પેરાબોલા સમીકરણનું સામાન્ય દૃશ્ય. હાયપરબોલા અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ

પેરાબોલા એ આપેલ બિંદુથી સમાન અંતરે સમતલમાં બિંદુઓનો સમૂહ છે(ફોકસ)અને આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી નથી તે આપેલ રેખામાંથી (મુખ્ય શિક્ષિકાઓ), એ જ પ્લેનમાં સ્થિત છે(ફિગ. 5).

આ કિસ્સામાં, સંકલન સિસ્ટમ પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી ધરી
ફોકસ દ્વારા ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ પસાર થાય છે, તેની હકારાત્મક દિશા ડાયરેક્ટ્રીક્સમાંથી ફોકસ તરફ પસંદ કરવામાં આવે છે. ઓર્ડિનેટ અક્ષ ડાયરેક્ટ્રીક્સની સમાંતર ચાલે છે, ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને ફોકસ વચ્ચે મધ્યમાં, જ્યાંથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ
, ફોકસ કોઓર્ડિનેટ્સ
. મૂળ એ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ છે, અને x-અક્ષ એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. પેરાબોલા તરંગીતા
.

સંખ્યાબંધ કેસોમાં, સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પેરાબોલાસ ગણવામાં આવે છે

અ)

b)
(તમામ કેસો માટે
)

વી)
.

કિસ્સામાં a) પેરાબોલા ધરી વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે
અને તેની નકારાત્મક દિશામાં નિર્દેશિત છે (ફિગ. 6).

કિસ્સાઓમાં b) અને c) સમપ્રમાણતાની અક્ષ અક્ષ છે
(ફિગ. 6). આ કેસો માટે ફોકસ કોઓર્ડિનેટ્સ:

અ)
b)
વી)
.

ડાયરેક્ટ્રિક્સ સમીકરણ:

અ)
b)
વી)
.

ઉદાહરણ 4.મૂળમાં શિરોબિંદુ સાથેનો પેરાબોલા એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે
અને ધરી વિશે સપ્રમાણ
. તેનું સમીકરણ લખો.

ઉકેલ:

કારણ કે પેરાબોલા ધરી વિશે સપ્રમાણ છે
અને બિંદુ પરથી પસાર થાય છે પોઝિટિવ એબ્સીસા સાથે, પછી તેનું સ્વરૂપ આકૃતિ 5 માં બતાવેલ છે.

અવેજી બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ આવા પેરાબોલાના સમીકરણમાં
, અમને મળે છે
, એટલે કે
.

તેથી, જરૂરી સમીકરણ

,

આ પેરાબોલાનું ધ્યાન
, ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ
.

4. સેકન્ડ ઓર્ડર લાઇન સમીકરણનું કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં પરિવર્તન.

બીજી ડિગ્રીનું સામાન્ય સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે

ગુણાંક ક્યાં છે
એક જ સમયે શૂન્ય પર ન જાઓ.

સમીકરણ (6) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ રેખાને દ્વિતીય ક્રમ રેખા કહેવામાં આવે છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને, સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇનના સમીકરણને તેના સૌથી સરળ (પ્રમાણિક) સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

1. સમીકરણમાં (6)
. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ (6) ફોર્મ ધરાવે છે

સૂત્રો અનુસાર સંકલન અક્ષોના સમાંતર અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને તેને તેના સરળ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે

(8)

જ્યાં
- નવી શરૂઆતના કોઓર્ડિનેટ્સ
(જૂની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં). નવા એક્સેલ્સ
અને
જૂનાની સમાંતર. ડોટ
એલિપ્સ અથવા હાઇપરબોલાનું કેન્દ્ર છે અને પેરાબોલાના કિસ્સામાં શિરોબિંદુ છે.

સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ (7) ને તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનું અનુકૂળ છે, જેમ કે તે વર્તુળ માટે કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ 5.બીજી ક્રમ રેખા સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો. આ લાઇનનો પ્રકાર અને સ્થાન નક્કી કરો. foci ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. એક ચિત્ર બનાવો.

ઉકેલ:

અમે જૂથના સભ્યો જ સમાવીએ છીએ અને માત્ર , માટે ગુણાંક બહાર લઈ રહ્યા છીએ અને કૌંસ પાછળ:

ચોરસ પૂર્ણ કરવા માટે અમે કૌંસમાં સમીકરણો પૂર્ણ કરીએ છીએ:

આમ, આ સમીકરણ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થાય છે

અમે નિયુક્ત કરીએ છીએ

અથવા

સમીકરણો (8) સાથે સરખામણી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે આ સૂત્રો બિંદુ પર સંકલન અક્ષના સમાંતર સ્થાનાંતરણને નિર્ધારિત કરે છે.
. નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, સમીકરણ નીચે મુજબ લખવામાં આવશે:

મફત શબ્દને જમણી તરફ ખસેડીને અને તેના દ્વારા વિભાજન કરવાથી, આપણને મળે છે:

.

તેથી, આ સેકન્ડ-ઓર્ડર રેખા અર્ધ-અક્ષો સાથેનું લંબગોળ છે
,
. અંડાકારનું કેન્દ્ર નવા મૂળ પર છે
, અને તેની કેન્દ્રીય અક્ષ અક્ષ છે
. કેન્દ્રથી ફોકસનું અંતર, તેથી જમણા ફોકસના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ
. સમાન ફોકસના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાંતર અનુવાદ સૂત્રોમાંથી જોવા મળે છે:

તેવી જ રીતે, નવું ડાબું ફોકસ કોઓર્ડિનેટ કરે છે
,
. તેના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ:
,
.

આ રીતે અંડાકારના શિરોબિંદુઓ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, અમે લંબગોળ પોતે દોરીએ છીએ (ફિગ. 7).ટિપ્પણી
. ડ્રોઇંગને સ્પષ્ટ કરવા માટે, જૂના સંકલન અક્ષો સાથે આ રેખા (7) ના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધવાનું ઉપયોગી છે. આ કરવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ સૂત્ર (7) મૂકવું જોઈએ.
અને પછી

અને પરિણામી સમીકરણો ઉકેલો.

જટિલ મૂળના દેખાવનો અર્થ એ થશે કે રેખા (7) અનુરૂપ સંકલન અક્ષને છેદતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, હમણાં જ ચર્ચા કરેલ સમસ્યાના અંડાકાર માટે, નીચેના સમીકરણો પ્રાપ્ત થાય છે:
આ સમીકરણોમાંથી બીજામાં જટિલ મૂળ છે, તેથી લંબગોળ અક્ષ

પાર કરતું નથી. પ્રથમ સમીકરણના મૂળ:
અને
બિંદુઓ પર
અંડાકાર અક્ષને છેદે છે

(ફિગ. 7).ઉદાહરણ 6.

ઉકેલ:

બીજી ક્રમ રેખાના સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો. લીટીનો પ્રકાર અને સ્થાન નક્કી કરો, ફોકલ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. સાથે સભ્ય હોવાથી :

ખૂટે છે, તો તમારે ફક્ત આના દ્વારા સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની જરૂર છે

.

અમે નિયુક્ત કરીએ છીએ

અથવા

અમે માટે ગુણાંક પણ બહાર લઈએ છીએ
આના પરિણામે બિંદુ પર સંકલન પ્રણાલીના સમાંતર ટ્રાન્સફર થાય છે

.

તીવ્રતા

.

તેના માટે સમાન.

તેથી ફોકસમાં નવા કોઓર્ડિનેટ્સ છે
તેમના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ
જો આપણે આ સમીકરણમાં મૂકીએ
અથવા
, પછી આપણે શોધીએ છીએ કે પેરાબોલા ધરીને છેદે છે
બિંદુ પર

2. , અને ધરી
. બીજી ડિગ્રીનું સામાન્ય સમીકરણ (1) ફોર્મ (2) માં પરિવર્તિત થાય છે, એટલે કે. ફકરા 1 માં ચર્ચા કરેલ છે. કેસ, કોઓર્ડિનેટ અક્ષોને કોણ દ્વારા ફેરવીને
સૂત્રો અનુસાર

(9)

જ્યાં
- નવા કોઓર્ડિનેટ્સ. કોર્નર
સમીકરણ પરથી જોવા મળે છે

સંકલન અક્ષોને ફેરવવામાં આવે છે જેથી નવી અક્ષો
અને
બીજી ક્રમ રેખાની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સમાંતર હતી.

જાણીને
, શોધી શકાય છે
અને
ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને

,
.

જો પરિભ્રમણ કોણ
તીવ્ર ગણવા માટે સંમત થાઓ, તો પછી આ સૂત્રોમાં આપણે વત્તાનું ચિહ્ન લેવું જોઈએ, અને માટે
આપણે સમીકરણ (5) નો સકારાત્મક ઉકેલ પણ લેવો જોઈએ.

ખાસ કરીને, જ્યારે
કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એંગલ દ્વારા ફેરવવી આવશ્યક છે
. કોલસા માટે પરિભ્રમણ સૂત્રો આના જેવા દેખાય છે:

(11)

ઉદાહરણ 7.બીજી ક્રમ રેખા સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો. આ લાઇનનો પ્રકાર અને સ્થાન સેટ કરો.

ઉકેલ:

આ કિસ્સામાં
, 1
,
, તેથી પરિભ્રમણ કોણ
સમીકરણ પરથી જોવા મળે છે

.

આ સમીકરણનો ઉકેલ
અને
. તીવ્ર કોણ સુધી મર્યાદિત
, અમે તેમાંથી પ્રથમ લઈએ છીએ. પછી

,

,
.

આ મૂલ્યોની અવેજીમાં અને આ સમીકરણમાં

કૌંસ ખોલીને અને સમાન લાવીએ છીએ, આપણને મળે છે

.

છેલ્લે, બનાવટી શબ્દ દ્વારા ભાગાકાર કરીને, આપણે અંડાકારના સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ

.

તે તેને અનુસરે છે
,
, અને અંડાકારની મુખ્ય ધરી ધરી સાથે નિર્દેશિત છે
, અને નાનું - ધરી સાથે
.

તમે એક બિંદુ મેળવો
, જેની ત્રિજ્યા
ધરી તરફ વળેલું
એક ખૂણા પર
, જેના માટે
. તેથી, આ બિંદુ દ્વારા
અને એક નવો એક્સ-અક્ષ પસાર થશે. પછી આપણે કુહાડીઓ પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ
અને
લંબગોળના શિરોબિંદુઓ અને લંબગોળ દોરો (ફિગ. 9).

નોંધ કરો કે આ અંડાકાર જૂના સંકલન અક્ષોને એવા બિંદુઓ પર છેદે છે જે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાંથી મળે છે (જો આપણે આ સમીકરણમાં મૂકીએ તો
તેમના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ
):

અને
.

પેરાબોલા કેવી રીતે બનાવવું? ચતુર્ભુજ કાર્યનો આલેખ કરવાની ઘણી રીતો છે. તેમાંના દરેકના તેના ગુણદોષ છે. ચાલો બે રીતો પર વિચાર કરીએ.

ચાલો y=x²+bx+c અને y= -x²+bx+c ફોર્મના ચતુર્ભુજ ફંક્શનને પ્લોટ કરીને શરૂઆત કરીએ.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y=x²+2x-3.

ઉકેલ:

y=x²+2x-3 એ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ ઉપર શાખાઓ સાથે પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

શિરોબિંદુ (-1;-4) પરથી આપણે પેરાબોલા y=x² (કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિની જેમ. (0;0) ને બદલે - શિરોબિંદુ (-1;-4) નો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ. (-1; -4) અમે 1 એકમ દ્વારા જમણી તરફ જઈએ છીએ, પછી 1 દ્વારા ડાબે અને 1 દ્વારા ઉપર જઈએ છીએ: 2 - જમણે, 4 - ઉપર, 2 - ડાબે, 3 - 9 - ઉપર, 3 -; ડાબે, 9 - ઉપર જો આ 7 પોઈન્ટ પૂરતા નથી, તો 4 જમણી બાજુ, 16 ઉપર, વગેરે).

ચતુર્ભુજ કાર્યનો ગ્રાફ y= -x²+bx+c એ પેરાબોલા છે, જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે. આલેખ બાંધવા માટે, આપણે શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ જોઈએ છીએ અને તેમાંથી આપણે પેરાબોલા y= -x² બનાવીએ છીએ.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y= -x²+2x+8.

ઉકેલ:

y= -x²+2x+8 એ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ નીચે શાખાઓ સાથે પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

ઉપરથી આપણે પેરાબોલા y= -x² (1 - જમણે, 1- નીચે; 1 - ડાબે, 1 - નીચે; 2 - જમણે, 4 - નીચે; 2 - ડાબે, 4 - નીચે, વગેરે) બનાવીએ છીએ.

આ પદ્ધતિ તમને ઝડપથી પેરાબોલા બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે અને જો તમે y=x² અને y= -x² ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે જાણતા હોવ તો તે મુશ્કેલ નથી. ગેરલાભ: જો શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય, તો ગ્રાફ બનાવવા માટે તે ખૂબ અનુકૂળ નથી. જો તમારે ઓક્સ અક્ષ સાથેના ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓના ચોક્કસ મૂલ્યો જાણવાની જરૂર હોય, તો તમારે વધુમાં સમીકરણ x²+bx+c=0 (અથવા -x²+bx+c=0) પણ હલ કરવું પડશે. જો આ બિંદુઓ સીધા ડ્રોઇંગમાંથી નક્કી કરી શકાય છે.

પેરાબોલાને બાંધવાની બીજી રીત બિંદુઓ દ્વારા છે, એટલે કે, તમે ગ્રાફ પર ઘણા બધા બિંદુઓ શોધી શકો છો અને તેમના દ્વારા પેરાબોલા દોરી શકો છો (એ ધ્યાનમાં લેતા કે રેખા x=xₒ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે). સામાન્ય રીતે આ માટે તેઓ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ, સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ અને 1-2 વધારાના બિંદુઓ લે છે.

ફંક્શન y=x²+5x+4 નો ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

y=x²+5x+4 એ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ ઉપર શાખાઓ સાથે પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

એટલે કે, પેરાબોલાની ટોચ એ બિંદુ છે (-2.5; -2.25).

અમે શોધી રહ્યા છીએ. ઓક્સ અક્ષ y=0 સાથે આંતરછેદના બિંદુ પર: x²+5x+4=0. ચતુર્ભુજ સમીકરણ x1=-1, x2=-4 ના મૂળ, એટલે કે, આપણને ગ્રાફ પર બે બિંદુઓ (-1; 0) અને (-4; 0) મળ્યા છે.

Oy અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુએ x=0: y=0²+5∙0+4=4. અમને બિંદુ (0; 4) મળ્યો.

ગ્રાફને સ્પષ્ટ કરવા માટે, તમે એક વધારાનો મુદ્દો શોધી શકો છો. ચાલો x=1 લઈએ, પછી y=1²+5∙1+4=10, એટલે કે આલેખ પરનો બીજો બિંદુ (1; 10) છે. અમે આ બિંદુઓને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ. તેના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાને સંબંધિત પેરાબોલાની સપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે વધુ બે બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ: (-5; 6) અને (-6; 10) અને તેમના દ્વારા પેરાબોલા દોરીએ છીએ:

ફંક્શનનો ગ્રાફ y= -x²-3x.

ઉકેલ:

y= -x²-3x એ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ નીચે શાખાઓ સાથે પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

શિરોબિંદુ (-1.5; 2.25) પેરાબોલાના પ્રથમ બિંદુ છે.

એબ્સીસા અક્ષ y=0 સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ પર, એટલે કે, આપણે સમીકરણ -x²-3x=0 હલ કરીએ છીએ. તેના મૂળ છે x=0 અને x=-3, એટલે કે (0;0) અને (-3;0) - ગ્રાફ પર વધુ બે બિંદુઓ. બિંદુ (o; 0) એ ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદનું બિંદુ પણ છે.

x=1 y=-1²-3∙1=-4 પર, એટલે કે (1; -4) એ પ્લોટિંગ માટે એક વધારાનો બિંદુ છે.

પોઈન્ટમાંથી પેરાબોલા બનાવવું એ પ્રથમની તુલનામાં વધુ શ્રમ-સઘન પદ્ધતિ છે. જો પેરાબોલા ઓક્સ અક્ષને છેદે નહીં, તો વધુ વધારાના બિંદુઓની જરૂર પડશે.

y=ax²+bx+c ફોર્મના ચતુર્ભુજ કાર્યોના આલેખનું નિર્માણ કરવાનું ચાલુ રાખતા પહેલા, ચાલો ભૌમિતિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોના આલેખના નિર્માણને ધ્યાનમાં લઈએ. આમાંના એક રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને y=x²+c ફોર્મના ફંક્શનનો આલેખ બાંધવો પણ સૌથી અનુકૂળ છે - સમાંતર અનુવાદ.

આ સમગ્ર પ્રકરણમાં એવું માનવામાં આવે છે કે પ્લેનમાં ચોક્કસ સ્કેલ પસંદ કરવામાં આવ્યો છે (જેમાં નીચે ગણવામાં આવેલા તમામ આંકડાઓ આવેલા છે); આ સ્કેલ સાથે માત્ર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

§ 1. પેરાબોલા

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી વાચકને પેરાબોલાને વળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે ફંક્શનનો ગ્રાફ છે.

(ફિગ. 76). (1)

કોઈપણ ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો આલેખ

પેરાબોલા પણ છે; ફક્ત સંકલન પ્રણાલીને સ્થાનાંતરિત કરીને (કેટલાક વેક્ટર OO દ્વારા), એટલે કે રૂપાંતર કરીને શક્ય છે

ખાતરી કરો કે ફંક્શનનો ગ્રાફ (બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં) ગ્રાફ (2) (પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં) સાથે એકરુપ છે.

હકીકતમાં, ચાલો (3) ને સમાનતા (2) માં બદલીએ. અમને મળે છે

અમે પસંદ કરવા માંગીએ છીએ જેથી આ સમાનતાની જમણી બાજુએ બહુપદીનો ગુણાંક અને મુક્ત પદ (ના સંદર્ભમાં) શૂન્ય સમાન હોય. આ કરવા માટે, અમે સમીકરણ પરથી નક્કી કરીએ છીએ

જે આપે છે

હવે અમે સ્થિતિ પરથી નક્કી કરીએ છીએ

જેમાં આપણે પહેલાથી મળેલી કિંમતને બદલીએ છીએ. અમને મળે છે

તેથી, શિફ્ટ (3) ના માધ્યમથી, જેમાં

અમે એક નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ગયા, જેમાં પેરાબોલાના સમીકરણ (2)એ સ્વરૂપ લીધું

(ફિગ. 77).

ચાલો સમીકરણ (1) પર પાછા ફરીએ. તે પેરાબોલાની વ્યાખ્યા તરીકે સેવા આપી શકે છે. ચાલો તેના સરળ ગુણધર્મોને યાદ કરીએ. વળાંકમાં સમપ્રમાણતાની અક્ષ હોય છે: જો કોઈ બિંદુ સમીકરણ (1) ને સંતોષે છે, તો પછી અર્ધ અક્ષની તુલનામાં બિંદુ M માટે સપ્રમાણતા ધરાવતો બિંદુ પણ સમીકરણને સંતોષે છે (1) - વળાંક ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સપ્રમાણ છે (ફિગ. 76) .

જો , તો પેરાબોલા (1) ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં આવેલું છે, જેમાં એબ્સીસા અક્ષ સાથે એક સામાન્ય બિંદુ O છે.

એબ્સીસાના સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઓર્ડિનેટ પણ મર્યાદા વિના વધે છે. વળાંકનું સામાન્ય દૃશ્ય ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 76, એ.

જો (ફિગ. 76, બી), તો વળાંક એબ્સિસા અક્ષને વળાંકની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે નીચલા અર્ધ-પ્લેનમાં સ્થિત છે.

જો આપણે ઓર્ડિનેટ અક્ષની સકારાત્મક દિશાને વિરુદ્ધ દિશામાં બદલીને જૂનીમાંથી મેળવેલી નવી સંકલન પ્રણાલીમાં જઈએ, તો પેરાબોલા, જે જૂની સિસ્ટમમાં y સમીકરણ ધરાવે છે, તે નવામાં y સમીકરણ પ્રાપ્ત કરશે. સંકલન સિસ્ટમ. તેથી, પેરાબોલાસનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આપણે આપણી જાતને સમીકરણો (1) સુધી મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ, જેમાં .

ચાલો આપણે છેલ્લે અક્ષોના નામ બદલીએ, એટલે કે, આપણે નવી સંકલન પ્રણાલી પર જઈશું, જેમાં ઓર્ડિનેટ અક્ષ એ જૂની એબ્સીસા અક્ષ હશે, અને એબ્સીસા અક્ષ એ જૂની ઓર્ડિનેટ અક્ષ હશે. આ નવી સિસ્ટમમાં સમીકરણ (1) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

અથવા, જો નંબર ફોર્મમાં , દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

સમીકરણ (4) ને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં પેરાબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવામાં આવે છે; લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી કે જેમાં આપેલ પેરાબોલામાં સમીકરણ (4) હોય છે તેને પ્રામાણિક સંકલન પ્રણાલી (આ પેરાબોલા માટે) કહેવાય છે.

હવે આપણે ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ સ્થાપિત કરીશું. આ કરવા માટે અમે બિંદુ લઈએ છીએ

સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, પેરાબોલાના ફોકસ (4), અને સીધી રેખા d કહેવાય છે

આ રેખાને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવામાં આવે છે (4) (ફિગ 78 જુઓ).

પેરાબોલા (4) નું મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. સમીકરણ (4) પરથી તે અનુસરે છે કે તેથી, ડાયરેક્ટ્રીક્સ d થી બિંદુ M નું અંતર એ સંખ્યા છે

ફોકસ F થી બિંદુ M નું અંતર છે

પરંતુ, તેથી

તેથી, પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ M તેના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સથી સમાન છે:

તેનાથી વિપરીત, દરેક બિંદુ M સંતોષકારક સ્થિતિ (8) પેરાબોલા (4) પર રહે છે.

હકીકતમાં,

આથી,

અને, કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શરતો લાવ્યા પછી,

અમે સાબિત કર્યું છે કે દરેક પેરાબોલા (4) એ ફોકસ F અને આ પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ d થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

તે જ સમયે, અમે સમીકરણ (4) માં ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ સ્થાપિત કર્યો છે: સંખ્યા ફોકસ અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે.

ચાલો હવે ધારીએ કે બિંદુ F અને રેખા d આ બિંદુમાંથી પસાર થતા નથી તે પ્લેન પર મનસ્વી રીતે આપવામાં આવે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે ફોકસ F અને ડાયરેક્ટ્રિક્સ d સાથે પેરાબોલા અસ્તિત્વમાં છે.

આ કરવા માટે, બિંદુ F (ફિગ. 79) દ્વારા એક રેખા g દોરો, જે રેખા d ને લંબરૂપ છે; ચાલો D દ્વારા બંને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવીએ; અંતર (એટલે ​​​​કે બિંદુ F અને સીધી રેખા d વચ્ચેનું અંતર) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે.

ચાલો સીધી રેખા g ને ધરીમાં ફેરવીએ, તેના પરની દિશા DF ને ધન તરીકે લઈએ. ચાલો આ અક્ષને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની એબ્સીસા અક્ષ બનાવીએ, જેનું મૂળ સેગમેન્ટનો મધ્ય O છે.

પછી સીધી રેખા d પણ સમીકરણ મેળવે છે.

હવે આપણે પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:

જ્યાં બિંદુ F ફોકસ હશે, અને સીધી રેખા d એ પેરાબોલા (4) ની ડાયરેક્ટ્રીક્સ હશે.

અમે ઉપર સ્થાપિત કર્યું છે કે પેરાબોલા એ બિંદુ F અને રેખા d થી સમાન અંતરે આવેલા M બિંદુઓનું સ્થાન છે. તેથી, આપણે પેરાબોલાની આવી ભૌમિતિક (એટલે ​​​​કે, કોઈપણ સંકલન પ્રણાલીથી સ્વતંત્ર) વ્યાખ્યા આપી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા. પેરાબોલા એ અમુક નિશ્ચિત બિંદુ (પેરાબોલાના "ફોકસ") અને અમુક નિશ્ચિત રેખા (પેરાબોલાના "ડાયરેક્ટ્રીક્સ") થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

દ્વારા ફોકસ અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવતા, આપણે હંમેશા એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ શોધી શકીએ છીએ જે આપેલ પેરાબોલા માટે પ્રમાણભૂત હોય છે, એટલે કે, જેમાં પેરાબોલાના સમીકરણનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ હોય છે:

તેનાથી વિપરિત, કોઈપણ વળાંક કે જે અમુક લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં આવા સમીકરણ ધરાવે છે તે પેરાબોલા છે (ભૌમિતિક અર્થમાં હમણાં જ સ્થાપિત).

પેરાબોલાના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતરને ફોકલ પેરામીટર અથવા ફક્ત પેરાબોલાના પેરામીટર કહેવાય છે.

પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રિક્સ તરફ લંબરૂપ ફોકસમાંથી પસાર થતી રેખાને તેની ફોકલ અક્ષ (અથવા ખાલી અક્ષ) કહેવાય છે; તે પેરાબોલાની સપ્રમાણતાની અક્ષ છે - આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે પેરાબોલાની અક્ષ એ સંકલન પ્રણાલીમાં એબ્સીસા અક્ષ છે, જેની સાપેક્ષમાં પેરાબોલાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે (4).

જો કોઈ બિંદુ સમીકરણ (4) ને સંતોષે છે, તો પછી એબ્સીસા અક્ષની તુલનામાં બિંદુ M સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતો બિંદુ પણ આ સમીકરણને સંતોષે છે.

તેની ધરી સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે; તે આપેલ પેરાબોલા માટે કેનોનિકલ સંકલન પ્રણાલીનું મૂળ છે.

ચાલો પેરાબોલા પરિમાણનું બીજું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપીએ.

ચાલો પેરાબોલાના ફોકસ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ, જે પેરાબોલાની ધરીને લંબ છે; તે પેરાબોલાને બે બિંદુઓ પર છેદે છે (જુઓ. આકૃતિ 79) અને પેરાબોલાના કહેવાતા ફોકલ તાર નક્કી કરશે (એટલે ​​​​કે, પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સની સમાંતર ફોકસમાંથી પસાર થતી તાર). ફોકલ કોર્ડની અડધી લંબાઈ પેરાબોલાના પરિમાણ છે.

વાસ્તવમાં, ફોકલ કોર્ડની અડધી લંબાઈ એ કોઈપણ પોઈન્ટના ઓર્ડિનેટનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે, જેમાંથી પ્રત્યેકનો એબ્સીસા ફોકસના એબ્સીસા સમાન છે, એટલે કે. તેથી, દરેક બિંદુના ઓર્ડિનેટ માટે અમારી પાસે છે

Q.E.D.

- (ગ્રીક પેરાબોલો, પેરાબોલોમાંથી એક સાથે નજીક લાવવા). 1) રૂપક, ઉપમા. 2) શંકુના એક વિભાગમાંથી તેના કેટલાક પેદા કરતા વિમાનોની સમાંતર સમતલ દ્વારા વક્ર રેખા. 3) બોમ્બ, કેનનબોલ, વગેરેની ઉડાન દરમિયાન રચાયેલી વક્ર રેખા. શબ્દકોશ... ... રશિયન ભાષાના વિદેશી શબ્દોનો શબ્દકોશ

રૂપક, દૃષ્ટાંત (દાહલ) ઉદાહરણ જુઓ... સમાનાર્થી શબ્દકોષ

- (ગ્રીક પેરાબોલ) સપાટ વળાંક (બીજો ક્રમ). પેરાબોલા એ બિંદુ M નો સમૂહ છે જેનું અંતર આપેલ બિંદુ F (ફોકસ) અને આપેલ સીધી રેખા D1D2 (ડાયરેક્ટ્રીક્સ) માટે સમાન છે. યોગ્ય સંકલન પ્રણાલીમાં, પેરાબોલાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: y2=2px, જ્યાં p=2OF.… … મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

PARABOLA, ગાણિતિક વળાંક, CONIC વિભાગ એવી રીતે ફરતા બિંદુ દ્વારા રચાય છે કે તેનું નિશ્ચિત બિંદુ, ફોકસનું અંતર નિશ્ચિત રેખા, ડાયરેક્ટ્રીક્સના તેના અંતર જેટલું હોય છે. શંકુ કાપતી વખતે પેરાબોલા બને છે... ... વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

સ્ત્રી, ગ્રીક રૂપક, ઉપમા. | સાદડી વક્ર રેખા, શંકુ વિભાગોમાંથી; ખાંડની રખડુને ત્રાંસી રીતે કાપો, વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર. પેરાબોલિક ગણતરીઓ. પેરાબોલિક ભાષણ, વિજાતીયતા, વિદેશી ભાષણ, અલંકારિક... ... ડાહલ્સ એક્સ્પ્લેનેટરી ડિક્શનરી

પેરાબોલા- y, w. parabol f. gr પેરાબોલ 1. જૂનું ઉપમા, રૂપક. BAS 1. પેરિસમાં આવતા રશિયન પર હસવા માંગતા ફ્રેન્ચમેનએ પૂછ્યું: પેરાબોલ, ફેરીબોલ અને ઓબોલનો અર્થ શું છે? પરંતુ તેણે તરત જ તેને જવાબ આપ્યો: પેરાબોલસ, કંઈક એવું છે જે તમે સમજી શકતા નથી; ... ... રશિયન ભાષાના ગેલિકિઝમ્સનો ઐતિહાસિક શબ્દકોશ

PARABOLA- (1) પ્લેન પર 2જી ક્રમની ખુલ્લી વક્ર રેખા, જે ફંક્શન y2 = 2px નો ગ્રાફ છે, જ્યાં p એ પેરામીટર છે. પેરાબોલા પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે ગોળાકાર સમતલ (જુઓ) એવા વિમાનને છેદે છે જે તેના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતું નથી અને તેના જનરેટરમાંથી એકની સમાંતર હોય છે.... ... મોટા પોલિટેકનિક જ્ઞાનકોશ

- (ગ્રીક પેરાબોલમાંથી), એક સપાટ વળાંક, કોઈપણ બિંદુ M નું અંતર જેમાંથી આપેલ બિંદુ F (ફોકસ) અને આપેલ સીધી રેખા D 1D1 (ડાયરેક્ટ્રીક્સ) સમાન છે (MD=MF) ... આધુનિક જ્ઞાનકોશ

PARABOLA, parabolas, સ્ત્રીઓ. (ગ્રીક: parabole). 1. એક જનરેટ્રીસીસ (મેટ.) ની સમાંતર સમતલ દ્વારા જમણા ગોળાકાર શંકુના શંક્વાકાર વિભાગને રજૂ કરતો બીજો-ક્રમનો વળાંક. || નીચે ફેંકવામાં આવેલા ભારે શરીર (ઉદાહરણ તરીકે, બુલેટ) દ્વારા વર્ણવેલ માર્ગ... ... ઉષાકોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

PARABOLA, s, સ્ત્રી. ગણિતમાં: એક ખુલ્લો વળાંક જેમાં એક શાખાનો સમાવેશ થાય છે જે શંકુ આકારની સપાટી એક સમતલને છેદે ત્યારે બને છે. | adj પેરાબોલિક, ઓહ, ઓહ. ઓઝેગોવનો ખુલાસાત્મક શબ્દકોશ. એસ.આઈ. ઓઝેગોવ, એન.યુ. શ્વેડોવા. 1949 1992 … ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

- “PARABOLA”, રશિયા, 1992, રંગ, 30 મિનિટ. દસ્તાવેજી નિબંધ. વોલ્ગા પ્રદેશના નાના લોકો, ઉદમુર્ટ્સની વાર્તાઓના રહસ્યવાદી સારને સમજવાનો પ્રયાસ. દિગ્દર્શક: સ્વેત્લાના સ્ટેસેન્કો (સ્વેત્લાના સ્ટેસેન્કો જુઓ). સ્ક્રિપ્ટરાઇટર: સ્વેત્લાના સ્ટેસેન્કો (સ્ટાસેન્કો જુઓ... ... સિનેમાનો જ્ઞાનકોશ

પુસ્તકો

• ડ્રીમ જોબ સર્ચ પ્લાનનો પેરાબોલા. એચઆર મેનેજર્સના આર્કીટાઇપ્સ..., મરિના ઝોરિના. મરિના ઝોરિનાનું પુસ્તક "ધ પેરાબોલા ઓફ ધ ડ્રીમ જોબ સર્ચ પ્લાન" લેખકના વાસ્તવિક અનુભવ પર આધારિત છે અને આંતરિક ભરતી પ્રક્રિયાના દાખલાઓ સંબંધિત ઉપયોગી માહિતીથી ભરેલું છે.…
• મારા જીવનનો પરબોલા, ટીટ્ટા રફો. પુસ્તકના લેખક સૌથી પ્રસિદ્ધ ઇટાલિયન ગાયક છે, વિશ્વના અગ્રણી ઓપેરા હાઉસના એકલવાદક છે. ટિટ્ટા રુફોના સંસ્મરણો, આબેહૂબ અને સીધા લખાયેલા છે, જેમાં પ્રથમ નાટ્ય જીવનના સ્કેચ છે...

વર્ગ 10 . બીજા ક્રમના વણાંકો.

10.1. અંડાકાર. પ્રામાણિક સમીકરણ. અર્ધ-અક્ષો, તરંગીતા, આલેખ.

10.2. હાયપરબોલા. પ્રામાણિક સમીકરણ. અર્ધ-અક્ષ, વિલક્ષણતા, એસિમ્પ્ટોટ્સ, ગ્રાફ.

10.3. પેરાબોલા. પ્રામાણિક સમીકરણ. પેરાબોલા પરિમાણ, આલેખ.

પ્લેન પરના બીજા ક્રમના વળાંક એ રેખાઓ છે જેની ગર્ભિત વ્યાખ્યા ફોર્મ ધરાવે છે:

જ્યાં
- આપેલ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ,
- વળાંક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ. બીજા ક્રમના વળાંકોમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ રેખાઓ એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલા છે.

10.1. અંડાકાર. પ્રામાણિક સમીકરણ. અર્ધ-અક્ષો, તરંગીતા, આલેખ.

અંડાકારની વ્યાખ્યા.લંબગોળ એ સમતલ વક્ર છે જેનો બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો છે
કોઈપણ બિંદુ સુધી વિમાન

(તેઓ.). પોઈન્ટ
લંબગોળનું કેન્દ્ર કહેવાય છે.

પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ:
. (2)

(અથવા અક્ષ
) યુક્તિઓમાંથી પસાર થાય છે
, અને મૂળ બિંદુ છે - સેગમેન્ટની મધ્યમાં સ્થિત છે
(ફિગ. 1). એલિપ્સ (2) સંકલન અક્ષો અને મૂળ (અંગ્રવર્તી કેન્દ્ર) વિશે સપ્રમાણ છે. કાયમી
,
કહેવાય છે લંબગોળની અર્ધ-અક્ષો.

જો અંડાકાર સમીકરણ (2) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો લંબગોળના કેન્દ્રબિંદુ આ રીતે જોવા મળે છે.

1) પ્રથમ, અમે નક્કી કરીએ છીએ કે ફોસી ક્યાં છે: ફોસી કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર આવેલું છે જેના પર મુખ્ય અર્ધ-અક્ષો સ્થિત છે.

2) પછી કેન્દ્રીય લંબાઈની ગણતરી કરવામાં આવે છે (foci થી મૂળ સુધીનું અંતર).

મુ
foci ધરી પર આવેલા છે
;
;
.

મુ
foci ધરી પર આવેલા છે
;
;
.

તરંગીતાઅંડાકારને જથ્થો કહેવામાં આવે છે: (એટ
);(એટ
).

લંબગોળ હંમેશા
.

તરંગીતા એ એલિપ્સના સંકોચનની લાક્ષણિકતા તરીકે સેવા આપે છે.

,
જો અંડાકૃતિ (2) ને એવી રીતે ખસેડવામાં આવે કે લંબગોળનું કેન્દ્ર બિંદુને અથડાવે

.

, પછી પરિણામી અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

10.2. હાયપરબોલા. પ્રામાણિક સમીકરણ. અર્ધ-અક્ષો, તરંગીતા, એસિમ્પ્ટોટ્સ, ગ્રાફ.હાયપરબોલની વ્યાખ્યા.
કોઈપણ બિંદુ સુધી વિમાન
હાયપરબોલા એ પ્લેન વળાંક છે જેમાં બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરના તફાવતનું ચોક્કસ મૂલ્ય છે
(તેઓ.). આ વળાંક બિંદુથી સ્વતંત્ર સ્થિર મૂલ્ય ધરાવે છે
પોઈન્ટ

હાઇપરબોલાના કેન્દ્ર તરીકે ઓળખાય છે.:
તેમના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ
. (3)

કેનોનિકલ હાઇપરબોલા સમીકરણ
(અથવા અક્ષ
) યુક્તિઓમાંથી પસાર થાય છે
, અને મૂળ બિંદુ છે - સેગમેન્ટની મધ્યમાં સ્થિત છે
જો સંકલન અક્ષ હોય તો આ સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે
,
કહેવાય છે ..

હાયપરબોલાસ (3) સંકલન અક્ષો અને મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે. કાયમી

હાયપરબોલાના અર્ધ-અક્ષો
foci ધરી પર આવેલા છે
:
હાઇપરબોલનું કેન્દ્ર આ રીતે જોવા મળે છે.

હાયપરબોલાના અર્ધ-અક્ષો
foci ધરી પર આવેલા છે
:
હાઇપરબોલે

(ફિગ. 2.a). (ફિગ. 2.b)
.

તરંગીતાઅહીં

- કેન્દ્રીય લંબાઈ (ફોસીથી મૂળ સુધીનું અંતર). તે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
);- કેન્દ્રીય લંબાઈ (ફોસીથી મૂળ સુધીનું અંતર). તે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
).

હાયપરબોલા એ જથ્થો છે:
.

હાયપરબોલાસના એસિમ્પ્ટોટ્સ(3) બે સીધી રેખાઓ છે:
. હાયપરબોલાની બંને શાખાઓ વધતી મર્યાદા વિના એસિમ્પ્ટોટ્સનો સંપર્ક કરે છે .

હાયપરબોલા ગ્રાફનું નિર્માણ નીચે મુજબ કરવું જોઈએ: પ્રથમ અર્ધ-અક્ષો સાથે
અમે સંકલન અક્ષોની સમાંતર બાજુઓ સાથે સહાયક લંબચોરસ બનાવીએ છીએ; પછી આ લંબચોરસના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ દ્વારા સીધી રેખાઓ દોરો, આ અતિપરવલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે; અંતે આપણે હાયપરબોલાની શાખાઓનું નિરૂપણ કરીએ છીએ, તેઓ સહાયક લંબચોરસની અનુરૂપ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને સ્પર્શે છે અને વૃદ્ધિ સાથે નજીક આવે છે. એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે (ફિગ. 2).

જો હાયપરબોલાસ (3) ખસેડવામાં આવે જેથી તેમનું કેન્દ્ર બિંદુને અથડાવે
, અને અર્ધ-અક્ષો અક્ષોની સમાંતર રહેશે
,
, પછી પરિણામી હાયપરબોલાસનું સમીકરણ ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

,
.

10.3. પેરાબોલા. પ્રામાણિક સમીકરણ. પેરાબોલા પરિમાણ, આલેખ.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા.પેરાબોલા એ પ્લેન વળાંક છે જેના માટે, કોઈપણ બિંદુ માટે
આ વળાંક થી અંતર છે
એક નિશ્ચિત બિંદુ સુધી પ્લેન (પેરાબોલાના ફોકસ તરીકે ઓળખાય છે) થી અંતર જેટલું છે
પ્લેન પર નિશ્ચિત સીધી રેખા પર(પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવાય છે) .

કેનોનિકલ પેરાબોલા સમીકરણ:
, (4)

જ્યાં - એક સતત કહેવાય છે પરિમાણપેરાબોલાસ

ડોટ
પેરાબોલા (4) ને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. ધરી
સમપ્રમાણતાની ધરી છે. પેરાબોલા (4) નું ધ્યાન બિંદુ પર છે
, ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ
.
અને
પેરાબોલા આલેખ (4) અર્થો સાથે

ફિગમાં બતાવેલ છે. અનુક્રમે 3.a અને 3.b.
સમીકરણ
પ્લેન પર પેરાબોલાને પણ વ્યાખ્યાયિત કરે છે
,
, જેની અક્ષો, પેરાબોલાની સરખામણીમાં (4),

સ્થાનો અદલાબદલી.
જો પેરાબોલા (4) ને એવી રીતે ખસેડવામાં આવે કે તેનું શિરોબિંદુ બિંદુને અથડાવે
, અને સમપ્રમાણતાની અક્ષ અક્ષની સમાંતર રહેશે

.

, પછી પરિણામી પેરાબોલાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

ચાલો ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ.ઉદાહરણ 1
. બીજો ક્રમ વળાંક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે
.

. આ વળાંકને એક નામ આપો. તેના કેન્દ્ર અને તરંગીતા શોધો. પ્લેન પર વળાંક અને તેના ફોસી દોરો
ઉકેલ. આ વળાંક બિંદુ પર કેન્દ્રિત લંબગોળ છે
અને એક્સલ શાફ્ટ
. આ સરળતાથી બદલીને ચકાસી શકાય છે
. આ પરિવર્તનનો અર્થ આપેલ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાંથી સંક્રમણ થાય છે
નવી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે
, જેની ધરી
,
અક્ષોની સમાંતર
. આ સંકલન પરિવર્તનને સિસ્ટમ શિફ્ટ કહેવામાં આવે છે
બિંદુ સુધી
. નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં

વળાંકનું સમીકરણ એલિપ્સના પ્રામાણિક સમીકરણમાં રૂપાંતરિત થાય છે
, તેનો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 4.
ચાલો યુક્તિઓ શોધીએ.
, તેથી યુક્તિઓ
:
અક્ષ પર સ્થિત લંબગોળ
.. સંકલન વ્યવસ્થામાં
.

કારણ કે, જૂની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં

ઉકેલ. ચાલો ચલો ધરાવતાં શબ્દોના આધારે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ અને .

હવે, વળાંકનું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

તેથી, આપેલ વળાંક એ બિંદુ પર કેન્દ્રિત લંબગોળ છે
ઉકેલ. આ વળાંક બિંદુ પર કેન્દ્રિત લંબગોળ છે
. પ્રાપ્ત માહિતી આપણને તેનો ગ્રાફ દોરવા દે છે.

ઉદાહરણ 3. લીટીનું નામ અને ગ્રાફ આપો
.

ઉકેલ. .
ઉકેલ. આ વળાંક બિંદુ પર કેન્દ્રિત લંબગોળ છે
.

આ બિંદુ પર કેન્દ્રિત લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ છે
ત્યારથી,
, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: આપેલ સમીકરણ પ્લેન પર નક્કી કરે છે

લંબગોળનો નીચેનો અડધો ભાગ (ફિગ. 5).ઉદાહરણ 4
. બીજા ક્રમના વળાંકનું નામ આપો

. તેના ફોકસ, તરંગીતા શોધો. આ વળાંકનો આલેખ આપો.
.

- અર્ધ-અક્ષો સાથે હાઇપરબોલાનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ

ફોકલ લંબાઈ. , તેનો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 4.
બાદબાકી ચિહ્ન શબ્દની આગળ આવે છે
હાયપરબોલાસ ધરી પર આવેલા છે
.

:.

હાઇપરબોલાની શાખાઓ ધરીની ઉપર અને નીચે સ્થિત છે

- હાયપરબોલાની તરંગીતા.

હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ: .આ હાયપરબોલાના ગ્રાફનું નિર્માણ ઉપર દર્શાવેલ પ્રક્રિયા અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે: અમે એક સહાયક લંબચોરસ બનાવીએ છીએ, હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ દોરીએ છીએ, હાયપરબોલાની શાખાઓ દોરીએ છીએ (જુઓ. ફિગ. 2.b).
ઉદાહરણ 5

. સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ વળાંકનો પ્રકાર શોધો
અને તેને કાવતરું કરો.

- એક બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે હાઇપરબોલા
અને એક્સલ શાફ્ટ.
કારણ કે , અમે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ: આપેલ સમીકરણ હાયપરબોલાના તે ભાગને નિર્ધારિત કરે છે જે સીધી રેખાની જમણી બાજુએ આવેલું છે
.
સહાયક સંકલન પ્રણાલીમાં હાઇપરબોલા દોરવાનું વધુ સારું છે

, કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાંથી મેળવેલપાળી

, અને પછી બોલ્ડ લાઇન સાથે હાઇપરબોલાના ઇચ્છિત ભાગને હાઇલાઇટ કરો :

ઉદાહરણ 6

. વળાંકનો પ્રકાર શોધો અને તેનો ગ્રાફ દોરો.
ઉકેલ. ચાલો ચલ સાથેના શબ્દોના આધારે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ
ચાલો વળાંકના સમીકરણને ફરીથી લખીએ. આ બિંદુ પર તેના શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાનું સમીકરણ છે
.
શિફ્ટ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને, પેરાબોલાના સમીકરણને કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવે છે
, જેમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે તે પેરાબોલા પરિમાણ છે. ફોકસ કરો

સિસ્ટમમાં પેરાબોલાસ.

કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
,, અને સિસ્ટમમાં

(શિફ્ટ ટ્રાન્સફોર્મેશન મુજબ). પેરાબોલા ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 7.
હોમવર્ક

1. સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલ લંબગોળ દોરો:
તેમની અર્ધ-અક્ષો, કેન્દ્રીય લંબાઈ, તરંગીતા શોધો અને લંબગોળોના આલેખ પર તેમના કેન્દ્રના સ્થાનો સૂચવો.

2. સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલ હાઇપરબોલાસ દોરો:
વળાંકના 2જા ક્રમના ભાગને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ વળાંકનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ શોધો, તેનું નામ લખો, તેનો આલેખ બનાવો અને તેના પર મૂળ સમીકરણને અનુરૂપ વળાંકનો તે ભાગ પ્રકાશિત કરો.