અવકાશના ઉદાહરણોમાં અક્ષીય સમપ્રમાણતા. આઈ

અવકાશમાં સમપ્રમાણતા એ વિવિધ સ્વરૂપોના પદાર્થો, સજીવો અથવા પદાર્થોના ભાગો અથવા ઘટકોનો સુંદર, સુમેળભર્યો અને સંતુલિત પ્રમાણસર સંબંધ છે. આપણી આસપાસના અવકાશમાં આપણે સપ્રમાણ આકારની ઘણી બધી નિર્જીવ વસ્તુઓનું અવલોકન કરી શકીએ છીએ. જીવંત સજીવો, બંને સરળ અને અત્યંત જટિલ, તેમની રચનામાં સમપ્રમાણતાના તત્વો પણ ધરાવે છે.

શ્રેષ્ઠતા માટે પ્રયત્નશીલ

સંપૂર્ણતા અને સંવાદિતા સાથે સપ્રમાણ આકારને ઓળખી શકાય છે. તે કારણ વિના નથી કે "સપ્રમાણતા" અને "સંપૂર્ણતા" જેવા શબ્દો ઘણા લોકોની ભાષાઓમાં સમાનાર્થી છે.

અવકાશમાં સમપ્રમાણતા દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે. છોડ અને જીવંત જીવોના વિવિધ સ્વરૂપો તેમની પ્રમાણસરતા, સુસંગતતા અને એર્ગોનોમિક સ્વરૂપથી આશ્ચર્યચકિત થાય છે. અહીંની દરેક વસ્તુ નાનામાં નાની વિગત માટે વિચારવામાં આવી છે: અદ્ભુત સુંદરતા, પ્રમાણની લાવણ્ય અને અનાવશ્યક કંઈ નથી. જીવનની શ્રેષ્ઠ કાર્યક્ષમતા માટે બધું પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા

આપણી આસપાસની દુનિયાના અવકાશમાં, સ્ફટિકોની રચનામાં નિર્જીવ પ્રકૃતિ સ્પષ્ટપણે દેખાય છે. આ પ્રકારની સમપ્રમાણતા સ્નોવફ્લેક્સની રચનામાં સ્પષ્ટપણે દેખાય છે, જે બરફના સ્ફટિકો છે. તેમના સ્વરૂપો આશ્ચર્યજનક રીતે વૈવિધ્યસભર છે. પરંતુ તે બધા કેન્દ્રિય સપ્રમાણ છે.

કેન્દ્રીય અથવા રેડિયલ સપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ છોડના ફૂલો છે: સૂર્યમુખી, કેમોલી, મેઘધનુષ, એસ્ટર. આ પ્રકારની સમપ્રમાણતાને રોટેશનલ પણ કહેવામાં આવે છે. જો ફૂલની પાંખડીઓ અથવા સ્નોવફ્લેકના કિરણોને કેન્દ્રની સાપેક્ષે ફેરવવામાં આવે છે, તો તેઓ એકબીજાને ઓવરલેપ કરશે.

મિરર સમપ્રમાણતા

આપણી આસપાસના કુદરતી વિશ્વની જગ્યામાં અરીસાની સમપ્રમાણતા છોડ અને પ્રાણીઓમાં જોવા મળે છે. ઓક અથવા ફર્ન, ભમરો અથવા બટરફ્લાય, સ્પાઈડર અથવા કેટરપિલર, માઉસ અથવા સસલું - આ ફક્ત કેટલાક ઉદાહરણો છે જ્યાં તમે જીવંત જીવોમાં દ્વિપક્ષીય અથવા અરીસાની સમપ્રમાણતા જોઈ શકો છો. એક વ્યક્તિ સપ્રમાણ છે, જેમ કે શરીરના ભાગો છે: હાથ, પગ. આ સ્વરૂપોમાં આપણે એક પ્રકારનું અરીસાનું અવલોકન કરીએ છીએ જે પદાર્થના અડધા ભાગનું બીજામાંથી પ્રતિબિંબિત થાય છે. જો તમે પ્લેનમાં કોઈ ઑબ્જેક્ટ મૂકો છો, તો પછી તેની છબી માનસિક રીતે મધ્યમાં વળેલી હોઈ શકે છે, અને એક અડધી બીજાને ઓવરલેપ કરશે.

સમપ્રમાણતાના ઉદભવની પૂર્વધારણા

વૈજ્ઞાનિક વિશ્વમાં, ઘણી પૂર્વધારણાઓ છે જે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરે છે કે આપણા વિશ્વની અવકાશમાં સમપ્રમાણતા કેવી રીતે ઊભી થઈ. તેમાંના એકના મતે, દરેક વસ્તુ જે ઉપર અથવા નીચે વધે છે તે કાયદાને આધીન છે, અને પૃથ્વીની સપાટીની સમાંતર બનેલી અથવા તેની તરફ વળેલી દરેક વસ્તુ અરીસા-સપ્રમાણ આકાર લે છે. તેઓ આ ગુણધર્મોને ગ્રહના કેન્દ્રમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણ અને તેમના સ્થાનના આધારે સૂર્યપ્રકાશ દ્વારા પદાર્થોના પ્રકાશની વિવિધ ડિગ્રી દ્વારા સમજાવવાનો પ્રયાસ કરે છે.

વિજ્ઞાન અને કલામાં સમપ્રમાણતા

પ્રાચીન સમયમાં કલાકારો, શિલ્પકારો અને આર્કિટેક્ટ્સ દ્વારા અવકાશમાં સમપ્રમાણતાની પ્રશંસા કરવામાં આવી હતી. આપણે પ્રાચીન ખડક ચિત્રોમાં, પ્રાચીન વસ્તુઓ અને શસ્ત્રોના સુશોભન શણગારમાં સમપ્રમાણતાના તત્વો જોઈએ છીએ. ઇજિપ્તીયન અને મય પિરામિડ, સ્લેવિક કેથેડ્રલના ગુંબજ, ગ્રીક મંદિરો અને મહેલો, પ્રાચીન કમાનો અને એમ્ફીથિયેટર, વ્હાઇટ હાઉસનો રવેશ અને મોસ્કો ક્રેમલિન એ ઉત્કૃષ્ટ સુંદરતા અને સાચી પૂર્ણતાની ઇચ્છાના કેટલાક ઉદાહરણો છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા સમપ્રમાણતાની વિભાવનાઓ ગંભીરતાથી વિકસાવવામાં આવી હતી. હાથ ધરવામાં આવેલા ગાણિતિક અભ્યાસોએ પ્લેન અને અવકાશમાં સમપ્રમાણતાના મુખ્ય દાખલાઓને ઓળખવાનું શક્ય બનાવ્યું. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રે પણ આ રસપ્રદ કુદરતી પેટર્નની અવગણના કરી નથી. એકેડેમિશિયન V.I. વર્નાડસ્કી માનતા હતા કે "સપ્રમાણતા... એ તમામ ક્ષેત્રોના ગુણધર્મોને આવરી લે છે જેની સાથે ભૌતિકશાસ્ત્રી અને રસાયણશાસ્ત્રી વ્યવહાર કરે છે." અણુઓની સપ્રમાણ રચનાને લીધે, અણુઓ વિવિધ પ્રતિક્રિયાઓમાં પ્રવેશ કરે છે અને સ્ફટિક રચનાના ભૌતિક ગુણધર્મો નક્કી કરે છે. જો ભૌતિક વિજ્ઞાનના નિયમો કે જે ભૌતિક જથ્થાને સ્થાપિત કરે છે તે વિવિધ પરિવર્તનો હેઠળ યથાવત રહે છે, તો પણ આપણે કહી શકીએ કે આ રૂપાંતરણોના સંદર્ભમાં આ નિયમોમાં અવ્યવસ્થા અથવા સમપ્રમાણતા છે.

§ 1 સપ્રમાણતા શું છે

આ પાઠમાંથી અવતરણ પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક, સાયબરનેટિક્સના નિર્માતા નોર્બર્ટ વિનરનું નિવેદન હશે, જે આજે ચર્ચા કરવામાં આવશે તે દરેક વસ્તુને ખૂબ જ સચોટ રીતે વ્યક્ત કરે છે.

"ગણિતનો સર્વોચ્ચ હેતુ આપણી આસપાસની અરાજકતામાં સુંદરતા, સુમેળ અને વ્યવસ્થા શોધવાનો છે."

સપ્રમાણતા એ એક એવા કાયદા છે જે બ્રહ્માંડની સુમેળને સુનિશ્ચિત કરે છે, આપણે આજે તેના વિશે વાત કરીશું અને પ્લાનિમેટ્રી પાઠમાં રજૂ કરાયેલા ખ્યાલોને વિસ્તૃત કરીશું.

રોજિંદા ભાષામાં, સમપ્રમાણતા શબ્દનો ઉપયોગ બે અર્થમાં થાય છે. એક અર્થમાં, સપ્રમાણતાનો અર્થ એવો થાય છે કે જે સારી રીતે પ્રમાણસર, સંતુલિત હોય અને સપ્રમાણતા વ્યક્તિગત ભાગોની તે પ્રકારની સુસંગતતા દર્શાવે છે જે તેમને એક સંપૂર્ણમાં જોડે છે. સૌંદર્યનો સપ્રમાણતા સાથે ગાઢ સંબંધ છે. આની ચર્ચા કરવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે, પોલીક્લીટોસ દ્વારા પ્રમાણ પરના તેમના પુસ્તકમાં, એક શિલ્પકાર જેમના શિલ્પોને તેમની સુમેળપૂર્ણ પૂર્ણતા માટે પ્રાચીન લોકો દ્વારા પ્રશંસા કરવામાં આવી હતી. ભીંગડાની છબી એ એક કુદરતી કડી છે જે આપણા સમયમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સપ્રમાણતા શબ્દના બીજા અર્થ તરફ દોરી જાય છે: અરીસાની સમપ્રમાણતા - ડાબી અને જમણી સમપ્રમાણતા, તેથી ઉચ્ચ પ્રાણીઓ અને મનુષ્યોમાં શરીરની રચનામાં નોંધપાત્ર છે.

પ્રતિબિંબ અથવા પરિભ્રમણ જેવી ક્રિયાઓ સાથે સંબંધિત સપ્રમાણતાના ભૌમિતિક ખ્યાલના વિશેષ કેસ તરીકે અરીસાની સમપ્રમાણતા કાર્ય કરે છે.

પાયથાગોરિઅન્સ પ્લેન પરની સૌથી સંપૂર્ણ ભૌમિતિક આકૃતિઓને વર્તુળ અને અવકાશમાં તેમની સંપૂર્ણ રોટેશનલ સપ્રમાણતાને કારણે ગોળ ગણતા હતા.

સપ્રમાણતા, વ્યાપક અથવા સંકુચિત અર્થમાં, તે વિચાર છે જેના દ્વારા માણસ સદીઓથી ક્રમ, સુંદરતા અને સંપૂર્ણતાને સમજવા અને બનાવવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો છે. આમ, અવકાશ અને સમયના ગુણધર્મો સપ્રમાણતા તરફ દોરી જાય છે, તેના સંવાદિતાના અભિવ્યક્તિ તરીકે પ્રકૃતિમાં નિયમિતતા તરફ દોરી જાય છે.

§ 2 બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા

પ્લાનિમેટ્રીમાં, અમે એવા આંકડાઓ ગણ્યા જે બિંદુના સંદર્ભમાં અને સીધી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય. સ્ટીરીઓમેટ્રીમાં, બિંદુ, રેખા અને સમતલના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા ગણવામાં આવે છે.

બિંદુઓ A અને A1 ને બિંદુ O (સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર) ની તુલનામાં સપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે જો O એ સેગમેન્ટ AA1 ની મધ્યમાં હોય. પોઈન્ટ O ને પોતાના માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે. કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ ફૂલ અથવા પેટર્ન હશે

§ 3 સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા

જો સીધી રેખા a સેગમેન્ટ AA1 ની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે તો પોઈન્ટ A અને A1 ને સીધી રેખા a (સપ્રમાણતાની અક્ષ) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. રેખા a ના દરેક બિંદુને પોતાના માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે.

આવી સમપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ માત્ર સુંદર પતંગિયાઓમાં જ નહીં, પણ સમગ્ર ઇમારતોમાં પણ જોઈ શકાય છે, જેમ કે

મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીની ઇમારતનું નામ આપવામાં આવ્યું છે. લોમોનોસોવ,

તારણહાર ખ્રિસ્તનું કેથેડ્રલ,

મકબરો-મસ્જિદ તાજમહેલ.

પ્લેન વિશે § 4 સમપ્રમાણતા

અવકાશી ભૂમિતિમાં, ચાલો સમતલને સંબંધિત સમપ્રમાણતા ઉમેરીએ.

જો પ્લેન α એ સેગમેન્ટ AA1 ની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે તો પોઈન્ટ A અને A1 ને પ્લેન α (સપ્રમાણતાનું પ્લેન) ની તુલનામાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. α પ્લેનનો દરેક બિંદુ પોતાને માટે સપ્રમાણ માનવામાં આવે છે.

સ્ટીરિયોમેટ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વ્યક્તિ કેન્દ્ર, અક્ષ અને આકૃતિના સમપ્રમાણતાના પ્લેન વિશે પણ વાત કરી શકે છે.

એક બિંદુ (સીધી રેખા, સમતલ) ને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અક્ષ, સમતલ) કહેવામાં આવે છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણ હોય. જો કોઈ આકૃતિમાં કેન્દ્ર (અક્ષ, સમપ્રમાણતાનું પ્લેન) હોય, તો તેને કેન્દ્રીય (અક્ષીય, અરીસા) સપ્રમાણતા કહેવાય છે.

ચિત્રોમાં હવે તમે એક લંબચોરસ સમાંતર, તેમજ તેનું સપ્રમાણ કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાની અક્ષ, સમપ્રમાણતાનું વિમાન જોઈ શકો છો.

સમાંતર નળીઓ, જે લંબચોરસ નથી પરંતુ સીધી પ્રિઝમ છે, તેમાં એક સમતલ (અથવા સમતોલ જો તેનો આધાર સમચતુર્ભુજ હોય ​​તો), એક ધરી અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોય છે.

§ 5 અસમપ્રમાણતા

આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાના એક અથવા વધુ કેન્દ્રો (અક્ષો, સમપ્રમાણતાના વિમાનો) હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમઘનનું સમપ્રમાણતાનું માત્ર એક કેન્દ્ર અને સમપ્રમાણતાના અનેક અક્ષો અને વિમાનો હોય છે. એવી આકૃતિઓ છે કે જેમાં અનંત ઘણા કેન્દ્રો, અક્ષો અથવા સમપ્રમાણતાના વિમાનો હોય છે. આ આંકડાઓમાં સૌથી સરળ સીધી રેખા અને પ્લેન છે. તેનાથી વિપરિત, એવા આંકડાઓ છે કે જેમાં કેન્દ્રો, અક્ષો અથવા સમપ્રમાણતાના વિમાનો નથી. આ કિસ્સામાં, અમે અસમપ્રમાણતા તરીકે અન્ય ગાણિતિક ખ્યાલ વિશે વાત કરીએ છીએ, જેનો અર્થ સમપ્રમાણતાની ગેરહાજરી છે. આજે, જીવવિજ્ઞાનીઓ અને મનોવૈજ્ઞાનિકો, રસાયણશાસ્ત્રીઓ અને ડોકટરો સમપ્રમાણતાના રહસ્યોને ઉકેલવા અને ડાબે અને જમણા રહસ્યોને ઉકેલવા માટે સાથે મળીને કામ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છે. દરરોજ આપણે અરીસામાં જોઈએ છીએ, પરંતુ આપણે ભાગ્યે જ એ હકીકત વિશે વિચારીએ છીએ કે પ્રતિબિંબમાં, જમણો હાથ ડાબી તરફ વળે છે. કુદરતે ગોળાર્ધ, હાથ, પગ, આંખોના કેટલાક કાર્યો શા માટે બનાવ્યા અને ડુપ્લિકેટ કર્યા, પરંતુ મનુષ્ય પાસે ફક્ત એક જ મોં છે? આશ્ચર્યજનક રીતે, આપણી બધી સમપ્રમાણતા સાથે, આપણે અસમપ્રમાણ છીએ. આધુનિક કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીઓ એ જોવાનું શક્ય બનાવે છે કે વ્યક્તિ ફક્ત ચહેરાના ડાબા ભાગોમાંથી અથવા જમણી બાજુથી કેવો હશે. પરિણામ મોટાભાગના લોકોને આશ્ચર્યચકિત કરે છે જેઓ પરિણામી પોટ્રેટ જુએ છે. જમણી અને ડાબી ગોળાર્ધની વ્યક્તિઓ એકબીજાથી અલગ હોય છે. આસપાસ જુઓ, કદાચ તમે આસપાસ સપ્રમાણતા અને અસમપ્રમાણતા જોશો અને તેની પ્રશંસા કરશો.

1. ભૂમિતિ. 10 - 11 ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev અને અન્ય]. - 22મી આવૃત્તિ. – એમ.: શિક્ષણ, 2013. – 255 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - (MSU - શાળામાં)
2. શાળાના શિક્ષકોને મદદ કરવા માટે શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા યારોવેન્કો V.A. L. S. Atanasyan et al. (M.: Prosveshcheniye) 10મા ધોરણના શૈક્ષણિક સમૂહ માટે ભૂમિતિમાં પાઠ વિકાસ
3. રાબિનોવિચ ઇ.એમ. તૈયાર રેખાંકનો પર કાર્યો અને કસરતો. 10 - 11 ગ્રેડ. ભૂમિતિ. - એમ.: ઇલેક્ઝા, 2006. - 80 સે.
4. એમ. યા વૈગોડસ્કી હેન્ડબુક ઓફ એલિમેન્ટરી મેથેમેટિક્સ એમ.: એએસટી એસ્ટ્રેલ, 2006. - 509 પૃષ્ઠ.
5. અવંતા+. બાળકો માટે જ્ઞાનકોશ. વોલ્યુમ 11. ગણિત 2જી આવૃત્તિ., સુધારેલ. - એમ.: વર્લ્ડ ઓફ અવંતા+ જ્ઞાનકોશ: એસ્ટ્રેલ 2007. - 621 પૃષ્ઠ. એડ. બોર્ડ: એમ. અક્સેનોવા, વી. વોલોડિન, એમ. સેમસોનોવ

આ પાઠમાં આપણે અવકાશમાં સમપ્રમાણતાના પ્રકારોનું વર્ણન કરીશું અને નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાથી પરિચિત થઈશું.

પ્લેનિમેટ્રીની જેમ, અવકાશમાં આપણે બિંદુના સંદર્ભમાં અને રેખાના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લઈશું, પરંતુ તે ઉપરાંત સમતલના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા દેખાશે.

વ્યાખ્યા.

બિંદુઓ A ને બિંદુ O (સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર) ની તુલનામાં સપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે, જો O સેગમેન્ટની મધ્યમાં હોય. પોઈન્ટ O પોતાના માટે સપ્રમાણ છે.

આપેલ બિંદુ A માટે બિંદુ O સાથે સંબંધિત બિંદુને સપ્રમાણતા પ્રાપ્ત કરવા માટે, તમારે બિંદુ A અને O દ્વારા એક સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે, બિંદુ O થી OA સમાન સેગમેન્ટ દોરો અને ઇચ્છિત બિંદુ (આકૃતિ 1) મેળવો. ).

ચોખા. 1. બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા

એ જ રીતે, બિંદુઓ B એ બિંદુ O ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, કારણ કે O એ સેગમેન્ટની મધ્યમાં છે.

આમ, એક કાયદો આપવામાં આવ્યો છે જે મુજબ પ્લેન પરનો દરેક બિંદુ પ્લેનના બીજા બિંદુ પર જાય છે, અને અમે કહ્યું કે આ કિસ્સામાં કોઈપણ અંતર સાચવેલ છે, એટલે કે.

ચાલો અવકાશમાં સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા ધ્યાનમાં લઈએ.

ચોક્કસ સીધી રેખા a ના સંદર્ભમાં આપેલ બિંદુ A માટે સપ્રમાણ બિંદુ મેળવવા માટે, તમારે બિંદુ A થી સીધી રેખા સુધી લંબને નીચે કરવાની જરૂર છે અને તેના પર સમાન સેગમેન્ટ (આકૃતિ 2) બનાવવું પડશે.

ચોખા. 2. અવકાશમાં સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા

વ્યાખ્યા.

બિંદુઓ A અને સીધી રેખા a (સપ્રમાણતાની અક્ષ) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવાય છે જો સીધી રેખા a સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને તેની પર લંબ હોય છે. સીધી રેખા પરનો દરેક બિંદુ પોતાના માટે સપ્રમાણ છે.

વ્યાખ્યા.

જો પ્લેન સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થાય અને તેની પર લંબ હોય તો પોઈન્ટ A ને પ્લેન (સપ્રમાણતાનું પ્લેન) ની તુલનામાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. પ્લેનનો દરેક બિંદુ પોતાના માટે સપ્રમાણ છે (આકૃતિ 3).

ચોખા. 3. પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા

કેટલીક ભૌમિતિક આકૃતિઓમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાની અક્ષ અથવા સમપ્રમાણતાનું સમતલ હોઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા.

બિંદુ O એ આકૃતિના સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર કહેવાય છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતર ચતુષ્કોણ અને સમાંતર પાઇપમાં, તમામ કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. ચાલો સમાંતર પાઈપ માટે ઉદાહરણ આપીએ.

ચોખા. 4. સમાંતર નળીઓની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર

તેથી, સમાંતર પાઇપમાં બિંદુ O વિશે સમપ્રમાણતા સાથે બિંદુ A બિંદુમાં જાય છે, બિંદુ B બિંદુમાં જાય છે, વગેરે, આમ સમાંતર પાઇપ પોતે જ જાય છે.

વ્યાખ્યા.

એક સીધી રેખાને આકૃતિની સમપ્રમાણતાની અક્ષ કહેવામાં આવે છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, સમચતુર્ભુજનો દરેક કર્ણ તેના માટે સમપ્રમાણતાનો અક્ષ છે;

ચાલો અવકાશમાં એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ - એક લંબચોરસ સમાંતર (બાજુની કિનારીઓ પાયા પર લંબરૂપ હોય છે, અને પાયા પર સમાન લંબચોરસ હોય છે). આવા સમાંતર પાઇપમાં સમપ્રમાણતાની અક્ષો હોય છે. તેમાંથી એક સમાંતર પાઈપ (વિકર્ણોના આંતરછેદના બિંદુ) ની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર અને ઉપલા અને નીચલા પાયાના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે.

વ્યાખ્યા.

જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય તો તેને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું સમતલ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, લંબચોરસ સમાંતર નળીઓમાં સમપ્રમાણતાના સમતલ હોય છે. તેમાંથી એક ઉપલા અને નીચલા પાયાની વિરુદ્ધ પાંસળીના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે (આકૃતિ 5).

ચોખા. 5. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની સમપ્રમાણતાનું પ્લેન

સપ્રમાણતાના તત્વો નિયમિત પોલિહેડ્રામાં સહજ છે.

વ્યાખ્યા.

બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેના બધા ચહેરા સમાન નિયમિત બહુકોણ હોય, અને દરેક શિરોબિંદુ પર સમાન સંખ્યામાં કિનારીઓ એકરૂપ થાય.

પ્રમેય.

ત્યાં કોઈ નિયમિત પોલિહેડ્રોન નથી કે જેના ચહેરા માટે નિયમિત n-gons હોય.

પુરાવો:

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે નિયમિત ષટ્કોણ હોય. તેના તમામ આંતરિક ખૂણા સમાન છે:

પછી આંતરિક ખૂણા પર મોટા હશે.

પોલિહેડ્રોનના દરેક શિરોબિંદુ પર ઓછામાં ઓછી ત્રણ ધાર એકરૂપ થાય છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક શિરોબિંદુમાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ સમતલ ખૂણા હોય છે. તેમનો કુલ સરવાળો (જો કે દરેક તેનાથી મોટો અથવા તેના સમાન હોય) તેનાથી મોટો અથવા બરાબર છે. આ વિધાનનો વિરોધાભાસ કરે છે: બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનમાં, દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો કરતાં ઓછો હોય છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ક્યુબ (આકૃતિ 6):

ચોખા. 6. ક્યુબ

સમઘન છ ચોરસથી બનેલું છે; ચોરસ એ નિયમિત બહુકોણ છે;

દરેક શિરોબિંદુ એ ત્રણ ચોરસનું શિરોબિંદુ છે, ઉદાહરણ તરીકે, શિરોબિંદુ A એ ચોરસ ચહેરા ABCD માટે સામાન્ય છે, ;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે તેમાં ત્રણ કાટખૂણોનો સમાવેશ થાય છે. આ નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે તેના કરતા ઓછું છે;

ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે - કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ;

ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાની અક્ષો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે સીધી રેખાઓ a અને b (આકૃતિ 6), જ્યાં સીધી રેખા a વિરુદ્ધ ચહેરાના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને b વિરુદ્ધ કિનારીઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે;

ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાના પ્લેન હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે એક પ્લેન જે a અને b રેખાઓમાંથી પસાર થાય છે.

2. નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન (નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ, જેની તમામ કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે):

ચોખા. 7. નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોન

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન ચાર સમભુજ ત્રિકોણથી બનેલું છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ત્રણ સમતલ ખૂણાઓ હોય છે. આ નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે તેના કરતા ઓછું છે;

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતા અક્ષો હોય છે; તેઓ વિરુદ્ધ ધારના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે સીધી રેખા MN. વધુમાં, MN એ ક્રોસિંગ સીધી રેખાઓ AB અને CD વચ્ચેનું અંતર છે, MN એ AB અને CD ની ધાર પર લંબ છે;

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના વિમાનો હોય છે, દરેક ધાર અને વિરુદ્ધ ધારની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે (આકૃતિ 7);

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોતું નથી.

3. નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોન:

આઠ સમભુજ ત્રિકોણ ધરાવે છે;

ચાર ધાર દરેક શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થાય છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે નિયમિત અષ્ટકોણમાં ચાર સમતલ ખૂણાઓ હોય છે. આ કરતાં ઓછું છે, જે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે.

4. નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન:

વીસ સમભુજ ત્રિકોણ ધરાવે છે;

પાંચ ધાર દરેક શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થાય છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોનમાં પાંચ સમતલ ખૂણાઓ હોય છે. આ કરતાં ઓછું છે, જે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે.

5. નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન:

બાર નિયમિત પંચકોણ ધરાવે છે;

દરેક શિરોબિંદુ પર ત્રણ કિનારીઓ એકરૂપ થાય છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે . આ કરતાં ઓછું છે, જે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે.

તેથી, અમે અવકાશમાં સમપ્રમાણતાના પ્રકારોની તપાસ કરી અને કડક વ્યાખ્યાઓ આપી. અમે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી, આવા પોલિહેડ્રાના ઉદાહરણો અને તેમના ગુણધર્મોને જોયા.

સંદર્ભો

1. આઇ.એમ. સ્મિર્નોવા, વી.એ. સ્મિર્નોવ. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10-11: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ (મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ સ્તરો) ના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠયપુસ્તક / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5મી આવૃત્તિ, રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર.
2. શારીગિન આઈ.એફ. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10-11: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / શારીગીન I. F. - M.: બસ્ટાર્ડ, 1999. - 208 પૃષ્ઠ: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10: ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અને વિશિષ્ટ અભ્યાસ સાથે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક /E. વી. પોટોસ્કુએવ, એલ.આઈ. ઝ્વલિચ. - 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ., સ્ટીરિયોટાઇપ. - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2008. - 233 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. Matemonline.com ().
2. Fmclass.ru ().
3. 5klass.net ().

હોમવર્ક

1. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સંખ્યા સૂચવો;
2. નિયમિત પંચકોણીય પ્રિઝમની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સંખ્યા સૂચવો;
3. ઓક્ટાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના વિમાનોની સંખ્યા સૂચવો;
4. એક પિરામિડ બનાવો જેમાં સમપ્રમાણતાના તમામ તત્વો હોય.

પાઠ હેતુઓ:

વિદ્યાર્થીઓને અવકાશમાં સમપ્રમાણતાના ખ્યાલનો પરિચય આપો.

ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનના અર્થપૂર્ણ જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને સમપ્રમાણતાના ખ્યાલને ધ્યાનમાં લો.

નીચેના પ્રકારની સપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લો: કેન્દ્રિય, અક્ષીય, અરીસો, રોટરી, હેલિકલ.

વિદ્યાર્થીઓની ગણિત શીખવાની પ્રેરણા વધારવી.

શૈક્ષણિક:

1. જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો.

2. કલ્પનાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો.

3. સંચાર કૌશલ્યના વિકાસ અને ટીમમાં કામ કરવાની ક્ષમતાને પ્રોત્સાહન આપો.

શૈક્ષણિક:

વિદ્યાર્થીઓની સૌંદર્યલક્ષી દ્રષ્ટિના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપવા.

વિદ્યાર્થીઓની ક્ષિતિજને વિસ્તૃત કરવામાં મદદ કરો.

પાઠનો પ્રકાર: નવી સામગ્રી શીખવી.

આ પાઠના 2 અઠવાડિયા પહેલા, શિક્ષકે વર્ગને ટીમોમાં વહેંચવો જોઈએ. દરેક ટીમ નીચેનામાંથી કોઈ એક વિષય પર સંદેશ તૈયાર કરે છે: “સપ્રમાણતા”, “છોડમાં સમપ્રમાણતા”, “પ્રાણીઓમાં સમપ્રમાણતા”, “માનવોમાં સમપ્રમાણતા”, “રસાયણશાસ્ત્રમાં સમપ્રમાણતા”. ટીમોમાં વિભાજન અમુક વિષયોમાં વિદ્યાર્થીઓની રુચિને ધ્યાનમાં લે છે. વ્યક્તિગત અવલોકનો અને વિદ્યાર્થીઓ સાથેની વાતચીતના આધારે શિક્ષક દ્વારા રસ નક્કી કરવામાં આવે છે.

દરેક ટીમને એક સૂચક યોજના પ્રાપ્ત થાય છે, જે મુજબ સૂચિત વિષય પર સંદેશ તૈયાર કરવો જરૂરી છે. યોજનામાં દર્શાવેલ મુદ્દાઓ આવરી લેવા જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, છોડમાં સમપ્રમાણતા વિશે વાર્તા તૈયાર કરતી ટીમને નીચેની રૂપરેખા આપવામાં આવી છે:

1) ઊભી સમપ્રમાણતા;

રોટેશનલ સપ્રમાણતા;

હેલિકલ સપ્રમાણતા.

તૈયારીના પ્રથમ સપ્તાહમાં, વિદ્યાર્થીઓ પોતે જરૂરી સાહિત્ય શોધે છે અને સામગ્રી પસંદ કરે છે. પરિણામે, દરેક ટીમના સભ્યની નોંધ હોવી જોઈએ. જો ટીમને સામગ્રી શોધવામાં મુશ્કેલી હોય, તો શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને સંદર્ભોની સૂચિ આપે છે. આ ઉપરાંત, શિક્ષક તે ટીમો માટે પરામર્શ પ્રદાન કરે છે જે પાઠ માટે તેમના પોતાના પર તૈયારી કરી શકતા નથી.

તમે વિદ્યાર્થીઓને ટીમમાં જવાબદારીઓ વહેંચવા માટે કહી શકો છો. પછી કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ સામગ્રી શોધવા અને પસંદ કરવા માટે જવાબદાર હશે, કેટલાક વિઝ્યુઅલ એડ્સ બનાવવા (શોધવા) માટે જવાબદાર હશે, કેટલાક વર્ગમાં સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવા માટે જવાબદાર હશે, કેટલાક પ્રેઝન્ટેશન વિકસાવવા અને બનાવવા માટે જવાબદાર હશે. જો કે, બધા વિદ્યાર્થીઓએ તેમની ટીમ કઈ સામગ્રી સાથે કામ કરી રહી છે તે જાણવું જોઈએ અને તેની નોંધો હોવી જોઈએ. દરેક ટીમના પ્રદર્શન પછી, શિક્ષક દરેક સહભાગીને પ્રસ્તુત સામગ્રી વિશે ટૂંકા પ્રશ્ન પૂછી શકે છે.

ટીમો વારાફરતી પ્રદર્શન કરે છે. ટીમના પ્રેઝન્ટેશન દરમિયાન, અન્ય તમામ વિદ્યાર્થીઓ નીચેનું કોષ્ટક સાંભળે છે અને ભરે છે:

પાઠ પ્રગતિ:

1. શૈક્ષણિક પ્રભાવશાળી રચના:

વિદ્યાર્થીઓને નીચેના કાર્યની ઓફર કરવામાં આવે છે: સમપ્રમાણતાના પ્રકારને ધ્યાનમાં લેતા, સંખ્યાઓ અને આકારો સાથે ચિત્રોના ખાલી ભાગો ભરો.

2. શિક્ષક તરફથી પરિચયાત્મક શબ્દ:

જીવંત અને નિર્જીવ પ્રકૃતિના અનંત વિવિધ સ્વરૂપોમાં, આવા સંપૂર્ણ નમૂનાઓ વિપુલ પ્રમાણમાં જોવા મળે છે, જેનો દેખાવ હંમેશાં આપણું ધ્યાન આકર્ષિત કરે છે. આવા નમૂનાઓમાં કેટલાક સ્ફટિકો અને સૂક્ષ્મજીવાણુઓ, ઘણા પ્રાણીઓ અને છોડનો સમાવેશ થાય છે. અમે દરેક વ્યક્તિગત ફૂલ, શલભ અથવા શેલની સુંદરતાની સતત પ્રશંસા કરીએ છીએ અને હંમેશા સૌંદર્યના રહસ્યને ભેદવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. હનીકોમ્બની આર્કિટેક્ચર, સૂર્યમુખી ટોપી પર બીજની ગોઠવણી અને છોડની દાંડી પર પાંદડાઓની હેલિકલ ગોઠવણીથી અમને આશ્ચર્ય થાય છે.

કાળજીપૂર્વક અવલોકન દર્શાવે છે કે કુદરત દ્વારા બનાવેલ ઘણા સ્વરૂપોની સુંદરતાનો આધાર સપ્રમાણતા છે, અથવા તેના બદલે, તેના તમામ પ્રકારો - સરળથી સૌથી જટિલ સુધી.

સપ્રમાણતા (ગ્રીક સમપ્રમાણતામાંથી - "પ્રમાણસરતા") - પ્રમાણસરતા, મધ્ય રેખા, કેન્દ્રને સંબંધિત સમગ્ર ભાગોની ગોઠવણીમાં સંપૂર્ણ પત્રવ્યવહાર; કોઈ વસ્તુની ગોઠવણ અથવા પ્લેસમેન્ટમાં કડક ચોકસાઈ.

3. દરેક ટીમ પોતાનો રિપોર્ટ બનાવે છે.

4. શિક્ષકના અંતિમ શબ્દો:

જી. વેઇલની વાજબી ટિપ્પણી મુજબ, ગણિત સમપ્રમાણતાના મૂળ પર રહેલું છે. તે જ સમયે, સમપ્રમાણતા આપણા દ્વારા સામાન્ય રીતે સૌંદર્યના તત્વ અને ખાસ કરીને પ્રકૃતિની સુંદરતા તરીકે જોવામાં આવે છે. આજે આપણે ગણિત, જીવવિજ્ઞાન, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રના દૃષ્ટિકોણથી સમપ્રમાણતા જોઈ. વધુમાં, કલામાં સમપ્રમાણતાનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે, ખાસ કરીને આર્કિટેક્ચરમાં.

5. હોમવર્ક: "આપણા શહેરના આર્કિટેક્ચરમાં સમપ્રમાણતા" વિષયને ઉજાગર કરતી છબીઓની નકલો (ફોટોકોપીઝ, ફોટોગ્રાફ્સ વગેરે) શોધો અને બનાવો. (પ્રાપ્ત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને પ્રદર્શનનું આયોજન કરવું શક્ય બનશે).

6. હવે તમારામાંના દરેક અમારા પાઠના વિષયને સમર્પિત ટૂંકી સિંકવાઇન (ખાલી શ્લોક) લખશે. સિંકવાઇન લખવાના નિયમો: પ્રથમ લીટીમાં વિષય (સંજ્ઞા) લખાયેલ છે, બીજી લીટીમાં: બે વિશેષણો સાથે વિષયનું વર્ણન, ત્રીજી લીટીમાં: ક્રિયાઓનું વર્ણન (ત્રણ ક્રિયાપદો), ચોથી લીટીમાં : વિષય પ્રત્યેના વલણને વ્યક્ત કરતા 4 શબ્દોનો વાક્ય, પાંચમી પંક્તિ: એક શબ્દ જે પ્રથમ લાઇનમાં નોંધેલ વિષયના સારને છતી કરે છે.

લાભો:જીવવિજ્ઞાન, રસાયણશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર પર કોષ્ટકો અને દ્રશ્ય સહાય; પાવર પોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશન.