લંબચોરસ સમાંતર નળીવાળા વિરુદ્ધ ચહેરાઓ. સમાંતર ના પ્રકાર

આ પાઠમાં, દરેક વ્યક્તિ "લંબચોરસ સમાંતર" વિષયનો અભ્યાસ કરી શકશે. પાઠની શરૂઆતમાં, આપણે મનસ્વી અને સીધા સમાંતર નળીઓ શું છે તેનું પુનરાવર્તન કરીશું, તેમના વિરોધી ચહેરાઓ અને સમાંતરના કર્ણના ગુણધર્મોને યાદ રાખીશું. પછી આપણે ક્યુબોઇડ શું છે તે જોઈશું અને તેના મૂળભૂત ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીશું.

વિષય: રેખાઓ અને વિમાનોની લંબરૂપતા

પાઠ: ઘન

બે સમાન સમાંતર ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 અને ચાર સમાંતર ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ની બનેલી સપાટી કહેવાય છે. સમાંતર(ફિગ. 1).

ચોખા. 1 સમાંતર

એટલે કે: આપણી પાસે બે સમાન સમાંતર ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 (બેઝ) છે, તેઓ સમાંતર સમતલમાં આવેલા છે જેથી બાજુની ધાર AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 સમાંતર હોય. આમ, સમાંતરગ્રામની બનેલી સપાટી કહેવાય છે સમાંતર.

આમ, સમાંતર નળીઓની સપાટી એ સમાંતર નળીઓ બનાવેલા તમામ સમાંતરગ્રામોનો સરવાળો છે.

1. સમાંતર નળીઓના વિરોધી ચહેરાઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે.

(આકારો સમાન છે, એટલે કે, તેમને ઓવરલેપ કરીને જોડી શકાય છે)

ઉદાહરણ તરીકે:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (વ્યાખ્યા પ્રમાણે સમાન સમાંતરગ્રામ),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (કારણ કે AA 1 B 1 B અને DD 1 C 1 C સમાંતર નળીઓના વિરુદ્ધ ચહેરા છે),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (કારણ કે AA 1 D 1 D અને BB 1 C 1 C સમાંતર નળીઓના વિરુદ્ધ ચહેરા છે).

2. સમાંતર નળીઓના કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે અને આ બિંદુથી દ્વિભાજિત થાય છે.

સમાંતર AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ના કર્ણ એક બિંદુ O પર છેદે છે, અને દરેક કર્ણ આ બિંદુ (ફિગ. 2) દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે.

ચોખા. 2 સમાંતરપાઈપવાળા કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

3. સમાંતર નળીઓની સમાન અને સમાંતર ધારના ત્રણ ચતુષ્કોણ હોય છે: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

વ્યાખ્યા. જો તેની બાજુની કિનારીઓ પાયાને લંબરૂપ હોય તો સમાંતર નળીઓને સીધી કહેવામાં આવે છે.

બાજુની ધાર AA 1 ને આધાર (ફિગ. 3) પર લંબરૂપ થવા દો. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા AA 1 એ સીધી રેખાઓ AD અને AB માટે લંબરૂપ છે, જે આધારના સમતલમાં આવેલી છે. આનો અર્થ એ છે કે બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ ધરાવે છે. અને પાયામાં મનસ્વી સમાંતરગ્રામો હોય છે. ચાલો ∠BAD = φ સૂચવીએ, કોણ φ કોઈપણ હોઈ શકે છે.

ચોખા. 3 જમણી બાજુની સમાંતર

તેથી, જમણી બાજુની સમાંતર નળીઓ એ સમાંતર પાઇપ છે જેમાં બાજુની કિનારીઓ સમાંતર ના પાયા પર લંબરૂપ હોય છે.

વ્યાખ્યા. સમાંતર પાઇપને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે,જો તેની બાજુની કિનારીઓ આધારને લંબરૂપ હોય. પાયા લંબચોરસ છે.

સમાંતર ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 લંબચોરસ છે (ફિગ. 4), જો:

1. AA 1 ⊥ ABCD (બેઝના પ્લેન પર લંબરૂપ બાજુની ધાર, એટલે કે સીધી સમાંતર)

2. ∠BAD = 90°, એટલે કે આધાર એક લંબચોરસ છે.

ચોખા. 4 લંબચોરસ સમાંતર

એક લંબચોરસ સમાંતર નળીઓ મનસ્વી સમાંતર ના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે.પરંતુ ત્યાં વધારાના ગુણધર્મો છે જે ક્યુબોઇડની વ્યાખ્યામાંથી મેળવવામાં આવે છે.

તેથી, ક્યુબોઇડએક સમાંતર પાઇપ છે જેની બાજુની કિનારીઓ પાયા પર લંબ છે. ક્યુબોઇડનો આધાર એક લંબચોરસ છે.

1. લંબચોરસ સમાંતરમાં, બધા છ ચહેરા લંબચોરસ છે.

ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 વ્યાખ્યા પ્રમાણે લંબચોરસ છે.

2. બાજુની પાંસળીઓ પાયા પર લંબરૂપ હોય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે લંબચોરસ સમાંતર ના તમામ બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ છે.

3. લંબચોરસ સમાંતર નળીઓના તમામ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સાચા હોય છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધાર AB સાથે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપવાળા ડાયહેડ્રલ કોણ, એટલે કે, એબીસી 1 અને એબીસી વિમાનો વચ્ચેના ડાયહેડ્રલ કોણને ધ્યાનમાં લઈએ.

AB એ એક ધાર છે, બિંદુ A 1 એક પ્લેનમાં આવેલું છે - પ્લેન ABB 1 માં, અને બિંદુ D બીજામાં - પ્લેન A 1 B 1 C 1 D 1 માં. પછી વિચારણા હેઠળના ડાઇહેડ્રલ કોણને પણ નીચે પ્રમાણે સૂચિત કરી શકાય છે: ∠A 1 ABD.

ચાલો ધાર AB પર બિંદુ A લઈએ. AA 1 એ પ્લેન АВВ-1 માં કિનારી AB ને લંબ છે, AD એ પ્લેન ABC માં કિનારી AB ને લંબ છે. આનો અર્થ છે કે ∠A 1 AD એ આપેલ ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે. ∠A 1 AD = 90°, જેનો અર્થ છે કે ધાર AB પરનો ડાયહેડ્રલ કોણ 90° છે.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે લંબચોરસ સમાંતર ના કોઈપણ ડાયહેડ્રલ કોણ સાચા છે.

લંબચોરસ સમાંતરના કર્ણનો ચોરસ તેના ત્રણ પરિમાણના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે.

નોંધ. ક્યુબોઇડના એક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી ત્રણ ધારની લંબાઈ એ ઘનનું માપ છે. તેમને ક્યારેક લંબાઈ, પહોળાઈ, ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે.

આપેલ: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - લંબચોરસ સમાંતરપાઇપ (ફિગ. 5).

સાબિત કરો:.

ચોખા. 5 લંબચોરસ સમાંતર

પુરાવો:

સીધી રેખા CC 1 એ પ્લેન ABC માટે લંબ છે અને તેથી સીધી રેખા AC માટે. આનો અર્થ છે કે ત્રિકોણ CC 1 A કાટખૂણે છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

જમણો ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

પરંતુ BC અને AD એ લંબચોરસની વિરુદ્ધ બાજુઓ છે. તેથી BC = AD. પછી:

કારણ કે , એ , તે. CC 1 = AA 1 હોવાથી, આ તે છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

લંબચોરસ સમાંતર પાઇપના કર્ણ સમાન હોય છે.

ચાલો સમાંતર ABC ના પરિમાણોને a, b, c (જુઓ. 6) તરીકે દર્શાવીએ, પછી AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

વિદ્યાર્થીઓ વારંવાર ગુસ્સે થઈને પૂછે છે: "આ મને જીવનમાં કેવી રીતે ઉપયોગી થશે?" દરેક વિષયના કોઈપણ વિષય પર. સમાંતર પાઇપના વોલ્યુમ વિશેનો વિષય કોઈ અપવાદ નથી. અને આ તે છે જ્યાં તમે ફક્ત કહી શકો છો: "તે કામમાં આવશે."

ઉદાહરણ તરીકે, પોસ્ટલ બોક્સમાં પેકેજ ફિટ થશે કે કેમ તે તમે કેવી રીતે શોધી શકો છો? અલબત્ત, તમે અજમાયશ અને ભૂલ દ્વારા યોગ્ય પસંદ કરી શકો છો. જો આ શક્ય ન હોય તો શું? પછી ગણતરીઓ બચાવમાં આવશે. બૉક્સની ક્ષમતાને જાણીને, તમે પાર્સલના વોલ્યુમની ગણતરી કરી શકો છો (ઓછામાં ઓછા અંદાજે) અને પૂછેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો છો.

સમાંતર અને તેના પ્રકારો

જો આપણે પ્રાચીન ગ્રીકમાંથી તેનું નામ શાબ્દિક ભાષાંતર કરીએ, તો તે તારણ આપે છે કે તે સમાંતર વિમાનો ધરાવતી આકૃતિ છે. સમાંતર પાઇપની નીચેની સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ છે:

• સમાંતરગ્રામના સ્વરૂપમાં આધાર સાથે પ્રિઝમ;
• પોલિહેડ્રોન, જેનો દરેક ચહેરો સમાંતરગ્રામ છે.

તેના આધાર પર કઈ આકૃતિ આવેલી છે અને બાજુની પાંસળીઓ કેવી રીતે નિર્દેશિત થાય છે તેના આધારે તેના પ્રકારોને અલગ પાડવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, અમે વિશે વાત વળેલું સમાંતર, જેનો આધાર અને બધા ચહેરા સમાંતરગ્રામ છે. જો અગાઉના દૃશ્યના બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ બને છે, તો તેને કૉલ કરવાની જરૂર પડશે પ્રત્યક્ષ. અને લંબચોરસઅને આધારમાં પણ 90º કોણ છે.

તદુપરાંત, ભૂમિતિમાં તેઓ બાદમાંને એવી રીતે દર્શાવવાનો પ્રયાસ કરે છે કે તે નોંધનીય છે કે બધી ધાર સમાંતર છે. અહીં, માર્ગ દ્વારા, ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને કલાકારો વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત છે. બાદમાં પરિપ્રેક્ષ્યના કાયદાનું પાલન કરીને શરીરને અભિવ્યક્ત કરવું મહત્વપૂર્ણ છે. અને આ કિસ્સામાં, પાંસળીની સમાંતરતા સંપૂર્ણપણે અદ્રશ્ય છે.

રજૂ કરાયેલ નોટેશન વિશે

નીચેના સૂત્રોમાં, કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ સંકેતો માન્ય છે.

વલણવાળા સમાંતર માટેના સૂત્રો

વિસ્તારો માટે પ્રથમ અને બીજું:

ત્રીજું એ સમાંતર પાઇપના વોલ્યુમની ગણતરી કરવાનું છે:

આધાર સમાંતરગ્રામ હોવાથી, તેના વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે તમારે યોગ્ય સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડશે.

લંબચોરસ સમાંતર માટેના સૂત્રો

પ્રથમ બિંદુની જેમ જ - વિસ્તારો માટેના બે સૂત્રો:

અને વોલ્યુમ માટે વધુ એક:

પ્રથમ કાર્ય

શરત. લંબચોરસ સમાંતર આપેલ છે, જેનું વોલ્યુમ શોધવાની જરૂર છે. કર્ણ જાણીતું છે - 18 સેમી - અને હકીકત એ છે કે તે બાજુના ચહેરા અને બાજુની ધારના પ્લેન સાથે અનુક્રમે 30 અને 45 ડિગ્રીના ખૂણા બનાવે છે.

ઉકેલ.સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, તમારે ત્રણ કાટકોણ ત્રિકોણમાં બધી બાજુઓ જાણવાની જરૂર પડશે. તેઓ ધારના જરૂરી મૂલ્યો આપશે જેના દ્વારા તમારે વોલ્યુમની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

પ્રથમ તમારે 30º કોણ ક્યાં છે તે શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમારે તે જ શિરોબિંદુમાંથી બાજુના ચહેરાનો કર્ણ દોરવાની જરૂર છે જ્યાંથી સમાંતરગ્રામનો મુખ્ય કર્ણ દોરવામાં આવ્યો હતો. તેમની વચ્ચેનો કોણ જરૂરી છે તે હશે.

પ્રથમ ત્રિકોણ જે આધારની બાજુઓના મૂલ્યોમાંથી એક આપશે તે નીચે મુજબ હશે. તેમાં જરૂરી બાજુ અને બે દોરેલા કર્ણ છે. તે લંબચોરસ છે. હવે તમારે વિરોધી પગ (આધારની બાજુ) અને કર્ણ (કર્ણ) ના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. તે 30º ની સાઈન બરાબર છે. એટલે કે, આધારની અજ્ઞાત બાજુ 30º ​​અથવા ½ ની સાઈન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવેલ કર્ણ તરીકે નિર્ધારિત કરવામાં આવશે. તેને "a" અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત કરવા દો.

બીજો ત્રિકોણ હશે જેમાં જાણીતો કર્ણ અને એક ધાર હશે જેની સાથે તે 45º બનાવે છે. તે લંબચોરસ પણ છે, અને તમે ફરીથી કર્ણ અને પગના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરી શકો છો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બાજુની ધારથી કર્ણ સુધી. તે 45º ના કોસાઇન બરાબર છે. એટલે કે, "c" ની ગણતરી કર્ણ અને 45º ના કોસાઇનના ગુણાંક તરીકે કરવામાં આવે છે.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

સમાન ત્રિકોણમાં તમારે બીજો પગ શોધવાની જરૂર છે. પછી ત્રીજા અજાણ્યા - "માં" ની ગણતરી કરવા માટે આ જરૂરી છે. તેને "x" અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત કરવા દો. પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તેની સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (સેમી).

હવે આપણે બીજા જમણા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. તેમાં પહેલેથી જ જાણીતી બાજુઓ "c", "x" અને જેની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, "b" શામેલ છે:

માં = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (સેમી).

ત્રણેય પ્રમાણો જાણીતા છે. તમે વોલ્યુમ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને તેની ગણતરી કરી શકો છો:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

જવાબ:સમાંતર પાઇપનું કદ 729√2 સેમી 3 છે.

બીજું કાર્ય

શરત. તમારે સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ શોધવાની જરૂર છે. તેમાં, સમાંતરગ્રામની બાજુઓ, જે આધાર પર સ્થિત છે, તે 3 અને 6 સે.મી., તેમજ તેનો તીવ્ર કોણ - 45º તરીકે ઓળખાય છે. બાજુની પાંસળી 30º ના આધાર તરફ ઝોક ધરાવે છે અને તે 4 સે.મી.ની બરાબર છે.

ઉકેલ.સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, તમારે ફોર્મ્યુલા લેવાની જરૂર છે જે વલણવાળા સમાંતરના વોલ્યુમ માટે લખવામાં આવ્યું હતું. પરંતુ તેમાં બંને પ્રમાણ અજાણ્યા છે.

આધારનો વિસ્તાર, એટલે કે સમાંતરગ્રામનો, એક સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે જેમાં તમારે જાણીતી બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના તીવ્ર કોણની સાઈનનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

બીજો અજ્ઞાત જથ્થો ઊંચાઈ છે. તે આધાર ઉપરના ચાર શિરોબિંદુઓમાંથી કોઈપણમાંથી દોરવામાં આવી શકે છે. તે કાટકોણ ત્રિકોણમાંથી શોધી શકાય છે જેમાં ઊંચાઈ એ પગ છે અને બાજુની ધાર એ કર્ણ છે. આ કિસ્સામાં, 30º નો ખૂણો અજ્ઞાત ઊંચાઈની વિરુદ્ધ છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે પગના ગુણોત્તર અને કર્ણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

n = 4 * પાપ 30º = 4 * 1/2 = 2.

હવે બધા મૂલ્યો જાણીતા છે અને વોલ્યુમની ગણતરી કરી શકાય છે:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

જવાબ:વોલ્યુમ 18 √2 cm 3 છે.

ત્રીજું કાર્ય

શરત. સમાંતર નળીવાળાનું કદ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે તે સીધી છે. તેના આધારની બાજુઓ એક સમાંતર ચતુષ્કોણ બનાવે છે અને 2 અને 3 સે.મી.ની બરાબર હોય છે. તેમની વચ્ચેનો તીવ્ર કોણ 60º છે. પેરેલેલપાઈપનો નાનો કર્ણ આધારના મોટા કર્ણ જેટલો હોય છે.

ઉકેલ.સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ શોધવા માટે, અમે આધાર વિસ્તાર અને ઊંચાઈ સાથે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. બંને જથ્થાઓ અજ્ઞાત છે, પરંતુ તેમની ગણતરી કરવી સરળ છે. પ્રથમ એક ઊંચાઈ છે.

સમાંતર નળીનો નાનો કર્ણ મોટા પાયા સાથે કદમાં એકરુપ હોવાથી, તેમને સમાન અક્ષર d દ્વારા નિયુક્ત કરી શકાય છે. સમાંતરગ્રામનો સૌથી મોટો કોણ 120º છે, કારણ કે તે તીવ્ર સાથે 180º બનાવે છે. આધારના બીજા કર્ણને "x" અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત કરવા દો. હવે આધારના બે કર્ણ માટે આપણે કોસાઇન પ્રમેય લખી શકીએ છીએ:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

ચોરસ વિના મૂલ્યો શોધવાનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે પછીથી તેઓ ફરીથી બીજી શક્તિમાં ઉભા કરવામાં આવશે. ડેટાને બદલ્યા પછી, અમને મળે છે:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

હવે ઊંચાઈ, જે પેરેલેલપાઈપની બાજુની ધાર પણ છે, તે ત્રિકોણમાં એક પગ હશે. કર્ણ એ શરીરનો જાણીતો કર્ણ હશે, અને બીજો પગ "x" હશે. આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લખી શકીએ છીએ:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

આથી: n = √12 = 2√3 (cm).

હવે બીજો અજ્ઞાત જથ્થો આધારનો વિસ્તાર છે. બીજી સમસ્યામાં દર્શાવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરી શકાય છે.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

વોલ્યુમ ફોર્મ્યુલામાં દરેક વસ્તુને જોડીને, અમને મળે છે:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

જવાબ: V = 18 સેમી 3.

ચોથું કાર્ય

શરત. નીચેની શરતોને પૂર્ણ કરતી સમાંતર પાઇપનું કદ શોધવા માટે તે જરૂરી છે: આધાર 5 સે.મી.ની બાજુ સાથેનો ચોરસ છે; બાજુના ચહેરા રોમ્બસ છે; આધારની ઉપર સ્થિત શિરોબિંદુઓમાંથી એક આધાર પર પડેલા તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન છે.

ઉકેલ.પ્રથમ તમારે સ્થિતિ સાથે વ્યવહાર કરવાની જરૂર છે. ચોરસ વિશે પ્રથમ બિંદુ સાથે કોઈ પ્રશ્નો નથી. બીજું, સમચતુર્ભુજ વિશે, તે સ્પષ્ટ કરે છે કે સમાંતર પાઇપ વલણ ધરાવે છે. તદુપરાંત, તેની બધી કિનારીઓ 5 સેમી જેટલી છે, કારણ કે સમચતુર્ભુજની બાજુઓ સમાન છે. અને ત્રીજાથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે તેમાંથી દોરેલા ત્રણ કર્ણ સમાન છે. આ બે છે જે બાજુના ચહેરા પર આવેલા છે, અને છેલ્લું એક પેરેલેલેપાઇપની અંદર છે. અને આ કર્ણ ધારની બરાબર છે, એટલે કે, તેમની લંબાઈ પણ 5 સે.મી.

વોલ્યુમ નક્કી કરવા માટે, તમારે વલણવાળા સમાંતર માટે લખેલા સૂત્રની જરૂર પડશે. તેમાં ફરીથી કોઈ જાણીતી માત્રા નથી. જો કે, આધારના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી સરળ છે કારણ કે તે ચોરસ છે.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

ઊંચાઈ સાથે પરિસ્થિતિ થોડી વધુ જટિલ છે. તે ત્રણ આકૃતિઓમાં આના જેવું હશે: એક સમાંતર, ચતુષ્કોણીય પિરામિડ અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. આ છેલ્લા સંજોગોનો લાભ લેવો જોઈએ.

તે ઊંચાઈ હોવાથી, તે કાટખૂણે ત્રિકોણમાં એક પગ છે. તેમાં કર્ણ જાણીતી ધાર હશે, અને બીજો પગ ચોરસના અડધા કર્ણ જેટલો છે (ઊંચાઈ પણ મધ્યક છે). અને આધારનો કર્ણ શોધવાનું સરળ છે:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (સેમી).

ઊંચાઈની ગણતરી ધારની બીજી શક્તિ અને અડધા કર્ણના ચોરસ વચ્ચેના તફાવત તરીકે કરવાની રહેશે અને પછી વર્ગમૂળ લેવાનું યાદ રાખો:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (સેમી).

V = 25 * 2.5 √2 = 62.5 √2 (cm 3).

જવાબ: 62.5 √2 (સેમી 3).

પેરેલલેપાઈપ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેનાં તમામ 6 ચહેરા સમાંતરગ્રામ છે.

આ સમાંતરગ્રામના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, નીચેના પ્રકારના સમાંતર પાઈપને અલગ પાડવામાં આવે છે:

• પ્રત્યક્ષ
• વલણ
• લંબચોરસ

જમણી બાજુની સમાંતર પાઈપ એ ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે જેની કિનારીઓ પાયાના સમતલ સાથે 90°નો ખૂણો બનાવે છે.

એક લંબચોરસ સમાંતર ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે, જેના બધા ચહેરા લંબચોરસ છે. ક્યુબ એ ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમનો એક પ્રકાર છે જેમાં તમામ ચહેરા અને કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે.

આકૃતિના લક્ષણો તેના ગુણધર્મોને પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે. આમાં નીચેના 4 નિવેદનો શામેલ છે:

ઉપરોક્ત તમામ ગુણધર્મોને યાદ રાખવું સરળ છે, તે સમજવામાં સરળ છે અને ભૌમિતિક શરીરના પ્રકાર અને લાક્ષણિકતાઓના આધારે તાર્કિક રીતે લેવામાં આવે છે. જો કે, વિશિષ્ટ USE કાર્યોને હલ કરતી વખતે સરળ નિવેદનો અવિશ્વસનીય રીતે ઉપયોગી થઈ શકે છે અને પરીક્ષા પાસ કરવા માટે જરૂરી સમય બચાવશે.

સમાંતર સૂત્ર

સમસ્યાના જવાબો શોધવા માટે, ફક્ત આકૃતિના ગુણધર્મોને જાણવું પૂરતું નથી. ભૌમિતિક બોડીનું ક્ષેત્રફળ અને વોલ્યુમ શોધવા માટે તમારે કેટલાક સૂત્રોની પણ જરૂર પડી શકે છે.

પાયાનો વિસ્તાર સમાંતરગ્રામ અથવા લંબચોરસના અનુરૂપ સૂચકની જેમ જ જોવા મળે છે. તમે સમાંતરગ્રામનો આધાર જાતે પસંદ કરી શકો છો. એક નિયમ તરીકે, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પ્રિઝમ સાથે કામ કરવું વધુ સરળ છે, જેનો આધાર લંબચોરસ છે.

સમાંતર પાઇપની બાજુની સપાટી શોધવા માટેના સૂત્રની પણ પરીક્ષણ કાર્યોમાં જરૂર પડી શકે છે.

લાક્ષણિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોને હલ કરવાના ઉદાહરણો

કાર્ય 1.

આપેલ: 3, 4 અને 12 સે.મી.ના પરિમાણો સાથે લંબચોરસ સમાંતર.
જરૂરીઆકૃતિના મુખ્ય કર્ણમાંથી એકની લંબાઈ શોધો.
ઉકેલ: ભૌમિતિક સમસ્યાનો કોઈપણ ઉકેલ સાચા અને સ્પષ્ટ ડ્રોઇંગના નિર્માણથી શરૂ થવો જોઈએ, જેના પર "આપેલ" અને ઇચ્છિત મૂલ્ય સૂચવવામાં આવશે. નીચેની આકૃતિ કાર્ય શરતોના યોગ્ય અમલનું ઉદાહરણ બતાવે છે.

બનાવેલ ચિત્રની તપાસ કર્યા પછી અને ભૌમિતિક શરીરના તમામ ગુણધર્મોને યાદ રાખીને, અમે ઉકેલની એકમાત્ર સાચી પદ્ધતિ પર આવીએ છીએ. સમાંતર 4 થી ગુણધર્મ લાગુ કરવાથી, અમે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

સરળ ગણતરીઓ પછી આપણને સમીકરણ b2=169 મળે છે, તેથી b=13. કાર્યનો જવાબ મળી ગયો છે, તમારે તેને શોધવા અને દોરવામાં 5 મિનિટથી વધુ સમય પસાર કરવાની જરૂર નથી.

ભૂમિતિમાં, મુખ્ય વિભાવનાઓ સમતલ, બિંદુ, સીધી રેખા અને કોણ છે. આ શબ્દોનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિનું વર્ણન કરી શકો છો. પોલિહેડ્રાને સામાન્ય રીતે એક જ પ્લેનમાં રહેલા સરળ આકૃતિઓના સંદર્ભમાં વર્ણવવામાં આવે છે, જેમ કે વર્તુળ, ત્રિકોણ, ચોરસ, લંબચોરસ, વગેરે. આ લેખમાં આપણે જોઈશું કે પેરેલલેપાઈપ શું છે, પેરેલલેપાઈપના પ્રકારો, તેના ગુણધર્મો, તેમાં કયા તત્વોનો સમાવેશ થાય છે તેનું વર્ણન કરીશું અને દરેક પ્રકારના પેરેલલેપાઈપ માટે વિસ્તાર અને વોલ્યુમની ગણતરી માટે મૂળભૂત સૂત્રો પણ આપીશું.

વ્યાખ્યા

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સમાંતર પાઇપ એ પ્રિઝમ છે, જેની બધી બાજુઓ સમાંતરગ્રામ છે. તદનુસાર, તેમાં માત્ર ત્રણ જોડી સમાંતર સમાંતરગ્રામ અથવા છ ચહેરા હોઈ શકે છે.

સમાંતર પાઈપની કલ્પના કરવા માટે, એક સામાન્ય પ્રમાણભૂત ઈંટની કલ્પના કરો. ઈંટ એ લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનું સારું ઉદાહરણ છે જેની બાળક પણ કલ્પના કરી શકે છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં બહુમાળી પેનલ હાઉસ, કેબિનેટ, યોગ્ય આકારના ફૂડ સ્ટોરેજ કન્ટેનર વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

આકૃતિની વિવિધતા

ત્યાં ફક્ત બે પ્રકારના સમાંતર પાઈપ છે:

1. લંબચોરસ, જેની તમામ બાજુના ચહેરા પાયાના 90°ના ખૂણા પર છે અને લંબચોરસ છે.
2. ઢોળાવ, જેની બાજુની કિનારીઓ આધારના ચોક્કસ ખૂણા પર સ્થિત છે.

આ આકૃતિને કયા ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે?

• અન્ય કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિની જેમ, સમાન કિનારીવાળા કોઈપણ 2 ચહેરાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે, અને જેની પાસે તે નથી તે સમાંતર છે (સમાંતર ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ પર આધારિત, જેમાં સમાંતર વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડી હોય છે).
• સમાન ચહેરા પર ન હોય તેવા સમાંતર નળીઓના શિરોબિંદુઓ વિરુદ્ધ કહેવાય છે.
• આવા શિરોબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ કર્ણ છે.
• એક શિરોબિંદુ પર મળતા ઘનકારની ત્રણ ધારની લંબાઈ તેના પરિમાણો (એટલે ​​​​કે, તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) છે.

આકાર ગુણધર્મો

1. તે હંમેશા કર્ણની મધ્યમાં સમપ્રમાણરીતે બાંધવામાં આવે છે.
2. તમામ કર્ણનો આંતરછેદ બિંદુ દરેક કર્ણને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
3. વિરોધી ચહેરા લંબાઈમાં સમાન હોય છે અને સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય છે.
4. જો તમે સમાંતર ના તમામ પરિમાણોના ચોરસ ઉમેરો છો, તો પરિણામી મૂલ્ય કર્ણની લંબાઈના ચોરસ જેટલું હશે.

ગણતરીના સૂત્રો

સમાંતરના દરેક ચોક્કસ કેસ માટેના સૂત્રો અલગ હશે.

મનસ્વી સમાંતર પાઈપ માટે, તે સાચું છે કે તેનું વોલ્યુમ એક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતા ત્રણ બાજુઓના વેક્ટરના ટ્રિપલ સ્કેલર ઉત્પાદનના સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલું છે. જો કે, મનસ્વી સમાંતરના વોલ્યુમની ગણતરી માટે કોઈ સૂત્ર નથી.

લંબચોરસ સમાંતર માટે નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• વી - આકૃતિનું પ્રમાણ;
• Sb - બાજુની સપાટી વિસ્તાર;
• એસપી - કુલ સપાટી વિસ્તાર;
• a - લંબાઈ;
• b - પહોળાઈ;
• c - ઊંચાઈ.

સમાંતર પાઈપનો બીજો ખાસ કિસ્સો જેમાં બધી બાજુઓ ચોરસ હોય છે તે ક્યુબ છે. જો ચોરસની કોઈપણ બાજુ અક્ષર a દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવી હોય, તો આ આકૃતિના સપાટી વિસ્તાર અને વોલ્યુમ માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• એસ - આકૃતિનો વિસ્તાર,
• V એ આકૃતિનું પ્રમાણ છે,
• a એ આકૃતિના ચહેરાની લંબાઈ છે.

છેલ્લો પ્રકાર જે આપણે વિચારી રહ્યા છીએ તે એક સીધી સમાંતર છે. તમે પૂછો કે જમણા સમાંતર અને ક્યુબોઇડ વચ્ચે શું તફાવત છે. હકીકત એ છે કે લંબચોરસ સમાંતર નળીઓનો આધાર કોઈપણ સમાંતરગ્રામ હોઈ શકે છે, પરંતુ સીધા સમાંતરનો આધાર માત્ર એક લંબચોરસ હોઈ શકે છે. જો આપણે આધારની પરિમિતિને, બધી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા સમાન, Po તરીકે દર્શાવીએ અને h અક્ષર દ્વારા ઊંચાઈ દર્શાવીએ, તો અમને કુલના વોલ્યુમ અને વિસ્તારોની ગણતરી કરવા માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાનો અધિકાર છે. અને બાજુની સપાટીઓ.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.