક વેક્ટર સાથે એકરુપ હોય, તો આ વેક્ટરની દિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન અનુરૂપ આંશિક વ્યુત્પન્ન સાથે મેળ ખાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો , તો .

ઉદાહરણ

કાર્ય આપેલ છે , બિંદુ A(1, 2)અને વેક્ટર.

શોધો: 1);

ઉકેલ

1) ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો અને બિંદુ A પર તેમની ગણતરી કરો.

, .

પછી .

2) વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ શોધો:

જવાબ: ; .

સાહિત્ય [ 1,2]

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો:

1. બે ચલોના કાર્યને શું કહેવાય છે, તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર?

2. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે?

3. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો ભૌમિતિક અર્થ શું છે?

4. આપેલ બિંદુ પર સ્કેલર ફીલ્ડનો ઢાળ શું છે?

5. ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવને શું કહેવાય છે?

6. બે ચલોના ફંક્શનની સીમા શોધવા માટે નિયમો ઘડવો.

વિકલ્પ 1

કાર્ય નંબર 1

એ) ; b) ;

વી) ; જી) .

કાર્ય નંબર 2સાતત્ય માટે ફંક્શનની તપાસ કરો: ફંક્શનના અસંતુલિત બિંદુઓ શોધો અને તેમનો પ્રકાર નક્કી કરો. કાર્યનો યોજનાકીય ગ્રાફ બનાવો.

કાર્ય નં.જટિલ સંખ્યા Z આપેલ. જરૂરી છે: બીજગણિત અને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપોમાં Z નંબર લખો. .

કાર્ય નંબર 4.

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

કાર્ય નંબર 5.વિભેદક કેલ્ક્યુલસ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કાર્યની તપાસ કરો અને સંશોધન પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, આલેખ બનાવો. .

કાર્ય નંબર 6.ફંક્શન z=f(x,y) આપેલ છે. તપાસો કે શું ઓળખ F≡0 ધરાવે છે?

કાર્ય નંબર 7એક ફંકશન આપ્યું Z=x 2 +xy+y 2, બિંદુ અને વેક્ટર. શોધો:

1) ગ્રેડ zબિંદુ પર એ;

2) એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન એવેક્ટરની દિશામાં .

વિકલ્પ 2

કાર્ય નંબર 1 L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કર્યા વિના કાર્યોની મર્યાદાની ગણતરી કરો.

એ) ; b) ;

વી) ; જી) .

કાર્ય નંબર 2સાતત્ય માટે ફંક્શનની તપાસ કરો: ફંક્શનના અસંતુલિત બિંદુઓ શોધો અને તેમનો પ્રકાર નક્કી કરો. કાર્યનો યોજનાકીય આલેખ બનાવો.

કાર્ય નંબર 3જટિલ સંખ્યા Z આપેલ. જરૂરી છે: બીજગણિત અને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપોમાં Z નંબર લખો.

કાર્ય નંબર 4.આ ફંક્શનના પ્રથમ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો.

દિશાસૂચક વ્યુત્પન્ન.

પ્લેનમાં જવા દો XOYબિંદુ સ્થિત છે એમ 0 (x 0 ,y 0 ). ચાલો મનસ્વી કોણ સેટ કરીએ aઅને સમાન પ્લેન પરના બિંદુઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લો, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રોમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે

x = x 0 + t cos a, y = y 0 + tપાપ a (1)

અહીં t- એક પરિમાણ જે કોઈપણ સંખ્યાની બરાબર હોઈ શકે. સૂત્રોમાંથી (1) તે નીચે મુજબ છે:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg a

આનો અર્થ એ છે કે તમામ બિંદુઓ એમ(x,y), જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાનતાને સંતોષે છે (1), બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા પર આવેલા છે એમ 0 (x 0 ,વાય 0) અને કોણનો ઘટક aધરી સાથે ઓક્સ. દરેક મૂલ્ય tએક બિંદુને અનુરૂપ છે એમ(x,y), આ રેખા પર પડેલો છે, અને સૂત્ર (1) અનુસાર બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરથી એમ 0 (x 0 ,વાય 0) અને એમ(x,y) બરાબર t. અમે આ સીધી રેખાને પરિમાણમાં વધારો દ્વારા નિર્ધારિત હકારાત્મક દિશા સાથે સંખ્યા અક્ષ તરીકે ગણી શકીએ છીએ t. ચાલો પ્રતીક દ્વારા આ ધરીની સકારાત્મક દિશા દર્શાવીએ l.

l.કાર્યનું વ્યુત્પન્ન z = f(x,y) બિંદુ પર એમ 0 (x 0 ,વાય 0)દિશામાં l નંબર કહેવાય છે

ફંક્શનના ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવને ભૌમિતિક અર્થઘટન આપી શકાય છે. જો સીધા દ્વારા l, સૂત્રો (1) દ્વારા નિર્ધારિત, એક વર્ટિકલ પ્લેન દોરો પી(હકીકતમાં, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, સમીકરણો (1) આ જ સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે), પછી આ પ્લેન કાર્યના સપાટી-ગ્રાફને છેદે છે z = f(x,y) સાથે

કેટલાક અવકાશી વળાંક એલ. બિંદુ પરના આ વળાંકના આડા સમતલ અને સ્પર્શક વચ્ચેના ખૂણાની સ્પર્શક એમ 0 (x 0 ,વાય 0) દિશામાં આ બિંદુએ કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે l.

ગાણિતિક વિશ્લેષણના કોઈપણ અભ્યાસક્રમમાં તે સાબિત થાય છે કે સૂત્ર (2) દ્વારા નિર્ધારિત દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન, સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે.

નોંધ કરો કે સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન xદિશાત્મક વ્યુત્પન્ન પણ છે. આ દિશા સમાનતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: cos a = 1; પાપ a = 0. એ જ રીતે, સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન yદિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન છે, જે શરતો cos દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે a = 0; પાપ a = 1.

સૂત્ર (3) નું વિશ્લેષણ કરતા પહેલા, અમે વેક્ટર બીજગણિત કોર્સમાંથી કેટલાક ખ્યાલો અને હકીકતો રજૂ કરીએ છીએ. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે પ્લેનમાં જવા દો XOYનિર્દેશિત સેગમેન્ટ અથવા (જે સમાન વસ્તુ છે) વેક્ટર અને બિંદુ આપેલ છે એમ 0 (x 0 ,વાય 0) તેનું પ્રારંભિક બિંદુ છે, અને એમ 1 (x 1 ,વાય 1) - અંતિમ બિંદુ. ચાલો ધરી સાથે વેક્ટરનું સંકલન નક્કી કરીએ ઓક્સસમાન સંખ્યા તરીકે x 1 ‑ x 0, અને સમકક્ષ સંખ્યા તરીકે અક્ષ સાથે સંકલન y 1 ‑ y 0 જો તમે કોઈપણ નંબરોની ઓર્ડર કરેલ જોડીનો ઉલ્લેખ કરો છો aઅને b, તો પછી આ સંખ્યાઓને પ્લેનમાં કેટલાક વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ગણી શકાય XOY, અને આ વેક્ટરની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

,

અને ઝોકના કોણની સ્પર્શક gવેક્ટરથી ધરી ઓક્સસૂત્ર tg થી નિર્ધારિત g = b/a(નોંધ કરો કે tg ની કિંમત જાણીને g, તેમજ કોઈપણ સંખ્યાની નિશાની aઅને b, આપણે કોણ નક્કી કરી શકીએ છીએ g 2 માટે સચોટ પી).

આપણે વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ તેના કોઓર્ડિનેટ્સની જોડીના સ્વરૂપમાં ફોર્મમાં લખીશું. આ રજૂઆતમાં એક લાક્ષણિક લક્ષણ છે: તે પ્લેન પર વેક્ટરનું સ્થાન નક્કી કરતું નથી XOY. તેને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ઉલ્લેખિત કરવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેના પ્રારંભિક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અથવા, જેમ કે તેને કહી શકાય, વેક્ટરના એપ્લિકેશનનો બિંદુ.

જો બે વેક્ટર આપવામાં આવે છે: અને , પછી સ્કેલર ઉત્પાદનઆમાંના વેક્ટરને નંબર કહેવામાં આવે છે ( j- વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ).

કોઈપણ વેક્ટર બીજગણિત કોર્સમાં તે સાબિત થાય છે કે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન અને આ વેક્ટરના સમાન કોઓર્ડિનેટ્સના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

અમુક વિસ્તારમાં દો જીવિમાન XOYકાર્ય ઉલ્લેખિત z = f(x,y) , જે બંને દલીલોના સંદર્ભમાં સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે.

ઢાળઅથવા ઢાળ વેક્ટર કાર્યો f(x,y)બિંદુ (x,y) પર О G એ વેક્ટર છે જે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

.

કાર્ય fવિસ્તારના દરેક બિંદુ માટે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જીઆ બિંદુથી નીકળતો ઢાળ વેક્ટર.

ચાલો હવે ફોર્મ્યુલા (3) પર પાછા ફરો. આપણે તેની જમણી બાજુને વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન તરીકે ગણી શકીએ. તેમાંથી પ્રથમ ફંક્શનનું ગ્રેડિએન્ટ વેક્ટર છે z = f(x,y) બિંદુ પર એમ 0 (x 0 ,વાય 0):

.

બીજું વેક્ટર છે . આ એક વેક્ટર છે જેની લંબાઈ 1 છે અને ઓક્સ અક્ષની બરાબર તરફ ઝોકનો કોણ છે a.

હવે આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન z = f(x,y) કોણ દ્વારા નિર્ધારિત દિશામાં aધરી તરફ નમવું ઓક્સ, બિંદુએ એમ 0 (x 0 ,વાય 0) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે

. (5)

અહીં b- વેક્ટર અને વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો જે દિશા સાથે વ્યુત્પન્ન લેવામાં આવે છે તેનો ઉલ્લેખ કરે છે. તે પણ અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે