અંતર

બિંદુથી લીટી સુધી

સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર

ભૂમિતિ, 7મો ધોરણ

એલ.એસ. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક

ઉચ્ચતમ કેટેગરીના ગણિત શિક્ષક

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "અપશિન્સકાયા મૂળભૂત માધ્યમિક શાળા"

મારી એલ પ્રજાસત્તાકનો ઓર્શા જિલ્લો

કાટખૂણે લંબાઈ એક બિંદુથી રેખા તરફ દોરવામાં આવે છે, કહેવાય છે અંતર આ બિંદુથી પ્રત્યક્ષ

એ.એન ⏊ એ

એમ є a, M N થી અલગ છે

લંબરૂપ , એક બિંદુથી રેખા તરફ દોરવામાં આવે છે, ઓછું કોઈપણ વલણ , સમાન બિંદુથી આ રેખા તરફ દોરવામાં આવે છે.

એએમ – વલણ બિંદુ A થી રેખા a સુધી દોરેલ

એ.એનએએમ

એ.એન - વલણ

એ.એનએ.એન

એ.એનએકે

એકે - વલણ

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર

એમ

બિંદુ M થી સીધી રેખા c સુધીનું અંતર છે...

એન

બિંદુ N થી રેખા c સુધીનું અંતર છે...

સાથે

બિંદુ K થી સીધી રેખા c સુધીનું અંતર છે...

કે

બિંદુ F થી સીધી રેખા c સુધીનું અંતર છે...

એફ

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર

એ.એન ⏊ એ

એ.એન= 5.2 સે.મી

વી.કે ⏊ એ

વી.કે= 2.8 સે.મી

પ્રમેય.

બે સમાંતર રેખાઓમાંથી દરેકના તમામ બિંદુઓ બીજી રેખાથી સમાન અંતરે છે

આપેલ: એ ǁ b

A є a, B є a,

સાબિત કરો: બિંદુ A અને B થી રેખા a સુધીનું અંતર સમાન છે.

એ.એન ⏊ b,BK ⏊ b

સાબિત કરો: AH = BK

Δ ANK = ΔVKA(કેમ?)

ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે AN = BK ને અનુસરે છે

સમાંતર રેખાઓમાંથી એકના મનસ્વી બિંદુથી બીજી રેખા સુધીના અંતરને આ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કહેવામાં આવે છે.

કન્વર્ઝ પ્રમેય.

આપેલ રેખાની એક બાજુ પર સ્થિત પ્લેનના તમામ બિંદુઓ અને તેનાથી સમાન અંતરે આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા પર આવેલા છે.

એ.એન ⏊ b,BK ⏊ b

AH = BK

સાબિત કરો: એબી ǁ b

Δ ANK = ΔKVA(કેમ?)

ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે … , પરંતુ આ આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ રચાય છે … , એટલે AB ǁ એન.કે

જો રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર હોય તો b અને c રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે એઅને b બરાબર 4, અને રેખાઓ વચ્ચે એઅને c બરાબર 5?

એ ǁ b ǁ c

લીટીઓ b અને a વચ્ચેનું અંતર શું છે, જો લીટીઓ b અને c વચ્ચેનું અંતર 7 છે, અને લીટીઓ વચ્ચેનું અંતર શું છે એઅને c બરાબર 2?

રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે એઅને c, જો રેખાઓ b અને c વચ્ચેનું અંતર 10 છે, અને રેખાઓ વચ્ચે bઅને a 6 બરાબર છે?

આપેલ બે સમાંતર રેખાઓથી સમાન અંતર ધરાવતા સમતલમાં તમામ બિંદુઓનો સમૂહ શું છે?

એ ǁ b

જવાબ: એક રેખા આ રેખાઓની સમાંતર અને તેમાંથી સમાન અંતરે સ્થિત છે.

આપેલ રેખાથી આપેલ અંતર પર સ્થિત પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ શું છે?

જવાબ: આપેલ રેખાની સમાંતર બે રેખાઓ અને તેની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આપેલ અંતર પર સ્થિત છે.

આ લેખમાં, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી સમસ્યા C2 ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધવાની પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. યાદ કરો કે સીધી રેખાઓ ત્રાંસી હોય છે જો તે સમાન વિમાનમાં ન હોય. ખાસ કરીને, જો એક લીટી પ્લેનમાં રહે છે, અને બીજી લીટી આ પ્લેનને એવા બિંદુએ છેદે છે જે પ્રથમ લીટી પર ન હોય, તો આવી રેખાઓ છેદે છે (આકૃતિ જુઓ).

શોધવા માટે ક્રોસિંગ લાઇન વચ્ચેનું અંતરજરૂરી:

1. છેદતી રેખાઓમાંથી એક દ્વારા પ્લેન દોરો જે બીજી છેદતી રેખાની સમાંતર હોય.
2. પરિણામી પ્લેન પર બીજી લાઇનના કોઈપણ બિંદુ પરથી લંબને છોડો. આ કાટખૂણેની લંબાઈ રેખાઓ વચ્ચે જરૂરી અંતર હશે.

ચાલો ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી સમસ્યા C2 ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ અલ્ગોરિધમનું વધુ વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીએ.

અવકાશમાં રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર

કાર્ય.એકમ સમઘન માં ABCDA 1 બી 1 સી 1 ડી 1 લીટીઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો બી.એ. 1 અને ડી.બી. 1 .

ચોખા. 1. કાર્ય માટે રેખાંકન

ઉકેલ.ક્યુબના કર્ણની મધ્યમાંથી ડી.બી. 1 (બિંદુ ઓ) રેખાની સમાંતર રેખા દોરો એ 1 બી. કિનારીઓ સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુઓ બી.સી.અને એ 1 ડી 1 તે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે એનઅને એમ. સીધું MNપ્લેનમાં આવેલું છે MNB 1 અને રેખાની સમાંતર એ 1 બી, જે આ પ્લેનમાં રહેતું નથી. આનો અર્થ એ થાય કે સીધી રેખા એ 1 બીપ્લેનની સમાંતર MNB 1 સીધી રેખા અને પ્લેનની સમાનતા પર આધારિત છે (ફિગ. 2).

ચોખા. 2. છેદતી રેખાઓ વચ્ચે જરૂરી અંતર પસંદ કરેલ રેખાના કોઈપણ બિંદુથી ચિત્રિત પ્લેન સુધીના અંતર જેટલું છે

હવે અમે રેખા પર અમુક બિંદુથી અંતર શોધી રહ્યા છીએ એ 1 બીવિમાન માટે MNB 1. આ અંતર, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ક્રોસિંગ રેખાઓ વચ્ચે જરૂરી અંતર હશે.

આ અંતર શોધવા માટે આપણે સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું. ચાલો એક લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરીએ જેથી તેનું મૂળ બિંદુ B, અક્ષ સાથે એકરુપ થાય. એક્સધાર સાથે નિર્દેશિત કરવામાં આવી હતી બી.એ., ધરી વાય- ધાર સાથે બી.સી., ધરી ઝેડ- ધાર સાથે બીબી 1 (ફિગ. 3).

ચોખા. 3. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે અમે લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પસંદ કરીએ છીએ

પ્લેનનું સમીકરણ શોધવું MNBઆ સંકલન પ્રણાલીમાં 1. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ એમ, એનઅને બી 1: અમે પરિણામી કોઓર્ડિનેટ્સને સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાંથી આપણે ત્રીજામાંથી મેળવીએ છીએ જે પછી પ્રથમમાંથી આપણે પ્રાપ્ત મૂલ્યોને સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

અમે નોંધીએ છીએ કે અન્યથા પ્લેન MNB 1 મૂળમાંથી પસાર થશે. આ સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરો અને આપણને મળે છે:

બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

આ ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને તમે અવકાશમાં રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધી શકો છો. સમજૂતી સાથે વિગતવાર ઉકેલ આપવામાં આવે છે. અવકાશમાં રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે, રેખાઓના સમીકરણનો પ્રકાર ("કેનોનિકલ" અથવા "પેરામેટ્રિક") સેટ કરો, કોષોમાં રેખાઓના સમીકરણોના ગુણાંક દાખલ કરો અને "સોલ્વ" બટન પર ક્લિક કરો.

×

ચેતવણી

બધા કોષો સાફ કરીએ?

ક્લિયર બંધ કરો

ડેટા એન્ટ્રી સૂચનાઓ.સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક (ઉદાહરણ: 487, 5, -7623, વગેરે), દશાંશ (ઉદા. 67., 102.54, વગેરે) અથવા અપૂર્ણાંક તરીકે દાખલ કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક એ/b સ્વરૂપમાં દાખલ કરવો આવશ્યક છે, જ્યાં a અને b (b>0) પૂર્ણાંકો અથવા દશાંશ સંખ્યાઓ છે. ઉદાહરણો 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, વગેરે.

અવકાશમાં રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર - સિદ્ધાંત, ઉદાહરણો અને ઉકેલો

એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવા દો ઓક્સિઝ એલ 1 અને એલ 2:

,

(2)

જ્યાં એમ 1 (x 1 , y 1 , z 1) અને એમ 2 (x 2 , y 2 , z 2) - સીધી રેખાઓ પર પડેલા બિંદુઓ એલ 1 અને એલ 2, એ q 1 ={m 1 , પી 1 , l 1) અને q 2 ={m 2 , પી 2 , l 2) - સીધી રેખાઓના દિશા વેક્ટર એલ 1 અને એલ 2, અનુક્રમે.

અવકાશમાં રેખાઓ (1) અને (2) એકરૂપ થઈ શકે છે, સમાંતર હોઈ શકે છે, છેદે છે અથવા છેદે છે. જો અવકાશમાં રેખાઓ છેદે અથવા એકરૂપ થાય, તો તેમની વચ્ચેનું અંતર શૂન્ય છે. અમે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈશું. પ્રથમ એ છે કે રેખાઓ સમાંતર છે, અને બીજું એ છે કે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે. બાકીના સામાન્ય કિસ્સાઓ છે. જો, સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરતી વખતે, આપણને શૂન્ય સમાન અંતર મળે છે, તો તેનો અર્થ એ કે આ રેખાઓ એકરૂપ છે. જો છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શૂન્ય હોય, તો આ રેખાઓ છેદે છે.

1. અવકાશમાં સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર

ચાલો રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી માટે બે પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ.

પદ્ધતિ 1. એક બિંદુથી એમ 1 સીધો એલ 1 એક વિમાન દોરો α , રેખાને લંબરૂપ એલ 2. એક બિંદુ શોધવી એમ 3 (x 3 , y 3 , y 3) પ્લેન આંતરછેદો α અને સીધા એલ 3. આવશ્યકપણે આપણે બિંદુનું પ્રક્ષેપણ શોધીએ છીએ એમ 1 સીધો એલ 2. લીટી પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે શોધવું, જુઓ. આગળ આપણે પોઈન્ટ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરીએ છીએ એમ 1 (x 1 , y 1 , z 1) અને એમ 3 (x 3 , y 3 , z 3):

સીધું એલ 2 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે એમ 2 (x 2 , y 2 , z 2)=એમ

અવેજી મૂલ્યો m 2 , પી 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 માં (5) આપણને મળે છે:

ચાલો રેખાના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ એલ 2 અને પ્લેન α , આ માટે આપણે સીધી રેખાનું પેરામેટ્રિક સમીકરણ બનાવીએ છીએ એલ 2 .

રેખાના આંતરછેદ બિંદુને શોધવા માટે એલ 2 અને પ્લેન α , ચલોની કિંમતો બદલો x, y, z(7) થી (6):

પરિણામી મૂલ્યની અવેજીમાં t(7) માં, આપણે સીધી રેખાનો આંતરછેદ બિંદુ મેળવીએ છીએ એલ 2 અને પ્લેન α :

તે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું બાકી છે એમ 1 અને એમ 3:

એલ 1 અને એલ 2 બરાબર ડી=7.2506.

પદ્ધતિ 2. રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો એલ 1 અને એલ 2 (સમીકરણો (1) અને (2)). પ્રથમ, અમે રેખાઓની સમાંતરતાને તપાસીએ છીએ એલ 1 અને એલ 2. જો સીધી રેખાઓની દિશા વેક્ટર એલ 1 અને એલ 2 કોલિનિયર છે, એટલે કે. જો ત્યાં સંખ્યા છે λ જેમ કે સમાનતા q 1 =λ q 2, પછી સીધા એલ 1 અને એલ 2 સમાંતર છે.

સમાંતર વેક્ટર વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવાની આ પદ્ધતિ વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની વિભાવના પર આધારિત છે. તે જાણીતું છે કે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનનો ધોરણ અને q 1 આ વેક્ટરો દ્વારા રચાયેલ સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર આપે છે (ફિગ. 2). એકવાર તમે સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ જાણી લો, પછી તમે સમાંતરગ્રામનું શિરોબિંદુ શોધી શકો છો ડી, વિસ્તારને આધાર દ્વારા વિભાજીત કરીને q 1 સમાંતરગ્રામ.

q 1:

.

રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એલ 1 અને એલ 2 બરાબર:

,

ઉદાહરણ 2. ચાલો પદ્ધતિ 2 નો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ 1 હલ કરીએ. રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

સીધું એલ 2 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે એમ 2 (x 2 , y 2 , z 2)=એમ 2 (8, 4, 1) અને દિશા વેક્ટર ધરાવે છે

વેક્ટર્સ q 1 અને q 2 સમરેખા છે. તેથી સીધા એલ 1 અને એલ 2 સમાંતર છે. સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે, અમે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ચાલો વેક્ટર બનાવીએ =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

ચાલો વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ અને q 1. આ કરવા માટે, અમે 3 × 3 મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ, જેની પ્રથમ પંક્તિ આધાર વેક્ટર છે i, j, k, અને બાકીની રેખાઓ વેક્ટરના તત્વોથી ભરેલી છે અને q 1:

આમ, વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનનું પરિણામ અને q 1 એ વેક્ટર હશે:

જવાબ: રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એલ 1 અને એલ 2 બરાબર ડી=7.25061.

2. અવકાશમાં ક્રોસિંગ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર

એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવા દો ઓક્સિઝઅને આ સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખાઓ આપવા દો એલ 1 અને એલ 2 (સમીકરણો (1) અને (2)).

સીધા દો એલ 1 અને એલ 2 સમાંતર નથી (અમે અગાઉના ફકરામાં સમાંતર રેખાઓની ચર્ચા કરી હતી). રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે એલ 1 અને એલ 2 તમારે સમાંતર વિમાનો બનાવવાની જરૂર છે α 1 અને α 2 જેથી તે સીધું હોય એલ 1 પ્લેન પર મૂકે છે α 1 એક સીધી એલ 2 - પ્લેનમાં α 2. પછી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એલ 1 અને એલ 2 એ વિમાનો વચ્ચેના અંતરની બરાબર છે એલ 1 અને એલ 2 (ફિગ. 3).

જ્યાં n 1 ={એ 1 , બી 1 , સી 1) - પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર α 1. પ્લેન માટે ક્રમમાં α 1 સીધી રેખામાંથી પસાર થયો એલ 1, સામાન્ય વેક્ટર n 1 દિશા વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોવું આવશ્યક છે q 1 સીધો એલ 1, એટલે કે. આ વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ:

ત્રણ સમીકરણો અને ચાર અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણો (27)−(29) ની સિસ્ટમ ઉકેલવી એ 1 , બી 1 , સી 1 , ડી 1, અને સમીકરણમાં અવેજી

વિમાનો α 1 અને α 2 સમાંતર છે, તેથી પરિણામી સામાન્ય વેક્ટર n 1 ={એ 1 , બી 1 , સી 1) અને n 2 ={એ 2 , બી 2 , સી 2) આ વિમાનો સમરેખા છે. જો આ વેક્ટર સમાન ન હોય, તો આપણે ચોક્કસ સંખ્યા વડે (31) નો ગુણાકાર કરી શકીએ જેથી પરિણામી સામાન્ય વેક્ટર n 2 સમીકરણના સામાન્ય વેક્ટર (30) સાથે એકરુપ છે.

પછી સમાંતર વિમાનો વચ્ચેનું અંતર સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

(33)

ઉકેલ. સીધું એલ 1 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે એમ 1 (x 1 , y 1 , z 1)=એમ 1 (2, 1, 4) અને દિશા વેક્ટર ધરાવે છે q 1 ={m 1 , પી 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

સીધું એલ 2 બિંદુમાંથી પસાર થાય છે એમ 2 (x 2 , y 2 , z 2)=એમ 2 (6, −1, 2) અને દિશા વેક્ટર ધરાવે છે q 2 ={m 2 , પી 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

ચાલો વિમાન બનાવીએ α 1 લાઇનમાંથી પસાર થાય છે એલ 1, સીધી રેખાની સમાંતર એલ 2 .

પ્લેન થી α 1 લાઇનમાંથી પસાર થાય છે એલ 1, પછી તે બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે એમ 1 (x 1 , y 1 , z 1)=એમ 1 (2, 1, 4) અને સામાન્ય વેક્ટર n 1 ={m 1 , પી 1 , l 1) વિમાન α દિશા વેક્ટરને 1 લંબરૂપ q 1 સીધો એલ 1. પછી પ્લેનના સમીકરણે આ સ્થિતિને સંતોષવી આવશ્યક છે:

પ્લેન થી α 1 એ રેખાની સમાંતર હોવી જોઈએ એલ 2, પછી નીચેની શરત પૂરી કરવી આવશ્યક છે:

ચાલો આ સમીકરણોને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ:

(40)

ચાલો રેખીય સમીકરણો (40) ની સિસ્ટમને સંદર્ભમાં હલ કરીએ એ 1 , બી 1 , સી 1 , ડી 1.

આ વિડિઓ પાઠ તે લોકો માટે ઉપયોગી થશે જેઓ સ્વતંત્ર રીતે વિષયનો અભ્યાસ કરવા માંગે છે “એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર. સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર." પાઠ દરમિયાન તમે એક બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે શીખી શકશો. પછી શિક્ષક સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની વ્યાખ્યા આપશે.

આ પાઠમાં આપણે ખ્યાલથી પરિચિત થઈશું "અંતર"સામાન્ય રીતે અમે ગણતરીના કિસ્સામાં પણ આ ખ્યાલનો ઉલ્લેખ કરીએ છીએ બે બિંદુઓ, એક બિંદુ અને એક રેખા, સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર

ચાલો આકૃતિ 1 જોઈએ. તે 2 પોઈન્ટ A અને B દર્શાવે છે. બે પોઈન્ટ A અને B વચ્ચેનું અંતર એ એક સેગમેન્ટ છે જે આપેલ બિંદુઓ પર સમાપ્ત થાય છે, એટલે કે સેગમેન્ટ AB

ચોખા. 1. AB - બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર

તે નોંધનીય છે કે અંતરને બે બિંદુઓને જોડતી વળાંક અથવા તૂટેલી રેખા ગણી શકાય નહીં. અંતર- આ એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધીનો સૌથી ટૂંકો રસ્તો છે. તે સેગમેન્ટ AB છે જે બિંદુઓ A અને B ને જોડતી તમામ સંભવિત રેખાઓમાં સૌથી નાની છે

આકૃતિ 2 ને ધ્યાનમાં લો, જે સીધી રેખા બતાવે છે એ,અને બિંદુ A, જે આ રેખાથી સંબંધિત નથી. બિંદુથી અંતરએ સીધી રેખા સુધીલંબરૂપ AN ની લંબાઈ હશે.

ચોખા. 2. AN - બિંદુ અને રેખા વચ્ચેનું અંતર

એ નોંધવું અગત્યનું છે કે AN એ સૌથી ટૂંકું અંતર છે, કારણ કે ત્રિકોણ AMN માં આ સેગમેન્ટ એક પગ છે, અને એક મનસ્વી અન્ય સેગમેન્ટ બિંદુ A અને રેખાને જોડે છે. એ(આ કિસ્સામાં તે AM છે) એ કર્ણ હશે. જેમ તમે જાણો છો, પગ હંમેશા કર્ણ કરતાં ઓછો હોય છે

અંતર હોદ્દો:

ચાલો વિચાર કરીએ સમાંતર રેખાઓ a અને b આકૃતિ 3 માં બતાવેલ છે

ચોખા. 3. સમાંતર રેખાઓ a અને b

ચાલો એક સીધી રેખા પર બે બિંદુઓને ઠીક કરીએ aઅને તેમાંથી કાટખૂણે તેની સમાંતર રેખા પર છોડો b. ચાલો સાબિત કરીએ કે જો,

ચાલો પુરાવાની સુવિધા માટે સેગમેન્ટ AM દોરીએ. ચાલો પરિણામી ત્રિકોણ AVM અને ANM ને ધ્યાનમાં લઈએ. ત્યારથી , અને , પછી . તેવી જ રીતે, . આ કાટકોણ ત્રિકોણ () ની એક સામાન્ય બાજુ AM છે. તે બંને ત્રિકોણમાં કર્ણ છે. કોણ AMN અને AMB એ સમાંતર સીધી રેખાઓ AB અને NM અને સેકન્ટ AM સાથે આંતરિક ક્રોસ કોણ છે. જાણીતી મિલકત અનુસાર, .

ઉપરોક્ત તમામમાંથી તે અનુસરે છે . ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે AN = BM

તેથી, અમે સાબિત કર્યું છે કે આકૃતિ 3 માં સેગમેન્ટ્સ AN અને BM સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતરતેમના સામાન્ય કાટખૂણેની લંબાઈ છે, અને કાટખૂણેની પસંદગી મનસ્વી હોઈ શકે છે. આમ,

વાતચીત પણ સાચી છે: બિંદુઓનો સમૂહ જે ચોક્કસ રેખાથી સમાન અંતરે હોય છે તે આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા બનાવે છે.

ચાલો આપણા જ્ઞાનને એકીકૃત કરીએ અને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરીએ

ઉદાહરણ 1: પાઠ્યપુસ્તક “ભૂમિતિ 7-9” માંથી સમસ્યા 272. લેખક - અતનસ્યાન એલ.એસ.

સમભુજ ત્રિકોણ ABC માં, દ્વિભાજક AD દોરવામાં આવે છે. બિંદુ D થી સીધી રેખા AC સુધીનું અંતર 6 cm છે બિંદુ A થી સીધી રેખા BC સુધીનું અંતર શોધો

ચોખા. 4. ઉદાહરણ તરીકે રેખાંકન 1

ઉકેલ:

સમભુજ ત્રિકોણ એ ત્રણ સમાન બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ છે (અને તેથી ત્રણ સમાન ખૂણા, એટલે કે 60 0 દરેક). સમબાજુ ત્રિકોણ એ સમબાજુ ત્રિકોણનો વિશેષ કેસ છે, તેથી સમબાજુ ત્રિકોણમાં રહેલા તમામ ગુણધર્મો સમબાજુ ત્રિકોણને પણ લાગુ પડે છે. તેથી, AD એ માત્ર દ્વિભાજક નથી, પણ એક ઊંચાઈ પણ છે, તેથી AD ⊥BC

બિંદુ D થી રેખા AC સુધીનું અંતર એ બિંદુ D થી રેખા AC સુધી દોરેલા લંબની લંબાઈ છે, તો DH આ અંતર છે. ત્રિકોણ AND ને ધ્યાનમાં લો. તેમાં, કોણ H = 90 0, કારણ કે DH એ AC માટે લંબ છે (બિંદુથી સીધી રેખા સુધીના અંતરની વ્યાખ્યા દ્વારા). વધુમાં, આ ત્રિકોણમાં પગ DH કોણની વિરુદ્ધ છે, તેથી AD = (cm) (ગુણધર્મ દ્વારા)

બિંદુ A થી સીધી રેખા BC સુધીનું અંતર એ સીધી રેખા BC પર પડેલા કાટખૂણેની લંબાઈ છે. સાબિત AD ⊥BC અનુસાર, તેનો અર્થ થાય છે.

જવાબ: 12 સે.મી.

ઉદાહરણ 2: પાઠ્યપુસ્તક “ભૂમિતિ 7-9” માંથી સમસ્યા 277. લેખક - અતનસ્યાન એલ.એસ.

સમાંતર રેખાઓ a અને b વચ્ચેનું અંતર 3 cm છે, અને સમાંતર રેખાઓ a અને c વચ્ચેનું અંતર 5 cm છે સમાંતર રેખાઓ b અને c વચ્ચેનું અંતર શોધો

ઉકેલ:

ચોખા. 5. ઉદાહરણ તરીકે ડ્રોઇંગ 2 (પ્રથમ કેસ)

ત્યારથી, પછી = 5 - 3 = 2 (સેમી).

જો કે, આ જવાબ અધૂરો છે. પ્લેન પર સીધી રેખાઓ શોધવાનો બીજો વિકલ્પ છે:

ચોખા. 6. ઉદાહરણ તરીકે ડ્રોઇંગ 2 (બીજો કેસ)

આ કિસ્સામાં.

1. ડિજિટલ શૈક્ષણિક સંસાધનોનો એકીકૃત સંગ્રહ ().
2. ગણિતના શિક્ષક ().

1. નંબર 280, 283. એટાનાસ્યાન એલ.એસ., બુતુઝોવ વી. એફ., કડોમત્સેવ એસ.બી., પોઝન્યાક ઇ.જી., યુદિના આઇ.આઇ. તિખોનોવ એ.એન. ભૂમિતિ ગ્રેડ 7-9 દ્વારા સંપાદિત. એમ.: જ્ઞાન. 2010
2. જમણા ત્રિકોણ SKE ના કર્ણ CE અને લેગ CK નો સરવાળો 31 cm છે, અને તેમનો તફાવત 3 cm છે શિરોબિંદુ C થી સીધી રેખા KE સુધીનું અંતર શોધો
3. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC ના AB પર આધારિત, બિંદુ M લેવામાં આવે છે, જે બાજુની બાજુઓથી સમાન છે. સાબિત કરો કે CM એ ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ છે
4. સાબિત કરો કે પ્લેનના તમામ બિંદુઓ આપેલ રેખાની એક બાજુએ સ્થિત છે અને તેમાંથી સમાન અંતરે આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા પર આવેલા છે.

પાઠની રૂપરેખા

ત્રિકોણ કોણ સમ પ્રમેય

1. પૂરું નામ: સેફેતડિનોવા ગુલનારા વાસિલેવના

2. કામનું સ્થળ: તાતારસ્તાન પ્રજાસત્તાકના તુકાયેવસ્કી જિલ્લાની મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા "કન્યાઝેવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા"

3. જોબ શીર્ષક: ગણિત શિક્ષક

4. વસ્તુ: ભૂમિતિ

5. વર્ગ: 7 મી ગ્રેડ

6. પાઠ વિષય: એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર. સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર.

7. મૂળભૂત ટ્યુટોરીયલ: ભૂમિતિ.7-9 ગ્રેડ: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ / લેખક માટે પાઠયપુસ્તક. એલ.એસ. અતાનાસ્યાન, વી.એફ. બુતુઝોવ,

એસ.બી. કડોમત્સેવ એટ અલ., 2010

8.ધ્યેયો:

પ્રવૃત્તિ ધ્યેય:સ્વતંત્ર રચના માટે શરતો બનાવવી અને ત્રાંસી અને કાટખૂણે એક બિંદુથી એક લીટી પરના ગુણધર્મોના પુરાવા, સમાંતર રેખાઓ પરના બિંદુઓના સમાન અંતર પર પ્રમેય; નવા જ્ઞાન અને પ્રવૃત્તિની પદ્ધતિઓને સમજવા, સમજવા અને શરૂઆતમાં એકીકૃત કરવા માટે વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન કરો.

શૈક્ષણિક લક્ષ્ય:

વિષય:

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે બિંદુથી એક રેખા સુધીના અંતર, રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની વિભાવનાઓને લાગુ કરો

મેટાવિષય:

નિયમનકારી UUD:

જ્ઞાનાત્મક UUD:

કોમ્યુનિકેટિવ UUD:

વ્યક્તિગત UUD:

10. શિક્ષણ પદ્ધતિઓ: સમસ્યારૂપ, સંશોધન.
11.શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓના આયોજનના સ્વરૂપો: આગળનો, જૂથ, જોડી, વ્યક્તિગત, તાલીમ માળખું.

12.સાધન, તકનીકી શરતો:

કોમ્પ્યુટર, પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન, ઈન્ટરનેટ, સોફ્ટવેર: માઈક્રોસોફ્ટ પાવર પોઈન્ટ, વર્ગ બેઠક - ટેબલ દીઠ 4 લોકો.

13.પાઠનો સમયગાળો: 45 મિનિટ

14.પાઠ યોજના

આઈ . સંસ્થાકીય ક્ષણ.

II . જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

III . પાઠનો ધ્યેય સેટ કરવો . નવી સામગ્રીનો પરિચય.

VI. સારાંશ. પ્રતિબિંબ.

આઈ . સંસ્થાકીય ક્ષણ.

લક્ષ્ય: વિદ્યાર્થીઓને કામ માટે તૈયાર કરવા, પ્રવૃત્તિઓમાં ઝડપી સમાવેશ માટે ધ્યાન સક્રિય કરવું.

શિક્ષક : હેલો, ગાય્ઝ? તમને કેવું લાગે છે? ચાલો તેને ઉભા કરીએ અને સ્મિત સાથે પાઠ શરૂ કરીએ! ચાલો આપણા જીવનસાથીના ચહેરા પર સ્મિત કરીએ! ચાલો આપણા જીવનસાથીના ખભા પર સ્મિત કરીએ!

II . જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

શિક્ષક : તમે હમણાં છ મહિનાથી ભૂમિતિના નવા વિષયનો અભ્યાસ કરી રહ્યાં છો અને તમે કદાચ જાણો છો કે પ્રમેય શું છે. તમે પુરાવાની કઈ પદ્ધતિઓ જાણો છો?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: વિરોધાભાસ દ્વારા પદ્ધતિ, રચનાત્મક પદ્ધતિ, સ્વયંસિદ્ધ અને અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેય પર આધારિત સાબિતીની પદ્ધતિ (સ્લાઇડ નંબર 2).

શિક્ષક: મિત્રો, અંતર શબ્દ સાથે તમારો શું સંબંધ છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: શહેરો વચ્ચેનું અંતર, થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર, કંઈકથી કંઈકનું અંતર (સ્લાઇડ નંબર 3).

શિક્ષક: બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: વિભાગ લંબાઈ (સ્લાઇડ નંબર 4).

શિક્ષક: ફકરા 1 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો

શિક્ષક: મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ભૂમિતિમાં, અંતર સૌથી ટૂંકા અંતરને દર્શાવે છે. ફકરા 2 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો

શિક્ષક: સીધી રેખા AN અને સીધી રેખા a ની સંબંધિત સ્થિતિ વિશે શું કહી શકાય?

શિક્ષક: આ રેખાઓ શું કહેવાય છે?

શિક્ષક: એ AN સેગમેન્ટનું નામ શું છે?

શિક્ષક: યાદ રાખો: લંબ એ એક સેગમેન્ટ છે. ફકરા 3 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો.

III. પાઠ ધ્યેય સુયોજિત.નવી સામગ્રીનો પરિચય.

શિક્ષક: વ્યવહારુ કાર્ય:

આપણે ખેતરમાં છીએ; એક રસ્તો ખેતરમાંથી પસાર થાય છે. પરિસ્થિતિનું ગાણિતિક મોડેલ દોરો. આપણે રસ્તા પર આવવાની જરૂર છે. માર્ગ દોરો (સ્લાઇડ નંબર 6).

શિક્ષક: આ બોલને ગાણિતિક ભાષામાં કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય? સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: લંબરૂપ

શિક્ષક: કેમ નહીં? -

તેને નામ આપવાનો પ્રયાસ કરો (સ્લાઇડ નંબર 7).

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: વળેલું.

શિક્ષક: આ બિંદુ પરથી કેટલી વળેલી રેખાઓ દોરી શકાય?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: પુષ્કળ.

(સ્લાઇડ નંબર 7).

શિક્ષક: તો તમને લાગે છે કે સૌથી ટૂંકો રસ્તો કાટખૂણે છે? તે સાબિત કરો.

શિક્ષક: હવે સાબિત કરો કે કોઈપણ વળેલી રેખા લંબ રેખા કરતા મોટી છે.

ચિત્રમાં આપણે શું જોઈએ છીએ?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: જમણો ત્રિકોણ (સ્લાઇડ નંબર 8).

શિક્ષક: આ ત્રિકોણમાં લંબ અને ત્રાંસી નામો શું છે? સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: પગ અને કર્ણ.

શિક્ષક: કર્ણ પગ કરતા કેમ મોટો છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: મોટા કોણની સામે મોટી બાજુ છે. કાટકોણ ત્રિકોણમાં સૌથી મોટો ખૂણો કાટખૂણો છે. તેની સામે કર્ણ આવેલું છે.

શિક્ષક. તમે સેગમેન્ટ AC ને બીજું શું કહી શકો? જો આપણે કાર્યની સામગ્રી પર પાછા આવીએ તો શું?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર .

શિક્ષક: વ્યાખ્યા બનાવો: “બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર... ફકરા 4 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો.

શિક્ષક: વ્યવહારુ કાર્ય.

બિંદુ B થી સીધી રેખા A સુધીનું અંતર શોધો ડી અનેડીસી ડ્રોઇંગ ત્રિકોણ અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને (સ્લાઇડ નં. 10) ટેક્નોલોજીકલ મેપ પોઇન્ટ 6

શિક્ષક: વ્યવહારુ કાર્ય. બે સમાંતર રેખાઓ a અને b બનાવો. રેખા a પર, બિંદુ A ને ચિહ્નિત કરો. બિંદુ A થી રેખા b પર કાટખૂણે છોડો. બિંદુ B ને કાટખૂણે પાયા પર મૂકો.

તમે સેગમેન્ટ AB વિશે શું કહી શકો? (સ્લાઇડ નંબર 11).

તે રેખા a અને રેખા b બંને માટે લંબ છે.

શિક્ષક: તેથી, તેને સામાન્ય લંબ (સ્લાઇડ નંબર 13) કહેવામાં આવે છે. ફકરા 5 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો

શિક્ષક: ફકરા 6 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો

શિક્ષક:કાર્ય. લાંબા કોરિડોરમાં ફ્લોર પર લિનોલિયમ મૂકવું જરૂરી છે. તે જાણીતું છે કે બે વિરોધી દિવાલો સમાંતર છે. કોરિડોરના એક છેડે એક સામાન્ય લંબ દોરવામાં આવ્યો હતો, અને તેની લંબાઈ 4 મીટર હોવાનું બહાર આવ્યું છે, શું તે કોરિડોરમાં અન્ય સ્થળોએ સામાન્ય લંબચોરસની લંબાઈને ફરીથી તપાસવા યોગ્ય છે? (સ્લાઇડ નંબર 14).

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: જરૂર નથી, તેમની લંબાઈ પણ 4 જેટલી હશે.

શિક્ષક: તે સાબિત કરો. પરંતુ પ્રથમ, આ પરિસ્થિતિનું ગાણિતિક મોડેલ દોરો. સાબિત કરવા માટે, પ્રકાશિત કરો શું જાણીતું છે અને શું સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સામાન્ય રીતે ભૂમિતિમાં ભાગો અને ખૂણાઓની સમાનતા કેવી રીતે સાબિત થાય છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: આ વિભાગો અને ખૂણાઓ ધરાવતા ત્રિકોણની સમાનતા દ્વારા. એક બાંધકામ સાથે આવો જે આપણને આ ત્રિકોણની સમાનતા સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે.

માળખું સિંગલરાઉન્ડરોબિન:

2. ટીમમાં ચાર વિદ્યાર્થીઓ એક વાર જવાબ આપે છે.

શિક્ષક: સમાનતા સાબિત કરો ત્રિકોણની સમાનતા દ્વારા AB અને CD વિભાગો . સાઈન બોર્ડ પર, ત્રિકોણ સમાનતા પરીક્ષણ માટેની ત્રણ શરતો લખો.

1. શિક્ષક પ્રશ્ન પૂછે છે અને વિચારવાનો સમય આપે છે

વિદ્યાર્થીઓ વધારાના બાંધકામો કરે છે, ત્રિકોણની સમાનતા સાબિત કરે છે, સેગમેન્ટ્સ AB અને CD (સ્લાઇડ નંબર 15-17) ની સમાનતા વિશે નિષ્કર્ષ દોરે છે.

શિક્ષક: સેગમેન્ટ્સ AB અને CD સમાન છે. સીધી રેખા BD ને સંબંધિત બિંદુઓ A અને C વિશે શું કહી શકાય?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: તેઓ સમાન અંતરે છે. તેઓ સમાન અંતરવાળા છે (સ્લાઇડ નંબર 18).

શિક્ષક: શું આ મિલકત કોઈ પોઈન્ટ માટે ધરાવે છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: હા

શિક્ષક: ચાલો આ ગુણધર્મની રચના કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. પ્રોપર્ટી સ્ટેટમેન્ટ શું સમાવે છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: સ્થિતિ અને નિષ્કર્ષ પરથી (સ્લાઇડ નંબર 19,20).

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: જો બિંદુઓ સમાંતર રેખાઓમાંથી એક પર સ્થિત છે, તો તે બીજી રેખાથી સમાન છે.

શિક્ષક: જોડાણ વિના આ ગુણધર્મને સંપાદિત કરો: જો, પછી (સ્લાઇડ નંબર 21).

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: સમાંતર રેખાઓમાંથી એક પર પડેલા બિંદુઓ બીજી રેખાથી સમાન અંતરે છે.

થિંક-રાઈટ-રાઉન્ડ રોબિન સ્ટ્રક્ચર:

1. શિક્ષક પ્રશ્ન પૂછે છે અને વિચારવાનો સમય આપે છે

2. વિદ્યાર્થીઓ વિચારે છે અને તેમના કાગળ પર જવાબ લખે છે

3. વિદ્યાર્થીઓ કાગળના ટુકડામાંથી તેમના જવાબ વાંચીને વારાફરતી લે છે.

શિક્ષક: કયા વિધાનને સંવાદ કહેવામાં આવે છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: જો સ્થિતિ અને નિષ્કર્ષની અદલાબદલી કરવામાં આવે.

શિક્ષક: વિપરીત વિધાન બનાવો (સ્લાઇડ નંબર 22).

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: જો બે લીટીઓમાંથી એક પર પડેલા બિંદુઓ બીજી લીટીથી સમાન હોય, તો લીટીઓ સમાંતર હોય છે.

શિક્ષક: ફકરા 7,8 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો.

શિક્ષક: શું આવા ખ્યાલને સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે?

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: હા

શિક્ષક: સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શું કહી શકાય

સંભવિત વિદ્યાર્થી જવાબો: સામાન્ય કાટખૂણેની લંબાઈ. ફકરા 5 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો.

IV. પ્રમેયની અરજી, અમલવ્યવહારુ કામ.

શિક્ષક: વ્યવહારુ કામ. સ્ટ્રીપની પહોળાઈ શોધો.

સ્ટ્રીપની પહોળાઈ કઈ ગાણિતિક ખ્યાલ છે?

શિક્ષક: આ પ્રમેય વ્યવહારિક જીવનમાં બીજે ક્યાં વપરાય છે?

VI. સારાંશ. પ્રતિબિંબ.

શિક્ષક: તમે કયા નવા ખ્યાલોથી પરિચિત થયા છો?

તમે પાઠમાં શું શીખ્યા?

જીવનમાં આપણે આ ક્યાં લાગુ કરીશું?

(સ્લાઇડ નંબર 26-28)

શિક્ષક: ફકરા 9 માં તકનીકી નકશામાં એન્ટ્રી કરો

ગૃહકાર્ય નં. 276.279 – કન્વર્ઝ પ્રમેયનો પુરાવો.

પાઠનું સ્વ-વિશ્લેષણ

લક્ષ્યો:

પ્રવૃત્તિ ધ્યેય:એક બિંદુથી સીધી રેખા પર નીચે પડેલા વલણવાળા અને લંબરૂપના ગુણધર્મોને સ્વતંત્ર રીતે ઘડવા અને સાબિત કરવા માટે શરતો બનાવો, સમાંતર રેખાઓ પરના બિંદુઓના સમાન અંતર પર પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે શરતો બનાવો; નવા જ્ઞાન અને પ્રવૃત્તિની પદ્ધતિઓને સમજવા, સમજવા અને શરૂઆતમાં એકીકૃત કરવા માટે વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન કરો.

શૈક્ષણિક લક્ષ્ય:એ જ્ઞાન વિકસાવો કે લંબ એ કોઈપણ વળાંક કરતા ઓછું હોય છે, એક બિંદુથી સીધી રેખા તરફ દોરવામાં આવે છે, બે સમાંતર રેખાઓમાંથી દરેકના તમામ બિંદુઓ બીજી સીધી રેખાથી સમાન હોય છે.

વિષય:વિદ્યાર્થીને શીખવાની તક મળશે:

વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પ્રમેય લાગુ કરો

વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિશ્લેષણ, સરખામણી, સામાન્યીકરણ, તારણો કાઢો.

મેટાવિષય:

નિયમનકારી UUD:

શૈક્ષણિક ગાણિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સ્વતંત્ર રીતે લક્ષ્યો નક્કી કરવા, પસંદ કરવા અને ગાણિતીક નિયમો બનાવવાની ક્ષમતા;

સંશોધન સમસ્યાઓ હલ કરવાના હેતુથી પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન અને અમલ કરવાની ક્ષમતા.

જ્ઞાનાત્મક UUD:

• • કારણ-અને-અસર સંબંધો સ્થાપિત કરવાની ક્ષમતા, તાર્કિક તર્ક, અનુમાન, તારણો બનાવવાની ક્ષમતા;

  • શૈક્ષણિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પૂર્વધારણાઓ આગળ મૂકવાની ક્ષમતા અને તેમને ચકાસવાની જરૂરિયાતને સમજવાની ક્ષમતા; તર્કની પ્રેરક અને આનુમાનિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિવિધ વ્યૂહરચના જોવા માટે;

  • વિજ્ઞાનની સાર્વત્રિક ભાષા તરીકે ગણિતના વિચારો અને પદ્ધતિઓ વિશે પ્રારંભિક વિચારો વિકસાવવા, ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓના મોડેલિંગના સાધન તરીકે;

  • ચિત્ર, અર્થઘટન, દલીલ માટે રેખાંકનો અને રેખાંકનોને સમજવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા.

કોમ્યુનિકેટિવ UUD:

• શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓ સાથે શૈક્ષણિક સહકાર અને સંયુક્ત પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન કરવાની ક્ષમતા, લક્ષ્યો નક્કી કરવા, સહભાગીઓના કાર્યો અને ભૂમિકાઓનું વિતરણ, કામ કરવાની સામાન્ય રીતો;

• જૂથમાં કામ કરવાની ક્ષમતા: એક સામાન્ય ઉકેલ શોધો અને સંકલન સ્થાનો પર આધારિત તકરારનું નિરાકરણ કરો અને હિતોને ધ્યાનમાં લો, ભાગીદારને સાંભળો, રચના કરો, દલીલ કરો અને કોઈના અભિપ્રાયનો બચાવ કરો.

વ્યક્તિગત UUD:

• સંયુક્ત શૈક્ષણિક અને સંશોધન પ્રવૃત્તિઓમાં સંદેશાવ્યવહાર અને સહકારમાં વાતચીત ક્ષમતાની રચના;

  મૌખિક અને લેખિત ભાષણમાં સ્પષ્ટપણે, સચોટ રીતે, નિપુણતાથી કોઈના વિચારો વ્યક્ત કરવાની ક્ષમતાનો વિકાસ, કાર્યનો અર્થ સમજવા, દલીલો બનાવવા, ઉદાહરણો અને પ્રતિસાદ આપવા;

  જટિલ વિચારસરણીનો વિકાસ, તાર્કિક રીતે ખોટા નિવેદનોને ઓળખવાની ક્ષમતા, એક પૂર્વધારણાને હકીકતથી અલગ પાડવાની ક્ષમતા;

  ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં સર્જનાત્મક વિચારસરણી, પહેલ, કોઠાસૂઝ અને પ્રવૃત્તિનો વિકાસ કરો.

પાઠના ટુકડાની રચના પ્રકારને અનુરૂપ છે - નવું જ્ઞાન શોધવાનો પાઠ. ધ્યેયો અને સામગ્રીની સામગ્રી અનુસાર, પાઠ નીચેના તબક્કાઓ અનુસાર રચાયેલ છે:

આઈ . સંસ્થાકીય ક્ષણ.

II . જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

III . પાઠનો ધ્યેય સેટ કરવો . નવી સામગ્રીનો પરિચય.

IV. પ્રમેયની અરજી, વ્યવહારુ કાર્યનું અમલીકરણ.

VI. સારાંશ.

પાઠના તમામ માળખાકીય ઘટકોને અનુસરવામાં આવ્યા હતા. શૈક્ષણિક પ્રક્રિયાનું સંગઠન પ્રવૃત્તિ પદ્ધતિ પર આધારિત છે.

પ્રથમ તબક્કાનો હેતુવિદ્યાર્થીઓને વ્યવસાયની લયમાં ઝડપથી એકીકૃત કરવાનું સરળ હતું.

બીજા તબક્કે નવી સામગ્રી પર કામ કરવા માટે જરૂરી જ્ઞાન અપડેટ કરવામાં આવ્યું હતું.

ત્રીજા તબક્કેએક બિંદુથી એક રેખા સુધીના અંતરની વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, વલણવાળી રેખાની વિભાવનાએ બાળકોને શોધ તત્વો સાથેની વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓ તરફ આકર્ષિત કર્યા. પ્રથમ, સાહજિક સ્તરે, વિદ્યાર્થીઓએ એક પૂર્વધારણા આગળ મૂકી, પછી સ્વતંત્ર રીતે કાટખૂણેની મિલકત સાબિત કરી અને એક બિંદુથી સીધી રેખા તરફ દોરેલા ત્રાંસા.

સામાન્ય રીતે, મેં પ્રારંભિક એકત્રીકરણ દરમિયાન સહિત સમગ્ર પાઠ દરમિયાન વ્યવહારિક કાર્યોનો ઉપયોગ કર્યો. તેઓ વિદ્યાર્થીઓને સ્વતંત્ર જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિ તરફ આકર્ષવામાં મદદ કરે છે અને શીખવા માટે યોગ્યતા-આધારિત અભિગમની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરે છે.

સમાંતર રેખાઓ પરના બિંદુઓના સમાન અંતર વિશેના પ્રમેયને ઘડવા અને સાબિત કરવા માટે, મેં એક સમસ્યારૂપ કાર્યનો ઉપયોગ કર્યો, જેણે વિચારણા હેઠળના પદાર્થોના ગુણધર્મો વિશેની પૂર્વધારણાની રચનામાં ફાળો આપ્યો અને ધારણાની માન્યતાના પુરાવા માટે અનુગામી શોધમાં ફાળો આપ્યો. આગળ

પ્રમેય અને પછી વિપરીત પ્રમેય ઘડવાનું કામ ગોઠવીને, મેં મારું લક્ષ્ય હાંસલ કર્યુંવિજ્ઞાનની સાર્વત્રિક ભાષા તરીકે ગણિતના વિચારો અને પદ્ધતિઓ વિશેના પ્રારંભિક વિચારોનો વિકાસ, ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગનું સાધન.

આગળના કાર્ય, વ્યક્તિગત અને જૂથ કાર્ય દ્વારા શૈક્ષણિક અને જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન કરવામાં આવ્યું હતું. આ સંસ્થાએ લક્ષ્ય હાંસલ કરવા માટે દરેક વિદ્યાર્થીને સક્રિય પ્રવૃત્તિઓમાં સામેલ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું. વિદ્યાર્થીઓએ એકબીજાને સહકાર આપ્યો, પરસ્પર સહાયતા આપી.

સમય, હું માનું છું, તર્કસંગત રીતે વહેંચવામાં આવ્યો હતો. ટૂંકા ગાળામાં, એક બિંદુથી સીધી રેખા સુધીના અંતરની વિભાવનાઓ, એક ઝોકવાળી રેખા, સમાંતર સીધી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર, બે પ્રમેય ઘડવાનું અને સાબિત કરવું અને પ્રમેયના ઉપયોગને વ્યવહારમાં ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બન્યું. .

સ્પષ્ટતા માટે, મેં પાઠ દરમિયાન પ્રસ્તુતિનો ઉપયોગ કર્યો. મેં ત્રાંસી અને કાટખૂણેની લંબાઈની સરખામણી કરવા માટે પ્રદર્શન માટે એક વિશિષ્ટ પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કર્યો, જેમાં ભૌમિતિક આકાર જીવંત બને છે. પાઠ દરમિયાન, મેં સિગ્નલ બોર્ડ પર વિદ્યાર્થીઓના કાર્યનો ઉપયોગ કર્યો, જે પાઠમાં સમાન વિદ્યાર્થીઓની સહભાગિતા, સામગ્રીના અભ્યાસ પર નિયંત્રણ અને, અલબત્ત, પાઠમાં વિદ્યાર્થીને સક્રિય કરવાની સમસ્યાઓ હલ કરે છે.

વિદ્યાર્થીઓ પાઠ દરમિયાન સક્રિય હતા, મેં પ્રમેયને સાબિત કરવા, પ્રમેય ઘડવાની રચનાત્મક પદ્ધતિ સાથે સંશોધન પ્રવૃત્તિઓ, સર્જનાત્મક પ્રવૃત્તિઓમાં તેમને સામેલ કરવામાં વ્યવસ્થાપિત કરી.

પાઠના અંતે, વિદ્યાર્થીઓએ વિષય જાતે ઘડ્યો.

પ્રતિબિંબ