ઘણી વાર ગતિના વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમને એકીકૃત કર્યા વિના યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિના મહત્વપૂર્ણ લક્ષણોને ઓળખવાનું શક્ય છે. ગતિશાસ્ત્રના સામાન્ય પ્રમેયને લાગુ કરીને આ પ્રાપ્ત થાય છે.

5.1. મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ

બાહ્ય અને આંતરિક દળો.યાંત્રિક પ્રણાલીમાં બિંદુ પર કાર્ય કરતું કોઈપણ બળ આવશ્યકપણે સક્રિય બળ અથવા જોડાણ પ્રતિક્રિયા છે. સિસ્ટમના બિંદુઓ પર કાર્ય કરતા દળોના સંપૂર્ણ સમૂહને બે વર્ગોમાં અલગ અલગ રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે: બાહ્ય દળો અને આંતરિક દળો (સૂચકાંકો e અને i - લેટિન શબ્દો externus - external અને internus - આંતરિકમાંથી). બાહ્ય દળો તે છે જે સિસ્ટમના બિંદુઓ અને સંસ્થાઓના બિંદુઓ પર કાર્ય કરે છે જે વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમનો ભાગ નથી. વિચારણા હેઠળના સિસ્ટમના બિંદુઓ અને સંસ્થાઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના દળોને આંતરિક કહેવામાં આવે છે.

આ વિભાજન વિચારણા હેઠળની યાંત્રિક પ્રણાલીમાં સંશોધક દ્વારા કયા ભૌતિક બિંદુઓ અને સંસ્થાઓનો સમાવેશ થાય છે તેના પર આધાર રાખે છે. જો આપણે વધારાના બિંદુઓ અને સંસ્થાઓનો સમાવેશ કરીને સિસ્ટમની રચનાને વિસ્તૃત કરીએ, તો કેટલાક બળો કે જે અગાઉની સિસ્ટમ માટે બાહ્ય હતા તે વિસ્તૃત સિસ્ટમ માટે આંતરિક બની શકે છે.

આંતરિક દળોના ગુણધર્મો.આ દળો સિસ્ટમના ભાગો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના દળો હોવાથી, તેઓ "બે" માં આંતરિક દળોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમમાં પ્રવેશ કરે છે, જે ક્રિયા-પ્રતિક્રિયા સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર ગોઠવાય છે. આવા દરેક "બે" માં શક્તિ હોય છે

મુખ્ય વેક્ટર અને મનસ્વી કેન્દ્ર વિશેની મુખ્ય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે. આંતરિક દળોની સંપૂર્ણ પ્રણાલીમાં ફક્ત "બે" નો સમાવેશ થાય છે

1) આંતરિક દળોની સિસ્ટમનો મુખ્ય વેક્ટર શૂન્ય છે,

2) મનસ્વી બિંદુને સંબંધિત આંતરિક દળોની સિસ્ટમની મુખ્ય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે.

સિસ્ટમનો સમૂહ એ સિસ્ટમની રચના કરતા તમામ બિંદુઓ અને સંસ્થાઓના માસ mk નો અંકગણિત સરવાળો છે:

સમૂહનું કેન્દ્રયાંત્રિક પ્રણાલીનું (જડતાનું કેન્દ્ર) એ ભૌમિતિક બિંદુ C છે, ત્રિજ્યા વેક્ટર અને કોઓર્ડિનેટ્સ જે સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સિસ્ટમ બનાવતા બિંદુઓના ત્રિજ્યા વેક્ટર અને કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે.

એક સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં સ્થિત કઠોર શરીર માટે, સમૂહના કેન્દ્ર અને ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રની સ્થિતિઓ એકરૂપ થાય છે, આ વિવિધ ભૌમિતિક બિંદુઓ છે.

જડતા સંદર્ભ પ્રણાલી સાથે, બિન-જડતી સંદર્ભ પ્રણાલી જે અનુવાદમાં આગળ વધે છે તેને ઘણીવાર એકસાથે ગણવામાં આવે છે. તેના સંકલન અક્ષો (કોનિગ અક્ષો) પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી મૂળ C સતત યાંત્રિક પ્રણાલીના સમૂહના કેન્દ્ર સાથે સુસંગત રહે. વ્યાખ્યા અનુસાર, સમૂહનું કેન્દ્ર કોએનિગ અક્ષોમાં ગતિહીન છે અને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર સ્થિત છે.

સિસ્ટમની જડતાની ક્ષણઅક્ષની સાપેક્ષ એ અક્ષ સુધીના તેમના અંતરના વર્ગો દ્વારા સિસ્ટમના તમામ બિંદુઓના સમૂહ mk ના ઉત્પાદનના સરવાળા સમાન સ્કેલર જથ્થો છે:

જો યાંત્રિક સિસ્ટમ સખત શરીર છે, તો 12 શોધવા માટે તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો

ઘનતા ક્યાં છે, શરીર દ્વારા કબજે કરેલ વોલ્યુમ.

શરીરની સિસ્ટમની ગતિશીલતા પર સામાન્ય પ્રમેય. સમૂહના કેન્દ્રની હિલચાલ પરના પ્રમેય, વેગમાં ફેરફાર પર, મુખ્ય કોણીય ગતિમાં ફેરફાર પર, ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પર. ડી'એલેમ્બર્ટના સિદ્ધાંતો અને સંભવિત હલનચલન. ગતિશીલતાનું સામાન્ય સમીકરણ. Lagrange સમીકરણો.

કઠોર શરીર અને શરીરની સિસ્ટમની ગતિશીલતા પર સામાન્ય પ્રમેય

ગતિશાસ્ત્રના સામાન્ય પ્રમેય- આ યાંત્રિક પ્રણાલીના દળના કેન્દ્રની હિલચાલ પર એક પ્રમેય છે, વેગમાં ફેરફાર પર એક પ્રમેય, મુખ્ય કોણીય વેગ (ગતિ ક્ષણ) માં ફેરફાર પર એક પ્રમેય અને ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પર એક પ્રમેય છે. યાંત્રિક સિસ્ટમનું.

યાંત્રિક પ્રણાલીના સમૂહના કેન્દ્રની ગતિ પર પ્રમેય

સમૂહના કેન્દ્રની ગતિ પર પ્રમેય.
સિસ્ટમના દળનું ઉત્પાદન અને તેના દળના કેન્દ્રનું પ્રવેગ એ સિસ્ટમ પર કામ કરતા તમામ બાહ્ય દળોના વેક્ટર સરવાળા જેટલું છે:
.

અહીં M એ સિસ્ટમનો સમૂહ છે:
;
a C એ સિસ્ટમના સમૂહના કેન્દ્રનું પ્રવેગક છે:
;
v C - સિસ્ટમના સમૂહના કેન્દ્રની ગતિ:
;
r C - સિસ્ટમના સમૂહના કેન્દ્રનો ત્રિજ્યા વેક્ટર (કોઓર્ડિનેટ્સ):
;
- કોઓર્ડિનેટ્સ (નિશ્ચિત કેન્દ્રને સંબંધિત) અને બિંદુઓના સમૂહ જે સિસ્ટમ બનાવે છે.

વેગ (વેગ) માં ફેરફાર પર પ્રમેય

સિસ્ટમની ગતિ (આવેગ) ની માત્રાતેના દળના કેન્દ્રની ગતિ દ્વારા અથવા સિસ્ટમને બનાવેલા વ્યક્તિગત બિંદુઓ અથવા ભાગોના વેગ (આવેગનો સરવાળો) દ્વારા સમગ્ર સિસ્ટમના સમૂહના ઉત્પાદનની બરાબર છે:
.

વિભેદક સ્વરૂપમાં વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય.
સિસ્ટમની ગતિના જથ્થા (વેગ)નો સમય વ્યુત્પન્ન સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતી તમામ બાહ્ય દળોના વેક્ટર સરવાળો સમાન છે:
.

અભિન્ન સ્વરૂપમાં વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય.
ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન સિસ્ટમના વેગ (વેગ) માં ફેરફાર એ સમાન સમયગાળા દરમિયાન બાહ્ય દળોના આવેગના સરવાળા સમાન છે:
.

વેગ (વેગ) ના સંરક્ષણનો કાયદો.
જો સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતી તમામ બાહ્ય શક્તિઓનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો સિસ્ટમનો વેક્ટર વેક્ટર સ્થિર રહેશે. એટલે કે, સંકલન અક્ષો પરના તેના તમામ અંદાજો સતત મૂલ્યો જાળવી રાખશે.

જો કોઈપણ અક્ષ પર બાહ્ય દળોના અંદાજોનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો આ અક્ષ પર સિસ્ટમની ગતિના જથ્થાનો અંદાજ સ્થિર રહેશે.

મુખ્ય કોણીય ગતિમાં ફેરફાર પર પ્રમેય (ક્ષણોનું પ્રમેય)

આપેલ કેન્દ્ર O સંબંધિત સિસ્ટમના મુખ્ય કોણીય વેગને આ કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમના તમામ બિંદુઓના કોણીય ગતિના વેક્ટર સરવાળા સમાન જથ્થા કહેવામાં આવે છે:
.
અહીં ચોરસ કૌંસ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દર્શાવે છે.

જોડાયેલ સિસ્ટમો

નીચેના પ્રમેય એવા કિસ્સામાં લાગુ પડે છે કે જ્યાં યાંત્રિક પ્રણાલીમાં નિશ્ચિત બિંદુ અથવા અક્ષ હોય છે જે જડતા સંદર્ભ ફ્રેમની તુલનામાં નિશ્ચિત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગોળાકાર બેરિંગ દ્વારા સુરક્ષિત શરીર. અથવા નિશ્ચિત કેન્દ્રની આસપાસ ફરતા શરીરની સિસ્ટમ. તે એક નિશ્ચિત ધરી પણ હોઈ શકે છે જેની આસપાસ શરીર અથવા શરીરની સિસ્ટમ ફરે છે. આ કિસ્સામાં, ક્ષણોને નિશ્ચિત અક્ષની તુલનામાં આવેગ અને દળોની ક્ષણો તરીકે સમજવી જોઈએ.

મુખ્ય કોણીય ગતિમાં ફેરફાર પર પ્રમેય (ક્ષણોનું પ્રમેય)
અમુક નિશ્ચિત કેન્દ્ર O ને સંબંધિત સિસ્ટમના મુખ્ય કોણીય વેગનો સમય વ્યુત્પન્ન એ સમાન કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમના તમામ બાહ્ય દળોની ક્ષણોના સરવાળા જેટલો છે.

મુખ્ય કોણીય મોમેન્ટમ (કોણીય ગતિ) ના સંરક્ષણનો કાયદો.
જો આપેલ નિશ્ચિત કેન્દ્ર O ને સંબંધિત સિસ્ટમ પર લાગુ તમામ બાહ્ય દળોની ક્ષણોનો સરવાળો શૂન્ય જેટલો હોય, તો આ કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમનો મુખ્ય કોણીય વેગ સ્થિર રહેશે. એટલે કે, સંકલન અક્ષો પરના તેના તમામ અંદાજો સતત મૂલ્યો જાળવી રાખશે.

જો અમુક નિશ્ચિત અક્ષની તુલનામાં બાહ્ય દળોની ક્ષણોનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો આ અક્ષની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમની કોણીય ગતિ સ્થિર રહેશે.

મનસ્વી સિસ્ટમો

નીચેના પ્રમેયમાં સાર્વત્રિક પાત્ર છે. તે નિશ્ચિત અને મુક્તપણે ફરતી સિસ્ટમો બંનેને લાગુ પડે છે. નિશ્ચિત સિસ્ટમોના કિસ્સામાં, નિશ્ચિત બિંદુઓ પર જોડાણોની પ્રતિક્રિયાઓને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે. તે અગાઉના પ્રમેયથી અલગ છે કે એક નિશ્ચિત બિંદુ O ને બદલે, વ્યક્તિએ સિસ્ટમના સમૂહ Cનું કેન્દ્ર લેવું જોઈએ.

સમૂહના કેન્દ્ર વિશે ક્ષણોનું પ્રમેય
સમૂહ C ના કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમના મુખ્ય કોણીય વેગનો સમય વ્યુત્પન્ન સમાન કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમના તમામ બાહ્ય દળોના ક્ષણોના સરવાળા જેટલો છે.

કોણીય વેગના સંરક્ષણનો કાયદો.
જો સમૂહ C ના કેન્દ્રને લગતી સિસ્ટમ પર લાગુ તમામ બાહ્ય દળોની ક્ષણોનો સરવાળો શૂન્ય જેટલો હોય, તો આ કેન્દ્રની સાપેક્ષ સિસ્ટમની વેગની મુખ્ય ક્ષણ સ્થિર રહેશે. એટલે કે, સંકલન અક્ષો પરના તેના તમામ અંદાજો સતત મૂલ્યો જાળવી રાખશે.

શરીરની જડતાની ક્ષણ

જો શરીર z ધરીની આસપાસ ફરે છેકોણીય વેગ ω z સાથે, પછી તેનું કોણીય વેગ (ગતિ ક્ષણ) z અક્ષને સંબંધિત સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
L z = J z ω z ,
જ્યાં J z એ z અક્ષની તુલનામાં શરીરની જડતાની ક્ષણ છે.

z અક્ષની તુલનામાં શરીરની જડતાની ક્ષણસૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત:
,
જ્યાં h k એ સમૂહ m k ના બિંદુથી z અક્ષ સુધીનું અંતર છે.
માસ M અને ત્રિજ્યા R ની પાતળી રીંગ માટે અથવા સિલિન્ડર કે જેનું માસ તેની કિનાર સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે,
J z = M R 2 .
નક્કર સજાતીય રિંગ અથવા સિલિન્ડર માટે,
.

સ્ટીનર-હ્યુજેન્સ પ્રમેય.
Cz એ શરીરના સમૂહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ છે, અક્ષ તેની સમાંતર છે. પછી આ અક્ષોને સંબંધિત શરીરની જડતાની ક્ષણો સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
જ્યાં M શરીરનું વજન છે; a એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.

વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં:
,
શરીરનું જડતા ટેન્સર ક્યાં છે.
અહીં એક વેક્ટર છે જે શરીરના દળના કેન્દ્રથી દળ m k સાથે બિંદુ સુધી દોરે છે.

ગતિ ઊર્જાના પરિવર્તન પર પ્રમેય

M ના સમૂહને અમુક અક્ષ z ની આસપાસ કોણીય વેગ ω સાથે અનુવાદાત્મક અને રોટેશનલ ગતિ કરવા દો.
,
પછી શરીરની ગતિ ઊર્જા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
જ્યાં v C એ શરીરના સમૂહના કેન્દ્રની હિલચાલની ગતિ છે;

J Cz એ પરિભ્રમણની અક્ષની સમાંતર શરીરના સમૂહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં શરીરની જડતાની ક્ષણ છે. પરિભ્રમણ અક્ષની દિશા સમય સાથે બદલાઈ શકે છે. આ સૂત્ર ગતિ ઊર્જાનું ત્વરિત મૂલ્ય આપે છે.
વિભેદક સ્વરૂપમાં સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પર પ્રમેય.
.

અમુક હિલચાલ દરમિયાન સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જાનો વિભેદક (વૃદ્ધિ) એ સિસ્ટમ પર લાગુ તમામ બાહ્ય અને આંતરિક દળોની આ હિલચાલ પરના કાર્યના તફાવતના સરવાળા સમાન છે:
અભિન્ન સ્વરૂપમાં સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પર પ્રમેય.
.

અમુક હિલચાલ દરમિયાન સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર એ સિસ્ટમ પર લાગુ તમામ બાહ્ય અને આંતરિક દળોની આ હિલચાલ પરના કાર્યના સરવાળા સમાન છે:બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કામ
,
, બળ વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન અને તેના એપ્લિકેશનના બિંદુના અનંત વિસ્થાપન સમાન છે:

એટલે કે, તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા F અને ds વેક્ટરના સંપૂર્ણ મૂલ્યોનું ઉત્પાદન.ક્ષણે ક્ષણે બળથી કરેલું કામ
.

ડી'એલેમ્બર્ટનો સિદ્ધાંત

ડી'એલેમ્બર્ટના સિદ્ધાંતનો સાર એ છે કે ગતિશીલતાની સમસ્યાઓને સ્ટેટિક્સની સમસ્યાઓમાં ઘટાડો. આ કરવા માટે, એવું માનવામાં આવે છે (અથવા તે અગાઉથી જાણીતું છે) કે સિસ્ટમના શરીરમાં ચોક્કસ (કોણીય) પ્રવેગક હોય છે. આગળ, જડતા દળો અને (અથવા) જડતા દળોની ક્ષણો રજૂ કરવામાં આવે છે, જે તીવ્રતામાં સમાન હોય છે અને દળોના દળો અને ક્ષણોની દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે, જે મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર, આપેલ પ્રવેગક અથવા કોણીય પ્રવેગક બનાવશે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. શરીર અનુવાદાત્મક ગતિમાંથી પસાર થાય છે અને તેના પર બાહ્ય દળો દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. અમે આગળ ધારીએ છીએ કે આ દળો સિસ્ટમના દળના કેન્દ્રને પ્રવેગક બનાવે છે. દળના કેન્દ્રની ગતિ પરના પ્રમેય મુજબ, જો કોઈ બળ શરીર પર કાર્ય કરે તો શરીરના દળના કેન્દ્રમાં સમાન પ્રવેગ હશે. આગળ આપણે જડતાનું બળ રજૂ કરીએ છીએ:
.
આ પછી, ગતિશીલતા સમસ્યા:
.
;
.

રોટેશનલ ગતિ માટે તે જ રીતે આગળ વધો. શરીરને z અક્ષની આસપાસ ફરવા દો અને M e zk બળની બાહ્ય ક્ષણો દ્વારા તેના પર કાર્ય કરવા દો.
.
અમે ધારીએ છીએ કે આ ક્ષણો કોણીય પ્રવેગક ε z બનાવે છે.
;
.

આગળ, અમે જડતા દળોની ક્ષણ રજૂ કરીએ છીએ M И = - J z ε z.

આ પછી, ગતિશીલતા સમસ્યા:

સ્ટેટિક્સ સમસ્યામાં ફેરવાય છે:.
શક્ય હલનચલનનો સિદ્ધાંત

સંભવિત વિસ્થાપનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ સ્ટેટિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે થાય છે. કેટલીક સમસ્યાઓમાં, તે સંતુલન સમીકરણો બનાવવા કરતાં ટૂંકા ઉકેલ આપે છે. આ ખાસ કરીને જોડાણો ધરાવતી સિસ્ટમો માટે સાચું છે (ઉદાહરણ તરીકે, થ્રેડો અને બ્લોક્સ દ્વારા જોડાયેલા શરીરની સિસ્ટમો) જેમાં ઘણી સંસ્થાઓ હોય છે.શક્ય હલનચલનનો સિદ્ધાંત

આદર્શ જોડાણો સાથે યાંત્રિક પ્રણાલીના સંતુલન માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે સિસ્ટમની કોઈપણ સંભવિત હિલચાલ માટે તેના પર કાર્ય કરતી તમામ સક્રિય દળોના પ્રારંભિક કાર્યોનો સરવાળો શૂન્ય સમાન છે.શક્ય સિસ્ટમ સ્થાનાંતરણ

- આ એક નાની ચળવળ છે જેમાં સિસ્ટમ પર લાદવામાં આવેલા કનેક્શન્સ તૂટેલા નથી.

આદર્શ જોડાણો

- આ એવા કનેક્શન્સ છે જે જ્યારે સિસ્ટમ ફરે છે ત્યારે કામ કરતા નથી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સિસ્ટમને ખસેડતી વખતે કનેક્શન્સ દ્વારા કરવામાં આવતી કામગીરીની માત્રા શૂન્ય છે..
ડાયનેમિક્સનું સામાન્ય સમીકરણ (ડી'એલેમ્બર્ટ - લેગ્રેન્જ સિદ્ધાંત)
.
ડી'એલેમ્બર્ટ-લેગ્રેન્જ સિદ્ધાંત એ ડી'એલેમ્બર્ટ સિદ્ધાંતનું સંભવિત હલનચલનના સિદ્ધાંત સાથેનું સંયોજન છે. એટલે કે, ગતિશીલ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે જડતા દળોનો પરિચય કરીએ છીએ અને સમસ્યાને સ્થિર સમસ્યામાં ઘટાડીએ છીએ, જેને આપણે સંભવિત વિસ્થાપનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ. ગતિશીલતાનું સામાન્ય સમીકરણ.

Lagrange સમીકરણો

સામાન્યકૃત q કોઓર્ડિનેટ્સ 1, q 2, ..., q n એ n જથ્થાઓનો સમૂહ છે જે સિસ્ટમની સ્થિતિને વિશિષ્ટ રીતે નિર્ધારિત કરે છે.

સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ n ની સંખ્યા સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે.

સામાન્ય ગતિસમય t ના સંદર્ભમાં સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સના વ્યુત્પન્ન છે.

સામાન્યીકૃત દળો પ્ર 1 , Q 2 , ..., Q n .
ચાલો સિસ્ટમની સંભવિત હિલચાલને ધ્યાનમાં લઈએ, જેના પર સંકલન q k ને δq k ચળવળ પ્રાપ્ત થશે.
બાકીના કોઓર્ડિનેટ્સ યથાવત રહે છે. ચાલો δA k ને આવી ચળવળ દરમિયાન બાહ્ય દળો દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ગણીએ. પછી
.

δA k = Q k δq k , અથવા
જો, સિસ્ટમની સંભવિત હિલચાલ સાથે, બધા કોઓર્ડિનેટ્સ બદલાય છે, તો પછી આવી ચળવળ દરમિયાન બાહ્ય દળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું સ્વરૂપ છે: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

પછી સામાન્યકૃત દળો વિસ્થાપન પરના કાર્યના આંશિક વ્યુત્પન્ન છે:સંભવિત દળો માટે
.

સંભવિત Π સાથે, Lagrange સમીકરણો

- આ સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સમાં યાંત્રિક સિસ્ટમની ગતિના સમીકરણો છે:
.

અહીં T ગતિ ઊર્જા છે. તે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ, વેગ અને, સંભવતઃ, સમયનું કાર્ય છે. તેથી, તેનું આંશિક વ્યુત્પન્ન પણ સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ, વેગ અને સમયનું કાર્ય છે. આગળ, તમારે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેગ એ સમયના કાર્યો છે. તેથી, સમયના સંદર્ભમાં કુલ વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે જટિલ કાર્યના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરવાની જરૂર છે:
વપરાયેલ સાહિત્ય:

એસ.એમ. ટાર્ગ, સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સનો ટૂંકો અભ્યાસક્રમ, "ઉચ્ચ શાળા", 2010.

બેલારુસ પ્રજાસત્તાકનું કૃષિ અને ખાદ્ય મંત્રાલય

શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન રાજ્ય કૃષિ

ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી"

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ વિભાગ અને મિકેનિઝમ્સ અને મશીનોનો સિદ્ધાંત

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ

વિશેષતાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પદ્ધતિસરનું સંકુલ

74 06 એગ્રોઇન્જિનિયરિંગ

2 ભાગોમાં ભાગ 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

દ્વારા સંકલિત:

ફિઝિકલ અને મેથેમેટિકલ સાયન્સના ઉમેદવાર, એસોસિયેટ પ્રોફેસર યુ. એસ. બિઝા, ટેકનિકલ સાયન્સના ઉમેદવાર, સહયોગી પ્રોફેસર એન. એલ. રાકોવા, વરિષ્ઠ લેક્ચરર. A. તારાસેવિચ

સમીક્ષકો:

શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન નેશનલ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી" ના સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ વિભાગ (મુખ્ય

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ વિભાગ BNTU ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના ડૉક્ટર, પ્રોફેસર એ. વી. ચિગારેવ);

સ્ટેટ સાયન્ટિફિક ઇન્સ્ટિટ્યુશન યુનાઇટેડ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગની મિકેનિકલ સિસ્ટમ્સની વાઇબ્રેશન પ્રોટેક્શન લેબોરેટરીના અગ્રણી સંશોધક

બેલારુસના NAS", તકનીકી વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર, સહયોગી પ્રોફેસર એ.એમ. ગોમન

T33 પદ્ધતિ. જટિલ 2 ભાગોમાં / દ્વારા સંકલિત: યુ એસ. બિઝા, એન. એલ. રાકોવા, આઈ. એ. તારાસેવિચ – મિન્સ્ક: BGATU, 2013. – 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8.

શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરનું સંકુલ વિભાગ “ડાયનેમિક્સ”, ભાગ 1 ના અભ્યાસ માટે સામગ્રી રજૂ કરે છે, જે “સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ” શિસ્તનો ભાગ છે. વ્યાખ્યાનોનો કોર્સ, પ્રાયોગિક વર્ગો કરવા માટેની મૂળભૂત સામગ્રી, સ્વતંત્ર કાર્ય માટે સોંપણીઓ અને સોંપણીઓના નમૂનાઓ અને પૂર્ણ-સમય અને અંશકાલિક વિદ્યાર્થીઓની શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓનું નિરીક્ષણ કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

પરિચય

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ એ યાંત્રિક ગતિ, સંતુલન અને ભૌતિક સંસ્થાઓની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના સામાન્ય નિયમોનું વિજ્ઞાન છે.

આ મૂળભૂત સામાન્ય વૈજ્ઞાનિક ભૌતિક-ગાણિતિક શાખાઓમાંની એક છે. તે આધુનિક ટેકનોલોજીનો સૈદ્ધાંતિક આધાર છે.

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સનો અભ્યાસ, અન્ય ભૌતિક અને ગાણિતિક વિદ્યાશાખાઓ સાથે, વૈજ્ઞાનિક ક્ષિતિજને વિસ્તૃત કરવામાં મદદ કરે છે, નક્કર અને અમૂર્ત વિચારસરણીની ક્ષમતા વિકસાવે છે અને ભવિષ્યના નિષ્ણાતની સામાન્ય તકનીકી સંસ્કૃતિને સુધારવામાં મદદ કરે છે.

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ, તમામ તકનીકી શાખાઓનો વૈજ્ઞાનિક આધાર હોવાને કારણે, કૃષિ અને જમીન સુધારણા મશીનો અને સાધનોના સંચાલન, સમારકામ અને ડિઝાઇન સંબંધિત ઇજનેરી સમસ્યાઓના તર્કસંગત ઉકેલોમાં કુશળતાના વિકાસમાં ફાળો આપે છે.

વિચારણા હેઠળની સમસ્યાઓની પ્રકૃતિના આધારે, મિકેનિક્સને સ્ટેટિક્સ, ગતિશાસ્ત્ર અને ગતિશાસ્ત્રમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ડાયનેમિક્સ એ સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સની એક શાખા છે જે લાગુ દળોની ક્રિયા હેઠળ ભૌતિક શરીરની હિલચાલનો અભ્યાસ કરે છે.

IN શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરનીકોમ્પ્લેક્સ (UMK) "ડાયનેમિક્સ" વિભાગના અભ્યાસ માટે સામગ્રી રજૂ કરે છે, જેમાં લેક્ચરનો કોર્સ, પ્રાયોગિક કાર્ય માટે મૂળભૂત સામગ્રી, સ્વતંત્ર કાર્ય માટે સોંપણીઓ અને નમૂનાઓ અને પૂર્ણ-સમય અને અંશકાલિક વિદ્યાર્થીઓની શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓનું નિરીક્ષણ કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

IN "ડાયનેમિક્સ" વિભાગના અભ્યાસના પરિણામે, વિદ્યાર્થીએ ગતિશાસ્ત્રના સૈદ્ધાંતિક પાયામાં માસ્ટર હોવું જોઈએ અને ગતિશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ હલ કરવાની મૂળભૂત પદ્ધતિઓમાં માસ્ટર હોવું જોઈએ:

ગતિશીલતાની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ, ગતિશાસ્ત્રના સામાન્ય પ્રમેય, મિકેનિક્સના સિદ્ધાંતો જાણો;

તેના પર કામ કરતા દળોના આધારે શરીરની ગતિના નિયમો નક્કી કરવામાં સક્ષમ બનો; સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે મિકેનિક્સના કાયદા અને પ્રમેય લાગુ કરો; શરીરની હિલચાલને મર્યાદિત કરતા જોડાણોની સ્થિર અને ગતિશીલ પ્રતિક્રિયાઓ નક્કી કરો.

"સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ" શિસ્તનો અભ્યાસક્રમ વર્ગખંડના કુલ કલાકો - 136 માટે પ્રદાન કરે છે, જેમાં "ડાયનેમિક્સ" વિભાગના અભ્યાસ માટે 36 કલાકનો સમાવેશ થાય છે.

1. શૈક્ષણિક અને મેથોડોલોજિકલ કોમ્પ્લેક્સની વૈજ્ઞાનિક અને સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી

1.1. શબ્દાવલિ

સ્ટેટિક્સ એ મિકેનિક્સની એક શાખા છે જે દળોના સામાન્ય સિદ્ધાંતને સુયોજિત કરે છે, દળોની જટિલ પ્રણાલીઓને તેમના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો અભ્યાસ કરે છે અને દળોની વિવિધ પ્રણાલીઓના સંતુલન માટેની શરતો સ્થાપિત કરે છે.

ગતિશાસ્ત્ર એ સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સની એક શાખા છે જે આ ચળવળના કારણોને ધ્યાનમાં લીધા વિના ભૌતિક પદાર્થોની હિલચાલનો અભ્યાસ કરે છે, એટલે કે, આ પદાર્થો પર કાર્ય કરતી શક્તિઓને ધ્યાનમાં લીધા વિના.

ડાયનેમિક્સ એ સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સની એક શાખા છે જે લાગુ દળોની ક્રિયા હેઠળ ભૌતિક સંસ્થાઓ (બિંદુઓ) ની હિલચાલનો અભ્યાસ કરે છે.

સામગ્રી બિંદુ- એક ભૌતિક શરીર, જેનાં બિંદુઓની હિલચાલમાં તફાવત નજીવો છે.

શરીરનો સમૂહ એ એક સ્કેલર સકારાત્મક જથ્થો છે જે આપેલ શરીરમાં રહેલા પદાર્થની માત્રા પર આધાર રાખે છે અને અનુવાદની ગતિ દરમિયાન તેની જડતાનું માપ નક્કી કરે છે.

સંદર્ભ પ્રણાલી એ શરીર સાથે સંકળાયેલ સંકલન પ્રણાલી છે જેના સંબંધમાં બીજા શરીરની હિલચાલનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ઇનર્શિયલ સિસ્ટમ- એક સિસ્ટમ જેમાં ગતિશીલતાના પ્રથમ અને બીજા નિયમો સંતુષ્ટ છે.

બળ આવેગ એ અમુક સમય દરમિયાન બળની ક્રિયાનું વેક્ટર માપ છે.

ભૌતિક બિંદુની ગતિ - તેની ગતિનું વેક્ટર માપ, બિંદુના સમૂહ અને તેના વેગ વેક્ટરના ઉત્પાદનની સમાન.

ગતિ ઊર્જા- યાંત્રિક ગતિનું સ્કેલર માપ.

બળનું પ્રાથમિક કાર્યબળ વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન અને બળના ઉપયોગના બિંદુના અનંત નાના ડિસ્પ્લેસમેન્ટના વેક્ટરની સમાન એક અનંત સ્કેલર જથ્થો છે.

ગતિ ઊર્જા- યાંત્રિક ગતિનું સ્કેલર માપ.

ભૌતિક બિંદુની ગતિ ઊર્જા એ સ્કેલર ઊર્જા છે

બિંદુના દળ અને તેના વેગના વર્ગના અડધા ગુણાંક જેટલો હકારાત્મક જથ્થો.

યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિ ઊર્જા - અંકશાસ્ત્ર-

આ સિસ્ટમના તમામ ભૌતિક બિંદુઓની ગતિ ઊર્જાનો ટિક સરવાળો.

બળ એ શરીરની યાંત્રિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું માપ છે, તેની તીવ્રતા અને દિશા દર્શાવે છે.

1.2. વ્યાખ્યાન વિષયો અને સામગ્રી

વિભાગ 1. ગતિશીલતાનો પરિચય. મૂળભૂત ખ્યાલો

શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ

વિષય 1. સામગ્રી બિંદુની ગતિશીલતા

ભૌતિક બિંદુની ગતિશીલતાના નિયમો (ગેલિલિયો - ન્યૂટનના નિયમો). ભૌતિક બિંદુની ગતિના વિભેદક સમીકરણો. ભૌતિક બિંદુ માટે ગતિશીલતાની બે મુખ્ય સમસ્યાઓ. ગતિશીલતાની બીજી સમસ્યાનો ઉકેલ; એકીકરણના સ્થિરાંકો અને પ્રારંભિક શરતો દ્વારા તેમના નિર્ધારણ.

સાહિત્ય:, પૃષ્ઠ 180-196, , પૃષ્ઠ 12-26.

વિષય 2. સામગ્રીની સંબંધિત હિલચાલની ગતિશીલતા

ભૌતિક બિંદુની સંબંધિત ગતિ. બિંદુની સંબંધિત ગતિના વિભેદક સમીકરણો; પોર્ટેબલ અને કોરિઓલિસ ઇનર્શિયલ ફોર્સ. ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત. સાપેક્ષ શાંતિનો કિસ્સો.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ 180-196, , પૃષ્ઠ 127-155.

વિષય 3. સમૂહની ભૂમિતિ. યાંત્રિક પ્રણાલીના સમૂહનું કેન્દ્ર

સિસ્ટમ માસ. સિસ્ટમના સમૂહનું કેન્દ્ર અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ.

સાહિત્ય:, પૃષ્ઠ 86-93, પૃષ્ઠ 264-265

વિષય 4. કઠોર શરીરની જડતાની ક્ષણો

અક્ષ અને ધ્રુવને સંબંધિત કઠોર શરીરની જડતાની ક્ષણો. જડતાની ત્રિજ્યા. સમાંતર અક્ષો વિશે જડતાની ક્ષણો પર પ્રમેય. કેટલાક શરીરની જડતાની અક્ષીય ક્ષણો.

શરીરની અસમપ્રમાણતાની લાક્ષણિકતા તરીકે જડતાના કેન્દ્રત્યાગી ક્ષણો.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ. 265-271, , પૃષ્ઠ. 155-173.

વિભાગ 2. સામગ્રી બિંદુની ગતિશીલતા પર સામાન્ય પ્રમેય

અને યાંત્રિક સિસ્ટમ

વિષય 5. સિસ્ટમના સમૂહના કેન્દ્રની ગતિ પર પ્રમેય

સિસ્ટમના સમૂહના કેન્દ્રની ગતિ પર પ્રમેય. સિસ્ટમના સમૂહના કેન્દ્રની ગતિ પર પ્રમેયમાંથી કોરોલરીઝ.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ. 274-277, , પૃષ્ઠ 175-192.

વિષય 6. ભૌતિક બિંદુની ગતિ

અને યાંત્રિક સિસ્ટમ

સામગ્રી બિંદુ અને યાંત્રિક સિસ્ટમની ગતિનું પ્રમાણ. મર્યાદિત સમયગાળામાં પ્રાથમિક આવેગ અને બળ આવેગ. વિભેદક અને અભિન્ન સ્વરૂપોમાં એક બિંદુ અને સિસ્ટમના વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય. ગતિના સંરક્ષણનો કાયદો.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ 280-284, , પૃષ્ઠ 192-207.

વિષય 7. ભૌતિક બિંદુની ગતિ

અને કેન્દ્ર અને ધરીને સંબંધિત યાંત્રિક સિસ્ટમ

કેન્દ્ર અને અક્ષને સંબંધિત બિંદુના વેગની ક્ષણ. બિંદુના કોણીય વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય. કેન્દ્ર અને ધરીને સંબંધિત યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણ.

પરિભ્રમણની ધરી વિશે ફરતા સખત શરીરની ગતિશીલ ક્ષણ. સિસ્ટમના કોણીય વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય. કોણીય વેગના સંરક્ષણનો કાયદો.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ. 292-298, , પૃષ્ઠ 207-258.

વિષય 8. દળોનું કાર્ય અને શક્તિ

બળનું પ્રાથમિક કાર્ય, તેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ. અંતિમ માર્ગ પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય. ગુરુત્વાકર્ષણ, સ્થિતિસ્થાપક બળનું કાર્ય. નક્કર શરીરમાં કાર્ય કરતી આંતરિક શક્તિઓ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે. નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ફરતા કઠોર શરીર પર લાગુ દળોનું કાર્ય. શક્તિ. કાર્યક્ષમતા.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ 208-213, , પૃષ્ઠ 280-290.

વિષય 9. ભૌતિક બિંદુની ગતિ ઊર્જા

અને યાંત્રિક સિસ્ટમ

સામગ્રી બિંદુ અને યાંત્રિક સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા. તેની ગતિના વિવિધ કેસોમાં કઠોર શરીરની ગતિ ઊર્જાની ગણતરી. કોએનિગનું પ્રમેય. વિભેદક અને અભિન્ન સ્વરૂપોમાં બિંદુની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પર પ્રમેય. વિભેદક અને અભિન્ન સ્વરૂપોમાં યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પર પ્રમેય.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ. 301-310, , પૃષ્ઠ 290-344.

વિષય 10. સંભવિત બળ ક્ષેત્ર અને સંભવિત

બળ ક્ષેત્રનો ખ્યાલ. સંભવિત બળ ક્ષેત્ર અને બળ કાર્ય. સંભવિત બળ ક્ષેત્રમાં બિંદુના અંતિમ વિસ્થાપન પર બળનું કાર્ય. સંભવિત ઊર્જા.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ. 317-320, , પૃષ્ઠ 344-347.

વિષય 11. સખત શરીરની ગતિશીલતા

કઠોર શરીરની અનુવાદાત્મક ગતિના વિભેદક સમીકરણો. નિશ્ચિત અક્ષની ફરતે કઠોર શરીરની રોટેશનલ ગતિનું વિભેદક સમીકરણ. ભૌતિક લોલક. કઠોર શરીરની સમતલ ગતિના વિભેદક સમીકરણો.

સાહિત્ય: , પૃષ્ઠ. 323-334, , પૃષ્ઠ. 157-173.

વિભાગ 1. ગતિશીલતાનો પરિચય. મૂળભૂત ખ્યાલો

શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ

ડાયનેમિક્સ એ સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સની એક શાખા છે જે લાગુ દળોની ક્રિયા હેઠળ ભૌતિક સંસ્થાઓ (બિંદુઓ) ની હિલચાલનો અભ્યાસ કરે છે.

ભૌતિક શરીર- એક શરીર કે જેમાં સમૂહ હોય છે.

સામગ્રી બિંદુ- એક ભૌતિક શરીર, જેનાં બિંદુઓની હિલચાલમાં તફાવત નજીવો છે. આ કાં તો એવું શરીર હોઈ શકે છે કે જેના ચળવળ દરમિયાન પરિમાણોને અવગણવામાં આવી શકે છે, અથવા મર્યાદિત પરિમાણોનું શરીર જો તે ભાષાંતરિત રીતે આગળ વધે છે.

સામગ્રીના બિંદુઓને કણો પણ કહેવામાં આવે છે જેમાં નક્કર શરીર તેની કેટલીક ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરતી વખતે માનસિક રીતે તૂટી જાય છે. ભૌતિક બિંદુઓના ઉદાહરણો (ફિગ. 1): a – સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની હિલચાલ. પૃથ્વી એક ભૌતિક બિંદુ છે; બી - સખત શરીરની અનુવાદ ગતિ. નક્કર શરીર - માતા

al બિંદુ, કારણ કે V B = V A ; a B = a A ; c - ધરીની આસપાસ શરીરનું પરિભ્રમણ.

શરીરનો કણ એ ભૌતિક બિંદુ છે.

જડતા એ ભૌતિક સંસ્થાઓની મિલકત છે જે લાગુ દળોના પ્રભાવ હેઠળ તેમની હિલચાલની ગતિને ઝડપી અથવા ધીમી કરે છે.

શરીરનો સમૂહ એ એક સ્કેલર સકારાત્મક જથ્થો છે જે આપેલ શરીરમાં રહેલા પદાર્થની માત્રા પર આધાર રાખે છે અને અનુવાદની ગતિ દરમિયાન તેની જડતાનું માપ નક્કી કરે છે. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, સમૂહ એ સતત જથ્થો છે.

બળ એ શરીર વચ્ચે અથવા શરીર (બિંદુ) અને ક્ષેત્ર (ઇલેક્ટ્રિક, ચુંબકીય, વગેરે) વચ્ચેની યાંત્રિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું માત્રાત્મક માપ છે.

બળ એ વેક્ટર જથ્થા છે જે તીવ્રતા, એપ્લિકેશનના બિંદુ અને દિશા (ક્રિયાની રેખા) દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે (ફિગ. 2: A - એપ્લિકેશનનો બિંદુ; AB - બળની ક્રિયાની રેખા).

ચોખા. 2

ગતિશીલતામાં, સ્થિર દળોની સાથે, ચલ દળો પણ હોય છે, જે સમય t, ઝડપϑ, અંતર પર અથવા આ જથ્થાઓના સંયોજન પર આધાર રાખે છે, એટલે કે.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ );

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

ઇલેક્ટ્રિક લોકોમોટિવ; c − F = F (r) – કેન્દ્ર O અથવા તેના તરફ આકર્ષણનું બળ.

સંદર્ભ પ્રણાલી એ શરીર સાથે સંકળાયેલ સંકલન પ્રણાલી છે જેના સંબંધમાં બીજા શરીરની હિલચાલનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

જડતા પ્રણાલી એ એવી સિસ્ટમ છે જેમાં ગતિશીલતાના પ્રથમ અને બીજા નિયમો સંતુષ્ટ થાય છે. આ એક નિશ્ચિત સંકલન પ્રણાલી અથવા એકસરખી અને રેખીય રીતે ફરતી સિસ્ટમ છે.

મિકેનિક્સમાં હલનચલન એ અન્ય સંસ્થાઓના સંબંધમાં અવકાશ અને સમયમાં શરીરની સ્થિતિમાં ફેરફાર છે.

ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં અવકાશ ત્રિ-પરિમાણીય છે, યુક્લિડિયન ભૂમિતિનું પાલન કરે છે.

સમય એ એક સ્કેલર જથ્થો છે જે કોઈપણ સંદર્ભ પ્રણાલીમાં સમાન રીતે વહે છે.

એકમોની સિસ્ટમ એ ભૌતિક જથ્થાના માપનના એકમોનો સમૂહ છે. તમામ યાંત્રિક જથ્થાઓને માપવા માટે, ત્રણ મૂળભૂત એકમો પર્યાપ્ત છે: લંબાઈ, સમય, દળ અથવા બળના એકમો.

યાંત્રિક જથ્થાના માપનના અન્ય તમામ એકમો આમાંથી લેવામાં આવ્યા છે. બે પ્રકારની યુનિટ સિસ્ટમ્સનો ઉપયોગ થાય છે: એકમોની આંતરરાષ્ટ્રીય સિસ્ટમ SI (અથવા નાની - GHS) અને એકમોની તકનીકી સિસ્ટમ - ICGSS.

વિષય 1. સામગ્રી બિંદુની ગતિશીલતા

1.1. ભૌતિક બિંદુની ગતિશીલતાના નિયમો (ગેલિલિયો-ન્યુટન કાયદા)

પ્રથમ કાયદો (જડતાનો કાયદો).

બાહ્ય પ્રભાવોથી અલગ પડેલો પદાર્થ બિંદુ તેની આરામની સ્થિતિ જાળવી રાખે છે અથવા લાગુ દળો તેને આ સ્થિતિ બદલવા માટે દબાણ ન કરે ત્યાં સુધી એકસરખી અને સરખી રીતે આગળ વધે છે.

દળોની ગેરહાજરીમાં અથવા દળોની સંતુલિત પ્રણાલીની ક્રિયા હેઠળ બિંદુ દ્વારા કરવામાં આવતી હિલચાલને જડતા દ્વારા ચળવળ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સરળ સાથે શરીરની હિલચાલ (ઘર્ષણ બળ શૂન્ય છે)

આડી સપાટી (ફિગ. 4: G – શરીરનું વજન; N – સામાન્ય વિમાન પ્રતિક્રિયા).

ત્યારથી G = − N, પછી G + N = 0.

જ્યારે ϑ 0 ≠ 0 શરીર સમાન ઝડપે ફરે છે; જ્યારે ϑ 0 = 0 શરીર આરામ પર હોય છે (ϑ 0 એ પ્રારંભિક ગતિ છે).

બીજો કાયદો (ગતિશીલતાનો મૂળભૂત કાયદો).

કોઈ બિંદુના સમૂહનું ઉત્પાદન અને આપેલ બળના પ્રભાવ હેઠળ તેને પ્રાપ્ત થતો પ્રવેગ આ બળની તીવ્રતામાં સમાન છે, અને તેની દિશા પ્રવેગની દિશા સાથે એકરુપ છે.

a b

ગાણિતિક રીતે, આ કાયદો વેક્ટર સમાનતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

જ્યારે F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – બિંદુ એકસરખી રીતે અને લંબચોરસ રીતે અથવા ϑ 0 = 0 પર ખસે છે - ત્યારે તે આરામ પર હોય છે (જડતાનો નિયમ). બીજું

કાયદો આપણને પૃથ્વીની સપાટીની નજીક સ્થિત શરીરના દળ m અને તેના વજન વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. G = mg, જ્યાં છે

ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગક.

ત્રીજો કાયદો (ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયાની સમાનતાનો કાયદો). બે ભૌતિક બિંદુઓ એકબીજા પર સમાન દળો સાથે કાર્ય કરે છે અને સીધી રેખા સાથે જોડાય છે

આ બિંદુઓ વિરુદ્ધ દિશામાં.

કારણ કે દળો F 1 = − F 2 વિવિધ બિંદુઓ પર લાગુ થાય છે, દળોની સિસ્ટમ (F 1 , F 2 ) સંતુલિત નથી, એટલે કે (F 1 , F 2 )≈ 0 (ફિગ. 6).

ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના બિંદુઓના સમૂહ તેમના પ્રવેગના વિપરિત પ્રમાણસર છે.

ચોથો કાયદો (દળોની ક્રિયાની સ્વતંત્રતાનો કાયદો). એક જ સમયે તેના પર કાર્ય કરતી વખતે બિંદુ દ્વારા પ્રાપ્ત પ્રવેગક

પરંતુ કેટલાક દળો, તે પ્રવેગકના ભૌમિતિક સરવાળાની બરાબર છે કે જો દરેક બળ તેના પર અલગથી લાગુ કરવામાં આવે તો બિંદુ પ્રાપ્ત થશે.

સમજૂતી (ફિગ. 7).

t એ એન

a 1 a kF n

પરિણામી બળ R (F 1,...F k,...F n ) .

ત્યારથી ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man, પછી

a = a 1 + ... a k + ... a n = ∑ a k, એટલે કે ચોથો કાયદો સમકક્ષ છે

k = 1

દળો ઉમેરવાનો નિયમ.

1.2. ભૌતિક બિંદુની ગતિના વિભેદક સમીકરણો

ભૌતિક બિંદુ પર એક સાથે અનેક દળોને કાર્ય કરવા દો, જેમાં સ્થિર અને ચલ બંને હોય છે.

ચાલો ફોર્મમાં ગતિશાસ્ત્રનો બીજો નિયમ લખીએ

પોઈન્ટ, તો પછી (1.2) r ના ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે અને વેક્ટર સ્વરૂપમાં સામગ્રી બિંદુની ગતિનું વિભેદક સમીકરણ અથવા સામગ્રી બિંદુની ગતિશીલતાનું મૂળભૂત સમીકરણ છે.

વેક્ટર સમાનતાના અંદાજો (1.2): - કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સની ધરી પર (ફિગ. 8, a)

કુદરતી ધરી પર (ફિગ. 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

સમીકરણો (1.3) અને (1.4) એ સામગ્રી બિંદુની ગતિના વિભેદક સમીકરણો છે, અનુક્રમે, કાર્ટેશિયન સંકલન અક્ષો અને કુદરતી અક્ષોમાં, એટલે કે, કુદરતી વિભેદક સમીકરણો કે જે સામાન્ય રીતે બિંદુની વક્ર ગતિ માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે, જો તેની ગતિ બિંદુ અને તેની વક્રતાની ત્રિજ્યા જાણીતી છે.

1.3. ભૌતિક બિંદુ અને તેમના ઉકેલ માટે ગતિશીલતાની બે મુખ્ય સમસ્યાઓ

પ્રથમ (સીધુ) કાર્ય.

ગતિના નિયમ અને બિંદુના સમૂહને જાણીને, બિંદુ પર કાર્ય કરતું બળ નક્કી કરો.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે બિંદુના પ્રવેગકને જાણવાની જરૂર છે. આ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં, તે સીધી રીતે નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે અથવા બિંદુની ગતિનો નિયમ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જેના આધારે તે નક્કી કરી શકાય છે.

1. તેથી, જો બિંદુની ગતિ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં ઉલ્લેખિત હોય

x = f 1 (t), y = f 2 (t) અને z = f 3 (t), પછી પ્રવેગક અંદાજો નક્કી થાય છે

ચાલો નિશ્ચિત સંકલન પ્રણાલીની તુલનામાં ભૌતિક પદાર્થોની ચોક્કસ સિસ્ટમની હિલચાલને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે સિસ્ટમ મુક્ત ન હોય, તો જો આપણે સિસ્ટમ પર લાદવામાં આવેલા જોડાણોને છોડી દઈએ અને તેની ક્રિયાને અનુરૂપ પ્રતિક્રિયાઓ સાથે બદલીએ તો તે મુક્ત ગણી શકાય.

ચાલો સિસ્ટમ પર લાગુ તમામ દળોને બાહ્ય અને આંતરિકમાં વિભાજીત કરીએ; બંનેમાં કાઢી નાખવાની પ્રતિક્રિયાઓ શામેલ હોઈ શકે છે

જોડાણો ચાલો અને બિંદુ A ને સંબંધિત મુખ્ય વેક્ટર અને બાહ્ય દળોની મુખ્ય ક્ષણ સૂચવીએ.

1. વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય.જો સિસ્ટમની ગતિનું પ્રમાણ છે, તો (જુઓ)

એટલે કે, પ્રમેય માન્ય છે: સિસ્ટમના વેગનો સમય વ્યુત્પન્ન તમામ બાહ્ય દળોના મુખ્ય વેક્ટર સમાન છે.

વેક્ટરને તેની અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલીને જ્યાં સિસ્ટમનો સમૂહ છે, તે દળના કેન્દ્રનો વેગ છે, સમીકરણ (4.1) ને અલગ સ્વરૂપ આપી શકાય છે:

આ સમાનતાનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમના દળનું કેન્દ્ર ભૌતિક બિંદુની જેમ ફરે છે જેનું દળ સિસ્ટમના દળ જેટલું હોય છે અને જેના પર બળ લાગુ કરવામાં આવે છે જે સિસ્ટમના તમામ બાહ્ય દળોના મુખ્ય વેક્ટરની ભૌમિતિક રીતે સમાન હોય છે. છેલ્લું વિધાન સિસ્ટમના દળના કેન્દ્ર (જડતાનું કેન્દ્ર) ની ગતિ પર પ્રમેય કહેવાય છે.

જો પછી (4.1) થી તે અનુસરે છે કે વેક્ટર વેક્ટર તીવ્રતા અને દિશામાં સ્થિર છે. તેને કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર પ્રક્ષેપિત કરીને, અમે સિસ્ટમના ડબલ કેપના વિભેદક સમીકરણો, ત્રણ સ્કેલર ફર્સ્ટ ઇન્ટિગ્રલ મેળવીએ છીએ:

આ ઇન્ટિગ્રલ્સને મોમેન્ટમ ઇન્ટિગ્રલ્સ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે દળના કેન્દ્રની ગતિ સ્થિર હોય છે, એટલે કે, તે એકસરખી અને સરખી રીતે આગળ વધે છે.

જો કોઈપણ એક ધરી પર બાહ્ય દળોના મુખ્ય વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ, ઉદાહરણ તરીકે, અક્ષ પર, શૂન્ય સમાન હોય, તો આપણી પાસે એક પ્રથમ અવિભાજ્ય છે, અથવા જો મુખ્ય વેક્ટરના બે અંદાજો શૂન્ય સમાન હોય, તો ત્યાં બે છે. ગતિના અભિન્ન અંગો.

2. ગતિ ગતિમાં ફેરફાર પર પ્રમેય. A ને અવકાશમાં કેટલાક મનસ્વી બિંદુ (ખસેડવાની અથવા સ્થિર) રહેવા દો, જે સમગ્ર હિલચાલ દરમિયાન સિસ્ટમના કોઈપણ વિશિષ્ટ સામગ્રી બિંદુ સાથે સુસંગત હોય તે જરૂરી નથી. પોઈન્ટ A ની સાપેક્ષમાં ભૌતિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણમાં ફેરફાર પરના પ્રમેય દ્વારા અમે નિશ્ચિત સંકલન પ્રણાલીમાં તેની ઝડપને દર્શાવીએ છીએ

જો બિંદુ A નિશ્ચિત છે, તો સમાનતા (4.3) સરળ સ્વરૂપ લે છે:

આ સમાનતા એક નિશ્ચિત બિંદુને સંબંધિત સિસ્ટમના કોણીય વેગના તફાવત વિશે પ્રમેયને વ્યક્ત કરે છે: સિસ્ટમના કોણીય વેગનો સમય વ્યુત્પન્ન, અમુક નિશ્ચિત બિંદુની તુલનામાં ગણવામાં આવે છે, તે તમામ બાહ્ય દળોના સંબંધિત મુખ્ય ક્ષણની સમાન છે. આ બિંદુ સુધી.

જો પછી (4.4) અનુસાર કોણીય મોમેન્ટમ વેક્ટર તીવ્રતા અને દિશામાં સ્થિર છે. તેને કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પર પ્રક્ષેપિત કરીને, અમે ડબલ સિસ્ટમના વિભેદક સમીકરણોના સ્કેલર ફર્સ્ટ ઇન્ટિગ્રલ મેળવીએ છીએ:

આ ઇન્ટિગ્રલ્સને મોમેન્ટમ ઇન્ટિગ્રલ અથવા એરિયા ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે.

જો બિંદુ A સિસ્ટમના સમૂહના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય, તો સમાનતા (4.3) ની જમણી બાજુનું પ્રથમ પદ અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને કોણીય ગતિમાં ફેરફાર પર પ્રમેય લેખનનું સમાન સ્વરૂપ ધરાવે છે (4.4) ના કિસ્સામાં એક નિશ્ચિત બિંદુ A. નોંધ (જુઓ. p. 4 § 3), કે વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં, સમાનતા (4.4) ની ડાબી બાજુએ સિસ્ટમના સંપૂર્ણ કોણીય વેગને સિસ્ટમના સમાન કોણીય વેગ દ્વારા બદલી શકાય છે. દળના કેન્દ્રની તુલનામાં તેની ગતિમાં.

સિસ્ટમના દળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સતત દિશાની અમુક અક્ષો અથવા અક્ષ હોઈએ અને આ અક્ષની સાપેક્ષ સિસ્ટમની ગતિશીલ ક્ષણ હોઈએ. (4.4) થી તે અનુસરે છે

અક્ષની તુલનામાં બાહ્ય દળોની ક્ષણ ક્યાં છે. જો સમગ્ર ચળવળ દરમિયાન અમારી પાસે પ્રથમ અભિન્ન છે

S.A. ચૅપ્લિગિનના કાર્યોમાં, ગતિ ગતિમાં ફેરફાર અંગેના પ્રમેયના કેટલાક સામાન્યીકરણો પ્રાપ્ત થયા હતા, જે પછી રોલિંગ બોલ પરની સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા. યાંત્રિક ક્ષણમાં ફેરફાર પરના પ્રમેયના વધુ સામાન્યીકરણો અને સખત શારીરિક ગતિશીલતાની સમસ્યાઓમાં તેમના ઉપયોગો કાર્યોમાં સમાયેલ છે. આ કાર્યોના મુખ્ય પરિણામો ગતિશીલ ગતિમાં પરિવર્તનના પ્રમેય સાથે સંબંધિત છે, જે સતત અમુક ગતિશીલ બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે. ચાલો આ અક્ષ સાથે નિર્દેશિત એકમ વેક્ટર બનીએ. સમાનતાની બંને બાજુઓ (4.3) દ્વારા સ્કેલર રીતે ગુણાકાર કરીને અને તેના બે ભાગોમાં શબ્દ ઉમેરવાથી આપણને મળે છે.

જ્યારે કાઇનેમેટિક સ્થિતિ પૂરી થાય છે

સમીકરણ (4.5) (4.7) થી અનુસરે છે. અને જો સમગ્ર ચળવળ દરમિયાન સ્થિતિ (4.8) સંતુષ્ટ હોય, તો પ્રથમ અભિન્ન (4.6) અસ્તિત્વમાં છે.

જો સિસ્ટમના કનેક્શન આદર્શ હોય અને વર્ચ્યુઅલ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ્સ વચ્ચે, સિસ્ટમને અક્ષની ફરતે કઠોર શરીર તરીકે પરિભ્રમણ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને, પછી અક્ષની તુલનામાં પ્રતિક્રિયાઓની મુખ્ય ક્ષણ અને શૂન્યની બરાબર છે, અને પછી મૂલ્ય સમીકરણની જમણી બાજુ (4.5) અક્ષ અને . આ ક્ષણની શૂન્યની સમાનતા અને સંબંધની માન્યતા (4.8) અવિભાજ્ય (4.6) ના અસ્તિત્વ માટે વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં હશે.

જો ધરીની દિશા અને સ્થિર હોય, તો શરત (4.8) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

આ સમાનતાનો અર્થ એ છે કે દળના કેન્દ્રના વેગના અંદાજો અને ધરી પર અને આના લંબરૂપ સમતલ પર બિંદુ A ના વેગના અનુમાન સમાંતર છે. S.A. Chaplygin ના કાર્યમાં, (4.9) ને બદલે, ઓછી સામાન્ય સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા જરૂરી છે જ્યાં X એ મનસ્વી સ્થિર મૂલ્ય છે.

નોંધ કરો કે શરત (4.8) બિંદુની પસંદગી પર આધારિત નથી. ખરેખર, P ને ધરી પર મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. પછી

અને તેથી

નિષ્કર્ષમાં, અમે રેઝાલના સમીકરણો (4.1) અને (4.4) ના ભૌમિતિક અર્થઘટનની નોંધ કરીએ છીએ: વેક્ટરના છેડાના સંપૂર્ણ વેગ વેક્ટર અને તે અનુક્રમે મુખ્ય વેક્ટર અને બિંદુ A ને સંબંધિત તમામ બાહ્ય દળોના મુખ્ય ક્ષણની સમાન હોય છે. .

રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણની ફેડરલ સ્ટેટ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

"કુબાન સ્ટેટ ટેકનોલોજીકલ યુનિવર્સિટી"

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ

ભાગ 2 ગતિશાસ્ત્ર

સંપાદકીય અને પ્રકાશન સમિતિ દ્વારા મંજૂર

યુનિવર્સિટી કાઉન્સિલ તરીકે

શિક્ષણ સહાય

ક્રાસ્નોદર

UDC 531.1/3 (075)

સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ. ભાગ 2. ડાયનેમિક્સ: પાઠ્યપુસ્તક / L.I. કુબાન. રાજ્ય technol.un-t. ક્રાસ્નોદર, 2011. 123 પૃ.

ISBN 5-230-06865-5

સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો આપવામાં આવે છે, જેમાંથી મોટાભાગના વાસ્તવિક તકનીકી મુદ્દાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે, અને ઉકેલની તર્કસંગત પદ્ધતિની પસંદગી પર ધ્યાન આપવામાં આવે છે.

બાંધકામ, પરિવહન અને મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગમાં પત્રવ્યવહાર અને અંતર શિક્ષણના સ્નાતક માટે રચાયેલ છે.

ટેબલ 1 બીમાર. 68 ગ્રંથસૂચિ 20 શીર્ષકો

વૈજ્ઞાનિક સંપાદક ટેકનિકલ સાયન્સના ઉમેદવાર, એસોસિયેટ પ્રોફેસર. V.F.Melnikov

સમીક્ષકો: સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ અને મિકેનિઝમ્સ અને મશીનોના સિદ્ધાંત વિભાગના વડા, કુબાન કૃષિ યુનિવર્સિટીના પ્રો. એફ.એમ. કનારેવ; એસોસિયેટ પ્રોફેસર, સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ વિભાગ, કુબાન રાજ્ય તકનીકી યુનિવર્સિટી M.E. મુલ્તીખ

કુબાન રાજ્ય તકનીકી યુનિવર્સિટીના સંપાદકીય અને પ્રકાશન પરિષદના નિર્ણય દ્વારા પ્રકાશિત.

ફરીથી જારી કરો

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

પ્રસ્તાવના

આ પાઠ્યપુસ્તક બાંધકામ, પરિવહન અને મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ વિશેષતાઓના પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે, પરંતુ અન્ય વિશેષતાઓના પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓ તેમજ પૂર્ણ-સમયના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ કોર્સના "ડાયનેમિક્સ" વિભાગનો અભ્યાસ કરતી વખતે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. સ્વતંત્ર રીતે કામ કરે છે.

માર્ગદર્શિકા સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ અભ્યાસક્રમના વર્તમાન અભ્યાસક્રમ અનુસાર સંકલિત કરવામાં આવી છે અને અભ્યાસક્રમના મુખ્ય ભાગના તમામ મુદ્દાઓને આવરી લે છે. દરેક વિભાગમાં સંક્ષિપ્ત સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી હોય છે, જેમાં સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં તેના ઉપયોગ માટે ચિત્રો અને પદ્ધતિસરની ભલામણો હોય છે. મેન્યુઅલમાં 30 સમસ્યાઓના ઉકેલો છે જે વાસ્તવિક તકનીકી સમસ્યાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે અને સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે પરીક્ષણ કાર્યોને અનુરૂપ છે. દરેક સમસ્યા માટે, ગણતરી ડાયાગ્રામ રજૂ કરવામાં આવે છે જે સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલને સમજાવે છે. સોલ્યુશનનું ફોર્મેટિંગ પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓ માટે ટેસ્ટ પેપરના ફોર્મેટિંગ માટેની આવશ્યકતાઓને પૂર્ણ કરે છે.

લેખક કુબાન કૃષિ યુનિવર્સિટીના સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ અને મિકેનિઝમ્સ અને મશીનોના સિદ્ધાંત વિભાગના શિક્ષકોનો પાઠ્યપુસ્તકની સમીક્ષામાં તેમના મહાન કાર્ય માટે તેમજ કુબાન રાજ્ય તકનીકી વિભાગના સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ વિભાગના શિક્ષકોનો ઊંડો આભાર વ્યક્ત કરે છે. પ્રકાશન માટે પાઠ્યપુસ્તક તૈયાર કરવા પર મૂલ્યવાન ટિપ્પણીઓ અને સલાહ માટે યુનિવર્સિટી.

તમામ ટીકાત્મક ટિપ્પણીઓ અને સૂચનો ભવિષ્યમાં લેખક દ્વારા કૃતજ્ઞતા સાથે સ્વીકારવામાં આવશે.

પરિચય

ડાયનેમિક્સ એ સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાગ છે. એન્જિનિયરિંગ પ્રેક્ટિસમાં આવતી મોટાભાગની ચોક્કસ સમસ્યાઓ ગતિશીલતા સાથે સંબંધિત છે. સ્ટેટિક્સ અને ગતિશાસ્ત્રના નિષ્કર્ષનો ઉપયોગ કરીને, ગતિશીલતા લાગુ દળોની ક્રિયા હેઠળ ભૌતિક સંસ્થાઓની ગતિના સામાન્ય નિયમો સ્થાપિત કરે છે.

સૌથી સરળ ભૌતિક પદાર્થ એ ભૌતિક બિંદુ છે. કોઈપણ આકારના ભૌતિક શરીરને ભૌતિક બિંદુ તરીકે લઈ શકાય છે, જેના પરિમાણોને વિચારણા હેઠળની સમસ્યામાં અવગણવામાં આવી શકે છે. જો આપેલ સમસ્યા માટે તેના બિંદુઓની હિલચાલમાં તફાવત નોંધપાત્ર ન હોય તો મર્યાદિત પરિમાણોના શરીરને ભૌતિક બિંદુ તરીકે લઈ શકાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે શરીરના બિંદુઓ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા અંતરની તુલનામાં શરીરના પરિમાણો નાના હોય છે. નક્કર શરીરના દરેક કણને ભૌતિક બિંદુ ગણી શકાય.

કોઈ બિંદુ અથવા ભૌતિક શરીર પર લાગુ કરાયેલા દળોને તેમની ગતિશીલ અસર દ્વારા ગતિશીલ રીતે મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ ભૌતિક પદાર્થોની હિલચાલની લાક્ષણિકતાઓમાં કેવી રીતે ફેરફાર કરે છે તેના દ્વારા.

સમય જતાં ભૌતિક પદાર્થોની હિલચાલ અવકાશમાં ચોક્કસ સંદર્ભ ફ્રેમની તુલનામાં થાય છે. ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં, ન્યૂટનના સ્વયંસિદ્ધ પર આધારિત, અવકાશને ત્રિ-પરિમાણીય ગણવામાં આવે છે, તેના ગુણધર્મો તેમાં ફરતા ભૌતિક પદાર્થો પર આધારિત નથી. આવી જગ્યામાં બિંદુની સ્થિતિ ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સમય અવકાશ અને ભૌતિક પદાર્થોની હિલચાલ સાથે સંબંધિત નથી. તે તમામ સંદર્ભ સિસ્ટમો માટે સમાન ગણવામાં આવે છે.

ગતિશીલતાના નિયમો સંપૂર્ણ સંકલન અક્ષોના સંબંધમાં ભૌતિક પદાર્થોની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે, જે પરંપરાગત રીતે સ્થિર તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ સંકલન પ્રણાલીનું મૂળ સૂર્યના કેન્દ્રમાં હોવાનું માનવામાં આવે છે, અને અક્ષો દૂરના, શરતી સ્થિર તારાઓ તરફ નિર્દેશિત થાય છે. ઘણી તકનીકી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, પૃથ્વી સાથે જોડાયેલ સંકલન અક્ષોને શરતી રીતે સ્થાવર ગણી શકાય.

ગતિશાસ્ત્રમાં ભૌતિક પદાર્થોની યાંત્રિક ગતિના પરિમાણો શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સના મૂળભૂત નિયમોમાંથી ગાણિતિક વ્યુત્પત્તિ દ્વારા સ્થાપિત થાય છે.

પ્રથમ કાયદો (જડતાનો કાયદો):

જ્યાં સુધી કેટલાક દળોની ક્રિયા તેને આ સ્થિતિમાંથી બહાર ન લઈ જાય ત્યાં સુધી ભૌતિક બિંદુ આરામની સ્થિતિ અથવા સમાન અને રેખીય ગતિ જાળવી રાખે છે.

બિંદુની સમાન અને રેખીય ગતિને જડતા દ્વારા ગતિ કહેવામાં આવે છે. આરામ એ જડતા દ્વારા ગતિનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, જ્યારે બિંદુની ગતિ શૂન્ય હોય છે.

દરેક ભૌતિક બિંદુમાં જડતા હોય છે, એટલે કે, તે આરામની સ્થિતિ અથવા સમાન રેખીય ગતિ જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે. સંદર્ભ પ્રણાલી જેના સંબંધમાં જડતાનો નિયમ ધરાવે છે તેને જડતા કહેવામાં આવે છે અને આ પ્રણાલીના સંબંધમાં જોવામાં આવતી ગતિને નિરપેક્ષ કહેવામાં આવે છે. કોઈપણ સંદર્ભ સિસ્ટમ કે જે જડતા પ્રણાલીની તુલનામાં અનુવાદાત્મક રેક્ટિલિનિયર અને સમાન ગતિ કરે છે તે પણ એક જડતા સિસ્ટમ હશે.

બીજો કાયદો (ગતિશીલતાનો મૂળભૂત કાયદો):

સંદર્ભના જડતા ફ્રેમને સંબંધિત સામગ્રી બિંદુનું પ્રવેગ બિંદુ પર લાગુ બળના પ્રમાણસર છે અને દિશામાં બળ સાથે એકરુપ છે:
.

ગતિશીલતાના મૂળભૂત કાયદામાંથી તે બળ સાથે તેનું અનુસરણ કરે છે
પ્રવેગક
. બિંદુનો સમૂહ તેની ગતિમાં ફેરફાર માટે બિંદુના પ્રતિકારની ડિગ્રીને દર્શાવે છે, એટલે કે, તે સામગ્રી બિંદુની જડતાનું માપ છે.

ત્રીજો કાયદો (ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયાનો કાયદો):

જે દળો સાથે બે શરીર એકબીજા પર કાર્ય કરે છે તે તીવ્રતામાં સમાન છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં એક સીધી રેખા સાથે નિર્દેશિત છે.

ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા તરીકે ઓળખાતી શક્તિઓ વિવિધ સંસ્થાઓ પર લાગુ થાય છે અને તેથી સંતુલિત સિસ્ટમ બનાવતી નથી.

ચોથો કાયદો (દળોની સ્વતંત્રતાનો કાયદો):

અનેક દળોની એકસાથે ક્રિયા સાથે, ભૌતિક બિંદુનું પ્રવેગ એ પ્રવેગના ભૌમિતિક સરવાળો જેટલો હોય છે જે બિંદુ દરેક બળની ક્રિયા હેઠળ અલગથી હશે:

, ક્યાં
,
,…,
.