સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેના નિયમો. સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

આ પાઠમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ જોઈશું. ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને અલગ-અલગ કાર્યોના રૂપમાં ઉકેલવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, "ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો" અને અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા દરમિયાન. ઉચ્ચ ગણિતની લગભગ તમામ શાખાઓમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે.

પ્રથમ, થોડો સિદ્ધાંત. આ કિસ્સામાં ગાણિતિક શબ્દ "રેખીય" નો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણો બધાચલો સમાવેશ થાય છે પ્રથમ ડિગ્રીમાં: કોઈપણ ફેન્સી સામગ્રી વગર વગેરે, જેનાથી માત્ર ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સમાં ભાગ લેનારા જ ખુશ છે.

ઉચ્ચ ગણિતમાં, માત્ર બાળપણથી જ પરિચિત અક્ષરોનો ઉપયોગ ચલોને દર્શાવવા માટે થતો નથી.
એકદમ લોકપ્રિય વિકલ્પ એ અનુક્રમણિકાઓ સાથેના ચલો છે: .
અથવા લેટિન મૂળાક્ષરોના પ્રારંભિક અક્ષરો, નાના અને મોટા:
ગ્રીક અક્ષરો શોધવાનું એટલું દુર્લભ નથી: - ઘણા લોકો માટે "આલ્ફા, બીટા, ગામા" તરીકે જાણીતા છે. અને સૂચકાંકો સાથેનો સમૂહ પણ, કહો, "mu" અક્ષર સાથે:

અક્ષરોના એક અથવા બીજા સમૂહનો ઉપયોગ ઉચ્ચ ગણિતના વિભાગ પર આધાર રાખે છે જેમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામનો કરીએ છીએ. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અવિભાજ્ય અને વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં, સંકેતનો ઉપયોગ કરવો પરંપરાગત છે.

પરંતુ ચલોને કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે તે કોઈ બાબત નથી, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટેના સિદ્ધાંતો, પદ્ધતિઓ અને પદ્ધતિઓ બદલાતી નથી. આમ, જો તમને ડરામણી જેવી કોઈ વસ્તુ મળે, તો ડરીને સમસ્યાનું પુસ્તક બંધ કરવા ઉતાવળ ન કરો, છેવટે, તમે તેના બદલે સૂર્ય, તેના બદલે પક્ષી અને તેના બદલે ચહેરો (શિક્ષક) દોરી શકો છો. અને, રમુજી લાગે છે તેમ, આ સંકેતો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પણ ઉકેલી શકાય છે.

મને લાગે છે કે લેખ ખૂબ લાંબો હશે, તેથી સામગ્રીનું એક નાનું કોષ્ટક. તેથી, ક્રમિક "ડિબ્રીફિંગ" આના જેવું હશે:

- અવેજી પદ્ધતિ ("શાળા પદ્ધતિ") નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી;
- સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળો (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને હલ કરવી;
- ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો ઉકેલ;
- વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી;
- ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું નિરાકરણ.

દરેક વ્યક્તિ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાંથી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોથી પરિચિત છે. આવશ્યકપણે, અમે પુનરાવર્તન સાથે પ્રારંભ કરીએ છીએ.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

આ પદ્ધતિને "શાળા પદ્ધતિ" અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહી શકાય. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, તેને "અપૂર્ણ ગૌસીયન પદ્ધતિ" પણ કહી શકાય.

ઉદાહરણ 1

અહીં આપણને બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે. નોંધ કરો કે મફત શબ્દો (સંખ્યા 5 અને 7) સમીકરણની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેઓ ડાબી બાજુ કે જમણી બાજુ ક્યાં છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, તે માત્ર એટલું જ છે કે ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યાઓમાં તેઓ ઘણીવાર તે રીતે સ્થિત હોય છે. અને જો જરૂરી હોય તો આવા રેકોર્ડિંગથી મૂંઝવણ ન થવી જોઈએ, સિસ્ટમ હંમેશા "હંમેશની જેમ" લખી શકાય છે: . ભૂલશો નહીં કે જ્યારે કોઈ શબ્દને ભાગથી બીજા ભાગમાં ખસેડો, ત્યારે તેને તેની નિશાની બદલવાની જરૂર છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાનો અર્થ શું છે? સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના ઘણા ઉકેલો શોધવા. સિસ્ટમનું સોલ્યુશન એ તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ છે, જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે. વધુમાં, સિસ્ટમ હોઈ શકે છે બિન-સંયુક્ત (કોઈ ઉકેલ નથી).શરમાશો નહીં, આ એક સામાન્ય વ્યાખ્યા છે =) આપણી પાસે માત્ર એક "x" મૂલ્ય અને એક "y" મૂલ્ય હશે, જે દરેક c-we સમીકરણને સંતોષે છે.

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે એક ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ છે, જેનાથી તમે તમારી જાતને વર્ગમાં પરિચિત કરી શકો છો. રેખા સાથેની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ. ત્યાં મેં વાત કરી ભૌમિતિક અર્થમાંબે અજ્ઞાત સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. પરંતુ હવે આ બીજગણિત, અને સંખ્યાઓ-સંખ્યાઓ, ક્રિયાઓ-ક્રિયાઓનો યુગ છે.

ચાલો નક્કી કરીએ: પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ:
અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ, સમાન શબ્દો ઉમેરીએ છીએ અને મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

આગળ, અમને યાદ છે કે અમે શા માટે નૃત્ય કર્યું:
આપણે મૂલ્ય પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, જે બાકી છે તે શોધવાનું છે:

જવાબ આપો:

સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમ કોઈપણ રીતે હલ થઈ જાય પછી, હું તપાસવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું (મૌખિક રીતે, ડ્રાફ્ટ પર અથવા કેલ્ક્યુલેટર પર). સદનસીબે, આ સરળતાથી અને ઝડપથી થાય છે.

1) મળેલા જવાબને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

2) મળેલા જવાબને બીજા સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

અથવા, વધુ સરળ રીતે કહીએ તો, "બધું એકસાથે આવ્યું"

ઉકેલની માનવામાં આવતી પદ્ધતિ માત્ર એક જ નથી જે પ્રથમ સમીકરણથી વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું, અને નહીં.
તમે તેનાથી વિરુદ્ધ કરી શકો છો - બીજા સમીકરણમાંથી કંઈક વ્યક્ત કરો અને તેને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે ચાર પદ્ધતિઓમાંથી સૌથી વધુ ગેરલાભ એ બીજા સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરવાનું છે:

પરિણામ અપૂર્ણાંક છે, પણ શા માટે? ત્યાં વધુ તર્કસંગત ઉકેલ છે.

જો કે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં તમે હજી પણ અપૂર્ણાંક વિના કરી શકતા નથી. આ સંદર્ભમાં, મેં અભિવ્યક્તિ કેવી રીતે લખી તે તરફ હું તમારું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. આના જેવું નથી: અને કોઈ પણ સંજોગોમાં આના જેવું નથી: .

જો ઉચ્ચ ગણિતમાં તમે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છો, તો પછી બધી ગણતરીઓ સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં કરવાનો પ્રયાસ કરો.

બરાબર, અને નહીં અથવા!

અલ્પવિરામનો ઉપયોગ ફક્ત ક્યારેક જ થઈ શકે છે, ખાસ કરીને જો તે કોઈ સમસ્યાનો અંતિમ જવાબ હોય, અને આ નંબર સાથે આગળ કોઈ ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર નથી.

ઘણા વાચકોએ કદાચ વિચાર્યું કે "સુધારણા વર્ગ માટે આટલી વિગતવાર સમજૂતી શા માટે, બધું સ્પષ્ટ છે." આ પ્રકારનું કંઈ નથી, તે આવા સરળ શાળાના ઉદાહરણ જેવું લાગે છે, પરંતુ ઘણા બધા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ તારણો છે! અહીં બીજું એક છે:

તમારે કોઈપણ કાર્યને સૌથી તર્કસંગત રીતે પૂર્ણ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. જો માત્ર એટલા માટે કે તે સમય અને ચેતાને બચાવે છે, અને ભૂલ કરવાની સંભાવના પણ ઘટાડે છે.

જો ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યામાં તમે બે અજાણ્યા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં આવો છો, તો તમે હંમેશા અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો (જ્યાં સુધી તે સૂચવવામાં ન આવે કે સિસ્ટમને બીજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવાની જરૂર છે). કે તમે સકર છો અને “શાળા પદ્ધતિ” નો ઉપયોગ કરવા બદલ તમારો ગ્રેડ ઘટાડશો
તદુપરાંત, કેટલાક કિસ્સાઓમાં મોટી સંખ્યામાં ચલો સાથે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2

ત્રણ અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનું અભિન્ન અંગ શોધીએ છીએ ત્યારે અનિશ્ચિત ગુણાંકની કહેવાતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમ ઘણીવાર ઊભી થાય છે. પ્રશ્નમાં રહેલી સિસ્ટમ મારા દ્વારા ત્યાંથી લેવામાં આવી હતી.

જ્યારે અભિન્ન શોધો, ત્યારે ધ્યેય છે ઝડપીક્રેમરના સૂત્રો, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ વગેરેનો ઉપયોગ કરવાને બદલે ગુણાંકના મૂલ્યો શોધો. તેથી, આ કિસ્સામાં, અવેજી પદ્ધતિ યોગ્ય છે.

જ્યારે કોઈપણ સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ તે શોધવાનું ઇચ્છનીય છે કે શું તેને કોઈક રીતે તરત જ સરળ બનાવવું શક્ય છે? સિસ્ટમના સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નોંધ્યું છે કે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજિત કરી શકાય છે, જે આપણે કરીએ છીએ:

સંદર્ભ:ગાણિતિક ચિહ્નનો અર્થ થાય છે "આમાંથી તે અનુસરે છે" અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાના ઉકેલમાં થાય છે.

હવે આપણે સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીએ; મારે કયું સમીકરણ પસંદ કરવું જોઈએ? તમે કદાચ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે કે આ હેતુ માટે સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ લેવું:

અહીં, કોઈપણ ચલ વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ વાંધો નથી, વ્યક્તિ એટલી જ સરળતાથી વ્યક્ત કરી શકે છે અથવા .

આગળ, અમે સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં અભિવ્યક્તિને બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ:

ત્રીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજીત કરો:

બીજા સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

લગભગ બધું તૈયાર છે, ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
બીજા સમીકરણમાંથી:
પ્રથમ સમીકરણમાંથી:

તપાસો: સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ ચલોના મળેલા મૂલ્યોને બદલો:

1)
2)
3)

સમીકરણોની અનુરૂપ જમણી બાજુઓ મેળવવામાં આવે છે, આમ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળે છે.

ઉદાહરણ 3

4 અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો (પાઠના અંતે જવાબ આપો).

સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળો (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમનો ઉકેલ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો હલ કરતી વખતે, તમારે "શાળા પદ્ધતિ" નો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરણ (બાદબાકી) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. શા માટે? આ સમય બચાવે છે અને ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે, જો કે, હવે બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે.

ઉદાહરણ 4

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

મેં પ્રથમ ઉદાહરણની જેમ જ સિસ્ટમ લીધી.
સમીકરણોની સિસ્ટમનું વિશ્લેષણ કરતાં, અમે નોંધ્યું છે કે ચલના ગુણાંક તીવ્રતામાં સમાન છે અને સાઇન (–1 અને 1) માં વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરી શકાય છે:

લાલ રંગમાં ચક્કર લગાવેલી ક્રિયાઓ માનસિક રીતે કરવામાં આવે છે.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનના પરિણામે, અમે ચલ ગુમાવ્યું. આ, હકીકતમાં, શું છે પદ્ધતિનો સાર એ ચલોમાંના એકમાંથી છુટકારો મેળવવાનો છે.

અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરેલ ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ કરતાં વધુ વિશ્વસનીય.

અવેજી પદ્ધતિ

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે 7મા ધોરણમાં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો. 7મા ધોરણમાં વિકસાવવામાં આવેલ અલ્ગોરિધમ બે ચલ x અને y (અલબત્ત, ચલોને અન્ય અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરી શકાય છે, જેમાં કોઈ ફરક પડતો નથી) સાથે કોઈપણ બે સમીકરણો (જરૂરી નથી કે રેખીય) ઉકેલવા માટે તદ્દન યોગ્ય છે. હકીકતમાં, અમે અગાઉના ફકરામાં આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જ્યારે બે-અંકની સંખ્યાની સમસ્યા ગાણિતિક મોડેલ તરફ દોરી જાય છે, જે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે. અમે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉપરોક્ત સમીકરણોની આ સિસ્ટમ ઉકેલી છે (§ 4 માંથી ઉદાહરણ 1 જુઓ).

બે ચલ x, y સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

1. સિસ્ટમના એક સમીકરણમાંથી x ના સંદર્ભમાં y વ્યક્ત કરો.
2. સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બદલો.
3. x માટે પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.
4. પ્રથમ ચરણમાં મેળવેલ x દ્વારા y અભિવ્યક્તિમાં x ને બદલે ત્રીજા પગલામાં મળેલ સમીકરણના દરેક મૂળને બદલામાં બદલો.
5. અનુક્રમે ત્રીજા અને ચોથા પગલામાં જોવા મળતા મૂલ્યોની જોડી (x; y) ના રૂપમાં જવાબ લખો.

4) સૂત્ર x = 5 - 3 માં y ના મળેલા દરેક મૂલ્યોને એક પછી એક બદલો. જો પછી
5) સમીકરણોની આપેલ સિસ્ટમ માટે જોડી (2; 1) અને ઉકેલો.

જવાબ: (2; 1);

બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ, અવેજી પદ્ધતિની જેમ, તમને 7મા ધોરણના બીજગણિત કોર્સથી પરિચિત છે, જ્યાં તેનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે થતો હતો. ચાલો નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિનો સાર યાદ કરીએ.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણની તમામ શરતોને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ અને બીજા સમીકરણને યથાવત છોડીએ:
સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને તેના પ્રથમ સમીકરણમાંથી બાદ કરો:

મૂળ સિસ્ટમના બે સમીકરણોના બીજગણિતીય ઉમેરણના પરિણામે, એક સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું જે આપેલ સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો કરતાં સરળ હતું. આ સરળ સમીકરણ સાથે અમને આપેલ સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણને બદલવાનો અધિકાર છે, ઉદાહરણ તરીકે બીજું. પછી આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ એક સરળ સિસ્ટમ દ્વારા બદલવામાં આવશે:

આ સિસ્ટમને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. બીજા સમીકરણમાંથી આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં y ને બદલે આ અભિવ્યક્તિ શોધીએ છીએ

તે x ના મળેલા મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલવાનું બાકી છે

જો x = 2 તો

આમ, અમને સિસ્ટમના બે ઉકેલો મળ્યા:

નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિ

8મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં એક ચલ સાથે તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલતી વખતે તમને નવા ચલનો પરિચય કરાવવાની પદ્ધતિનો પરિચય થયો હતો. સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિનો સાર એ જ છે, પરંતુ તકનીકી દૃષ્ટિકોણથી ત્યાં કેટલીક સુવિધાઓ છે જેની આપણે નીચેના ઉદાહરણોમાં ચર્ચા કરીશું.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ પછી સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને વધુ સરળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: ચાલો આ સમીકરણને વેરીએબલના સંદર્ભમાં હલ કરીએ.

આ બંને મૂલ્યો સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી ચલ t સાથેના તર્કસંગત સમીકરણના મૂળ છે. પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે ક્યાં તો આપણે શોધીએ છીએ કે x = 2y, અથવા
આમ, નવા ચલને રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને "સ્તરીકરણ" કરવામાં વ્યવસ્થાપિત કર્યું, જે દેખાવમાં એકદમ જટિલ હતું, બે સરળ સમીકરણોમાં:

x = 2 y; y - 2x.

આગળ શું છે? અને પછી પ્રાપ્ત કરેલ બે સરળ સમીકરણોમાંથી દરેકને સમીકરણ x 2 - y 2 = 3 સાથેની સિસ્ટમમાં બદલામાં ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે, જે આપણે હજી સુધી યાદ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમીકરણોની બે સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે સમસ્યા નીચે આવે છે:

આપણે પ્રથમ સિસ્ટમ, બીજી સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે અને જવાબમાં મૂલ્યોની તમામ પરિણામી જોડીનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે. ચાલો સમીકરણોની પ્રથમ સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ, ખાસ કરીને કારણ કે અહીં બધું તેના માટે તૈયાર છે: ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં x ને બદલે 2y અભિવ્યક્તિને બદલીએ. અમને મળે છે

x = 2y થી, આપણે અનુક્રમે, x 1 = 2, x 2 = 2 શોધીએ છીએ. આમ, આપેલ સિસ્ટમના બે ઉકેલો પ્રાપ્ત થાય છે: (2; 1) અને (-2; -1). ચાલો સમીકરણોની બીજી સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ચાલો ફરીથી અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ: સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે 2x અભિવ્યક્તિને બદલીએ. અમને મળે છે

આ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલ નથી. આમ, જવાબમાં ફક્ત પ્રથમ સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે.

જવાબ: (2; 1); (-2;-1).

બે ચલ સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ બે સંસ્કરણોમાં થાય છે. પ્રથમ વિકલ્પ: સિસ્ટમના માત્ર એક સમીકરણમાં એક નવું ચલ રજૂ કરવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ 3 માં આ બરાબર થયું છે. બીજો વિકલ્પ: સિસ્ટમના બંને સમીકરણોમાં બે નવા ચલો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે અને એકસાથે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ઉદાહરણ 4 માં આ કેસ હશે.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો બે નવા ચલો રજૂ કરીએ:

ચાલો તે પછી ધ્યાનમાં લઈએ

આ તમને આપેલ સિસ્ટમને વધુ સરળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપશે, પરંતુ નવા ચલ a અને b ના સંદર્ભમાં:

a = 1 થી, પછી સમીકરણ a + 6 = 2 માંથી આપણે શોધીએ છીએ: 1 + 6 = 2; 6=1. આમ, a અને b ચલોના સંદર્ભમાં, અમને એક ઉકેલ મળ્યો:

x અને y ચલો પર પાછા ફરીને, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

ચાલો આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે બીજગણિતીય ઉમેરણની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ:

ત્યારથી 2x + y = 3 સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
આમ, x અને y ચલોના સંદર્ભમાં, અમને એક ઉકેલ મળ્યો:

ચાલો આ ફકરાને સંક્ષિપ્ત પરંતુ તેના બદલે ગંભીર સૈદ્ધાંતિક વાતચીત સાથે સમાપ્ત કરીએ. તમે પહેલાથી જ વિવિધ સમીકરણોને ઉકેલવામાં થોડો અનુભવ મેળવ્યો છે: રેખીય, ચતુર્ભુજ, તર્કસંગત, અતાર્કિક. તમે જાણો છો કે સમીકરણ ઉકેલવાનો મુખ્ય વિચાર ધીમે ધીમે એક સમીકરણમાંથી બીજા સમીકરણમાં જવાનું છે, સરળ, પરંતુ આપેલ સમકક્ષ. અગાઉના ફકરામાં અમે બે ચલ સાથેના સમીકરણો માટે સમાનતાનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે પણ થાય છે.

વ્યાખ્યા.

ચલ x અને y સાથેના સમીકરણોની બે સિસ્ટમોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે સમાન ઉકેલો હોય અથવા જો બંને સિસ્ટમોમાં કોઈ ઉકેલો ન હોય.

અમે આ વિભાગમાં ચર્ચા કરી છે તે ત્રણેય પદ્ધતિઓ (અવેજી, બીજગણિત ઉમેરો અને નવા ચલોનો પરિચય) સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી એકદમ સાચી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમીકરણોની એક સિસ્ટમને બીજી, સરળ, પરંતુ મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ સાથે બદલીએ છીએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

અમે પહેલાથી જ શીખ્યા છીએ કે કેવી રીતે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને અવેજી પદ્ધતિ, બીજગણિતીય ઉમેરણ અને નવા ચલોની રજૂઆત જેવી સામાન્ય અને વિશ્વસનીય રીતે હલ કરવી. હવે ચાલો તે પદ્ધતિને યાદ કરીએ જેનો તમે પહેલાના પાઠમાં અભ્યાસ કર્યો છે. એટલે કે, ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન પદ્ધતિ વિશે તમે જે જાણો છો તેનું પુનરાવર્તન કરીએ.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ગ્રાફિકલી ઉકેલવાની પદ્ધતિમાં આપેલ સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક ચોક્કસ સમીકરણો માટે ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે અને તે સમાન સંકલન સમતલમાં સ્થિત છે, તેમજ આ બિંદુઓના આંતરછેદ શોધવા માટે જરૂરી છે. આલેખ સમીકરણોની આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે આ બિંદુ (x; y) ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સમીકરણોની ગ્રાફિકલ સિસ્ટમમાં કાં તો એક જ સાચો ઉકેલ, અથવા અસંખ્ય ઉકેલો, અથવા કોઈ ઉકેલો ન હોવા સામાન્ય છે.

હવે ચાલો આ દરેક ઉકેલોને વધુ વિગતવાર જોઈએ. અને તેથી, જો સિસ્ટમના સમીકરણોના આલેખની રેખાઓ એકબીજાને છેદે તો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અનન્ય ઉકેલ હોઈ શકે છે. જો આ રેખાઓ સમાંતર હોય, તો સમીકરણોની આવી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી. જો સિસ્ટમના સમીકરણોના સીધા આલેખ એકસરખા હોય, તો આવી સિસ્ટમ તમને ઘણા ઉકેલો શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

સારું, ચાલો હવે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 2 અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમને જોઈએ:

પ્રથમ, પ્રથમ આપણે 1લા સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ;
બીજું પગલું બીજા સમીકરણ સાથે સંબંધિત ગ્રાફ બનાવવાનું હશે;
ત્રીજે સ્થાને, આપણે આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે.
અને પરિણામે, આપણને દરેક આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે, જે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ હશે.

ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિને વધુ વિગતવાર જોઈએ. અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે જેને હલ કરવાની જરૂર છે:

સમીકરણો ઉકેલવા

1. પ્રથમ, આપણે આ સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીશું: x2+y2=9.

પરંતુ એ નોંધવું જોઈએ કે સમીકરણોનો આ આલેખ મૂળમાં કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ હશે, અને તેની ત્રિજ્યા ત્રણ જેટલી હશે.

2. આપણું આગલું પગલું સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવવાનું હશે જેમ કે: y = x – 3.

આ કિસ્સામાં, આપણે એક સીધી રેખા બનાવવી જોઈએ અને બિંદુઓ (0;−3) અને (3;0) શોધવા જોઈએ.

3. ચાલો જોઈએ કે આપણને શું મળ્યું. આપણે જોઈએ છીએ કે સીધી રેખા વર્તુળને તેના બે બિંદુઓ A અને B પર છેદે છે.

હવે આપણે આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે કોઓર્ડિનેટ્સ (3;0) બિંદુ A ને અનુરૂપ છે, અને કોઓર્ડિનેટ્સ (0;−3) બિંદુ B ને અનુરૂપ છે.

અને પરિણામે આપણને શું મળે છે?

જ્યારે રેખા વર્તુળને છેદે છે ત્યારે મેળવેલી સંખ્યાઓ (3;0) અને (0;−3) સિસ્ટમના બંને સમીકરણોના ચોક્કસ ઉકેલો છે. અને તેમાંથી તે અનુસરે છે કે આ સંખ્યાઓ પણ આ સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો છે.

એટલે કે, આ ઉકેલનો જવાબ નંબરો છે: (3;0) અને (0;−3).

વિવિધ પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે આર્થિક ક્ષેત્રમાં સમીકરણોની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોડક્શન મેનેજમેન્ટ અને પ્લાનિંગ, લોજિસ્ટિક્સ રૂટ્સ (ટ્રાન્સપોર્ટ પ્રોબ્લેમ) અથવા ઇક્વિપમેન્ટ પ્લેસમેન્ટની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે, જ્યારે વસ્તીનું કદ શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ બે અથવા વધુ સમીકરણો છે જેમાં અનેક ચલ હોય છે જેના માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. સંખ્યાઓનો આવો ક્રમ કે જેના માટે તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બને અથવા સાબિત કરે કે ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી.

રેખીય સમીકરણ

ax+by=c ફોર્મના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો x, y એ અજાણ્યા છે જેનું મૂલ્ય મળવું આવશ્યક છે, b, a એ ચલોના ગુણાંક છે, c એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.
કાવતરું ઘડીને સમીકરણ ઉકેલવું તે એક સીધી રેખા જેવું દેખાશે, જેનાં તમામ બિંદુઓ બહુપદીના ઉકેલો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના પ્રકાર

સૌથી સરળ ઉદાહરણો બે ચલ X અને Y સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ગણવામાં આવે છે.

F1(x, y) = 0 અને F2(x, y) = 0, જ્યાં F1,2 ફંક્શન છે અને (x, y) ફંક્શન વેરિયેબલ છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો - આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યો (x, y) શોધવા કે જેના પર સિસ્ટમ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે x અને y ના યોગ્ય મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લખેલા મૂલ્યોની જોડી (x, y), રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવાય છે.

જો સિસ્ટમમાં એક સામાન્ય ઉકેલ હોય અથવા કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ એવી પ્રણાલીઓ છે જેની જમણી બાજુ શૂન્યની બરાબર છે. જો સમાન ચિહ્ન પછીના જમણા ભાગમાં મૂલ્ય હોય અથવા ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આવી સિસ્ટમ વિજાતીય છે.

ચલોની સંખ્યા બે કરતા ઘણી વધારે હોઈ શકે છે, પછી આપણે ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણ વિશે વાત કરવી જોઈએ.

જ્યારે પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, ત્યારે શાળાના બાળકો ધારે છે કે સમીકરણોની સંખ્યા અનિવાર્યપણે અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ, પરંતુ આવું નથી. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલ પર આધારિત નથી;

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી; બધી પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક ઉકેલો પર આધારિત છે. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ક્રમચય, બીજગણિત ઉમેરો, અવેજીકરણ, તેમજ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ જેવી પદ્ધતિઓનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

ઉકેલની પદ્ધતિઓ શીખવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય એ શીખવવાનું છે કે સિસ્ટમનું યોગ્ય રીતે વિશ્લેષણ કેવી રીતે કરવું અને દરેક ઉદાહરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ શોધવું. મુખ્ય વસ્તુ એ દરેક પદ્ધતિ માટે નિયમો અને ક્રિયાઓની સિસ્ટમને યાદ રાખવાની નથી, પરંતુ ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના સિદ્ધાંતોને સમજવાની છે.

7મા ધોરણના સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોનું નિરાકરણ એકદમ સરળ છે અને ખૂબ જ વિગતવાર સમજાવવામાં આવ્યું છે. કોઈપણ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં આ વિભાગ પર પૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ગૌસ અને ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણોને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શિક્ષણના પ્રથમ વર્ષોમાં વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

અવેજી પદ્ધતિની ક્રિયાઓનો હેતુ બીજાની દ્રષ્ટિએ એક ચલના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાનો છે. અભિવ્યક્તિને બાકીના સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, પછી તેને એક ચલ સાથેના સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યાના આધારે ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ 7 ની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ચલ x એ F(X) = 7 + Y દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી અભિવ્યક્તિ, X ની જગ્યાએ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલાઈ, 2જી સમીકરણમાં એક ચલ Y મેળવવામાં મદદ કરી. . આ ઉદાહરણને ઉકેલવું સરળ છે અને તમને Y મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ઉકેલવું હંમેશા શક્ય નથી. સમીકરણો જટિલ હોઈ શકે છે અને બીજા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં ચલને વ્યક્ત કરવું વધુ ગણતરીઓ માટે ખૂબ બોજારૂપ હશે. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ અજાણ્યા હોય, ત્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવું પણ અયોગ્ય છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ:

બીજગણિત ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલો માટે શોધ કરતી વખતે, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે અને વિવિધ સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓનું અંતિમ ધ્યેય એ એક ચલમાં સમીકરણ છે.

આ પદ્ધતિના ઉપયોગ માટે પ્રેક્ટિસ અને અવલોકન જરૂરી છે. જ્યારે 3 અથવા વધુ ચલ હોય ત્યારે વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી સરળ નથી. જ્યારે સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ હોય ત્યારે બીજગણિતીય ઉમેરો વાપરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

1. સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. અંકગણિત કામગીરીના પરિણામે, ચલના ગુણાંકમાંથી એક 1 ની બરાબર થવો જોઈએ.
2. શબ્દ દ્વારા પરિણામી અભિવ્યક્તિ શબ્દ ઉમેરો અને અજ્ઞાતમાંથી એક શોધો.
3. બાકીના ચલ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલો.

નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલની પદ્ધતિ

જો સિસ્ટમને બે કરતાં વધુ સમીકરણો માટે ઉકેલ શોધવાની જરૂર હોય તો એક નવું ચલ રજૂ કરી શકાય છે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ નવા ચલ રજૂ કરીને સમીકરણોમાંથી એકને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. નવા સમીકરણને રજૂ કરાયેલ અજાણ્યા માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી મૂલ્યનો ઉપયોગ મૂળ ચલ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ બતાવે છે કે નવું ચલ t રજૂ કરીને, સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાં ઘટાડી શકાય તેવું શક્ય હતું. તમે ભેદભાવ શોધીને બહુપદી ઉકેલી શકો છો.

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે: D = b2 - 4*a*c, જ્યાં D એ ઇચ્છિત ભેદભાવ છે, b, a, c એ બહુપદીના પરિબળો છે. આપેલ ઉદાહરણમાં, a=1, b=16, c=39, તેથી D=100. જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો હોય, તો બે ઉકેલો છે: t = -b±√D / 2*a, જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં ઓછો હોય, તો ત્યાં એક ઉકેલ છે: x = -b / 2*a.

પરિણામી સિસ્ટમો માટેનો ઉકેલ ઉમેરણ પદ્ધતિ દ્વારા મળી આવે છે.

સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિઝ્યુઅલ પદ્ધતિ

3 સમીકરણ સિસ્ટમો માટે યોગ્ય. પદ્ધતિમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક સમીકરણના ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. વણાંકોના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ હશે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ઘોંઘાટ છે. ચાલો દ્રશ્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે, દરેક લીટી માટે બે પોઈન્ટ બનાવવામાં આવ્યા હતા, x ચલના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: 0 અને 3. x ના મૂલ્યોના આધારે, y માટેના મૂલ્યો મળ્યા હતા: 3 અને 0. કોઓર્ડિનેટ્સ (0, 3) અને (3, 0) સાથેના બિંદુઓને ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને એક રેખા દ્વારા જોડાયેલા હતા.

બીજા સમીકરણ માટે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

નીચેના ઉદાહરણ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગ્રાફિકલ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે: 0.5x-y+2=0 અને 0.5x-y-1=0.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આલેખ સમાંતર છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદે નથી.

ઉદાહરણો 2 અને 3 માંથી સિસ્ટમો સમાન છે, પરંતુ જ્યારે બનાવવામાં આવે છે ત્યારે તે સ્પષ્ટ બને છે કે તેમના ઉકેલો અલગ છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે કે નહીં તે કહેવું હંમેશા શક્ય નથી;

મેટ્રિક્સ અને તેની જાતો

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંક્ષિપ્તમાં લખવા માટે થાય છે. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓથી ભરેલું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું કોષ્ટક છે. n*m માં n - પંક્તિઓ અને m - કૉલમ છે.

જ્યારે કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન હોય ત્યારે મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે. મેટ્રિક્સ-વેક્ટર એ એક કૉલમનું મેટ્રિક્સ છે જેમાં પંક્તિઓની અસંખ્ય સંભવિત સંખ્યા છે. એક કર્ણ અને અન્ય શૂન્ય તત્વો સાથેના મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ છે, જ્યારે તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે ત્યારે મૂળ એક એકમ મેટ્રિક્સમાં ફેરવાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંબંધમાં, સમીકરણોના ગુણાંક અને મુક્ત શરતો મેટ્રિક્સ નંબરો તરીકે લખવામાં આવે છે, એક સમીકરણ મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ છે.

જો પંક્તિનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક શૂન્ય ન હોય તો મેટ્રિક્સ પંક્તિ બિનશૂન્ય હોવાનું કહેવાય છે. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણોમાં ચલોની સંખ્યા અલગ હોય, તો ગુમ થયેલ અજાણ્યાની જગ્યાએ શૂન્ય દાખલ કરવું જરૂરી છે.

મેટ્રિક્સ કૉલમ ચલોને સખત રીતે અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચલ x ના ગુણાંક ફક્ત એક કૉલમમાં લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ, અજાણ્યા y નો ગુણાંક - ફક્ત બીજામાં.

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ક્રમિક રીતે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના વિકલ્પો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે: K -1 = 1 / |K|, જ્યાં K -1 એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે, અને |K| મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે. |કે| શૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે.

નિર્ણાયકને બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ માટે સરળતાથી ગણવામાં આવે છે, તમારે ફક્ત વિકર્ણ તત્વોને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. “ત્રણ બાય ત્રણ” વિકલ્પ માટે એક સૂત્ર છે |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અથવા તમે યાદ રાખી શકો છો કે તમારે દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી એક ઘટક લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને કાર્યમાં કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન ન થાય.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા

સોલ્યુશન શોધવાની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને મોટી સંખ્યામાં ચલ અને સમીકરણો સાથે સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે બોજારૂપ એન્ટ્રીઓને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણમાં, a nm એ સમીકરણોના ગુણાંક છે, મેટ્રિક્સ એ વેક્ટર છે x n ચલ છે, અને b n એ મુક્ત પદો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

ઉચ્ચ ગણિતમાં, ગૌસિયન પદ્ધતિનો ક્રેમર પદ્ધતિ સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને ગૌસ-ક્રેમર સોલ્યુશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં રેખીય સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમોના ચલોને શોધવા માટે થાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિ અવેજી અને બીજગણિત ઉમેરા દ્વારા ઉકેલો જેવી જ છે, પરંતુ વધુ વ્યવસ્થિત છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, 3 અને 4 સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનો ઉપયોગ થાય છે. પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમને ઊંધી ટ્રેપેઝોઇડના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો છે. બીજગણિત પરિવર્તન અને અવેજીના માધ્યમથી, એક ચલનું મૂલ્ય સિસ્ટમના સમીકરણોમાંના એકમાં જોવા મળે છે. બીજું સમીકરણ 2 અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યારે 3 અને 4 અનુક્રમે 3 અને 4 ચલ સાથે છે.

સિસ્ટમને વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી, વધુ ઉકેલને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં જાણીતા ચલોના અનુક્રમિક અવેજીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ધોરણ 7 માટે શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્ટેપ (3) પર બે સમીકરણો પ્રાપ્ત થયા: 3x 3 -2x 4 =11 અને 3x 3 +2x 4 =7. કોઈપણ સમીકરણો ઉકેલવાથી તમે એક ચલ x n શોધી શકશો.

પ્રમેય 5, જે ટેક્સ્ટમાં ઉલ્લેખિત છે, તે જણાવે છે કે જો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને સમકક્ષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો પરિણામી સિસ્ટમ પણ મૂળ સમકક્ષ હશે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ મધ્યમ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમજવી મુશ્કેલ છે, પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગોમાં અદ્યતન શિક્ષણ કાર્યક્રમોમાં નોંધાયેલા બાળકોની ચાતુર્ય વિકસાવવાની તે સૌથી રસપ્રદ રીતો પૈકીની એક છે.

રેકોર્ડીંગની સરળતા માટે, ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:

સમીકરણો અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની દરેક પંક્તિ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને અનુરૂપ હોય છે. સમીકરણની ડાબી બાજુને જમણી બાજુથી અલગ કરે છે. રોમન અંકો સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

પ્રથમ, જેની સાથે કામ કરવું છે તે મેટ્રિક્સ લખો, પછી એક પંક્તિ સાથે કરવામાં આવેલી બધી ક્રિયાઓ. પરિણામી મેટ્રિક્સ "તીર" ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે અને પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી જરૂરી બીજગણિત કામગીરી ચાલુ રાખવામાં આવે છે.

પરિણામ એક મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ જેમાં એક કર્ણ 1 ની બરાબર હોય, અને અન્ય તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે, મેટ્રિક્સને એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.

આ રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ ઓછી બોજારૂપ છે અને અસંખ્ય અજાણ્યાઓને સૂચિબદ્ધ કરીને તમને વિચલિત ન થવા દે છે.

કોઈપણ ઉકેલ પદ્ધતિના મફત ઉપયોગ માટે કાળજી અને કેટલાક અનુભવની જરૂર પડશે. બધી પદ્ધતિઓ લાગુ પ્રકૃતિની નથી. ઉકેલો શોધવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના ચોક્કસ ક્ષેત્રમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, જ્યારે અન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે.

આ વિડિઓ સાથે હું સમીકરણોની સિસ્ટમોને સમર્પિત પાઠોની શ્રેણી શરૂ કરું છું. આજે આપણે રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી ઉકેલવા વિશે વાત કરીશું વધારાની પદ્ધતિ- આ સૌથી સરળ પદ્ધતિઓમાંની એક છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી અસરકારક છે.

ઉમેરવાની પદ્ધતિમાં ત્રણ સરળ પગલાંઓ શામેલ છે:

1. સિસ્ટમ જુઓ અને દરેક સમીકરણમાં સમાન (અથવા વિરુદ્ધ) ગુણાંક ધરાવતા ચલ પસંદ કરો;
2. એકબીજામાંથી સમીકરણોની બીજગણિત બાદબાકી (વિરોધી સંખ્યાઓ માટે - સરવાળો) કરો અને પછી સમાન શરતો લાવો;
3. બીજા પગલા પછી મેળવેલ નવા સમીકરણને ઉકેલો.

જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવે, તો આઉટપુટ પર આપણને એક સમીકરણ મળશે એક ચલ સાથે- તેને હલ કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય. પછી જે બાકી રહે છે તે મૂળ સિસ્ટમમાં મળેલા રુટને બદલવા અને અંતિમ જવાબ મેળવવાનું છે.

જો કે, વ્યવહારમાં બધું એટલું સરળ નથી. આના માટે ઘણા કારણો છે:

• ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવાથી સૂચિત થાય છે કે બધી રેખાઓમાં સમાન/વિરોધી ગુણાંક સાથેના ચલ હોવા જોઈએ. જો આ જરૂરિયાત પૂરી ન થાય તો શું કરવું?
• હંમેશા નહીં, દર્શાવેલ રીતે સમીકરણો ઉમેરી/બાદબાકી કર્યા પછી, આપણને એક સુંદર બાંધકામ મળે છે જે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. શું કોઈક રીતે ગણતરીઓને સરળ બનાવવી અને ગણતરીઓને ઝડપી બનાવવી શક્ય છે?

આ પ્રશ્નોના જવાબ મેળવવા માટે, અને તે જ સમયે કેટલીક વધારાની સૂક્ષ્મતાને સમજવા માટે, જેમાં ઘણા વિદ્યાર્થીઓ નિષ્ફળ જાય છે, મારો વિડિઓ પાઠ જુઓ:

આ પાઠ સાથે આપણે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને સમર્પિત વ્યાખ્યાનોની શ્રેણી શરૂ કરીએ છીએ. અને આપણે તેમાંથી સૌથી સરળથી શરૂ કરીશું, એટલે કે જેમાં બે સમીકરણો અને બે ચલો છે. તેમાંથી દરેક રેખીય હશે.

સિસ્ટમ્સ 7મા ધોરણની સામગ્રી છે, પરંતુ આ પાઠ ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ ઉપયોગી થશે કે જેઓ આ વિષયના તેમના જ્ઞાનને આગળ વધારવા માંગે છે.

સામાન્ય રીતે, આવી સિસ્ટમોને હલ કરવા માટે બે પદ્ધતિઓ છે:

1. ઉમેરણ પદ્ધતિ;
2. એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાની પદ્ધતિ.

આજે આપણે પ્રથમ પદ્ધતિ સાથે વ્યવહાર કરીશું - આપણે બાદબાકી અને સરવાળાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું. પરંતુ આ કરવા માટે, તમારે નીચેની હકીકત સમજવાની જરૂર છે: એકવાર તમારી પાસે બે અથવા વધુ સમીકરણો હોય, તો તમે તેમાંથી કોઈપણ બે લઈ શકો છો અને તેમને એકબીજામાં ઉમેરી શકો છો. તેઓ સભ્ય દ્વારા સભ્ય ઉમેરવામાં આવે છે, એટલે કે. "X's" ને "X's" માં ઉમેરવામાં આવે છે અને સમાન આપવામાં આવે છે, "Y's" સાથે "Y's" ફરીથી સમાન હોય છે, અને સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ જે છે તે પણ એકબીજા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે, અને સમાન ચિહ્નો પણ ત્યાં આપવામાં આવે છે. .

આવા ષડયંત્રના પરિણામો એક નવું સમીકરણ હશે, જે, જો તેના મૂળ હશે, તો તે ચોક્કસપણે મૂળ સમીકરણના મૂળમાં હશે. તેથી, અમારું કાર્ય બાદબાકી અથવા સરવાળો એવી રીતે કરવાનું છે કે $x$ અથવા $y$ અદૃશ્ય થઈ જાય.

આ કેવી રીતે પ્રાપ્ત કરવું અને આ માટે કયા સાધનનો ઉપયોગ કરવો - અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

તેથી, આપણે બે સરળ સમીકરણોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું શીખીએ છીએ.

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે $y$ નો પ્રથમ સમીકરણમાં $-4$ અને બીજામાં $+4$ નો ગુણાંક છે. તેઓ પરસ્પર વિરોધી છે, તેથી એવું માનવું તાર્કિક છે કે જો આપણે તેમને ઉમેરીએ, તો પરિણામી રકમમાં "રમતો" પરસ્પર નાશ પામશે. તેને ઉમેરો અને મેળવો:

ચાલો સૌથી સરળ બાંધકામ હલ કરીએ:

સરસ, અમને "x" મળ્યો. હવે આપણે તેની સાથે શું કરવું જોઈએ? અમને તેને કોઈપણ સમીકરણોમાં બદલવાનો અધિકાર છે. ચાલો પહેલા અવેજી કરીએ:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(2;-3 \જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

અહીં પરિસ્થિતિ સંપૂર્ણપણે સમાન છે, ફક્ત "X's" સાથે. ચાલો તેમને ઉમેરીએ:

અમારી પાસે સૌથી સરળ રેખીય સમીકરણ છે, ચાલો તેને હલ કરીએ:

હવે ચાલો $x$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-3;3 \right)$.

મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ

તેથી, અમે ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની બે સરળ સિસ્ટમો ઉકેલી છે. મુખ્ય મુદ્દાઓ ફરીથી:

1. જો કોઈ એક ચલ માટે વિરોધી ગુણાંક હોય, તો સમીકરણમાં તમામ ચલો ઉમેરવા જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, તેમાંથી એક નાશ પામશે.
2. અમે બીજા સમીકરણો શોધવા માટે કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ.
3. અંતિમ પ્રતિભાવ રેકોર્ડ વિવિધ રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ - $x=...,y=...$, અથવા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સના સ્વરૂપમાં - $\left(...;... \right)$. બીજો વિકલ્પ પ્રાધાન્યક્ષમ છે. યાદ રાખવાની મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે પ્રથમ સંકલન $x$ છે, અને બીજું $y$ છે.
4. પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સના રૂપમાં જવાબ લખવાનો નિયમ હંમેશા લાગુ પડતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ચલો $x$ અને $y$ ન હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી, પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, $a$ અને $b$.

નીચેની સમસ્યાઓમાં આપણે બાદબાકીની તકનીકને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે ગુણાંક વિરુદ્ધ ન હોય.

બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે અહીં કોઈ વિરોધી ગુણાંક નથી, પરંતુ સમાન ગુણાંક છે. તેથી, અમે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ છીએ:

હવે આપણે $x$ ને કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં બદલીએ છીએ. ચાલો પહેલા જઈએ:

જવાબ: $\left(2;5\જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

અમે ફરીથી પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાં $x$ માટે $5$ નો સમાન ગુણાંક જોયો. તેથી, તે ધારવું તાર્કિક છે કે તમારે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરવાની જરૂર છે:

અમે એક ચલની ગણતરી કરી છે. હવે ચાલો બીજું શોધીએ, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય $y$ ને બીજા બાંધકામમાં બદલીને:

જવાબ: $\left(-3;-2 \right)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તો આપણે શું જોઈએ છીએ? અનિવાર્યપણે, યોજના અગાઉની સિસ્ટમોના ઉકેલથી અલગ નથી. ફરક એટલો જ છે કે આપણે સમીકરણો ઉમેરતા નથી, પણ બાદબાકી કરીએ છીએ. અમે બીજગણિત બાદબાકી કરી રહ્યા છીએ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જલદી તમે બે અજ્ઞાતમાં બે સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમ જોશો, તમારે પ્રથમ વસ્તુ જોવાની જરૂર છે તે ગુણાંક છે. જો તેઓ ગમે ત્યાં સમાન હોય, તો સમીકરણો બાદબાકી કરવામાં આવે છે, અને જો તેઓ વિરુદ્ધ હોય, તો ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ હંમેશા કરવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી એક અદૃશ્ય થઈ જાય, અને અંતિમ સમીકરણમાં, જે બાદબાકી પછી રહે છે, માત્ર એક ચલ રહે છે.

અલબત્ત, તે બધુ જ નથી. હવે આપણે એવી સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું કે જેમાં સમીકરણો સામાન્ય રીતે અસંગત હોય છે. તે. તેમાં એવા કોઈ ચલ નથી કે જે કાં તો સમાન હોય અથવા વિરુદ્ધ હોય. આ કિસ્સામાં, આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે, વધારાની તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, દરેક સમીકરણોને વિશિષ્ટ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો. તેને કેવી રીતે શોધવું અને સામાન્ય રીતે આવી સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી, અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

આપણે જોઈએ છીએ કે ન તો $x$ માટે અને ન તો $y$ માટે ગુણાંક માત્ર પરસ્પર વિરોધી જ નથી, પણ અન્ય સમીકરણ સાથે કોઈપણ રીતે સહસંબંધ ધરાવતા નથી. આ ગુણાંકો કોઈપણ રીતે અદૃશ્ય થઈ જશે નહીં, ભલે આપણે એકબીજામાંથી સમીકરણો ઉમેરીએ અથવા બાદ કરીએ. તેથી, ગુણાકાર લાગુ કરવો જરૂરી છે. ચાલો $y$ ચલથી છુટકારો મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ સમીકરણને બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ના ગુણાંક દ્વારા અને બીજા સમીકરણને પ્રથમ સમીકરણના $y$ ના ગુણાંક વડે ગુણાંક કરીએ છીએ, ચિહ્નને સ્પર્શ કર્યા વિના. અમે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને નવી સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ચાલો તેને જોઈએ: $y$ પર ગુણાંક વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. ચાલો ઉમેરીએ:

હવે આપણે $y$ શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિમાં $x$ બદલો:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(4;-2 \જમણે)$.

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ફરીથી, કોઈપણ ચલો માટેના ગુણાંક સુસંગત નથી. ચાલો $y$ ના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \જમણે. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

અમારી નવી સિસ્ટમ પાછલી સિસ્ટમની સમકક્ષ છે, પરંતુ $y$ ના ગુણાંક પરસ્પર વિરુદ્ધ છે, અને તેથી અહીં વધારાની પદ્ધતિ લાગુ કરવી સરળ છે:

હવે ચાલો પહેલા સમીકરણમાં $x$ ને બદલીને $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-2;1 \જમણે)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

અહીં મુખ્ય નિયમ નીચે મુજબ છે: અમે હંમેશા માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ - આ તમને બદલાતા ચિહ્નો સાથે સંકળાયેલ મૂર્ખ અને અપમાનજનક ભૂલોથી બચાવશે. સામાન્ય રીતે, ઉકેલ યોજના એકદમ સરળ છે:

1. અમે સિસ્ટમ જોઈએ છીએ અને દરેક સમીકરણનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
2. જો આપણે જોઈએ કે ન તો $y$ કે $x$ ગુણાંક સુસંગત છે, એટલે કે. તેઓ ન તો સમાન છે કે ન તો વિરુદ્ધ, પછી આપણે નીચે મુજબ કરીએ છીએ: આપણે ચલ પસંદ કરીએ છીએ જેમાંથી આપણે છૂટકારો મેળવવાની જરૂર છે, અને પછી આપણે આ સમીકરણોના ગુણાંકને જોઈએ છીએ. જો આપણે પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, અને બીજાને અનુરૂપ રીતે, પ્રથમમાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, તો અંતે આપણને એક સિસ્ટમ મળશે જે અગાઉના સમકક્ષ છે, અને $ ના ગુણાંક y$ સુસંગત રહેશે. અમારી બધી ક્રિયાઓ અથવા રૂપાંતરણનો હેતુ માત્ર એક સમીકરણમાં એક ચલ મેળવવાનો છે.
3. આપણે એક ચલ શોધીએ છીએ.
4. અમે સિસ્ટમના બે સમીકરણોમાંથી એકમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ અને બીજું શોધીએ છીએ.
5. જો આપણી પાસે $x$ અને $y$ હોય તો અમે પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વરૂપે જવાબ લખીએ છીએ.

પરંતુ આવા સરળ અલ્ગોરિધમમાં પણ તેની પોતાની સૂક્ષ્મતા છે, ઉદાહરણ તરીકે, $x$ અથવા $y$ ના ગુણાંક અપૂર્ણાંક અને અન્ય "નીચ" સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. હવે અમે આ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું, કારણ કે તેમાં તમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ મુજબ કંઈક અલગ રીતે કાર્ય કરી શકો છો.

અપૂર્ણાંક સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ, નોંધ લો કે બીજા સમીકરણમાં અપૂર્ણાંકો છે. પરંતુ નોંધ લો કે તમે $4$ ને $0.8$ વડે ભાગી શકો છો. અમે $5$ પ્રાપ્ત કરીશું. ચાલો બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

અમે એકબીજામાંથી સમીકરણો બાદ કરીએ છીએ:

અમને $n$ મળ્યું, હવે ચાલો $m$ ગણીએ:

જવાબ: $n=-4;m=5$

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \જમણે. \\\end(align )\ અધિકાર.\]

અહીં, અગાઉની સિસ્ટમની જેમ, અપૂર્ણાંક ગુણાંકો છે, પરંતુ કોઈપણ ચલ માટે ગુણાંક એકબીજા સાથે પૂર્ણાંક સંખ્યાની સંખ્યામાં ફિટ થતા નથી. તેથી, અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $p$ થી છુટકારો મેળવો:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

અમે બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો બીજા બાંધકામમાં $k$ ને બદલીને $p$ શોધીએ:

જવાબ: $p=-4;k=-2$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તે બધા ઓપ્ટિમાઇઝેશન છે. પ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે કોઈ પણ વસ્તુથી ગુણાકાર કર્યો નથી, પરંતુ બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કર્યો છે. પરિણામે, અમે પ્રથમ ચલ માટે સુસંગત અને સમાન સમીકરણ પ્રાપ્ત કર્યું. બીજી સિસ્ટમમાં, અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનું અનુસરણ કર્યું.

પરંતુ તમે તે સંખ્યાઓ કેવી રીતે શોધી શકશો જેના દ્વારા સમીકરણોનો ગુણાકાર કરવો? છેવટે, જો આપણે અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને નવા અપૂર્ણાંક મળે છે. તેથી, અપૂર્ણાંકનો એક એવી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર થવો જોઈએ જે નવી પૂર્ણાંક આપશે, અને તે પછી ચલોનો પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમને અનુસરીને ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે.

નિષ્કર્ષમાં, હું તમારું ધ્યાન પ્રતિભાવ રેકોર્ડ કરવા માટેના ફોર્મેટ તરફ દોરવા માંગુ છું. મેં પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, અહીં અમારી પાસે $x$ અને $y$ નથી, પરંતુ અન્ય મૂલ્યો હોવાથી, અમે ફોર્મના બિન-માનક સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

આજના વિડિયો ટ્યુટોરીયલની અંતિમ નોંધ તરીકે, ચાલો ખરેખર જટિલ સિસ્ટમો જોઈએ. તેમની જટિલતા એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ હશે કે તેમની પાસે ડાબે અને જમણે બંને પર ચલ હશે. તેથી, તેમને ઉકેલવા માટે આપણે પ્રીપ્રોસેસિંગ લાગુ કરવું પડશે.

સિસ્ટમ નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \જમણે)-1=5\લેફ્ટ(2x-1 \જમણે)+8 \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

દરેક સમીકરણ ચોક્કસ જટિલતા ધરાવે છે. તેથી, ચાલો દરેક અભિવ્યક્તિને નિયમિત રેખીય બાંધકામની જેમ ગણીએ.

કુલમાં, અમને અંતિમ સિસ્ટમ મળે છે, જે મૂળની સમકક્ષ છે:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ચાલો $y$ ના ગુણાંક જોઈએ: $3$ બે વાર $6$ માં બંધબેસે છે, તો ચાલો પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$ ના ગુણાંક હવે સમાન છે, તેથી આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ: $$

હવે ચાલો $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

સિસ્ટમ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \જમણે -12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

ચાલો પ્રથમ અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ:

ચાલો બીજા સાથે વ્યવહાર કરીએ:

\[-3\left(b-2a \જમણે)-12=2\left(a-5 \જમણે)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

કુલમાં, અમારી પ્રારંભિક સિસ્ટમ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

$a$ ના ગુણાંકને જોતા, આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ બાંધકામમાંથી બીજાને બાદ કરો:

હવે ચાલો $a$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

બસ. હું આશા રાખું છું કે આ વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ તમને આ મુશ્કેલ વિષયને સમજવામાં મદદ કરશે, એટલે કે સરળ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ ઉકેલવામાં. ભવિષ્યમાં આ વિષય પર ઘણા વધુ પાઠ હશે: અમે વધુ જટિલ ઉદાહરણો જોઈશું, જ્યાં વધુ ચલો હશે, અને સમીકરણો પોતે બિનરેખીય હશે. ફરી મળીશું!