સેન્ડબોક્સ

બહુકોણનું ત્રિકોણ

• કબાટ *

કાર્ય:મનસ્વી બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરો.

શું જરૂરી છે.

• વર્ગ, સૂચિ જેવું કંઈક છે જ્યાં તમે આગળ અને પાછળ જઈ શકો છો અને અંત શરૂઆત સાથે જોડાયેલ છે. એટલે કે, એક દુષ્ટ વર્તુળ, જેનાં તત્વો નીચેના ફકરામાં વર્ણવેલ વસ્તુઓ હશે.
• બિંદુને રજૂ કરવા માટેનો વર્ગ. અપેક્ષા મુજબ, તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોવા જોઈએ એક્સઅને ખાતે. એક બીજું ક્ષેત્ર પણ છે જેમાં બહુકોણમાં આ બિંદુને અનુરૂપ કોણનું મૂલ્ય લખેલું છે
• ફંક્શન કે જેનું ઇનપુટ બે વેક્ટર છે અને આઉટપુટ એ તેમની વચ્ચેનો કોણ છે
• એક ફંક્શન કે જેનું ઇનપુટ એક બિંદુ અને ત્રિકોણ છે અને જેનું આઉટપુટ એ સંકેત છે કે બિંદુ ત્રિકોણની અંદર છે કે કેમ.

• અસ્થાયી ત્રિકોણ સંગ્રહિત કરવા માટે ખાલી સૂચિ બનાવો.
  જો "કાર્યકારી" (p(i)->ડાબી બાજુના બિંદુમાં 180 ડિગ્રી કરતા ઓછો ખૂણો હોય અને ત્રિકોણ (p(i), p(i)-> ડાબે, p(i)-> left->left) પોતાની અંદર બહુકોણના અન્ય બિંદુઓ સમાવતું નથી - અમે આ ત્રિકોણને અમારી અસ્થાયી સૂચિમાં ઉમેરીએ છીએ.
  જો "કાર્યશીલ" (p(i)->જમણે) ની જમણી તરફના બિંદુમાં 180 ડિગ્રી કરતા ઓછો ખૂણો અને ત્રિકોણ (p(i), p(i)->જમણે, p(i)->જમણે ->
  જો “કાર્યકારી” બિંદુ (p(i)) નો ખૂણો 180 ડિગ્રી કરતા ઓછો હોય અને ત્રિકોણ (p(i)->ડાબે, p(i),p(i)->જમણે) ના અન્ય બિંદુઓ ધરાવતો નથી બહુકોણ, આપણે આ ત્રિકોણને આપણી અસ્થાયી યાદીમાં દાખલ કરીએ છીએ.
• જો અસ્થાયી સૂચિમાં ત્રિકોણ શામેલ નથી, તો "કાર્યકારી" ને બદલે, તેની ડાબી બાજુના બિંદુને પસંદ કરો અને પ્રથમ બિંદુ પર પાછા ફરો.
  જો તે સમાવે છે, તો લઘુત્તમ અને મહત્તમ કોણ વચ્ચેના લઘુત્તમ તફાવત સાથે ત્રિકોણ પસંદ કરો (તમારે ખૂણાના મૂલ્યની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર છે), તેને પરિણામ સૂચિમાં ઉમેરો, તમે પસંદ કરેલા ત્રિકોણમાંથી મધ્ય બિંદુને બિંદુઓમાંથી દૂર કરો અને પુનઃગણતરી કરો. તેમાંથી પડોશી બિંદુઓ માટેના ખૂણાઓના મૂલ્યો (બિંદુઓમાં), પ્રથમ બિંદુ (p(i))ને "કાર્યકારી" તરીકે પસંદ કરીએ છીએ, જો બિંદુઓમાં માત્ર બે બિંદુઓ બાકી હોય, તો અમે કામ કરવાનું બંધ કરીએ છીએ, ત્રિકોણની સૂચિ res માં સમાયેલ છે, અન્યથા આપણે પ્રથમ બિંદુ પર પાછા આવીશું.

હવે અલ્ગોરિધમને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા વિશે થોડાક શબ્દો.
બીજા તબક્કે, લઘુત્તમ અને મહત્તમ કોણ વચ્ચેના લઘુત્તમ તફાવત સાથે ત્રિકોણ પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી ત્રિકોણ શક્ય તેટલું સાચા એક સાથે સમાન હોય, કેટલીકવાર આ મહત્વપૂર્ણ છે. જો ત્રિકોણ કેવો દેખાય છે તેનાથી તમને કોઈ ફરક પડતો નથી, તો પછી તમે ત્રિકોણની અસ્થાયી સૂચિ બનાવી શકતા નથી, પરંતુ ત્રણ સંભવિત ત્રિકોણમાંથી પ્રથમ પસંદ કરો જેમાં બહુકોણનો બીજો બિંદુ અને મધ્ય બિંદુ દ્વારા રચાયેલ કોણ શામેલ ન હોય. બહુકોણમાં ત્રિકોણ 180 ડિગ્રી કરતા ઓછું છે. આ સરળીકરણ કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.
ઉપરાંત, જો તમને ખાતરી છે કે બહુકોણ બહિર્મુખ છે, તો તમારે ત્રિકોણમાં બહુકોણના અન્ય બિંદુઓ છે કે કેમ તે તપાસવાની જરૂર નથી.

પી.એસ. મેં ઇન્ટરનેટ પર આવા અલ્ગોરિધમ જોયું નથી, જો કે મને ખાતરી છે કે સમાન કંઈક પહેલેથી જ અસ્તિત્વમાં છે.

ટૅગ્સ: ત્રિકોણ

ચાલો સૌથી સરળ કેસથી શરૂઆત કરીએ - n = 3. ત્રિકોણમાં, આ બિંદુ જાણીતું છે, અસ્તિત્વમાં છે અને કોઈપણ ત્રિકોણ માટે અનન્ય છે. તેની કેટલીક મિલકતો ચતુર્ભુજ વગેરે પર લઈ જશે કે કેમ તેની તપાસ કરવી રસપ્રદ રહેશે. કેસ n = 4 નું વિશ્લેષણ ચોરસથી શરૂ થઈ શકે છે અને ધીમે ધીમે શરતોને નબળી બનાવી શકે છે (સમાંતર ચતુષ્કોણ, ટ્રેપેઝોઇડ, મનસ્વી ચતુષ્કોણ).

બહુકોણ પુનઃસંગ્રહ

વિષય બે સમસ્યાઓમાંથી ઉદ્ભવ્યો છે:

1. બાજુઓના મધ્યબિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું પુનઃનિર્માણ કરો (સરળ).

2. બાજુઓના મધ્યબિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને પેન્ટાગોનનું પુનઃનિર્માણ કરો (વધુ મુશ્કેલ).

હલ કરતી વખતે, બે કેસ ઉભા થાય છે:

1) બાજુઓની સંખ્યા વિષમ છે. પછી ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે અને પ્રારંભિક બિંદુઓના કોઈપણ સ્થાન માટે અનન્ય છે. જો મૂળ બિંદુઓ બહુકોણ બનાવે છે, તો ઉકેલ બિન-ડિજનરેટ છે.

2) બાજુઓની સંખ્યા સમ છે. પછી કાં તો સોલ્યુશન અસ્તિત્વમાં નથી, અથવા તેમાંના અનંત ઘણા છે (પ્રારંભિક બિંદુઓના સ્થાન પર આધાર રાખીને).

ઉકેલતી વખતે, તમે Varignon's theorem, the coordinate method, અને Living Geometry program નો ઉપયોગ કરી શકો છો.

સામાન્યીકરણ.ગુણોત્તર 1 માં બાજુઓને વિભાજીત કરતા બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો: a.

સમભુજ ષટ્કોણ અને સમભુજ ષટ્કોણ

"જીવંત ભૂમિતિ" પ્રોગ્રામમાં સંશોધન હાથ ધરવાનું અનુકૂળ છે (તેમાં જરૂરી આકૃતિ બનાવવી એ પહેલેથી જ એક રસપ્રદ "સબટાસ્ક" છે). તે તારણ આપે છે કે સમભુજ ષટ્કોણમાં કોઈ રસપ્રદ ગુણધર્મો નથી, એટલે કે. તમામ પક્ષોની સમાનતાની જરૂરિયાત ખૂબ નબળી છે. તમે પૂછી શકો છો કે કેટલીક મિલકતો દેખાવા માટે બીજું શું પૂછવાની જરૂર છે. નીચેનું બાંધકામ સમકોણાકાર ષટ્કોણના ગુણધર્મો શોધવામાં મદદ કરે છે: જો આપણે બાજુઓ એકને છેદે ત્યાં સુધી લંબાવીએ, તો આપણને બે નિયમિત ત્રિકોણ મળે છે.

A) વિરોધી બાજુઓ સમાંતર છે.

B) ખૂણાઓના દ્વિભાજકો બાજુઓની સમાંતર હોય છે.

C) બે સંલગ્ન બાજુઓનો સરવાળો બે વિરોધી સંલગ્ન બાજુઓના સરવાળા જેટલો છે.

ડી) ત્રણ મધ્ય રેખાઓ એક બિંદુ પર છેદે છે. (ચતુર્ભુજ વિશે શું? શું વિરુદ્ધ વિધાન સાચું છે? શું મધ્ય રેખાઓ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલી છે? તેઓ કયા કિસ્સામાં વિભાજિત થાય છે?)

E) મુખ્ય કર્ણના મધ્યબિંદુઓ સમભુજ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે અને તેની બાજુઓ ષટ્કોણની બાજુઓની સમાંતર છે.

E) નાના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુઓ મધ્ય રેખાઓ પર છે.

અર્ધ-નિયમિત ષટ્કોણ

તમે અર્ધ-નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મો શોધી શકો છો જે સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો સમાન છે. સમાંતરગ્રામમાં, કર્ણ એકબીજાને દ્વિભાજિત કરે છે. એક અંકિત સમાંતરગ્રામમાં સમાન ખૂણા અને સમાન કર્ણ હોય છે. વર્ણવેલ સમાંતરગ્રામની સમાન બાજુઓ અને કર્ણ છે જે પરસ્પર લંબ છે. આમાંથી કયા ગુણધર્મ અર્ધ-નિયમિત ષટ્કોણ ધરાવે છે? (કર્ણ વિશે, તમારે એ પણ સમજવાની જરૂર છે કે કયો લેવો અને શું તેઓ એક બિંદુ પર છેદે છે.)

અદ્ભુત પોઈન્ટ

આપેલ બે નોંધપાત્ર બિંદુઓ O અને H નો ઉપયોગ કરીને, યુલરના પ્રમેયનો ઉપયોગ ત્રીજા એક - મધ્યવર્તી G ના આંતરછેદના બિંદુને પુનઃનિર્માણ કરવા માટે થાય છે. જો તમે મનસ્વી સ્થાન પર ત્રિકોણ A ના શિરોબિંદુને પસંદ કરો છો, તો તે બાંધકામો બાંધવા મુશ્કેલ નથી કે જે શિરોબિંદુઓ B અને C આપો (જો શિરોબિંદુઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો). હવે તમે લિવિંગ ભૂમિતિ પ્રોગ્રામમાં એક પ્રયોગ કરી શકો છો - બિંદુઓ A નો સમૂહ શોધો કે જેમાં બિંદુઓ B અને C અસ્તિત્વમાં છે. શિરોબિંદુઓની સમાનતાને કારણે ટી ઓબિંદુઓનો સમાન સમૂહ શિરોબિંદુઓ B અને C માટે જવાબ હશે.

સામાન્યીકરણ. 1. શિરોબિંદુ A ની સ્થિતિના આધારે ત્રિકોણ ABC ના ખૂણાઓનો અભ્યાસ કરો. 2. આપેલ અંતર્ગોળના કેન્દ્ર અને મધ્યના આંતરછેદના બિંદુ માટે સમાન સમસ્યા ઉકેલો; અદ્ભુત પોઈન્ટની અન્ય જોડી માટે.

3. અવકાશમાં સમાન સમસ્યાનો વિચાર કરો (ત્રિકોણને બદલે ટેટ્રાહેડ્રોન).

4. સામાન્ય રીતે, તમે વિવિધ અદ્ભુત મુદ્દાઓ પસંદ કરીને ઘણી સમાન સમસ્યાઓ સાથે આવી શકો છો.

આંકડાઓનો ઉમેરો

સરળ આકારોથી પ્રારંભ કરવું ઉપયોગી છે: બે બિંદુઓ, એક બિંદુ અને એક રેખા, બે રેખાઓ.

સામાન્યીકરણ. મિન્કોવ્સ્કી સરવાળોઆકૃતિઓ F અને G ના આપણે સમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બિંદુઓ K ના સમૂહને કહીએ છીએ, જ્યાં , , O આપેલ બિંદુ છે. આ કામગીરીના ગુણધર્મોનું અન્વેષણ કરો. બે આંકડાઓના સરવાળાના ક્ષેત્રફળ વિશે તમે શું કહી શકો?

1. એન. વાસિલીવ. "આકૃતિઓનો ઉમેરો." ક્વોન્ટમ. 1976. એન 4. એસ.એસ. 22-29. અસંખ્ય કાર્યો સમાવે છે - હકીકતમાં, એક સંશોધન યોજના અને જટિલ સમસ્યાઓ માટે પ્રાપ્ત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ.

2. જી.યુ. પાનીના. "પોલિહેડ્રાના બીજગણિત". ગાણિતિક શિક્ષણ. 2006. એન 10. પૃષ્ઠ 109-131. આધુનિક વિજ્ઞાનમાં આ પ્લોટનું સાતત્ય.

કોમ્બીનેટરિક્સ

કટ્સ

આ ક્લાસિક સમસ્યાઓમાંથી એક છે જેમાં ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવાનું શીખવવામાં આવે છે. પરંતુ અમે પોલિયાના સિદ્ધાંતને અનુસરીએ છીએ: "પહેલા અનુમાન કરો, પછી સાબિત કરો." આ સમસ્યા ગાણિતિક પ્રયોગ માટે સારી રીતે અનુકૂળ હોવાથી, જે વિદ્યાર્થીને ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ ખબર નથી તેના વિશે વિચારવું પણ તે ઉપયોગી છે. ભાગોની સૌથી નાની સંખ્યા અનુમાન લગાવવી સરળ છે, પરંતુ સૌથી મોટી સાથે કટીંગ શરતો (કહેવાતા) ઘડવાનું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે સામાન્ય રેખાઓ) અને તેમની શ્રેષ્ઠતાના પુરાવા. નીચેની ટિપ્પણી મદદ કરી શકે છે: "આ રેખા કેટલા ભાગો ઉમેરે છે" અને "અગાઉની રેખા આ રેખાને કેટલા ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે" પ્રશ્નો સમાન છે. આ પણ જુઓ પી. ...

સામાન્યીકરણો.

1. શું બધા મધ્યવર્તી મૂલ્યો થાય છે? ના: ઉદાહરણ તરીકે, 3 સીધી રેખાઓ પ્લેનને માત્ર 4, 6 અને 7 ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકે છે (પરંતુ 5 માં કરી શકતી નથી). મનસ્વી રીતે કયા ચોક્કસ મૂલ્યો થાય છે n, વિજ્ઞાન સંપૂર્ણ રીતે જાણતું નથી, જુઓ V.I. આર્નોલ્ડ “એક વિમાન કેટલા ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે? nસીધો?" / ગાણિતિક શિક્ષણ. ત્રીજી શ્રેણી. અંક 12. 2008. પૃષ્ઠ 95-104.

2. જગ્યાને કેટલા ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે? nસામાન્ય સ્થિતિમાં વિમાનો? , ss. 65-73, 76.

3. પ્લેન કેટલા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે? nસામાન્ય સ્થિતિમાં જોડીમાં છેદતા વર્તુળો?

રંગીન પૃષ્ઠો

સમસ્યાનો લાંબો "ગણતરી" ઉકેલ અને ટૂંકો વૈચારિક ઉકેલ છે. બીજાની શોધ કરવા માટે, તમારે રંગીન પદ્ધતિ સાથે આવવાની જરૂર છે જેમાં ક્રિયાઓના વિવિધ ક્રમ વિવિધ રંગો તરફ દોરી જાય છે, અને પછી સંખ્યાની ગણતરી કરો. સિક્વન્સ. ઉદાહરણ તરીકે, તમે કિનારીઓનો ક્રમ ઠીક કરી શકો છો, પરંતુ રંગોનો ક્રમ બદલી શકો છો: પ્રથમ રંગમાં કોઈપણ ધારને રંગ કરો, બીજામાં વિરુદ્ધ એક (5 વિકલ્પો), ત્રીજામાં કોઈપણ બાજુ, પછીનો એક ચોથા રંગમાં ઘડિયાળની દિશામાં (3 વિકલ્પો), પાંચમામાં - આગામી એક (2 વિકલ્પો), છઠ્ઠા રંગમાં - છેલ્લો એક (1 વિકલ્પ). (આ વિચાર સાતમા-ગ્રેડરના કામ પરથી લેવામાં આવ્યો હતો.) આપેલ બે ક્યુબ્સના રંગો સમાન છે કે અલગ છે તે સમજવા માટે તમે અલ્ગોરિધમ તૈયાર કરીને આવી પદ્ધતિ સાથે આવી શકો છો.

નાના બાળકો સાથે તમે આ બધા સમઘનનું મોડેલ બનાવી શકો છો.

સામાન્યીકરણ.

1. અન્ય નિયમિત પોલિહેડ્રા માટે સમાન સમસ્યા. કદાચ આપણે સાચા ટેટ્રેહેડ્રોનથી શરૂઆત કરવી જોઈએ.

2. તમે કિનારીઓ નહીં, પરંતુ કિનારીઓ અથવા શિરોબિંદુઓ પેઇન્ટ કરી શકો છો.

બહુકોણ પાર્ટીશનો

પરિચય પ્રારંભિક વ્યાખ્યાઓ અને હકીકતો મુખ્ય પરિણામો સાહિત્ય

પરિચય

તે જાણીતું છે કે બહુકોણને ત્રિકોણમાં અને બહુકોણને ટેટ્રાહેડ્રોનમાં વિભાજન કરવું એ વિસ્તાર અને વોલ્યુમના સિદ્ધાંતના નિર્માણ માટેના આધાર તરીકે કામ કરે છે (જુઓ). વધુમાં, પોલિહેડ્રાના સતત મેપિંગ (જુઓ) માટે નિશ્ચિત અને લગભગ નિશ્ચિત બિંદુઓના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું પાર્ટીશન (ત્રિકોણ) એ એક અનુકૂળ સાધન છે. તેથી, આવા પાર્ટીશનોની શક્યતાને સખત પુરાવાની જરૂર છે. આ સમસ્યાને હલ કરવા માટે ઘણા વિવિધ વિકલ્પો છે. તેમાંથી એક (જુઓ), ગાણિતિક ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીને, બહુકોણમાં વિકર્ણ કર્ણ શોધવા પર આધારિત છે. સાબિતીની બીજી જાણીતી પદ્ધતિ અનુસાર, બહુકોણની બાજુઓ ધરાવતી બધી રેખાઓ દોરવી અને પરિણામી અર્ધ-વિમાનોના તમામ સંભવિત આંતરછેદને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. તે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવાનું બાકી છે ફક્ત તે આંતરછેદો જે આ બહુકોણમાં સમાયેલ છે.

આ લેખ પ્લેન આકૃતિઓના વર્ગની તપાસ કરે છે જે બહુકોણની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવે છે, અને આ વર્ગના મનસ્વી તત્વના ત્રિકોણનું અસ્તિત્વ સાબિત કરે છે. પુરાવાનો આધાર સૌથી સરળ ટોપોલોજીકલ તથ્યો છે, જે જિજ્ઞાસુ વાચક માટે અમારા તર્કને ઉચ્ચ પરિમાણોના કિસ્સામાં સરળતાથી વિસ્તારવાનું શક્ય બનાવે છે.

પ્રારંભિક વ્યાખ્યાઓ અને તથ્યો

આકૃતિ F કહેવાય છે બહિર્મુખ, જો પોઈન્ટની દરેક જોડી માટે એ,બીО F તે અનુસરે છે કે સેગમેન્ટ [ એબી] F માં સમાયેલ છે.

વ્યાયામ 1. સાબિત કરો કે બહિર્મુખ સમૂહનો આંતરછેદ એ બહિર્મુખ સમૂહ છે.

પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર એઅને બીઅમે | દ્વારા દર્શાવીશું એબી| પછી કોઈપણ હકારાત્મક e માટે અમે કૉલ કરીશું ઈ-પડોશમનસ્વી બિંદુ એનીચેના સમૂહને પ્લેન કરો: ઓ e( એ) = {એક્સÎa: | AX| < e}.

ડોટ એકહેવાય છે આંતરિકઆકૃતિ F નો બિંદુ જો બિંદુનો ઓછામાં ઓછો એક ઈ-પડોશી હોય એ, જે આ સમૂહમાં સમાયેલ છે. આકૃતિ F ના તમામ આંતરિક બિંદુઓનો સમૂહ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે ઇન્ટ F. બિંદુ એકહેવાય છે સીમાઆકૃતિ F નો બિંદુ, જો તેના કોઈપણ ઈ-પડોશ માટે તે એકસાથે પરિપૂર્ણ થાય છે ઓ e( એ)ÇF ¹ Æ અને ઓ e( એÇ(a\F) ¹ Æ. આકૃતિ F ના તમામ સીમા બિંદુઓનો સમૂહ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે બંધાયેલ F. જો સમૂહના દરેક બિંદુ વીતેનું આંતરિક બિંદુ છે (એટલે ​​કે વી = ઇન્ટ વી), તે વીકહેવાય છે ખુલ્લુંઘણા ઘણા એફ, તેના તમામ સીમા બિંદુઓ (દા.ત. બંધાયેલ એફ Í એફ), કહેવાય છે બંધઘણા

વ્યાયામ 2. સાબિત કરો કે ખુલ્લા સમૂહનો પૂરક બંધ સમૂહ છે અને ઊલટું.

સમૂહ કહેવાય છે સુસંગત, જો તે તેના બે બિન-ખાલી ખુલ્લા સબસેટના યુનિયન તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી. પ્લેનમાં કનેક્ટેડ ઓપન સેટ કહેવામાં આવે છે પ્રદેશ. નીચેનું નિવેદન અમને બહુકોણની વ્યાખ્યા રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે: એક સરળ બંધ તૂટેલી રેખા 1 પ્લેનને બે પ્રદેશોમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાંથી બરાબર એક બાઉન્ડેડ સેટ2 છે (સાબિતી તેમાં મળી શકે છે). બહુકોણઅમે યુનિયનને તેના આંતરિક પ્રદેશ સાથેની એક સરળ બંધ તૂટેલી લાઇન કહીશું. પછીની વ્યાખ્યાની જટિલતા અમને તમામ બહુકોણીય આકૃતિઓ ધરાવતા બીજા વર્ગને ધ્યાનમાં લેવા દબાણ કરે છે. તે જ સમયે બહુકોણીય આકૃતિત્રિકોણનું મર્યાદિત જોડાણ કહેવાય છે.

વ્યાયામ 3. કોઈપણ બહુકોણ અને કોઈપણ બહુકોણીય આકૃતિની બંધતા અને સીમાને સાબિત કરો.

મુખ્ય પ્રમેયના પુરાવામાં નીચેનો ખ્યાલ મુખ્ય ભૂમિકા ભજવશે. ઘણા એફજો ખુલ્લા સમૂહના કોઈપણ કુટુંબમાંથી હોય તો તેને કોમ્પેક્ટ કહેવામાં આવે છે વી = {જી: i Î આઈ), જેનું યુનિયન સમાવે છે એફ, આપણે મર્યાદિત સંખ્યામાં શબ્દો પસંદ કરી શકીએ છીએ ( જી 1,જી 2,...,જિન), જેનાં યુનિયનમાં સેટ પણ હશે એફ. આવો પરિવાર ( જી: i Î આઈ) અમે સેટના ખુલ્લા કવરને કૉલ કરીશું એફ, અને આ પરિવારનો યોગ્ય ભાગ, એટલે કે સમૂહ ( જી 1,જી 2,...,જિન), એક મર્યાદિત પેટા-કવર વીસેટ એફ. તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહ કોમ્પેક્ટ છે. આગળની બે કસરતો અમને પ્લેનના તમામ કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સનું વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપે છે (આ નિવેદનોના પુરાવા આમાં મળી શકે છે).

વ્યાયામ 4. સાબિત કરો કે લંબચોરસ એક કોમ્પેક્ટ સમૂહ છે.

વ્યાયામ 5. સાબિત કરો કે કોમ્પેક્ટ સમૂહનો બંધ સબસેટ કોમ્પેક્ટ છે.

છેલ્લી ત્રણ કસરતોનું પરિણામ એ કોઈપણ બહુકોણ અને કોઈપણ બહુકોણીય આકૃતિની સંક્ષિપ્તતા છે, કારણ કે આ દરેક સમૂહો બંધ છે અને ચોક્કસ લંબચોરસમાં સમાયેલ છે. તદુપરાંત, પ્લેનના દરેક બાઉન્ડેડ બંધ સબસેટ કોમ્પેક્ટ છે. નોંધ કરો કે છેલ્લા વિધાનની વાતચીત પણ સાચી છે, અને આ ફ્લેટ સેટની કોમ્પેક્ટનેસ માટે માપદંડ આપે છે.

મુખ્ય પરિણામો

સેગમેન્ટ્સનું સંયોજન 4 x = È{[ AiBi]:i Î આઈ) અમે કૉલ કરીશું સાંકળ(અને સેગમેન્ટ્સ પોતે આ સાંકળની લિંક્સ છે), જો તેની વિવિધ લિંક્સ ફક્ત તેમના શિરોબિંદુઓ પર છેદે છે, અને કોઈપણ લિંકનો દરેક શિરોબિંદુ બીજી અને માત્ર એક લિંકનો શિરોબિંદુ છે. નોંધ કરો કે સાંકળમાં અનંત સંખ્યામાં લિંક્સનો સમાવેશ થઈ શકે છે, અને તે અનેક અસંબંધિત જોડાયેલ સબચેઈન્સમાં પણ વિભાજિત થઈ શકે છે. કોઈપણ બિંદુ માટે એસાંકળો xદ્વારા x(એ) સાંકળ લિંક્સનું જોડાણ સૂચવે છે x, એક બિંદુ ધરાવે છે એ (x(એ) એક અથવા બે લિંક્સ ધરાવે છે). યાદ કરો કે બિંદુથી અંતર એઅમુક સમૂહ F ને સંખ્યા કહેવાય છે ડી(એ,F) = inf(| AX|:એક્સÎF).

વ્યાખ્યા.સાંકળ xચાલો ફોન કરીએ k- સાંકળ, જો કોઈ બિંદુ માટે એસાંકળો xથઈ ગયું: ડી(એ,x\x(એ)) > 0.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક મનસ્વી બિંદુ એ k- આ સાંકળની અન્ય લિંક્સ પર પડેલા બિંદુઓ દ્વારા સાંકળો અંદાજિત કરી શકાતી નથી. દેખીતી રીતે, દરેક સરળ બંધ તૂટેલી લાઇન છે k- સાંકળ.

વ્યાયામ 6. કે-ચેઈનનું ઉદાહરણ આપો જે સાદી બંધ તૂટેલી લાઇન નથી. એક સાંકળનું ઉદાહરણ આપો જે કે-ચેન નથી.

વ્યાખ્યા.આકૃતિ એમચાલો ફોન કરીએ k-સેટ, જો

1) એમકોમ્પેક્ટ સેટ છે;

2) બંધાયેલ એમ - k- સાંકળ;

3) કોઈપણ બિંદુના દરેક ઈ-પડોશ માટે એ Î બંધાયેલ એમદોડવું
ઓ e( એ)Ç ઇન્ટ એમ ¹ Æ.

તે જોવાનું સરળ છે કે દરેક બહુકોણ અને દરેક બહુકોણીય આકૃતિ છે k-સેટ્સ.

લેમ્મા. કોઈપણ k-સેટ M ને ત્રિકોણની મર્યાદિત સંખ્યાના સંઘ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

પુરાવો.ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે આ નિવેદન સ્પષ્ટ છે જો એમબહિર્મુખ બહુકોણ છે (તે મનસ્વી આંતરિક બિંદુને જોડવા માટે પૂરતું છે એમતેના શિરોબિંદુઓ સાથે). વધુમાં, બહુકોણ સરળતાથી ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે એમ = ,

DIV_ADBLOCK550">

પ્રથમ કેસ.મનસ્વી બિંદુ માટે એ Î ઇન્ટ એમચાલો પસંદ કરીએ ઓ e( એ) તેથી ઓ e( એ) Í એમ. ચાલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ ટી(એ) પર કેન્દ્ર સાથે કેટલાક નિયમિત ત્રિકોણ એ, સંપૂર્ણપણે માં પડેલો ઓ e( એ).

DIV_ADBLOCK551">

1) એમ iત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે

2) ડી i Î એમ i,

3) એમ Í È એમ i, માંથી વિવિધ ત્રિકોણ એમ iસામાન્ય આંતરિક બિંદુઓ નથી.

આકૃતિ બતાવે છે કે કેવી રીતે છ ત્રિકોણનો ઉપયોગ D પૂર્ણ કરવા માટે થઈ શકે છે iયોગ્ય સિસ્ટમ માટે એમ i. ચાલો ત્રિકોણ D કહેવા માટે સંમત થઈએ i મૂળસિસ્ટમો એમ i. હવે આપણે આવા બધા બિન-ખાલી આંતરછેદોને ધ્યાનમાં લઈશું F = F1Ç...ÇF n(એફ i Î એમ i) તે વચ્ચે (F1,F2,... F n) ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક રુટ છે (આપણે આવા આંતરછેદોને મૂળ આંતરછેદ કહીએ છીએ). એ નોંધવું અગત્યનું છે કે જો બે મૂળ છેદન F = F1Ç...ÇF nઅને એફ = એફ 1Ç...Ç Fnઅલગ છે, તો પછી તેમની પાસે સામાન્ય આંતરિક બિંદુઓ નથી (સિસ્ટમની મિલકત 4 માંથી એમ i). તદુપરાંત, આવા દરેક સમૂહ F માં સમાયેલ છે એમ(જુઓ પ્રોપર્ટી 2) અને એ બહિર્મુખ બહુકોણ છે (અહીં આપણે 1 અને કસરત 1 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ). પરિણામે, અમને પાર્ટીશન મળે છે કે = {કે 1,..., Kl) સેટ એમ, બહિર્મુખ બહુકોણ ધરાવે છે. હવે બહુકોણના કેટલાક આંતરિક બિંદુને જોડવું કીબધા તત્વ શિરોબિંદુઓ સાથે કે, બોર્ડર પર પકડાયો કી, આપણને બહુકોણનું થોડું ત્રિકોણ મળે છે કી. તે જોવાનું સરળ છે કે આવા ત્રિકોણનું જોડાણ સમગ્ર સમૂહનું ત્રિકોણ આપશે એમ. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેયમાંથી અનેક કોરોલરીઓ કાઢી શકાય છે.

કોરોલરી 1. દરેક બહુકોણીય આકૃતિ અને દરેક બહુકોણ ત્રિકોણાકાર હોઈ શકે છે.

કોરોલરી 2. k-સેટ્સનો વર્ગ બહુકોણીય આકૃતિઓના વર્ગ સાથે એકરુપ છે.

1 તૂટેલું x = È l = 1l = n[અલઅલ+1] કહેવાય છે બંધ, જો એ 1 = એન+1, અને સરળ, જો તેની બિન-સંલગ્ન કડીઓ છેદતી નથી.

2 આ સમૂહ કહેવાય છે આંતરિકપોલિલાઇન વિસ્તાર

3 સમૂહ કહેવાય છે મર્યાદિત, જો તે અમુક વર્તુળમાં સમાયેલ છે.

4 તમામ વિભાગોને બિન-તુચ્છ ગણવામાં આવે છે, એટલે કે. આય ¹ દ્વિદરેક માટે i Î આઈ.

4થા ધોરણમાં ગણિતના પાઠની નોંધIIક્વાર્ટર

વિષય:"ત્રિકોણમાં બહુકોણનું વિભાજન" (1 પાઠ)

સંસ્થાકીય ક્ષણ: (2 મિનિટ.)

ઘંટ પહેલેથી જ વાગી ગયો છે.

પાઠ શરૂ થાય છે.

આપણે ક્યાં જઈશું -

તમને જલ્દી જ ખબર પડી જશે.

પ્રખ્યાત કાર્ટૂનમાં આપણે શોધીશું

ખુશખુશાલ સહાયકો.

મિત્રો, અમને મળવા કોણ આવ્યું? (ગ્રે વરુ અને શિયાળ). શા માટે બરાબર આ નાયકો? (કારણ કે નવું વર્ષ ટૂંક સમયમાં આવી રહ્યું છે). નવા વર્ષમાં વિવિધ સાહસો છે. અને પછી એક દિવસ એક છોકરો અને છોકરીએ સાન્તાક્લોઝને પત્ર લખ્યો અને સ્નોમેન પોસ્ટમેનને આ પત્ર સાન્તાક્લોઝ સુધી પહોંચાડવા કહ્યું. પરંતુ જેમ તમે પહેલાથી જ જાણો છો, રસ્તામાં સ્નોમેન એક શિયાળ અને વરુને મળ્યો જે પત્ર લેવા માંગતો હતો. તમને શું લાગે છે કે સ્નોમેન સાથે શું થયું? (જ્યારે સ્નોમેન તેમની પાસેથી ભાગી ગયો, ત્યારે તે અલગ પડી ગયો). ગાય્સ, સ્નોમેન તમને તેની મુશ્કેલીમાં મદદ કરવા કહે છે. જ્યારે તમે તેમના કાર્યો પૂર્ણ કરશો ત્યારે વરુ અને શિયાળ તમને સ્નોમેનના ભાગો જ આપશે.

(બોર્ડ પર સ્નોમેનના ટુકડાઓ છે)

તેથી, મિત્રો, કાર્યને યોગ્ય રીતે પૂર્ણ કરવા માટે, વરુ તમને સ્નોમેનના ટુકડાઓ આપશે.

જ્ઞાન અપડેટ કરવું. આવરી લેવામાં આવતી સામગ્રીનું પુનરાવર્તન. (2 -3 મિનિટ.)

સ્લાઇડ 1

મિત્રો, સ્લાઇડમાં જુઓ, તમે કઈ ભૌમિતિક આકૃતિ જુઓ છો?(બહુકોણ)

- લાલ ભાગોને શું કહેવામાં આવે છે?(બહુકોણની બાજુ)

લીલા ભાગોને શું કહેવામાં આવે છે?(કર્ણ)

બહુકોણની બાજુ તેના કર્ણથી કેવી રીતે અલગ પડે છે?

(એક બાજુ બે અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓને જોડે છે, અને કર્ણ બે શિરોબિંદુઓને જોડે છે જે એક જ બાજુથી સંબંધિત નથી)

પાઠના ધ્યેયો અને ઉદ્દેશો નક્કી કરવા. (2 મિનિટ.)

કર્ણ બહુકોણને શું કરે છે?(બહુકોણને અન્ય ભૌમિતિક આકારોમાં વિભાજીત કરે છે)

અમારા કિસ્સામાં, બહુકોણને કયા ભૌમિતિક આકારોમાં વહેંચવામાં આવે છે?(ત્રિકોણ પર)

મિત્રો, આજે આપણે શું શીખવા જઈ રહ્યા છીએ?

(બહુકોણને ત્રિકોણમાં તોડી નાખો)

નવા જ્ઞાનનું પ્રાથમિક એસિમિલેશન . પાઠ્યપુસ્તક સાથે કામ કરવું .

( વિદ્યાર્થીઓ પાસે બહુકોણવાળા કાર્ડ છે )

- પૃષ્ઠ 108 પર પાઠ્યપુસ્તક ખોલો. કાર્ય નંબર 376 વાંચો

સ્લાઇડ 2

આપેલ ષટ્કોણમાં, તેના એક શિરોબિંદુમાંથી તમામ સંભવિત કર્ણ દોરો.(બાળકો સ્વતંત્ર રીતે કામ કરે છે)

(સ્લાઇડ 1). એક વિદ્યાર્થી સ્લાઇડ પર ષટ્કોણને ત્રિકોણમાં તોડે છે.

તમને કેટલા ત્રિકોણ મળ્યા? (4 ત્રિકોણ).

ચાલો ષટ્કોણ બનાવીએ અને તેમાં માત્ર અન્ય શિરોબિંદુઓથી તમામ પ્રકારના કર્ણ દોરીએ. (બાળકો ષટ્કોણ બનાવે છે અને કાર્ય પૂર્ણ કરે છે -બાળકો પાસે ષટ્કોણ શિરોબિંદુવાળા કાર્ડ છે ).

શિરોબિંદુઓની પસંદગીના આધારે બોર્ડ પર વિવિધ રેખાંકનો પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. બાળકો તેમના રેખાંકનો તપાસે છે.(જૂથોમાં તપાસો)

ગાય્સ, વરુ તમને તમે કરેલા કામ વિશે કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢવા માટે કહે છે.

બાળકો નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે ષટ્કોણના એક શિરોબિંદુમાંથી આવતા કર્ણ, પછી ભલે આપણે ગમે તે શિરોબિંદુ પસંદ કરીએ, તેને ચાર ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરો.

શિક્ષક બાળકોને સ્નોમેનના શરીરનો પ્રથમ ટુકડો આપે છે, બાળકો તેને સ્નોમેનના માથા પર લગાવે છે.

સ્લાઇડ 3

- મિત્રો, વરુનું આગલું કાર્ય સાંભળો - તમારી નોટબુકમાં એક લંબચોરસ દોરો અને તેને 4 ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરો (તેને સ્વતંત્ર રીતે પૂર્ણ કર્યા પછી, એક વિદ્યાર્થી સ્લાઇડ પરના લંબચોરસને વિભાજિત કરે છે).

મિત્રો, કદાચ તમારામાંથી કોઈ પાસે અન્ય વિકલ્પો છે?

સંભવિત વિકલ્પો:

કયા કિસ્સામાં લંબચોરસને કર્ણ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને કયા ભાગમાં વિભાગો દ્વારા વિભાજિત થાય છે?

(1 વિકલ્પ – કર્ણ) –આગળનો ટુકડો મેળવો અને તેને શરીર સાથે જોડો.

સ્લાઇડ

વરુનું આગામી કાર્ય.

સ્લાઇડ 4

અષ્ટકોણને 8 ત્રિકોણમાં તોડો.

ગાય્સ, કોણ જાણે છે કે આ કેવી રીતે કરવું?

બાળકો સમજાવે છે કે આ કાર્ય કેવી રીતે પૂર્ણ કરી શકાય.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે અષ્ટકોણની અંદર એક ચોક્કસ બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ, અને પછી આ બિંદુથી આપણે અષ્ટકોણના દરેક શિરોબિંદુ પર સેગમેન્ટ્સ દોરીએ છીએ.

બાળકો નોટબુકમાં ડ્રોઇંગ દોરે છે, પછી શિક્ષક સ્લાઇડ પર ડ્રોઇંગ પ્રોજેક્ટ કરે છે. બાળકો સ્લાઇડ પરના ચિત્ર સાથે તેમના ચિત્રની તુલના કરે છે.

કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે, બાળકોને આગામી સ્નોમેન ટુકડો પ્રાપ્ત થાય છે.

નોટબુકમાં કામ કરવું

સ્લાઇડ 5

મિત્રો, ચાલો યાદ કરીએ કે તમે કયા ત્રિકોણ જાણો છો? (તીવ્ર, સ્થૂળ અને લંબચોરસ).

આપેલ ત્રિકોણમાંથી તીવ્ર ત્રિકોણ પસંદ કરો. (છોકરાઓના ટેબલ પરના નમૂનાઓ)



એક તીવ્ર ત્રિકોણ દોરો અને તેને 3 ત્રિકોણમાં તોડી નાખો. એક વિદ્યાર્થી બોર્ડ પર કાર્ય પૂર્ણ કરે છે (સ્લાઇડ પર તીક્ષ્ણ ત્રિકોણની પેટર્ન)

રેખાંકનો તપાસી રહ્યું છે. બાળકો તેમના ડ્રોઇંગને બોર્ડ પરના ડ્રોઇંગ સાથે સરખાવે છે.(સ્નોમેન ટુકડો પ્રાપ્ત કરો)

કાર્ય નંબર 381 પૂર્ણ કરી રહ્યું છે. પાઠ્યપુસ્તક સાથે કામ કરવું

(લંબચોરસની ખાલી જગ્યાઓ)

મિત્રો, પાઠ્યપુસ્તક નંબર 381 માં કાર્ય વાંચો, શું કરવાની જરૂર છે? એક લંબચોરસ લો અને શાસક અને પેન્સિલનો ઉપયોગ કરીને, તેને 2 જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરો.

મિત્રો, પરિણામી ત્રિકોણમાં શું સામ્ય છે?

દરેક વ્યક્તિ પાસે સાચો ખૂણો હોય છે.

તમે દોરેલા લંબચોરસમાંની રેખાનું નામ શું છે?

કર્ણ.

લંબચોરસને ત્રાંસાથી ફોલ્ડ કરો. તમે શું નિષ્કર્ષ દોરી શકો છો?

કર્ણ લંબચોરસને 2 સમાન જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.

(એક સ્નોમેન ટુકડો પ્રાપ્ત કરો)

કાર્ય નંબર 382 પૂર્ણ કરી રહ્યું છે. (વિવિધ બહુકોણ સાથેનું કાર્ડ)

શિક્ષક તમને સોંપણી જાતે વાંચવા કહે છે.

વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે સોંપણી વાંચે છે અને તેને પૂર્ણ કરવાનું શરૂ કરે છે.

સોલ્યુશન બોર્ડ પર ચકાસાયેલ છે. (જોડીમાં કામ કરો)

મિત્રો, ચોરસનો વિસ્તાર શોધો.

બાળકો કાર્ડ પર ઉકેલ પૂર્ણ કરે છે. જવાબ એકસાથે તપાસો. (એક વિદ્યાર્થી બોર્ડ પર ઉકેલ પૂર્ણ કરે છે)

બાળકોને સ્નોમેનનો છેલ્લો ટુકડો મળે છે.

રમત "દોરડું"

પાઠ સારાંશ

સારું કર્યું ગાય્ઝ, તમે સ્નોમેન બનાવવામાં વ્યવસ્થાપિત છો. અને હવે તે સાન્તાક્લોઝને પત્ર પહોંચાડવામાં સક્ષમ હશે.

મિત્રો, તમને પાઠ વિશે શું ગમ્યું? (બાળકોનો જવાબ) તમને કઈ મુશ્કેલીઓનો સામનો કરવો પડ્યો?(બાળકોનો જવાબ)

શું વરુના કાર્યોએ તમને બહુકોણ દોરવાનું શીખવામાં અને તેમને ત્રિકોણમાં તોડવામાં મદદ કરી? જો બધું તમારા માટે કામ કરે છે, તો પછી લીલો હસતો ચહેરો ઉંચો કરો. જો તમને કોઈ મુશ્કેલીઓ હતી, તો પછી પીળી સ્માઈલી.(બાળકોનો જવાબ)

તમે નવા વર્ષમાં વરુને શું ઈચ્છો છો?

(છોકરાઓની શુભેચ્છાઓ)

શિક્ષક હોમવર્ક સોંપે છે (ટી પૃષ્ઠ 88 નંબર 157 – 158). સ્લાઇડ 6

સાથે મળીને હોમવર્ક પર કામ કરવું

№2

№2

№2

№2

№2