રેખીય સમીકરણોની અસંગત સિસ્ટમ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો: ઉકેલ પદ્ધતિ

જ્યાં x* - અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલોમાંથી એક (2) (ઉદાહરણ તરીકે (4)), (E−A+A)મેટ્રિક્સની કર્નલ (નલ જગ્યા) બનાવે છે એ.

ચાલો મેટ્રિક્સનું હાડપિંજર વિઘટન કરીએ (E−A+A):

E−A + A=Q·S

જ્યાં પ્ર n×n−r- રેન્ક મેટ્રિક્સ (Q)=n−r, એસ n−r×n- રેન્ક મેટ્રિક્સ (S)=n−r.

પછી (13) નીચેના ફોર્મમાં લખી શકાય છે:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ આરએન-આર.

જ્યાં k=Sz.

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટેની પ્રક્રિયાસ્યુડોઇનવર્સ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

1. સ્યુડોઇનવર્સ મેટ્રિક્સની ગણતરી એ + .
2. અમે રેખીય સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના ચોક્કસ ઉકેલની ગણતરી કરીએ છીએ (2): x*=એ + b.
3. અમે સિસ્ટમની સુસંગતતા તપાસીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે ગણતરી કરીએ છીએ A.A. + b. જો A.A. + b≠b, પછી સિસ્ટમ અસંગત છે. નહિંતર, અમે પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીએ છીએ.
4. ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ E−A+A.
5. હાડપિંજરનું વિઘટન કરવું E−A + A=Q·S.
6. ઉકેલનું નિર્માણ

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ આરએન-આર.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઓનલાઇન ઉકેલવી

ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર તમને વિગતવાર સમજૂતી સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

વિવિધ પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે આર્થિક ક્ષેત્રમાં સમીકરણોની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોડક્શન મેનેજમેન્ટ અને પ્લાનિંગ, લોજિસ્ટિક્સ રૂટ્સ (ટ્રાન્સપોર્ટ પ્રોબ્લેમ) અથવા ઇક્વિપમેન્ટ પ્લેસમેન્ટની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે, જ્યારે વસ્તીનું કદ શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ બે અથવા વધુ સમીકરણો છે જેમાં અનેક ચલ હોય છે જેના માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. સંખ્યાઓનો આવો ક્રમ કે જેના માટે તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બને અથવા સાબિત કરે કે ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી.

રેખીય સમીકરણ

ax+by=c ફોર્મના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો x, y એ અજાણ્યા છે જેનું મૂલ્ય મળવું આવશ્યક છે, b, a એ ચલોના ગુણાંક છે, c એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.
કાવતરું ઘડીને સમીકરણ ઉકેલવું તે એક સીધી રેખા જેવું દેખાશે, જેનાં તમામ બિંદુઓ બહુપદીના ઉકેલો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના પ્રકાર

સૌથી સરળ ઉદાહરણો બે ચલ X અને Y સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ગણવામાં આવે છે.

F1(x, y) = 0 અને F2(x, y) = 0, જ્યાં F1,2 ફંક્શન છે અને (x, y) ફંક્શન વેરિયેબલ છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો - આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યો (x, y) શોધવા કે જેના પર સિસ્ટમ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે x અને y ના યોગ્ય મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લખેલા મૂલ્યોની જોડી (x, y), રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવાય છે.

જો સિસ્ટમમાં એક સામાન્ય ઉકેલ હોય અથવા કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ એવી પ્રણાલીઓ છે જેની જમણી બાજુ શૂન્યની બરાબર છે. જો સમાન ચિહ્ન પછીના જમણા ભાગમાં મૂલ્ય હોય અથવા ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આવી સિસ્ટમ વિજાતીય છે.

ચલોની સંખ્યા બે કરતા ઘણી વધારે હોઈ શકે છે, પછી આપણે ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણ વિશે વાત કરવી જોઈએ.

જ્યારે પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, ત્યારે શાળાના બાળકો ધારે છે કે સમીકરણોની સંખ્યા અનિવાર્યપણે અજ્ઞાતની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ, પરંતુ આવું નથી. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલ પર આધારિત નથી;

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી; બધી પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક ઉકેલો પર આધારિત છે. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ક્રમચય, બીજગણિત ઉમેરો, અવેજીકરણ, તેમજ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ જેવી પદ્ધતિઓનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

ઉકેલની પદ્ધતિઓ શીખવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય એ શીખવવાનું છે કે સિસ્ટમનું યોગ્ય રીતે વિશ્લેષણ કેવી રીતે કરવું અને દરેક ઉદાહરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ શોધવું. મુખ્ય વસ્તુ એ દરેક પદ્ધતિ માટે નિયમો અને ક્રિયાઓની સિસ્ટમને યાદ રાખવાની નથી, પરંતુ ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના સિદ્ધાંતોને સમજવાની છે.

7મા ધોરણના સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોનું નિરાકરણ એકદમ સરળ છે અને ખૂબ જ વિગતવાર સમજાવવામાં આવ્યું છે. કોઈપણ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં આ વિભાગ પર પૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ગૌસ અને ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણોને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શિક્ષણના પ્રથમ વર્ષોમાં વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

અવેજી પદ્ધતિની ક્રિયાઓનો હેતુ બીજાની દ્રષ્ટિએ એક ચલના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાનો છે. અભિવ્યક્તિને બાકીના સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, પછી તેને એક ચલ સાથેના સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યાના આધારે ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ 7 ની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ચલ x એ F(X) = 7 + Y દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી અભિવ્યક્તિ, X ની જગ્યાએ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલાઈ, 2જી સમીકરણમાં એક ચલ Y મેળવવામાં મદદ કરી. . આ ઉદાહરણને ઉકેલવું સરળ છે અને તમને Y મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ઉકેલવું હંમેશા શક્ય નથી. સમીકરણો જટિલ હોઈ શકે છે અને બીજા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં ચલને વ્યક્ત કરવું વધુ ગણતરીઓ માટે ખૂબ બોજારૂપ હશે. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ અજાણ્યા હોય, ત્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવું પણ અયોગ્ય છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ:

બીજગણિત ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલો માટે શોધ કરતી વખતે, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે અને વિવિધ સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓનું અંતિમ ધ્યેય એ એક ચલમાં સમીકરણ છે.

આ પદ્ધતિના ઉપયોગ માટે પ્રેક્ટિસ અને અવલોકન જરૂરી છે. જ્યારે 3 અથવા વધુ ચલ હોય ત્યારે વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી સરળ નથી. જ્યારે સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ હોય ત્યારે બીજગણિતીય ઉમેરો વાપરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

1. સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. અંકગણિત કામગીરીના પરિણામે, ચલના ગુણાંકમાંથી એક 1 ની બરાબર થવો જોઈએ.
2. શબ્દ દ્વારા પરિણામી અભિવ્યક્તિ શબ્દ ઉમેરો અને અજ્ઞાતમાંથી એક શોધો.
3. બાકીના ચલ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલો.

નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલની પદ્ધતિ

જો સિસ્ટમને બે કરતાં વધુ સમીકરણો માટે ઉકેલ શોધવાની જરૂર હોય તો એક નવું ચલ રજૂ કરી શકાય છે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ નવા ચલ રજૂ કરીને સમીકરણોમાંથી એકને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. નવા સમીકરણને રજૂ કરાયેલ અજાણ્યા માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી મૂલ્યનો ઉપયોગ મૂળ ચલ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ બતાવે છે કે નવું ચલ t રજૂ કરીને, સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાં ઘટાડી શકાય તેવું શક્ય હતું. તમે ભેદભાવ શોધીને બહુપદી ઉકેલી શકો છો.

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે: D = b2 - 4*a*c, જ્યાં D એ ઇચ્છિત ભેદભાવ છે, b, a, c એ બહુપદીના પરિબળો છે. આપેલ ઉદાહરણમાં, a=1, b=16, c=39, તેથી D=100. જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો હોય, તો બે ઉકેલો છે: t = -b±√D / 2*a, જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં ઓછો હોય, તો ત્યાં એક ઉકેલ છે: x = -b / 2*a.

પરિણામી સિસ્ટમો માટેનો ઉકેલ ઉમેરણ પદ્ધતિ દ્વારા મળી આવે છે.

સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિઝ્યુઅલ પદ્ધતિ

3 સમીકરણ સિસ્ટમો માટે યોગ્ય. પદ્ધતિમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક સમીકરણના ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. વણાંકોના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ હશે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ઘોંઘાટ છે. ચાલો દ્રશ્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે, દરેક લીટી માટે બે પોઈન્ટ બનાવવામાં આવ્યા હતા, x ચલના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: 0 અને 3. x ના મૂલ્યોના આધારે, y માટેના મૂલ્યો મળ્યા હતા: 3 અને 0. કોઓર્ડિનેટ્સ (0, 3) અને (3, 0) સાથેના બિંદુઓને ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને એક રેખા દ્વારા જોડાયેલા હતા.

બીજા સમીકરણ માટે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

નીચેના ઉદાહરણ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગ્રાફિકલ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે: 0.5x-y+2=0 અને 0.5x-y-1=0.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આલેખ સમાંતર છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદે નથી.

ઉદાહરણો 2 અને 3 માંથી સિસ્ટમો સમાન છે, પરંતુ જ્યારે બનાવવામાં આવે છે ત્યારે તે સ્પષ્ટ બને છે કે તેમના ઉકેલો અલગ છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે કે નહીં તે કહેવું હંમેશા શક્ય નથી;

મેટ્રિક્સ અને તેની જાતો

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંક્ષિપ્તમાં લખવા માટે થાય છે. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓથી ભરેલું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું કોષ્ટક છે. n*m માં n - પંક્તિઓ અને m - કૉલમ છે.

જ્યારે કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન હોય ત્યારે મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે. મેટ્રિક્સ-વેક્ટર એ એક કૉલમનું મેટ્રિક્સ છે જેમાં પંક્તિઓની અસંખ્ય સંભવિત સંખ્યા છે. એક કર્ણ અને અન્ય શૂન્ય તત્વો સાથેના મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ છે, જ્યારે તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે ત્યારે મૂળ એક એકમ મેટ્રિક્સમાં ફેરવાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંબંધમાં, સમીકરણોના ગુણાંક અને મુક્ત શરતો મેટ્રિક્સ નંબરો તરીકે લખવામાં આવે છે, એક સમીકરણ મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ છે.

જો પંક્તિનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક શૂન્ય ન હોય તો મેટ્રિક્સ પંક્તિ બિનશૂન્ય હોવાનું કહેવાય છે. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણોમાં ચલોની સંખ્યા અલગ હોય, તો ગુમ થયેલ અજાણ્યાની જગ્યાએ શૂન્ય દાખલ કરવું જરૂરી છે.

મેટ્રિક્સ કૉલમ ચલોને સખત રીતે અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચલ x ના ગુણાંક ફક્ત એક કૉલમમાં લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ, અજાણ્યા y નો ગુણાંક - ફક્ત બીજામાં.

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ક્રમિક રીતે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના વિકલ્પો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે: K -1 = 1 / |K|, જ્યાં K -1 એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે, અને |K| મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે. |કે| શૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે.

નિર્ણાયકને બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ માટે સરળતાથી ગણવામાં આવે છે, તમારે ફક્ત વિકર્ણ તત્વોને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. “ત્રણ બાય ત્રણ” વિકલ્પ માટે એક સૂત્ર છે |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અથવા તમે યાદ રાખી શકો છો કે તમારે દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી એક ઘટક લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને કાર્યમાં કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન ન થાય.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા

સોલ્યુશન શોધવાની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને મોટી સંખ્યામાં ચલ અને સમીકરણો સાથે સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે બોજારૂપ એન્ટ્રીઓને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણમાં, a nm એ સમીકરણોના ગુણાંક છે, મેટ્રિક્સ એ વેક્ટર છે x n ચલ છે, અને b n એ મુક્ત પદો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

ઉચ્ચ ગણિતમાં, ગૌસિયન પદ્ધતિનો ક્રેમર પદ્ધતિ સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને ગૌસ-ક્રેમર સોલ્યુશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં રેખીય સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમોના ચલોને શોધવા માટે થાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિ અવેજી અને બીજગણિત ઉમેરા દ્વારા ઉકેલો જેવી જ છે, પરંતુ વધુ વ્યવસ્થિત છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, 3 અને 4 સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનો ઉપયોગ થાય છે. પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમને ઊંધી ટ્રેપેઝોઇડના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો છે. બીજગણિત પરિવર્તન અને અવેજીના માધ્યમથી, એક ચલનું મૂલ્ય સિસ્ટમના સમીકરણોમાંના એકમાં જોવા મળે છે. બીજું સમીકરણ 2 અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યારે 3 અને 4 અનુક્રમે 3 અને 4 ચલ સાથે છે.

સિસ્ટમને વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી, વધુ ઉકેલને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં જાણીતા ચલોના અનુક્રમિક અવેજીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ગ્રેડ 7 માટે શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્ટેપ (3) પર બે સમીકરણો પ્રાપ્ત થયા: 3x 3 -2x 4 =11 અને 3x 3 +2x 4 =7. કોઈપણ સમીકરણો ઉકેલવાથી તમે એક ચલ x n શોધી શકશો.

પ્રમેય 5, જે ટેક્સ્ટમાં ઉલ્લેખિત છે, તે જણાવે છે કે જો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને સમકક્ષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો પરિણામી સિસ્ટમ પણ મૂળ સમકક્ષ હશે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ મધ્યમ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમજવી મુશ્કેલ છે, પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગોમાં અદ્યતન શિક્ષણ કાર્યક્રમોમાં નોંધાયેલા બાળકોની ચાતુર્ય વિકસાવવાની તે સૌથી રસપ્રદ રીતો પૈકીની એક છે.

રેકોર્ડીંગની સરળતા માટે, ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:

સમીકરણો અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની દરેક પંક્તિ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને અનુરૂપ હોય છે. સમીકરણની ડાબી બાજુને જમણી બાજુથી અલગ કરે છે. રોમન અંકો સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

પ્રથમ, જેની સાથે કામ કરવું છે તે મેટ્રિક્સ લખો, પછી એક પંક્તિ સાથે કરવામાં આવેલી બધી ક્રિયાઓ. પરિણામી મેટ્રિક્સ "તીર" ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે અને પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી જરૂરી બીજગણિત કામગીરી ચાલુ રાખવામાં આવે છે.

પરિણામ એક મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ જેમાં એક કર્ણ 1 ની બરાબર હોય, અને અન્ય તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે, મેટ્રિક્સને એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.

આ રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ ઓછી બોજારૂપ છે અને અસંખ્ય અજાણ્યાઓને સૂચિબદ્ધ કરીને તમને વિચલિત ન થવા દે છે.

કોઈપણ ઉકેલ પદ્ધતિના મફત ઉપયોગ માટે કાળજી અને કેટલાક અનુભવની જરૂર પડશે. બધી પદ્ધતિઓ લાગુ પ્રકૃતિની નથી. ઉકેલો શોધવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના ચોક્કસ ક્ષેત્રમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, જ્યારે અન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

આ પાઠમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ જોઈશું. ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને અલગ-અલગ કાર્યોના રૂપમાં ઉકેલવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, "ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો" અને અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા દરમિયાન. ઉચ્ચ ગણિતની લગભગ તમામ શાખાઓમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે.

પ્રથમ, થોડો સિદ્ધાંત. આ કિસ્સામાં ગાણિતિક શબ્દ "રેખીય" નો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણો બધાચલો સમાવેશ થાય છે પ્રથમ ડિગ્રીમાં: કોઈપણ ફેન્સી સામગ્રી વગર વગેરે, જેનાથી માત્ર ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સમાં ભાગ લેનારા જ ખુશ છે.

ઉચ્ચ ગણિતમાં, માત્ર બાળપણથી જ પરિચિત અક્ષરોનો ઉપયોગ ચલોને દર્શાવવા માટે થતો નથી.
એકદમ લોકપ્રિય વિકલ્પ એ અનુક્રમણિકાઓ સાથેના ચલો છે: .
અથવા લેટિન મૂળાક્ષરોના પ્રારંભિક અક્ષરો, નાના અને મોટા:
તે ગ્રીક અક્ષરો શોધવાનું એટલું દુર્લભ નથી: - ઘણા લોકો "આલ્ફા, બીટા, ગામા" તરીકે જાણીતા છે. અને સૂચકાંકો સાથેનો સમૂહ પણ, કહો, "mu" અક્ષર સાથે:

અક્ષરોના એક અથવા બીજા સમૂહનો ઉપયોગ ઉચ્ચ ગણિતના વિભાગ પર આધાર રાખે છે જેમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામનો કરીએ છીએ. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અવિભાજ્ય અને વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં, સંકેતનો ઉપયોગ કરવો પરંપરાગત છે.

પરંતુ ચલોને કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે તે કોઈ બાબત નથી, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટેના સિદ્ધાંતો, પદ્ધતિઓ અને પદ્ધતિઓ બદલાતી નથી. આમ, જો તમને ડરામણી જેવી કોઈ વસ્તુ મળે, તો ડરીને સમસ્યાનું પુસ્તક બંધ કરવા ઉતાવળ ન કરો, છેવટે, તમે તેના બદલે સૂર્ય, તેના બદલે પક્ષી અને તેના બદલે ચહેરો (શિક્ષક) દોરી શકો છો. અને, રમુજી લાગે છે તેમ, આ સંકેતો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પણ ઉકેલી શકાય છે.

મને લાગે છે કે લેખ ખૂબ લાંબો હશે, તેથી સામગ્રીનું એક નાનું કોષ્ટક. તેથી, ક્રમિક "ડિબ્રીફિંગ" આના જેવું હશે:

- અવેજી પદ્ધતિ ("શાળા પદ્ધતિ") નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી;
- સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરા (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને ઉકેલવી;
- ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો ઉકેલ;
- વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી;
- ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું નિરાકરણ.

દરેક વ્યક્તિ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાંથી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોથી પરિચિત છે. આવશ્યકપણે, અમે પુનરાવર્તન સાથે પ્રારંભ કરીએ છીએ.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

આ પદ્ધતિને "શાળા પદ્ધતિ" અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહી શકાય. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, તેને "અપૂર્ણ ગૌસીયન પદ્ધતિ" પણ કહી શકાય.

ઉદાહરણ 1

અહીં આપણને બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે. નોંધ કરો કે મફત શબ્દો (સંખ્યા 5 અને 7) સમીકરણની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેઓ ડાબી બાજુ કે જમણી બાજુ ક્યાં છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, તે માત્ર એટલું જ છે કે ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યાઓમાં તેઓ ઘણીવાર તે રીતે સ્થિત હોય છે. અને જો જરૂરી હોય તો આવા રેકોર્ડિંગથી મૂંઝવણ ન થવી જોઈએ, સિસ્ટમ હંમેશા "હંમેશની જેમ" લખી શકાય છે: . ભૂલશો નહીં કે જ્યારે કોઈ શબ્દને ભાગથી બીજા ભાગમાં ખસેડો, ત્યારે તેને તેની નિશાની બદલવાની જરૂર છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાનો અર્થ શું છે? સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના ઘણા ઉકેલો શોધવા. સિસ્ટમનું સોલ્યુશન એ તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ છે, જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે. વધુમાં, સિસ્ટમ હોઈ શકે છે બિન-સંયુક્ત (કોઈ ઉકેલ નથી).શરમાશો નહીં, આ એક સામાન્ય વ્યાખ્યા છે =) આપણી પાસે માત્ર એક "x" મૂલ્ય અને એક "y" મૂલ્ય હશે, જે દરેક c-we સમીકરણને સંતોષે છે.

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે એક ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ છે, જેનાથી તમે તમારી જાતને વર્ગમાં પરિચિત કરી શકો છો. રેખા સાથેની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ. ત્યાં મેં વાત કરી ભૌમિતિક અર્થમાંબે અજ્ઞાત સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. પરંતુ હવે આ બીજગણિત, અને સંખ્યાઓ-સંખ્યાઓ, ક્રિયાઓ-ક્રિયાઓનો યુગ છે.

ચાલો નક્કી કરીએ: પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ:
અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ, સમાન શબ્દો ઉમેરીએ છીએ અને મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

આગળ, અમને યાદ છે કે અમે શા માટે નૃત્ય કર્યું:
આપણે મૂલ્ય પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, જે બાકી છે તે શોધવાનું છે:

જવાબ આપો:

સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમ કોઈપણ રીતે હલ થઈ જાય પછી, હું તપાસવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું (મૌખિક રીતે, ડ્રાફ્ટ પર અથવા કેલ્ક્યુલેટર પર). સદનસીબે, આ સરળતાથી અને ઝડપથી થાય છે.

1) મળેલા જવાબને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

2) મળેલા જવાબને બીજા સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

અથવા, વધુ સરળ રીતે કહીએ તો, "બધું એકસાથે આવ્યું"

ઉકેલની માનવામાં આવતી પદ્ધતિ માત્ર એક જ નથી જે પ્રથમ સમીકરણથી વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું, અને નહીં.
તમે તેનાથી વિરુદ્ધ કરી શકો છો - બીજા સમીકરણમાંથી કંઈક વ્યક્ત કરો અને તેને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે ચાર પદ્ધતિઓમાંથી સૌથી વધુ ગેરલાભ એ બીજા સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરવાનું છે:

પરિણામ અપૂર્ણાંક છે, પણ શા માટે? ત્યાં વધુ તર્કસંગત ઉકેલ છે.

જો કે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં તમે હજી પણ અપૂર્ણાંક વિના કરી શકતા નથી. આ સંદર્ભમાં, મેં અભિવ્યક્તિ કેવી રીતે લખી તે તરફ હું તમારું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. આના જેવું નથી: અને કોઈ પણ સંજોગોમાં આના જેવું નથી: .

જો ઉચ્ચ ગણિતમાં તમે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છો, તો પછી બધી ગણતરીઓ સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં કરવાનો પ્રયાસ કરો.

બરાબર, અને નહીં અથવા!

અલ્પવિરામનો ઉપયોગ ફક્ત ક્યારેક જ થઈ શકે છે, ખાસ કરીને જો તે કોઈ સમસ્યાનો અંતિમ જવાબ હોય, અને આ નંબર સાથે આગળ કોઈ ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર નથી.

ઘણા વાચકોએ કદાચ વિચાર્યું કે "સુધારણા વર્ગ માટે આટલી વિગતવાર સમજૂતી શા માટે, બધું સ્પષ્ટ છે." આ પ્રકારનું કંઈ નથી, તે આવા સરળ શાળાના ઉદાહરણ જેવું લાગે છે, પરંતુ ઘણા બધા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ તારણો છે! અહીં બીજું એક છે:

તમારે કોઈપણ કાર્યને સૌથી તર્કસંગત રીતે પૂર્ણ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. જો માત્ર એટલા માટે કે તે સમય અને ચેતાને બચાવે છે, અને ભૂલ કરવાની સંભાવના પણ ઘટાડે છે.

જો ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યામાં તમે બે અજાણ્યા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં આવો છો, તો તમે હંમેશા અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો (જ્યાં સુધી તે સૂચવવામાં ન આવે કે સિસ્ટમને બીજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવાની જરૂર છે). કે તમે સકર છો અને “શાળા પદ્ધતિ” નો ઉપયોગ કરવા બદલ તમારો ગ્રેડ ઘટાડશો
તદુપરાંત, કેટલાક કિસ્સાઓમાં મોટી સંખ્યામાં ચલો સાથે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2

ત્રણ અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનું અભિન્ન અંગ શોધીએ છીએ ત્યારે અનિશ્ચિત ગુણાંકની કહેવાતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમ ઘણીવાર ઊભી થાય છે. પ્રશ્નમાં રહેલી સિસ્ટમ મારા દ્વારા ત્યાંથી લેવામાં આવી હતી.

જ્યારે અભિન્ન શોધો, ત્યારે ધ્યેય છે ઝડપીક્રેમરના સૂત્રો, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ વગેરેનો ઉપયોગ કરવાને બદલે ગુણાંકના મૂલ્યો શોધો. તેથી, આ કિસ્સામાં, અવેજી પદ્ધતિ યોગ્ય છે.

જ્યારે કોઈપણ સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ તે શોધવાનું ઇચ્છનીય છે કે શું તેને કોઈક રીતે તરત જ સરળ બનાવવું શક્ય છે? સિસ્ટમના સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નોંધ્યું છે કે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજિત કરી શકાય છે, જે આપણે કરીએ છીએ:

સંદર્ભ:ગાણિતિક ચિહ્નનો અર્થ થાય છે "આમાંથી તે અનુસરે છે" અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાના ઉકેલમાં થાય છે.

હવે આપણે સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીએ; મારે કયું સમીકરણ પસંદ કરવું જોઈએ? તમે કદાચ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે કે આ હેતુ માટે સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ લેવું:

અહીં, કોઈપણ ચલ વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ વાંધો નથી, વ્યક્તિ એટલી જ સરળતાથી વ્યક્ત કરી શકે છે અથવા .

આગળ, અમે સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં અભિવ્યક્તિને બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ:

ત્રીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજીત કરો:

બીજા સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

લગભગ બધું તૈયાર છે, ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
બીજા સમીકરણમાંથી:
પ્રથમ સમીકરણમાંથી:

તપાસો: સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ ચલોના મળેલા મૂલ્યોને બદલો:

1)
2)
3)

સમીકરણોની અનુરૂપ જમણી બાજુઓ મેળવવામાં આવે છે, આમ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળે છે.

ઉદાહરણ 3

4 અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો (પાઠના અંતે જવાબ આપો).

સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળો (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમનો ઉકેલ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો હલ કરતી વખતે, તમારે "શાળા પદ્ધતિ" નો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરણ (બાદબાકી) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. શા માટે? આ સમય બચાવે છે અને ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે, જો કે, હવે બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે.

ઉદાહરણ 4

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

મેં પ્રથમ ઉદાહરણની જેમ જ સિસ્ટમ લીધી.
સમીકરણોની સિસ્ટમનું વિશ્લેષણ કરતાં, અમે નોંધ્યું છે કે ચલના ગુણાંક તીવ્રતામાં સમાન છે અને સાઇન (–1 અને 1) માં વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરી શકાય છે:

લાલ રંગમાં ચક્કર લગાવેલી ક્રિયાઓ માનસિક રીતે કરવામાં આવે છે.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનના પરિણામે, અમે ચલ ગુમાવ્યું. આ, હકીકતમાં, શું છે પદ્ધતિનો સાર એ ચલોમાંના એકમાંથી છુટકારો મેળવવાનો છે.