પ્રથમ પ્રારંભિક બિંદુ. પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓ

ગાણિતિક અપેક્ષા. ગાણિતિક અપેક્ષાઅલગ રેન્ડમ ચલ એક્સ, મૂલ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા લે છે એક્સiસંભાવનાઓ સાથે આરi, રકમ કહેવામાં આવે છે:

ગાણિતિક અપેક્ષાસતત રેન્ડમ ચલ એક્સતેના મૂલ્યોના ઉત્પાદનનું અભિન્ન અંગ કહેવાય છે એક્સસંભાવના વિતરણ ઘનતા પર f(x):

(6b)

અયોગ્ય અભિન્ન (6 b) સંપૂર્ણપણે કન્વર્જન્ટ હોવાનું માનવામાં આવે છે (અન્યથા તેઓ કહે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા એમ(એક્સ) અસ્તિત્વમાં નથી). ગાણિતિક અપેક્ષા લાક્ષણિકતા ધરાવે છે સરેરાશ મૂલ્યરેન્ડમ ચલ એક્સ. તેનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલના પરિમાણ સાથે એકરુપ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો:

વિખેરી નાખવું. ભિન્નતારેન્ડમ ચલ એક્સનંબર કહેવામાં આવે છે:

તફાવત છે છૂટાછવાયા લાક્ષણિકતારેન્ડમ ચલ મૂલ્યો એક્સતેના સરેરાશ મૂલ્યની તુલનામાં એમ(એક્સ). વિચલનનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલ વર્ગના પરિમાણ જેટલું છે. વિભિન્નતા (8) અને ગાણિતિક અપેક્ષા (5) એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે અને (6) સતત રેન્ડમ ચલ માટેની વ્યાખ્યાઓના આધારે, અમે વિભિન્નતા માટે સમાન અભિવ્યક્તિઓ મેળવીએ છીએ:

(9)

અહીં m = એમ(એક્સ).

વિક્ષેપ ગુણધર્મો:

માનક વિચલન:

(11)

પ્રમાણભૂત વિચલન રેન્ડમ ચલ તરીકે સમાન પરિમાણ ધરાવે છે, તેથી તે વિચલન કરતાં વિક્ષેપના માપ તરીકે વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે.

વિતરણની ક્ષણો. ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપની વિભાવનાઓ રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ માટે વધુ સામાન્ય ખ્યાલના વિશેષ કિસ્સાઓ છે - વિતરણ ક્ષણો. રેન્ડમ ચલના વિતરણની ક્ષણોને રેન્ડમ ચલના કેટલાક સરળ કાર્યોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. તેથી, ઓર્ડરની ક્ષણ kબિંદુ સંબંધિત એક્સ 0 ને ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે એમ(એક્સ–એક્સ 0 )k. મૂળ વિશે ક્ષણો એક્સ= 0 કહેવાય છે પ્રારંભિક ક્ષણોઅને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

(12)

પ્રથમ ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણ એ વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલના વિતરણનું કેન્દ્ર છે:

(13)

વિતરણ કેન્દ્ર વિશે ક્ષણો એક્સ= mકહેવાય છે કેન્દ્રીય બિંદુઓઅને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

(14)

(7) થી તે અનુસરે છે કે પ્રથમ-ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ હંમેશા શૂન્યની બરાબર છે:

કેન્દ્રીય ક્ષણો રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની ઉત્પત્તિ પર આધારિત નથી, કારણ કે જ્યારે સ્થિર મૂલ્ય દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે સાથેતેનું વિતરણ કેન્દ્ર સમાન મૂલ્ય દ્વારા બદલાય છે સાથે, અને કેન્દ્રમાંથી વિચલન બદલાતું નથી: એક્સ – m = (એક્સ – સાથે) – (m – સાથે).
હવે તે સ્પષ્ટ છે વિખેરવું- આ સેકન્ડ ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ:

અસમપ્રમાણતા. ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ:

(17)

મૂલ્યાંકન માટે સેવા આપે છે વિતરણ અસમપ્રમાણતા. જો વિતરણ બિંદુ વિશે સપ્રમાણ છે એક્સ= m, પછી ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર હશે (વિષમ ઓર્ડરની તમામ કેન્દ્રીય ક્ષણોની જેમ). તેથી, જો ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ શૂન્યથી અલગ હોય, તો વિતરણ સપ્રમાણ હોઈ શકતું નથી. અસમપ્રમાણતાની તીવ્રતાનું મૂલ્યાંકન પરિમાણહીનનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે અસમપ્રમાણતા ગુણાંક:

(18)

અસમપ્રમાણતા ગુણાંક (18) ની નિશાની જમણી- અથવા ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા (ફિગ. 2) સૂચવે છે.

ચોખા. 2. વિતરણ અસમપ્રમાણતાના પ્રકારો.

અધિક. ચોથો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ:

(19)

કહેવાતા મૂલ્યાંકન માટે સેવા આપે છે અધિક, જે સામાન્ય વિતરણ વળાંકના સંબંધમાં વિતરણના કેન્દ્રની નજીકના વિતરણ વળાંકની ઢાળ (શિખરતા) ની ડિગ્રી નક્કી કરે છે. સામાન્ય વિતરણ માટે, કુર્ટોસિસ તરીકે લેવાયેલ મૂલ્ય છે:

(20)

ફિગ માં. આકૃતિ 3 વિવિધ કર્ટોસિસ મૂલ્યો સાથે વિતરણ વણાંકોના ઉદાહરણો બતાવે છે. સામાન્ય વિતરણ માટે ઇ= 0. જે વણાંકો સામાન્ય કરતા વધુ ટોચવાળા હોય છે તેમાં હકારાત્મક કર્ટોસિસ હોય છે, જે વધુ ફ્લેટ-ટોપ હોય છે તેમાં નકારાત્મક કર્ટોસિસ હોય છે.

ચોખા. 3. ઢાળવાળી વિવિધ ડિગ્રી (કર્ટોસિસ) સાથે વિતરણ વણાંકો.

ગાણિતિક આંકડાઓની ઇજનેરી એપ્લિકેશનમાં સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ ક્રમના ક્ષણોનો ઉપયોગ થતો નથી.

ફેશન અલગરેન્ડમ ચલ એ તેની સૌથી સંભવિત કિંમત છે. ફેશન સતતરેન્ડમ ચલ એ તેનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સંભાવના ઘનતા મહત્તમ છે (ફિગ. 2). જો વિતરણ વળાંકમાં મહત્તમ એક હોય, તો વિતરણ કહેવામાં આવે છે યુનિમોડલ. જો વિતરણ વક્રમાં એક કરતાં વધુ મહત્તમ હોય, તો વિતરણ કહેવામાં આવે છે મલ્ટિમોડલ. કેટલીકવાર એવા વિતરણો હોય છે કે જેના વક્ર મહત્તમને બદલે લઘુત્તમ હોય છે. આવા વિતરણો કહેવામાં આવે છે મોડલ વિરોધી. સામાન્ય કિસ્સામાં, રેન્ડમ ચલની સ્થિતિ અને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ એકરૂપ થતા નથી. ખાસ કિસ્સામાં, માટે મોડલ, એટલે કે એક મોડ, સપ્રમાણ વિતરણ અને જો ગાણિતિક અપેક્ષા હોય, તો બાદમાં વિતરણની સપ્રમાણતાના મોડ અને કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય.

મધ્યક રેન્ડમ ચલ એક્સ- આ તેનો અર્થ છે મેહ, જેના માટે સમાનતા ધરાવે છે: એટલે કે. તે રેન્ડમ વેરીએબલની સમાન સંભાવના છે એક્સઓછા કે વધુ હશે મેહ. ભૌમિતિક રીતે મધ્યકએ બિંદુનો એબ્સીસા છે કે જેના પર વિતરણ વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે (ફિગ. 2). સપ્રમાણ મોડલ વિતરણના કિસ્સામાં, મધ્યક, મોડ અને ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

ચાલો વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવેલ એક અલગ રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ:

અપેક્ષા સમાન:

આપણે જોઈએ છીએ કે તે ઘણું વધારે છે. આ હકીકત દ્વારા સમજાવી શકાય છે કે મૂલ્ય x= –150, અન્ય મૂલ્યોથી ઘણું અલગ, જ્યારે વર્ગ કરવામાં આવે ત્યારે તીવ્ર વધારો થાય છે; આ મૂલ્યની સંભાવના ઓછી છે (0.02). આમ, થી સંક્રમણ M(X)થી M(X 2)રેન્ડમ ચલના આવા મૂલ્યોની ગાણિતિક અપેક્ષા પરના પ્રભાવને વધુ સારી રીતે ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બનાવ્યું છે જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં મોટા છે, પરંતુ તેમની ઘટનાની સંભાવના ઓછી છે. અલબત્ત, જો જથ્થામાં ઘણા મોટા અને અસંભવિત મૂલ્યો હોય, તો પછી જથ્થામાં સંક્રમણ X 2, અને તેથી પણ વધુ માત્રામાં , વગેરે, અમને આ મોટા પરંતુ અસંભવિત સંભવિત મૂલ્યોની "ભૂમિકાને વધુ મજબૂત" કરવાની મંજૂરી આપશે. તેથી જ રેન્ડમ ચલની પૂર્ણાંક હકારાત્મક શક્તિની ગાણિતિક અપેક્ષાને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, માત્ર અલગ જ નહીં, પણ સતત પણ.

વ્યાખ્યા 6.10.રેન્ડમ ચલના ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ એ જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા છે:

ખાસ કરીને:

આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને, ભિન્નતાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર અલગ રીતે લખી શકાય છે

રેન્ડમ ચલની ક્ષણો ઉપરાંત, વિચલનની ક્ષણોને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 6.11.રેન્ડમ ચલના ક્રમની મધ્ય ક્ષણ એ જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

(6.23)

ખાસ કરીને,

પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોને જોડતા સંબંધો સરળતાથી પ્રાપ્ત થાય છે. તેથી, (6.22) અને (6.24) ની સરખામણી કરીને, આપણને મળે છે:

નીચેના સંબંધોને સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી:

તેવી જ રીતે:

ઉચ્ચ ઓર્ડર પળોનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે. કેન્દ્રીય ક્ષણો નક્કી કરવા માટે, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા (કેન્દ્ર) થી રેન્ડમ ચલના વિચલનોનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી જ ક્ષણો કહેવાય છે કેન્દ્રીય.

પ્રારંભિક ક્ષણો નક્કી કરવા માટે, રેન્ડમ ચલના વિચલનોનો પણ ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ ગાણિતિક અપેક્ષાથી નહીં, પરંતુ તે બિંદુથી કે જેની એબ્સીસા શૂન્યની બરાબર છે, જે કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે. તેથી જ ક્ષણો કહેવાય છે પ્રારંભિક.

સતત રેન્ડમ ચલના કિસ્સામાં, 1લી ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

(6.27)

સતત રેન્ડમ ચલના ક્રમની મધ્ય ક્ષણ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

(6.28)

ચાલો ધારીએ કે રેન્ડમ ચલનું વિતરણ ગાણિતિક અપેક્ષાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. પછી વિષમ ક્રમની તમામ કેન્દ્રીય ક્ષણો શૂન્યની બરાબર છે. આ હકીકત દ્વારા સમજાવી શકાય છે કે જથ્થાના દરેક હકારાત્મક મૂલ્ય માટે X-M(X)ત્યાં છે (સાપેક્ષ વિતરણની સમપ્રમાણતાને કારણે M(X)) આ જથ્થાના નકારાત્મક મૂલ્યના સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન છે, અને તેમની સંભાવનાઓ સમાન હશે.

જો વિષમ ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો આ વિતરણની અસમપ્રમાણતા સૂચવે છે, અને ક્ષણ જેટલી મોટી, અસમપ્રમાણતા વધારે છે. તેથી, વિતરણ અસમપ્રમાણતાની લાક્ષણિકતા તરીકે કેટલીક વિચિત્ર કેન્દ્રીય ક્ષણ લેવી સૌથી વાજબી છે. પ્રથમ ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ હંમેશા શૂન્ય હોવાથી, આ હેતુ માટે ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 6.12.અસમપ્રમાણતા ગુણાંક એ જથ્થો છે:

જો અસમપ્રમાણતા ગુણાંક નકારાત્મક હોય, તો આ નકારાત્મક વિચલનોની તીવ્રતા પર મોટો પ્રભાવ સૂચવે છે. આ કિસ્સામાં, વિતરણ વળાંક (ફિગ. 6.1 એ) ની ડાબી બાજુએ વધુ સપાટ છે. જો ગુણાંક હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે હકારાત્મક વિચલનોનો પ્રભાવ પ્રબળ છે, તો વિતરણ વળાંક જમણી બાજુએ ચપટી છે.

જેમ જાણીતું છે તેમ, બીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ (વિવિધતા) તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસના રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોના વિક્ષેપને દર્શાવવા માટે સેવા આપે છે. જો કેટલાક રેન્ડમ ચલ માટે આ ક્ષણ પૂરતી મોટી છે, એટલે કે. જો વિક્ષેપ મોટો હોય, તો અનુરૂપ વિતરણ વળાંક નાની સેકન્ડ-ઓર્ડર મોમેન્ટ સાથેના રેન્ડમ ચલના વિતરણ વળાંક કરતાં ચપટી હોય છે. જો કે, ક્ષણ આ હેતુને સેવા આપી શકતી નથી કારણ કે કોઈપણ વિતરણ માટે .

આ કિસ્સામાં, ચોથા ક્રમમાં કેન્દ્રિય ક્ષણનો ઉપયોગ થાય છે.

વ્યાખ્યા 6.13.કુર્ટોસિસ એ જથ્થો છે:

પ્રકૃતિના સૌથી સામાન્ય સામાન્ય વિતરણ કાયદા માટે, ગુણોત્તર છે. તેથી, ફોર્મ્યુલા (6.28) દ્વારા આપવામાં આવેલ કુર્ટોસિસ આ વિતરણને સામાન્ય (ફિગ. 6.1) સાથે સરખાવવાનું કામ કરે છે. b).

સ્થિતિ લાક્ષણિકતાઓ ઉપરાંત - રેન્ડમ ચલના સરેરાશ, લાક્ષણિક મૂલ્યો - સંખ્યાબંધ લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક વિતરણની એક અથવા બીજી મિલકતનું વર્ણન કરે છે. કહેવાતી ક્ષણોનો ઉપયોગ મોટેભાગે આવી લાક્ષણિકતાઓ તરીકે થાય છે.

ક્ષણની વિભાવનાનો વ્યાપકપણે મિકેનિક્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે જે લોકોના વિતરણનું વર્ણન કરે છે (સ્થિર ક્ષણો, જડતાની ક્ષણો, વગેરે). રેન્ડમ ચલના વિતરણના મૂળભૂત ગુણધર્મોને વર્ણવવા માટે સંભાવના સિદ્ધાંતમાં બરાબર એ જ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. મોટેભાગે, વ્યવહારમાં બે પ્રકારની ક્ષણોનો ઉપયોગ થાય છે: પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય.

અખંડિત રેન્ડમ ચલના sth ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ એ ફોર્મનો સરવાળો છે:

. (5.7.1)

દેખીતી રીતે, આ વ્યાખ્યા મિકેનિક્સમાં ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણની વ્યાખ્યા સાથે સુસંગત છે, જો સમૂહ બિંદુઓ પર એબ્સીસા અક્ષ પર કેન્દ્રિત હોય.

સતત રેન્ડમ ચલ X માટે, sth ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણને અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે

. (5.7.2)

તે જોવાનું સરળ છે કે અગાઉના n° માં રજૂ કરાયેલ સ્થિતિની મુખ્ય લાક્ષણિકતા - ગાણિતિક અપેક્ષા - રેન્ડમ ચલની પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ કરતાં વધુ કંઈ નથી.

ગાણિતિક અપેક્ષા ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે સૂત્રો (5.7.1) અને (5.7.2) ને એકમાં જોડી શકો છો. ખરેખર, સૂત્રો (5.7.1) અને (5.7.2) ફોર્મ્યુલા (5.6.1) અને (5.6.2) સાથે બંધારણમાં સંપૂર્ણપણે સમાન છે, તેના બદલે અને ત્યાં અનુક્રમે, અને છે તે તફાવત સાથે. તેથી, અમે ક્રમના પ્રારંભિક ક્ષણની સામાન્ય વ્યાખ્યા લખી શકીએ છીએ, જે અખંડ અને સતત બંને માત્રા માટે માન્ય છે:

, (5.7.3)

તે રેન્ડમ ચલના મી ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ એ આ રેન્ડમ ચલની મી ડિગ્રીની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

કેન્દ્રીય ક્ષણને વ્યાખ્યાયિત કરતા પહેલા, અમે "કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલ" નો નવો ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ.

ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે રેન્ડમ ચલ રહેવા દો. મૂલ્યને અનુરૂપ કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલ એ તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન છે:

ભવિષ્યમાં, અમે આપેલ રેન્ડમ ચલને અનુરૂપ કેન્દ્રીય રેન્ડમ ચલ દરેક જગ્યાએ ટોચ પરના પ્રતીક સાથે સમાન અક્ષર દ્વારા દર્શાવવા માટે સંમત થઈશું.

તે ચકાસવું સરળ છે કે કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્યની બરાબર છે. ખરેખર, અસંતુલિત જથ્થા માટે

એ જ રીતે સતત જથ્થા માટે.

રેન્ડમ ચલને કેન્દ્રમાં રાખવું એ દેખીતી રીતે કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળને મધ્યમ, "કેન્દ્રીય" બિંદુ પર ખસેડવા સમાન છે, જેનો એબ્સિસા ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલની ક્ષણોને કેન્દ્રીય ક્ષણો કહેવામાં આવે છે. તેઓ મિકેનિક્સમાં ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર વિશેની ક્ષણો સાથે સમાન છે.

આમ, રેન્ડમ ચલના ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ એ અનુરૂપ કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલની મી શક્તિની ગાણિતિક અપેક્ષા છે:

, (5.7.6)

અને સતત માટે - અભિન્ન દ્વારા

. (5.7.8)

નીચે આપેલ બાબતોમાં, આપેલ ક્ષણ કયા રેન્ડમ વેરીએબલ સાથે સંબંધિત છે તે અંગે કોઈ શંકા ન હોય તેવા કિસ્સામાં, સંક્ષિપ્તતા માટે આપણે અને ની જગ્યાએ સરળ રીતે અને લખીશું.

દેખીતી રીતે, કોઈપણ રેન્ડમ ચલ માટે પ્રથમ ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે:

, (5.7.9)

કારણ કે કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા હંમેશા શૂન્યની બરાબર હોય છે.

ચાલો વિવિધ ઓર્ડરની મધ્ય અને પ્રારંભિક ક્ષણોને જોડતા સંબંધો મેળવીએ. અમે નિષ્કર્ષ માત્ર અસંતુલિત જથ્થાઓ માટે હાથ ધરીશું; તે ચકાસવું સરળ છે કે બરાબર સમાન સંબંધો સતત જથ્થાઓ માટે માન્ય છે જો આપણે મર્યાદિત રકમોને પૂર્ણાંકો સાથે અને સંભાવનાઓને સંભાવનાના ઘટકો સાથે બદલીએ.

બીજા કેન્દ્રીય બિંદુને ધ્યાનમાં લો:

તેવી જ રીતે ત્રીજા કેન્દ્રિય ક્ષણ માટે આપણે મેળવીએ છીએ:

વગેરે માટે અભિવ્યક્તિઓ. સમાન રીતે મેળવી શકાય છે.

આમ, કોઈપણ રેન્ડમ ચલની કેન્દ્રીય ક્ષણો માટે સૂત્રો માન્ય છે:

(5.7.10)

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ક્ષણોને માત્ર મૂળ (પ્રારંભિક ક્ષણો) અથવા ગાણિતિક અપેક્ષા (કેન્દ્રીય ક્ષણો) સાથે સંબંધિત જ નહીં, પણ મનસ્વી બિંદુને સંબંધિત પણ ગણી શકાય:

. (5.7.11)

જો કે, કેન્દ્રીય ક્ષણોનો અન્ય તમામ કરતાં ફાયદો છે: પ્રથમ કેન્દ્રિય ક્ષણ, જેમ આપણે જોયું છે, હંમેશા શૂન્યની બરાબર હોય છે, અને પછીની એક, બીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ, આ સંદર્ભ સિસ્ટમ સાથે ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે. ચાલો તે સાબિત કરીએ. પર એક અવ્યવસ્થિત રેન્ડમ ચલ માટે, સૂત્ર (5.7.11) ફોર્મ ધરાવે છે:

. (5.7.12)

ચાલો આ અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ:

દેખીતી રીતે, આ મૂલ્ય તેના ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે જ્યારે , એટલે કે. જ્યારે બિંદુને સંબંધિત ક્ષણ લેવામાં આવે છે.

તમામ ક્ષણોમાં, પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ (ગાણિતિક અપેક્ષા) અને બીજી કેન્દ્રિય ક્ષણનો ઉપયોગ મોટાભાગે રેન્ડમ ચલની લાક્ષણિકતાઓ તરીકે થાય છે.

બીજી કેન્દ્રિય ક્ષણને રેન્ડમ ચલનું વિચલન કહેવામાં આવે છે. આ લાક્ષણિકતાના અત્યંત મહત્વને ધ્યાનમાં રાખીને, અન્ય મુદ્દાઓ વચ્ચે, અમે તેના માટે એક વિશેષ હોદ્દો રજૂ કરીએ છીએ:

કેન્દ્રીય ક્ષણની વ્યાખ્યા અનુસાર

તે રેન્ડમ ચલ X નું વિચલન એ અનુરૂપ કેન્દ્રિત ચલના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

અભિવ્યક્તિ (5.7.13) માં જથ્થાને તેની અભિવ્યક્તિ સાથે બદલીને, અમારી પાસે પણ છે:

. (5.7.14)

ભિન્નતાની સીધી ગણતરી કરવા માટે, નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો:

, (5.7.15)

(5.7.16)

તદનુસાર અખંડ અને સતત માત્રા માટે.

રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ એ વિક્ષેપની લાક્ષણિકતા છે, તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનું વિખેરવું. "વિક્ષેપ" શબ્દનો અર્થ "વિખેરવું" થાય છે.

જો આપણે વિતરણના યાંત્રિક અર્થઘટન તરફ વળીએ, તો વિક્ષેપ એ ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર (ગાણિતિક અપેક્ષા) ને સંબંધિત આપેલ સમૂહ વિતરણની જડતાની ક્ષણ સિવાય બીજું કંઈ નથી.

રેન્ડમ ચલના ભિન્નતામાં રેન્ડમ ચલના ચોરસનું પરિમાણ હોય છે; વિક્ષેપને દૃષ્ટિની રીતે દર્શાવવા માટે, તે જથ્થાનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે જેનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલના પરિમાણ સાથે એકરુપ છે. આ કરવા માટે, વિચલનનું વર્ગમૂળ લો. પરિણામી મૂલ્યને રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન (અન્યથા "માનક") કહેવામાં આવે છે. અમે પ્રમાણભૂત વિચલન સૂચવીશું:

, (5.7.17)

સંકેતોને સરળ બનાવવા માટે, અમે ઘણીવાર પ્રમાણભૂત વિચલન અને વિક્ષેપ માટે સંક્ષેપનો ઉપયોગ કરીશું: અને . આ લાક્ષણિકતાઓ કયા રેન્ડમ ચલની છે તે અંગે કોઈ શંકા ન હોય તેવા કિસ્સામાં, અમે કેટલીકવાર x y પ્રતીકને છોડી દઈશું અને સરળ રીતે લખીશું અને . "પ્રમાણભૂત વિચલન" શબ્દો ક્યારેક r.s.o. અક્ષરો દ્વારા બદલવામાં આવશે.

વ્યવહારમાં, એક સૂત્રનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે જે રેન્ડમ ચલના વિક્ષેપને તેની બીજી પ્રારંભિક ક્ષણ (સૂત્રોનો બીજો (5.7.10)) દ્વારા વ્યક્ત કરે છે. નવા નોટેશનમાં તે આના જેવું દેખાશે:

અપેક્ષા અને વિચલન (અથવા પ્રમાણભૂત વિચલન) એ રેન્ડમ ચલની સૌથી સામાન્ય રીતે વપરાતી લાક્ષણિકતાઓ છે. તેઓ વિતરણની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે: તેની સ્થિતિ અને સ્કેટરિંગની ડિગ્રી. વિતરણના વધુ વિગતવાર વર્ણન માટે, ઉચ્ચ ઓર્ડરની ક્ષણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ત્રીજો કેન્દ્રીય બિંદુ વિતરણની અસમપ્રમાણતા (અથવા "સ્ક્યુનેસ") ને દર્શાવવા માટે સેવા આપે છે. જો વિતરણ ગાણિતિક અપેક્ષાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય (અથવા, યાંત્રિક અર્થઘટનમાં, સમૂહ ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણરીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે), તો તમામ વિષમ-ક્રમની ક્ષણો (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) શૂન્યની બરાબર છે. ખરેખર, કુલ

જ્યારે વિતરણ કાયદો કાયદાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય છે અને વિષમ હોય છે, ત્યારે દરેક સકારાત્મક પદ સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન નકારાત્મક શબ્દને અનુરૂપ હોય છે, જેથી સમગ્ર સરવાળો શૂન્યની બરાબર હોય. અભિન્ન માટે પણ એવું જ સ્પષ્ટપણે સાચું છે

,

જે એક વિષમ કાર્યની સપ્રમાણ મર્યાદામાં અવિભાજ્ય તરીકે શૂન્યની બરાબર છે.

તેથી, વિતરણ અસમપ્રમાણતાની લાક્ષણિકતા તરીકે વિષમ ક્ષણોમાંથી એક પસંદ કરવી સ્વાભાવિક છે. આમાંથી સૌથી સરળ ત્રીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ છે. તે રેન્ડમ ચલના ઘનનું પરિમાણ ધરાવે છે: પરિમાણહીન લાક્ષણિકતા મેળવવા માટે, ત્રીજી ક્ષણને પ્રમાણભૂત વિચલનના ઘન દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પરિણામી મૂલ્યને "અસમપ્રમાણતા ગુણાંક" અથવા ફક્ત "અસમપ્રમાણતા" કહેવામાં આવે છે; અમે તેને સૂચિત કરીશું:

ફિગ માં. 5.7.1 બે અસમપ્રમાણ વિતરણો બતાવે છે; તેમાંથી એક (વળાંક I) પાસે હકારાત્મક અસમપ્રમાણતા (); અન્ય (વળાંક II) નકારાત્મક છે ().

ચોથો કેન્દ્રિય બિંદુ કહેવાતા "ઠંડક" ને દર્શાવવા માટે સેવા આપે છે, એટલે કે. પીક અથવા ફ્લેટ-ટોપ વિતરણ. આ વિતરણ ગુણધર્મો કહેવાતા કુર્ટોસિસનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલનું કુર્ટોસિસ એ જથ્થો છે

સંખ્યા 3 ગુણોત્તરમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે કારણ કે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ અને વ્યાપક પ્રકૃતિના સામાન્ય વિતરણ કાયદા માટે (જે આપણે પછીથી વિગતવાર જાણીશું). આમ, સામાન્ય વિતરણ માટે કર્ટોસિસ શૂન્ય છે; વણાંકો જે સામાન્ય વળાંકની તુલનામાં વધુ ટોચ પર હોય છે તેમાં હકારાત્મક કર્ટોસિસ હોય છે; વણાંકો જે વધુ સપાટ-ટોપવાળા હોય છે તેમાં નકારાત્મક કર્ટોસિસ હોય છે.

ફિગ માં. 5.7.2 બતાવે છે: સામાન્ય વિતરણ (વળાંક I), હકારાત્મક કર્ટોસિસ (વળાંક II) સાથે વિતરણ અને નકારાત્મક કર્ટોસિસ (વળાંક III) સાથે વિતરણ.

ઉપરોક્ત ચર્ચા કરેલ પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય ક્ષણો ઉપરાંત, વ્યવહારમાં કહેવાતા નિરપેક્ષ ક્ષણો (પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય) નો ઉપયોગ કેટલીકવાર સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે.

દેખીતી રીતે, સમાન ઓર્ડરની સંપૂર્ણ ક્ષણો સામાન્ય ક્ષણો સાથે સુસંગત હોય છે.

નિરપેક્ષ ક્ષણોમાંથી, સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રથમ સંપૂર્ણ કેન્દ્રીય ક્ષણ છે.

, (5.7.21)

અંકગણિત સરેરાશ વિચલન કહેવાય છે. વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલનની સાથે, અંકગણિત સરેરાશ વિચલનનો ઉપયોગ ક્યારેક વિક્ષેપની લાક્ષણિકતા તરીકે થાય છે.

અપેક્ષા, સ્થિતિ, મધ્ય, પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણો અને ખાસ કરીને, વિક્ષેપ, પ્રમાણભૂત વિચલન, ત્રાંસીપણું અને કર્ટોસિસ એ રેન્ડમ ચલોની સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ છે. ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓમાં, રેન્ડમ ચલની સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા - વિતરણ કાયદો - કાં તો જરૂરી નથી અથવા મેળવી શકાતો નથી. આ કિસ્સાઓમાં, અમે મદદનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલના અંદાજિત વર્ણન સુધી મર્યાદિત છીએ. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ, જેમાંથી દરેક વિતરણની કેટલીક લાક્ષણિક ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે.

ઘણી વાર, સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ લગભગ એક વિતરણને બીજા સાથે બદલવા માટે કરવામાં આવે છે, અને સામાન્ય રીતે તેઓ આ રિપ્લેસમેન્ટ એવી રીતે કરવાનો પ્રયાસ કરે છે કે ઘણા મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ યથાવત રહે છે.

ઉદાહરણ 1. એક પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેના પરિણામે કોઈ ઘટના દેખાઈ શકે કે ન પણ દેખાય, જેની સંભાવના બરાબર છે. રેન્ડમ ચલ ગણવામાં આવે છે - ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા (એક ઘટનાનું લાક્ષણિક રેન્ડમ ચલ). તેની લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરો: ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ, પ્રમાણભૂત વિચલન.

ઉકેલ. મૂલ્ય વિતરણ શ્રેણીમાં ફોર્મ છે:

જ્યાં ઘટના ન બનવાની સંભાવના છે.

સૂત્ર (5.6.1) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ છીએ:

મૂલ્યનું વિક્ષેપ સૂત્ર (5.7.15) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

(અમે સૂચવીએ છીએ કે વાચક બીજી પ્રારંભિક ક્ષણના સંદર્ભમાં વિક્ષેપ વ્યક્ત કરીને સમાન પરિણામ મેળવે છે).

ઉદાહરણ 2. લક્ષ્ય પર ત્રણ સ્વતંત્ર ગોળી ચલાવવામાં આવે છે; દરેક શોટને ફટકારવાની સંભાવના 0.4 છે. રેન્ડમ ચલ - હિટની સંખ્યા. જથ્થાની લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરો - ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ, આરએસડી, અસમપ્રમાણતા.

ઉકેલ. મૂલ્ય વિતરણ શ્રેણીમાં ફોર્મ છે:

અમે જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરીએ છીએ.

3.4. રેન્ડમ ચલની ક્ષણો.

ઉપર, અમે SV ની વ્યાપક લાક્ષણિકતાઓથી પરિચિત થયા: વિતરણ કાર્ય અને એક અલગ SV માટે વિતરણ શ્રેણી, વિતરણ કાર્ય અને સતત SV માટે સંભાવના ઘનતા. માહિતી સામગ્રીના સંદર્ભમાં આ જોડીમાં સમકક્ષ લાક્ષણિકતાઓ છે કાર્યોઅને સંભવિત દૃષ્ટિકોણથી SV નું સંપૂર્ણ વર્ણન કરો. જો કે, ઘણી વ્યવહારુ પરિસ્થિતિઓમાં રેન્ડમ વેરીએબલને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવું કાં તો અશક્ય અથવા બિનજરૂરી છે. ઘણીવાર તે એક અથવા વધુ સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે સંખ્યાત્મકપરિમાણો કે જે અમુક અંશે વિતરણની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરે છે, અને કેટલીકવાર સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ શોધવી એ ઇચ્છનીય હોવા છતાં, ગાણિતિક રીતે ખૂબ મુશ્કેલ છે, અને સંખ્યાત્મક પરિમાણો સાથે સંચાલન કરવા છતાં, અમે અંદાજિત, પરંતુ સરળ વર્ણન સુધી મર્યાદિત છીએ. ઉલ્લેખિત સંખ્યાત્મક પરિમાણો કહેવામાં આવે છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓઅવ્યવસ્થિત ચલો અને વિજ્ઞાન અને તકનીકીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સંભાવના સિદ્ધાંતના એપ્લિકેશનમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે, સમસ્યાઓના ઉકેલની સુવિધા આપે છે અને ઉકેલના પરિણામોને સરળ અને દ્રશ્ય સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને બે પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: ક્ષણો અને સ્થિતિ લાક્ષણિકતાઓ.ક્ષણોના ઘણા પ્રકારો છે, જેમાંથી બે સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે: પ્રાથમિક અને કેન્દ્રિય. અન્ય પ્રકારની ક્ષણો, દા.ત. સંપૂર્ણ ક્ષણો, કારણભૂત ક્ષણો, અમે ધ્યાનમાં લેતા નથી. ઇન્ટિગ્રલના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ ટાળવા માટે - કહેવાતા Stieltjes integral, અમે સતત અને અલગ SVs માટે અલગથી ક્ષણોની વ્યાખ્યા આપીએ છીએ.

વ્યાખ્યાઓ. 1. શરૂઆતની ક્ષણk-મી ઓર્ડર ડિસ્ક્રીટ એસવીજથ્થો કહેવાય છે

જ્યાં f(x) આપેલ SV ની સંભાવના ઘનતા છે.

3. કેન્દ્રીય ક્ષણk-મી ઓર્ડર ડિસ્ક્રીટ એસવીજથ્થો કહેવાય છે

એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં એક જ સમયે અનેક SVs વિચારણા હેઠળ છે, ગેરસમજ ટાળવા માટે, ક્ષણની ઓળખ સૂચવવા માટે, તે અનુકૂળ છે; અમે કૌંસમાં અનુરૂપ SV ના હોદ્દો સૂચવીને આ કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, , વગેરે. આ હોદ્દો ફંક્શન નોટેશન સાથે મૂંઝવણમાં ન હોવો જોઈએ, અને કૌંસમાંનો અક્ષર ફંક્શન દલીલ સાથે મૂંઝવણમાં ન હોવો જોઈએ. સમાનતા (3.4.1 - 3.4.4) ની જમણી બાજુએ સરવાળો અને પૂર્ણાંકો મૂલ્યના આધારે એકરૂપ થઈ શકે છે અથવા અલગ થઈ શકે છે kઅને ચોક્કસ વિતરણ. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે ક્ષણ અસ્તિત્વમાં નથી અથવા અલગ પડે છે, બીજામાં - શું ક્ષણ અસ્તિત્વમાં છે અથવા કન્વર્જ થાય છે.જો એક અલગ SV પાસે મર્યાદિત મૂલ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય ( એનઅલબત્ત), પછી તેની બધી ક્ષણો મર્યાદિત ક્રમની છે kઅસ્તિત્વમાં છે. અનંત પર એન, કેટલાકથી શરૂ કરીને kઅને ઉચ્ચ ઓર્ડર માટે, એક અલગ SV (પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય બંને) ની ક્ષણો અસ્તિત્વમાં ન હોઈ શકે. સતત SV ની ક્ષણો, જેમ કે વ્યાખ્યાઓમાંથી જોઈ શકાય છે, તે અયોગ્ય પૂર્ણાંકો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જે ચોક્કસથી શરૂ કરીને અલગ થઈ શકે છે. kઅને ઉચ્ચ ઓર્ડર માટે (એક સાથે પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય). ઝીરોથ ઓર્ડરની ક્ષણો હંમેશા એકરૂપ થાય છે.

ચાલો આપણે પહેલા પ્રારંભિક અને પછી કેન્દ્રિય ક્ષણોને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ. ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, પ્રારંભિક ક્ષણ k-મો ક્રમ "ભારિત સરેરાશ" છે k-એસવી મૂલ્યોની મી ડિગ્રી; એક અલગ SV ના કિસ્સામાં, વજન એ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ છે, સતત SV ના કિસ્સામાં, વજન કાર્ય એ સંભાવનાની ઘનતા છે; આ પ્રકારની કામગીરીનો વ્યાપકપણે મિકેનિક્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે જેથી લોકોના વિતરણનું વર્ણન કરવામાં આવે (સ્થિર ક્ષણો, જડતાની ક્ષણો, વગેરે); આ સંદર્ભમાં ઉદ્ભવતા સામ્યતાઓની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

પ્રારંભિક ક્ષણોની વધુ સારી સમજણ માટે, અમે તેમને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ k. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, નીચલા ઓર્ડરની ક્ષણો સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે નાની kતેથી, મૂલ્યો વધારવાના ક્રમમાં વિચારણા હાથ ધરવી જોઈએ k. શૂન્ય ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ બરાબર છે

1, સ્વતંત્ર એસવી માટે;

=1, સતત SV માટે,

તે કોઈપણ SV માટે તે સમાન મૂલ્ય સમાન છે - એક, અને તેથી SV ના આંકડાકીય ગુણધર્મો વિશે કોઈ માહિતી ધરાવતું નથી.

પ્રથમ ઓર્ડર પ્રારંભિક ક્ષણ (અથવા પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ) બરાબર છે

સ્વતંત્ર એસવી માટે;

, સતત SV માટે.

આ બિંદુ એ કોઈપણ SV ની સૌથી મહત્વપૂર્ણ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે, જેના માટે ઘણા એકબીજા સાથે સંકળાયેલા કારણો છે. પ્રથમ, ચેબીશેવના પ્રમેય (વિભાગ 7.4 જુઓ), SV પર અમર્યાદિત સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે, અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ (એક અર્થમાં) તરફ વળે છે, આમ, કોઈપણ SV માટે, આ એક લાક્ષણિક સંખ્યા છે. જેની આસપાસ તેના મૂલ્યો અનુભવ પર જૂથબદ્ધ છે. બીજું, સતત સીવી માટે તે સંખ્યાત્મક રીતે બરાબર છે એક્સ- વળાંક દ્વારા રચાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રનું સંકલન f(x) (એક સમાન ગુણધર્મ એક સ્વતંત્ર એસવી માટે થાય છે), તેથી આ ક્ષણને "વિતરણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર" કહી શકાય. ત્રીજે સ્થાને, આ ક્ષણમાં નોંધપાત્ર ગાણિતિક ગુણધર્મો છે જે અભ્યાસક્રમ દરમિયાન સ્પષ્ટ થઈ જશે, ખાસ કરીને, તેથી તેનું મૂલ્ય કેન્દ્રિય ક્ષણોના અભિવ્યક્તિઓમાં શામેલ છે (જુઓ (3.4.3) અને (3.4.4)).

સંભાવના સિદ્ધાંતની સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ સમસ્યાઓ અને તેના નોંધપાત્ર ગાણિતિક ગુણધર્મો માટે આ ક્ષણનું મહત્વ એ હકીકત તરફ દોરી ગયું છે કે હોદ્દો અને નામ "પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ" ઉપરાંત, અન્ય હોદ્દો અને નામોનો ઉપયોગ સાહિત્યમાં થાય છે, વધુ કે ઓછા. અનુકૂળ અને ઉલ્લેખિત ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સૌથી સામાન્ય નામો છે: ગાણિતિક અપેક્ષા, સરેરાશ મૂલ્ય, અને નોટેશન: m, એમ[એક્સ], . આપણે મોટાભાગે "ગાણિતિક અપેક્ષા" અને નોટેશન શબ્દનો ઉપયોગ કરીશું m; જો ત્યાં અનેક SVs હોય, તો અમે ગાણિતિક અપેક્ષાની ઓળખ દર્શાવતી સબસ્ક્રીપ્ટનો ઉપયોગ કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, m x , m yવગેરે

બીજા-ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ (અથવા બીજી પ્રારંભિક ક્ષણ) બરાબર છે

સ્વતંત્ર એસવી માટે;

, સતત એસવી માટે;

ક્યારેક તેને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલનો સરેરાશ ચોરસઅને નિયુક્ત થયેલ છે એમ.

ત્રીજો ક્રમ પ્રારંભિક ક્ષણ (અથવા ત્રીજી પ્રારંભિક ક્ષણ) બરાબર છે

સ્વતંત્ર એસવી માટે;

, સતત સીબી માટે

ક્યારેક તેને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ ઘનઅને નિયુક્ત થયેલ છે એમ[એક્સ 3 ].

પ્રારંભિક મુદ્દાઓની સૂચિ ચાલુ રાખવાનો કોઈ અર્થ નથી. ચાલો ઓર્ડરની ક્ષણોના મહત્વપૂર્ણ અર્થઘટન પર ધ્યાન આપીએ k>1. ચાલો, એસવી સાથે એક્સત્યાં એક SV પણ છે વાય, અને Y=X k (k=2, 3, ...). આ સમાનતાનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયતે અર્થમાં નિર્ધારિત રીતે જોડાયેલા છે કે જ્યારે એસ.વી એક્સમૂલ્ય લે છે x, NE વાયમૂલ્ય લે છે y=x k(ભવિષ્યમાં, SV ના આ જોડાણને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે). પછી, (3.4.1) અને (3.4.2) અનુસાર

=m y , k=2, 3, ...,

એટલે કે k SV ની મી પ્રારંભિક ક્ષણ ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલી છે kઆ રેન્ડમ ચલની -મી શક્તિ. ઉદાહરણ તરીકે, રેન્ડમ ક્યુબની કિનારી લંબાઈની ત્રીજી પ્રારંભિક ક્ષણ એ ક્યુબના વોલ્યુમની ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલી છે. ચોક્કસ ગાણિતિક અપેક્ષાઓ તરીકે ક્ષણોને સમજવાની શક્યતા એ ગાણિતિક અપેક્ષાના ખ્યાલના મહત્વનું બીજું પાસું છે.

ચાલો કેન્દ્રિય મુદ્દાઓને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ. કારણ કે, જેમ નીચે સ્પષ્ટ થશે, કેન્દ્રીય ક્ષણો અસ્પષ્ટપણે પ્રારંભિક ક્ષણો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અને તેનાથી ઊલટું, પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે શા માટે કેન્દ્રિય ક્ષણોની જરૂર છે અને શા માટે પ્રારંભિક ક્ષણો પૂરતી નથી. ચાલો SV ને ધ્યાનમાં લઈએ એક્સ(સતત અથવા અલગ) અને અન્ય SV Y, જે પ્રથમ સાથે સંબંધિત છે Y=X+a, ક્યાં a 0 એ બિન-રેન્ડમ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. દરેક મૂલ્ય xરેન્ડમ ચલ એક્સમૂલ્યને અનુરૂપ છે y=x+aરેન્ડમ ચલ વાય, તેથી SV નું વિતરણ વાય SV વિતરણ જેવો જ આકાર હશે (વિવિધ કેસમાં વિતરણ બહુકોણ દ્વારા અથવા સતત કિસ્સામાં સંભાવના ઘનતા દ્વારા વ્યક્ત) એક્સ, પરંતુ રકમ દ્વારા x-અક્ષ સાથે સ્થાનાંતરિત a. પરિણામે, પ્રારંભિક ક્ષણો એસ.વી વાય SV ની અનુરૂપ ક્ષણોથી અલગ હશે એક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, તે જોવાનું સરળ છે m y = મી x +a(ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણો વધુ જટિલ સંબંધો દ્વારા જોડાયેલ છે). તેથી અમે તે સ્થાપિત કર્યું છે પ્રારંભિક ક્ષણો સમગ્ર વિતરણના શિફ્ટના સંદર્ભમાં અવિચલ નથી. સમાન પરિણામ પ્રાપ્ત થશે જો તમે ડિસ્ટ્રિબ્યુશનને નહીં, પરંતુ x-અક્ષની શરૂઆત રકમ દ્વારા આડી રીતે બદલો - a, એટલે કે સમકક્ષ નિષ્કર્ષ પણ માન્ય છે: x-અક્ષની શરૂઆતની આડી શિફ્ટના સંદર્ભમાં પ્રારંભિક ક્ષણો અવિચલ નથી.

કેન્દ્રીય ક્ષણો, વિતરણના તે ગુણધર્મોને વર્ણવવા માટે બનાવાયેલ છે જે સંપૂર્ણ રીતે તેમની પાળી પર આધારિત નથી, આ ખામીથી મુક્ત છે. ખરેખર, (3.4.3) અને (3.4.4) પરથી જોઈ શકાય છે, જ્યારે સમગ્ર વિતરણ રકમ દ્વારા બદલાય છે a, અથવા, સમાન શું છે, x-અક્ષની શરૂઆતને રકમ દ્વારા ખસેડીને - a, બધા મૂલ્યો x, સમાન સંભાવનાઓ સાથે (વિવિધ કિસ્સામાં) અથવા સમાન સંભાવનાની ઘનતા (સતત કિસ્સામાં), રકમ દ્વારા બદલાશે a, પરંતુ મૂલ્ય સમાન રકમથી બદલાશે m, તેથી સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ પરના કૌંસના મૂલ્યો બદલાશે નહીં. આમ, કેન્દ્રીય ક્ષણો સમગ્ર વિતરણના શિફ્ટના સંદર્ભમાં અવિચલ છે, અથવા, x-અક્ષની શરૂઆતની આડી પાળીના સંદર્ભમાં, સમાન શું છે.આ ક્ષણોને તે દિવસોમાં "કેન્દ્રીય" નામ મળ્યું જ્યારે પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણને "કેન્દ્ર" કહેવામાં આવતું હતું. તે નોંધવું ઉપયોગી છે કે SV ના કેન્દ્રિય ક્ષણ એક્સ SV ના અનુરૂપ પ્રારંભિક ક્ષણ તરીકે સમજી શકાય છે એક્સ 0 સમાન

NE એક્સ 0 કહેવાય છે કેન્દ્રિત(એસવીને સંબંધિત એક્સ), અને તે તરફ દોરી જતી કામગીરી, એટલે કે રેન્ડમ ચલમાંથી તેની ગાણિતિક અપેક્ષા બાદબાકી કરવી, કહેવાય છે કેન્દ્રીકરણ. જેમ આપણે પછી જોઈશું, આ ખ્યાલ અને આ કામગીરી સમગ્ર અભ્યાસક્રમ દરમિયાન ઉપયોગી થશે. નોંધ કરો કે ઓર્ડરની કેન્દ્રીય ક્ષણ k>1ને ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ) તરીકે ગણી શકાય. k-કેન્દ્રિત SV ની મી ડિગ્રી: .

ચાલો નીચલા ઓર્ડરના કેન્દ્રિય ક્ષણોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ. શૂન્ય ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ બરાબર છે

, અલગ SVs માટે;

, સતત એસવી માટે;

એટલે કે કોઈપણ SV માટે અને આ SV ના આંકડાકીય ગુણધર્મો વિશે કોઈ માહિતી ધરાવતું નથી.

પ્રથમ ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ (અથવા પ્રથમ કેન્દ્રીય ક્ષણ) બરાબર છે

અલગ SV માટે;

સતત સીબી માટે; એટલે કે કોઈપણ SV માટે અને આ SV ના આંકડાકીય ગુણધર્મો વિશે કોઈ માહિતી ધરાવતું નથી.

સેકન્ડ ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ (અથવા સેકન્ડ સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ) બરાબર છે

, અલગ SV માટે;

, સતત SV માટે.

નીચે સ્પષ્ટ થશે તેમ, આ બિંદુ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીનું એક છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ SV મૂલ્યોના વિક્ષેપ (અથવા વિક્ષેપ) ના માપદંડ તરીકે થાય છે, તેથી તેને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે. વિખેરવુંઅને નિયુક્ત થયેલ છે ડીએક્સ. નોંધ કરો કે આને કેન્દ્રિય SV ના સરેરાશ ચોરસ તરીકે સમજી શકાય છે.

ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ (ત્રીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ) બરાબર છે

કેન્દ્રીય ક્ષણોને વિતરણ ક્ષણો કહેવામાં આવે છે, જ્યારે ગણતરી કરતી વખતે આપેલ શ્રેણીના અંકગણિત સરેરાશમાંથી વિકલ્પોના વિચલનને પ્રારંભિક મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે.

1. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ ઓર્ડરની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

2. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટની ગણતરી કરો:

અંતરાલો વચ્ચેની કિંમત ક્યાં છે;

આ એક ભારિત સરેરાશ છે;

Fi એ મૂલ્યોની સંખ્યા છે.

3. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

અંતરાલો વચ્ચેની કિંમત ક્યાં છે; - આ ભારિત સરેરાશ છે; - મૂલ્યોની ફાઈ-સંખ્યા.

4. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

અંતરાલો વચ્ચેની કિંમત ક્યાં છે; - આ ભારિત સરેરાશ છે; - મૂલ્યોની ફાઈ-સંખ્યા.

કોષ્ટક 3.2 માટે ગણતરી

કોષ્ટક 3.4 માટે ગણતરી

1. ફોર્મ્યુલા (7.1) નો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ-ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

2. ફોર્મ્યુલા (7.2) નો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટની ગણતરી કરો:

3. ફોર્મ્યુલા (7.3) નો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

4. ફોર્મ્યુલા (7.4) નો ઉપયોગ કરીને ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

કોષ્ટક 3.6 માટે ગણતરી

1. ફોર્મ્યુલા (7.1) નો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ-ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

2. ફોર્મ્યુલા (7.2) નો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટની ગણતરી કરો:

3. ફોર્મ્યુલા (7.3) નો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

4. ફોર્મ્યુલા (7.4) નો ઉપયોગ કરીને ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

ત્રણ સમસ્યાઓ માટે ઓર્ડર 1, 2, 3, 4 ની ક્ષણોની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. જ્યાં અસમપ્રમાણતાની ગણતરી કરવા માટે ત્રીજા ક્રમની ક્ષણની જરૂર હોય છે, અને કુર્ટોસિસની ગણતરી કરવા માટે ચોથા ક્રમની ક્ષણની જરૂર હોય છે.

વિતરણ અસમપ્રમાણતાની ગણતરી

આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં, વિવિધ વિતરણોનો સામનો કરવો પડે છે. નીચેના પ્રકારના વિતરણ વણાંકો છે:

· એકલ-શિરોબિંદુ વણાંકો: સપ્રમાણતા, સાધારણ અસમપ્રમાણ અને અત્યંત અસમપ્રમાણતા;

· મલ્ટિવર્ટેક્સ વણાંકો.

સજાતીય વસ્તી, એક નિયમ તરીકે, એકલ-શિરોબિંદુ વિતરણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. મલ્ટિવર્ટેક્સ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીની વિવિધતા સૂચવે છે. બે અથવા વધુ શિરોબિંદુઓનો દેખાવ વધુ એકરૂપ જૂથોને ઓળખવા માટે ડેટાને ફરીથી જૂથબદ્ધ કરવું જરૂરી બનાવે છે.

વિતરણની સામાન્ય પ્રકૃતિના નિર્ધારણમાં તેની એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકન, તેમજ અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસના સૂચકાંકોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. સપ્રમાણ વિતરણો માટે, વિતરણ કેન્દ્રની બંને બાજુએ સમાન રીતે સ્થિત કોઈપણ બે વિકલ્પોની ફ્રીક્વન્સી એકબીજાની સમાન હોય છે. આવા વિતરણો માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ, મોડ અને મધ્યક પણ સમાન છે.

માપનના વિવિધ એકમો સાથે અનેક વિતરણોની અસમપ્રમાણતાનો તુલનાત્મક રીતે અભ્યાસ કરતી વખતે, સંબંધિત અસમપ્રમાણતા સૂચક () ની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

ભારિત સરેરાશ ક્યાં છે; મો-ફેશન; - રુટ સરેરાશ ચોરસ ભારિત વિક્ષેપ; મી-મધ્યમ.

તેનું મૂલ્ય હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે જમણી બાજુની અસમપ્રમાણતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, અને બીજામાં, ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા વિશે.

જમણી બાજુની અસમપ્રમાણતા સાથે Mo>Me >x. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતો (અસમપ્રમાણતાના સૂચક તરીકે) આપેલ શ્રેણીના ક્યુબ્ડના પ્રમાણભૂત વિચલન માટે ત્રીજા ક્રમના કેન્દ્રીય ક્ષણનો ગુણોત્તર છે:

ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ ક્યાં છે; - પ્રમાણભૂત વિચલન ક્યુબ્ડ.

આ સૂચકનો ઉપયોગ માત્ર અસમપ્રમાણતાની તીવ્રતા નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે, પરંતુ સામાન્ય વસ્તીમાં તેની હાજરી પણ તપાસે છે. તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે 0.5 (ચિહ્નને ધ્યાનમાં લીધા વિના) કરતાં વધુની વિકૃતિને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે; જો તે 0.25 કરતા ઓછું હોય, તો તે નજીવું છે.

મહત્વનું મૂલ્યાંકન સરેરાશ ચોરસ ભૂલ, અસમપ્રમાણતા ગુણાંક (), જે અવલોકનો (n) ની સંખ્યા પર આધારિત છે અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે તેના આધારે કરવામાં આવે છે:

જ્યાં n એ અવલોકનોની સંખ્યા છે.

આ કિસ્સામાં, અસમપ્રમાણતા નોંધપાત્ર છે અને વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાનું વિતરણ અસમપ્રમાણ છે. નહિંતર, અસમપ્રમાણતા નજીવી છે અને તેની હાજરી રેન્ડમ સંજોગોને કારણે થઈ શકે છે.

કોષ્ટક 3.2 માટે ગણતરીસરેરાશ માસિક પગાર દ્વારા વસ્તીનું જૂથીકરણ, ઘસવું.

ડાબી બાજુની, નોંધપાત્ર અસમપ્રમાણતા.

કોષ્ટક 3.4 માટે ગણતરીરિટેલ ટર્નઓવર, મિલિયન રુબેલ્સ દ્વારા સ્ટોર્સનું જૂથીકરણ.

1. ચાલો ફોર્મ્યુલા (7.5) નો ઉપયોગ કરીને અસમપ્રમાણતા નક્કી કરીએ:

જમણી બાજુની, નોંધપાત્ર અસમપ્રમાણતા.

કોષ્ટક 3.6 માટે ગણતરીજાહેર પરિવહનના નૂર ટર્નઓવર દ્વારા પરિવહન સંસ્થાઓનું જૂથીકરણ (મિલિયન t.km)

1. ચાલો ફોર્મ્યુલા (7.5) નો ઉપયોગ કરીને અસમપ્રમાણતા નક્કી કરીએ:

જમણી બાજુની, સહેજ અસમપ્રમાણતા.

વિતરણના કુર્ટેસની ગણતરી

સપ્રમાણ વિતરણો માટે, કુર્ટોસિસ ઇન્ડેક્સ () ની ગણતરી કરી શકાય છે:

ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ ક્યાં છે; - ચોથી શક્તિ માટે પ્રમાણભૂત વિચલન.

કોષ્ટક 3.2 માટે ગણતરીસરેરાશ માસિક પગાર દ્વારા વસ્તીનું જૂથીકરણ, ઘસવું.

કોષ્ટક 3.4 માટે ગણતરીરિટેલ ટર્નઓવર, મિલિયન રુબેલ્સ દ્વારા સ્ટોર્સનું જૂથીકરણ.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુર્ટોસિસ સૂચકની ગણતરી કરીએ (7.7)

પીક વિતરણ.

કોષ્ટક 3.6 માટે ગણતરીજાહેર પરિવહનના નૂર ટર્નઓવર દ્વારા પરિવહન સંસ્થાઓનું જૂથીકરણ (મિલિયન t.km)

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુર્ટોસિસ સૂચકની ગણતરી કરીએ (7.7)

ફ્લેટ ટોપ વિતરણ.

વસ્તીની એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકન

કોષ્ટક 3.2 માટે એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકનસરેરાશ માસિક પગાર દ્વારા વસ્તીનું જૂથીકરણ, ઘસવું.

એ નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા અને કુર્ટોસિસના સૂચકાંકો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાના વિતરણના સ્વરૂપને સીધી રીતે દર્શાવતા હોવા છતાં, તેમની વ્યાખ્યામાં માત્ર વર્ણનાત્મક મહત્વ નથી. ઘણીવાર અસમપ્રમાણતા અને કુર્ટોસિસ સામાજિક-આર્થિક ઘટનાના વધુ સંશોધન માટે ચોક્કસ સંકેતો આપે છે. પ્રાપ્ત પરિણામ અસમપ્રમાણતાની હાજરી સૂચવે છે જે તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર છે અને પ્રકૃતિમાં નકારાત્મક છે તે નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા ડાબી બાજુ છે. વધુમાં, વસ્તીમાં ફ્લેટ-ટોપ વિતરણ છે.

કોષ્ટક 3.4 માટે એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકનરિટેલ ટર્નઓવર, મિલિયન રુબેલ્સ દ્વારા સ્ટોર્સનું જૂથીકરણ.

પ્રાપ્ત પરિણામ અસમપ્રમાણતાની હાજરી સૂચવે છે જે તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર છે અને પ્રકૃતિમાં હકારાત્મક છે તે નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા જમણી બાજુ છે. અને વસ્તીમાં તીવ્ર-શિરોબિંદુ વિતરણ પણ છે.

કોષ્ટક 3.6 માટે એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકનજાહેર પરિવહનના નૂર ટર્નઓવર દ્વારા પરિવહન સંસ્થાઓનું જૂથીકરણ (મિલિયન t.km)

પ્રાપ્ત પરિણામ અસમપ્રમાણતાની હાજરી સૂચવે છે જે તીવ્રતામાં નજીવી છે અને પ્રકૃતિમાં હકારાત્મક છે તે નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા જમણી બાજુ છે; વધુમાં, વસ્તીમાં ફ્લેટ-ટોપ વિતરણ છે.