વલણવાળા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ. વોલ્યુમ નક્કી કરવા માટે ભૌમિતિક સમસ્યા

વલણવાળા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ

બધા પ્રિઝમ વિભાજિત કરવામાં આવે છે સીધા અને વલણ .

સીધો પ્રિઝમ, આધાર

જે યોગ્ય સેવા આપે છે

બહુકોણ કહેવાય છે

યોગ્ય પ્રિઝમ

નિયમિત પ્રિઝમના ગુણધર્મો:

1. નિયમિત પ્રિઝમના પાયા નિયમિત બહુકોણ છે. 2. નિયમિત પ્રિઝમના બાજુના ચહેરા સમાન લંબચોરસ હોય છે. 3. નિયમિત પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ સમાન હોય છે .

PRISM ક્રોસ વિભાગ.

પ્રિઝમનો ઓર્થોગોનલ વિભાગ એ બાજુની ધાર પર લંબરૂપ સમતલ દ્વારા રચાયેલ વિભાગ છે.

પ્રિઝમની બાજુની સપાટી ઓર્થોગોનલ વિભાગની પરિમિતિના ઉત્પાદન અને બાજુની ધારની લંબાઈ જેટલી છે.

S b =P orth.section C

1. વલણવાળી પાંસળી વચ્ચેનું અંતર

ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ સમાન છે: 2cm, 3cm અને 4cm

પ્રિઝમની બાજુની સપાટી 45cm છે 2 .તેની બાજુની ધાર શોધો.

ઉકેલ:

પ્રિઝમના લંબ વિભાગમાં એક ત્રિકોણ છે જેની પરિમિતિ 2+3+4=9 છે

આનો અર્થ એ છે કે બાજુની ધાર 45:9 = 5 (સેમી) ની બરાબર છે

અજાણ્યા તત્વો શોધો

નિયમિત ત્રિકોણાકાર

પ્રિઝમ્સ

કોષ્ટકમાં ઉલ્લેખિત તત્વો દ્વારા.

જવાબો.

પાઠ માટે આભાર.

હોમવર્ક.

વોલ્યુમ એ કોઈપણ આકૃતિની લાક્ષણિકતા છે જે અવકાશના ત્રણેય પરિમાણોમાં બિન-શૂન્ય પરિમાણો ધરાવે છે. આ લેખમાં, સ્ટીરિયોમેટ્રી (અવકાશી આકૃતિઓની ભૂમિતિ) ના દૃષ્ટિકોણથી, આપણે પ્રિઝમ જોઈશું અને બતાવીશું કે વિવિધ પ્રકારના પ્રિઝમ્સના વોલ્યુમો કેવી રીતે શોધી શકાય.

સ્ટીરીઓમેટ્રી પાસે આ પ્રશ્નનો ચોક્કસ જવાબ છે. તેમાં, પ્રિઝમને બે બહુકોણીય સમાન ચહેરાઓ અને કેટલાક સમાંતરગ્રામો દ્વારા રચાયેલી આકૃતિ તરીકે સમજવામાં આવે છે. નીચેનું ચિત્ર ચાર જુદા જુદા પ્રિઝમ બતાવે છે.

તેમાંથી દરેક નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય છે: તમારે બહુકોણ (ત્રિકોણ, ચતુર્ભુજ, વગેરે) અને ચોક્કસ લંબાઈનો સેગમેન્ટ લેવાની જરૂર છે. પછી બહુકોણના દરેક શિરોબિંદુને સમાંતર ભાગોનો ઉપયોગ કરીને બીજા પ્લેનમાં સ્થાનાંતરિત કરવું જોઈએ. નવા પ્લેનમાં, જે મૂળની સમાંતર હશે, એક નવો બહુકોણ પ્રાપ્ત થશે, જે શરૂઆતમાં પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો.

પ્રિઝમ વિવિધ પ્રકારના હોઈ શકે છે. તેથી, તેઓ સીધા, વલણવાળા અને નિયમિત હોઈ શકે છે. જો પ્રિઝમની બાજુની ધાર (પાયાના શિરોબિંદુઓને જોડતો ભાગ) આકૃતિના પાયાને લંબરૂપ હોય, તો પછીનો ભાગ સીધો છે. તદનુસાર, જો આ સ્થિતિ પૂરી ન થાય, તો અમે વલણવાળા પ્રિઝમ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. નિયમિત આકૃતિ એ સમકોણાકાર અને સમભુજ આધાર સાથેનો સીધો પ્રિઝમ છે.

નિયમિત પ્રિઝમનું પ્રમાણ

ચાલો સૌથી સરળ કેસથી પ્રારંભ કરીએ. ચાલો n-ગોનલ આધાર સાથે નિયમિત પ્રિઝમના વોલ્યુમ માટે સૂત્ર આપીએ. વિચારણા હેઠળના વર્ગની કોઈપણ આકૃતિ માટે વોલ્યુમ સૂત્ર V નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

એટલે કે, વોલ્યુમ નક્કી કરવા માટે, તે પાયાના S o ના એક ક્ષેત્રની ગણતરી કરવા અને તેને આકૃતિની ઊંચાઈ h દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે.

નિયમિત પ્રિઝમના કિસ્સામાં, અમે અક્ષર a દ્વારા તેના આધારની બાજુની લંબાઈ અને ઊંચાઈ, જે બાજુની ધારની લંબાઈ જેટલી છે, અક્ષર h દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. જો આધાર નિયમિત n-gon છે, તો તેના ક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે નીચેના સાર્વત્રિક સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો સૌથી સરળ છે:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

n બાજુઓની સંખ્યા અને એક બાજુ a ની લંબાઈને સમીકરણમાં બદલીને, તમે n-ગોનલ આધારના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો. નોંધ કરો કે અહીં કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન એંગલ pi/n માટે ગણવામાં આવે છે, જે રેડિયનમાં વ્યક્ત થાય છે.

S n માટે લખેલી સમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે નિયમિત પ્રિઝમના વોલ્યુમ માટે અંતિમ સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

દરેક ચોક્કસ કેસ માટે, તમે V માટે અનુરૂપ સૂત્રો લખી શકો છો, પરંતુ તે બધા લેખિત સામાન્ય અભિવ્યક્તિમાંથી સ્પષ્ટપણે અનુસરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ માટે, જે સામાન્ય કિસ્સામાં લંબચોરસ સમાંતર હોય છે, અમે મેળવીએ છીએ:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

જો આપણે આ અભિવ્યક્તિમાં h=a લઈએ, તો આપણને ક્યુબના વોલ્યુમ માટેનું સૂત્ર મળે છે.

સીધા પ્રિઝમ્સનું પ્રમાણ

ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે સીધા આંકડાઓ માટે વોલ્યુમની ગણતરી માટે કોઈ સામાન્ય સૂત્ર નથી, જે ઉપર નિયમિત પ્રિઝમ માટે આપવામાં આવ્યું હતું. વિચારણા હેઠળનું મૂલ્ય શોધતી વખતે, મૂળ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ:

અહીં h એ બાજુની ધારની લંબાઈ છે, જેમ કે અગાઉના કિસ્સામાં. આધાર વિસ્તાર S o માટે, તે વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે. સીધા પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી કરવાની સમસ્યા તેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવામાં આવે છે.

S o ની કિંમતની ગણતરી બેઝની લાક્ષણિકતાઓના આધારે હાથ ધરવામાં આવવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે ત્રિકોણ છે, તો વિસ્તારની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છે:

અહીં h a એ ત્રિકોણનું એપોથેમ છે, એટલે કે, તેની ઊંચાઈ પાયા a સુધી નીચી છે.

જો આધાર ચતુર્ભુજ હોય, તો તે ટ્રેપેઝોઇડ, સમાંતર ચતુષ્કોણ, લંબચોરસ અથવા સંપૂર્ણપણે મનસ્વી પ્રકારનો હોઈ શકે છે. આ તમામ કેસો માટે, તમારે વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે યોગ્ય પ્લાનિમેટ્રી ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રેપેઝોઇડ માટે આ સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે:

S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .

જ્યાં h a એ ટ્રેપેઝોઈડની ઊંચાઈ છે, a 1 અને a 2 તેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ છે.

ઉચ્ચ ક્રમના બહુકોણ માટેનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે, તમારે તેમને સરળ આકૃતિઓ (ત્રિકોણ, ચતુષ્કોણ) માં વિભાજિત કરવું જોઈએ અને પછીના ક્ષેત્રોના સરવાળાની ગણતરી કરવી જોઈએ.

વલણવાળા પ્રિઝમનું પ્રમાણ

પ્રિઝમના વોલ્યુમની ગણતરી કરવાનો આ સૌથી મુશ્કેલ કેસ છે. આવા આંકડાઓ માટે સામાન્ય સૂત્ર પણ લાગુ પડે છે:

જો કે, કોઈપણ પ્રકારના બહુકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા આધારનો વિસ્તાર શોધવાની મુશ્કેલીમાં આકૃતિની ઊંચાઈ નક્કી કરવાની સમસ્યા ઉમેરવામાં આવે છે. વલણવાળા પ્રિઝમમાં તે હંમેશા બાજુની ધારની લંબાઈ કરતા ઓછી હોય છે.

જો આકૃતિનો કોઈપણ ખૂણો (સપાટ અથવા ડાઇહેડ્રલ) જાણીતો હોય તો આ ઊંચાઈ શોધવાનો સૌથી સરળ રસ્તો છે. જો આવો ખૂણો આપવામાં આવ્યો હોય, તો તમારે તેનો ઉપયોગ પ્રિઝમની અંદર એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવવા માટે કરવો જોઈએ, જેમાં એક બાજુઓ તરીકે ઊંચાઈ h હશે અને, ત્રિકોણમિતિ કાર્યો અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, h ની કિંમત શોધો.

વોલ્યુમ નક્કી કરવા માટે ભૌમિતિક સમસ્યા

ત્રિકોણાકાર આધાર સાથે નિયમિત પ્રિઝમ આપવામાં આવે છે, જેની ઊંચાઈ 14 સેમી અને બાજુની લંબાઈ 5 સેમી હોય છે.

અમે સાચી આકૃતિ વિશે વાત કરી રહ્યા હોવાથી, અમને જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનો અધિકાર છે. અમારી પાસે છે:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151.55 cm3.

ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ એ એકદમ સપ્રમાણ આકૃતિ છે, જેનો આકાર ઘણીવાર વિવિધ આર્કિટેક્ચરલ સ્ટ્રક્ચર્સમાં વપરાય છે. આ ગ્લાસ પ્રિઝમ ઓપ્ટિક્સમાં વપરાય છે.

પ્રિઝમનો ખ્યાલ. વિવિધ પ્રકારના પ્રિઝમ્સના વોલ્યુમ માટેના સૂત્રો: નિયમિત, સીધા અને ત્રાંસુ. સમસ્યાનું નિરાકરણ - સાઇટની મુસાફરી વિશે બધું

જેનાં બે ચહેરા એકરૂપ બહુકોણ છે સમાંતર વિમાનો, અને બાકીના ચહેરા સમાંતરગ્રામો છે જે આ બહુકોણ સાથે સામાન્ય બાજુઓ ધરાવે છે. આ સમાંતર ચતુષ્કોણને પ્રિઝમના લેટરલ ફેસ કહેવામાં આવે છે, અને બાકીના બે બહુકોણને તેના પાયા કહેવામાં આવે છે.

પ્રિઝમ એ સિલિન્ડરનો વિશિષ્ટ કેસ છે. પેરેલેલેપાઇપ એ પ્રિઝમનો ખાસ કિસ્સો છે.

પ્રિઝમમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

તેના આધારની સમાંતર સમતલ દ્વારા પ્રિઝમનો કોઈપણ વિભાગ આ પ્રિઝમને બે પ્રિઝમ્સમાં વિભાજિત કરે છે જેથી બાજુની સપાટીઓનો ગુણોત્તર અને આ પ્રિઝમ્સના વોલ્યુમનો ગુણોત્તર તેમની બાજુની ધારની લંબાઈના ગુણોત્તર સમાન હોય. પ્રિઝમનો કોઈપણ વિભાગ તેની બાજુની ધારની સમાંતર સમતલ દ્વારા આ પ્રિઝમને બે પ્રિઝમ્સમાં વિભાજિત કરે છે જેથી આ પ્રિઝમ્સના વોલ્યુમનો ગુણોત્તર તેમની બાજુની કિનારીઓની લંબાઈના ગુણોત્તર સમાન હોય. તેની બાજુની ધારની સમાંતર સમતલ દ્વારા પ્રિઝમનો કોઈપણ વિભાગ આ પ્રિઝમને બે પ્રિઝમ્સમાં વિભાજિત કરે છે જેથી આ પ્રિઝમ્સના વોલ્યુમનો ગુણોત્તર તેમના પાયાના ક્ષેત્રોના ગુણોત્તર સમાન હોય.

પ્રિઝમના પ્રકારો

સીધા પ્રિઝમ.સીધા પ્રિઝમની બાજુની પાંસળી પ્લેન પર લંબરૂપમેદાન

ઓબ્લીક પ્રિઝમ.વલણવાળા પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ બેઝ પ્લેનની તુલનામાં $90^\circ$થી અલગ ખૂણા પર સ્થિત છે.

યોગ્ય પ્રિઝમ.જમણા પ્રિઝમનો આધાર નિયમિત બહુકોણ છે. તેના બાજુના ચહેરા સમાન લંબચોરસ છે.

અર્ધરેગ્યુલર પોલિહેડ્રોન એ નિયમિત પ્રિઝમ છે જેના બાજુના ચહેરા ચોરસ છે.

સીધા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ

નિયમિત પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી માટે સૂત્ર મેળવવા માટે, ચાલો તેના આધાર પર ત્રિકોણ સાથે પ્રિઝમ લઈએ. ચાલો તેને લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ (આકૃતિ 1) સુધી બનાવીએ.

આકૃતિ 1. ટેટ્રાહેડ્રોન સમાંતર પાઈપ સુધી વિસ્તૃત

પાછલા પ્રકરણથી આપણે જાણીએ છીએ કે લંબચોરસ સમાંતરનું કદ બરાબર છે:

કારણ કે પરિણામી સમાંતર પાઈપમાં મૂળ પ્રિઝમ અને વોલ્યુમમાં સમાન પ્રિઝમ હોય છે, તો મૂળ પ્રિઝમનું વોલ્યુમ બરાબર હશે

જ્યાં $a$, $b$, $c$ એ અનુક્રમે $AB$, $BC$, $AC$ બાજુઓની લંબાઈ છે અને તેમનું ઉત્પાદન મૂળ પ્રિઝમના પાયાના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે, પછી આપણે સીધા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ શોધવા માટેનું સૂત્ર સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ:

જ્યાં $S_(મુખ્ય)$ એ પ્રિઝમના પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે, $H$ એ પ્રિઝમના પાયા તરફ દોરેલી ઊંચાઈ છે.

આ સૂત્ર તેના આધાર પર કોઈપણ બહુકોણ ધરાવતા સીધા પ્રિઝમ માટે સાચું છે.

વલણવાળા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ

વલણવાળા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ શોધવા માટેનું સૂત્ર મેળવવા માટે, ત્રિકોણાકાર વલણવાળા પ્રિઝમ $ABCDFE$ને ધ્યાનમાં લો. ચાલો મૂળ પ્રિઝમના આધાર $ABCD$ને લંબરૂપ ધાર $DC$ દ્વારા $\alpha$ દોરીએ અને ત્રિકોણાકાર કાપેલા પ્રિઝમ (આકૃતિ 2) બનાવીએ.

આકૃતિ 2. વળેલું પ્રિઝમ, $\alpha $ પ્લેન

હવે $AB$ ની ધાર દ્વારા આપણે પ્લેન $\beta $ સમાંતરે પ્લેન $\alpha $ (આકૃતિ 3) દોરીએ છીએ.

આકૃતિ 3. વળેલું પ્રિઝમ, $\alpha $ અને $\beta $ વિમાનો

જો આપણે આ રૂપાંતરણને ફરી વળેલા ચહેરાઓ પર લાગુ કરીએ, તો આપણને એક પ્રિઝમ મળશે જેમાં તમામ બાજુના ચહેરા પાયા પર લંબરૂપ છે. ફરી એકવાર પરિણામ સીધું પ્રિઝમ છે.

જો તે સમાન રૂપાંતરણને આધિન હોય (પહેલા કપાયેલા પ્રિઝમ સાથે પ્રથમ પૂરક, પછી બીજા કપાયેલા પ્રિઝમને કાપી નાખો), તો પછી પૂર્ણ થયેલ અને કાપેલા પ્રિઝમને સમાંતર ટ્રાન્સફર દ્વારા જોડવામાં આવે છે. સેગમેન્ટ$AB$. તે આનાથી અનુસરે છે કે આંકડાઓ સમાન વોલ્યુમ ધરાવે છે.

પરિણામે, બાંધેલા સીધા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ મૂળ વલણવાળા પ્રિઝમના વોલ્યુમ જેટલું છે.

વલણવાળા પ્રિઝમનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું છે:

નિષ્કર્ષ

કોઈપણ પ્રિઝમ (ત્રાંસી અને સીધા) ની માત્રા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

જ્યાં $a\cdot b$ એ આધારનો વિસ્તાર છે, $c$ એ પ્રિઝમની ઊંચાઈ છે.

પ્રિઝમ વ્યાખ્યા:

• А1А2…АnВ1В2Вn– પ્રિઝમ

• બહુકોણ A1A2…An અને B1B2…Bn – પ્રિઝમ આધાર

• સમાંતરગ્રામો А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – બાજુના ચહેરા

• વિભાગો A1B1, A2B2…AnBn – પ્રિઝમની બાજુની પાંસળી

પ્રિઝમના પ્રકારો

• ષટ્કોણ ત્રિકોણાકાર ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ પ્રિઝમ પ્રિઝમ

ત્રાંસી અને સીધા પ્રિઝમ

• જો પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ પાયાને લંબરૂપ હોય, તો પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે. પ્રત્યક્ષ , અન્યથા - વલણ .

યોગ્ય પ્રિઝમ

• પ્રિઝમ કહેવાય છે યોગ્ય , જો તે સીધી હોય અને તેના પાયા નિયમિત બહુકોણ હોય.

પ્રિઝમનો કુલ સપાટી વિસ્તાર

પ્રિઝમ લેટરલ સપાટી વિસ્તાર

• પ્રમેય

• સીધા પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર આધારની પરિમિતિ અને પ્રિઝમની ઊંચાઈના અડધા ગુણાંક જેટલો છે.

વલણવાળા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ

• પ્રમેય

• વલણવાળા પ્રિઝમનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું છે.

પુરાવો

• પુરાવો

• ચાલો પહેલા ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ માટે પ્રમેય સાબિત કરીએ, અને પછી મનસ્વી પ્રિઝમ માટે.

1. વોલ્યુમ V, આધાર વિસ્તાર S અને ઊંચાઈ h સાથે ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમનો વિચાર કરો. ચાલો પ્રિઝમના પાયામાંથી એક પર બિંદુ O ને ચિહ્નિત કરીએ અને ઓક્સ અક્ષને પાયા તરફ લંબ દિશામાન કરીએ. ચાલો પ્રિઝમના ક્રોસ સેક્શનને ઓક્સ અક્ષના લંબરૂપ સમતલ દ્વારા ધ્યાનમાં લઈએ અને તેથી, આધારના સમતલની સમાંતર. ચાલો અક્ષર x દ્વારા Ox અક્ષ સાથેના આ સમતલના આંતરછેદના બિંદુના એબ્સીસા અને S (x) દ્વારા પરિણામી વિભાગનો વિસ્તાર દર્શાવીએ.

ચાલો સાબિત કરીએ કે ક્ષેત્ર S (x) પ્રિઝમના પાયાના S ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. આ કરવા માટે, નોંધ કરો કે ત્રિકોણ ABC (પ્રિઝમનો આધાર) અને A1B1C1 (વિચારણા હેઠળના પ્લેન દ્વારા પ્રિઝમનો ક્રોસ સેક્શન) સમાન છે. વાસ્તવમાં, ચતુષ્કોણ AA1BB1 એ સમાંતરગ્રામ છે (સેગમેન્ટ્સ AA1 અને BB1 સમાન અને સમાંતર છે), તેથી A1B1 = AB. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે B1C1 = BC અને A1C1 = AC. તેથી, ત્રિકોણ A1B1C1 અને ABC ત્રણ બાજુઓ પર સમાન છે. તેથી, S(x)=S. હવે a=0 અને b=h પર શરીરના જથ્થાની ગણતરી માટે મૂળભૂત સૂત્ર લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે

2. h h ક, એસ S*h.પ્રમેય સાબિત થાય છે.

2. ચાલો હવે ઊંચાઈ સાથે મનસ્વી પ્રિઝમ માટે પ્રમેય સાબિત કરીએ hઅને આધાર વિસ્તાર S. આવા પ્રિઝમને કુલ ઊંચાઈ સાથે ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમમાં વિભાજિત કરી શકાય છે h. ચાલો આપણે સાબિત કરેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના વોલ્યુમને વ્યક્ત કરીએ અને આ વોલ્યુમો ઉમેરીએ. સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું ક,આપણે ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના પાયાના ક્ષેત્રોનો સરવાળો કૌંસમાં મેળવીએ છીએ, એટલે કે વિસ્તાર એસમૂળ પ્રિઝમના પાયા. આમ, મૂળ પ્રિઝમનું વોલ્યુમ બરાબર છે S*h.પ્રમેય સાબિત થાય છે.