ભૂમિતિની સમસ્યાઓ માટે ઘણીવાર બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર પડે છે. તદુપરાંત, તે એકદમ વૈવિધ્યસભર આકાર ધરાવી શકે છે - પરિચિત ત્રિકોણથી કેટલાક અકલ્પનીય સંખ્યાના શિરોબિંદુઓ સાથે કેટલાક એન-ગોન સુધી. વધુમાં, આ બહુકોણ બહિર્મુખ અથવા અંતર્મુખ હોઈ શકે છે. દરેક ચોક્કસ પરિસ્થિતિમાં, આકૃતિના દેખાવ પર નિર્માણ કરવું જરૂરી છે. આ રીતે તમે સમસ્યા હલ કરવા માટે શ્રેષ્ઠ માર્ગ પસંદ કરી શકો છો. આકૃતિ સાચી હોઈ શકે છે, જે સમસ્યાના ઉકેલને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે.

બહુકોણ વિશે થોડો સિદ્ધાંત

જો તમે ત્રણ કે તેથી વધુ છેદતી રેખાઓ દોરો છો, તો તેઓ ચોક્કસ આકૃતિ બનાવે છે. તે તે છે જે બહુકોણ છે. આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યાના આધારે, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે તેના કેટલા શિરોબિંદુઓ હશે. તેઓ પરિણામી આકૃતિને નામ આપે છે. તે હોઈ શકે છે:

આવી આકૃતિ ચોક્કસપણે બે સ્થિતિઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવશે:

1. અડીને બાજુઓ સમાન સીધી રેખાથી સંબંધિત નથી.
2. બિન-સંલગ્ન લોકો પાસે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી, એટલે કે, તેઓ છેદે નથી.

કયા શિરોબિંદુઓ પડોશી છે તે સમજવા માટે, તમારે તે જોવાની જરૂર પડશે કે શું તેઓ સમાન બાજુના છે. જો હા, તો પડોશીઓ. નહિંતર, તેઓ એક સેગમેન્ટ દ્વારા કનેક્ટ થઈ શકે છે, જેને કર્ણ કહેવા જોઈએ. તેઓ ફક્ત ત્રણ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં જ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે.

તેમાંના કયા પ્રકારો અસ્તિત્વમાં છે?

ચારથી વધુ ખૂણાઓ ધરાવતો બહુકોણ બહિર્મુખ અથવા અંતર્મુખ હોઈ શકે છે. બાદમાં વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે તેના કેટલાક શિરોબિંદુઓ બહુકોણની મનસ્વી બાજુ દ્વારા દોરવામાં આવેલી સીધી રેખાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોઈ શકે છે. બહિર્મુખ કિસ્સામાં, બધા શિરોબિંદુઓ હંમેશા આવી સીધી રેખાની સમાન બાજુ પર આવેલા હોય છે.

શાળાના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં, મોટાભાગનો સમય બહિર્મુખ આકૃતિઓ માટે સમર્પિત હોય છે. તેથી, સમસ્યાઓ માટે બહિર્મુખ બહુકોણનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે. પછી ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યાના સંદર્ભમાં એક સૂત્ર છે, જે તમને કોઈપણ આકૃતિ માટે ઇચ્છિત મૂલ્ય શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, કોઈ સ્પષ્ટ ઉકેલ નથી. ત્રિકોણ માટે સૂત્ર એક છે, પરંતુ ચોરસ અથવા ટ્રેપેઝોઇડ માટે તે સંપૂર્ણપણે અલગ છે. એવી પરિસ્થિતિઓમાં જ્યાં આકૃતિ અનિયમિત હોય અથવા ત્યાં ઘણા બધા શિરોબિંદુઓ હોય, તેને સરળ અને પરિચિતમાં વહેંચવાનો રિવાજ છે.

જો આકૃતિમાં ત્રણ કે ચાર શિરોબિંદુઓ હોય તો શું કરવું?

પ્રથમ કિસ્સામાં, તે ત્રિકોણ બનશે, અને તમે સૂત્રોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

• S = 1/2 * a * n, જ્યાં a બાજુ છે, n તેની ઊંચાઈ છે;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), જ્યાં a, b ત્રિકોણની બાજુઓ છે, A એ જાણીતી બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), જ્યાં c એ ત્રિકોણની બાજુ છે, પહેલાથી દર્શાવેલ બે તરફ, p એ અર્ધ-પરિમિતિ છે, એટલે કે, ત્રણેય બાજુઓનો સરવાળો બે વડે ભાગ્યો.

ચાર શિરોબિંદુઓ સાથેની આકૃતિ સમાંતરગ્રામ હોઈ શકે છે:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), જ્યાં d 1 અને d 2 કર્ણ છે, α એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે;
• S = a * in * sin(α).

ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર: S = n * (a + b) / 2, જ્યાં a અને b એ પાયાની લંબાઈ છે.

ચાર કરતાં વધુ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણનું શું કરવું?

શરૂઆતમાં, આવી આકૃતિ એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે બધી બાજુઓ સમાન છે. ઉપરાંત, બહુકોણ સમાન ખૂણા ધરાવે છે.

જો તમે આવી આકૃતિની આસપાસ વર્તુળ દોરો છો, તો તેની ત્રિજ્યા બહુકોણના કેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓમાંથી એક સુધીના સેગમેન્ટ સાથે સુસંગત રહેશે. તેથી, શિરોબિંદુઓની મનસ્વી સંખ્યા સાથે નિયમિત બહુકોણના ક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે, તમારે નીચેના સૂત્રની જરૂર પડશે:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), જ્યાં n એ બહુકોણના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે.

તેમાંથી તે મેળવવું સરળ છે જે વિશેષ કેસો માટે ઉપયોગી છે:

1. ત્રિકોણ: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. ચોરસ: S = 2 * R 2 ;
3. ષટ્કોણ: S = (3√3)/2 * R 2.

ખોટી આકૃતિ સાથે પરિસ્થિતિ

બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ જો તે નિયમિત ન હોય અને અગાઉ જાણીતી કોઈપણ આકૃતિને આભારી ન હોય તો તે કેવી રીતે શોધી શકાય તેનો ઉકેલ એ અલ્ગોરિધમ છે:

• તેને સરળ આકારોમાં તોડો, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ, જેથી તેઓ એકબીજાને છેદે નહીં;
• કોઈપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેમના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરો;
• બધા પરિણામો ઉમેરો.

જો સમસ્યા બહુકોણના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે તો શું કરવું?

એટલે કે, સંખ્યાઓની જોડીનો સમૂહ દરેક બિંદુ માટે જાણીતો છે જે આકૃતિની બાજુઓને મર્યાદિત કરે છે. સામાન્ય રીતે તેઓ પ્રથમ માટે (x 1 ; y 1) તરીકે લખવામાં આવે છે, બીજા માટે (x 2; y 2) અને nમા શિરોબિંદુમાં નીચેના મૂલ્યો છે (x n ; y n). પછી બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ n પદોના સરવાળા તરીકે નક્કી કરવામાં આવે છે. તેમાંથી દરેક આના જેવો દેખાય છે: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). આ અભિવ્યક્તિમાં, i એક થી n સુધી બદલાય છે.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે પરિણામની નિશાની આકૃતિના ટ્રાવર્સલ પર આધારિત છે. ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે અને ઘડિયાળની દિશામાં ખસેડતી વખતે, જવાબ નકારાત્મક હશે.

નમૂના કાર્ય

શરત. શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચેના મૂલ્યો (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5) દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. તમારે બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

ઉકેલ. ઉપરોક્ત સૂત્ર મુજબ, પ્રથમ પદ (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 - 2.1) ની બરાબર હશે. અહીં તમારે ફક્ત બીજા અને પ્રથમ બિંદુઓમાંથી Y અને X માટે મૂલ્યો લેવાની જરૂર છે. એક સરળ ગણતરી પરિણામ 1.8 તરફ દોરી જશે.

બીજી મુદત એ જ રીતે પ્રાપ્ત થાય છે: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. આવી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, નકારાત્મક માત્રાથી ડરશો નહીં. બધું જોઈએ તે પ્રમાણે ચાલે છે. આ આયોજન કરાયું છે.

ત્રીજા (0.29), ચોથા (-6.365) અને પાંચમા પદ (2.96) માટેના મૂલ્યો સમાન રીતે મેળવવામાં આવે છે. પછી અંતિમ વિસ્તાર છે: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

ચેકર્ડ પેપર પર બહુકોણ દોરવામાં આવે તેવી સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સલાહ

મોટાભાગે કોયડારૂપ બાબત એ છે કે ડેટામાં માત્ર કોષનું કદ હોય છે. પરંતુ તે તારણ આપે છે કે વધુ માહિતીની જરૂર નથી. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની ભલામણ આકૃતિને ઘણા ત્રિકોણ અને લંબચોરસમાં વિભાજિત કરવાની છે. તેમના વિસ્તારો બાજુઓની લંબાઈ દ્વારા ગણતરી કરવા માટે એકદમ સરળ છે, જે પછી સરળતાથી ઉમેરી શકાય છે.

પરંતુ ઘણીવાર એક સરળ અભિગમ હોય છે. તેમાં એક લંબચોરસ પર આકૃતિ દોરવાનો અને તેના વિસ્તારની ગણતરી કરવાનો સમાવેશ થાય છે. પછી તે તત્વોના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરો જે અનાવશ્યક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેમને કુલ મૂલ્યમાંથી બાદ કરો. આ વિકલ્પમાં કેટલીકવાર થોડી ઓછી સંખ્યામાં ક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.

વિવિધ આકૃતિઓનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની ક્ષમતા દરેક વ્યક્તિના જીવનમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. વહેલા કે પછી તમારે આ જ્ઞાન સાથે વ્યવહાર કરવો પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, ઓરડાના નવીનીકરણની પ્રક્રિયામાં, બાથરૂમ અથવા રસોડા માટે વોલપેપર, લિનોલિયમ, લાકડાંની, ટાઇલ્સના રોલ્સની આવશ્યક સંખ્યા નક્કી કરવા માટે, તમારે જરૂરી વિસ્તારની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે.

ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં જ્ઞાનનો ઉપયોગ પ્રાચીન બેબીલોન અને અન્ય દેશોમાં થતો હતો. સંસ્કૃતિ તરફના પ્રથમ પગલાઓમાં, હંમેશા વિસ્તાર, અંતર માપવાની જરૂર હતી. પ્રથમ નોંધપાત્ર માળખાના નિર્માણ દરમિયાન, ઊભીતા જાળવવાની અને યોજનાની રચના કરવાની ક્ષમતા જરૂરી હતી.

લોકોની સૌંદર્યલક્ષી જરૂરિયાતોની ભૂમિકા પણ નોંધપાત્ર મહત્વની હતી. ઘરની સજાવટ, કપડાં અને ચિત્રો દોરવાથી ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં માહિતીની રચના અને સંચયની પ્રક્રિયામાં ફાળો હતો, જે તે સમયના લોકોએ અનુભવપૂર્વક મેળવ્યો હતો, અને પેઢી દર પેઢી પસાર થતો હતો.

આજે, એક કટર, એક બિલ્ડર, એક આર્કિટેક્ટ અને રોજિંદા જીવનમાં દરેક સામાન્ય વ્યક્તિ માટે ભૂમિતિનું જ્ઞાન જરૂરી છે.

તેથી, તમારે વિવિધ આંકડાઓના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાનું શીખવાની જરૂર છે, અને યાદ રાખો કે નિયમિત ષટ્કોણના સૂત્ર સહિત, દરેક સૂત્ર વ્યવહારમાં પછીથી ઉપયોગી થઈ શકે છે. ષટ્કોણ એ બહુકોણીય આકૃતિ છે જેના ખૂણાઓની કુલ સંખ્યા છ છે.

નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ

નિયમિત ષટ્કોણ એ ષટ્કોણ આકૃતિ છે જેની બાજુઓ સમાન છે. નિયમિત ષટ્કોણના ખૂણાઓ પણ એકબીજાના સમાન હોય છે.

રોજિંદા જીવનમાં, આપણે ઘણી વખત એવી વસ્તુઓ જોઈ શકીએ છીએ જે નિયમિત ષટ્કોણનો આકાર ધરાવે છે. આ એક ધાતુના અખરોટ, અને મધપૂડાના કોષો અને સ્નોવફ્લેકની રચના છે. ષટ્કોણ આકાર સંપૂર્ણ રીતે પ્લેન ભરે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પેવિંગ સ્લેબ બનાવતી વખતે, અમે અવલોકન કરી શકીએ છીએ કે ખાલી જગ્યાઓ છોડ્યા વિના, ટાઇલ્સ કેવી રીતે એકની બાજુમાં નાખવામાં આવે છે.

નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મો

• નિયમિત ષટ્કોણમાં હંમેશા સમાન ખૂણા હશે, જેમાંથી દરેક 120˚ છે.
• આકૃતિની બાજુ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે.
• નિયમિત ષટ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન છે.
• નિયમિત ષટ્કોણ ચુસ્તપણે પ્લેન ભરે છે.

નિયમિત ષટ્કોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી તેને છ ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરીને કરી શકાય છે, જેમાંથી દરેકની સમાન બાજુઓ હશે.

નિયમિત ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

ત્રિકોણમાંથી એકનું ક્ષેત્રફળ જાણીને, તમે ષટ્કોણના ક્ષેત્રફળની સરળતાથી ગણતરી કરી શકો છો. તેની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર સરળ છે: નિયમિત ષટ્કોણ છ સમાન ત્રિકોણ હોવાથી, આપણા ત્રિકોણનો વિસ્તાર 6 વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ.

જો આપણે આકૃતિના કેન્દ્રમાંથી તેની કોઈપણ બાજુઓ તરફ લંબ દોરીએ, તો આપણને એપોથેમ નામનો સેગમેન્ટ મળે છે. ચાલો જાણીએ કે જાણીતા એપોથેમ સાથે ષટ્કોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો:

1. વિસ્તાર = 1/2* પરિમિતિ * એપોથેમા.
2. ધારો કે આપણું એપોથેમ 5√3 સે.મી.

1. એપોથેમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પરિમિતિ શોધીએ છીએ: એપોથેમ ષટ્કોણની બાજુ પર કાટખૂણે સ્થિત હોવાથી, એપોથેમનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલ ત્રિકોણના ખૂણા 30˚-60˚-90˚ હશે. પરિણામી ત્રિકોણની દરેક બાજુ અનુરૂપ હશે: x-x√3-2x, જ્યાં ટૂંકી બાજુ જે 30˚ કોણની સામે છે તે x છે, 60˚ ખૂણાની સામેની લાંબી બાજુ x√3 છે, અને કર્ણો 2x છે. .
2. એપોથેમ x√3 તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યું હોવાથી, આપણે તેને a = x√3 સૂત્રમાં બદલી શકીએ છીએ અને ઉકેલી શકીએ છીએ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, એપોથેમ = 5√3, તો આપણે આ મૂલ્યને સૂત્રમાં બદલીએ અને મેળવીએ: 5√3 cm = x√3, અથવા x = 5 cm.
3. તેથી, ત્રિકોણની ટૂંકી બાજુ 5 સેમી છે કારણ કે આ મૂલ્ય ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈની અડધી છે, આપણે 5 ને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને 10 સેમી મેળવીએ છીએ, જે બાજુની લંબાઈ છે.
4. બાજુની લંબાઈ જાણીને, તેને 6 વડે ગુણાકાર કરો અને ષટ્કોણની પરિમિતિ મેળવો: 10 cm x 6 = 60 cm
5. ચાલો આપણા ફોર્મ્યુલામાં મેળવેલા પરિણામોને બદલીએ:

વિસ્તાર = 1/2* પરિમિતિ * એપોથેમા

વિસ્તાર = ½*60cm*5√3

હવે તે ચોરસ મૂળથી છુટકારો મેળવવા માટે જવાબને સરળ બનાવવાનું બાકી છે, અને ચોરસ સેન્ટિમીટરમાં પ્રાપ્ત પરિણામ સૂચવે છે:

½ * 60 સેમી * 5√3 સેમી = 30 * 5√3 સેમી = 150 √3 સેમી = 259.8 સેમી²

નિયમિત ષટ્કોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો તેના પર વિડિઓ

અનિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ

અનિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે ઘણા વિકલ્પો છે:

• ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ.
• સંકલન અક્ષનો ઉપયોગ કરીને અનિયમિત બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ.
• ષટ્કોણને અન્ય આકારોમાં તોડવા માટેની પદ્ધતિ.

તમે જાણો છો તે પ્રારંભિક ડેટાના આધારે, યોગ્ય પદ્ધતિ પસંદ કરવામાં આવી છે.

ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ

ષટ્કોણનો વિસ્તાર કે જેમાં મનસ્વી (અનિયમિત) આકાર હોય છે તેની ગણતરી ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ દ્વારા કરવામાં આવે છે, જેનો સાર એ છે કે ષટ્કોણને અલગ ટ્રેપેઝોઇડ્સમાં વિભાજીત કરવું અને પછી તેમાંથી દરેકના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી.

સંકલન અક્ષો સાથે પદ્ધતિ

વધુમાં, અનિયમિત ષટ્કોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી અનિયમિત બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. ચાલો નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેને જોઈએ:

અમે બહુકોણના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીશું:

1. આ તબક્કે, તમારે કોષ્ટક બનાવવું જોઈએ અને શિરોબિંદુઓના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ લખવા જોઈએ. અમે પ્રથમ શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને ફરીથી રેકોર્ડ કરીને સૂચિના અંતને સમાપ્ત કરીને, ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં અનુક્રમિક ક્રમમાં શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીએ છીએ:

1. હવે તમારે 1લા શિરોબિંદુના x સંકલન મૂલ્યોને 2જા શિરોબિંદુના y કોઓર્ડિનેટ્સ વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ અને આ રીતે ગુણાકાર આગળ ચાલુ રાખવો જોઈએ. પછી તમારે પરિણામો ઉમેરવાની જરૂર છે. અમારા કિસ્સામાં તે 82 હોવાનું બહાર આવ્યું:

1. અમે y1મા શિરોબિંદુના સંકલન મૂલ્યોને 2જી શિરોબિંદુના x સંકલન મૂલ્યો દ્વારા ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીએ છીએ. ચાલો પ્રાપ્ત પરિણામોનો સારાંશ આપીએ. અમારા કિસ્સામાં તે 38 હોવાનું બહાર આવ્યું:

1. ચોથા તબક્કે અમને મળેલી રકમ અમે ત્રીજા તબક્કે પ્રાપ્ત કરેલી રકમમાંથી બાદ કરીએ છીએ: 82 – (-38) = 120

1. હવે આપણે અગાઉના તબક્કે પ્રાપ્ત થયેલા પરિણામને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે અને આપણી આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે: S = 120/2 = 60 cm²

ષટ્કોણને અન્ય આકારોમાં તોડવા માટેની પદ્ધતિ

દરેક બહુકોણને અન્ય કેટલાક આકારોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. આ ત્રિકોણ, ટ્રેપેઝોઇડ્સ, લંબચોરસ હોઈ શકે છે. જાણીતા ડેટાના આધારે, સૂચિબદ્ધ આંકડાઓના ક્ષેત્રો નક્કી કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, તેમના વિસ્તારોની ક્રમિક ગણતરી કરવામાં આવે છે અને પછી સારાંશ આપવામાં આવે છે.

કેટલાક અનિયમિત ષટ્કોણમાં બે સમાંતરગ્રામ હોય છે. સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે, તેની લંબાઈને તેની પહોળાઈથી ગુણાકાર કરો અને પછી પહેલાથી જાણીતા બે વિસ્તારો ઉમેરો.

બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું તેના પર વિડિઓ

સમભુજ ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ

સમભુજ ષટ્કોણમાં છ સમાન બાજુઓ હોય છે અને તે નિયમિત ષટ્કોણ છે.

સમભુજ ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના 6 ક્ષેત્રો જેટલું છે જેમાં નિયમિત ષટ્કોણ આકૃતિ વિભાજિત થાય છે.

નિયમિત આકારના ષટ્કોણમાં બધા ત્રિકોણ સમાન હોય છે, તેથી આવા ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે ઓછામાં ઓછા એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જાણવું પૂરતું હશે.

સમભુજ ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, અમે અલબત્ત, ઉપર વર્ણવેલ નિયમિત ષટ્કોણના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

શું તમે જાણો છો કે ષટ્કોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો? તમને લાગે છે કે આ જ્ઞાન તમને જીવનમાં ક્યાં ઉપયોગી થશે? પર તમારો અભિપ્રાય શેર કરો

કોઈપણ જેણે શાળામાં ગણિત અને ભૂમિતિનો અભ્યાસ કર્યો છે તે આ વિજ્ઞાનને ઓછામાં ઓછું સુપરફિસિયલ રીતે જાણે છે. પરંતુ સમય જતાં, જો તમે તેનો અભ્યાસ ન કરો, તો જ્ઞાન ભૂલી જાય છે. ઘણા લોકો એવું પણ માને છે કે તેઓએ માત્ર ભૌમિતિક ગણતરીઓનો અભ્યાસ કરવામાં તેમનો સમય બગાડ્યો છે. જો કે, તેઓ ખોટા છે. ટેકનિકલ કામદારો ભૌમિતિક ગણતરીઓ સંબંધિત દૈનિક કાર્ય કરે છે. બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, આ જ્ઞાન જીવનમાં પણ તેનો ઉપયોગ શોધે છે. ઓછામાં ઓછા જમીનના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે તેમની જરૂર પડશે. તો ચાલો જાણીએ કે બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું.

બહુકોણ વ્યાખ્યા

પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે બહુકોણ શું છે. આ એક સપાટ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે ત્રણ અથવા વધુ સીધી રેખાઓના આંતરછેદના પરિણામે રચાય છે. બીજી સરળ વ્યાખ્યા: બહુકોણ એ બંધ પોલીલાઇન છે. સ્વાભાવિક રીતે, જ્યારે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે તેમની સંખ્યા બહુકોણની રચના કરતી રેખાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે. આંતરછેદ બિંદુઓને શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને સીધી રેખાઓમાંથી બનેલા ભાગોને બહુકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. બહુકોણના અડીને આવેલા ભાગો સમાન સીધી રેખા પર નથી. રેખાખંડો જે બિન-સંલગ્ન છે તે તે છે જે સામાન્ય બિંદુઓમાંથી પસાર થતા નથી.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો સરવાળો

બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું? બહુકોણનો વિસ્તાર એ પ્લેનનો આંતરિક ભાગ છે જે બહુકોણના ભાગો અથવા બાજુઓના આંતરછેદ દ્વારા રચાય છે. બહુકોણ એ ત્રિકોણ, સમચતુર્ભુજ, ચોરસ, ટ્રેપેઝોઇડ જેવી આકૃતિઓનું સંયોજન હોવાથી, તેના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે કોઈ સાર્વત્રિક સૂત્ર નથી. વ્યવહારમાં, બહુકોણને સરળ આકૃતિઓમાં વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિ સૌથી સાર્વત્રિક છે, જેનું ક્ષેત્રફળ શોધવું મુશ્કેલ નથી. આ સરળ આંકડાઓના ક્ષેત્રોના સરવાળો ઉમેરીને, બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ મેળવવામાં આવે છે.

વર્તુળના વિસ્તાર દ્વારા

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, બહુકોણ નિયમિત આકાર ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચે સમાન બાજુઓ અને ખૂણાઓ સાથે આકૃતિ બનાવે છે. આ કિસ્સામાં, શિલાલેખિત અથવા ઘેરાયેલા વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરવી ખૂબ જ સરળ છે. જો વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ જાણીતું હોય, તો તેને બહુકોણની પરિમિતિ દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનને 2 વડે વિભાજિત કરવું જોઈએ. પરિણામ આવા બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર છે: S = ½∙P∙r., જ્યાં P એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે, અને r એ બહુકોણની પરિમિતિ છે.

બહુકોણને "અનુકૂળ" આકારોમાં વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિ ભૂમિતિમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય છે; તે તમને બહુકોણના ક્ષેત્રને ઝડપથી અને યોગ્ય રીતે શોધવાની મંજૂરી આપે છે. માધ્યમિક શાળાનો 4ઠ્ઠો ધોરણ સામાન્ય રીતે આવી પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરે છે.

બહુકોણ એ સપાટ અથવા બહિર્મુખ આકૃતિ છે જેમાં છેદતી રેખાઓ (3 થી વધુ) હોય છે અને તે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓની મોટી સંખ્યા બનાવે છે. અન્ય બહુકોણને તૂટેલી રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે બંધ થાય છે. બીજી રીતે, આંતરછેદ બિંદુઓને આકૃતિના શિરોબિંદુઓ કહી શકાય. શિરોબિંદુઓની સંખ્યાના આધારે, આકૃતિને પંચકોણ, ષટ્કોણ અને તેથી વધુ કહી શકાય. બહુકોણનો ખૂણો એ એક શિરોબિંદુ પર બાજુઓને મળવાથી બનેલો ખૂણો છે. કોણ બહુકોણની અંદર છે. તદુપરાંત, ખૂણા 180 ડિગ્રી સુધી અલગ અલગ હોઈ શકે છે. ત્યાં બાહ્ય ખૂણાઓ પણ છે, જે સામાન્ય રીતે આંતરિક એકની બાજુમાં હોય છે.

સીધી રેખાઓ જે પાછળથી છેદે છે તેને બહુકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. તેઓ અડીને, અડીને અથવા બિન-સંલગ્ન હોઈ શકે છે. પ્રસ્તુત ભૌમિતિક આકૃતિની એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા એ છે કે તેની બિન-સંલગ્ન બાજુઓ છેદતી નથી, અને તેથી તેમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી. આકૃતિની અડીને બાજુઓ સમાન સીધી રેખા પર હોઈ શકતી નથી.

આકૃતિના તે શિરોબિંદુઓ જે સમાન રેખાથી સંબંધિત છે તેને સંલગ્ન કહી શકાય. જો તમે અડીને ન હોય તેવા બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચે રેખા દોરો છો, તો તમને બહુકોણનો કર્ણ મળશે. આકૃતિના ક્ષેત્રફળ માટે, આ ભૌમિતિક આકૃતિના પ્લેનનો આંતરિક ભાગ છે જેમાં મોટી સંખ્યામાં શિરોબિંદુઓ છે, જે તેને વિભાજીત કરતા બહુકોણ વિભાગો દ્વારા બનાવવામાં આવે છે.

પ્રસ્તુત ભૌમિતિક આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે કોઈ એક ઉકેલ નથી, કારણ કે આકૃતિના અસંખ્ય પ્રકારો હોઈ શકે છે અને દરેક પ્રકાર માટે તેનું પોતાનું સમાધાન છે. જો કે, આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવા માટેના કેટલાક સૌથી સામાન્ય વિકલ્પોને હજુ પણ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે (તેઓ મોટાભાગે વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે અને શાળાના અભ્યાસક્રમમાં પણ શામેલ છે).

સૌ પ્રથમ, ચાલો નિયમિત બહુકોણને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે, એક આકૃતિ જેમાં સમાન બાજુઓ દ્વારા બનેલા તમામ ખૂણાઓ પણ સમાન છે. તો, તમે વિશિષ્ટ ઉદાહરણમાં બહુકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધી શકો છો? આ કિસ્સામાં, બહુકોણીય આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું શક્ય છે જો આકૃતિમાં અંકિત કરેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા અથવા તેની આસપાસ પરિઘ આપવામાં આવે. આ કરવા માટે, તમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

S = ½∙P∙r, જ્યાં r એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે (શિલાવેલ અથવા પરિમાણ), અને P એ ભૌમિતિક બહુકોણીય આકૃતિની પરિમિતિ છે, જે આકૃતિની બાજુઓની સંખ્યાને તેમની લંબાઈ દ્વારા ગુણાકાર કરીને શોધી શકાય છે.

બહુકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો

બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, બહુકોણીય આકૃતિની નીચેની રસપ્રદ મિલકતને અનુસરવા માટે તે પૂરતું છે, જે એક સમયે પ્રખ્યાત ઑસ્ટ્રિયન ગણિતશાસ્ત્રી જ્યોર્જ પીક દ્વારા શોધવામાં આવ્યું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ્યુલા S = N + M/2 -1 નો ઉપયોગ કરીને, તમે બહુકોણનો વિસ્તાર શોધી શકો છો જેના શિરોબિંદુઓ ચોરસ ગ્રીડના ગાંઠો પર સ્થિત છે. આ કિસ્સામાં, એસ, તે મુજબ, વિસ્તાર છે; N – ચોરસ ગ્રીડ નોડ્સની સંખ્યા જે ઘણા ખૂણાઓ સાથે આકૃતિની અંદર સ્થિત છે; M એ ચોરસ ગ્રીડના તે ગાંઠોની સંખ્યા છે જે બહુકોણના શિરોબિંદુઓ અને બાજુઓ પર સ્થિત છે. જો કે, તેની સુંદરતા હોવા છતાં, પિકના સૂત્રનો વ્યવહારિક ભૂમિતિમાં ઉપયોગ થતો નથી.

વિસ્તાર નક્કી કરવા માટેની સૌથી સરળ અને સૌથી પ્રસિદ્ધ પદ્ધતિ, જેનો અભ્યાસ શાળામાં કરવામાં આવે છે, તે છે બહુકોણીય ભૌમિતિક આકૃતિને સરળ ભાગો (ટ્રેપેઝોઇડ્સ, લંબચોરસ, ત્રિકોણ) માં વિભાજીત કરવી. આ આંકડાઓનું ક્ષેત્રફળ શોધવું મુશ્કેલ નથી. આ કિસ્સામાં, બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ સરળ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે: તમારે તે તમામ આકૃતિઓના ક્ષેત્રો શોધવાની જરૂર છે જેમાં બહુકોણ વિભાજિત થયેલ છે.

મૂળભૂત રીતે, બહુકોણના વિસ્તારની વ્યાખ્યા મિકેનિક્સ (ભાગોના પરિમાણો) માં નક્કી કરવામાં આવે છે.

1.1 પ્રાચીન સમયમાં વિસ્તારોની ગણતરી

1.2 “વિસ્તાર”, “બહુકોણ”, “બહુકોણ વિસ્તાર” ની વિભાવનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટેના વિવિધ અભિગમો

1.2.1 વિસ્તારનો ખ્યાલ. વિસ્તાર ગુણધર્મો

1.2.2 બહુકોણનો ખ્યાલ

1.2.3 બહુકોણના વિસ્તારની વિભાવના. વર્ણનાત્મક વ્યાખ્યા

1.3 બહુકોણના વિસ્તારો માટે વિવિધ સૂત્રો

1.4 બહુકોણના ક્ષેત્રો માટે સૂત્રોની વ્યુત્પત્તિ

1.4.1 ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ. હેરોનનું સૂત્ર

1.4.2 લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ

1.4.3 ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર

1.4.4 ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ

1.4.5 સાર્વત્રિક સૂત્ર

1.4.6 n-gon નો વિસ્તાર

1.4.7 તેના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી

1.4.8 પિકનું સૂત્ર

1.5 કાટકોણ ત્રિકોણના પગ પર બનેલા ચોરસ વિસ્તારોના સરવાળા પર પાયથાગોરિયન પ્રમેય

1.6 ત્રિકોણની સમાન વ્યવસ્થા. બોલ્યાય-ગેર્વિન પ્રમેય

1.7 સમાન ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર

1.8 સૌથી મોટા વિસ્તાર સાથેના આંકડા

1.8.1 ટ્રેપેઝોઇડ અથવા લંબચોરસ

1.8.2 ચોરસની નોંધપાત્ર મિલકત

1.8.3 અન્ય આકારોના વિભાગો

1.8.4 સૌથી મોટો વિસ્તાર ધરાવતો ત્રિકોણ

પ્રકરણ 2. ગણિતના વર્ગોમાં બહુકોણના ક્ષેત્રોનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિસરની વિશેષતાઓ

2.1 ગણિતના ગહન અભ્યાસ સાથે વર્ગોમાં વિષયોનું આયોજન અને શિક્ષણની સુવિધાઓ

2.2 પાઠ ચલાવવા માટેની પદ્ધતિ

2.3 પ્રાયોગિક કાર્યના પરિણામો

નિષ્કર્ષ

સાહિત્ય

પરિચય

વિષય "બહુકોણનો વિસ્તાર" એ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમનો એક અભિન્ન ભાગ છે, જે તદ્દન સ્વાભાવિક છે. છેવટે, ઐતિહાસિક રીતે ભૂમિતિનો ઉદભવ એક અથવા બીજા આકારના જમીન પ્લોટની તુલના કરવાની જરૂરિયાત સાથે સંકળાયેલ છે. તે જ સમયે, એ નોંધવું જોઈએ કે માધ્યમિક શાળામાં આ વિષય પર ચર્ચા કરવા માટેની શૈક્ષણિક તકોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરવામાં આવતો નથી.

શાળામાં ગણિત શીખવવાનું મુખ્ય કાર્ય એ સુનિશ્ચિત કરવાનું છે કે વિદ્યાર્થીઓ પાસે રોજિંદા જીવનમાં જરૂરી ગાણિતિક જ્ઞાન અને કૌશલ્યોની પ્રણાલીમાં મજબૂત અને સભાન નિપુણતા હોય અને આધુનિક સમાજના દરેક સભ્ય માટે કાર્ય કરે, સંબંધિત વિદ્યાશાખાઓનો અભ્યાસ કરવા અને શિક્ષણ ચાલુ રાખવા માટે પૂરતું હોય.

મુખ્ય સમસ્યાને ઉકેલવા સાથે, ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસમાં વિદ્યાર્થીઓમાં વિષયમાં ટકાઉ રસની રચના, તેમની ગાણિતિક ક્ષમતાઓની ઓળખ અને વિકાસ, ગણિત સાથે નોંધપાત્ર રીતે સંબંધિત વ્યવસાયો તરફ અભિગમ અને યુનિવર્સિટીમાં અભ્યાસ માટેની તૈયારીનો સમાવેશ થાય છે. .

ક્વોલિફાઇંગ કાર્યમાં સામાન્ય શિક્ષણ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમની સામગ્રી અને આ અભ્યાસક્રમની સીધી બાજુમાં અસંખ્ય વધારાના પ્રશ્નોનો સમાવેશ થાય છે અને તેને મુખ્ય વૈચારિક રેખાઓ સાથે વધુ ઊંડો બનાવે છે.

વધારાના પ્રશ્નોના સમાવેશના બે આંતરસંબંધિત હેતુઓ છે. એક તરફ, આ કોર્સના મુખ્ય વિભાગો સાથે મળીને, ગણિતમાં રસ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓની રુચિઓ અને ક્ષમતાઓના વિકાસ માટેના આધારની રચના છે, બીજી તરફ, તે પરિપૂર્ણતા છે. ગહન અભ્યાસની સામગ્રીને જરૂરી અખંડિતતા આપીને મુખ્ય અભ્યાસક્રમની સામગ્રીના અંતરાલ.

લાયકાત ધરાવતા કાર્યમાં પરિચય, બે પ્રકરણો, એક નિષ્કર્ષ અને ટાંકેલા સાહિત્યનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ પ્રકરણ બહુકોણના વિસ્તારોના અભ્યાસના સૈદ્ધાંતિક પાયાની ચર્ચા કરે છે, અને બીજો પ્રકરણ વિસ્તારોના અભ્યાસની પદ્ધતિસરની વિશેષતાઓ સાથે સીધો વ્યવહાર કરે છે.

પ્રકરણ 1. બહુકોણના વિસ્તારોના અભ્યાસ માટે સૈદ્ધાંતિક પાયા

1.1 પ્રાચીન સમયમાં વિસ્તારોની ગણતરી

વિસ્તારોના માપન સંબંધિત ભૌમિતિક જ્ઞાનની શરૂઆત હજારો વર્ષોના ઊંડાણમાં ખોવાઈ ગઈ છે.

4 - 5 હજાર વર્ષ પહેલાં પણ, બેબીલોનિયનો ચોરસ એકમોમાં લંબચોરસ અને ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવામાં સક્ષમ હતા. ચોરસ લાંબા સમયથી તેના ઘણા નોંધપાત્ર ગુણધર્મોને કારણે વિસ્તારોને માપવા માટેના ધોરણ તરીકે સેવા આપે છે: સમાન બાજુઓ, સમાન અને કાટખૂણો, સપ્રમાણતા અને ફોર્મની સામાન્ય પૂર્ણતા. ચોરસ બાંધવામાં સરળ છે, અથવા તમે ખાલી જગ્યા વગર પ્લેન ભરી શકો છો.

પ્રાચીન ચીનમાં, વિસ્તારનું માપ એક લંબચોરસ હતું. જ્યારે મેસન્સ ઘરની લંબચોરસ દિવાલનો વિસ્તાર નક્કી કરે છે, ત્યારે તેઓએ દિવાલની ઊંચાઈ અને પહોળાઈનો ગુણાકાર કર્યો હતો. આ ભૂમિતિમાં સ્વીકૃત વ્યાખ્યા છે: લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની નજીકની બાજુઓના ઉત્પાદન જેટલું છે. આ બંને બાજુઓ સમાન રેખીય એકમોમાં વ્યક્ત થવી જોઈએ. તેમનું ઉત્પાદન લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ હશે, જે અનુરૂપ ચોરસ એકમોમાં દર્શાવવામાં આવશે. કહો, જો દિવાલની ઊંચાઈ અને પહોળાઈને ડેસિમીટરમાં માપવામાં આવે, તો બંને માપનો ગુણાંક ચોરસ ડેસિમીટરમાં દર્શાવવામાં આવશે. અને જો દરેક ફેસિંગ રાફ્ટનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ ડેસિમીટર હોય, તો પરિણામી ઉત્પાદન ક્લેડીંગ માટે જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા દર્શાવશે. આ વિસ્તારોના માપન હેઠળના વિધાનમાંથી નીચે મુજબ છે: બિન-છેદતી આકૃતિઓથી બનેલી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેમના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલું છે.

4,000 વર્ષ પહેલાં પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓએ લંબચોરસ, ત્રિકોણ અને ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તારને માપવા માટે લગભગ સમાન તકનીકોનો ઉપયોગ કર્યો હતો: ત્રિકોણનો આધાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો હતો અને ઊંચાઈ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો; ટ્રેપેઝોઇડ માટે, સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો હતો અને ઊંચાઈ વગેરે દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. વિસ્તારની ગણતરી કરવી

તે વિરુદ્ધ બાજુઓના અડધા સરવાળોનો ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

આ સૂત્ર કોઈપણ ચતુષ્કોણ માટે સ્પષ્ટપણે ખોટું છે, તે અનુસરે છે, ખાસ કરીને, બધા રોમ્બસના વિસ્તારો સમાન છે. દરમિયાન, તે સ્પષ્ટ છે કે આવા રોમ્બસના વિસ્તારો શિરોબિંદુઓ પરના ખૂણાઓના કદ પર આધારિત છે. આ સૂત્ર માત્ર એક લંબચોરસ માટે સાચું છે. તેની મદદથી, તમે ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળની અંદાજે ગણતરી કરી શકો છો જેના ખૂણા કાટખૂણાની નજીક છે.

વિસ્તાર નક્કી કરવા

પરંતુ પહેલાથી જ પ્રાચીન ગ્રીક લોકો બહુકોણના વિસ્તારોને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે શોધવી તે જાણતા હતા. તેના તત્વોમાં, યુક્લિડ "વિસ્તાર" શબ્દનો ઉપયોગ કરતા નથી, કારણ કે "આકૃતિ" શબ્દ દ્વારા જ તે એક અથવા બીજી બંધ રેખાથી બંધાયેલ પ્લેનના ભાગને સમજે છે. યુક્લિડ સંખ્યા વડે વિસ્તાર માપવાના પરિણામને વ્યક્ત કરતું નથી, પરંતુ વિવિધ આકૃતિઓના ક્ષેત્રોની એકબીજા સાથે સરખામણી કરે છે.

અન્ય પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકોની જેમ, યુક્લિડ કેટલીક આકૃતિઓના સમાન કદના અન્યમાં રૂપાંતર સાથે વ્યવહાર કરે છે. સંયુક્ત આકૃતિનો વિસ્તાર બદલાશે નહીં જો તેના ભાગોને અલગ રીતે ગોઠવવામાં આવે, પરંતુ છેદ્યા વિના. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના સૂત્રોના આધારે, અન્ય આકૃતિઓના ક્ષેત્રો માટે સૂત્રો શોધવાનું શક્ય છે. આમ, ત્રિકોણને ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે જેમાંથી સમાન કદનો લંબચોરસ રચી શકાય છે. આ બાંધકામ પરથી તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને ઊંચાઈના અડધા ઉત્પાદન જેટલું છે. આવા રિકટનો આશરો લઈને, તેઓ શોધી કાઢે છે કે સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર પાયા અને ઊંચાઈના ગુણાંક જેટલો છે, અને ટ્રેપેઝોઈડનો વિસ્તાર એ પાયા અને ઊંચાઈના અડધા સરવાળાનું ઉત્પાદન છે. .

જ્યારે મેસન્સને જટિલ રૂપરેખાંકન સાથે દિવાલને ટાઇલ કરવાની હોય, ત્યારે તેઓ ક્લેડીંગ માટે ઉપયોગમાં લેવાતી ટાઇલ્સની સંખ્યાની ગણતરી કરીને દિવાલનો વિસ્તાર નક્કી કરી શકે છે. કેટલીક ટાઇલ્સ, અલબત્ત, ચિપ કરવી પડશે જેથી ક્લેડીંગની કિનારીઓ દિવાલની ધાર સાથે સુસંગત હોય. કામમાં વપરાતી તમામ ટાઇલ્સની સંખ્યા દિવાલના વિસ્તારનો વધુ પડતો અંદાજ લગાવે છે, અખંડિત ટાઇલ્સની સંખ્યા - ઉણપ સાથે. જેમ જેમ કોશિકાઓનું કદ ઘટે છે તેમ, કચરાનું પ્રમાણ ઘટે છે, અને દિવાલ વિસ્તાર, ટાઇલ્સની સંખ્યા દ્વારા નિર્ધારિત, વધુ અને વધુ સચોટ રીતે ગણવામાં આવે છે.

પછીના ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને જ્ઞાનકોશકારોમાંના એક, જેમના કાર્યો મુખ્યત્વે લાગુ પ્રકૃતિના હતા, એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના હેરોન હતા, જે 1લી સદીમાં રહેતા હતા. n ઇ. એક ઉત્કૃષ્ટ એન્જિનિયર હોવાને કારણે, તેને "હેરોન ધ મિકેનિક" પણ કહેવામાં આવતું હતું. હેરોન તેમના કામ "ડિયોપ્ટ્રિક્સ" માં વિવિધ મશીનો અને વ્યવહારુ માપન સાધનોનું વર્ણન કરે છે.

હેરોનની એક પુસ્તકને "જિયોમેટ્રિક્સ" કહેવામાં આવતું હતું અને તે એક પ્રકારનું સૂત્રો અને અનુરૂપ સમસ્યાઓનો સંગ્રહ છે. તેમાં ચોરસ, લંબચોરસ અને ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણો છે. તેની બાજુઓના આધારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા વિશે, હેરોન લખે છે: “ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણની એક બાજુની લંબાઈ 13 માપવાની દોરીઓ છે, બીજી 14 અને ત્રીજી 15. વિસ્તાર શોધવા માટે, આગળ વધો. નીચે પ્રમાણે. 13, 14 અને 15 ઉમેરો; તે 42 હશે. આનો અડધો ભાગ 21 હશે. આમાંથી ત્રણ બાજુઓ એક પછી એક બાદ કરો; પહેલા 13 બાદ કરો - તમારી પાસે 8 બાકી છે, પછી 14 - તમારી પાસે 7 બાકી છે, અને અંતે 15 - તમારી પાસે 6 બાકી છે. હવે તેનો ગુણાકાર કરો: 21 ગુણ્યા 8 આપે છે 168, આને 7 વખત લો - તમને 1176 મળશે, અને લો આ 6 વધુ વખત - તમને 7056 મળશે. અહીંથી વર્ગમૂળ 84 થશે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રમાં આ રીતે કેટલી માપણી કોર્ડ હશે."