પેરામેટ્રિક વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટનું મૂલ્યાંકન કરે છે. સરેરાશ વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા અને MS એક્સેલમાં આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે વિદ્યાર્થીનું ટી-ટેસ્ટ વિતરણ

આંકડાકીય પૂર્વધારણા પરીક્ષણ અમને નમૂનાના ડેટાના આધારે વસ્તીની લાક્ષણિકતાઓ વિશે મજબૂત અનુમાન કરવા દે છે. ત્યાં વિવિધ પૂર્વધારણાઓ છે. તેમાંથી એક એવરેજ (ગાણિતિક અપેક્ષા) વિશેની પૂર્વધારણા છે. તેનો સાર એ છે કે ઉપલબ્ધ નમૂનાના આધારે સાચો નિષ્કર્ષ કાઢવો, સામાન્ય સરેરાશ ક્યાં સ્થિત હોઈ શકે કે ન પણ હોઈ શકે (અમે ચોક્કસ સત્ય ક્યારેય જાણી શકતા નથી, પરંતુ અમે શોધને સંકુચિત કરી શકીએ છીએ).

પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવાનો સામાન્ય અભિગમ વર્ણવવામાં આવ્યો છે, તો ચાલો સીધા મુદ્દા પર જઈએ. ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ ધારીએ કે રેન્ડમ ચલોની સામાન્ય વસ્તીમાંથી નમૂના લેવામાં આવ્યો છે એક્સસામાન્ય સરેરાશ સાથે μ અને તફાવત σ 2(હું જાણું છું, હું જાણું છું કે આવું થતું નથી, પરંતુ મને વિક્ષેપ પાડશો નહીં!). આ નમૂનાનો અંકગણિત સરેરાશ દેખીતી રીતે પોતે એક રેન્ડમ ચલ છે. જો તમે આવા ઘણા નમૂનાઓ કાઢો અને તેમની સરેરાશની ગણતરી કરો, તો તેમની પાસે પણ ગાણિતિક અપેક્ષા હશે. μ અને

પછી રેન્ડમ ચલ

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું 95% સંભાવના સાથેની સામાન્ય સરેરાશ ±1.96 ની અંદર હશે? s x̅. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ છે

સમકક્ષ

આ પ્રશ્ન સૌપ્રથમ ડબલિન (આયર્લેન્ડ)માં ગિનિસ બિયર ફેક્ટરીમાં કામ કરતા રસાયણશાસ્ત્રીએ ઉઠાવ્યો (અને ઉકેલ્યો). રસાયણશાસ્ત્રીનું નામ વિલિયમ સીલી ગોસેટ હતું અને તેણે રાસાયણિક વિશ્લેષણ માટે બીયરના નમૂના લીધા હતા. અમુક સમયે, દેખીતી રીતે, વિલિયમ સરેરાશના વિતરણ વિશે અસ્પષ્ટ શંકાઓ દ્વારા સતાવવાનું શરૂ કર્યું. તે સામાન્ય વિતરણ કરતાં થોડું વધુ ગંધવાળું હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

ગાણિતિક આધાર એકત્રિત કર્યા પછી અને તેમણે શોધેલા વિતરણ કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કર્યા પછી, ડબલિન રસાયણશાસ્ત્રી વિલિયમ ગોસેટે એક નોંધ લખી જે બાયોમેટ્રિક્સ મેગેઝિનના માર્ચ 1908ના અંકમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી (સંપાદક-ઇન-ચીફ - કાર્લ પીયર્સન). કારણ કે ગિનેસે ઉકાળવાના રહસ્યો આપવાની સખત મનાઈ ફરમાવી હતી;

કે. પીયર્સન પહેલેથી જ વિતરણની શોધ કરી ચૂક્યા હોવા છતાં, સામાન્યતાનો સામાન્ય વિચાર હજુ પણ પ્રભુત્વ ધરાવે છે. કોઈએ વિચાર્યું ન હતું કે નમૂનાના સ્કોર્સનું વિતરણ સામાન્ય ન હોઈ શકે. તેથી, ડબલ્યુ. ગોસેટનો લેખ વ્યવહારીક રીતે અજાણ્યો અને ભૂલી ગયો. અને માત્ર રોનાલ્ડ ફિશરે જ ગોસેટની શોધની પ્રશંસા કરી. ફિશરે તેમના કાર્યમાં નવા વિતરણનો ઉપયોગ કર્યો અને તેને નામ આપ્યું વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણ. અનુમાનોના પરીક્ષણ માટેનો માપદંડ, તે મુજબ, બની ગયો વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ. આ રીતે આંકડાઓમાં "ક્રાંતિ" આવી, જેણે નમૂના ડેટાના વિશ્લેષણના યુગમાં પ્રવેશ કર્યો. ઇતિહાસમાં આ એક ટૂંકું પ્રવાસ હતું.

ચાલો જોઈએ કે ડબલ્યુ. ગોસેટ શું જોઈ શકે છે. ચાલો સરેરાશ સાથે 6 અવલોકનોમાંથી 20 હજાર સામાન્ય નમૂનાઓ બનાવીએ ( X̅) 50 અને પ્રમાણભૂત વિચલન ( σ ) 10. પછી આપણે નમૂનાનો અર્થ નોર્મલાઇઝ કરીએ છીએ સામાન્ય તફાવત:

અમે પરિણામી 20 હજાર સરેરાશને લંબાઈ 0.1 ના અંતરાલોમાં જૂથબદ્ધ કરીશું અને ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરીશું. ચાલો નમૂનાના માધ્યમની વાસ્તવિક (નોર્મ) અને સૈદ્ધાંતિક (ENorm) આવર્તન વિતરણ રેખાકૃતિ પર દર્શાવીએ.

બિંદુઓ (અવલોકન કરેલ ફ્રીક્વન્સીઝ) વ્યવહારીક રીતે રેખા (સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ) સાથે સુસંગત છે. આ સમજી શકાય તેવું છે, કારણ કે ડેટા સમાન સામાન્ય વસ્તીમાંથી લેવામાં આવ્યો છે, અને તફાવતો માત્ર નમૂનાની ભૂલો છે.

ચાલો એક નવો પ્રયોગ કરીએ. અમે ઉપયોગ કરીને સરેરાશને સામાન્ય બનાવીએ છીએ નમૂના તફાવત.

ચાલો ફરીથી ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરીએ અને સરખામણી માટે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણની એક રેખા છોડીને તેમને બિંદુઓના રૂપમાં રેખાકૃતિ પર કાવતરું કરીએ. ચાલો અક્ષર દ્વારા સરેરાશની પ્રયોગમૂલક આવર્તન દર્શાવીએ t.

તે જોઈ શકાય છે કે આ વખતે વિતરણ ખૂબ એકરૂપ નથી. બંધ કરો, હા, પરંતુ સમાન નથી. પૂંછડીઓ વધુ "ભારે" બની ગઈ છે.

ગોસેટ-સ્ટુડન્ટ પાસે એમએસ એક્સેલનું નવીનતમ સંસ્કરણ નથી, પરંતુ આ બરાબર તે જ અસર છે જે તેણે જોયું. આવું કેમ થાય છે? સમજૂતી એ છે કે રેન્ડમ ચલ

તે માત્ર નમૂનાની ભૂલ (અંશ) પર જ નહીં, પણ સરેરાશ (છેદ) ની પ્રમાણભૂત ભૂલ પર પણ આધાર રાખે છે, જે રેન્ડમ ચલ પણ છે.

આવા રેન્ડમ વેરીએબલમાં શું વિતરણ હોવું જોઈએ તેના પર થોડું નજર કરીએ. પ્રથમ, તમારે ગાણિતિક આંકડાઓમાંથી કંઈક યાદ રાખવું (અથવા શીખવું) પડશે. ફિશરનું પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે સામાન્ય વિતરણમાંથી નમૂનામાં:

1. મધ્યમ X̅અને નમૂના તફાવત s 2સ્વતંત્ર જથ્થો છે;

2. નમૂના અને વસ્તી તફાવતનો ગુણોત્તર, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર, વિતરણ ધરાવે છે χ 2(ચી-ચોરસ) સ્વતંત્રતાની સમાન સંખ્યા સાથે, એટલે કે.

જ્યાં k- સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (અંગ્રેજીમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી (d.f.))

સામાન્ય મોડલના આંકડામાં અન્ય ઘણા પરિણામો આ કાયદા પર આધારિત છે.

ચાલો સરેરાશના વિતરણ પર પાછા ફરીએ. અભિવ્યક્તિના અંશ અને છેદને વિભાજિત કરો

ચાલુ σ X̅. અમને મળે છે

અંશ એ પ્રમાણભૂત સામાન્ય રેન્ડમ ચલ છે (અમે સૂચવીએ છીએ ξ (xi)). ચાલો ફિશરના પ્રમેયમાંથી છેદ વ્યક્ત કરીએ.

પછી મૂળ અભિવ્યક્તિ સ્વરૂપ લેશે

આ તે છે જે સામાન્ય સ્વરૂપમાં છે (વિદ્યાર્થી સંબંધ). તમે તેનું વિતરણ કાર્ય સીધું મેળવી શકો છો, કારણ કે આ અભિવ્યક્તિમાં બંને રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ જાણીતું છે. ચાલો આ આનંદ ગણિતશાસ્ત્રીઓ પર છોડી દઈએ.

વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણ કાર્યમાં એક સૂત્ર છે જે સમજવું ખૂબ મુશ્કેલ છે, તેથી તેનું વિશ્લેષણ કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. કોઈ પણ રીતે તેનો ઉપયોગ કરે છે, કારણ કે ... સંભાવનાઓ વિદ્યાર્થી વિતરણના વિશિષ્ટ કોષ્ટકોમાં આપવામાં આવે છે (કેટલીકવાર વિદ્યાર્થી ગુણાંકના કોષ્ટકો તરીકે ઓળખાય છે), અથવા પીસી સૂત્રોમાં શામેલ છે.

તેથી, આ નવા જ્ઞાનથી સજ્જ, તમે વિદ્યાર્થી વિતરણની સત્તાવાર વ્યાખ્યા સમજી શકો છો.
સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણ માટે રેન્ડમ ચલ વિષય kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી એ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ગુણોત્તર છે

જ્યાં ξ પ્રમાણભૂત સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત, અને χ 2 કેવિતરણનું પાલન કરે છે χ 2 c kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી.

આમ, અંકગણિત સરેરાશ માટે વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટ ફોર્મ્યુલા

વિદ્યાર્થી સંબંધનો એક ખાસ કિસ્સો છે

સૂત્ર અને વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનું વિતરણ માત્ર સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા પર આધારિત છે.

મુ k> 30 ટી-ટેસ્ટ પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણથી વ્યવહારીક રીતે અલગ નથી.

ચી-સ્ક્વેરથી વિપરીત, ટી-ટેસ્ટ એક પૂંછડી અથવા બે પૂંછડીવાળી હોઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે તેઓ બે-બાજુનો ઉપયોગ કરે છે, એમ ધારીને કે વિચલન સરેરાશથી બંને દિશામાં થઈ શકે છે. પરંતુ જો સમસ્યાની સ્થિતિ ફક્ત એક દિશામાં વિચલનને મંજૂરી આપે છે, તો પછી એકતરફી માપદંડનો ઉપયોગ કરવો વાજબી છે. આ શક્તિમાં થોડો વધારો કરે છે, કારણ કે... નિશ્ચિત મહત્વના સ્તરે, નિર્ણાયક મૂલ્ય સહેજ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.

વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવા માટેની શરતો

હકીકત એ છે કે એક સમયે વિદ્યાર્થીની શોધે આંકડાઓમાં ક્રાંતિ લાવી હોવા છતાં, ટી-ટેસ્ટ હજી પણ તેની એપ્લિકેશનની શક્યતાઓમાં ખૂબ મર્યાદિત છે, કારણ કે પોતે મૂળ ડેટાના સામાન્ય વિતરણની ધારણામાંથી આવે છે. જો ડેટા સામાન્ય ન હોય (જે સામાન્ય રીતે કેસ હોય છે), તો પછી ટી-ટેસ્ટમાં વિદ્યાર્થી વિતરણ રહેશે નહીં. જો કે, કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની ક્રિયાને લીધે, અસાધારણ માહિતી માટે પણ સરેરાશ ઝડપથી ઘંટડીના આકારનું વિતરણ મેળવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જમણી તરફ મજબૂત રીતે વળેલા ડેટાને ધ્યાનમાં લો, જેમ કે 5 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથે ચી-સ્ક્વેર વિતરણ.

હવે ચાલો 20 હજાર નમૂનાઓ બનાવીએ અને અવલોકન કરીએ કે સરેરાશનું વિતરણ તેમના વોલ્યુમના આધારે કેવી રીતે બદલાય છે.

15-20 અવલોકનોના નાના નમૂનાઓમાં તફાવત તદ્દન નોંધપાત્ર છે. પરંતુ પછી તે ઝડપથી અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આમ, વિતરણની બિન-સામાન્યતા, અલબત્ત, સારી નથી, પરંતુ જટિલ નથી.

સૌથી વધુ, ટી-ટેસ્ટ એ બહારના લોકોથી "ડર" છે, એટલે કે. અસામાન્ય વિચલનો. ચાલો દરેક 15 અવલોકનોના 20 હજાર સામાન્ય નમૂના લઈએ અને તેમાંથી કેટલાકમાં એક રેન્ડમ આઉટલીયર ઉમેરીએ.

ચિત્ર અંધકારમય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સરેરાશની વાસ્તવિક આવર્તન સૈદ્ધાંતિક રાશિઓ કરતા ઘણી અલગ છે. આવી સ્થિતિમાં ટી-ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ કરવો એ ખૂબ જોખમી ઉપક્રમ બની જાય છે.

તેથી, બહુ નાના નમુનાઓમાં (15 અવલોકનોમાંથી), ટી-ટેસ્ટ મૂળ ડેટાના બિન-સામાન્ય વિતરણ માટે પ્રમાણમાં પ્રતિરોધક છે. પરંતુ ડેટાના આઉટલીયર્સ ટી-ટેસ્ટના વિતરણને મોટા પ્રમાણમાં વિકૃત કરે છે, જે બદલામાં, આંકડાકીય અનુમાનમાં ભૂલો તરફ દોરી શકે છે, તેથી વિસંગત અવલોકનો દૂર કરવા જોઈએ. મોટે ભાગે, બધા મૂલ્યો જે સરેરાશથી ±2 પ્રમાણભૂત વિચલનોની અંદર આવે છે તે નમૂનામાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.

એમએસ એક્સેલમાં વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક અપેક્ષા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવાનું ઉદાહરણ

એક્સેલમાં ટી-ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સંબંધિત ઘણા કાર્યો છે. ચાલો તેમને જોઈએ.

STUDENT.DIST – “શાસ્ત્રીય” ડાબી બાજુનું વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણ. ઇનપુટ એ ટી-માપદંડ મૂલ્ય, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા અને વિકલ્પ (0 અથવા 1) છે જે નક્કી કરે છે કે શેની ગણતરી કરવાની જરૂર છે: ઘનતા અથવા કાર્ય મૂલ્ય. આઉટપુટ પર આપણે અનુક્રમે, ઘનતા અથવા સંભવિતતા કે રેન્ડમ ચલ દલીલમાં ઉલ્લેખિત t-માપદંડ કરતાં ઓછી હશે.

STUDENT.DIST.2X – દ્વિ-માર્ગી વિતરણ. દલીલ એ ટી-ટેસ્ટનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (મોડ્યુલો) અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે. પરિણામે, અમે સમાન અથવા તેનાથી વધુ ટી-માપદંડ મૂલ્ય મેળવવાની સંભાવના મેળવીએ છીએ, એટલે કે. વાસ્તવિક મહત્વ સ્તર (p-સ્તર).

STUDENT.DIST.PH – જમણી બાજુનું ટી-વિતરણ. તેથી, 1-STUDENT.DIST(2;5;1) = STUDENT.DIST.PH(2;5) = 0.05097. જો ટી-ટેસ્ટ સકારાત્મક છે, તો પરિણામી સંભાવના પી-લેવલ છે.

STUDENT.INR – ટી-વિતરણના ડાબા-પૂંછડીવાળા વ્યસ્તની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે. દલીલ એ સંભાવના અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે. આઉટપુટ પર આપણે આ સંભાવનાને અનુરૂપ ટી-માપદંડ મૂલ્ય મેળવીએ છીએ. સંભાવનાની ગણતરી ડાબી બાજુએ છે. તેથી, ડાબી પૂંછડીને મહત્વના સ્તરની જરૂર છે α , અને યોગ્ય એક માટે 1 - α .

STUDENT.OBR.2X – બે બાજુવાળા વિદ્યાર્થી વિતરણ માટેનું વ્યસ્ત મૂલ્ય, એટલે કે. ટી-ટેસ્ટ મૂલ્ય (મોડ્યુલો). ઇનપુટને મહત્વનું સ્તર પણ પૂરું પાડવામાં આવે છે α . માત્ર આ વખતે ગણતરી એકસાથે બંને બાજુથી હાથ ધરવામાં આવે છે, તેથી સંભાવનાને બે પૂંછડીઓમાં વહેંચવામાં આવે છે. તેથી, STUDENT.ARV(1-0.025;5) = STUDENT.ARV.2X(0.05;5) = 2.57058

STUDENT.TEST એ બે નમૂનાઓમાં ગાણિતિક અપેક્ષાઓની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેનું કાર્ય છે. ગણતરીઓના સમૂહને બદલે છે, કારણ કે ડેટા અને થોડા વધુ પરિમાણો સાથે માત્ર બે રેન્જનો ઉલ્લેખ કરવા માટે તે પૂરતું છે. આઉટપુટ પી-લેવલ છે.

CONFIDENCE.STUDENT – ટી-વિતરણને ધ્યાનમાં લેતા સરેરાશના વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી.

ચાલો આ તાલીમ ઉદાહરણ પર વિચાર કરીએ. એન્ટરપ્રાઇઝમાં, સિમેન્ટને 50 કિલોની બેગમાં પેક કરવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિતતાને લીધે, એક બેગમાં અપેક્ષિત સમૂહમાંથી કેટલાક વિચલનની મંજૂરી છે, પરંતુ સામાન્ય સરેરાશ 50 કિગ્રા રહેવી જોઈએ. ગુણવત્તા નિયંત્રણ વિભાગે રેન્ડમલી 9 બેગનું વજન કર્યું અને નીચેના પરિણામો મેળવ્યા: સરેરાશ વજન ( X̅) 50.3 કિગ્રા હતું, પ્રમાણભૂત વિચલન ( s) - 0.5 કિગ્રા.

શું આ પરિણામ શૂન્ય પૂર્વધારણા સાથે સુસંગત છે કે સામાન્ય સરેરાશ 50 કિલો છે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સાધન યોગ્ય રીતે કામ કરી રહ્યું હોય અને સરેરાશ 50 કિગ્રા ભરણ ઉત્પન્ન કરે તો શું શુદ્ધ તક દ્વારા આવું પરિણામ પ્રાપ્ત કરવું શક્ય છે? જો પૂર્વધારણાને નકારવામાં ન આવે, તો પરિણામી તફાવત રેન્ડમ વધઘટની શ્રેણીમાં બંધબેસે છે, પરંતુ જો પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, તો સંભવતઃ, બેગ ભરતી મશીનની સેટિંગ્સમાં નિષ્ફળતા હતી. તેને ચકાસવાની અને રૂપરેખાંકિત કરવાની જરૂર છે.

સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત નોટેશનમાં ટૂંકી સ્થિતિ આના જેવી લાગે છે.

H0: μ = 50 કિગ્રા

H1: μ ≠ 50 કિગ્રા

એવું માની લેવાનું કારણ છે કે બેગ ભરવાનું વિતરણ સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે (અથવા તેનાથી બહુ અલગ નથી). આનો અર્થ એ છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, તમે વિદ્યાર્થી ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરી શકો છો. અવ્યવસ્થિત વિચલનો કોઈપણ દિશામાં થઈ શકે છે, જેનો અર્થ છે કે બે બાજુવાળા ટી-ટેસ્ટની જરૂર છે.

સૌપ્રથમ, અમે એન્ટિલ્યુવિયન માધ્યમોનો ઉપયોગ કરીશું: ટી-માપદંડની મેન્યુઅલી ગણતરી કરવી અને નિર્ણાયક કોષ્ટક મૂલ્ય સાથે તેની તુલના કરવી. ગણતરી કરેલ ટી-ટેસ્ટ:

હવે ચાલો નિર્ધારિત કરીએ કે શું પરિણામી સંખ્યા મહત્વના સ્તરે નિર્ણાયક સ્તરને ઓળંગે છે α = 0.05. ચાલો વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ (કોઈપણ આંકડાકીય પાઠ્યપુસ્તકમાં ઉપલબ્ધ છે).

કૉલમ વિતરણની જમણી બાજુની સંભાવના દર્શાવે છે, અને પંક્તિઓ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા દર્શાવે છે. અમને 0.05 ના મહત્વના સ્તર સાથે દ્વિ-પુચ્છીય ટી-ટેસ્ટમાં રસ છે, જે જમણી બાજુના અડધા મહત્વના સ્તર માટે t-મૂલ્યની સમકક્ષ છે: 1 - 0.05/2 = 0.975. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એ નમૂનાનું કદ માઈનસ 1 છે, એટલે કે. 9 - 1 = 8. આંતરછેદ પર આપણે t-ટેસ્ટનું ટેબલ મૂલ્ય શોધીએ છીએ - 2.306. જો આપણે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણનો ઉપયોગ કરીએ, તો નિર્ણાયક બિંદુ 1.96 હશે, પરંતુ અહીં તે મોટું છે, કારણ કે નાના નમૂનાઓમાં ટી-વિતરણ વધુ સપાટ દેખાવ ધરાવે છે.

ચાલો વાસ્તવિક (1.8) અને કોષ્ટક મૂલ્ય (2.306) ની તુલના કરીએ. ગણતરી કરેલ માપદંડ ટેબ્યુલેટ કરતા ઓછો હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પરિણામે, ઉપલબ્ધ માહિતી H 0 ની સામાન્ય સરેરાશ 50 કિગ્રા છે તે પૂર્વધારણાનો વિરોધાભાસ નથી કરતી (પરંતુ તે પણ સાબિત કરતા નથી). આટલું જ આપણે કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને શીખી શકીએ છીએ. તમે, અલબત્ત, પી-લેવલ શોધવાનો પણ પ્રયાસ કરી શકો છો, પરંતુ તે અંદાજિત હશે. અને, એક નિયમ તરીકે, તે p-સ્તર છે જેનો ઉપયોગ પૂર્વધારણાઓ ચકાસવા માટે થાય છે. તેથી, અમે આગળ એક્સેલ પર જઈએ છીએ.

Excel માં ટી-ટેસ્ટની ગણતરી કરવા માટે કોઈ તૈયાર કાર્ય નથી. પરંતુ આ ડરામણી નથી, કારણ કે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ ફોર્મ્યુલા એકદમ સરળ છે અને તેને એક્સેલ સેલમાં સરળતાથી બનાવી શકાય છે.

અમને સમાન 1.8 મળ્યું. ચાલો પહેલા નિર્ણાયક મૂલ્ય શોધીએ. અમે આલ્ફા 0.05 લઈએ છીએ, માપદંડ બે પૂંછડી છે. અમને બે-બાજુની પૂર્વધારણા STUDENT.OBR.2X માટે વ્યસ્ત t-વિતરણ કાર્યની જરૂર છે.

પરિણામી મૂલ્ય નિર્ણાયક પ્રદેશને કાપી નાખે છે. અવલોકન કરેલ ટી-ટેસ્ટ તેમાં આવતું નથી, તેથી પૂર્વધારણાને નકારવામાં આવતી નથી.

જો કે, કોષ્ટક મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવાની આ સમાન રીત છે. પી-લેવલની ગણતરી કરવી વધુ માહિતીપ્રદ હશે, એટલે કે. જો આ પૂર્વધારણા સાચી હોય તો 50 કિલોની સરેરાશથી અવલોકન કરેલ અથવા તેનાથી પણ વધુ વિચલન મેળવવાની સંભાવના. તમારે દ્વિ-બાજુની પૂર્વધારણા STUDENT.DIST.2X માટે વિદ્યાર્થી વિતરણ કાર્યની જરૂર પડશે.

P-સ્તર 0.1096 છે, જે 0.05 ના સ્વીકાર્ય મહત્વના સ્તર કરતા વધારે છે - અમે પૂર્વધારણાને નકારીશું નહીં. પરંતુ હવે આપણે પુરાવાની ડિગ્રી નક્કી કરી શકીએ છીએ. જ્યારે પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે ત્યારે P-સ્તર એ સ્તરની એકદમ નજીક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને આ વિવિધ વિચારો તરફ દોરી જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોંધપાત્ર વિચલન શોધવા માટે નમૂના ખૂબ નાનો હતો.

થોડા સમય પછી, કંટ્રોલ વિભાગને ફરીથી બેગ ભરવાનું ધોરણ કેવી રીતે જાળવવામાં આવે છે તે તપાસવાનું નક્કી કરવા દો. આ વખતે, વધુ વિશ્વસનીયતા માટે, 9 નહીં, પરંતુ 25 બેગ પસંદ કરવામાં આવી હતી. તે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે સરેરાશનો ફેલાવો ઘટશે, અને તેથી, સિસ્ટમમાં નિષ્ફળતા શોધવાની શક્યતાઓ વધુ બને છે.

ચાલો કહીએ કે નમૂના માટે સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલનના સમાન મૂલ્યો પ્રથમ વખત (અનુક્રમે 50.3 અને 0.5) તરીકે પ્રાપ્ત થયા હતા. ચાલો ટી-ટેસ્ટની ગણતરી કરીએ.

સ્વતંત્રતાના 24 ડિગ્રી અને α = 0.05 માટે નિર્ણાયક મૂલ્ય 2.064 છે. નીચેનું ચિત્ર બતાવે છે કે ટી-ટેસ્ટ પૂર્વધારણા અસ્વીકારની શ્રેણીમાં આવે છે.

અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે 95% થી વધુની આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે, સામાન્ય સરેરાશ 50 કિલોથી અલગ છે. વધુ ખાતરી કરવા માટે, ચાલો પી-લેવલ (કોષ્ટકની છેલ્લી લાઇન) જોઈએ. 50 થી સમાન અથવા તેનાથી વધુ વિચલન સાથે સરેરાશ મેળવવાની સંભાવના, જો પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો 0.0062, અથવા 0.62% છે, જે એક માપ સાથે વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. સામાન્ય રીતે, અમે પૂર્વધારણાને અસંભવિત તરીકે નકારીએ છીએ.

વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવી

અન્ય આંકડાકીય પદ્ધતિ પૂર્વધારણા પરીક્ષણ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે - આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોની ગણતરી. જો પરિણામી અંતરાલ નલ પૂર્વધારણાને અનુરૂપ મૂલ્ય ધરાવે છે, તો આ એ હકીકતની સમકક્ષ છે કે નલ પૂર્વધારણાને નકારવામાં આવી નથી. નહિંતર, અનુરૂપ વિશ્વાસ સ્તર સાથે પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, વિશ્લેષકો શાસ્ત્રીય સ્વરૂપમાં પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરતા નથી, પરંતુ માત્ર આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોની ગણતરી કરે છે. આ અભિગમ તમને વધુ ઉપયોગી માહિતી કાઢવા માટે પરવાનગી આપે છે.

ચાલો 9 અને 25 અવલોકનો માટે સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરીએ. આ કરવા માટે, અમે એક્સેલ ફંક્શન CONFIDENT.STUDENT નો ઉપયોગ કરીશું. અહીં, વિચિત્ર રીતે, બધું એકદમ સરળ છે. ફંક્શન દલીલોને માત્ર મહત્વના સ્તરને દર્શાવવાની જરૂર છે α , નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન, અને નમૂનાનું કદ. આઉટપુટ પર આપણને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અડધી-પહોળાઈ મળે છે, એટલે કે સરેરાશની બંને બાજુએ મૂકવાની જરૂર હોય તે મૂલ્ય. ગણતરીઓ હાથ ધર્યા પછી અને વિઝ્યુઅલ ડાયાગ્રામ દોર્યા પછી, અમને નીચે મુજબ મળે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, 9 અવલોકનોના નમૂના સાથે, મૂલ્ય 50 આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાં આવે છે (પૂર્વધારણા નકારવામાં આવતી નથી), અને 25 અવલોકનો સાથે તે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતી નથી (પૂર્વધારણા નકારવામાં આવે છે). વધુમાં, 25 બેગ સાથેના પ્રયોગમાં, એવું કહી શકાય કે 97.5% ની સંભાવના સાથે સામાન્ય સરેરાશ 50.1 કિગ્રા કરતાં વધી જાય છે (વિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી મર્યાદા 50.094 કિગ્રા છે). અને આ ખૂબ મૂલ્યવાન માહિતી છે.

આમ, અમે સમાન સમસ્યાને ત્રણ રીતે હલ કરી:

1. ટી-ટેસ્ટના ગણતરી કરેલ અને ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્યોની તુલના કરીને, પ્રાચીન અભિગમનો ઉપયોગ કરીને
2. વધુ આધુનિક, p-સ્તરની ગણતરી કરીને, પૂર્વધારણાને નકારતી વખતે આત્મવિશ્વાસની ડિગ્રી ઉમેરીને.
3. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરીને અને સામાન્ય સરેરાશનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરીને હજી વધુ માહિતીપ્રદ.

તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે ટી-ટેસ્ટ પેરામેટ્રિક પદ્ધતિઓનો સંદર્ભ આપે છે, કારણ કે સામાન્ય વિતરણ પર આધારિત છે (તેના બે પરિમાણો છે: સરેરાશ અને વિચલન). તેથી, તેની સફળ એપ્લિકેશન માટે, પ્રારંભિક ડેટાની ઓછામાં ઓછી અંદાજિત સામાન્યતા અને આઉટલાયર્સની ગેરહાજરી મહત્વપૂર્ણ છે.

અંતે, હું એક્સેલમાં વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટને લગતી ગણતરીઓ કેવી રીતે હાથ ધરવી તેના પર વિડિઓ જોવાનું સૂચન કરું છું.

સમગ્ર ઉદાહરણમાં, અમે કાલ્પનિક માહિતીનો ઉપયોગ કરીશું જેથી વાચક પોતાની મેળે જરૂરી પરિવર્તન કરી શકે.

તેથી, ચાલો કહીએ, સંશોધન દરમિયાન, અમે પેશી C માં પદાર્થ B (mmol/g માં) ની સામગ્રી પર દવા Aની અસર અને દર્દીઓમાં લોહીમાં પદાર્થ Dની સાંદ્રતા (mmol/l માં) નો અભ્યાસ કર્યો. કેટલાક માપદંડ E અનુસાર સમાન વોલ્યુમના 3 જૂથોમાં વિભાજિત (n = 10). આવા કાલ્પનિક અભ્યાસના પરિણામો કોષ્ટકમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે:

અમે તમને ચેતવણી આપવા માંગીએ છીએ કે અમે ડેટા પ્રસ્તુતિ અને ગણતરીઓની સરળતા માટે કદ 10 ના નમૂનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, આવા નમૂનાનું કદ સામાન્ય રીતે આંકડાકીય નિષ્કર્ષ બનાવવા માટે પૂરતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટકની 1લી કૉલમમાંના ડેટાને ધ્યાનમાં લો.

વર્ણનાત્મક આંકડા

નમૂનાનો અર્થ

અંકગણિત સરેરાશ, જેને સામાન્ય રીતે "સરળ" કહેવામાં આવે છે, તે બધા મૂલ્યો ઉમેરીને અને તે સરવાળાને સમૂહમાં મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ બીજગણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બતાવી શકાય છે. ચલ x ના n અવલોકનોનો સમૂહ x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

અવલોકનોનો અંકગણિત સરેરાશ નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર (ઉચ્ચાર "એક રેખા સાથે X"):

= (X 1 + X 2 + ... + X n) / n

= (12 + 13 + 14 + 15 + 14 + 13 + 13 + 10 + 11 + 16) / 10 = 13,1;

નમૂના તફાવત

ડેટાના વિક્ષેપને માપવાની એક રીત એ છે કે દરેક અવલોકન અંકગણિતના સરેરાશથી કેટલી માત્રામાં વિચલિત થાય છે તે નક્કી કરવું. દેખીતી રીતે, વિચલન જેટલું વધારે છે, અવલોકનોની પરિવર્તનશીલતા, પરિવર્તનશીલતા વધારે છે. જો કે, અમે આ વિચલનોની સરેરાશનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી વિખેરવાના માપદંડ તરીકે, કારણ કે હકારાત્મક વિચલનો નકારાત્મક વિચલનો માટે વળતર આપે છે (તેમનો સરવાળો શૂન્ય છે). આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે દરેક વિચલનનો વર્ગ કરીએ છીએ અને વર્ગીય વિચલનોની સરેરાશ શોધીએ છીએ; આ જથ્થાને ભિન્નતા અથવા વિક્ષેપ કહેવામાં આવે છે. ચાલો અવલોકનો લઈએ x 1, x 2, x 3, ..., x n, સરેરાશ જે બરાબર છે. ભિન્નતાની ગણતરી આ, સામાન્ય રીતે તરીકે ઓળખવામાં આવે છેs2,આ અવલોકનો:

આ સૂચકનો નમૂના તફાવત s 2 = 3.2 છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન

પ્રમાણભૂત (સરેરાશ ચોરસ) વિચલન એ વિભિન્નતાનું હકારાત્મક વર્ગમૂળ છે. ઉદાહરણ તરીકે n અવલોકનોનો ઉપયોગ કરીને, તે આના જેવો દેખાય છે:

આપણે પ્રમાણભૂત વિચલનને સરેરાશથી અવલોકનોના સરેરાશ વિચલનના એક પ્રકાર તરીકે વિચારી શકીએ છીએ. તે મૂળ ડેટા તરીકે સમાન એકમો (પરિમાણો) માં ગણવામાં આવે છે.

s = sqrt (s 2) = sqrt (3,2) = 1.79.

વિવિધતાનો ગુણાંક

જો તમે પ્રમાણભૂત વિચલનને અંકગણિતના સરેરાશ દ્વારા વિભાજીત કરો છો અને પરિણામને ટકાવારી તરીકે વ્યક્ત કરો છો, તો તમને વિવિધતાનો ગુણાંક મળશે.

CV = (1.79 / 13.1) * 100% = 13.7

નમૂના અર્થ ભૂલ

1.79/sqrt(10) = 0.57;

વિદ્યાર્થીનો ટી ગુણાંક (એક-નમૂનો ટી-ટેસ્ટ)

સરેરાશ મૂલ્ય અને કેટલાક જાણીતા મૂલ્ય m વચ્ચેના તફાવત વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે વપરાય છે

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા f=n-1 તરીકે ગણવામાં આવે છે.

આ કિસ્સામાં, સરેરાશ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ 11.87 અને 14.39 ની સીમાઓ વચ્ચે છે.

95% આત્મવિશ્વાસ સ્તર માટે m=11.87 અથવા m=14.39, એટલે કે= |13.1-11.82| = |13.1-14.38| = 1.28

તદનુસાર, આ કિસ્સામાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે f = 10 - 1 = 9 અને 95% આત્મવિશ્વાસ સ્તર t = 2.26.

સંવાદ મૂળભૂત આંકડા અને કોષ્ટકો

મોડ્યુલમાં મૂળભૂત આંકડા અને કોષ્ટકોચાલો પસંદ કરીએ વર્ણનાત્મક આંકડા.

એક ડાયલોગ બોક્સ ખુલશે વર્ણનાત્મક આંકડા.

ક્ષેત્રમાં ચલોચાલો પસંદ કરીએ જૂથ 1.

પર ક્લિક કરી રહ્યા છીએ ઠીક છે, અમે પસંદ કરેલ ચલોના વર્ણનાત્મક આંકડા સાથે પરિણામોના કોષ્ટકો મેળવીએ છીએ.

એક ડાયલોગ બોક્સ ખુલશે એક-નમૂનો ટી-ટેસ્ટ.

ધારો કે આપણે જાણીએ છીએ કે પેશી C માં પદાર્થ B ની સરેરાશ સામગ્રી 11 છે.

વર્ણનાત્મક આંકડા અને વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ સાથેના પરિણામોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

પેશી C માં પદાર્થ B ની સરેરાશ સામગ્રી 11 છે તે પૂર્વધારણાને આપણે નકારી કાઢવી પડી.

માપદંડનું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્ય (2.26) કરતા વધારે હોવાથી, પસંદ કરેલ મહત્વના સ્તરે શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, અને નમૂના અને જાણીતા મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતોને આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે. આમ, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યાર્થીની કસોટીનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવેલા તફાવતોના અસ્તિત્વ વિશેના નિષ્કર્ષની પુષ્ટિ થાય છે.

પરીક્ષણ પરિણામોનું અર્થઘટન કરવા માટેનો સમાન અભિગમ એ ધારી લેવાનો હશે કે શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી છે, અમે ગણતરી કરી શકીએ છીએ કે કેટલી મોટી સંભાવનામેળવો t- અમે ઉપલબ્ધ નમૂનાના ડેટામાંથી ગણતરી કરેલ વાસ્તવિક મૂલ્યની બરાબર અથવા તેનાથી વધુ માપદંડ. જો આ સંભાવના અગાઉ સ્વીકૃત મહત્વના સ્તર કરતાં ઓછી હોવાનું બહાર આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, પી< 0.05), мы вправе отклонить проверяемую нулевую гипотезу. Именно такой подход сегодня используется чаще всего: исследователи приводят в своих работах P-значение, которое легко рассчитывается при помощи статистических программ. Рассмотрим, как это можно сделать в системе R.

ધારો કે અમારી પાસે 11 મહિલાઓ માટે (કેજે/દિવસ) ખોરાકમાંથી દૈનિક ઉર્જા લેવાનો ડેટા છે (પુસ્તકમાંથી લેવામાં આવેલ ઉદાહરણ ઓલ્ટમેન ડી.જી. (1981) તબીબી સંશોધન માટે વ્યવહારુ આંકડા, ચેપમેન અને હોલ, લંડન):

આ 11 અવલોકનો માટે સરેરાશ છે:

પ્રશ્ન: શું આ નમૂના સરેરાશ 7725 kJ/દિવસના સ્થાપિત ધોરણથી અલગ છે? અમારા નમૂના મૂલ્ય અને આ ધોરણ વચ્ચેનો તફાવત ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે: 7725 - 6753.6 = 971.4. પરંતુ આંકડાકીય રીતે આ તફાવત કેટલો મોટો છે? એક નમૂનો આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં મદદ કરશે. t-પરીક્ષણ. અન્ય વિકલ્પોની જેમ t-ટેસ્ટ, t.test() ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને R માં એક-નમૂનો ટી પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે:

પ્રશ્ન: શું આ સરેરાશ આંકડાકીય રીતે અલગ છે? ચાલો પૂર્વધારણાને તપાસીએ કે ઉપયોગમાં કોઈ તફાવત નથી t-પરીક્ષણ:

પરંતુ આવા કિસ્સાઓમાં, આપણે આંકડાકીય રીતે હસ્તક્ષેપની અસરની હાજરીનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરી શકીએ? સામાન્ય રીતે, વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

પરીક્ષણ પરિણામોનું અર્થઘટન કરવા માટેનો સમાન અભિગમ એ ધારી લેવાનો હશે કે શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી છે, અમે ગણતરી કરી શકીએ છીએ કે કેટલી મોટી સંભાવનામેળવો t- અમે ઉપલબ્ધ નમૂનાના ડેટામાંથી ગણતરી કરેલ વાસ્તવિક મૂલ્યની બરાબર અથવા તેનાથી વધુ માપદંડ. જો આ સંભાવના અગાઉ સ્વીકૃત મહત્વના સ્તર કરતાં ઓછી હોવાનું બહાર આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, પી< 0.05), мы вправе отклонить проверяемую нулевую гипотезу. Именно такой подход сегодня используется чаще всего: исследователи приводят в своих работах P-значение, которое легко рассчитывается при помощи статистических программ. Рассмотрим, как это можно сделать в системе R.

ધારો કે અમારી પાસે 11 મહિલાઓ માટે (કેજે/દિવસ) ખોરાકમાંથી દૈનિક ઉર્જા લેવાનો ડેટા છે (પુસ્તકમાંથી લેવામાં આવેલ ઉદાહરણ ઓલ્ટમેન ડી.જી. (1981) તબીબી સંશોધન માટે વ્યવહારુ આંકડા, ચેપમેન અને હોલ, લંડન):

આ 11 અવલોકનો માટે સરેરાશ છે:

પ્રશ્ન: શું આ નમૂના સરેરાશ 7725 kJ/દિવસના સ્થાપિત ધોરણથી અલગ છે? અમારા નમૂના મૂલ્ય અને આ ધોરણ વચ્ચેનો તફાવત ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે: 7725 - 6753.6 = 971.4. પરંતુ આંકડાકીય રીતે આ તફાવત કેટલો મોટો છે? એક નમૂનો આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં મદદ કરશે. t-પરીક્ષણ. અન્ય વિકલ્પોની જેમ t-ટેસ્ટ, t.test() ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને R માં એક-નમૂનો ટી પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે:

પ્રશ્ન: શું આ સરેરાશ આંકડાકીય રીતે અલગ છે? ચાલો પૂર્વધારણાને તપાસીએ કે ઉપયોગમાં કોઈ તફાવત નથી t-પરીક્ષણ:

પરંતુ આવા કિસ્સાઓમાં, આપણે આંકડાકીય રીતે હસ્તક્ષેપની અસરની હાજરીનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરી શકીએ? સામાન્ય રીતે, વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ એ વિદ્યાર્થીની પદ્ધતિના ફેરફારોમાંથી એક છે, જેનો ઉપયોગ જોડી કરેલ (પુનરાવર્તિત) માપમાં તફાવતના આંકડાકીય મહત્વને નિર્ધારિત કરવા માટે થાય છે.

1. ટી-ટેસ્ટના વિકાસનો ઇતિહાસ

ટી-ટેસ્ટ વિકસાવવામાં આવી હતી વિલિયમ ગોસેટગિનિસ કંપનીમાં બીયરની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે. વેપારના રહસ્યો જાહેર ન કરવા અંગે કંપનીની જવાબદારીઓને લીધે, ગોસેટનો લેખ 1908માં બાયોમેટ્રિક્સ જર્નલમાં "વિદ્યાર્થી" ઉપનામ હેઠળ પ્રકાશિત થયો હતો.

2. જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ શેના માટે વપરાય છે?

સરખામણી માટે જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ થાય છે બે આશ્રિત (જોડી) નમૂનાઓ. આશ્રિત એ સમાન દર્દીઓ પર લેવામાં આવેલા માપો છે પરંતુ જુદા જુદા સમયે, ઉદાહરણ તરીકે, હાયપરટેન્શન ધરાવતા દર્દીઓમાં બ્લડ પ્રેશર પહેલા અને પછીએન્ટિહાઇપરટેન્સિવ દવા લેવી. નલ પૂર્વધારણા જણાવે છે કે સરખામણી કરવામાં આવતા નમૂનાઓ વચ્ચે કોઈ તફાવત નથી, વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા જણાવે છે કે આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર તફાવતો છે.

3. કયા કિસ્સામાં તમે જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરી શકો છો?

મુખ્ય શરત છે નમૂના અવલંબન, એટલે કે, તુલનાત્મક મૂલ્યો એક પરિમાણના પુનરાવર્તિત માપનમાંથી મેળવવામાં આવશ્યક છે.

સ્વતંત્ર નમૂનાઓની સરખામણીના કિસ્સામાં, જોડી ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવા માટે તે જરૂરી છે કે મૂળ ડેટા સામાન્ય વિતરણ. જો આ સ્થિતિ પૂરી ન થઈ હોય, તો નમૂનાના માધ્યમની તુલના કરવા માટે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ નોનપેરામેટ્રિક આંકડા, જેમ કે જી-સાઇન ટેસ્ટઅને વિલ્કોક્સન ટી-ટેસ્ટ.

જોડી કરેલ ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ ફક્ત સરખામણી કરતી વખતે જ થઈ શકે છે બેનમૂનાઓ જો તમારે સરખામણી કરવાની જરૂર હોય ત્રણ કે તેથી વધુપુનરાવર્તિત માપનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ પુનરાવર્તિત પગલાં માટે વન-વે એનોવા.

4. જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જ્યાં એમ ડી - પહેલા અને પછી માપેલા સૂચકાંકો વચ્ચેના તફાવતોની અંકગણિત સરેરાશ, σ ડી - સૂચકાંકોમાં તફાવતોનું પ્રમાણભૂત વિચલન, n - વિષયોની સંખ્યા.

5. વિદ્યાર્થીના ટી-ટેસ્ટ મૂલ્યનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું?

પરિણામી જોડી બનાવેલ વિદ્યાર્થીના ટી-ટેસ્ટ મૂલ્યનું અર્થઘટન અસંબંધિત વસ્તી માટે ટી-ટેસ્ટના મૂલ્યાંકનથી અલગ નથી. સૌ પ્રથમ, તમારે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે f નીચેના સૂત્ર અનુસાર:

આ પછી, અમે જરૂરી સ્તરના મહત્વ માટે વિદ્યાર્થી ટી-ટેસ્ટનું નિર્ણાયક મૂલ્ય નક્કી કરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, p<0,05) и при данном числе степеней свободы f ટેબલ મુજબ ( નીચે જુઓ).

અમે માપદંડના નિર્ણાયક અને ગણતરી કરેલ મૂલ્યોની તુલના કરીએ છીએ:

• જો જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય સમાન અથવા વધુજટિલ, કોષ્ટકમાંથી જોવા મળે છે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે તુલનાત્મક મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે.
• જો ગણતરી કરેલ જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનું મૂલ્ય ઓછુંટેબ્યુલર, જેનો અર્થ છે કે તુલનાત્મક મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર નથી.

6. વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટની ગણતરીનું ઉદાહરણ

નવા હાઈપોગ્લાયકેમિક એજન્ટની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, દવા લેતા પહેલા અને પછી ડાયાબિટીસ મેલીટસ ધરાવતા દર્દીઓમાં લોહીમાં શર્કરાનું સ્તર માપવામાં આવ્યું હતું. પરિણામે, નીચેનો ડેટા પ્રાપ્ત થયો:

ઉકેલ:

1. મૂલ્યોની દરેક જોડીના તફાવતની ગણતરી કરો ( ડી):

2. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તફાવતોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો:

3. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશમાંથી તફાવતોનું પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો:

4. જોડી કરેલ વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટની ગણતરી કરો:

5. ચાલો વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ 8.6 ના મેળવેલ મૂલ્યની કોષ્ટક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરીએ, જે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે f 10 - 1 = 9 ની બરાબર અને મહત્વ સ્તર p=0.05 2.262 છે. પ્રાપ્ત મૂલ્ય નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતાં વધુ હોવાથી, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે નવી દવા લેતા પહેલા અને પછી લોહીમાં શર્કરાના સ્તરોમાં આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર તફાવત છે.