લંબચોરસ ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ સૂત્રનું વોલ્યુમ. સામાન્ય ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમનું વોલ્યુમ

પ્રિઝમ વોલ્યુમ. સમસ્યાનું નિરાકરણ

ભૂમિતિ એ આપણી માનસિક ક્ષમતાઓને તીક્ષ્ણ બનાવવા અને આપણને યોગ્ય રીતે વિચારવા અને તર્ક કરવા સક્ષમ બનાવવાનું સૌથી શક્તિશાળી માધ્યમ છે.

જી. ગેલિલિયો

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

• પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરીમાં સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવો, વિદ્યાર્થીઓ પાસે પ્રિઝમ અને તેના તત્વો વિશેની માહિતીનો સારાંશ અને વ્યવસ્થિતકરણ કરો, વધેલી જટિલતાની સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
• તાર્કિક વિચારસરણી, સ્વતંત્ર રીતે કામ કરવાની ક્ષમતા, પરસ્પર નિયંત્રણ અને સ્વ-નિયંત્રણની કુશળતા, બોલવાની અને સાંભળવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
• કેટલીક ઉપયોગી પ્રવૃત્તિમાં સતત રોજગારીની ટેવ વિકસાવો, પ્રતિભાવ, સખત મહેનત અને ચોકસાઈને પ્રોત્સાહન આપો.

પાઠનો પ્રકાર: જ્ઞાન, કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓને લાગુ પાડવાનો પાઠ.

સાધનો: નિયંત્રણ કાર્ડ, મીડિયા પ્રોજેક્ટર, પ્રસ્તુતિ “પાઠ. પ્રિઝમ વોલ્યુમ", કમ્પ્યુટર્સ.

પાઠ પ્રગતિ

• પ્રિઝમની બાજુની પાંસળી (ફિગ. 2).
• પ્રિઝમની બાજુની સપાટી (આકૃતિ 2, આકૃતિ 5).
• પ્રિઝમની ઊંચાઈ (ફિગ. 3, ફિગ. 4).
• સ્ટ્રેટ પ્રિઝમ (આકૃતિ 2,3,4).
• વળેલું પ્રિઝમ (આકૃતિ 5).
• યોગ્ય પ્રિઝમ (ફિગ. 2, ફિગ. 3).
• પ્રિઝમનો કર્ણ વિભાગ (આકૃતિ 2).
• પ્રિઝમનો કર્ણ (આકૃતિ 2).
• પ્રિઝમનો લંબ વિભાગ (ફિગ. 3, ફિગ. 4).
• પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર.
• પ્રિઝમનો કુલ સપાટી વિસ્તાર.
• પ્રિઝમ વોલ્યુમ.

1. હોમવર્ક ચેક (8 મિનિટ)

નોટબુકની અદલાબદલી કરો, સ્લાઇડ્સ પરના ઉકેલને તપાસો અને તેને ચિહ્નિત કરો (જો સમસ્યા સંકલિત કરવામાં આવી હોય તો 10 ચિહ્નિત કરો)

ચિત્રના આધારે સમસ્યા બનાવો અને તેને હલ કરો. વિદ્યાર્થીએ બોર્ડમાં સંકલિત કરેલી સમસ્યાનો બચાવ કરે છે. આકૃતિ 6 અને આકૃતિ 7.





પ્રકરણ 2,§3
સમસ્યા.2. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમની તમામ ધારની લંબાઈ એકબીજાની સમાન હોય છે. પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી કરો જો તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 2 સેમી હોય (ફિગ. 8)



પ્રકરણ 2,§3
સમસ્યા 5. સીધા પ્રિઝમ ABCA 1B 1C1 નો આધાર કાટકોણ ત્રિકોણ ABC (કોણ ABC=90°), AB=4cm છે. પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી કરો જો ત્રિકોણ ABC ની આસપાસના વર્તુળની ત્રિજ્યા 2.5 સેમી હોય અને પ્રિઝમની ઊંચાઈ 10 સેમી હોય. (આકૃતિ 9).



પ્રકરણ2,§3
સમસ્યા 29. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમના પાયાની બાજુની લંબાઈ 3 સે.મી. પ્રિઝમનો કર્ણ બાજુના ચહેરાના સમતલ સાથે 30°નો ખૂણો બનાવે છે. પ્રિઝમના વોલ્યુમની ગણતરી કરો (આકૃતિ 10).



2. શિક્ષક અને વર્ગ વચ્ચે સહયોગ (2-3 મિનિટ).

હેતુ: સૈદ્ધાંતિક વોર્મ-અપના પરિણામોનો સારાંશ (વિદ્યાર્થીઓ એકબીજાને ગ્રેડ આપે છે), વિષય પર સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખવું.

3. શારીરિક મિનિટ (3 મિનિટ)
4. સમસ્યાનું નિરાકરણ (10 મિનિટ)

આ તબક્કે, શિક્ષક પ્લાનિમેટ્રિક સમસ્યાઓ અને પ્લાનિમેટ્રિક ફોર્મ્યુલાને ઉકેલવા માટેની પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ પર આગળના કાર્યનું આયોજન કરે છે.

વર્ગ બે જૂથોમાં વહેંચાયેલો છે, કેટલાક સમસ્યાઓ હલ કરે છે, અન્ય કમ્પ્યુટર પર કામ કરે છે. પછી તેઓ બદલાય છે.

વિદ્યાર્થીઓને તમામ નંબર 8 (મૌખિક રીતે), નંબર 9 (મૌખિક રીતે) ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે. પછી તેઓ જૂથોમાં વિભાજિત થાય છે અને સમસ્યાઓ નંબર 14, નંબર 30, નંબર 32 ઉકેલવા માટે આગળ વધે છે.



પ્રકરણ 2, §3, પૃષ્ઠ 66-67
સમસ્યા 8. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમની તમામ કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે. જો નીચલા પાયાની ધારમાંથી પસાર થતા પ્લેનનો ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર અને ઉપલા પાયાની બાજુની મધ્યમાં સેમી (ફિગ. 11) બરાબર હોય તો પ્રિઝમનું પ્રમાણ શોધો.



પ્રકરણ 2, §3, પૃષ્ઠ 66-67
પ્રકરણ 2,§3, પૃષ્ઠ 66-67સમસ્યા 9. સીધા પ્રિઝમનો આધાર ચોરસ છે અને તેની બાજુની કિનારીઓ પાયાની બાજુના કદ કરતા બમણી છે. પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી કરો જો બેઝની બાજુમાંથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા પ્રિઝમના ક્રોસ સેક્શનની નજીક વર્ણવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા અને વિરુદ્ધ બાજુની ધારની મધ્યમાં સેમી સમાન હોય (ફિગ. 12)



પ્રકરણ 2, §3, પૃષ્ઠ 66-67
સમસ્યા 14સીધા પ્રિઝમનો આધાર એક સમચતુર્ભુજ છે, જેમાંથી એક કર્ણ તેની બાજુની બરાબર છે.



પ્રકરણ 2, §3, પૃષ્ઠ 66-67
નીચલા પાયાના મુખ્ય કર્ણમાંથી પસાર થતા પ્લેન સાથે વિભાગની પરિમિતિની ગણતરી કરો, જો પ્રિઝમનું પ્રમાણ સમાન હોય અને તમામ બાજુના ચહેરા ચોરસ હોય (ફિગ. 13).સમસ્યા 30



ABCA 1 B 1 C 1 એ નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ છે, જેની તમામ કિનારીઓ એકબીજાની સમાન છે, બિંદુ એ BB 1 ની કિનારીનો મધ્ય ભાગ છે. AOS પ્લેન દ્વારા પ્રિઝમના વિભાગમાં અંકિત કરેલા વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો, જો પ્રિઝમનું વોલ્યુમ (ફિગ. 14) બરાબર હોય.

5. સમસ્યા 32

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમમાં, પાયાના ક્ષેત્રોનો સરવાળો બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે. પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી કરો જો નીચલા પાયાના બે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા પ્રિઝમના ક્રોસ સેક્શનની નજીક વર્ણવેલ વર્તુળનો વ્યાસ 6 સેમી (ફિગ. 15) હોય.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓ તેમના જવાબોની તુલના શિક્ષક દ્વારા બતાવેલ જવાબો સાથે કરે છે. વિગતવાર ટિપ્પણીઓ સાથેની સમસ્યાનો આ એક નમૂનો ઉકેલ છે... “મજબૂત” વિદ્યાર્થીઓ સાથે શિક્ષકનું વ્યક્તિગત કાર્ય (10 મિનિટ).

કમ્પ્યુટર પર કસોટી પર સ્વતંત્ર રીતે કામ કરતા વિદ્યાર્થીઓ

2) નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી સૂત્ર V = 0.25a 2 h દ્વારા કરવામાં આવે છે - જ્યાં a એ આધારની બાજુ છે, h એ પ્રિઝમની ઊંચાઈ છે.

3) સીધા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના અડધા ઉત્પાદન જેટલું છે.

4) નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમના જથ્થાની ગણતરી સૂત્ર V = a 2 h-જ્યાં a એ આધારની બાજુ છે, h એ પ્રિઝમની ઊંચાઈ છે.

5) નિયમિત ષટ્કોણ પ્રિઝમના વોલ્યુમની ગણતરી સૂત્ર V = 1.5a 2 h દ્વારા કરવામાં આવે છે, જ્યાં a એ આધારની બાજુ છે, h એ પ્રિઝમની ઊંચાઈ છે.

3. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના પાયાની બાજુ બરાબર છે.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

નીચલા પાયાની બાજુ અને ઉપલા પાયાના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુમાંથી એક પ્લેન દોરવામાં આવે છે, જે આધાર પર 45°ના ખૂણા પર પસાર થાય છે. પ્રિઝમનું વોલ્યુમ શોધો.

4. જમણા પ્રિઝમનો આધાર એક સમચતુર્ભુજ છે, જેની બાજુ 13 છે, અને એક કર્ણ 24 છે.

જો બાજુના ચહેરાનો કર્ણ 14 હોય તો પ્રિઝમનું કદ શોધો.

સ્ટીરિયોમેટ્રી કોર્સ માટેના શાળા અભ્યાસક્રમમાં, ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિઓનો અભ્યાસ સામાન્ય રીતે એક સરળ ભૌમિતિક શરીરથી શરૂ થાય છે - પ્રિઝમના પોલિહેડ્રોન. તેના પાયાની ભૂમિકા સમાંતર વિમાનોમાં પડેલા 2 સમાન બહુકોણ દ્વારા કરવામાં આવે છે. એક ખાસ કેસ નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે. તેના પાયા 2 સમાન નિયમિત ચતુષ્કોણ છે, જેની બાજુઓ કાટખૂણે છે, સમાંતરગ્રામ (અથવા લંબચોરસ, જો પ્રિઝમ ઝુકાવેલું ન હોય તો) આકાર ધરાવે છે.

પ્રિઝમ કેવો દેખાય છે?

નિયમિત ચતુષ્કોણ પ્રિઝમ એ ષટ્કોણ છે, જેનો આધાર 2 ચોરસ છે, અને બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ દ્વારા રજૂ થાય છે. આ ભૌમિતિક આકૃતિનું બીજું નામ એક સીધી સમાંતર છે. ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ દર્શાવતું ચિત્ર નીચે દર્શાવેલ છે.તમે ચિત્રમાં પણ જોઈ શકો છો

સૌથી મહત્વપૂર્ણ તત્વો કે જે ભૌમિતિક શરીર બનાવે છે

. આમાં શામેલ છે:

આપેલ પ્રિઝમેટિક તત્વો શોધવા માટે, વિવિધ સંબંધો અને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તેમાંના કેટલાક પ્લાનિમેટ્રી કોર્સથી જાણીતા છે (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રિઝમના પાયાનો વિસ્તાર શોધવા માટે, ચોરસના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર યાદ રાખવું પૂરતું છે).

સપાટી વિસ્તાર અને વોલ્યુમ

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રિઝમનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે, તમારે તેના આધાર અને ઊંચાઈના ક્ષેત્રને જાણવાની જરૂર છે:

V = Sbas h

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રલ પ્રિઝમનો આધાર બાજુ સાથેનો ચોરસ હોવાથી aતમે ફોર્મ્યુલાને વધુ વિગતવાર સ્વરૂપમાં લખી શકો છો:

V = a²·h

જો આપણે સમઘન વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ - સમાન લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સાથેનું નિયમિત પ્રિઝમ, વોલ્યુમની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો તે સમજવા માટે, તમારે તેના વિકાસની કલ્પના કરવાની જરૂર છે.

ડ્રોઇંગ પરથી જોઈ શકાય છે કે બાજુની સપાટી 4 સમાન લંબચોરસથી બનેલી છે. તેના વિસ્તારની ગણતરી આધારની પરિમિતિ અને આકૃતિની ઊંચાઈના ઉત્પાદન તરીકે કરવામાં આવે છે:

Sside = Posn h

ચોરસની પરિમિતિ બરાબર છે તે ધ્યાનમાં લેવું P = 4a,સૂત્ર ફોર્મ લે છે:

બાજુ = 4a h

ક્યુબ માટે:

બાજુ = 4a²

પ્રિઝમના કુલ સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે, તમારે બાજુના વિસ્તારમાં 2 પાયાના વિસ્તારો ઉમેરવાની જરૂર છે:

Sfull = Sside + 2Smain

ચતુષ્કોણીય નિયમિત પ્રિઝમના સંબંધમાં, સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે:

કુલ = 4a h + 2a²

ક્યુબના સપાટી વિસ્તાર માટે:

Sfull = 6a²

વોલ્યુમ અથવા સપાટી વિસ્તારને જાણીને, તમે ભૌમિતિક શરીરના વ્યક્તિગત ઘટકોની ગણતરી કરી શકો છો.

પ્રિઝમ તત્વો શોધવી

ઘણીવાર એવી સમસ્યાઓ હોય છે જેમાં વોલ્યુમ આપવામાં આવે છે અથવા બાજુની સપાટીના વિસ્તારનું મૂલ્ય જાણીતું હોય છે, જ્યાં તે આધારની બાજુની લંબાઈ અથવા ઊંચાઈ નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે. આવા કિસ્સાઓમાં, સૂત્રો મેળવી શકાય છે:

• આધાર બાજુ લંબાઈ: a = Sside / 4h = √(V / h);
• ઊંચાઈ અથવા બાજુની પાંસળીની લંબાઈ: h = Sside / 4a = V / a²;
• આધાર વિસ્તાર: Sbas = V / h;
• બાજુનો ચહેરો વિસ્તાર: બાજુ gr = Sside / 4.

કર્ણ વિભાગમાં કેટલો વિસ્તાર છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે કર્ણની લંબાઈ અને આકૃતિની ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર છે. ચોરસ માટે d = a√2.આમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

Sdiag = ah√2

પ્રિઝમના કર્ણની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

dprize = √(2a² + h²)

આપેલ સંબંધોને કેવી રીતે લાગુ કરવા તે સમજવા માટે, તમે પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને ઘણા સરળ કાર્યોને હલ કરી શકો છો.

ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓના ઉદાહરણો

અહીં ગણિતમાં રાજ્યની અંતિમ પરીક્ષાઓમાં જોવા મળેલા કેટલાક કાર્યો છે.

કાર્ય 1.

રેતીને નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ જેવા આકારના બોક્સમાં રેડવામાં આવે છે. તેના સ્તરની ઊંચાઈ 10 સે.મી. છે જો તમે તેને સમાન આકારના કન્ટેનરમાં ખસેડો છો, પરંતુ તેના બેઝ સાથે બમણું હશે?

તેનું તર્ક નીચે મુજબ હોવું જોઈએ. પ્રથમ અને બીજા કન્ટેનરમાં રેતીની માત્રા બદલાઈ નથી, એટલે કે તેમાં તેનું પ્રમાણ સમાન છે. તમે આધારની લંબાઈ આના દ્વારા દર્શાવી શકો છો a. આ કિસ્સામાં, પ્રથમ બોક્સ માટે પદાર્થનું પ્રમાણ હશે:

V₁ = ha² = 10a²

બીજા બોક્સ માટે, આધારની લંબાઈ છે 2a, પરંતુ રેતીના સ્તરની ઊંચાઈ અજ્ઞાત છે:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

ત્યારથી V₁ = V₂, આપણે અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા કરી શકીએ છીએ:

10a² = 4ha²

સમીકરણની બંને બાજુ a² દ્વારા ઘટાડ્યા પછી, આપણને મળે છે:

પરિણામે, રેતીનું નવું સ્તર હશે h = 10 / 4 = 2.5સેમી

કાર્ય 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ એ સાચો પ્રિઝમ છે. તે જાણીતું છે કે BD = AB₁ = 6√2. શરીરનો કુલ સપાટી વિસ્તાર શોધો.

કયા તત્વો જાણીતા છે તે સમજવામાં સરળ બનાવવા માટે, તમે આકૃતિ દોરી શકો છો.

આપણે નિયમિત પ્રિઝમ વિશે વાત કરી રહ્યા હોવાથી, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પાયા પર 6√2 ના કર્ણ સાથેનો ચોરસ છે. બાજુના ચહેરાના કર્ણ સમાન કદ ધરાવે છે, તેથી, બાજુના ચહેરામાં પણ આધારની સમાન ચોરસનો આકાર હોય છે. તે તારણ આપે છે કે ત્રણેય પરિમાણો - લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ - સમાન છે. આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે ABCDA₁B₁C₁D₁ એક ઘન છે.

કોઈપણ ધારની લંબાઈ જાણીતા કર્ણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

સમઘન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુલ સપાટી વિસ્તાર જોવા મળે છે:

સ્ફુલ = 6a² = 6 6² = 216

કાર્ય 3.

રૂમનું નવીનીકરણ કરવામાં આવી રહ્યું છે. તે જાણીતું છે કે તેનું માળખું 9 m² ના ક્ષેત્રફળ સાથે ચોરસનો આકાર ધરાવે છે. રૂમની ઊંચાઈ 2.5 મીટર છે જો 1 m² ની કિંમત 50 રુબેલ્સ હોય તો રૂમને વૉલપેપર કરવાની સૌથી ઓછી કિંમત કેટલી છે?

કારણ કે ફ્લોર અને છત ચોરસ છે, એટલે કે નિયમિત ચતુષ્કોણ, અને તેની દિવાલો આડી સપાટીઓ પર લંબરૂપ છે, અમે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે તે નિયમિત પ્રિઝમ છે. તેની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવું જરૂરી છે.

રૂમની લંબાઈ છે a = √9 = 3 m

વિસ્તાર વોલપેપર સાથે આવરી લેવામાં આવશે બાજુ = 4 3 2.5 = 30 m².

આ રૂમ માટે વૉલપેપરની સૌથી ઓછી કિંમત હશે 50·30 = 1500રૂબલ

આમ, લંબચોરસ પ્રિઝમને લગતી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, ચોરસ અને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિની ગણતરી કરવા તેમજ વોલ્યુમ અને સપાટી વિસ્તાર શોધવા માટેના સૂત્રો જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

સમઘનનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું

ચાલો આપણે પ્રિઝમનો આધાર અલગથી દોરીએ, એટલે કે ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 307, a), અને તેને એક લંબચોરસ સુધી બાંધીએ, જેના માટે આપણે શિરોબિંદુ B દ્વારા સીધી રેખા KM દોરીએ || AC અને બિંદુઓ A અને C માંથી આપણે આ રેખા પર કાટખૂણે AF અને CE ને નીચે કરીએ છીએ. અમને લંબચોરસ ACEF મળે છે. ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ ВD દોરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે લંબચોરસ ACEF 4 કાટકોણ ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે. વધુમાં, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD અને \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. આનો અર્થ એ છે કે લંબચોરસ ACEF નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે, એટલે કે 2S બરાબર છે.

આધાર ABC સાથેના આ પ્રિઝમ સાથે અમે બેઝ ALL અને BAF અને ઊંચાઈ સાથે પ્રિઝમ જોડીશું h(ફિગ. 307, બી). અમે ACEF આધાર સાથે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ મેળવીએ છીએ.

જો આપણે સીધી રેખાઓ BD અને BB’માંથી પસાર થતા પ્લેન સાથે આ સમાંતર પાઈપનું વિચ્છેદન કરીએ, તો આપણે જોઈશું કે લંબચોરસ સમાંતરમાં BCD, ALL, BAD અને BAF બેઝ સાથે 4 પ્રિઝમ હોય છે.

બેઝ BCD અને BC સાથેના પ્રિઝમ્સને જોડી શકાય છે, કારણ કે તેમના પાયા સમાન છે (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) અને તેમની બાજુની કિનારીઓ, જે સમાન સમતલ પર લંબ છે, તે પણ સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે આ પ્રિઝમ્સની માત્રા સમાન છે. બેઝ BAD અને BAF સાથે પ્રિઝમ્સનું પ્રમાણ પણ સમાન છે.

આમ, તે તારણ આપે છે કે બેઝ ABC સાથે આપેલ ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમનું વોલ્યુમ બેઝ ACEF સાથે લંબચોરસ સમાંતરના અડધા વોલ્યુમ છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનું પ્રમાણ તેના પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની ઊંચાઈના ગુણાંક જેટલું છે, એટલે કે આ કિસ્સામાં તે 2S બરાબર છે. h. આથી આ જમણા ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમનું કદ S બરાબર છે h.

જમણા ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમનું પ્રમાણ તેના પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું છે.

2. જમણા બહુકોણીય પ્રિઝમનું વોલ્યુમ.

S 1, S 2 અને S 3 દ્વારા ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના પાયાના વિસ્તારો અને V દ્વારા આપેલ બહુકોણીય પ્રિઝમના જથ્થાને દર્શાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ:

V = S 1 h+ એસ 2 h+ એસ 3 h, અથવા

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

અને છેલ્લે: V = S h.

તે જ રીતે, તેના આધાર પર કોઈપણ બહુકોણ ધરાવતા સીધા પ્રિઝમના વોલ્યુમ માટેનું સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે.

અર્થ, કોઈપણ જમણા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ તેના પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું હોય છે.

પ્રિઝમ વોલ્યુમ

પ્રમેય. પ્રિઝમનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું હોય છે.

પ્રથમ આપણે આ પ્રમેયને ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ માટે સાબિત કરીએ છીએ, અને પછી બહુકોણીય પ્રિઝમ માટે.

1) ચાલો (ફિગ. 95) ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ ABCA 1 B 1 C 1 ની ધાર AA 1 દ્વારા ચહેરા BB 1 C 1 C ની સમાંતર સમતલ, અને ધાર CC 1 દ્વારા - ચહેરાની સમાંતર સમતલ દોરીએ. એએ 1 બી 1 બી; પછી અમે પ્રિઝમના બંને પાયાના વિમાનો જ્યાં સુધી દોરેલા વિમાનો સાથે છેદે નહીં ત્યાં સુધી ચાલુ રાખીશું.

પછી આપણને સમાંતર BD 1 મળે છે, જે ત્રાંસા સમતલ AA 1 C 1 C દ્વારા બે ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમમાં વિભાજિત થાય છે (જેમાંથી એક આ એક છે). ચાલો સાબિત કરીએ કે આ પ્રિઝમ કદમાં સમાન છે. આ કરવા માટે, અમે એક લંબ વિભાગ દોરીએ છીએ abcd. ક્રોસ-સેક્શન એક સમાંતરગ્રામ બનાવશે જેનો કર્ણ એસીબે સમાન ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે. આ પ્રિઝમ કદમાં સીધા પ્રિઝમ જેટલો છે જેનો આધાર \(\Delta\) છે abc, અને ઊંચાઈ એજ AA 1 છે. અન્ય ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ એક સીધી રેખાના ક્ષેત્રફળ સમાન છે જેનો આધાર \(\Delta\) છે. adc, અને ઊંચાઈ એજ AA 1 છે. પરંતુ સમાન પાયા અને સમાન ઊંચાઈવાળા બે સીધા પ્રિઝમ્સ સમાન છે (કારણ કે જ્યારે દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે તેઓ જોડાય છે), જેનો અર્થ છે કે પ્રિઝમ્સ ABCA 1 B 1 C 1 અને ADCA 1 D 1 C 1 કદમાં સમાન છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે આ પ્રિઝમનું વોલ્યુમ પેરેલેલપાઈપ્ડ BD 1 ના અડધા વોલ્યુમ છે; તેથી, H દ્વારા પ્રિઝમની ઊંચાઈ દર્શાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) ચાલો બહુકોણીય પ્રિઝમ (ફિગ. 96) ની ધાર AA 1 દ્વારા AA 1 C 1 C અને AA 1 D 1 D વિકર્ણ વિમાનો દોરીએ.

પછી આ પ્રિઝમને અનેક ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમમાં કાપવામાં આવશે. આ પ્રિઝમ્સના વોલ્યુમોનો સરવાળો જરૂરી વોલ્યુમ બનાવે છે. જો આપણે તેમના પાયાના વિસ્તારોને દ્વારા સૂચિત કરીએ b 1 , b 2 , b 3, અને H દ્વારા કુલ ઊંચાઈ, આપણને મળે છે:

બહુકોણીય પ્રિઝમનું કદ = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (વિસ્તાર ABCDE) H.

પરિણામ.

અન્ય સામગ્રી

શાળાના બાળકો કે જેઓ ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા આપવાની તૈયારી કરી રહ્યા છે તેઓએ ચોક્કસપણે શીખવું જોઈએ કે કેવી રીતે સીધા અને નિયમિત પ્રિઝમનો વિસ્તાર શોધવામાં સમસ્યાઓ હલ કરવી. ઘણા વર્ષોની પ્રેક્ટિસ એ હકીકતની પુષ્ટિ કરે છે કે ઘણા વિદ્યાર્થીઓ આવા ભૂમિતિ કાર્યોને ખૂબ મુશ્કેલ માને છે.

તે જ સમયે, કોઈપણ સ્તરની તાલીમ સાથે ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ નિયમિત અને સીધા પ્રિઝમનો વિસ્તાર અને વોલ્યુમ શોધવા માટે સક્ષમ હોવા જોઈએ. ફક્ત આ કિસ્સામાં તેઓ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવાના પરિણામોના આધારે સ્પર્ધાત્મક સ્કોર પ્રાપ્ત કરવા પર વિશ્વાસ કરી શકશે.

• યાદ રાખવાના મુખ્ય મુદ્દા
• રેગ્યુલર પ્રિઝમ એટલે કે જેની બાજુની કિનારીઓ એ પાયાને લંબરૂપ હોય છે જેમાં નિયમિત બહુકોણ સ્થિત હોય છે. આ આકૃતિના બાજુના ચહેરા સમાન લંબચોરસ છે. સાચો પ્રિઝમ હંમેશા સીધો હોય છે.

શ્કોલ્કોવો સાથે એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાની તૈયારી એ તમારી સફળતાની ચાવી છે!

તમારા વર્ગોને શક્ય તેટલું સરળ અને અસરકારક બનાવવા માટે, અમારું ગણિત પોર્ટલ પસંદ કરો. અહીં તમને બધી જરૂરી સામગ્રી મળશે જે તમને પ્રમાણપત્ર પરીક્ષા પાસ કરવા માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે.

શ્કોલ્કોવો શૈક્ષણિક પ્રોજેક્ટના નિષ્ણાતો સરળથી જટિલ તરફ જવાનો પ્રસ્તાવ મૂકે છે: પ્રથમ અમે સિદ્ધાંત, મૂળભૂત સૂત્રો, પ્રમેય અને પ્રારંભિક સમસ્યાઓ ઉકેલો સાથે આપીએ છીએ, અને પછી ધીમે ધીમે નિષ્ણાત-સ્તરના કાર્યો તરફ આગળ વધીએ છીએ.

મૂળભૂત માહિતી "સૈદ્ધાંતિક માહિતી" વિભાગમાં વ્યવસ્થિત અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવી છે. જો તમે પહેલાથી જ જરૂરી સામગ્રીને પુનરાવર્તિત કરવામાં વ્યવસ્થાપિત છો, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે જમણા પ્રિઝમનો વિસ્તાર અને વોલ્યુમ શોધવા માટે સમસ્યાઓ ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરો. "કેટેલોગ" વિભાગ મુશ્કેલીની વિવિધ ડિગ્રીની કસરતોની વિશાળ પસંદગી રજૂ કરે છે.

સીધા અને નિયમિત પ્રિઝમના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો અથવા હમણાં જ. કોઈપણ કાર્યનું વિશ્લેષણ કરો. જો તે કોઈ મુશ્કેલીઓનું કારણ નથી, તો તમે સુરક્ષિત રીતે નિષ્ણાત-સ્તરની કસરતો પર આગળ વધી શકો છો. અને જો અમુક મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે નિયમિતપણે Shkolkovo ગાણિતિક પોર્ટલ સાથે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની ઑનલાઇન તૈયારી કરો અને તમારા માટે “સ્ટ્રેટ એન્ડ રેગ્યુલર પ્રિઝમ” વિષય પરના કાર્યો સરળ રહેશે.