રેખીય વિભેદક સિસ્ટમો સમીકરણો
વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે રેખીયજો તે અજાણ્યા કાર્યો અને તેમના ડેરિવેટિવ્સના સંદર્ભમાં રેખીય હોય. સિસ્ટમ n-1 લી ક્રમના રેખીય સમીકરણો ફોર્મમાં લખેલા છે:
સિસ્ટમ ગુણાંક સતત છે.
આ સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખવું અનુકૂળ છે: ,
જ્યાં એક દલીલ પર આધાર રાખીને અજાણ્યા કાર્યોનો કૉલમ વેક્ટર છે.
આ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝના કૉલમ વેક્ટર.
મફત શરતોનો કૉલમ વેક્ટર.
ગુણાંક મેટ્રિક્સ.
પ્રમેય 1:જો બધા મેટ્રિક્સ ગુણાંક એઅમુક અંતરાલ પર સતત હોય છે અને પછી દરેક મીટરના અમુક પડોશમાં. 
TS&E શરતો પૂરી થાય છે. પરિણામે, આવા દરેક બિંદુમાંથી એક જ અભિન્ન વળાંક પસાર થાય છે.
ખરેખર, આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમની જમણી બાજુઓ દલીલોના સમૂહના સંદર્ભમાં સતત છે અને બંધ અંતરાલ પર સાતત્યને કારણે (મેટ્રિક્સ A ના ગુણાંકની સમાન) ના સંદર્ભમાં તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ મર્યાદિત છે.
SLDs ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ
1. વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ અજાણ્યાઓને દૂર કરીને એક સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે.
ઉદાહરણ:સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: 
(1)
ઉકેલ:બાકાત zઆ સમીકરણોમાંથી. પ્રથમ સમીકરણથી આપણી પાસે છે. બીજા સમીકરણમાં બદલીને, 
સરળીકરણ પછી આપણને મળે છે: 
.
સમીકરણોની આ સિસ્ટમ (1) એક બીજા ક્રમના સમીકરણમાં ઘટાડો. આ સમીકરણમાંથી શોધ્યા પછી y, શોધી કાઢવી જોઈએ z, સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને.
2. અજાણ્યાઓને દૂર કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે, સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ ક્રમનું સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે, તેથી ઘણા કિસ્સાઓમાં તે શોધીને સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે વધુ અનુકૂળ છે. સંકલિત સંયોજનો.
ચાલુ 27b
ઉદાહરણ:સિસ્ટમ ઉકેલો 
ઉકેલ:
ચાલો યુલરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમને હલ કરીએ. ચાલો લાક્ષણિકતા શોધવા માટે નિર્ણાયક લખીએ
સમીકરણ: , (કારણ કે સિસ્ટમ સજાતીય છે, તેને બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે, આ નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોવું જોઈએ). અમે એક લાક્ષણિક સમીકરણ મેળવીએ છીએ અને તેના મૂળ શોધીએ છીએ: 
સામાન્ય ઉકેલ છે: 
;
- eigenvector.
અમે તેના માટે ઉકેલ લખીએ છીએ: 
;
- eigenvector.
અમે તેના માટે ઉકેલ લખીએ છીએ: 
;
અમને સામાન્ય ઉકેલ મળે છે: 
.
ચાલો તપાસીએ:
ચાલો શોધીએ : અને તેને આ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ, એટલે કે. .
અમને મળે છે:
- સાચી સમાનતા.
રેખીય તફાવત. nth ક્રમના સમીકરણો. nth ક્રમના અસંગત રેખીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલ પર પ્રમેય.
nમા ક્રમનું રેખીય વિભેદક સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે: (1)
જો આ સમીકરણમાં ગુણાંક હોય, તો તેના દ્વારા ભાગાકાર કરવાથી, આપણે સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ: (2) .
સામાન્ય રીતે પ્રકારના સમીકરણો (2). ધારો કે ur-i માં (2) તમામ મતભેદ, તેમજ f(x)અમુક અંતરાલ પર સતત (a,b).પછી, TS&E અનુસાર, સમીકરણ (2) એક અનન્ય ઉકેલ છે જે પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે: , , …, માટે . અહીં - અંતરાલમાંથી કોઈપણ બિંદુ (a,b),અને તમામ - આપેલ કોઈપણ સંખ્યા. સમીકરણ (2) TC&E ને સંતુષ્ટ કરે છે , તેથી તેની પાસે નથી ખાસ ઉકેલો.
ડેફ.: ખાસબિંદુઓ તે છે કે જેના પર =0.
રેખીય સમીકરણના ગુણધર્મો:
- એક રેખીય સમીકરણ રેખીય રહે છે, ભલે સ્વતંત્ર ચલ કેવી રીતે બદલાય.
- ઇચ્છિત કાર્યના કોઈપણ રેખીય ફેરફાર માટે રેખીય સમીકરણ રહે છે.
ડેફ:જો સમીકરણમાં (2) મૂકો f(x)=0, પછી આપણને ફોર્મનું સમીકરણ મળે છે: (3) , જેને કહેવામાં આવે છે સજાતીય સમીકરણઅસંગત સમીકરણને સંબંધિત (2).
ચાલો રેખીય વિભેદક ઓપરેટરનો પરિચય કરીએ: (4). આ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને, તમે સમીકરણને ટૂંકા સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકો છો (2) અને (3): L(y)=f(x), L(y)=0.ઓપરેટર (4) નીચેના સરળ ગુણધર્મો ધરાવે છે:
આ બે ગુણોમાંથી કોરોલરી કાઢી શકાય છે: .
કાર્ય y=y(x)અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ છે (2), જો L(y(x))=f(x), પછી f(x)સમીકરણનો ઉકેલ કહેવાય છે. તેથી સમીકરણનો ઉકેલ (3) કાર્ય કહેવાય છે y(x), જો L(y(x))=0ગણવામાં અંતરાલો પર.
ધ્યાનમાં લો અસંગત રેખીય સમીકરણ: , L(y)=f(x).
ધારો કે આપણે કોઈ રીતે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધી કાઢ્યો છે, તો પછી.
ચાલો એક નવું અજ્ઞાત કાર્ય રજૂ કરીએ zસૂત્ર અનુસાર: , ચોક્કસ ઉકેલ ક્યાં છે.
ચાલો તેને સમીકરણમાં બદલીએ: , કૌંસ ખોલો અને મેળવો:
પરિણામી સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે: 
કારણ કે મૂળ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે, તો પછી.
આમ, અમે સંદર્ભમાં એક સમાન સમીકરણ મેળવ્યું છે z. આ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ એક રેખીય સંયોજન છે: , જ્યાં કાર્યો - સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમની રચના કરે છે. અવેજીમાં zરિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલામાં, આપણને મળે છે: 
(*) કાર્ય માટે y- મૂળ સમીકરણનું અજ્ઞાત કાર્ય. મૂળ સમીકરણના તમામ ઉકેલો (*) માં સમાયેલ હશે.
આમ, અસંગત રેખાનો સામાન્ય ઉકેલ. સમીકરણને સજાતીય રેખીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળા અને અસંગત સમીકરણના અમુક ચોક્કસ ઉકેલ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે.
(બીજી બાજુ ચાલુ)
30. અસ્તિત્વનો પ્રમેય અને વિભેદકના ઉકેલની વિશિષ્ટતા. સમીકરણો
પ્રમેય:જો સમીકરણની જમણી બાજુ લંબચોરસમાં સતત હોય 
અને મર્યાદિત છે, અને લિપ્સ્ચિટ્ઝની સ્થિતિને પણ સંતુષ્ટ કરે છે: , N=const, તો ત્યાં એક અનન્ય ઉકેલ છે જે પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે અને સેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે 
, ક્યાં .
પુરાવો:
સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા ધ્યાનમાં લો સાથે,જેના બિંદુઓ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત તમામ સંભવિત સતત કાર્યો y(x) છે , જેનો આલેખ લંબચોરસની અંદર આવેલો છે અને અંતર સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: 
. આ જગ્યા ઘણીવાર ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં વપરાય છે અને કહેવામાં આવે છે એકસમાન કન્વર્જન્સની જગ્યા, કારણ કે આ જગ્યાના મેટ્રિકમાં કન્વર્જન્સ એકસમાન છે.
ચાલો વિભેદકને બદલીએ. સમકક્ષ અભિન્ન સમીકરણને આપેલ પ્રારંભિક શરતો સાથેનું સમીકરણ: 
અને ઓપરેટરને ધ્યાનમાં લો A(y), આ સમીકરણની જમણી બાજુ સમાન: 
. આ ઓપરેટર દરેક સતત કાર્યને સોંપે છે
લિપ્સ્ચિટ્ઝની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે અંતર લખી શકીએ છીએ. હવે ચાલો એક પસંદ કરીએ કે જેના માટે નીચેની અસમાનતા રહેશે: .
પછી તમારે તે પસંદ કરવું જોઈએ. આમ અમે તે બતાવ્યું.
સંકોચન મેપિંગના સિદ્ધાંત અનુસાર, ત્યાં એક બિંદુ છે અથવા, શું સમાન છે, એક જ કાર્ય - વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ જે આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.
n-મો ઓર્ડર
પ્રમેય. જો y 0- સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ L[y]=0, y 1- અનુરૂપ અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ L[y] = f(x), પછી સરવાળો y 0 + y 1આ અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ છે.
અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલની રચના નીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
પ્રમેય. જો વાય- સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ L[y] = f(x)સતત ગુણાંક સાથે, 
- અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ L[y] = 0, તો પછી આ અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
ટિપ્પણી. રેખીય અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલને લખવા માટે, આ સમીકરણનો અમુક ચોક્કસ ઉકેલ અને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે.
રેખીય અસંગત સમીકરણો n
રેખીય અસંગત સમીકરણને ધ્યાનમાં લો n-સતત ગુણાંક સાથેનો ક્રમ
જ્યાં a 1, a 2, …, એક એન- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. ચાલો અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ લખીએ
અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y 0આપણે ચોક્કસ ઉકેલ શોધી શકીએ છીએ વાયનીચેના સરળ કેસોમાં અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ દ્વારા શોધી શકાય છે:
સામાન્ય કિસ્સામાં, વિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.
મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ
રેખીય અસંગત સમીકરણને ધ્યાનમાં લો n- ચલ ગુણાંક સાથેનો ક્રમ
જો આ સમીકરણનો કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો મુશ્કેલ હોય, પરંતુ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ જાણીતો હોય, તો અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી શકાય છે. મનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધતાની પદ્ધતિ.
અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ દો
એક સામાન્ય ઉકેલ છે
અમે ફોર્મમાં અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીશું
જ્યાં y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n = y n (x)તેના સામાન્ય ઉકેલમાં સમાવિષ્ટ સજાતીય સમીકરણના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો છે, અને C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- અજ્ઞાત કાર્યો. આ કાર્યોને શોધવા માટે, ચાલો તેમને કેટલીક શરતોને આધીન કરીએ.
ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ
અમારે જરૂર છે કે બીજા કૌંસમાંનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર હોય, એટલે કે
ચાલો બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
અને અમે તેની માંગ કરીશું
સમાન પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમને મળે છે
આ કિસ્સામાં, બીજા કૌંસમાંનો સરવાળો અદૃશ્ય થઈ જાય તે જરૂરી નથી, કારણ કે કાર્યો C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)પહેલેથી જ ગૌણ n-1શરતો, પરંતુ તમારે હજી પણ મૂળ અસંગત સમીકરણને સંતોષવાની જરૂર છે.
સીધા સંકલન દ્વારા સમીકરણો ઉકેલાય છે
નીચેના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:
.
અમે n વખત એકીકૃત કરીએ છીએ.
;
;
અને તેથી વધુ. તમે સૂત્રનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો:
.
સેમી. વિભેદક સમીકરણો જે સીધા ઉકેલી શકાય છે એકીકરણ >>>
સમીકરણો કે જેમાં સ્પષ્ટપણે આશ્રિત ચલ y શામેલ નથી
અવેજી સમીકરણના ક્રમમાં એક દ્વારા ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. અહીં થી એક કાર્ય છે.
સેમી. ઉચ્ચ ઓર્ડરના વિભેદક સમીકરણો જેમાં સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં કોઈ ફંક્શન નથી હોતું >>>
સમીકરણો જેમાં સ્પષ્ટપણે સ્વતંત્ર ચલ x સમાવતું નથી
.
અમે માનીએ છીએ કે તે એક કાર્ય છે.
.
પછી
સેમી. એ જ રીતે અન્ય ડેરિવેટિવ્ઝ માટે. પરિણામે, સમીકરણનો ક્રમ એકથી ઓછો થાય છે.
ઉચ્ચ ઓર્ડરના વિભેદક સમીકરણો જેમાં સ્પષ્ટ ચલ >>> શામેલ નથી
y, y′, y′, ... ના સંદર્ભમાં સમાન સમીકરણો
,
આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, અમે અવેજી બનાવીએ છીએ
.
નું કાર્ય ક્યાં છે.
સેમી. પછી
અમે એ જ રીતે ડેરિવેટિવ્ઝ વગેરેને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પરિણામે, સમીકરણનો ક્રમ એકથી ઓછો થાય છે.
ઉચ્ચ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો જે ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં સજાતીય હોય છે >>> ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય વિભેદક સમીકરણો:
(1)
,
ચાલો વિચાર કરીએ
(2)
,
nth ક્રમનું રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ
સ્વતંત્ર ચલના કાર્યો ક્યાં છે. nth ક્રમના રેખીય સજાતીય સમીકરણ એ આ સમીકરણના n રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો છે.
ઉચ્ચ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો જે ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં સજાતીય હોય છે >>> nth ક્રમનું રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણ:
.
આ સમીકરણ માટે કોઈ ચોક્કસ (કોઈપણ) ઉકેલ આવવા દો. પછી સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:
,
સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ ક્યાં છે (1).
રેખીય વિભેદક સમીકરણો સતત ગુણાંક સાથે અને તેમને ઘટાડી શકાય તેવા
સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણો
આ ફોર્મના સમીકરણો છે:
(3)
.
અહીં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, આપણે n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે જે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે. પછી સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર (2) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
(2)
.
અમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ. અમને મળે છે:
(4)
.
લાક્ષણિક સમીકરણ જો આ સમીકરણ છેવિવિધ મૂળ
.
, તો પછી ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે: જો ઉપલબ્ધ હોય
,
જટિલ મૂળ
પછી ત્યાં એક જટિલ સંયોજક મૂળ પણ છે.આ બે મૂળ ઉકેલોને અનુરૂપ છે અને , જેને આપણે જટિલ ઉકેલોને બદલે મૂળભૂત સિસ્ટમમાં સમાવીએ છીએ અને .
મૂળના બહુવિધગુણાકાર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે: .
.
જટિલ મૂળના બહુવિધ
ગુણાકાર અને તેમના જટિલ સંયુક્ત મૂલ્યો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે:
,
વિશિષ્ટ અસંગત ભાગ સાથે રેખીય અસંગત સમીકરણો 1
ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો 2
ડિગ્રી s ના બહુપદી ક્યાં છે
અને એસ ;- કાયમી.
,
પ્રથમ આપણે સજાતીય સમીકરણ (3) માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. જો લાક્ષણિકતા સમીકરણ (4)
;
;
રુટ સમાવતું નથી 1
ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો 2
.
, પછી અમે ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ: જ્યાં s - s માંથી મહાન
.
જો લાક્ષણિકતા સમીકરણ (4)
.
મૂળ ધરાવે છે
ગુણાકાર, પછી આપણે ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ:
1)
આ પછી અમને સામાન્ય ઉકેલ મળે છે:.
સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત સમીકરણો
.
અહીં ત્રણ સંભવિત ઉકેલો છે.
,
બર્નૌલી પદ્ધતિ - 1
પ્રથમ, આપણે સજાતીય સમીકરણનો કોઈપણ બિનશૂન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ
2)
પછી અમે અવેજી બનાવીએ છીએ.
x ચલનું કાર્ય ક્યાં છે.
,
અમે u માટે એક વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાં x ના સંદર્ભમાં માત્ર u ના ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે.
3)
અવેજી હાથ ધરીને, આપણે સમીકરણ n મેળવીએ છીએ.
- મી ઓર્ડર.
(2)
.
અમે આગળ ધારીએ છીએ કે સ્થિરાંકો x ચલના કાર્યો છે.
,
પછી મૂળ સમીકરણના ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:
જ્યાં અજાણ્યા કાર્યો છે. મૂળ સમીકરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીને અને કેટલાક નિયંત્રણો લાદીને, અમે સમીકરણો મેળવીએ છીએ જેમાંથી આપણે કાર્યોના પ્રકાર શોધી શકીએ છીએ.
યુલરનું સમીકરણ
.
તે અવેજી દ્વારા સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે:
.
જો કે, યુલર સમીકરણને ઉકેલવા માટે, આવા અવેજી બનાવવાની જરૂર નથી. તમે તરત જ ફોર્મમાં સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ શોધી શકો છો
પરિણામે, અમે સતત ગુણાંક સાથેના સમીકરણ માટે સમાન નિયમો મેળવીએ છીએ, જેમાં તમારે ચલને બદલે અવેજી કરવાની જરૂર છે.
વપરાયેલ સાહિત્ય:
વી.વી. સ્ટેપનોવ, વિભેદક સમીકરણોનો અભ્યાસક્રમ, "LKI", 2015.
