રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ મંત્રાલય

મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી

ડિઝાઇન અને ટેકનોલોજી

ભૌતિકશાસ્ત્ર વિભાગ

સીએમ રઝિનોવા, વી.જી. સિડોરોવ

રુધિરકેશિકાઓમાં પ્રવાહી વધારવાની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રવાહીના સપાટીના તાણના ગુણાંકનું પરમાણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર નિર્ધારણ

પ્રયોગશાળાના કાર્ય માટે માર્ગદર્શિકા નંબર 23

શિક્ષણ સહાય તરીકે મંજૂર

MGUDT ની સંપાદકીય અને પ્રકાશન પરિષદ

આરઆઈએસ કોઝલોવના ક્યુરેટર એ.એસ.

ભૌતિકશાસ્ત્ર વિભાગની બેઠકમાં કામની સમીક્ષા કરવામાં આવી હતી અને પ્રકાશન માટે ભલામણ કરવામાં આવી હતી.

સિદોરોવ વી.જી., સહયોગી પ્રોફેસર પીએચ.ડી.

સમીક્ષક: એસો. રોડે એસ.વી., પીએચ.ડી.

આર-23 રઝિનોવા એસ.એમ.મોલેક્યુલર ફિઝિક્સ.રુધિરકેશિકાઓમાં પ્રવાહી વધારવાની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રવાહીના સપાટીના તાણના ગુણાંકનું નિર્ધારણ.: પ્રયોગશાળાના કામ માટે પદ્ધતિસરની સૂચનાઓ નંબર 23 / રઝિનોવા એસ.એમ., સિડોરોવ વી.જી. - એમ.: IITs MGUDT, 2004 – 11 પાના.

"રુધિરકેશિકાઓમાં પ્રવાહી વધારવાની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રવાહીના સપાટીના તાણના ગુણાંકનું નિર્ધારણ" વિષય પર પ્રયોગશાળાના કાર્ય નંબર 23 કરવા માટેની માર્ગદર્શિકા, સપાટીના તણાવ દળોના અભિવ્યક્તિને સમર્પિત સૈદ્ધાંતિક વિભાગ ધરાવે છે. વધારાના દબાણની ઘટના અને તેના મૂલ્યની ગણતરી, પ્રવાહી અને નક્કર શરીરની સીમા પરની ઘટના, તેમજ ઇન્સ્ટોલેશન અને માપનના સિદ્ધાંતનું વર્ણન, કાર્ય કરવા માટેની પ્રક્રિયા, પ્રવેશ માટેના નિયંત્રણ પ્રશ્નો અને પ્રયોગશાળાના કાર્યનું રક્ષણ.

વિશેષતાના વિદ્યાર્થીઓ માટે રચાયેલ: 06.08, 17.07, 21.02, 22.03, 25.06, 25.08, 25.09, 28.10, 28.11, 28.12, 33.02.

© મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી

ડિઝાઇન અને ટેકનોલોજી, 2004

લેબોરેટરી વર્ક નંબર 23.

“રુધિરકેશિકાઓમાં પ્રવાહી વધવાની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રવાહીના સપાટીના તાણ ગુણાંકનું નિર્ધારણ.”

કાર્યનો હેતુ: સપાટીના તાણની ઘટનાના સૈદ્ધાંતિક પાયા અને સપાટીના તાણ ગુણાંકના નિર્ધારણ સાથે પરિચિતતા.

ઉપકરણો અને એસેસરીઝ: માપવા માટેનું માઇક્રોસ્કોપ, પાણી સાથેનું પાત્ર, બે રુધિરકેશિકાઓ, ધારક સાથે ત્રપાઈ.

પરિચય

1. પાણીની વક્ર સપાટી હેઠળ દબાણ. લેપ્લેસનું સૂત્ર.

સપાટીના તણાવ દળોના અભિવ્યક્તિઓ પૈકી એક પ્રવાહીની વક્ર સપાટી હેઠળ વધારાના દબાણનો દેખાવ છે.

ચાલો તે પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના દ્વારા આ દબાણ ઉદભવે છે અને તેની કિંમતની ગણતરી કરીએ.

ચાલો વક્રતા R ની ત્રિજ્યા સાથેની વક્ર ગોળાકાર સપાટીની કલ્પના કરીએ અને O બિંદુ પર વક્રતાનું કેન્દ્ર કરીએ. ચાલો આ સપાટી પર ત્રિજ્યા r (ફિગ. 1) સાથે ગોળાકાર સમોચ્ચ દ્વારા બંધાયેલ વિભાગ પસંદ કરીએ. દરેક કોન્ટૂર સેગમેન્ટ માટે સપાટીના તાણ બળ F  હું કાર્ય કરીશ, સમોચ્ચ સેગમેન્ટની કાટખૂણે સપાટી પર સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત .

બળ ઘટક F  i, ક્ષેત્ર S= r 2 સાથે ત્રિજ્યા r ની ક્રોસ-વિભાગીય સપાટીને લંબ હોવાને કારણે વધારાનું દબાણ સર્જાય છે.

.

સરફેસ ટેન્શન ફોર્સ F ને સપાટીના તાણ ગુણાંકની વ્યાખ્યા પરથી F= તરીકે દર્શાવી શકાય છે. = 2 r , પછી

.

ત્યારથી cos=r/R, પછી

જો સૂત્ર (1) માં આપણે ત્રિજ્યા R ને બદલે સપાટીની વક્રતા H=1/R નું મૂલ્ય બદલીએ, તો આપણે મેળવીએ છીએ:

લેપ્લેસે સાબિત કર્યું કે ફોર્મ્યુલા (2) કોઈપણ આકારની સપાટી માટે છે, જો H દ્વારા અમારો અર્થ એ છે કે જે બિંદુ પર વધારાનું દબાણ નિર્ધારિત થાય છે તે સપાટીની સરેરાશ વક્રતા. ભૂમિતિમાં તે સાબિત થાય છે કે સમાન જથ્થો

, (3)

મનસ્વી સપાટી પરના બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલા પરસ્પર લંબરૂપ સામાન્ય વિભાગોની કોઈપણ જોડી માટે સ્થિર રહે છે. આ મૂલ્યને આપેલ બિંદુએ સપાટીની સરેરાશ વક્રતા કહેવામાં આવે છે. વક્રતાનું કેન્દ્ર ક્યાં છે તેના આધારે ત્રિજ્યા R 1 અને R 2 માં વિવિધ ચિહ્નો હોઈ શકે છે: જો વક્રતાનું કેન્દ્ર સપાટીની નીચે આવેલું છે (ફિગ. 2, a), તો ત્રિજ્યા હકારાત્મક છે, સપાટીના તાણ બળના ઘટકો નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તેથી, વધારાનું દબાણ બળ પણ નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે; જો વક્રતાનું કેન્દ્ર સપાટીની ઉપર આવેલું છે (ફિગ. 2, b), તો ત્રિજ્યા નકારાત્મક છે, સપાટીના તણાવ દળોના ઘટકો ઉપરની તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવશે, અને તેઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત દબાણ બળ બનાવે છે. સપાટ સપાટીના કિસ્સામાં (ફિગ. 2, c), ત્યાં કોઈ વધારાનું દબાણ હોતું નથી (સપાટી પરના તાણ બળના સ્પર્શકને તેની પર લંબરૂપ ઘટક હોતું નથી).

જો આપણે (3) ને સૂત્ર (2) માં બદલીએ, તો આપણને મળશે:

(4)

આ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે લેપ્લેસના ફોર્મ્યુલા, તે પ્રવાહીની મનસ્વી રીતે વક્ર સપાટી હેઠળ ઉદ્ભવતા વધારાના દબાણની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

2. પ્રવાહી અને ઘન વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ પર ઘટના. જ્યારે પ્રવાહી અને ઘન ઘન સાથે સંપર્કમાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીના પરમાણુઓ વચ્ચેના ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દળો અને પ્રવાહી અને ઘન વચ્ચેના અણુઓ વચ્ચેના ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દળોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. જો પ્રવાહી અને નક્કર શરીરના સંલગ્નતા દળો પ્રવાહી કણોના સંલગ્નતા દળો કરતા વધારે હોય, તો પ્રવાહી કહેવામાં આવે છેભીનાશ નક્કર શરીર આપવામાં આવે છે, જો ઊલટું, તો પ્રવાહી હશેઆ શરીર છે. એક જ શરીરને એક પ્રવાહીથી ભીનું કરી શકાય છે અને બીજા પ્રવાહીથી ભીનું થતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કાચ પાણીથી ભીનો થાય છે અને પારોથી ભીનો થતો નથી.

ચાલો જોઈએ કે જહાજની દિવાલોની નજીક ભીનું પ્રવાહી કેવી રીતે વર્તે છે (ફિગ. 3, એ). ચાલો પરમાણુની દિવાલની સૌથી નજીકની પ્રવાહી સપાટીની પરમાણુ ક્રિયાના ગોળાને ધ્યાનમાં લઈએ. આ પરમાણુ પર F 1 દળો દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવશે - ઘન શરીરના અણુઓમાંથી અને F 2 - પ્રવાહીના અણુઓમાંથી. ભીના પ્રવાહી F 1 F 2 માટે, પરિણામી F તેની સપાટી પર કાટખૂણે, પ્રવાહીમાં ઊંડે દિશામાન થશે, તેથી દિવાલની નજીકના પ્રવાહીની સપાટી આડી નથી, પરંતુ ઉપરની તરફ વળે છે. ભીનાશ વગરના પ્રવાહીના કિસ્સામાં, સાદ્રશ્ય દ્વારા, દિવાલોની નજીકના પ્રવાહીની સપાટી ઉપરની તરફ વળે છે (ફિગ. 3, બી). તેથી, દિવાલોની નજીક મુક્ત પ્રવાહીની સપાટી વક્ર છે.

પ્રવાહીની ભીનાશતાની ડિગ્રી સંપર્ક કોણ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે પ્રવાહીની સપાટી અને ઘન સપાટીના સ્પર્શકો વચ્ચેના કોણની બરાબર છે.ભીનાશના કિસ્સામાં, આ કોણ (ફિગ. 3, એ), જો, પછી પ્રવાહી દ્વારા નક્કર શરીરના સંપૂર્ણ ભીનાશની વાત કરે છે. બિન-ભીનાશના કિસ્સામાં, ધારનો કોણ સ્થૂળ છે: (ફિગ. 3, બી), જો, પછી તેઓ સંપૂર્ણ બિન-ભીનાશની વાત કરે છે.

આકૃતિ 4, a આડી સપાટી પર ભીના પ્રવાહીના ટીપાનું દૃશ્ય દર્શાવે છે, આકૃતિ 4, b - પ્રવાહીના ટીપાનું દૃશ્ય જે સપાટીને ભીનું કરતું નથી.

3. કેપિલેરિટી.જો વિશાળ પાઇપ પ્રવાહીમાં ડૂબી જાય, તો ફિગ અનુસાર. 3, દિવાલોની નજીકના પ્રવાહીની સપાટી વળાંક આવશે. આ પ્રકારની વક્ર સપાટીઓને મેનિસ્કી કહેવામાં આવે છે.

જો ટ્યુબ પૂરતી સાંકડી હોય, તો મેનિસ્કસની સપાટી ગોળાકાર આકાર લેશે, અથવા તેની સૌથી નજીક હશે, અને પ્રવાહી સપાટીની વક્રતાની ત્રિજ્યા ટ્યુબની ત્રિજ્યા જેટલી જ હશે. પ્રવાહી સપાટીની પરિણામી વક્રતા વધારાના દબાણના દેખાવનું કારણ બનશે, જેની તીવ્રતા લેપ્લેસના સૂત્ર (4) દ્વારા સૌથી સામાન્ય કિસ્સામાં નક્કી કરવામાં આવે છે. ભીનાશના કિસ્સામાં પરિણામી વધારાના દબાણ તરફ દોરી જશે પ્રવાહીના ઉદય સુધીસાંકડી ટ્યુબમાં ચોક્કસ ઊંચાઈ સુધી (ફિગ. 5, એ), અને ભીનાશ ન હોવાના કિસ્સામાં - તેના ઘટાડા માટે(Fig.5, b).

ચાલો આ ઘટનાને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ.

જો, ઉદાહરણ તરીકે, ટ્યુબમાં પ્રવાહી ભીનું થઈ રહ્યું છે, તો મેનિસ્કસની સપાટી હેઠળના પ્રવાહીનું વધારાનું દબાણ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવશે (ફિગ. 2, બી), અને (1) અનુસાર તેનું મૂલ્ય સમાન હશે. થી

જ્યાં  એ સપાટીના તાણ ગુણાંક છે, R એ પ્રવાહી સપાટીની વક્રતાની ત્રિજ્યા છે (ઉપર જણાવ્યા મુજબ, સાંકડી નળીમાં પ્રવાહી સપાટીને ત્રિજ્યા R ના ગોળાના ભાગ તરીકે ગણી શકાય).

જે વાસણમાં ટ્યુબને નીચું કરવામાં આવે છે તેમાં, સપાટ સપાટી હેઠળ વધારાનું દબાણ શૂન્ય હોય છે, ટ્યુબમાં પ્રવાહી એટલી ઊંચાઈએ વધે છે કે જેના પર પ્રવાહી સ્તંભનું હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ લેપ્લેસ વધારાના દબાણ p ને સંતુલિત કરે છે. h ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા બનાવેલ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ gh બરાબર છે, જ્યાં  એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, g એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગક છે, પછી સંતુલન સ્થિતિ આ સ્વરૂપ લેશે:

આકૃતિ (5) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે, જ્યાં  એ ભીનાશનો સંપર્ક કોણ છે, તો સૂત્ર (5) પરથી કોઈ સાંકડી નળી સાથે વધતા પ્રવાહીની ઊંચાઈ h અને ટ્યુબ r ની ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ શોધી શકે છે.

(6) થી તે સ્પષ્ટ છે કે સાંકડી ટ્યુબમાં ઉદયની ઊંચાઈ જેટલી વધારે છે, તેની ત્રિજ્યા ઓછી હોય છે, તેથી પ્રવાહીનો વધારો ખાસ કરીને સાંકડી નળીઓમાં નોંધનીય છે. આવી નળીઓ કહેવામાં આવે છે રુધિરકેશિકાઓ, અને તેમાંના પ્રવાહીને વધારવા અથવા ઘટાડવાની ખૂબ જ ઘટના છે ક્ષમતા.

જણાવેલ સિદ્ધાંતના આધારે, પ્રવાહીના સપાટીના તાણના ગુણાંકને પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવું શક્ય છે.

આ પ્રકરણમાં આપણે બે સતત માધ્યમો વચ્ચેના ઇન્ટરફેસની નજીક બનતી ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરીશું (વાસ્તવમાં, અલબત્ત, સંપર્ક કરતી સંસ્થાઓ સાંકડી સંક્રમણ સ્તર દ્વારા અલગ પડે છે, જે તેની ખૂબ જ નાની જાડાઈને કારણે, સપાટી તરીકે ગણી શકાય. ).

જો બે માધ્યમો વચ્ચેનું ઈન્ટરફેસ વક્ર હોય, તો તેની નજીક બંને માધ્યમોમાં દબાણ અલગ હોય છે. આ દબાણ તફાવત (જેને સપાટીનું દબાણ કહેવાય છે) નક્કી કરવા માટે, અમે તેમના ઇન્ટરફેસના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા, એકબીજા સાથેના બંને શરીરના થર્મોડાયનેમિક સંતુલનની સ્થિતિ લખીશું.

ઇન્ટરફેસને અનંત વિસ્થાપનને આધિન રહેવા દો. અવિસ્થાપિત સપાટીના દરેક બિંદુએ આપણે તેને સામાન્ય દોરીએ છીએ. અવિસ્થાપિત અને વિસ્થાપિત સપાટીઓ સાથે તેના આંતરછેદો વચ્ચે બંધાયેલ સામાન્ય સેગમેન્ટ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે પછી સપાટીઓ વચ્ચે બંધાયેલ અવકાશના દરેક તત્વનું વોલ્યુમ તે છે જ્યાં સપાટીનું તત્વ છે. પહેલા અને બીજા માધ્યમમાં દબાણ રહેવા દો અને જો ઈન્ટરફેસ બીજા માધ્યમ તરફ વિસ્થાપિત થાય તો અમે તેને હકારાત્મક ગણીશું. પછી વોલ્યુમમાં વર્ણવેલ ફેરફાર માટે જે કાર્ય કરવું આવશ્યક છે તે બરાબર છે

સપાટીના વિસ્થાપનનું સંપૂર્ણ કાર્ય અહીં આ સપાટીના ક્ષેત્રમાં જ ફેરફાર સાથે સંકળાયેલ વધુ કાર્ય ઉમેરીને પ્રાપ્ત થશે. કામનો આ ભાગ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફાર માટે પ્રમાણસર છે, જે જાણીતું છે અને તે સમાન છે, જ્યાં a સપાટીનું તણાવ છે. આમ, કુલ કાર્ય બરાબર છે

થર્મોડાયનેમિક સંતુલનની સ્થિતિ નક્કી થાય છે, જેમ કે જાણીતું છે, અદ્રશ્ય થઈને.

પછી સપાટી પરની લંબાઈના તત્વો, તેના મુખ્ય વિભાગોના પ્લેન્સમાં દોરવામાં આવે છે, સપાટીના અનંત વિસ્થાપન સાથે વધારો પ્રાપ્ત કરે છે, જે અનુક્રમે, ત્રિજ્યા સાથેના વર્તુળોના ચાપના ઘટકો તરીકે ગણવામાં આવે છે. તેથી, વિસ્થાપન પછી સપાટીનું તત્વ સમાન હશે

એટલે કે તે રકમ દ્વારા બદલાશે

આના પરથી જોઈ શકાય છે કે ઈન્ટરફેસ વિસ્તારમાં કુલ ફેરફાર છે

પરિણામી સમીકરણોને (61.1) માં બદલીને અને તેમને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, અમે ફોર્મમાં સંતુલન સ્થિતિ મેળવીએ છીએ

આ સ્થિતિ સપાટીના અનિયંત્રિત અનંત વિસ્થાપન માટે સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ, એટલે કે, એક મનસ્વી માટે તેથી, તે જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિન્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ સમાન રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય, એટલે કે.

આ સૂત્ર (લેપ્લેસનું સૂત્ર) છે જે સપાટીના દબાણને નિર્ધારિત કરે છે. આપણે જોઈએ છીએ કે જો હકારાત્મક હોય, તો. આનો અર્થ એ છે કે બે શરીરમાંથી, જેની સપાટી બહિર્મુખ છે તેમાં દબાણ વધારે છે. જો, એટલે કે, ઇન્ટરફેસ સપાટ છે, તો પછી બંને સંસ્થાઓમાં દબાણ, જેમ કે તેઓ હોવા જોઈએ, સમાન છે.

ચાલો આપણે સંપર્ક કરતી સંસ્થાઓના યાંત્રિક સંતુલનનો અભ્યાસ કરવા માટે સૂત્ર (61.3) લાગુ કરીએ. ચાલો આપણે માની લઈએ કે ન તો ઈન્ટરફેસ કે ન તો શરીર પોતે કોઈ બાહ્ય દળોથી પ્રભાવિત થાય છે. પછી દરેક શરીર પર દબાણ સતત રહે છે. ફોર્મ્યુલા (61.3) ને ધ્યાનમાં રાખીને, આપણે ફોર્મમાં સંતુલન સ્થિતિ લખી શકીએ છીએ

(61,4)

આમ, વક્રતાના વ્યસ્ત ત્રિજ્યાનો સરવાળો સમગ્ર મુક્ત ઈન્ટરફેસ સાથે સ્થિર હોવો જોઈએ. જો સમગ્ર સપાટી મુક્ત હોય, તો સ્થિતિ (60.4) નો અર્થ છે કે સપાટીનો ગોળાકાર આકાર હોવો જોઈએ (ઉદાહરણ તરીકે, નાના ટીપાની સપાટી, ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રભાવ જેના પર અવગણના કરી શકાય છે). જો સપાટી અમુક રેખા સાથે નિશ્ચિત હોય (ઉદાહરણ તરીકે, નક્કર ફ્રેમ પર પ્રવાહી ફિલ્મ), તો તેનો આકાર વધુ જટિલ છે.

જ્યારે નક્કર ફ્રેમ સાથે જોડાયેલ પ્રવાહીની પાતળી ફિલ્મોના સંતુલન પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્થિતિ (61.4) જમણી બાજુએ શૂન્ય હોવી આવશ્યક છે. ખરેખર, સરવાળો ફિલ્મની સમગ્ર મુક્ત સપાટી પર સમાન હોવો જોઈએ અને તે જ સમયે તેની બે બાજુઓ પર તેની વિરુદ્ધ ચિહ્ન હોવો જોઈએ, કારણ કે જો એક બાજુ બહિર્મુખ છે, તો બીજી બાજુ વક્રતાની સમાન ત્રિજ્યા સાથે અંતર્મુખ છે. , જે, જો કે, હવે નકારાત્મક ગણવું જોઈએ. તે અનુસરે છે કે પાતળી ફિલ્મ માટે સંતુલન સ્થિતિ છે

ચાલો હવે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં સ્થિત શરીરની સપાટી પર સંતુલનની સ્થિતિનો વિચાર કરીએ. ચાલો આપણે સરળતા માટે માની લઈએ કે બીજું માધ્યમ ખાલી વાતાવરણ છે, જેનું દબાણ શરીરના કદ પર સ્થિર ગણી શકાય. ચાલો આપણે એક અસ્પષ્ટ પ્રવાહીને શરીર તરીકે ગણીએ. પછી આપણી પાસે છે, અને પ્રવાહીમાં દબાણ સમાન છે (z કોઓર્ડિનેટ ઊભી રીતે ઉપરની તરફ માપવામાં આવે છે). આમ, સંતુલન સ્થિતિ સ્વરૂપ લે છે

(61,6)

જો કે, એ નોંધવું જોઈએ કે ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં પ્રવાહી સપાટીના સંતુલન આકારને નિર્ધારિત કરવા માટે, સામાન્ય રીતે સંતુલન સ્થિતિનો ઉપયોગ ફોર્મ (61.6) માં નહીં, પરંતુ લઘુત્તમ મુક્ત ઊર્જાની વિવિધતા સમસ્યાને સીધી રીતે ઉકેલવા દ્વારા અનુકૂળ છે. . પ્રવાહીની આંતરિક મુક્ત ઊર્જા માત્ર વોલ્યુમ પર આધારિત છે, પરંતુ સપાટીના આકાર પર નહીં. પ્રથમ, સપાટી મુક્ત ઊર્જા આકાર પર આધાર રાખે છે

અને, બીજું, બાહ્ય ક્ષેત્રમાં ઊર્જા (ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર), સમાન

આમ, સંતુલન સ્થિતિ ફોર્મમાં લખી શકાય છે

વધારાની શરત હેઠળ લઘુત્તમનું નિર્ધારણ કરવું આવશ્યક છે

(61,8)

પ્રવાહીના કુલ જથ્થાની સ્થિરતા વ્યક્ત કરે છે.

સ્થિરાંકો માત્ર ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં સંતુલન સ્થિતિમાં (61.6-7) દાખલ થાય છે. આ ગુણોત્તર લંબાઈના ચોરસનું પરિમાણ ધરાવે છે. લંબાઈ

કેશિલરી કોન્સ્ટન્ટ કહેવાય છે. પ્રવાહી સપાટીનો આકાર ફક્ત આ જથ્થા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો રુધિરકેશિકા સતત મોટી હોય (શરીરના કદની તુલનામાં), તો સપાટીનો આકાર નક્કી કરતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની અવગણના કરી શકાય છે.

સ્થિતિ (61.4) અથવા (61.6) પરથી સપાટીના આકારને નિર્ધારિત કરવા માટે, સપાટીના આકારના આધારે વક્રતાની ત્રિજ્યા નક્કી કરતા સૂત્રો હોવા જરૂરી છે. આ સૂત્રો વિભેદક ભૂમિતિથી જાણીતા છે, પરંતુ સામાન્ય કિસ્સામાં તેઓ એક જગ્યાએ જટિલ સ્વરૂપ ધરાવે છે. જ્યારે સપાટીનો આકાર સપાટથી થોડો વિચલિત થાય છે ત્યારે તેઓ મોટા પ્રમાણમાં સરળ બને છે. વિભેદક ભૂમિતિના સામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યા વિના, અમે અહીં સીધા અનુરૂપ અંદાજિત સૂત્ર મેળવીશું.

ચાલો સપાટીનું સમીકરણ હોઈએ; આપણે માની લઈએ છીએ કે દરેક જગ્યાએ નાની છે, એટલે કે સપાટી પ્લેનથી સહેજ વિચલિત થાય છે, જેમ જાણીતું છે, સપાટીનો વિસ્તાર f અવિભાજ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

અથવા લગભગ નાનામાં

ચાલો વિવિધતા વ્યાખ્યાયિત કરીએ

ભાગો દ્વારા એકીકરણ, અમે શોધીએ છીએ:

(61.2) સાથે આ અભિવ્યક્તિની તુલના કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

આ જરૂરી સૂત્ર છે જે નબળી વક્ર સપાટીની વક્રતાના વ્યસ્ત ત્રિજ્યાનો સરવાળો નક્કી કરે છે.

જ્યારે એકબીજાના સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ તબક્કાઓ સંતુલનમાં હોય છે, ત્યારે તેમના ઇન્ટરફેસ એવી રીતે સેટ કરવામાં આવે છે કે ત્રણેય માધ્યમોના સંપર્કની સામાન્ય રેખા પર કાર્ય કરતા ત્રણ સપાટીના તણાવ દળોનું પરિણામ શૂન્ય સમાન હોય છે. આ સ્થિતિ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે ઇન્ટરફેસો સપાટીના તણાવ મૂલ્યો દ્વારા નિર્ધારિત ખૂણાઓ (કહેવાતા સંપર્ક ખૂણા) પર એકબીજાને છેદે છે.

છેલ્લે, ચાલો આપણે સીમાની સ્થિતિના મુદ્દા પર ધ્યાન આપીએ જે સપાટીના તાણ દળોને ધ્યાનમાં લેતી વખતે બે ફરતા પ્રવાહીની સીમા પર અવલોકન કરવું આવશ્યક છે. જો સપાટીના તણાવને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે, તો પછી બે પ્રવાહીની સીમા પર આપણી પાસે છે:

જે બંને પ્રવાહીની સપાટી પર કાર્ય કરતા ઘર્ષણ દળોની સમાનતા દર્શાવે છે. સપાટીના તાણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, આ સ્થિતિની જમણી બાજુએ વધારાનું બળ લખવું જરૂરી છે, જે લેપ્લેસના સૂત્ર દ્વારા તીવ્રતામાં નિર્ધારિત અને સપાટી પર સામાન્ય નિર્દેશિત છે:

નહિંતર, તમે આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખી શકો છો

સ્થિતિ (61.13), જોકે, હજુ સુધી સૌથી સામાન્ય નથી. હકીકત એ છે કે સપાટીના તાણ ગુણાંક a સપાટી સાથે સ્થિર ન હોઈ શકે (ઉદાહરણ તરીકે, તાપમાનની પરિવર્તનશીલતાના પરિણામે). પછી, સામાન્ય બળ (સપાટ સપાટીના કિસ્સામાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે) સાથે, કેટલાક વધારાના બળ દેખાય છે, જે સપાટી પર સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત થાય છે. કેવી રીતે અસમાન દબાણ સાથે વોલ્યુમેટ્રિક બળ (એકમ જથ્થા દીઠ) સમાન દેખાય છે તેના જેવું જ - અહીં આપણી પાસે ઇન્ટરફેસના એકમ ક્ષેત્ર દીઠ કામ કરતી સ્પર્શક બળ માટે છે,

આપણે અહીં ઢાળને તેની આગળ વત્તા ચિહ્ન સાથે લખીએ છીએ, અને ઓછા ચિહ્ન સાથે નહીં, કારણ કે અમલમાં છે - એ હકીકતને કારણે કે સપાટીના તાણના દળો સપાટીના વિસ્તારને ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે, જ્યારે દબાણ દળોના વોલ્યુમમાં વધારો કરે છે. શરીર સમાનતા (61.13) ની જમણી બાજુએ આ બળ ઉમેરીને, આપણે સીમાની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ

(એકમ સામાન્ય વેક્ટર પ્રથમ પ્રવાહીમાં નિર્દેશિત થાય છે). નોંધ કરો કે આ સ્થિતિ ફક્ત ચીકણું પ્રવાહી માટે જ સંતોષી શકાય છે. ખરેખર, એક આદર્શ પ્રવાહી માટે, પછી સમાનતાની ડાબી બાજુ (61.14) સામાન્ય સાથે નિર્દેશિત વેક્ટર હશે, અને જમણી બાજુ સપાટી પર સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત વેક્ટર હશે. પરંતુ આવી સમાનતા અશક્ય છે (અલબત્ત, તુચ્છ કેસ સિવાય જ્યારે આ જથ્થાઓ દરેક વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય સમાન હોય છે).

જ્યારે પર્યાપ્ત મોટા હોય, ત્યારે બર્નૌલીનું સૂત્ર બોજારૂપ ગણતરીઓ પેદા કરે છે. તેથી, આવા કિસ્સાઓમાં, લેપ્લેસના સ્થાનિક પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે.

પ્રમેય(સ્થાનિક લેપ્લેસ પ્રમેય). જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના p સતત અને 0 અને 1 થી અલગ હોય, તો સંભાવના
હકીકત એ છે કે ઘટના A n સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં બરાબર k વખત દેખાશે તે કાર્યના મૂલ્યની લગભગ સમાન છે:

,

.

ત્યાં કોષ્ટકો છે જેમાં કાર્ય મૂલ્યો સ્થિત છે
, હકારાત્મક મૂલ્યો માટે x.

નોંધ કરો કે કાર્ય
સમ

તેથી, n ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A દેખાશે તેવી સંભાવના બરાબર k ગણા લગભગ બરાબર છે

, ક્યાં
.

ઉદાહરણ.પ્રાયોગિક ક્ષેત્રે 1500 બીજ વાવવામાં આવ્યા હતા. જો દાણા ફૂટવાની સંભાવના 0.9 હોય તો રોપાઓ 1200 બીજ ઉત્પન્ન કરશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.

લેપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય

સંભવિતતા કે નિરપેક્ષ અજમાયશમાં ઘટના A ઓછામાં ઓછી k1 વખત અને વધુમાં વધુ k2 વખત દેખાશે તેની ગણતરી લેપ્લેસના અભિન્ન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય(લાપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય). જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના a ની સંભાવના p સતત અને 0 અને 1 થી અલગ હોય, તો ઘટના A ઓછામાં ઓછી k 1 વખત અને n ટ્રાયલ્સમાં k 2 કરતા વધુ વખત દેખાશે તેવી સંભાવના લગભગ સમાન છે. ચોક્કસ અભિન્ન મૂલ્ય:

.

કાર્ય
લેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શન કહેવાય છે, તે વિચિત્ર છે અને તેનું મૂલ્ય કોષ્ટકમાં હકારાત્મક મૂલ્યો x માટે જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ.પ્રયોગશાળામાં, 90% અંકુરણ દર સાથેના બીજના બેચમાંથી, 600 બીજ વાવવામાં આવ્યા હતા, જે અંકુરિત થયા હતા, 520 કરતા ઓછા નહીં અને 570 કરતા વધુ નહીં.

ઉકેલ.

પોઈસનનું સૂત્ર

n સ્વતંત્ર અજમાયશ કરવા દો, દરેક અજમાયશમાં ઘટના A બનવાની સંભાવના સ્થિર અને p જેટલી છે. જેમ આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બરાબર k વખત શોધી શકાય છે. જ્યારે n પૂરતો મોટો હોય, ત્યારે લેપ્લેસના સ્થાનિક પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે. જો કે, આ સૂત્ર અયોગ્ય છે જ્યારે દરેક અજમાયશમાં ઘટનાની સંભાવના ઓછી હોય અથવા 1 ની નજીક હોય. અને જ્યારે p=0 અથવા p=1 તે બિલકુલ લાગુ પડતું નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, પોઈસનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો.

પ્રમેય(પોઇસનનું પ્રમેય). જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના p સ્થિર હોય અને 0 અથવા 1 ની નજીક હોય, અને અજમાયશની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય, તો n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A બરાબર k વખત દેખાશે તેવી સંભાવના સૂત્ર:

.

ઉદાહરણ.હસ્તપ્રત એક હજાર પાનાની ટાઈપલિખિત ટેક્સ્ટ છે અને તેમાં એક હજાર ટાઈપો છે. અવ્યવસ્થિત રીતે લીધેલા પૃષ્ઠમાં ઓછામાં ઓછી એક ટાઈપો હોય તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.

પ્રશ્નોમાટે સ્વ-પરીક્ષણો

ઘટનાની સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા ઘડવી.

સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર માટે રાજ્ય પ્રમેય.

ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથને વ્યાખ્યાયિત કરો.

કુલ સંભાવના માટે સૂત્ર લખો.

બેયસનું સૂત્ર લખો.

બર્નૌલીનું સૂત્ર લખો.

પોઈસનનું સૂત્ર લખો.

સ્થાનિક લેપ્લેસ સૂત્ર લખો.

લેપ્લેસનું અભિન્ન સૂત્ર લખો.

વિષય 13. રેન્ડમ ચલ અને તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

સાહિત્ય:,,,,,.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ખ્યાલોમાંની એક રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ છે. આ ચલ જથ્થા માટેનું સામાન્ય નામ છે જે કેસના આધારે તેના મૂલ્યો લે છે. રેન્ડમ ચલો બે પ્રકારના હોય છે: અલગ અને સતત. રેન્ડમ ચલો સામાન્ય રીતે X,Y,Z તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

રેન્ડમ વેરીએબલ Xને સતત (અલગ) કહેવામાં આવે છે જો તે માત્ર મર્યાદિત અથવા ગણી શકાય તેવી સંખ્યા લઈ શકે. એક અલગ રેન્ડમ ચલ X વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યો x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (જેની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે) અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ p 1 , p 2 , p 3, ... p ને n આપવામાં આવે છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો સામાન્ય રીતે કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે:

પ્રથમ લીટીમાં રેન્ડમ ચલ X ના સંભવિત મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે, અને બીજી લીટી આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ દર્શાવે છે. સંભાવનાઓનો સરવાળો કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ X તેના તમામ મૂલ્યો લે છે તે એક સમાન છે, એટલે કે

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ કાયદાને ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, બિંદુઓ M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) લંબચોરસમાં બાંધવામાં આવે છે. સંકલન સિસ્ટમ અને સીધા સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જોડાયેલ પરિણામી આકૃતિને રેન્ડમ ચલ Xનું વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.અલગ મૂલ્ય X નીચેના વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

તેની ગણતરી કરવી જરૂરી છે: a) ગાણિતિક અપેક્ષા M(X), b) ભિન્નતા D(X), c) પ્રમાણભૂત વિચલન σ.

ઉકેલ . a) એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) એ આ સંભવિત મૂલ્યોની અનુરૂપ સંભાવનાઓ દ્વારા રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના જોડીવાઇઝ ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે. જો કોષ્ટક (1) નો ઉપયોગ કરીને એક અલગ રેન્ડમ ચલ X નો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હોય, તો ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)

ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) ને રેન્ડમ ચલ X નું સરેરાશ મૂલ્ય પણ કહેવામાં આવે છે. (2) લાગુ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

M(X)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

b) જો M(X) એ રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા છે, તો તફાવત X-M(X) કહેવાય છે. વિચલનસરેરાશ મૂલ્યમાંથી રેન્ડમ ચલ X. આ તફાવત રેન્ડમ ચલના છૂટાછવાયાને દર્શાવે છે.

ભિન્નતાએક અલગ રેન્ડમ ચલ Xનું (સ્કેટરિંગ) તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય) છે. આમ, વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:

D(X)=M 2 . (3)

ચાલો વર્ગ વિચલનના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

વિક્ષેપ D(X) ની ગણતરી કરવા માટે, અમે વર્ગ વિચલનનો વિતરણ કાયદો દોરીએ છીએ અને પછી સૂત્ર (2) લાગુ કરીએ છીએ.

D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.

એ નોંધવું જોઈએ કે નીચેની ગુણધર્મનો ઉપયોગ ઘણીવાર ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે થાય છે: ભિન્નતા D(X) રેન્ડમ ચલ X ના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષાના વર્ગ વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે, એટલે કે

D(X)-M(X 2)- 2. (4)

ફોર્મ્યુલા (4) નો ઉપયોગ કરીને વિક્ષેપની ગણતરી કરવા માટે, અમે રેન્ડમ ચલ X 2 ના વિતરણનો કાયદો બનાવીએ છીએ:

હવે ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા M(X 2) શોધીએ.

M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

અરજી કરીને (4), અમને મળે છે:

D(X)=2931.2-(54) 2 =2931.2-2916=15.2.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમને સમાન પરિણામ મળ્યું.

c) ભિન્નતાનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલના પરિમાણના ચોરસ જેટલું છે. તેથી, તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના વિક્ષેપને લાક્ષણિકતા આપવા માટે, તે મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેવું વધુ અનુકૂળ છે જે વિચલનના વર્ગમૂળના અંકગણિત મૂલ્યની બરાબર છે, એટલે કે
. આ મૂલ્યને રેન્ડમ ચલ Xનું પ્રમાણભૂત વિચલન કહેવામાં આવે છે અને તે σ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આમ

σ=
. (5)

(5) લાગુ કરીને, અમારી પાસે છે: σ=
.

ઉદાહરણ.રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક અપેક્ષા M(X)=5; varianceD(X)=0.64. સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલમાં મૂલ્ય લેશે (4;7).

ઉકેલતે જાણીતું છે કે જો રેન્ડમ ચલ X એ વિભેદક કાર્ય f(x) દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, તો સંભાવના કે X અંતરાલ (α, β) સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે તે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

. (1)

જો મૂલ્ય X સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો વિભેદક કાર્ય

,

જ્યાં એ=M(X) અને σ=
. આ કિસ્સામાં, અમે (1) પાસેથી મેળવીએ છીએ

. (2)

ફોર્મ્યુલા (2) ને લેપ્લેસ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.

ચાલો એક અવેજી બનાવીએ. દો
. પછી
અથવા ડીએક્સ=σ∙ તા.

આથી
, જ્યાં t 1 અને t 2 એ ચલ t માટે અનુરૂપ મર્યાદા છે.

σ દ્વારા ઘટાડીને, અમારી પાસે છે

દાખલ કરેલ અવેજીમાંથી
તે તેને અનુસરે છે
અને
.

આમ,

(3)

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર અમારી પાસે છે: a=5; σ=
=0.8; α=4; β=7. આ ડેટાને (3) માં બદલીને, અમને મળે છે:

=Ф(2.5)-Ф(-1.25)=

=F(2.5)+F(1.25)=0.4938+0.3944=0.8882.

ઉદાહરણ.એવું માનવામાં આવે છે કે ધોરણમાંથી ઉત્પાદિત ભાગોની લંબાઈનું વિચલન એ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે. પ્રમાણભૂત લંબાઈ (ગાણિતિક અપેક્ષા) a=40 cm, પ્રમાણભૂત વિચલન σ=0.4 cm એ સંભાવના શોધો કે પ્રમાણભૂતમાંથી લંબાઈનું વિચલન નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં 0.6 cm કરતાં વધુ નહીં હોય.

ઉકેલ.જો X એ ભાગની લંબાઈ છે, તો સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર આ મૂલ્ય અંતરાલ (a-δ,a+δ) માં હોવું જોઈએ, જ્યાં a=40 અને δ=0.6.

α= a-δ અને β= a+δ ને સૂત્ર (3) માં મૂકીને, આપણે મેળવીએ છીએ

. (4)

ઉપલબ્ધ ડેટાને (4) માં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:

તેથી, ઉત્પાદિત ભાગોની લંબાઈ 39.4 થી 40.6 સે.મી.ની રેન્જમાં હોવાની સંભાવના 0.8664 છે.

ઉદાહરણ.પ્લાન્ટ દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગોનો વ્યાસ એ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત થયેલ રેન્ડમ ચલ છે. પ્રમાણભૂત વ્યાસ લંબાઈ a=2.5 cm, પ્રમાણભૂત વિચલન σ=0.01. જો 0.9973 ની સંભાવના ધરાવતી ઘટનાને વિશ્વસનીય તરીકે લેવામાં આવે તો આ ભાગના વ્યાસની લંબાઈની વ્યવહારીક રીતે કઈ મર્યાદામાં ખાતરી આપી શકાય?

ઉકેલ.સમસ્યાની શરતો અનુસાર અમારી પાસે છે:

a=2.5; σ=0.01; .

સૂત્ર (4) લાગુ કરીને, અમે સમાનતા મેળવીએ છીએ:

અથવા
.

કોષ્ટક 2 પરથી આપણે શોધી કાઢ્યું છે કે લેપ્લેસ ફંક્શનમાં આ મૂલ્ય x=3 છે. આથી,
; જ્યાંથી σ=0.03.

આ રીતે, તે ખાતરી આપી શકાય છે કે વ્યાસ લંબાઈ 2.47 અને 2.53 સે.મી. વચ્ચે બદલાશે.

તે જાણીતું છે કે જહાજની દિવાલોની નજીકના પ્રવાહીની સપાટી વક્ર હોય છે. પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી, જહાજની દિવાલોની નજીક વક્ર છે, તેને મેનિસ્કસ કહેવામાં આવે છે(ફિગ. 145).

ચાલો એક પાતળા પ્રવાહી ફિલ્મને ધ્યાનમાં લઈએ, જેની જાડાઈને અવગણવામાં આવી શકે છે. તેની મુક્ત ઊર્જાને ઘટાડવાના પ્રયાસમાં, ફિલ્મ વિવિધ બાજુઓથી દબાણ તફાવત બનાવે છે. પ્રવાહીના ટીપાં અને અંદરના સાબુના પરપોટામાં સપાટીના તાણની ક્રિયાને કારણે, વધારાનું દબાણ(ફિલ્મને સંકુચિત કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી બબલની અંદરનું દબાણ ફિલ્મના વધારાના દબાણની માત્રા દ્વારા વાતાવરણીય દબાણને ઓળંગે નહીં).

ચોખા. 146.

વધારાના દબાણની માત્રા, દેખીતી રીતે, વધતા સપાટીના તાણ ગુણાંક અને સપાટીની વક્રતા સાથે વધવી જોઈએ.

ચોખા. 147.

.

આ બળ બંને ગોળાર્ધને સપાટી પર એકબીજા સામે દબાવે છે અને તેથી, વધારાના દબાણનું કારણ બને છે:

ગોળાકાર સપાટીની વક્રતા દરેક જગ્યાએ સમાન હોય છે અને તે ગોળાની ત્રિજ્યા દ્વારા નક્કી થાય છે. દેખીતી રીતે, ગોળાકાર સપાટીની વક્રતા જેટલી નાની, વધારે તેટલી.

સાબુના બબલની અંદરનું વધારાનું દબાણ બમણું વધારે છે, કારણ કે ફિલ્મની બે સપાટીઓ છે:

વધારાનું દબાણ સાંકડી નળીઓ (રુધિરકેશિકાઓ) માં પ્રવાહીના સ્તરમાં ફેરફારનું કારણ બને છે, જેના પરિણામે તેને ક્યારેક કહેવામાં આવે છે. કેશિલરી દબાણ.

મનસ્વી સપાટીની વક્રતા સામાન્ય રીતે કહેવાતા સરેરાશ વક્રતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે સપાટીના વિવિધ બિંદુઓ માટે અલગ હોઈ શકે છે.

મૂલ્ય ગોળાની વક્રતા આપે છે. ભૂમિતિમાં તે સાબિત થાય છે કે પરસ્પર લંબરૂપ સામાન્ય વિભાગોની કોઈપણ જોડી માટે વક્રતાના પારસ્પરિક ત્રિજ્યાના અડધા સરવાળા સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે:

. (1)

આ મૂલ્ય એ આપેલ બિંદુ પર સપાટીની સરેરાશ વક્રતા છે. આ સૂત્રમાં, ત્રિજ્યા એ બીજગણિતની માત્રા છે. જો સામાન્ય વિભાગના વક્રતાનું કેન્દ્ર આપેલ સપાટીની નીચે હોય, તો વળાંકની અનુરૂપ ત્રિજ્યા હકારાત્મક છે; જો વક્રતાનું કેન્દ્ર સપાટીની ઉપર આવેલું હોય, તો વક્રતાની ત્રિજ્યા નકારાત્મક છે (ફિગ. 148).

ચોખા. 148.

ઉદાહરણ તરીકે, ગોળા માટે, સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વક્રતાના કેન્દ્રો ગોળાના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય છે, તેથી . ત્રિજ્યાના ગોળાકાર સિલિન્ડરની સપાટીના કેસ માટે આપણી પાસે છે: , અને .

તે સાબિત કરી શકાય છે કે કોઈપણ આકારની સપાટી માટે સંબંધ માન્ય છે:

અભિવ્યક્તિ (1) ને સૂત્ર (2) માં બદલીને, આપણે મનસ્વી સપાટી હેઠળ વધારાના દબાણ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ, જેને કહેવાય છે લેપ્લેસનું સૂત્ર(ફિગ. 148):

. (3)

ત્રિજ્યા અને સૂત્રમાં (3) બીજગણિતની માત્રા છે. જો સામાન્ય વિભાગના વક્રતાનું કેન્દ્ર આપેલ સપાટીની નીચે હોય, તો વળાંકની અનુરૂપ ત્રિજ્યા હકારાત્મક છે; જો વક્રતાનું કેન્દ્ર સપાટીની ઉપર આવેલું હોય, તો વક્રતાની ત્રિજ્યા નકારાત્મક છે.

ઉદાહરણ.જો પ્રવાહીમાં ગેસનો પરપોટો હોય, તો પરપોટાની સપાટી, સંકુચિત થવાનું વલણ ધરાવતા, ગેસ પર વધારાનું દબાણ લાવશે. . ચાલો પાણીમાં પરપોટાની ત્રિજ્યા શોધીએ કે જેના પર વધારાનું દબાણ 1 બરાબર છે એટીએમ. .પાણીના સપાટીના તાણનો ગુણાંક બરાબર છે . તેથી, નીચેના મૂલ્ય માટે પ્રાપ્ત થાય છે: .

અન્ય માધ્યમના સંપર્કમાં, તે બાકીના પ્રવાહી સમૂહની તુલનામાં વિશિષ્ટ પરિસ્થિતિઓમાં છે. વરાળની સરહદે પ્રવાહીના સપાટીના સ્તરના દરેક પરમાણુ પર કાર્ય કરતી શક્તિઓ પ્રવાહીના જથ્થા તરફ, એટલે કે, પ્રવાહીમાં દિશામાન થાય છે. પરિણામે, પરમાણુને પ્રવાહીની ઊંડાઈથી સપાટી પર ખસેડવા માટે કાર્ય જરૂરી છે. જો સ્થિર તાપમાને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં અસંખ્ય માત્રામાં dS નો વધારો થાય છે, તો આ માટે જરૂરી કાર્ય બરાબર હશે. સપાટીના વિસ્તારને વધારવાનું કામ સપાટીના તણાવના દળો સામે કરવામાં આવે છે, જે સપાટીને ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે. તેથી, સપાટીના તણાવનું કાર્ય પોતાને પ્રવાહીના સપાટીના ક્ષેત્રને વધારવા માટે દબાણ કરે છે:

અહીં પ્રમાણસરતા ગુણાંક σ કહેવામાં આવે છે સપાટી તણાવ ગુણાંક અને એકમ દીઠ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફારના આધારે સપાટીના તણાવ દળો દ્વારા કરવામાં આવેલા કામની માત્રા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. SI માં, સપાટીના તાણ ગુણાંકને J/m 2 માં માપવામાં આવે છે.

પ્રવાહીના સપાટીના સ્તરના અણુઓમાં ઊંડા અણુઓની તુલનામાં અધિક સંભવિત ઊર્જા હોય છે, જે પ્રવાહીના સપાટીના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે:

સપાટીના સ્તરની સંભવિત ઊર્જામાં વધારો માત્ર સપાટીના વિસ્તારના વધારા સાથે સંકળાયેલ છે: . સપાટી તણાવ દળો રૂઢિચુસ્ત દળો છે, તેથી સમાનતા ધરાવે છે: . સપાટીના તણાવ દળો પ્રવાહી સપાટીની સંભવિત ઊર્જાને ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે. સામાન્ય રીતે, ઉર્જા જે કાર્યમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે તેને મુક્ત ઊર્જા U S કહેવામાં આવે છે. તેથી, અમે તેને લખી શકીએ છીએ. મુક્ત ઊર્જાની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નીચે પ્રમાણે સૂત્ર (6.36) લખી શકીએ છીએ: . છેલ્લી સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને આપણે નક્કી કરી શકીએ છીએ સપાટી તણાવ ગુણાંક ભૌતિક જથ્થા તરીકે સંખ્યાત્મક રીતે પ્રવાહીના એકમ સપાટી વિસ્તારની મુક્ત ઊર્જા જેટલી.

સરફેસ ટેન્શન ફોર્સની અસર પ્રવાહીની પાતળી ફિલ્મ (ઉદાહરણ તરીકે, સાબુ સોલ્યુશન) પર એક સરળ પ્રયોગનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકાય છે જે લંબચોરસ વાયર ફ્રેમને આવરી લે છે, જેની એક બાજુ મિશ્રિત થઈ શકે છે (ફિગ. 6.11). ચાલો ધારીએ કે જંગમ બાજુ, લંબાઈ l, બાહ્ય બળ F B દ્વારા કાર્ય કરે છે, ફ્રેમની જંગમ બાજુને ખૂબ જ નાના અંતર dh પર એકસરખી રીતે ખસેડે છે. આ દળનું પ્રાથમિક કાર્ય બરાબર હશે, કારણ કે બળ અને વિસ્થાપન સહ-નિર્દેશિત છે. ફિલ્મમાં બે સપાટીઓ હોવાથી અને સપાટીના તણાવ દળો F એ દરેક સાથે નિર્દેશિત છે, જેનો વેક્ટર સરવાળો બાહ્ય બળ જેટલો છે. બાહ્ય બળનું મોડ્યુલસ સપાટીના તાણ બળમાંથી એકના મોડ્યુલસના બમણા જેટલું છે: . બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું લઘુત્તમ કાર્ય સપાટીના તાણ દળો દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યના સરવાળાની તીવ્રતામાં સમાન છે: . સરફેસ ટેન્શન ફોર્સ દ્વારા કરવામાં આવેલ કામની માત્રા નીચે મુજબ નક્કી કરવામાં આવશે:

, ક્યાં . અહીંથી. એટલે કે સપાટી તણાવ ગુણાંક વિભાજન રેખાની એકમ લંબાઈ દીઠ પ્રવાહીની સપાટી પર સ્પર્શક રીતે કામ કરતા સપાટીના તણાવના બળના સમાન મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સપાટીના તણાવ દળો પ્રવાહીના સપાટીના વિસ્તારને ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે. આ પ્રવાહીના નાના જથ્થા માટે ધ્યાનપાત્ર છે, જ્યારે તે ટીપું-બોલનું સ્વરૂપ લે છે. જેમ જાણીતું છે, તે ગોળાકાર સપાટી છે જે આપેલ વોલ્યુમ માટે લઘુત્તમ વિસ્તાર ધરાવે છે. મોટી માત્રામાં લેવામાં આવેલ પ્રવાહી, ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ, તે સપાટી પર ફેલાય છે જેના પર તે સ્થિત છે. જેમ જાણીતું છે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શરીરના જથ્થા પર આધારિત છે, તેથી તેનું મૂલ્ય પણ ઘટે છે કારણ કે સમૂહ ઘટે છે અને ચોક્કસ દળ પર સરફેસ ટેન્શન ફોર્સના મૂલ્ય કરતાં તુલનાત્મક અથવા તો ઘણું ઓછું બને છે. આ કિસ્સામાં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અવગણના કરી શકાય છે. જો પ્રવાહી વજનહીન સ્થિતિમાં હોય, તો પછી મોટા જથ્થા સાથે પણ તેની સપાટી ગોળાકાર હોય છે. પ્રસિદ્ધ ઉચ્ચપ્રદેશના અનુભવ દ્વારા આની પુષ્ટિ થાય છે. જો તમે સમાન ઘનતાવાળા બે પ્રવાહી પસંદ કરો છો, તો તેમાંથી એક પર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર (ઓછી માત્રામાં લેવામાં આવે છે) આર્કિમીડિયન બળ દ્વારા વળતર આપવામાં આવશે અને તે બોલનો આકાર લેશે. આ સ્થિતિમાં, તે અન્ય પ્રવાહીની અંદર તરતા રહેશે.

ચાલો વિચાર કરીએ કે પ્રવાહી 1 ના ડ્રોપનું શું થાય છે, એક બાજુ વરાળ 3 સાથે સરહદે છે, બીજી બાજુ પ્રવાહી 2 (ફિગ. 6.12) સાથે. ચાલો ત્રણેય પદાર્થો dl વચ્ચેના ઇન્ટરફેસનું એક નાનું તત્વ પસંદ કરીએ. પછી મીડિયા વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ પર સપાટીના તાણ દળોને સ્પર્શક રીતે ઇન્ટરફેસના સમોચ્ચ તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવશે અને તે સમાન હશે:

આપણે ગુરુત્વાકર્ષણની અસરની અવગણના કરીએ છીએ. જો નીચેની શરતો પૂરી થાય તો લિક્વિડ ડ્રોપ 1 સંતુલનમાં છે:

(6.38)

(6.37) ને (6.38) માં બદલીને, સમાનતાની બંને બાજુઓ (6.38) ને dl વડે ઘટાડીને, સમાનતાની બંને બાજુઓ (6.38) ને વર્ગીકૃત કરીને અને તેમને ઉમેરીને, આપણને મળે છે:

મીડિયાની વિભાજક રેખાઓ માટે સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો ક્યાં છે, જેને કહેવાય છે ધાર કોણ.

સમીકરણનું વિશ્લેષણ (6.39) દર્શાવે છે કે જ્યારે આપણે મેળવીએ છીએ અને પ્રવાહી 1 પ્રવાહી 2 ની સપાટીને સંપૂર્ણપણે ભીની કરે છે, તેના પર પાતળા સ્તરમાં ફેલાય છે ( સંપૂર્ણ ભીનાશની ઘટના ).

જ્યારે પ્રવાહી 1 નું પાતળું પડ ઘન શરીર 2 ની સપાટી પર ફેલાય છે ત્યારે સમાન ઘટના જોઈ શકાય છે. કેટલીકવાર, તેનાથી વિપરીત, પ્રવાહી નક્કર શરીરની સપાટી પર ફેલાતું નથી. જો , તે અને પ્રવાહી 1 નક્કર શરીરને સંપૂર્ણપણે ભીનું કરતું નથી 2 ( સંપૂર્ણ બિન-ભીનાશની ઘટના ). આ કિસ્સામાં, પ્રવાહી 1 અને નક્કર 2 વચ્ચે સંપર્કનો માત્ર એક બિંદુ છે. સંપૂર્ણ ભીનાશ અથવા બિન-ભીનાશ એ મર્યાદિત કેસ છે. તમે ખરેખર જોઈ શકો છો આંશિક ભીનાશ , જ્યારે સંપર્ક કોણ તીવ્ર હોય છે () અને આંશિક બિન-ભીનાશ , જ્યારે સંપર્ક કોણ સ્થૂળ હોય છે ( ).

આકૃતિ 6.13 માં એઆંશિક ભીનાશના કેસો બતાવવામાં આવ્યા છે, અને આકૃતિ 6.13 માં bઆંશિક બિન-ભીનાશના ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે. ધ્યાનમાં લેવાયેલા કિસ્સાઓ દર્શાવે છે કે નક્કર શરીરની સપાટી પર નજીકના પ્રવાહી અથવા પ્રવાહીના સપાટીના તાણ બળની હાજરી પ્રવાહીની સપાટીની વક્રતા તરફ દોરી જાય છે.

ચાલો વક્ર સપાટી પર કાર્ય કરતા દળોને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રવાહી સપાટીની વક્રતા તે સપાટીની નીચે પ્રવાહી પર કાર્ય કરતી દળોમાં પરિણમે છે. જો સપાટી ગોળાકાર હોય, તો પરિઘના કોઈપણ તત્વ (ફિગ. 6.14 જુઓ), સપાટી પર સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તેને ટૂંકી કરવા તરફ વળે છે. આ દળોનું પરિણામ ગોળાના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

પ્રતિ એકમ સપાટી વિસ્તાર, આ પરિણામી બળ વધારાનું દબાણ લાવે છે, જે વક્ર સપાટી હેઠળના પ્રવાહી દ્વારા અનુભવાય છે. આ વધારાનું દબાણ કહેવામાં આવે છે લેપ્લેસ દબાણ . તે હંમેશા સપાટીની વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત થાય છે. આકૃતિ 6.15 અંતર્મુખ અને બહિર્મુખ ગોળાકાર સપાટીના ઉદાહરણો આપે છે અને અનુક્રમે લેપ્લેસ દબાણ દર્શાવે છે.

ચાલો ગોળાકાર, નળાકાર અને કોઈપણ સપાટી માટે લેપ્લેસ દબાણનું મૂલ્ય નક્કી કરીએ.

ગોળાકાર સપાટી. પ્રવાહીનો ડ્રોપ. જેમ જેમ ગોળાની ત્રિજ્યા ઘટે છે (ફિગ. 6.16), સપાટીની ઉર્જા ઘટે છે, અને ડ્રોપમાં કામ કરતા દળો દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. પરિણામે, ગોળાકાર સપાટી હેઠળ પ્રવાહીનું પ્રમાણ હંમેશા કંઈક અંશે સંકુચિત હોય છે, એટલે કે, તે વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ ત્રિજ્યાપૂર્વક નિર્દેશિત લેપ્લેસ દબાણનો અનુભવ કરે છે. જો, આ દબાણના પ્રભાવ હેઠળ, બોલ તેના વોલ્યુમને ઘટાડે છે ડીવી, પછી કમ્પ્રેશન કાર્યની માત્રા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે:

સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો ફોર્મ્યુલા દ્વારા નિર્ધારિત રકમ દ્વારા થયો છે: (6.41)

કમ્પ્રેશનના કાર્યને કારણે સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો થયો છે, તેથી, dA=dU S. સમાનતા (6.40) અને (6.41) ની જમણી બાજુની સમાનતા, અને એ પણ ધ્યાનમાં લેતા કે અને , આપણે લેપ્લેસ દબાણ મેળવીએ છીએ: (6.42)

નળાકાર સપાટી હેઠળ તેમજ ગોળાકાર હેઠળ પ્રવાહીનું પ્રમાણ હંમેશા કંઈક અંશે સંકુચિત હોય છે, એટલે કે, તે વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ રેડિયલી નિર્દેશિત લેપ્લેસ દબાણનો અનુભવ કરે છે. જો, આ દબાણના પ્રભાવ હેઠળ, સિલિન્ડર તેના વોલ્યુમ દ્વારા ઘટાડે છે ડીવી, પછી કમ્પ્રેશન કાર્યની તીવ્રતા સૂત્ર (6.40) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે, ફક્ત લેપ્લેસ દબાણની તીવ્રતા અને વોલ્યુમમાં વધારો અલગ હશે. સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો ફોર્મ્યુલા (6.41) દ્વારા નિર્ધારિત રકમ દ્વારા થયો છે. કમ્પ્રેશનના કાર્યને કારણે સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો થયો છે, તેથી, dA=dU S. સમાનતા (6.40) અને (6.41) ની જમણી બાજુની સમાનતા, અને એ પણ ધ્યાનમાં લેતા કે નળાકાર સપાટી માટે અને , આપણે લેપ્લેસ દબાણ મેળવીએ છીએ:

ફોર્મ્યુલા (6.45) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે ફોર્મ્યુલા (6.42) અને (6.44) પર જઈ શકીએ છીએ. તેથી ગોળાકાર સપાટી માટે, તેથી, ફોર્મ્યુલા (6.45) ને ફોર્મ્યુલા (6.42) માં સરળ કરવામાં આવશે; નળાકાર સપાટી માટે r 1 = r, a , પછી ફોર્મ્યુલા (6.45) ને ફોર્મ્યુલા (6.44) માં સરળ બનાવવામાં આવશે. અંતર્મુખ સપાટીથી બહિર્મુખ સપાટીને અલગ પાડવા માટે, એવું માનવા માટે પ્રચલિત છે કે બહિર્મુખ સપાટી માટે લેપ્લેસ દબાણ હકારાત્મક છે, અને તે મુજબ, બહિર્મુખ સપાટીની વક્રતાની ત્રિજ્યા પણ હકારાત્મક હશે. અંતર્મુખ સપાટી માટે, વક્રતાની ત્રિજ્યા અને લેપ્લેસ દબાણને નકારાત્મક ગણવામાં આવે છે.