ગણિત વિભાગમાં પ્રાયોગિક કાર્ય: "કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ" વિષય: કાર્યો. ડોમેન અને ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ

ઘણી સમસ્યાઓ આપણને ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર અથવા સમગ્ર વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ફંક્શન મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા તરફ દોરી જાય છે. આવા કાર્યોમાં અભિવ્યક્તિઓના વિવિધ મૂલ્યાંકન અને અસમાનતાઓને ઉકેલવાનો સમાવેશ થાય છે.

આ લેખમાં, અમે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, તેને શોધવા માટેની પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું અને સરળથી વધુ જટિલ સુધીના ઉદાહરણોના ઉકેલનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું. સ્પષ્ટતા માટે તમામ સામગ્રી ગ્રાફિક ચિત્રો સાથે પ્રદાન કરવામાં આવશે. તો આ લેખ ફંક્શનની શ્રેણી કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો વિગતવાર જવાબ છે.

વ્યાખ્યા.

અંતરાલ X પર ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોનો સમૂહફંક્શનના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જે તે બધા પર પુનરાવર્તન કરતી વખતે લે છે.

વ્યાખ્યા.

કાર્ય શ્રેણી y = f(x)એ ફંક્શનના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જે વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી તમામ x પર પુનરાવર્તન કરતી વખતે લે છે.

કાર્યની શ્રેણી E(f) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

ફંક્શનની શ્રેણી અને ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ એક જ વસ્તુ નથી. અમે આ વિભાવનાઓને સમકક્ષ ગણીશું જો ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોના સમૂહને શોધતી વખતે અંતરાલ X ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે એકરુપ હોય.

ઉપરાંત, સમાનતા y=f(x) ની જમણી બાજુએ અભિવ્યક્તિ માટે ચલ x સાથે ફંક્શનની શ્રેણીને ગૂંચવશો નહીં. f(x) અભિવ્યક્તિ માટે ચલ xના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી એ y=f(x) ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન છે.

આકૃતિ ઘણા ઉદાહરણો બતાવે છે.

ફંક્શન ગ્રાફ જાડી વાદળી રેખાઓ સાથે બતાવવામાં આવે છે, પાતળી લાલ રેખાઓ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે, લાલ બિંદુઓ અને ઓય ધરી પરની રેખાઓ અનુરૂપ કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી દર્શાવે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી ફંક્શનના ગ્રાફને y-અક્ષ પર રજૂ કરીને મેળવવામાં આવે છે. તે એક સિંગલ નંબર (પ્રથમ કેસ), સંખ્યાઓનો સમૂહ (બીજો કેસ), એક સેગમેન્ટ (ત્રીજો કેસ), એક અંતરાલ (ચોથો કેસ), ઓપન રે (પાંચમો કેસ), એક સંઘ (છઠ્ઠો કેસ) વગેરે હોઈ શકે છે. .

તો તમારે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા માટે શું કરવાની જરૂર છે?

ચાલો સૌથી સરળ કિસ્સાથી શરૂઆત કરીએ: આપણે બતાવીશું કે સેગમેન્ટ પર સતત ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોના સેટને કેવી રીતે નક્કી કરવું.

તે જાણીતું છે કે અંતરાલ પર સતત કાર્ય તેના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. આમ, સેગમેન્ટ પરના મૂળ ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ સેગમેન્ટ હશે . પરિણામે, અમારું કાર્ય સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાનું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આર્ક્સીન ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધીએ.

ઉદાહરણ.

ફંક્શન y = arcsinx ની શ્રેણી સ્પષ્ટ કરો.

ઉકેલ.

આર્કસાઇનની વ્યાખ્યાનો વિસ્તાર સેગમેન્ટ છે [-1; 1]. ચાલો આ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત શોધીએ.

વ્યુત્પન્ન અંતરાલ (-1; 1) થી તમામ x માટે હકારાત્મક છે, એટલે કે, આર્કસાઇન કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે. પરિણામે, તે x = -1 પર સૌથી નાનું મૂલ્ય અને x = 1 પર સૌથી મોટું લે છે.

અમે આર્ક્સીન ફંક્શનની શ્રેણી મેળવી છે .

ઉદાહરણ.

કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો સેગમેન્ટ પર.

ઉકેલ.

ચાલો આપેલ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત શોધીએ.

ચાલો આપણે સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા અંતિમ બિંદુઓ નક્કી કરીએ:

અમે મૂળ ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી સેગમેન્ટના છેડે અને બિંદુઓ પર કરીએ છીએ :

તેથી, અંતરાલ પરના ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ અંતરાલ છે .

હવે આપણે બતાવીશું કે અંતરાલો (a; b) , માં સતત ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોનો સમૂહ કેવી રીતે શોધવો.

પ્રથમ, અમે આપેલ અંતરાલ પર કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ, કાર્યનો અંતિમ ભાગ, વધારાના અંતરાલો અને કાર્યના ઘટાડાને નિર્ધારિત કરીએ છીએ. આગળ, અમે અંતરાલના અંતે અને (અથવા) અનંતતા પરની મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ છીએ (એટલે ​​​​કે, અમે અંતરાલની સીમાઓ પર અથવા અનંતતા પર કાર્યના વર્તનનો અભ્યાસ કરીએ છીએ). આ માહિતી આવા અંતરાલો પર કાર્ય મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા માટે પૂરતી છે.

ઉદાહરણ.

અંતરાલ (-2; 2) પર કાર્ય મૂલ્યોના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરો.

ઉકેલ.

ચાલો અંતરાલ (-2; 2) પર આવતા ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓ શોધીએ:

ડોટ x = 0 એ મહત્તમ બિંદુ છે, કારણ કે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો જ્યારે તેમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વત્તાથી માઈનસમાં સાઇન કરે છે, અને ફંક્શનનો ગ્રાફ વધતાથી ઘટતો જાય છે.

કાર્યની અનુરૂપ મહત્તમ છે.

ચાલો ફંક્શનની વર્તણૂક શોધીએ કારણ કે x જમણી બાજુએ -2 તરફ વળે છે અને x ડાબી બાજુ 2 તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે, આપણે એકતરફી મર્યાદા શોધીએ છીએ:

આપણને શું મળ્યું: જ્યારે દલીલ -2 થી શૂન્યમાં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન વેલ્યુ માઈનસ અનંતથી માઈનસ એક ચતુર્થાંશ સુધી વધે છે (x = 0 પર ફંક્શનની મહત્તમ), જ્યારે દલીલ શૂન્યથી 2 માં બદલાય છે, કાર્ય મૂલ્યો માઈનસ અનંત સુધી ઘટે છે. આમ, અંતરાલ (-2; 2) પર કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે.

ઉદાહરણ.

અંતરાલ પર સ્પર્શક કાર્ય y = tgx ના મૂલ્યોના સમૂહનો ઉલ્લેખ કરો.

ઉકેલ.

અંતરાલ પરના સ્પર્શક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન ધન છે , જે કાર્યમાં વધારો સૂચવે છે. ચાલો અંતરાલની સીમાઓ પર કાર્યના વર્તનનો અભ્યાસ કરીએ:

આમ, જ્યારે દલીલ થી માં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન મૂલ્યો માઈનસ અનંતથી વત્તા અનંત સુધી વધે છે, એટલે કે, આ અંતરાલ પરના સ્પર્શક મૂલ્યોનો સમૂહ એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

ઉદાહરણ.

કુદરતી લઘુગણક કાર્ય y = lnx ની શ્રેણી શોધો.

ઉકેલ.

કુદરતી લઘુગણક કાર્ય દલીલના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે . આ અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે , આ તેના પરના કાર્યમાં વધારો સૂચવે છે. ચાલો ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદા શોધીએ કારણ કે દલીલ જમણી બાજુએ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને x તરીકેની મર્યાદા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે:

આપણે જોઈએ છીએ કે જેમ x શૂન્યથી વત્તા અનંતમાં બદલાય છે, ફંક્શનના મૂલ્યો માઇનસ અનંતથી વત્તા અનંતમાં વધે છે. તેથી, કુદરતી લઘુગણક કાર્યની શ્રેણી એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે.

ઉદાહરણ.

ઉકેલ.

આ કાર્ય x ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ચાલો આત્યંતિક બિંદુઓ, તેમજ કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો નક્કી કરીએ.

પરિણામે, ફંક્શન , પર ઘટે છે, વધે છે, x = 0 એ મહત્તમ બિંદુ છે, કાર્યની અનુરૂપ મહત્તમ.

ચાલો અનંત પર ફંક્શનની વર્તણૂક જોઈએ:

આમ, અનંત સમયે ફંક્શનના મૂલ્યો એસિમ્પટોટિક રીતે શૂન્યની નજીક આવે છે.

અમે જોયું કે જ્યારે દલીલ માઈનસ અનંતથી શૂન્ય (મહત્તમ બિંદુ) માં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન વેલ્યુ શૂન્યથી નવ (ફંક્શનના મહત્તમ સુધી) સુધી વધે છે અને જ્યારે x શૂન્યથી વત્તા અનંતમાં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન મૂલ્યો નવ થી શૂન્ય સુધી ઘટાડો.

યોજનાકીય રેખાંકન જુઓ.

હવે તે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે કે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી છે.

અંતરાલો પર ફંક્શન y = f(x) ના મૂલ્યોના સમૂહને શોધવા માટે સમાન સંશોધનની જરૂર છે. અમે હવે આ કેસો પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં. અમે તેમને નીચેના ઉદાહરણોમાં ફરી મળીશું.

ફંક્શન y = f(x) ની વ્યાખ્યાના ડોમેનને કેટલાક અંતરાલોનું જોડાણ થવા દો. આવા ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધતી વખતે, દરેક અંતરાલ પરના મૂલ્યોના સેટ નક્કી કરવામાં આવે છે અને તેમનું જોડાણ લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.

કાર્યની શ્રેણી શોધો.

ઉકેલ.

આપણા કાર્યનો છેદ શૂન્યમાં ન જવો જોઈએ, એટલે કે, .

પ્રથમ, ચાલો ઓપન રે પર ફંક્શન વેલ્યુનો સેટ શોધીએ.

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન આ અંતરાલ પર નકારાત્મક છે, એટલે કે, તેના પર કાર્ય ઘટે છે.

અમે શોધી કાઢ્યું છે કે દલીલ માઇનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, ફંક્શન મૂલ્યો અસિમ્પ્ટોટિકલી એકતાનો સંપર્ક કરે છે. જ્યારે x માઇનસ અનંતથી બેમાં બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શનના મૂલ્યો એકથી ઓછા અનંતમાં ઘટે છે, એટલે કે, વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર, ફંક્શન મૂલ્યોના સમૂહને લે છે. અમે એકતાનો સમાવેશ કરતા નથી, કારણ કે ફંક્શનના મૂલ્યો તેના સુધી પહોંચતા નથી, પરંતુ માત્ર અસ્પષ્ટપણે માઇનસ અનંત પર તેનું વલણ ધરાવે છે.

અમે ખુલ્લા બીમ માટે સમાન રીતે આગળ વધીએ છીએ.

આ અંતરાલ પર કાર્ય પણ ઘટે છે.

આ અંતરાલ પર કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ સમૂહ છે.

આમ, ફંક્શનના મૂલ્યોની ઇચ્છિત શ્રેણી એ સમૂહોનું જોડાણ છે અને .

ગ્રાફિક ચિત્ર.

સામયિક કાર્યો પર વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ. સામયિક કાર્યોના મૂલ્યોની શ્રેણી આ કાર્યના સમયગાળાને અનુરૂપ અંતરાલ પરના મૂલ્યોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે.

ઉદાહરણ.

સાઈન ફંક્શન y = sinx ની શ્રેણી શોધો.

ઉકેલ.

આ ફંક્શન બે pi ના સમયગાળા સાથે સામયિક છે. ચાલો એક સેગમેન્ટ લઈએ અને તેના પરના મૂલ્યોના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

સેગમેન્ટમાં બે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ અને .

અમે આ બિંદુઓ પર અને સેગમેન્ટની સીમાઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ, સૌથી નાની અને સૌથી મોટી કિંમતો પસંદ કરો:

આથી, .

ઉદાહરણ.

કાર્યની શ્રેણી શોધો .

ઉકેલ.

આપણે જાણીએ છીએ કે આર્ક કોસાઇન શ્રેણી એ શૂન્યથી પાઇ સુધીનો સેગમેન્ટ છે, એટલે કે, અથવા અન્ય પોસ્ટમાં. કાર્ય એબ્સીસા અક્ષ સાથે સ્થળાંતર કરીને અને ખેંચીને આર્કોસક્સમાંથી મેળવી શકાય છે. આવા પરિવર્તન મૂલ્યોની શ્રેણીને અસર કરતા નથી, તેથી, . કાર્ય પાસેથી મેળવેલ છે ઓય અક્ષ સાથે ત્રણ વખત ખેંચાય છે, એટલે કે, . અને રૂપાંતરનો છેલ્લો તબક્કો એ ઓર્ડિનેટ સાથે ચાર એકમો નીચે શિફ્ટ છે. આ આપણને બેવડી અસમાનતા તરફ દોરી જાય છે

આમ, મૂલ્યોની આવશ્યક શ્રેણી છે .

ચાલો આપણે બીજા ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ, પરંતુ સ્પષ્ટતા વિના (તેઓ જરૂરી નથી, કારણ કે તે સંપૂર્ણપણે સમાન છે).

ઉદાહરણ.

કાર્ય શ્રેણી વ્યાખ્યાયિત કરો .

ઉકેલ.

ચાલો ફોર્મમાં મૂળ ફંક્શન લખીએ . પાવર ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી અંતરાલ છે. એટલે કે, . પછી

આથી, .

ચિત્રને પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે વ્યાખ્યાના ડોમેન પર સતત ન હોય તેવા ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા વિશે વાત કરવી જોઈએ. આ કિસ્સામાં, અમે વ્યાખ્યાના ડોમેનને વિરામ બિંદુઓ દ્વારા અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, અને તે દરેક પર મૂલ્યોના સેટ શોધીએ છીએ. મૂલ્યોના પરિણામી સમૂહોને સંયોજિત કરીને, આપણે મૂળ કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી મેળવીએ છીએ. અમે તમને યાદ રાખવાની ભલામણ કરીએ છીએ

એક ચલની બીજા પર અવલંબન કહેવાય છે કાર્યાત્મક અવલંબન.અવલંબન ચલ yચલમાંથી xકહેવાય છે કાર્ય, જો દરેક મૂલ્ય xએક મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે y.

હોદ્દો:

ચલ xસ્વતંત્ર ચલ કહેવાય છે અથવા દલીલ, અને ચલ y- આશ્રિત. તેઓ કહે છે કે yનું કાર્ય છે x. અર્થ y, ઉલ્લેખિત મૂલ્યને અનુરૂપ x, કહેવાય છે કાર્ય મૂલ્ય.

તમામ મૂલ્યો તે સ્વીકારે છે x, ફોર્મ ફંક્શનનું ડોમેન; તે લે છે તે તમામ મૂલ્યો y, ફોર્મ કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ.

હોદ્દો:

D(f)- દલીલ મૂલ્યો. E(f)- કાર્ય મૂલ્યો. જો ફંક્શન ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં ચલના તમામ મૂલ્યોનો સમાવેશ માનવામાં આવે છે જેના માટે આ સૂત્ર અર્થપૂર્ણ છે.

કાર્ય ગ્રાફકોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના એબ્સિસાસ દલીલના મૂલ્યો સમાન છે અને જેના ઓર્ડિનેટ્સ ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યો સમાન છે. જો અમુક કિંમત x=x 0બહુવિધ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે (માત્ર એક નહીં) y, તો પછી આવા પત્રવ્યવહાર એ કાર્ય નથી. કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ ચોક્કસ કાર્યનો ગ્રાફ બનવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ઓય અક્ષની સમાંતર કોઈપણ સીધી રેખા ગ્રાફ સાથે એક કરતાં વધુ બિંદુએ છેદે નહીં.

કાર્ય સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ

1) કાર્ય સેટ કરી શકાય છે વિશ્લેષણાત્મક રીતેએક સૂત્રના સ્વરૂપમાં. ઉદાહરણ તરીકે,

2) ફંક્શનને ઘણા જોડીઓના કોષ્ટક દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે (x; y).

3) કાર્ય ગ્રાફિકલી સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. મૂલ્યની જોડી (x; y)કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

કાર્યની એકવિધતા

કાર્ય f(x)કહેવાય છે વધારોઆપેલ સંખ્યાત્મક અંતરાલ પર, જો દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ હોય. કલ્પના કરો કે કોઈ ચોક્કસ બિંદુ ગ્રાફ સાથે ડાબેથી જમણે ખસે છે. પછી બિંદુ ગ્રાફ ઉપર "ચઢવા" લાગશે.

કાર્ય f(x)કહેવાય છે ઘટતુંઆપેલ સંખ્યાત્મક અંતરાલ પર, જો દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય. કલ્પના કરો કે કોઈ ચોક્કસ બિંદુ ગ્રાફ સાથે ડાબેથી જમણે ખસે છે. પછી બિંદુ ગ્રાફ નીચે "રોલ" લાગશે.

એક ફંક્શન કે જે આપેલ સંખ્યાત્મક અંતરાલ પર માત્ર વધે છે અથવા માત્ર ઘટે છે તેને કહેવામાં આવે છે એકવિધઆ અંતરાલ પર.

કાર્યના શૂન્ય અને અચળ ચિહ્નના અંતરાલો

મૂલ્યો એક્સ, જેના પર y=0, કહેવાય છે કાર્ય શૂન્ય. આ ઓક્સ અક્ષ સાથે ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસ છે.

મૂલ્યોની આવી શ્રેણીઓ x, જેના પર ફંક્શન વેલ્યુ yકાં તો માત્ર હકારાત્મક અથવા માત્ર નકારાત્મક કહેવામાં આવે છે કાર્યના સતત સંકેતના અંતરાલો.

સમ અને વિષમ કાર્યો

સમ કાર્ય
1) વ્યાખ્યાનું ડોમેન બિંદુ (0; 0) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, એટલે કે, જો બિંદુ aવ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત છે, પછી બિંદુ -aવ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં પણ છે.
2) કોઈપણ મૂલ્ય માટે x f(-x)=f(x)
3) સમ કાર્યનો ગ્રાફ ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.

વિચિત્ર કાર્યનીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:
1) વ્યાખ્યાનું ડોમેન બિંદુ (0; 0) વિશે સપ્રમાણ છે.
2) કોઈપણ મૂલ્ય માટે x, વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં, સમાનતા સાથે સંબંધિત છે f(-x)=-f(x)
3) વિષમ કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ (0; 0) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે.

દરેક કાર્ય સમ કે વિષમ નથી. કાર્યો સામાન્ય દૃશ્યન તો સમાન કે વિષમ.

સામયિક કાર્યો

કાર્ય fજો કોઈ નંબર હોય તો તેને સામયિક કહેવામાં આવે છે xવ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી સમાનતા f(x)=f(x-T)=f(x+T). ટીકાર્યનો સમયગાળો છે.

દરેક સામયિક કાર્યમાં અનંત સંખ્યામાં પીરિયડ્સ હોય છે. વ્યવહારમાં, સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો સામાન્ય રીતે ગણવામાં આવે છે.

સામયિક કાર્યના મૂલ્યો સમયગાળાની સમાન અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે. આલેખ બનાવતી વખતે વપરાય છે.

ચાલો જોઈએ કે ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનને કેવી રીતે તપાસવું. તે તારણ આપે છે કે ગ્રાફને જોઈને, આપણે તે બધું શોધી શકીએ છીએ જે આપણને રુચિ છે, એટલે કે:

• ફંક્શનનું ડોમેન
• કાર્ય શ્રેણી
• કાર્ય શૂન્ય
• વધતા અને ઘટવાના અંતરાલ
• મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ
• સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય.

ચાલો પરિભાષા સ્પષ્ટ કરીએ:

એબ્સીસાબિંદુનું આડું સંકલન છે.
ઓર્ડિનેટ- વર્ટિકલ કોઓર્ડિનેટ.
એબ્સીસા અક્ષ- આડી અક્ષ, મોટાભાગે અક્ષ કહેવાય છે.
Y અક્ષ- ઊભી અક્ષ, અથવા અક્ષ.

દલીલ- એક સ્વતંત્ર ચલ કે જેના પર કાર્ય મૂલ્યો આધાર રાખે છે. મોટે ભાગે સૂચવવામાં આવે છે.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે ફોર્મ્યુલામાં ફંક્શનને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ.

વ્યાખ્યાનું ડોમેનફંક્શન્સ - તે (અને માત્ર તે જ) દલીલ મૂલ્યોનો સમૂહ જેના માટે કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે.
દ્વારા સૂચવાયેલ: અથવા.

અમારી આકૃતિમાં, કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેગમેન્ટ છે. તે આ સેગમેન્ટ પર છે કે ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરવામાં આવે છે. આ એકમાત્ર જગ્યા છે જ્યાં આ કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે.

કાર્ય શ્રેણીમૂલ્યોનો સમૂહ છે જે ચલ લે છે. અમારી આકૃતિમાં, આ એક સેગમેન્ટ છે - સૌથી નીચાથી ઉચ્ચતમ મૂલ્ય સુધી.

કાર્ય શૂન્ય- બિંદુઓ જ્યાં ફંક્શનનું મૂલ્ય શૂન્ય છે, એટલે કે. અમારી આકૃતિમાં આ બિંદુઓ છે અને .

કાર્ય મૂલ્યો હકારાત્મક છેજ્યાં અમારી આકૃતિમાં આ અંતરાલો છે અને .
કાર્ય મૂલ્યો નકારાત્મક છેજ્યાં અમારા માટે, આ માંથી નું અંતરાલ (અથવા અંતરાલ) છે.

સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલો - કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડોઅમુક સેટ પર. સમૂહ તરીકે, તમે એક સેગમેન્ટ, એક અંતરાલ, અંતરાલોનું જોડાણ અથવા સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા લઈ શકો છો.

કાર્ય વધે છે

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વધુ , વધુ , એટલે કે ગ્રાફ જમણી અને ઉપર જાય છે.

કાર્ય ઘટે છેસેટ પર જો કોઈ હોય અને સેટ સાથે જોડાયેલા હોય, તો અસમાનતા એ અસમાનતા સૂચવે છે.

ઘટતા કાર્ય માટે, મોટું મૂલ્ય નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે. ગ્રાફ જમણી અને નીચે જાય છે.

અમારી આકૃતિમાં, કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે અને અંતરાલો પર ઘટે છે અને .

ચાલો તે શું છે તે વ્યાખ્યાયિત કરીએ કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ.

મહત્તમ બિંદુ- આ વ્યાખ્યાના ડોમેનનો આંતરિક બિંદુ છે, જેમ કે તેમાંના કાર્યનું મૂલ્ય તેની નજીકના તમામ બિંદુઓ કરતા વધારે છે.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મહત્તમ બિંદુ એ એક બિંદુ છે કે જેના પર કાર્યનું મૂલ્ય છે વધુપડોશીઓ કરતાં. આ ચાર્ટ પર એક સ્થાનિક "ટેકરી" છે.

અમારી આકૃતિમાં મહત્તમ બિંદુ છે.

ન્યૂનતમ બિંદુ- વ્યાખ્યાના ડોમેનનો આંતરિક બિંદુ, જેમ કે તેમાંના કાર્યનું મૂલ્ય તેની નજીકના તમામ બિંદુઓ કરતાં ઓછું છે.
એટલે કે, ન્યૂનતમ બિંદુ એવો છે કે તેમાં ફંક્શનનું મૂલ્ય તેના પડોશીઓ કરતા ઓછું છે. આ ગ્રાફ પરનું સ્થાનિક "છિદ્ર" છે.

અમારી આકૃતિમાં ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

બિંદુ સીમા છે. તે વ્યાખ્યાના ડોમેનનું આંતરિક બિંદુ નથી અને તેથી તે મહત્તમ બિંદુની વ્યાખ્યામાં બંધબેસતું નથી. છેવટે, તેણીની ડાબી બાજુએ કોઈ પડોશીઓ નથી. તે જ રીતે, અમારા ચાર્ટ પર ન્યૂનતમ બિંદુ હોઈ શકતું નથી.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટને એકસાથે કહેવામાં આવે છે કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ. અમારા કિસ્સામાં આ છે અને.

જો તમારે શોધવાની જરૂર હોય તો શું કરવું, ઉદાહરણ તરીકે, ન્યૂનતમ કાર્યસેગમેન્ટ પર? આ કિસ્સામાં જવાબ છે: . કારણ કે ન્યૂનતમ કાર્યન્યૂનતમ બિંદુ પર તેનું મૂલ્ય છે.

એ જ રીતે, આપણા કાર્યની મહત્તમ છે. તે બિંદુએ પહોંચે છે.

આપણે કહી શકીએ કે ફંક્શનની સીમાઓ અને .

કેટલીકવાર સમસ્યાઓ શોધવાની જરૂર પડે છે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોઆપેલ સેગમેન્ટ પર. તેઓ આવશ્યકપણે ચરમસીમા સાથે સુસંગત નથી.

અમારા કિસ્સામાં સૌથી નાનું કાર્ય મૂલ્યસેગમેન્ટ પર સમાન છે અને કાર્યના ન્યૂનતમ સાથે એકરુપ છે. પરંતુ આ સેગમેન્ટ પર તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય બરાબર છે. તે સેગમેન્ટના ડાબા છેડે પહોંચે છે.

કોઈ પણ સંજોગોમાં, સેગમેન્ટ પર સતત કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો કાં તો આત્યંતિક બિંદુઓ પર અથવા સેગમેન્ટના છેડા પર પ્રાપ્ત થાય છે.

સખાલિન પ્રદેશના શિક્ષણ મંત્રાલય

GBPOU "નિર્માણ તકનીક"

વ્યવહારુ કામ

"ગણિત" શિસ્તમાં

પ્રકરણ: " કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ.”

વિષય: કાર્યો. ડોમેન અને ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ. સમ અને વિષમ કાર્યો.

(શિક્ષણ સામગ્રી)

દ્વારા સંકલિત:

શિક્ષક

કાઝંતસેવા એન.એ.

યુઝ્નો-સાખાલિન્સ્ક-2017

ગણિતમાં વ્યવહારુ કાર્યવિભાગ દ્વારા« અને પદ્ધતિસરનીતેમના અમલીકરણ માટેની સૂચનાઓ વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છેGBPOU "સખાલિન કન્સ્ટ્રક્શન કોલેજ"

દ્વારા સંકલિત : કાઝંતસેવા એન. એ., ગણિતના શિક્ષક

સામગ્રીમાં ગણિતમાં વ્યવહારુ કાર્ય છે« કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ"અને તેમના અમલીકરણ માટેની સૂચનાઓ. માર્ગદર્શિકા ગણિતમાં કાર્ય કાર્યક્રમ અનુસાર સંકલિત કરવામાં આવી છે અને સખાલિન કન્સ્ટ્રક્શન કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે., અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓ સામાન્ય શિક્ષણ કાર્યક્રમો.

1) વ્યવહારિક પાઠ નંબર 1. કાર્યો. વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ.………………………………………………………………………4

2) વ્યવહારુ પાઠ નંબર 2 . સમ અને વિષમ કાર્યો……………….6

વ્યવહારુ પાઠ નંબર 1

કાર્યો. ડોમેન અને ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ.

લક્ષ્યો: વિષય પર કૌશલ્યો અને સમસ્યા હલ કરવાની કુશળતાને એકીકૃત કરો: “વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર અને કાર્યના મૂલ્યોનો સમૂહ.

સાધન:

નોંધ. પ્રથમ, તમારે વિષય પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીની સમીક્ષા કરવી જોઈએ: "વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને કાર્યના મૂલ્યોનો સમૂહ," તે પછી તમે વ્યવહારુ ભાગ પૂર્ણ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો.

માર્ગદર્શિકા:

વ્યાખ્યા: કાર્ય ડોમેન– આ દલીલ x ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેના પર ફંક્શન ઉલ્લેખિત છે (અથવા x નો સમૂહ જેના માટે ફંક્શન અર્થપૂર્ણ છે).

હોદ્દો:ડી(y),ડી( f)- કાર્યની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.

નિયમ: ઓ શોધવા માટેબ્લાસ્ટિગ્રાફ પરથી ફંક્શન નક્કી કરવા માટે, OX પર ગ્રાફ ડિઝાઇન કરવો જરૂરી છે.

વ્યાખ્યા:કાર્ય શ્રેણીy નો સમૂહ છે જેના માટે કાર્ય અર્થપૂર્ણ છે.

હોદ્દો: E(y), E(f)- કાર્યની શ્રેણી.

નિયમ: ઓ શોધવા માટેબ્લાસ્ટિગ્રાફ અનુસાર કાર્ય મૂલ્યો, ગ્રાફ op-amp પર પ્રક્ષેપિત થવો જોઈએ.

№ 1. કાર્ય મૂલ્યો શોધો:

a) f(x) = 4 x+ પોઈન્ટ 2;20 પર;

b) f(x) = 2 · cos(x) પોઈન્ટ પર; 0;

વી) f(x) = પોઈન્ટ 1;0 પર; 2;

જી) f(x) = 6 પાપ 4 xબિંદુઓ પર; 0;

e) f(x) = 2 9 xપોઈન્ટ 2 પર + 10; 0; 5.

№ 2. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો:

a) f(x) = ; b ) f(x) = ;વી ) f(x) = ;

જી) f(x) = ; ડી) f(x) = ; e) f (x) = 6 x +1;

અને) f(x) = ; h) f(x) = .

№3. કાર્યની શ્રેણી શોધો:

એ) f(x) = 2+3 x; b) f(x) = 2 7 x + 3.

№ 4. વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને ફંક્શનના મૂલ્યનું ડોમેન શોધો જેનો ગ્રાફ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યો છે:

વ્યવહારુ પાઠ નંબર 2

સમ અને વિષમ કાર્યો.

લક્ષ્યો: વિષય પર કૌશલ્યો અને સમસ્યા હલ કરવાની કુશળતાને એકીકૃત કરો: "સમ અને વિષમ કાર્યો."

સાધન: વ્યવહારુ કાર્ય માટે નોટબુક, પેન, કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટેની માર્ગદર્શિકા

નોંધ. પ્રથમ, તમારે વિષય પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને પુનરાવર્તિત કરવી જોઈએ: "સમાન અને વિચિત્ર કાર્યો", જેના પછી તમે વ્યવહારુ ભાગ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો.

સોલ્યુશનના યોગ્ય ફોર્મેટિંગ વિશે ભૂલશો નહીં.

માર્ગદર્શિકા:

કાર્યોના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોમાં સમાનતા અને વિચિત્રતાનો સમાવેશ થાય છે.

વ્યાખ્યા: કાર્ય કહેવાય છેવિચિત્ર ફેરફારો તેનો અર્થ તેની વિરુદ્ધ,

તે f (x) = f (x).

વિષમ કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ (0;0) વિશે સપ્રમાણ છે.

ઉદાહરણો : વિચિત્ર કાર્યો y=x, y= છે, y= પાપ x અને અન્ય

ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રાફ y= મૂળ વિશે ખરેખર સપ્રમાણ છે (જુઓ આકૃતિ 1):

ફિગ.1. જી ગ્રાફ y = (ક્યુબિક પેરાબોલા)

વ્યાખ્યા: કાર્ય કહેવાય છેસમ , જો દલીલની નિશાની બદલતી વખતે, તેબદલાતું નથી તેનો અર્થ, એટલે કે f (x) = f (x).

સમ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓપ-એમ્પ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.

ઉદાહરણો : સમ વિધેયો ફંક્શન y= છે, y = ,

y= cosxવગેરે

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો op-amp અક્ષની સાપેક્ષ ગ્રાફ y= ની સમપ્રમાણતા બતાવીએ:

ફિગ.2. આલેખ =

વ્યવહારુ કાર્ય માટેના કાર્યો:

№1. સમ અથવા વિષમ માટે કાર્યની વિશ્લેષણાત્મક રીતે તપાસ કરો:

1) f (x) = 2 x 3 – 3; 2) f (x) = 5 x 2 + 3;

3) g (x) = – +; 4) g (x) = –2 x 3 + 3;

5) y(x) = 7xc tgx; 6) y(x)= + cosx;

7) t(x) = tgx 3; 8) t(x) = + પાપx.

№2. સમ અથવા વિષમ માટે કાર્યની વિશ્લેષણાત્મક રીતે તપાસ કરો:

1) f (x) = ; 2) f (x) = 6 + · પાપ 2 x· cosx;

3) f (x) = ; 4) f (x) = 2 + · cos 2 x· પાપx;

5) f (x) = ; 6) f (x) = 3 + · પાપ 4 x· cosx;

7) f (x) = ; 8) f (x) = 3 + · cos 4 x· પાપx.

№3. આલેખ અનુસાર સમ અથવા વિષમ માટે કાર્યનું પરીક્ષણ કરો:

№4. તપાસો કે ફંક્શન સમ છે કે વિષમ?

સૂચનાઓ

યાદ રાખો કે ફંક્શન એ ચલ X પર ચલ Y ની અવલંબન છે જેમ કે ચલ X ની દરેક કિંમત ચલ Yના એક મૂલ્યને અનુલક્ષે છે.

ચલ X એ સ્વતંત્ર ચલ અથવા દલીલ છે. Y ચલ એ આશ્રિત ચલ છે. એવું પણ માનવામાં આવે છે કે ચલ Y એ ચલ Xનું કાર્ય છે. ફંક્શનની કિંમતો આશ્રિત ચલના મૂલ્યો જેટલી છે.

સ્પષ્ટતા માટે, અભિવ્યક્તિઓ લખો. જો ચલ X પર ચલ Y ની અવલંબન એ ફંક્શન છે, તો તે આ રીતે લખવામાં આવે છે: y=f(x). (વાંચો: y એ x ના f બરાબર છે.) x ની સમાન દલીલના મૂલ્યને અનુરૂપ કાર્યની કિંમત દર્શાવવા માટે f(x) પ્રતીકનો ઉપયોગ કરો.

પર કાર્યનો અભ્યાસ સમાનતાઅથવા વિચિત્ર- ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવા માટેના સામાન્ય અલ્ગોરિધમના પગલાંમાંથી એક, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવા અને તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે જરૂરી છે. આ પગલામાં, તમારે તે નક્કી કરવાની જરૂર છે કે કાર્ય સમ છે કે વિષમ. જો કોઈ ફંક્શનને સમ કે વિષમ ન કહી શકાય, તો તેને સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય કહેવાય છે.

સૂચનાઓ

દલીલ x (-x) ને બદલો અને જુઓ કે તમને શું મળે છે. મૂળ ફંક્શન y(x) સાથે સરખામણી કરો. જો y(-x)=y(x), તો આપણી પાસે એક સમાન કાર્ય છે. જો y(-x)=-y(x), તો આપણી પાસે એક વિચિત્ર કાર્ય છે. જો y(-x) y(x) ની બરાબર નથી અને -y(x) બરાબર નથી, તો આપણી પાસે સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે.

ફંક્શન સાથેની તમામ કામગીરી ફક્ત સેટમાં જ કરી શકાય છે જ્યાં તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી, ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે અને તેના ગ્રાફનું નિર્માણ કરતી વખતે, વ્યાખ્યાના ડોમેનને શોધીને પ્રથમ ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે.

સૂચનાઓ

જો ફંક્શન y=g(x)/f(x) હોય, તો f(x)≠0 ઉકેલો કારણ કે અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. એટલે કે, વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેટ (-∞; 4)∪(4; +∞) હશે.

જ્યારે ફંક્શનની વ્યાખ્યામાં સમ રુટ હાજર હોય, ત્યારે અસમાનતાને ઉકેલો જ્યાં મૂલ્ય શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર હોય. સમ રુટ ફક્ત બિન-નકારાત્મક સંખ્યામાંથી લઈ શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, y=√(x−2), x−2≥0. પછી વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેટ છે, એટલે કે, જો y=arcsin(f(x)) અથવા y=arccos(f(x)), તો તમારે ડબલ અસમાનતા -1≤f(x)≤1 ઉકેલવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેગમેન્ટ [-3; -1].

છેલ્લે, જો વિવિધ કાર્યોનું સંયોજન આપવામાં આવે, તો વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ આ તમામ કાર્યોની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સનું આંતરછેદ છે. ઉદાહરણ તરીકે, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). પ્રથમ, તમામ શબ્દોની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો. પાપ(2*x) સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. x/√(x+2) ફંક્શન માટે, અસમાનતા x+2>0 ઉકેલો અને વ્યાખ્યાનું ડોમેન (-2; +∞) હશે. ફંક્શન આર્ક્સીન(x−6) ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન ડબલ અસમાનતા -1≤x-6≤1 દ્વારા આપવામાં આવે છે, એટલે કે, સેગમેન્ટ મેળવવામાં આવે છે. લઘુગણક માટે, અસમાનતા x−6>0 ધરાવે છે, અને આ અંતરાલ છે (6; +∞). આમ, ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેટ (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), એટલે કે, (6; 7] હશે.

વિષય પર વિડિઓ

સ્ત્રોતો:

• લૉગરિધમ સાથે ફંક્શનનું ડોમેન

ફંક્શન એ એક ખ્યાલ છે જે સમૂહોના ઘટકો વચ્ચેના સંબંધને પ્રતિબિંબિત કરે છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે "કાયદો" છે જે મુજબ એક સમૂહનું દરેક ઘટક (જેને વ્યાખ્યાનું ડોમેન કહેવાય છે) બીજા સમૂહના કેટલાક તત્વ સાથે સંકળાયેલું છે ( મૂલ્યોનું ડોમેન કહેવાય છે).