સૂચનાઓ
જો આલેખ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોય અને OX અક્ષ સાથે α ની રચના કરતી હોય (ઓક્સ અર્ધ-અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ). આ લાઇનનું વર્ણન કરતા ફંક્શનમાં ફોર્મ y = kx હશે. પ્રમાણસરતા ગુણાંક k tan α ની બરાબર છે. જો કોઈ સીધી રેખા 2જી અને 4 થી સંકલન ક્વાર્ટરમાંથી પસાર થાય છે, તો k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 અને ફંક્શન વધે છે તેને કોઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં અલગ અલગ રીતે સ્થિત એક સીધી રેખા દર્શાવવા દો. આ એક રેખીય કાર્ય છે અને તેનું સ્વરૂપ y = kx + b છે, જ્યાં x અને y ચલ પ્રથમ ઘાતમાં છે, અને k અને b કાં તો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક અથવા શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે. રેખા y = kx રેખાની સમાંતર છે અને અક્ષ |b| પર કાપે છે એકમો જો રેખા એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર હોય, તો k = 0, જો ઓર્ડિનેટ અક્ષ હોય, તો સમીકરણ x = const સ્વરૂપ ધરાવે છે.
વિવિધ ક્વાર્ટર્સમાં સ્થિત બે શાખાઓ અને કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિની તુલનામાં સપ્રમાણતા ધરાવતા વળાંક એ અતિપરવલય છે. આ આલેખ એ x પરના ચલ y ની વ્યસ્ત અવલંબન છે અને તે સમીકરણ y = k/x દ્વારા વર્ણવેલ છે. અહીં k ≠ 0 એ પ્રમાણસરતા ગુણાંક છે. વધુમાં, જો k > 0, કાર્ય ઘટે છે; જો કે< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
ચતુર્ભુજ વિધેયનું સ્વરૂપ y = ax2 + bx + c છે, જ્યાં a, b અને c અચલ જથ્થાઓ છે અને a 0. જો b = c = 0 શરત મળે છે, તો કાર્યનું સમીકરણ y = ax2 જેવું દેખાય છે ( સૌથી સરળ કેસ), અને તેનો આલેખ મૂળમાંથી પસાર થતો પેરાબોલા છે. ફંક્શન y = ax2 + bx + c નો ગ્રાફ ફંક્શનના સૌથી સરળ કેસ જેવો જ સ્વરૂપ ધરાવે છે, પરંતુ તેનું શિરોબિંદુ (OY અક્ષ સાથે છેદનનું બિંદુ) મૂળ પર રહેતું નથી.
પેરાબોલા એ પાવર ફંક્શનનો આલેખ પણ છે જે સમીકરણ y = xⁿ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જો n એ કોઈપણ બેકી સંખ્યા હોય. જો n એ કોઈપણ વિષમ સંખ્યા હોય, તો આવા પાવર ફંક્શનનો ગ્રાફ ક્યુબિક પેરાબોલા જેવો દેખાશે.
જો n કોઈપણ હોય, તો કાર્ય સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે. વિષમ n માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ હાઇપરબોલા હશે, અને સમ n માટે તેમની શાખાઓ op અક્ષના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હશે.
શાળાના વર્ષોમાં પણ, કાર્યોનો વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને તેમના આલેખ બનાવવામાં આવે છે. પરંતુ, કમનસીબે, તેઓ વ્યવહારીક રીતે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે વાંચવો અને પ્રસ્તુત ડ્રોઇંગમાંથી તેનો પ્રકાર કેવી રીતે શોધવો તે શીખવતા નથી. જો તમને મૂળભૂત પ્રકારનાં કાર્યો યાદ હોય તો તે ખરેખર એકદમ સરળ છે.
સૂચનાઓ
જો પ્રસ્તુત ગ્રાફ , જે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ દ્વારા છે અને OX અક્ષ સાથે કોણ α છે (જે સીધી રેખાના ધન અર્ધ-અક્ષ તરફના ઝોકનો કોણ છે), તો આવી સીધી રેખાનું વર્ણન કરતું કાર્ય હશે y = kx તરીકે પ્રસ્તુત. આ કિસ્સામાં, પ્રમાણસરતા ગુણાંક k એ કોણ α ની સ્પર્શક સમાન છે.
જો આપેલ રેખા બીજા અને ચોથા સંકલન ક્વાર્ટરમાંથી પસાર થાય છે, તો k બરાબર 0 છે અને કાર્ય વધે છે. પ્રસ્તુત આલેખને સંકલન અક્ષોની તુલનામાં કોઈપણ રીતે સ્થિત સીધી રેખા બનવા દો. પછી આવા નું કાર્ય ગ્રાફિક્સરેખીય હશે, જે ફોર્મ y = kx + b દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં y અને x ચલ પ્રથમમાં છે, અને b અને k બંને નકારાત્મક અને હકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે અથવા.
જો રેખા ગ્રાફ y = kx સાથેની રેખાની સમાંતર હોય અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર b એકમોને કાપી નાખે, તો સમીકરણ x = const સ્વરૂપ ધરાવે છે, જો ગ્રાફ એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર હોય, તો k = 0.
વક્ર રેખા કે જેમાં બે શાખાઓ હોય છે, જે મૂળ વિશે સપ્રમાણ હોય છે અને વિવિધ ક્વાર્ટર્સમાં સ્થિત હોય છે, તે અતિપરવલય છે. આવા આલેખ ચલ x પર ચલ y ની વ્યસ્ત અવલંબન દર્શાવે છે અને તેનું વર્ણન y = k/x સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે, જ્યાં k શૂન્યની બરાબર ન હોવો જોઈએ, કારણ કે તે વ્યસ્ત પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક છે. વધુમાં, જો k નું મૂલ્ય શૂન્ય કરતા વધારે હોય, તો કાર્ય ઘટે છે; જો k શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય, તો તે વધે છે.
જો સૂચિત આલેખ મૂળમાંથી પસાર થતો પેરાબોલા છે, તો તેનું કાર્ય, b = c = 0, y = ax2 સ્વરૂપ હશે. ચતુર્ભુજ કાર્યનો આ સૌથી સરળ કેસ છે. y = ax2 + bx + c ફોર્મના ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્વરૂપ સૌથી સરળ કેસ જેવું જ હશે, જો કે, શિરોબિંદુ (બિંદુ જ્યાં ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ અક્ષને છેદે છે) મૂળ પર હશે નહીં. ચતુર્ભુજ કાર્યમાં, ફોર્મ y = ax2 + bx + c દ્વારા રજૂ થાય છે, a, b અને c ના મૂલ્યો સ્થિર હોય છે, જ્યારે a શૂન્યની બરાબર નથી.
પેરાબોલા એ પાવર ફંક્શનનો ગ્રાફ પણ હોઈ શકે છે જે ફોર્મ y = xⁿ ના સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જો n કોઈપણ બેકી સંખ્યા હોય. જો n ની કિંમત એક વિષમ સંખ્યા છે, તો પાવર ફંક્શનનો આવો આલેખ ઘન પેરાબોલા દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે. જો ચલ n એ કોઈપણ નકારાત્મક સંખ્યા હોય, તો કાર્ય સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે.
વિષય પર વિડિઓ
પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુનું સંકલન તેના બે જથ્થા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: એબ્સીસા અક્ષ અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે. આવા ઘણા બધા બિંદુઓનો સંગ્રહ ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવે છે. તેમાંથી તમે જોઈ શકો છો કે X મૂલ્યમાં ફેરફારના આધારે Y મૂલ્ય કેવી રીતે બદલાય છે તમે એ પણ નક્કી કરી શકો છો કે કયા વિભાગમાં (અંતરાલ) કાર્ય વધે છે અને કયા ઘટે છે.
સૂચનાઓ
જો ફંક્શનનો ગ્રાફ સીધી રેખા હોય તો તમે તેના વિશે શું કહી શકો? જુઓ કે શું આ રેખા સંકલન મૂળ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે (એટલે કે, જ્યાં X અને Y મૂલ્યો 0 ની બરાબર છે). જો તે પસાર થાય છે, તો પછી આવા કાર્યનું વર્ણન સમીકરણ y = kx દ્વારા કરવામાં આવે છે. તે સમજવું સહેલું છે કે k નું મૂલ્ય જેટલું મોટું હશે, ઓર્ડિનેટ અક્ષની નજીક આ સીધી રેખા સ્થિત થશે. અને Y અક્ષ પોતે ખરેખર k ના અનંત મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, ચતુર્ભુજ કાર્યના ગુણધર્મો અને આલેખ પરના કાર્યો ગંભીર મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. આ એકદમ વિચિત્ર છે, કારણ કે તેઓ 8 મા ધોરણમાં ચતુર્ભુજ કાર્યનો અભ્યાસ કરે છે, અને પછી 9 મા ધોરણના પ્રથમ ક્વાર્ટર દરમિયાન તેઓ પેરાબોલાના ગુણધર્મોને "પીડિત" કરે છે અને વિવિધ પરિમાણો માટે તેના આલેખ બનાવે છે.
આ એ હકીકતને કારણે છે કે જ્યારે વિદ્યાર્થીઓને પેરાબોલાસ બનાવવાની ફરજ પાડે છે, ત્યારે તેઓ વ્યવહારીક રીતે આલેખને "વાંચવા" માટે સમય ફાળવતા નથી, એટલે કે, તેઓ ચિત્રમાંથી પ્રાપ્ત માહિતીને સમજવાની પ્રેક્ટિસ કરતા નથી. દેખીતી રીતે, એવું માનવામાં આવે છે કે, એક ડઝન કે બે આલેખ બનાવ્યા પછી, એક સ્માર્ટ વિદ્યાર્થી પોતે સૂત્રમાંના ગુણાંક અને ગ્રાફના દેખાવ વચ્ચેના સંબંધને શોધી અને ઘડશે. વ્યવહારમાં આ કામ કરતું નથી. આવા સામાન્યીકરણ માટે, ગાણિતિક લઘુ-સંશોધનમાં ગંભીર અનુભવ જરૂરી છે, જે મોટાભાગના નવમા-ગ્રેડર્સ પાસે નથી. દરમિયાન, રાજ્ય નિરીક્ષક શેડ્યૂલનો ઉપયોગ કરીને ગુણાંકના ચિહ્નો નક્કી કરવાની દરખાસ્ત કરે છે.
અમે સ્કૂલનાં બાળકો પાસેથી અશક્યની માગણી કરીશું નહીં અને આવી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે ફક્ત એક અલ્ગોરિધમ્સ ઑફર કરીશું.
તેથી, ફોર્મનું કાર્ય y = કુહાડી 2 + bx + cતેને ચતુર્ભુજ કહેવાય છે, તેનો આલેખ પેરાબોલા છે. નામ સૂચવે છે તેમ, મુખ્ય શબ્દ છે કુહાડી 2. એટલે કે એશૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, બાકીના ગુણાંક ( bઅને સાથે) શૂન્ય બરાબર થઈ શકે છે.
ચાલો જોઈએ કે તેના ગુણાંકના ચિહ્નો પેરાબોલાના દેખાવને કેવી રીતે અસર કરે છે.
ગુણાંક માટે સૌથી સરળ અવલંબન એ. મોટાભાગના શાળાના બાળકો આત્મવિશ્વાસથી જવાબ આપે છે: “જો એ> 0, પછી પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, અને જો એ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой એ > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
આ કિસ્સામાં એ = 0,5
અને હવે માટે એ < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
આ કિસ્સામાં એ = - 0,5
ગુણાંકની અસર સાથેતે અનુસરવા માટે પણ ખૂબ સરળ છે. ચાલો કલ્પના કરીએ કે આપણે એક બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધવા માંગીએ છીએ એક્સ= 0. સૂત્રમાં શૂન્યને બદલો:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. તે તારણ આપે છે કે y = c. એટલે કે સાથે y-અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે. સામાન્ય રીતે, આ બિંદુ ગ્રાફ પર શોધવાનું સરળ છે. અને નક્કી કરો કે તે શૂન્ય ઉપર છે કે નીચે. એટલે કે સાથે> 0 અથવા સાથે < 0.
સાથે > 0:
y = x 2 + 4x + 3
સાથે < 0
y = x 2 + 4x - 3
તદનુસાર, જો સાથે= 0, પછી પેરાબોલા આવશ્યકપણે મૂળમાંથી પસાર થશે:
y = x 2 + 4x
પરિમાણ સાથે વધુ મુશ્કેલ b. જે બિંદુએ આપણે તેને શોધીશું તે ફક્ત તેના પર જ નિર્ભર નથી bપણ થી એ. આ પેરાબોલાની ટોચ છે. તેનું એબ્સીસા (અક્ષ સંકલન એક્સ) સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે x માં = - b/(2a). આમ, b = - 2ax in. એટલે કે, આપણે નીચે પ્રમાણે આગળ વધીએ છીએ: આપણે ગ્રાફ પર પેરાબોલાના શિરોબિંદુ શોધીએ છીએ, તેના એબ્સીસાનું ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ, એટલે કે, આપણે શૂન્યની જમણી તરફ જોઈએ છીએ ( x માં> 0) અથવા ડાબી બાજુએ ( x માં < 0) она лежит.
જો કે, તે બધુ જ નથી. આપણે ગુણાંકના ચિહ્ન પર પણ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે એ. એટલે કે, પેરાબોલાની શાખાઓ ક્યાં નિર્દેશિત છે તે જુઓ. અને તે પછી જ, સૂત્ર મુજબ b = - 2ax inનિશાની નક્કી કરો b.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે એ> 0, પેરાબોલા ધરીને છેદે છે ખાતેશૂન્યની નીચે એટલે સાથે < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x માં> 0. તેથી b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: એ > 0, b < 0, સાથે < 0.
