નંબર લાઇન પર અસમાનતાઓનું નિરાકરણ. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અસમાનતાઓ

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, માટેના સૌથી ઉપયોગી સંસાધનો માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો

તમારે ફક્ત આ પદ્ધતિને સમજવાની અને તમારા હાથની પાછળની જેમ જાણવાની જરૂર છે! જો માત્ર એટલા માટે કે તેનો ઉપયોગ તર્કસંગત અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે થાય છે અને કારણ કે, આ પદ્ધતિને યોગ્ય રીતે જાણીને, આ અસમાનતાઓને હલ કરવી આશ્ચર્યજનક રીતે સરળ છે. થોડી વાર પછી હું તમને આ અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સમય કેવી રીતે બચાવી શકાય તેના કેટલાક રહસ્યો જણાવીશ. સારું, શું તમે રસપ્રદ છો? પછી ચાલો!

પદ્ધતિનો સાર એ છે કે અસમાનતાને પરિબળોમાં પરિબળ (વિષયને પુનરાવર્તિત કરો) અને ODZ અને પરિબળોની નિશાની નક્કી કરવી હવે હું બધું સમજાવીશ; ચાલો સૌથી સરળ ઉદાહરણ લઈએ: .

અહીં સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી () લખવાની જરૂર નથી, કારણ કે ચલ દ્વારા કોઈ વિભાજન નથી, અને અહીં કોઈ રેડિકલ (મૂળ) જોવામાં આવતા નથી. અહીં બધું પહેલેથી જ આપણા માટે ફેક્ટરાઇઝ્ડ છે. પરંતુ આરામ કરશો નહીં, આ બધું તમને મૂળભૂત બાબતોની યાદ અપાવવા અને સારને સમજવા માટે છે!

ચાલો કહીએ કે તમને અંતરાલ પદ્ધતિ ખબર નથી, તમે આ અસમાનતાને કેવી રીતે હલ કરશો? તાર્કિક રીતે સંપર્ક કરો અને તમે જે જાણો છો તેના પર બિલ્ડ કરો. પ્રથમ, ડાબી બાજુ શૂન્ય કરતાં મોટી હશે જો કૌંસમાં બંને અભિવ્યક્તિઓ શૂન્ય કરતાં વધુ અથવા શૂન્ય કરતાં ઓછી હોય, કારણ કે “પ્લસ” માટે “પ્લસ” “પ્લસ” આપે છે અને “માઈનસ” માટે “માઈનસ” “પ્લસ” આપે છે, ખરું ને? અને જો કૌંસમાં અભિવ્યક્તિઓના ચિહ્નો અલગ હોય, તો અંતે ડાબી બાજુ શૂન્ય કરતાં ઓછી હશે. કૌંસમાં અભિવ્યક્તિઓ નકારાત્મક અથવા હકારાત્મક હશે તે મૂલ્યો શોધવા માટે આપણે શું કરવાની જરૂર છે?

આપણે એક સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે, તે અસમાનતા જેવું જ છે, માત્ર એક ચિહ્નને બદલે એક ચિહ્ન હશે, આ સમીકરણના મૂળ આપણને તે સીમા મૂલ્યો નક્કી કરવા દેશે, જ્યારે તેમાંથી વિદાય લેતા પરિબળો વધુ હશે. અથવા શૂન્ય કરતાં ઓછું.

અને હવે અંતરાલો પોતાને. અંતરાલ શું છે? આ સંખ્યા રેખાનો ચોક્કસ અંતરાલ છે, એટલે કે, બે સંખ્યાઓ વચ્ચે સમાયેલ તમામ સંભવિત સંખ્યાઓ - અંતરાલનો છેડો. તમારા માથામાં આ અંતરાલોની કલ્પના કરવી એટલી સરળ નથી, તેથી અંતરાલ દોરવાનું સામાન્ય છે, હું તમને હવે શીખવીશ.

અમે અક્ષ દોરીએ છીએ અને તેના પર સ્થિત છે. બિંદુઓ અક્ષ પર રચાયેલ છે, કાર્યના ખૂબ જ કહેવાતા શૂન્ય, મૂલ્યો કે જેના પર અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર છે. આ બિંદુઓ "પિન આઉટ" છે જેનો અર્થ છે કે તેઓ એવા મૂલ્યોમાં નથી કે જેના પર અસમાનતા સાચી છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ પંચર છે કારણ કે અસમાનતામાં સાઇન ઇન કરો અને નહીં, એટલે કે, તેનાથી વધુ અથવા તેનાથી વધુ નહીં.

હું કહેવા માંગુ છું કે શૂન્યને ચિહ્નિત કરવું જરૂરી નથી, તે અહીં વર્તુળો વિના છે, પરંતુ માત્ર અક્ષ સાથે સમજણ અને અભિગમ માટે. ઠીક છે, અમે અક્ષ દોર્યા છે, બિંદુઓ (વધુ ચોક્કસ રીતે, વર્તુળો) મુક્યા છે, આગળ શું છે, આ મને ઉકેલવામાં કેવી રીતે મદદ કરશે? - તમે પૂછો. હવે માત્ર અંતરાલોમાંથી x માટેનું મૂલ્ય ક્રમમાં લો અને તેને તમારી અસમાનતામાં બદલો અને જુઓ કે ગુણાકારનું પરિણામ શું આવે છે.

ટૂંકમાં, આપણે તેને ઉદાહરણ તરીકે લઈએ છીએ, તેને અહીં બદલીએ છીએ, તે કામ કરશે, જેનો અર્થ છે કે અસમાનતા સમગ્ર અંતરાલ (સંપૂર્ણ અંતરાલ પર) થી થી સુધી માન્ય રહેશે, જેમાંથી આપણે તેને લીધું છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો x માંથી છે, તો અસમાનતા સાચી છે.

અમે માંથી, લેવા અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, અવેજી માં, ચિહ્ન નક્કી કરવા માટેના અંતરાલ સાથે તે જ કરીએ છીએ, ચિહ્ન "માઈનસ" હશે. અને આપણે છેલ્લા, ત્રીજા અંતરાલ સાથે તે જ કરીએ છીએ, જ્યાં ચિહ્ન "વત્તા" હોવાનું બહાર આવે છે. આટલું બધું લખાણ છે, પણ પૂરતી સ્પષ્ટતા નથી, ખરું ને?

અસમાનતા પર બીજી નજર નાખો.

હવે આપણે સમાન ધરી પર પરિણામ સ્વરૂપે પ્રાપ્ત થશે તેવા સંકેતો પણ લાગુ કરીએ છીએ. મારા ઉદાહરણમાં, તૂટેલી રેખા અક્ષના હકારાત્મક અને નકારાત્મક વિભાગોને સૂચવે છે.

અસમાનતા જુઓ - ડ્રોઇંગ પર, ફરીથી અસમાનતા પર - અને ફરીથી ડ્રોઇંગ પર, કંઈ સ્પષ્ટ છે? હવે X કયા અંતરાલ પર કહેવાનો પ્રયાસ કરો, અસમાનતા સાચી હશે. તે સાચું છે, થી થી અસમાનતા સુધી પણ સાચું હશે, પરંતુ થી અસમાનતા સુધીના અંતરાલ પર શૂન્ય છે અને આ અંતરાલ આપણા માટે થોડું રસ ધરાવતું નથી, કારણ કે આપણી પાસે અસમાનતાની નિશાની છે.

ઠીક છે, હવે જ્યારે તમે તેને શોધી કાઢ્યું છે, તો માત્ર જવાબ લખવાનું બાકી છે! જવાબમાં, અમે તે અંતરાલો લખીએ છીએ જેના માટે ડાબી બાજુ શૂન્ય કરતાં મોટી છે, જે વાંચે છે કે X એ માઈનસ અનંતથી માઈનસ વન અને ટુ થી પ્લસ ઈન્ફિનિટી સુધીના અંતરાલનો છે. તે સ્પષ્ટ કરવા યોગ્ય છે કે કૌંસનો અર્થ એ છે કે જે મૂલ્યો દ્વારા અંતરાલ મર્યાદિત છે તે અસમાનતાના ઉકેલો નથી, એટલે કે, તેઓ જવાબમાં સમાવિષ્ટ નથી, પરંતુ માત્ર તે સૂચવે છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, એક સુધી નથી. ઉકેલ

હવે એક ઉદાહરણ જેમાં તમારે માત્ર અંતરાલ દોરવો પડશે નહીં:

તમારા મતે ધરી પર પોઈન્ટ મૂકતા પહેલા શું કરવાની જરૂર છે? હા, તેને પરિબળોમાં પરિબળ કરો:

અમે અંતરાલો દોરીએ છીએ અને ચિહ્નો મૂકીએ છીએ, નોંધ કરો કે અમારી પાસે બિંદુઓ પંચર છે, કારણ કે નિશાની શૂન્ય કરતાં સખત રીતે ઓછી છે:

તે તમને એક રહસ્ય કહેવાનો સમય છે જે મેં આ વિષયની શરૂઆતમાં વચન આપ્યું હતું! જો મેં તમને કહ્યું કે તમારે સાઇન નક્કી કરવા માટે દરેક અંતરાલમાંથી મૂલ્યો બદલવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમે એક અંતરાલમાં સાઇન નક્કી કરી શકો છો અને બાકીના ચિહ્નોને ફક્ત વૈકલ્પિક કરી શકો છો!

આમ, અમે ચિહ્નો નીચે મૂકવા માટે થોડો સમય બચાવ્યો - મને લાગે છે કે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આ મેળવેલ સમય નુકસાન કરશે નહીં!

અમે જવાબ લખીએ છીએ:

હવે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત અસમાનતાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો - એક અસમાનતા, જેના બંને ભાગો તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ છે (જુઓ).

તમે આ અસમાનતા વિશે શું કહી શકો? અને તમે તેને અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત સમીકરણ તરીકે જુઓ, આપણે સૌ પ્રથમ શું કરીએ? આપણે તરત જ જોઈ શકીએ છીએ કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી, જેનો અર્થ છે કે તે ચોક્કસપણે તર્કસંગત છે, પરંતુ પછી તે અપૂર્ણાંક છે, અને છેદમાં અજાણ્યા સાથે પણ!

તે સાચું છે, અમને ODZ ની જરૂર છે!

તેથી, ચાલો આગળ જઈએ, અહીં એક સિવાયના તમામ પરિબળોમાં પ્રથમ ડિગ્રીનું ચલ છે, પરંતુ એક પરિબળ છે જ્યાં x ની બીજી ડિગ્રી છે. સામાન્ય રીતે, અસમાનતાની ડાબી બાજુ શૂન્ય મૂલ્ય લે છે તે બિંદુઓમાંથી પસાર થયા પછી આપણું ચિહ્ન બદલાઈ જાય છે, જેના માટે અમે નક્કી કર્યું છે કે દરેક પરિબળમાં x શું હોવું જોઈએ. પરંતુ અહીં, તે હંમેશા હકારાત્મક છે, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ > શૂન્ય અને હકારાત્મક શબ્દ.

શું તમને લાગે છે કે આ અસમાનતાના અર્થને અસર કરશે? તે સાચું છે - તે અસર કરશે નહીં! અમે અસમાનતાને સુરક્ષિત રીતે બંને ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ અને ત્યાંથી આ પરિબળને દૂર કરી શકીએ છીએ જેથી કરીને તે આંખોમાં દુખાવો ન થાય.

અંતરાલો દોરવાનો સમય આવી ગયો છે, આ કરવા માટે, તમારે તે સીમા મૂલ્યો નક્કી કરવાની જરૂર છે, જ્યાંથી ગુણાકાર શૂન્ય કરતા વધારે અને ઓછા હશે. પરંતુ ધ્યાન આપો કે અહીં એક નિશાની છે, જેનો અર્થ એ છે કે અસમાનતાની ડાબી બાજુ શૂન્ય મૂલ્ય લે છે તે બિંદુને અમે પસંદ કરીશું નહીં, તે ઉકેલોની સંખ્યામાં શામેલ છે, અમારી પાસે ફક્ત એક જ બિંદુ છે, આ તે બિંદુ છે જ્યાં x એક સમાન છે. શું આપણે બિંદુને રંગ આપીશું જ્યાં છેદ નકારાત્મક છે? - અલબત્ત નહીં!

છેદ શૂન્ય ન હોવું જોઈએ, તેથી અંતરાલ આના જેવો દેખાશે:

આ રેખાકૃતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી જવાબ લખી શકો છો, હું ફક્ત એટલું જ કહીશ કે હવે તમારી પાસે એક નવો પ્રકારનો કૌંસ છે - ચોરસ! અહીં એક કૌંસ છે [ કહે છે કે મૂલ્ય ઉકેલ અંતરાલમાં શામેલ છે, એટલે કે. જવાબનો એક ભાગ છે, આ કૌંસ ધરી પર ભરેલા (પિન કરેલા નથી) બિંદુને અનુરૂપ છે.

તો, તમને એ જ જવાબ મળ્યો?

અમે તેને પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ અને દરેક વસ્તુને એક બાજુએ ખસેડીએ છીએ, તેની સાથે સરખામણી કરવા માટે આપણે ફક્ત શૂન્ય છોડવાની જરૂર છે:

હું તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરું છું કે છેલ્લા પરિવર્તનમાં, અંશ તેમજ છેદમાં મેળવવા માટે, હું અસમાનતાની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરું છું. યાદ રાખો કે જ્યારે અસમાનતાની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતાની નિશાની વિરુદ્ધમાં બદલાય છે!!!

અમે ODZ લખીએ છીએ:

નહિંતર, છેદ શૂન્ય પર જશે, અને, જેમ તમને યાદ છે, તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી!

સંમત થાઓ, પરિણામી અસમાનતા અંશ અને છેદ ઘટાડવા માટે આકર્ષે છે! આ કરી શકાતું નથી; તમે કેટલાક નિર્ણયો અથવા ODZ ગુમાવી શકો છો!

હવે પોઈન્ટ્સને ધરી પર જાતે મૂકવાનો પ્રયાસ કરો. હું માત્ર એટલું જ નોંધીશ કે જ્યારે પોઈન્ટનું કાવતરું ઘડવામાં આવે છે, ત્યારે તમારે એ હકીકત પર ધ્યાન આપવાની જરૂર છે કે મૂલ્ય સાથેનો એક બિંદુ, જે ચિહ્નના આધારે, અક્ષ પર શેડ તરીકે રચાયેલ હોય તેવું લાગે છે, તે શેડ કરવામાં આવશે નહીં, તે હશે. બહાર કાઢ્યું! તમે કેમ પૂછો છો? અને ODZ યાદ રાખો, તમે શૂન્યથી આ રીતે ભાગતા નથી?

યાદ રાખો, ODZ પ્રથમ આવે છે! જો બધી અસમાનતાઓ અને સમાન ચિહ્નો એક વાત કહે છે, અને ODZ બીજું કહે છે, તો ODZ પર વિશ્વાસ કરો, મહાન અને શક્તિશાળી!

સારું, તમે અંતરાલ બાંધ્યા છે, મને ખાતરી છે કે તમે ફેરબદલ વિશે મારો સંકેત લીધો અને તમને તે આના જેવું મળ્યું (નીચેનું ચિત્ર જુઓ) હવે તેને પાર કરો અને ફરીથી તે ભૂલ કરશો નહીં! શું ભૂલ? - તમે પૂછો.

હકીકત એ છે કે આ અસમાનતામાં પરિબળને બે વાર પુનરાવર્તિત કરવામાં આવ્યું હતું (યાદ રાખો કે તમે તેને કેવી રીતે ઘટાડવાનો પ્રયાસ કર્યો?). તેથી, જો અસમાનતામાં કેટલાક પરિબળનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે, તો જ્યારે અક્ષ પરના બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જે આ પરિબળને શૂન્યમાં ફેરવે છે (આ કિસ્સામાં, એક બિંદુ), જો તે વિચિત્ર હોય તો તે ચિહ્ન બદલાશે નહીં; , પછી ચિહ્ન બદલાય છે!

અંતરાલો અને ચિહ્નો સાથેની નીચેની ધરી સાચી હશે:

અને, મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમને જે ચિહ્નમાં રુચિ છે તે તે નથી જે શરૂઆતમાં હતી (જ્યારે આપણે પ્રથમ અસમાનતા જોઈ, ત્યારે ચિહ્ન ત્યાં હતું), પરિવર્તન પછી, ચિહ્ન બદલાઈ ગયું, જેનો અર્થ છે કે અમને અંતરાલોમાં રસ છે. નિશાની સાથે.

જવાબ:

હું એમ પણ કહીશ કે એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે અસમાનતાના મૂળ હોય છે જે કોઈપણ અંતરાલમાં આવતા નથી, જવાબમાં તેઓ સર્પાકાર કૌંસમાં લખવામાં આવે છે, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે: . તમે લેખ સરેરાશ સ્તરમાં આવી પરિસ્થિતિઓ વિશે વધુ વાંચી શકો છો.

1. ચાલો ઇન્ટરવલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તેનો સારાંશ આપીએ:
2. અમે બધું ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, જમણી બાજુએ માત્ર શૂન્ય છોડીને;
3. અમે ODZ શોધીએ છીએ;
4. અમે એક અંતરાલમાંથી મનસ્વી એક લઈએ છીએ અને અંતરાલમાં ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ કે જે મૂળ સાથે સંબંધિત છે, ચિહ્નોને વૈકલ્પિક કરીએ છીએ, અસમાનતામાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત મૂળ પર ધ્યાન આપીએ છીએ કે શું તેમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન બદલાય છે; તે કેટલી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે કે નહીં તેની સમાનતા અથવા વિચિત્રતા પર;
5. જવાબમાં, અમે વિરામચિહ્ન અને બિન-પંકચર બિંદુઓ (ODZ જુઓ), તેમની વચ્ચે જરૂરી પ્રકારના કૌંસ મૂકીને, અંતરાલ લખીએ છીએ.

અને અંતે, અમારો મનપસંદ વિભાગ, “તે જાતે કરો”!

ઉદાહરણો:

જવાબો:

ઇન્ટરવલ પદ્ધતિ. મધ્યમ સ્તર

રેખીય કાર્ય

ફોર્મના કાર્યને રેખીય કહેવામાં આવે છે. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે એક કાર્ય લઈએ. તે પર હકારાત્મક અને નકારાત્મક છે. બિંદુ એ કાર્ય () નું શૂન્ય છે. ચાલો સંખ્યા અક્ષ પર આ કાર્યના ચિહ્નો બતાવીએ:

અમે કહીએ છીએ કે "બિંદુમાંથી પસાર થવા પર ફંક્શન ચિહ્નને બદલે છે".

તે જોઈ શકાય છે કે ફંક્શનના ચિહ્નો ફંક્શન ગ્રાફની સ્થિતિને અનુરૂપ છે: જો ગ્રાફ અક્ષની ઉપર છે, તો ચિહ્ન "" છે, જો તે નીચે "" છે.

જો આપણે પરિણામી નિયમને મનસ્વી રેખીય કાર્યમાં સામાન્યીકરણ કરીએ, તો આપણે નીચેનું અલ્ગોરિધમ મેળવીએ છીએ:

• કાર્યનું શૂન્ય શોધવું;
• અમે તેને નંબર અક્ષ પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ;
• અમે શૂન્યની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર કાર્યની નિશાની નક્કી કરીએ છીએ.

ચતુર્ભુજ કાર્ય

હું આશા રાખું છું કે તમને યાદ હશે કે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી? જો નહીં, તો વિષય વાંચો. ચાલો હું તમને ચતુર્ભુજ કાર્યના સામાન્ય સ્વરૂપની યાદ અપાવીશ: .

હવે ચાલો યાદ કરીએ કે ચતુર્ભુજ કાર્ય કયા સંકેતો લે છે. તેનો આલેખ એક પેરાબોલા છે, અને ફંક્શન તે લોકો માટે " " ચિહ્ન લે છે જેમાં પેરાબોલા અક્ષની ઉપર હોય છે, અને " " - જો પેરાબોલા અક્ષની નીચે હોય તો:

જો કોઈ ફંક્શનમાં શૂન્ય (મૂલ્યો કે જેના પર) હોય, તો પેરાબોલા અક્ષને બે બિંદુઓ પર છેદે છે - અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ. આમ, ધરીને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને દરેક મૂળમાંથી પસાર થતી વખતે કાર્યના સંકેતો વૈકલ્પિક રીતે બદલાય છે.

શું દર વખતે પેરાબોલા દોર્યા વિના કોઈક રીતે ચિહ્નો નક્કી કરવાનું શક્ય છે?

યાદ કરો કે ચોરસ ત્રિનોમીલને પરિબળ બનાવી શકાય છે:

ઉદાહરણ તરીકે: .

ચાલો ધરી પરના મૂળને ચિહ્નિત કરીએ:

આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે ફંક્શનની નિશાની ત્યારે જ બદલાઈ શકે છે જ્યારે મૂળમાંથી પસાર થાય છે. ચાલો આ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ: દરેક ત્રણ અંતરાલો માટે કે જેમાં અક્ષને મૂળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તે ફક્ત એક મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલા બિંદુ પર કાર્યની નિશાની નક્કી કરવા માટે પૂરતું છે: અંતરાલના બાકીના બિંદુઓ પર ચિહ્ન સમાન હશે. .

અમારા ઉદાહરણમાં: કૌંસમાં બંને અભિવ્યક્તિઓ હકારાત્મક છે (અવેજી, ઉદાહરણ તરીકે:). અમે ધરી પર "" ચિહ્ન મૂકીએ છીએ:

સારું, જ્યારે (અવેજી, ઉદાહરણ તરીકે), બંને કૌંસ નકારાત્મક હોય છે, જેનો અર્થ છે કે ઉત્પાદન હકારાત્મક છે:

આ છે અંતરાલ પદ્ધતિ: દરેક અંતરાલ પરના પરિબળોના સંકેતો જાણીને, અમે સમગ્ર ઉત્પાદનની નિશાની નક્કી કરીએ છીએ.

ચાલો એવા કિસ્સાઓ પણ ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે ફંક્શનમાં કોઈ શૂન્ય ન હોય અથવા માત્ર એક જ હોય.

જો તેઓ ત્યાં નથી, તો ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં કોઈ "મૂળમાંથી પસાર થવું" હશે નહીં. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર માત્ર એક જ ચિહ્ન લે છે. તેને ફંક્શનમાં બદલીને સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે.

જો ત્યાં માત્ર એક જ મૂળ હોય, તો પેરાબોલા અક્ષને સ્પર્શે છે, તેથી મૂળમાંથી પસાર થતી વખતે કાર્યની નિશાની બદલાતી નથી. આવી પરિસ્થિતિઓ માટે આપણે કયા નિયમ સાથે આવી શકીએ?

જો તમે આવા કાર્યને પરિબળ કરો છો, તો તમને બે સમાન પરિબળો મળશે:

અને કોઈપણ ચોરસ અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક છે! તેથી, કાર્યની નિશાની બદલાતી નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, અમે રુટને પ્રકાશિત કરીશું, જ્યારે તેમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન બદલાતું નથી, તેને ચોરસ સાથે વર્તુળ કરીને:

આવા મૂળને આપણે બહુવિધ કહીશું.

અસમાનતામાં અંતરાલ પદ્ધતિ

હવે કોઈપણ ચતુર્ભુજ અસમાનતાને પેરાબોલા દોર્યા વિના ઉકેલી શકાય છે. અક્ષ પર ચતુર્ભુજ કાર્યના ચિહ્નો મૂકવા અને અસમાનતાના સંકેતને આધારે અંતરાલ પસંદ કરવા માટે તે પૂરતું છે. ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો ધરી પરના મૂળને માપીએ અને ચિહ્નો મૂકીએ:

આપણને " " ચિહ્ન સાથે ધરીના ભાગની જરૂર છે; અસમાનતા કડક ન હોવાથી, મૂળ પણ ઉકેલમાં સમાવવામાં આવેલ છે:

હવે તર્કસંગત અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો - એક અસમાનતા, જેની બંને બાજુ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ છે (જુઓ).

ઉદાહરણ:

એક સિવાયના તમામ પરિબળો અહીં "રેખીય" છે, એટલે કે, તેઓ ફક્ત પ્રથમ શક્તિ માટે ચલ ધરાવે છે. અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે આપણને આવા રેખીય પરિબળોની જરૂર છે - જ્યારે તેમના મૂળમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે ચિહ્ન બદલાય છે. પરંતુ ગુણકનું કોઈ મૂળ નથી. આનો અર્થ એ છે કે તે હંમેશા હકારાત્મક છે (આ તમારા માટે તપાસો), અને તેથી સમગ્ર અસમાનતાના સંકેતને અસર કરતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે આપણે તેના દ્વારા અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ, અને આમ તેમાંથી છૂટકારો મેળવી શકીએ છીએ:

હવે બધું એવું જ છે જેવું તે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ સાથે હતું: અમે નક્કી કરીએ છીએ કે દરેક પરિબળ કયા બિંદુઓ પર શૂન્ય બને છે, આ બિંદુઓને ધરી પર ચિહ્નિત કરો અને ચિહ્નો ગોઠવો. હું તમારું ધ્યાન એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ હકીકત તરફ દોરવા માંગુ છું:

જવાબ:. ઉદાહરણ:.

અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે, અસમાનતાના ભાગોમાંથી એક હોવું આવશ્યક છે. તેથી, ચાલો જમણી બાજુ ડાબી તરફ ખસેડીએ:

અંશ અને છેદ સમાન પરિબળ ધરાવે છે, પરંતુ તેને ઘટાડવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં! છેવટે, તો પછી આપણે આ મુદ્દાને પ્રિક કરવાનું ભૂલી શકીએ છીએ. આ રુટને બહુવિધ તરીકે ચિહ્નિત કરવું વધુ સારું છે, એટલે કે, જ્યારે તેમાંથી પસાર થવું, ત્યારે ચિહ્ન બદલાશે નહીં:

જવાબ:.

અને એક વધુ ખૂબ જ દૃષ્ટાંતરૂપ ઉદાહરણ:

ફરીથી, આપણે અંશ અને છેદના સમાન પરિબળોને રદ કરતા નથી, કારણ કે જો આપણે કરીએ, તો આપણે બિંદુને પંચર કરવાનું ખાસ યાદ રાખવું પડશે.

• : પુનરાવર્તિત વખત;
• : વખત;
• : વખત (અંશમાં અને એક છેદમાં).

એક સમાન સંખ્યાના કિસ્સામાં, આપણે પહેલાની જેમ જ કરીએ છીએ: આપણે ચોરસ સાથે બિંદુને વર્તુળ કરીએ છીએ અને મૂળમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન બદલતા નથી. પરંતુ વિષમ સંખ્યાના કિસ્સામાં, આ નિયમ લાગુ પડતો નથી: રુટમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન હજુ પણ બદલાશે. તેથી, અમે આવા રુટ સાથે વધારાનું કંઈ કરતા નથી, જાણે કે તે બહુવિધ ન હોય. ઉપરોક્ત નિયમો તમામ સમ અને વિષમ શક્તિઓને લાગુ પડે છે.

જવાબમાં શું લખવું જોઈએ?

જો ચિહ્નોના ફેરબદલનું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો તમારે ખૂબ કાળજી લેવાની જરૂર છે, કારણ કે જો અસમાનતા કડક ન હોય, તો જવાબમાં શામેલ હોવું જોઈએ બધા શેડ પોઈન્ટ. પરંતુ તેમાંના કેટલાક ઘણીવાર અલગ પડે છે, એટલે કે, તેઓ શેડવાળા વિસ્તારમાં શામેલ નથી. આ કિસ્સામાં, અમે તેમને અલગ બિંદુઓ તરીકે જવાબમાં ઉમેરીએ છીએ (સર્પાકાર કૌંસમાં):

ઉદાહરણો (તમારા માટે નક્કી કરો):

જવાબો:

1. જો પરિબળોમાં તે સરળ છે, તો તે મૂળ છે, કારણ કે તે તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
   .

ઇન્ટરવલ પદ્ધતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ તર્કસંગત અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે થાય છે. તે વિવિધ અંતરાલો પરના પરિબળોના ચિહ્નોમાંથી ઉત્પાદનની નિશાની નક્કી કરવામાં સમાવે છે.

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તર્કસંગત અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

• અમે બધું ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, જમણી બાજુએ માત્ર શૂન્ય છોડીને;
• અમે ODZ શોધીએ છીએ;
• અમે ધરી પર અસમાનતાના તમામ મૂળને કાવતરું કરીએ છીએ;
• અમે એક અંતરાલમાંથી મનસ્વી એક લઈએ છીએ અને અંતરાલમાં ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ કે જે મૂળ સાથે સંબંધિત છે, ચિહ્નોને વૈકલ્પિક કરીએ છીએ, અસમાનતામાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત મૂળ પર ધ્યાન આપીએ છીએ કે શું તેમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન બદલાય છે; તે કેટલી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે કે નહીં તેની સમાનતા અથવા વિચિત્રતા પર;
• જવાબમાં, અમે વિરામચિહ્ન અને બિન-પંકચર બિંદુઓ (ODZ જુઓ), તેમની વચ્ચે જરૂરી પ્રકારના કૌંસ મૂકીને, અંતરાલ લખીએ છીએ.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્ત્વપૂર્ણ રીતે, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકોએ સારું શિક્ષણ મેળવ્યું છે તેઓ જેઓએ તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાય છે. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણી વધુ તકો ખુલે છે અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો, વિગતવાર વિશ્લેષણ સાથેઅને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોનો વધુ સારી રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકનું આયુષ્ય વધારવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

પ્રાચીન કાળથી વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે જથ્થા અને જથ્થાની તુલના કરવી જરૂરી છે. તે જ સમયે, વધુ અને ઓછા, ઉચ્ચ અને નીચલા, હળવા અને ભારે, શાંત અને મોટેથી, સસ્તા અને વધુ ખર્ચાળ, વગેરે જેવા શબ્દો દેખાયા, જે સજાતીય જથ્થાની તુલનાના પરિણામો સૂચવે છે.

વસ્તુઓની ગણતરી કરવા, માપવા અને જથ્થાની તુલના કરવાના સંબંધમાં વધુ અને ઓછા ખ્યાલો ઉદ્ભવ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ગ્રીસના ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે કોઈપણ ત્રિકોણની બાજુ અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા કરતા ઓછી હોય છે અને ત્રિકોણમાં મોટા કોણની સામે મોટી બાજુ હોય છે. આર્કિમિડીઝ, પરિઘની ગણતરી કરતી વખતે, સ્થાપિત કરે છે કે કોઈપણ વર્તુળની પરિમિતિ વ્યાસના સાતમા ભાગ કરતાં ઓછી હોય છે, પરંતુ વ્યાસના દસ સિત્તેર ગણા કરતાં વધુ હોય છે.

ચિહ્નો > અને b નો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને જથ્થા વચ્ચે પ્રતીકાત્મક રીતે સંબંધ લખો. રેકોર્ડ જેમાં બે સંખ્યાઓ એક ચિહ્નો દ્વારા જોડાયેલ છે: > (તેના કરતાં વધુ), તમે નીચલા ગ્રેડમાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓનો પણ સામનો કર્યો. તમે જાણો છો કે અસમાનતાઓ સાચી હોઈ શકે છે, અથવા તે ખોટી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) એ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે, 0.23 > 0.235 એ ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે.

અજ્ઞાત સાથે સંકળાયેલી અસમાનતાઓ અજ્ઞાતના કેટલાક મૂલ્યો માટે સાચી અને અન્ય માટે ખોટી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 2x+1>5 x = 3 માટે સાચી છે, પરંતુ x = -3 માટે ખોટી છે. એક અજાણ્યા સાથે અસમાનતા માટે, તમે કાર્ય સેટ કરી શકો છો: અસમાનતાને હલ કરો. વ્યવહારમાં, સમીકરણો ઉકેલવાની સમસ્યાઓ કરતાં ઓછી વાર અસમાનતાઓને ઉકેલવાની સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે અને ઉકેલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી આર્થિક સમસ્યાઓ રેખીય અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓના અભ્યાસ અને ઉકેલ માટે નીચે આવે છે. ગણિતની ઘણી શાખાઓમાં, સમીકરણો કરતાં અસમાનતાઓ વધુ સામાન્ય છે.

કેટલીક અસમાનતાઓ ચોક્કસ પદાર્થના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા અથવા તેને સાબિત કરવાના એકમાત્ર સહાયક માધ્યમ તરીકે સેવા આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણનું મૂળ.

સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ

તમે પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરી શકો છો. સમાન છેદ સાથે પરંતુ વિવિધ અંશ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાના નિયમો જાણો; સમાન અંશ સાથે પરંતુ વિવિધ છેદ સાથે. અહીં તમે શીખી શકશો કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓની તેમના તફાવતની નિશાની શોધીને તેની તુલના કેવી રીતે કરવી.

વ્યવહારમાં સંખ્યાઓની સરખામણીનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અર્થશાસ્ત્રી આયોજિત સૂચકાંકોને વાસ્તવિક સાથે સરખાવે છે, ડૉક્ટર દર્દીના તાપમાનને સામાન્ય સાથે સરખાવે છે, ટર્નર મશીનવાળા ભાગના પરિમાણોને પ્રમાણભૂત સાથે સરખાવે છે. આવા તમામ કિસ્સાઓમાં, કેટલીક સંખ્યાઓની સરખામણી કરવામાં આવે છે. સંખ્યાઓની સરખામણીના પરિણામે, સંખ્યાત્મક અસમાનતા ઊભી થાય છે.

વ્યાખ્યા.જો તફાવત a-b ધન હોય તો સંખ્યા b સંખ્યા કરતાં મોટી છે. જો તફાવત a-b નકારાત્મક હોય તો સંખ્યા b સંખ્યા કરતાં ઓછી છે.

જો a b કરતા મોટો હોય, તો તેઓ લખે છે: a > b; જો a એ b કરતાં ઓછું હોય, તો તેઓ લખે છે: a આમ, અસમાનતા a > b નો અર્થ એ છે કે તફાવત a - b હકારાત્મક છે, એટલે કે. a - b > 0. અસમાનતા a નીચેના ત્રણ સંબંધોમાંથી કોઈપણ બે સંખ્યાઓ a અને b માટે a > b, a = b, a a અને b સંખ્યાઓની સરખામણી કરવાનો અર્થ એ છે કે કયા સંકેતો >, = અથવા પ્રમેય.જો a > b અને b > c, તો a > c.

પ્રમેય.જો તમે અસમાનતાની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા ઉમેરશો, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં.
પરિણામ.કોઈપણ શબ્દને અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં ખસેડી શકાય છે, આ શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીને.

પ્રમેય.જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાતી નથી. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાશે.
પરિણામ.જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ જશે.

તમે જાણો છો કે સંખ્યાત્મક સમાનતા ઉમેરી શકાય છે અને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. આગળ, તમે અસમાનતા સાથે સમાન ક્રિયાઓ કેવી રીતે કરવી તે શીખીશું. અસમાનતા શબ્દને શબ્દ દ્વારા ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવાની ક્ષમતાનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં થાય છે. આ ક્રિયાઓ અભિવ્યક્તિના અર્થોનું મૂલ્યાંકન અને તુલના કરવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.

વિવિધ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ઘણીવાર અસમાનતા શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓને શબ્દ દ્વારા ઉમેરવા અથવા ગુણાકાર કરવાની જરૂર પડે છે. તે જ સમયે, એવું કહેવાય છે કે અસમાનતાઓ ઉમેરે છે અથવા ગુણાકાર કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ પ્રવાસી પહેલા દિવસે 20 કિમીથી વધુ અને બીજા દિવસે 25 કિમીથી વધુ ચાલ્યો હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે બે દિવસમાં તે 45 કિમીથી વધુ ચાલ્યો. તેવી જ રીતે, જો લંબચોરસની લંબાઈ 13 સેમીથી ઓછી હોય અને પહોળાઈ 5 સેમી કરતા ઓછી હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ 65 સેમી 2 કરતા ઓછું છે.

આ ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેતા, નીચેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: અસમાનતાના ઉમેરા અને ગુણાકાર પરના પ્રમેય:

પ્રમેય.સમાન ચિહ્નની અસમાનતા ઉમેરતી વખતે, સમાન ચિહ્નની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે: જો a > b અને c > d, તો a + c > b + d.

પ્રમેય.જ્યારે સમાન ચિહ્નની અસમાનતાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, જેની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ધન છે, સમાન ચિહ્નની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે: જો a > b, c > d અને a, b, c, d ધન સંખ્યાઓ હોય, તો ac > bd.

ચિહ્ન સાથેની અસમાનતાઓ > (તેના કરતાં વધુ) અને 1/2, 3/4 b, c કડક અસમાનતાના ચિહ્નો સાથે > અને તે જ રીતે, અસમાનતા \(a \geq b \) નો અર્થ એ છે કે સંખ્યા a છે b થી વધુ અથવા બરાબર, એટલે કે .અને b ઓછું નહીં.

\(\geq \) ચિહ્ન અથવા \(\leq \) ચિહ્ન ધરાવતી અસમાનતાઓને બિન-કડક કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) કડક અસમાનતા નથી.

કડક અસમાનતાના તમામ ગુણધર્મો બિન-કડક અસમાનતાઓ માટે પણ માન્ય છે. તદુપરાંત, જો સખત અસમાનતાઓ માટે > ચિહ્નો વિરુદ્ધ ગણવામાં આવે અને તમે જાણો છો કે સંખ્યાબંધ લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમારે સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું પડશે. આગળ, તમે શીખી શકશો કે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેના ગાણિતિક મોડેલો અજાણ્યાઓ સાથેની અસમાનતા છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવશે અને આપેલ સંખ્યા ચોક્કસ અસમાનતાનો ઉકેલ છે કે કેમ તે કેવી રીતે ચકાસવું તે બતાવવામાં આવશે.

ફોર્મની અસમાનતા
\(ax > b, \quad ax જેમાં a અને b સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે, અને x એ અજ્ઞાત છે, તેને કહેવામાં આવે છે એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય અસમાનતા.

વ્યાખ્યા.એક અજ્ઞાત સાથેની અસમાનતાનો ઉકેલ એ અજ્ઞાતનું મૂલ્ય છે જેના પર આ અસમાનતા સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા બની જાય છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા અથવા સ્થાપિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી.

તમે સમીકરણોને સરળ સમીકરણોમાં ઘટાડીને ઉકેલ્યા. તેવી જ રીતે, અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, વ્યક્તિ તેમને ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, સરળ અસમાનતાના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરે છે.

એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતાઓને ઉકેલવી

ફોર્મની અસમાનતા
\(ax^2+bx+c >0 \) અને \(ax^2+bx+c જ્યાં x ચલ છે, a, b અને c અમુક સંખ્યાઓ છે અને \(a \neq 0 \), કહેવાય છે એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતા.

અસમાનતાનો ઉકેલ
\(ax^2+bx+c >0 \) અથવા \(ax^2+bx+c શોધવાના અંતરાલ તરીકે ગણી શકાય જેમાં કાર્ય \(y= ax^2+bx+c \) હકારાત્મક કે નકારાત્મક લે છે મૂલ્યો આ કરવા માટે, ફંક્શનનો ગ્રાફ \(y= ax^2+bx+c\) કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં કેવી રીતે સ્થિત છે તેનું વિશ્લેષણ કરવા માટે તે પૂરતું છે: જ્યાં પેરાબોલાની શાખાઓ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે - ઉપર અથવા નીચે, પછી ભલે પેરાબોલા x અક્ષને છેદે છે અને જો તે કરે છે, તો પછી કયા બિંદુઓ પર.

એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:
1) ત્રિનોમીના ચોરસ \(ax^2+bx+c\) ના ભેદભાવ શોધો અને ત્રિનોમીના મૂળ છે કે કેમ તે શોધો;
2) જો ત્રિનોમીના મૂળ હોય, તો તેને x-અક્ષ પર ચિહ્નિત કરો અને ચિહ્નિત બિંદુઓ દ્વારા યોજનાકીય પેરાબોલા દોરો, જેની શાખાઓ a > 0 માટે ઉપરની તરફ અથવા 0 માટે નીચે અથવા 3 માટે તળિયે નિર્દેશિત છે) x-અક્ષ પર અંતરાલો શોધો કે જેના માટે પોઈન્ટ પેરાબોલાસ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે (જો તેઓ અસમાનતાને ઉકેલે \(ax^2+bx+c >0\)) અથવા x-અક્ષની નીચે (જો તેઓ હલ કરે છે અસમાનતા
\(ax^2+bx+c અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

કાર્યને ધ્યાનમાં લો
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

આ ફંક્શનનું ડોમેન એ બધી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. ફંક્શનના શૂન્ય એ સંખ્યાઓ છે -2, 3, 5. તેઓ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) અને \(5; +\infty)\)

ચાલો જોઈએ કે દરેક દર્શાવેલ અંતરાલોમાં આ કાર્યના ચિહ્નો શું છે.

અભિવ્યક્તિ (x + 2)(x - 3)(x - 5) એ ત્રણ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે. વિચારણા હેઠળના અંતરાલોમાં આ દરેક પરિબળોની નિશાની કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

સામાન્ય રીતે, ફંક્શનને સૂત્ર દ્વારા આપવા દો
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
જ્યાં x એ ચલ છે, અને x 1, x 2, ..., x n એ સંખ્યાઓ છે જે એકબીજાની સમાન નથી. સંખ્યાઓ x 1 , x 2 , ..., x n એ ફંક્શનના શૂન્ય છે. દરેક અંતરાલો જેમાં વ્યાખ્યાના ડોમેનને ફંક્શનના શૂન્ય દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ફંક્શનની નિશાની સાચવવામાં આવે છે, અને જ્યારે શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેનું ચિહ્ન બદલાય છે.

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે થાય છે
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) જ્યાં x 1, x 2, ..., x n એ સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન નથી

પદ્ધતિ ગણવામાં આવે છે અસમાનતાઓને ઉકેલવાને અંતરાલ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવાના ઉદાહરણો આપીએ.

અસમાનતા ઉકેલો:

અમે સંખ્યા અક્ષ પર ફંક્શનના શૂન્યને કાવતરું કરીએ છીએ અને દરેક અંતરાલ પર ચિહ્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

અમે એવા અંતરાલોને પસંદ કરીએ છીએ કે જેના પર ફંક્શન શૂન્ય કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય અને જવાબ લખીએ.

અને, મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમને જે ચિહ્નમાં રુચિ છે તે તે નથી જે શરૂઆતમાં હતી (જ્યારે આપણે પ્રથમ અસમાનતા જોઈ, ત્યારે ચિહ્ન ત્યાં હતું), પરિવર્તન પછી, ચિહ્ન બદલાઈ ગયું, જેનો અર્થ છે કે અમને અંતરાલોમાં રસ છે. નિશાની સાથે.
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

આ પાઠમાં આપણે વધુ જટિલ અસમાનતાઓ માટે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તર્કસંગત અસમાનતાઓને ઉકેલવાનું ચાલુ રાખીશું. ચાલો અપૂર્ણાંક રેખીય અને અપૂર્ણાંક ચતુર્ભુજ અસમાનતા અને સંબંધિત સમસ્યાઓના ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ.

હવે અસમાનતા પર પાછા ફરીએ

ચાલો કેટલાક સંબંધિત કાર્યો જોઈએ.

અસમાનતાનો સૌથી નાનો ઉપાય શોધો.

અસમાનતાના કુદરતી ઉકેલોની સંખ્યા શોધો

અંતરાલોની લંબાઈ શોધો જે અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ બનાવે છે.

2. નેચરલ સાયન્સનું પોર્ટલ ().

3. કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન, ગણિત, રશિયન ભાષા () માં પ્રવેશ પરીક્ષાઓ માટે 10-11 ગ્રેડની તૈયારી માટે ઇલેક્ટ્રોનિક શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરનું સંકુલ.

5. શિક્ષણ કેન્દ્ર “ટીચિંગ ટેકનોલોજી” ().

6. ગણિત પર કૉલેજ.રુ વિભાગ ().

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, ટી. એન. મિશુસ્ટીના, વગેરે. - 4 થી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર. નંબર 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

અંતરાલ પદ્ધતિ(અથવા તેને કેટલીકવાર અંતરાલ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે) અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સાર્વત્રિક પદ્ધતિ છે. તે વિવિધ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે, પરંતુ ઉકેલવામાં સૌથી અનુકૂળ છે તર્કસંગત અસમાનતાઓએક ચલ સાથે. તેથી, શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં, અંતરાલોની પદ્ધતિ ખાસ કરીને તર્કસંગત અસમાનતાઓ સાથે નજીકથી જોડાયેલી છે, અને તેની મદદથી અન્ય અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે વ્યવહારીક રીતે કોઈ ધ્યાન આપવામાં આવતું નથી.

આ લેખમાં આપણે અંતરાલ પદ્ધતિનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું અને તેનો ઉપયોગ કરીને એક ચલ વડે અસમાનતાઓને ઉકેલવાની તમામ જટિલતાઓને સ્પર્શ કરીશું. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ રજૂ કરીને પ્રારંભ કરીએ. આગળ, અમે સમજાવીશું કે તે કયા સૈદ્ધાંતિક પાસાઓ પર આધારિત છે અને અલ્ગોરિધમના પગલાઓનું વિશ્લેષણ કરીશું, ખાસ કરીને, અમે અંતરાલો પરના સંકેતોના નિર્ધારણ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું. આ પછી, અમે પ્રેક્ટિસ તરફ આગળ વધીશું અને કેટલાક લાક્ષણિક ઉદાહરણોના ઉકેલો બતાવીશું. અને નિષ્કર્ષમાં, અમે અંતરાલ પદ્ધતિને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ધ્યાનમાં લઈશું (એટલે ​​​​કે, તર્કસંગત અસમાનતાના સંદર્ભ વિના), બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિ.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

અલ્ગોરિધમ

શાળામાં અંતરાલ પદ્ધતિ સાથે પરિચિતતા ફોર્મ f(x) ની અસમાનતાઓને ઉકેલવા સાથે શરૂ થાય છે.<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >અથવા ≥), જ્યાં f(x) ક્યાં તો છે, ઉત્પાદન તરીકે રજૂ થાય છે રેખીય દ્વિપદીચલ x અને/અથવા માટે 1 સાથે ચોરસ ત્રિપદી 1 ના અગ્રણી ગુણાંક સાથે અને નકારાત્મક ભેદભાવ અને તેમની ડિગ્રી અથવા આવા બહુપદીના ગુણોત્તર સાથે. સ્પષ્ટતા માટે, અમે આવી અસમાનતાઓના ઉદાહરણો આપીએ છીએ: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

આગળની વાતચીતને સાર્થક બનાવવા માટે, ચાલો ઈન્ટરવલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉપરોક્ત પ્રકારની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે તરત જ એક અલ્ગોરિધમ લખીએ, અને પછી આપણે શું, કેવી રીતે અને શા માટે સમજીશું. તેથી, અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને:

• પ્રથમ, અંશના શૂન્ય અને છેદના શૂન્ય જોવા મળે છે. આ કરવા માટે, અસમાનતાની ડાબી બાજુએ અભિવ્યક્તિનો અંશ અને છેદ શૂન્ય સમાન છે, અને પરિણામી સમીકરણો ઉકેલાય છે.
• આ પછી, મળેલા શૂન્યને અનુરૂપ બિંદુઓ ડેશ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. એક યોજનાકીય ડ્રોઇંગ પર્યાપ્ત છે, જેમાં સ્કેલનું અવલોકન કરવું જરૂરી નથી, મુખ્ય વસ્તુ એકબીજાને સંબંધિત બિંદુઓના સ્થાનનું પાલન કરવાનું છે: નાના સંકલન સાથેનો બિંદુ બિંદુની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. મોટું સંકલન. આ પછી, તે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે તેમને કેવી રીતે ચિત્રિત કરવું જોઈએ: નિયમિત અથવા પંચર (ખાલી કેન્દ્ર સાથે). કડક અસમાનતા ઉકેલતી વખતે (ચિહ્ન સાથે< или >) બધા બિંદુઓને પંચર તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે. બિન-કડક અસમાનતા (ચિહ્ન ≤ અથવા ≥ સાથે) ઉકેલતી વખતે, છેદના શૂન્યને અનુરૂપ બિંદુઓ પંચર કરવામાં આવે છે, અને બાકીના બિંદુઓ ડૅશ સાથે ચિહ્નિત થાય છે. આ બિંદુઓ સંકલન રેખાને કેટલાક સંખ્યાત્મક અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે.
• આગળ, અભિવ્યક્તિ f(x) ના ચિહ્નો દરેક અંતરાલ પર હલ કરવામાં આવતી અસમાનતાની ડાબી બાજુથી નક્કી કરવામાં આવે છે (આ નીચેના ફકરાઓમાંથી એકમાં કેવી રીતે થાય છે તેનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું), અને + અથવા − ઉપર મૂકવામાં આવ્યા છે. તેમને તેમના પર વ્યાખ્યાયિત ચિહ્નો અનુસાર.
• છેલ્લે, જ્યારે હસ્તાક્ષરિત અસમાનતા ઉકેલવા< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >અથવા ≥ - + ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત થયેલ જગ્યાઓ પર. પરિણામ એ છે, જે અસમાનતા માટે ઇચ્છિત ઉકેલ છે.

નોંધ કરો કે ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમ શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં અંતરાલ પદ્ધતિના વર્ણન સાથે સુસંગત છે.

પદ્ધતિ શેના પર આધારિત છે?

અંતરાલોની પદ્ધતિ અંતર્ગત અભિગમ સતત કાર્યના નીચેના ગુણધર્મને કારણે થાય છે: જો અંતરાલ (a, b) પર ફંક્શન f સતત હોય અને અદૃશ્ય થઈ ન જાય, તો તે આ અંતરાલ પર સતત સંકેત જાળવી રાખે છે (અમે ઉમેરો કે સમાન ગુણધર્મ આ સંખ્યા કિરણો (−∞, a) અને (a, +∞) ) માટે પણ સાચું છે. અને આ ગુણધર્મ, બદલામાં, બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય (તેની વિચારણા શાળાના અભ્યાસક્રમના અવકાશની બહાર છે) માંથી અનુસરે છે, જેની રચના અને પુરાવા, જો જરૂરી હોય તો, શોધી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પુસ્તકમાં.

અગાઉના ફકરામાં દર્શાવેલ ફોર્મ ધરાવતા f(x) અભિવ્યક્તિઓ માટે, અંતરાલો પરના ચિહ્નની સ્થિરતાને બીજી રીતે ન્યાયી ઠેરવી શકાય છે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મથી શરૂ કરીને અને સમાન સંખ્યાઓ સાથે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લઈને. ચિહ્નો અને વિવિધ ચિહ્નો.

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો. તેના અંશ અને છેદના શૂન્ય સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલો (−∞, −1), (−1, 5) અને (5, +∞)માં વિભાજિત કરે છે. ચાલો બતાવીએ કે અંતરાલ (−∞, −1) પર અસમાનતાની ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિ સતત ચિહ્ન ધરાવે છે (આપણે બીજો અંતરાલ લઈ શકીએ છીએ, તર્ક સમાન હશે). ચાલો આ અંતરાલમાંથી કોઈપણ સંખ્યા t લઈએ. તે દેખીતી રીતે અસમાનતાને સંતોષશે<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

તેથી અમે અંતરાલ પર ચિહ્નો નક્કી કરવાના મુદ્દા પર સરળતાથી સંપર્ક કર્યો, પરંતુ અમે અંતરાલ પદ્ધતિના પ્રથમ પગલાને છોડીશું નહીં, જેમાં અંશ અને છેદના શૂન્ય શોધવાનો સમાવેશ થાય છે.

અંશ અને છેદના શૂન્ય કેવી રીતે શોધી શકાય?

પ્રથમ ફકરામાં દર્શાવેલ પ્રકારના અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદના શૂન્ય શોધવાથી સામાન્ય રીતે કોઈ સમસ્યા ઊભી થતી નથી. આ માટે, અંશ અને છેદમાંથી સમીકરણો શૂન્યની બરાબર સેટ કરવામાં આવે છે, અને પરિણામી સમીકરણો ઉકેલાય છે. આ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતને લેખમાં વિગતવાર વર્ણવેલ છે ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિ દ્વારા સમીકરણો ઉકેલવા. અહીં આપણે આપણી જાતને ફક્ત એક ઉદાહરણ સુધી મર્યાદિત કરીશું.

અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો અને તેના અંશ અને છેદના શૂન્ય શોધો. ચાલો અંશના શૂન્યથી શરૂઆત કરીએ. આપણે અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ, આપણે સમીકરણ x·(x−0.6)=0 મેળવીએ છીએ, જેમાંથી આપણે બે સમીકરણો x=0 અને x−0.6=0ના સમૂહ પર આગળ વધીએ છીએ, જ્યાંથી આપણને બે મૂળ 0 અને 0.6 મળે છે. . આ અંશના જરૂરી શૂન્ય છે. હવે આપણે છેદના શૂન્ય શોધીએ છીએ. ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, તે ત્રણ સમીકરણોના સમૂહની સમકક્ષ છે x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, અને પછી x=0, x 2 +2 x+7 =0 , x+5=0 . આ સમીકરણોમાંથી પ્રથમનું મૂળ સ્પષ્ટ છે, તે 0 છે, બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે તેનો ભેદભાવ નકારાત્મક છે, અને ત્રીજા સમીકરણનું મૂળ −5 છે. તેથી, અમને છેદના શૂન્ય મળ્યા, તેમાંના બે હતા: 0 અને −5. નોંધ કરો કે 0 એ અંશમાં શૂન્ય અને છેદમાં શૂન્ય બંને હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

સામાન્ય કિસ્સામાં અંશ અને છેદના શૂન્ય શોધવા માટે, જ્યારે અસમાનતાની ડાબી બાજુ અપૂર્ણાંક છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે તર્કસંગત હોય, ત્યારે અંશ અને છેદ પણ શૂન્ય સાથે સમાન હોય છે, અને અનુરૂપ સમીકરણો ઉકેલાય છે.

અંતરાલો પર સંકેતો કેવી રીતે નક્કી કરવા?

દરેક અંતરાલ પર અસમાનતાની ડાબી બાજુએ અભિવ્યક્તિની નિશાની નક્કી કરવાની સૌથી વિશ્વસનીય રીત એ છે કે દરેક અંતરાલમાં કોઈપણ એક બિંદુએ આ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવી. આ કિસ્સામાં, અંતરાલ પર ઇચ્છિત ચિહ્ન આ અંતરાલના કોઈપણ બિંદુએ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે. આ વાતને એક ઉદાહરણથી સમજાવીએ.

ચાલો અસમાનતા લઈએ . તેની ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિમાં અંશમાં કોઈ શૂન્ય નથી, અને છેદમાં શૂન્ય એ સંખ્યા −3 છે. તે સંખ્યા રેખાને બે અંતરાલો (−∞, −3) અને (−3, +∞)માં વિભાજિત કરે છે. ચાલો તેમના પરના ચિહ્નો નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, આ અંતરાલોમાંથી એક બિંદુ લો અને તેમાંના અભિવ્યક્તિના મૂલ્યોની ગણતરી કરો. ચાલો આપણે તરત જ નોંધ લઈએ કે આવા મુદ્દાઓ લેવાનું સલાહ આપવામાં આવે છે જેથી ગણતરીઓ હાથ ધરવાનું સરળ બને. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ અંતરાલ (−∞, −3) થી આપણે −4 લઈ શકીએ છીએ. x=−4 માટે આપણી પાસે છે , બાદબાકી ચિહ્ન (નકારાત્મક) સાથેનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત થયું, તેથી, આ અંતરાલ પર બાદબાકીનું ચિહ્ન હશે. અમે બીજા અંતરાલ (−3, +∞) પર ચિહ્ન નક્કી કરવા આગળ વધીએ છીએ. તેમાંથી 0 લેવાનું અનુકૂળ છે (જો અંતરાલમાં 0 શામેલ હોય, તો હંમેશા તેને લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, કારણ કે x=0 પર ગણતરીઓ સૌથી સરળ છે). x=0 પર આપણી પાસે છે . આ મૂલ્યમાં વત્તા ચિહ્ન (ધન) છે, તેથી આ અંતરાલ પર વત્તા ચિહ્ન હશે.

ચિહ્નો નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ છે, જેમાં એક અંતરાલ પર ચિહ્ન શોધવાનો અને તેને જાળવી રાખવાનો અથવા શૂન્યથી અડીને આવેલા અંતરાલમાં જતા સમયે તેને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે. તમારે નીચેના નિયમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે. જ્યારે અંશના શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે, પરંતુ છેદ નથી, અથવા છેદના શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે, પરંતુ અંશ નહીં, જો આ શૂન્ય આપતી અભિવ્યક્તિની ડિગ્રી વિચિત્ર હોય તો ચિહ્ન બદલાય છે, અને જો તે સમ હોય તો બદલાતું નથી. . અને જ્યારે અંશનું શૂન્ય અને છેદનું શૂન્ય બંને હોય તેવા બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, જો આ શૂન્ય આપતી અભિવ્યક્તિઓની શક્તિઓનો સરવાળો વિષમ હોય તો ચિહ્ન બદલાય છે, અને જો તે સમ હોય તો બદલાતું નથી.

માર્ગ દ્વારા, જો અસમાનતાની જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિ આ લેખના પ્રથમ ફકરાની શરૂઆતમાં દર્શાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે, તો જમણી બાજુના અંતરમાં વત્તાનું ચિહ્ન હશે.

બધું સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

આપણી સામે અસમાનતા રહેવા દો , અને અમે તેને અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, આપણે અંશ 2, 3, 4 ના શૂન્ય અને છેદ 1, 3, 4 ના શૂન્ય શોધીએ છીએ, તેમને પ્રથમ સંકલન રેખા પર ડૅશ વડે ચિહ્નિત કરો.

પછી આપણે છેદના શૂન્યને પંચર થયેલ બિંદુઓની છબીઓ સાથે બદલીએ છીએ

અને અમે બિન-કડક અસમાનતાને હલ કરી રહ્યા હોવાથી, અમે બાકીના ડૅશને સામાન્ય બિંદુઓથી બદલીએ છીએ

અને પછી અંતરાલો પર ચિહ્નો ઓળખવાની ક્ષણ આવે છે. જેમ આપણે આ ઉદાહરણ પહેલાં નોંધ્યું છે તેમ, સૌથી જમણી બાજુના અંતરાલ (4, +∞) પર + ચિહ્ન હશે:

ચાલો બાકીના ચિહ્નોને નિર્ધારિત કરીએ, જ્યારે જમણેથી ડાબે ગેપથી ગેપ તરફ આગળ વધીએ. આગલા અંતરાલ (3, 4) તરફ આગળ વધવું, અમે સંકલન 4 સાથે બિંદુમાંથી પસાર થઈએ છીએ. આ અંશ અને છેદ બંનેનું શૂન્ય છે, આ શૂન્ય અભિવ્યક્તિઓ આપે છે (x−4) 2 અને x−4, તેમની શક્તિઓનો સરવાળો 2+1=3 છે, અને આ એક વિષમ સંખ્યા છે, જેનો અર્થ છે કે આ બિંદુ પરથી પસાર થતી વખતે તમારે ચિહ્ન બદલવાની જરૂર છે. તેથી, અંતરાલ (3, 4) પર એક બાદબાકી ચિહ્ન હશે:

કોઓર્ડિનેટ 3 સાથે બિંદુમાંથી પસાર થતાં અમે અંતરાલ (2, 3) પર આગળ વધીએ છીએ. આ અંશ અને છેદ બંનેનું શૂન્ય પણ છે, તે સમીકરણ (x−3) 3 અને (x−3) 5 દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેમની શક્તિઓનો સરવાળો 3+5=8 છે, અને આ એક સમ છે. સંખ્યા, તેથી, ચિહ્ન અપરિવર્તિત રહેશે:

અમે અંતરાલ (1, 2) તરફ આગળ વધીએ છીએ. તેનો માર્ગ કોઓર્ડિનેટ 2 સાથેના બિંદુ દ્વારા અવરોધિત છે. આ અંશનું શૂન્ય છે, તે x−2 અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, તેની ડિગ્રી 1 છે, એટલે કે, તે વિચિત્ર છે, તેથી, જ્યારે આ બિંદુમાંથી પસાર થશે, ત્યારે ચિહ્ન બદલાશે:

છેલ્લે, છેલ્લા અંતરાલ (−∞, 1) પર ચિહ્ન નક્કી કરવાનું બાકી છે. તે મેળવવા માટે, આપણે સંકલન 1 સાથે બિંદુને દૂર કરવાની જરૂર છે. આ છેદનું શૂન્ય છે, તે અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે (x−1) 4, તેની ડિગ્રી 4 છે, એટલે કે, તે સમાન છે, તેથી, આ બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્ન બદલાશે નહીં. તેથી અમે તમામ ચિહ્નો ઓળખી કાઢ્યા છે, અને ચિત્ર નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

તે સ્પષ્ટ છે કે અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે મોટી માત્રામાં કાર્ય શામેલ હોય ત્યારે ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી પદ્ધતિનો ઉપયોગ ખાસ કરીને ન્યાયી છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિની કિંમતની ગણતરી કરો અંતરાલમાં કોઈપણ સમયે .

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવાના ઉદાહરણો

હવે તમે પ્રસ્તુત બધી માહિતીને એકસાથે મૂકી શકો છો, જે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે પૂરતી છે, અને કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરી શકો છો.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા ઉકેલો .

ઉકેલ.

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને હલ કરીએ. દેખીતી રીતે, અંશના શૂન્ય 1 અને −5 છે, અને છેદના શૂન્ય 1 છે. અમે તેમને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓ અને 1 છેદના શૂન્ય તરીકે વિરામચિહ્નિત કરીએ છીએ, અને અંશ −5 ના બાકીના શૂન્યને સામાન્ય બિંદુ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે, કારણ કે અમે બિન-કડક અસમાનતાને હલ કરી રહ્યા છીએ:

હવે આપણે શૂન્યમાંથી પસાર થતી વખતે ચિહ્નને જાળવી રાખવા અથવા બદલવાના નિયમનું પાલન કરીને, અંતરાલ પર ચિહ્નો મૂકીએ છીએ. સૌથી જમણી બાજુના ગેપની ઉપર + ચિહ્ન હશે (આ ગેપમાં અમુક બિંદુએ, ઉદાહરણ તરીકે, x=3 પર અસમાનતાની ડાબી બાજુએ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરીને આને ચકાસી શકાય છે). જ્યારે ચિહ્નમાંથી પસાર થઈએ છીએ ત્યારે આપણે બદલીએ છીએ, જ્યારે 1માંથી પસાર થઈએ છીએ ત્યારે આપણે તેને એ જ છોડીએ છીએ, અને જ્યારે −5માંથી પસાર થઈએ છીએ ત્યારે આપણે ફરીથી ચિહ્નને યથાવત છોડીએ છીએ:

આપણે ≤ ચિન્હ વડે અસમાનતાને ઉકેલી રહ્યા હોવાથી, તે ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત અંતરાલ પર શેડિંગ દોરવાનું રહે છે - અને પરિણામી ઈમેજમાંથી જવાબ લખો.

તેથી, અમે જે ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ તે છે: .

અને, મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમને જે ચિહ્નમાં રુચિ છે તે તે નથી જે શરૂઆતમાં હતી (જ્યારે આપણે પ્રથમ અસમાનતા જોઈ, ત્યારે ચિહ્ન ત્યાં હતું), પરિવર્તન પછી, ચિહ્ન બદલાઈ ગયું, જેનો અર્થ છે કે અમને અંતરાલોમાં રસ છે. નિશાની સાથે.

.

વાજબી બનવા માટે, ચાલો આપણે એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરીએ કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, તર્કસંગત અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, અંતરાલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને ઉકેલવાનું શક્ય બનાવવા માટે, તેમને પ્રથમ જરૂરી સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું પડશે. અમે લેખમાં આવા પરિવર્તનો કેવી રીતે હાથ ધરવા તે વિશે વિગતવાર ચર્ચા કરીશું. તર્કસંગત અસમાનતાઓનું નિરાકરણ, અને હવે અમે અસમાનતાના રેકોર્ડિંગમાં ચોરસ ત્રિકોણને લગતા એક મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાને સમજાવતું ઉદાહરણ આપીશું.

ઉદાહરણ.

અસમાનતાનો ઉકેલ શોધો .

ઉકેલ.

પ્રથમ નજરમાં, આ અસમાનતા અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે યોગ્ય સ્વરૂપની હોવાનું જણાય છે. પરંતુ તેના સંકેતમાં ચતુર્ભુજ ત્રિકોણના ભેદભાવ ખરેખર નકારાત્મક છે કે કેમ તે તપાસવામાં નુકસાન થતું નથી. ચાલો આપણા અંતઃકરણને હળવા કરવા માટે તેમને શોધી કાઢીએ. ત્રિકોણીય x 2 +3 x+3 માટે આપણી પાસે D=3 2 −4 1 3=−3 છે<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 આનો અર્થ એ છે કે આ અસમાનતાને ઇચ્છિત સ્વરૂપ આપવા માટે પરિવર્તન જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિપદી x 2 +2 x−8 ને (x+4) (x−2) તરીકે રજૂ કરવા માટે તે પૂરતું છે, અને પછી અંતરાલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને હલ કરો. .

અને, મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમને જે ચિહ્નમાં રુચિ છે તે તે નથી જે શરૂઆતમાં હતી (જ્યારે આપણે પ્રથમ અસમાનતા જોઈ, ત્યારે ચિહ્ન ત્યાં હતું), પરિવર્તન પછી, ચિહ્ન બદલાઈ ગયું, જેનો અર્થ છે કે અમને અંતરાલોમાં રસ છે. નિશાની સાથે.

.

સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિ

સામાન્યકૃત અંતરાલ પદ્ધતિ તમને ફોર્મ f(x) ની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે પરવાનગી આપે છે.<0 (≤, >, ≥), જ્યાં f(x) એક ચલ x સાથે મનસ્વી છે. ચાલો તેને લખીએ સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

• પ્રથમ તમારે આ કાર્યના f અને શૂન્યની જરૂર છે.
• વ્યાખ્યાના ડોમેનના વ્યક્તિગત બિંદુઓ સહિત સીમા બિંદુઓ સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત થયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ફંક્શનનું ડોમેન સેટ છે (−5, 1]∪(3)∪ (અમે અંતરાલ (−6, 4) પરના ચિહ્નને વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી, કારણ કે તે કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનનો ભાગ નથી. આ કરવા માટે, એક બિંદુ લો. દરેક અંતરાલમાંથી, ઉદાહરણ તરીકે, 16, 8 , 6 અને −8, અને તેમાં ફંકશન f ની કિંમતની ગણતરી કરો:
  
  

  જો તમને તે કેવી રીતે જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનના ગણતરી કરેલ મૂલ્યો શું છે, સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક છે તે વિશે પ્રશ્નો હોય, તો લેખમાંની સામગ્રીનો અભ્યાસ કરો. સંખ્યાઓની સરખામણી.

  અમે ફક્ત વ્યાખ્યાયિત ચિહ્નો મૂકીએ છીએ, અને બાદબાકી ચિહ્ન સાથે જગ્યાઓ પર શેડિંગ લાગુ કરીએ છીએ:
  

  જવાબમાં આપણે − ચિહ્ન સાથે બે અંતરાલોનું જોડાણ લખીએ છીએ, આપણી પાસે (−∞, −6]∪(7, 12) છે. નોંધ કરો કે −6 જવાબમાં શામેલ છે (અનુરૂપ બિંદુ ઘન છે, પંચર નથી) હકીકત એ છે કે આ કાર્યનું શૂન્ય નથી (જે કડક અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે, અમે જવાબમાં સમાવિષ્ટ કરીશું નહીં), પરંતુ વ્યાખ્યાના ડોમેનનો સીમા બિંદુ (તે રંગીન છે, કાળો નથી), અને આ બિંદુએ ફંક્શનનું મૂલ્ય નકારાત્મક છે (જેમ કે અનુરૂપ અંતરાલ પર માઈનસ ચિહ્ન દ્વારા પુરાવા મળે છે), એટલે કે, તે અસમાનતાને સંતોષે છે પરંતુ 4 ને જવાબમાં શામેલ કરવાની જરૂર નથી ∪(7, 12) .

  સંદર્ભો.

  1. બીજગણિત: 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2009. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13મી આવૃત્તિ., ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: નેમોસીન, 2011. - 222 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
  4. કુદ્ર્યાવત્સેવ એલ. ડી.ગાણિતિક વિશ્લેષણનો અભ્યાસક્રમ (બે ભાગમાં): યુનિવર્સિટી અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. - એમ.: ઉચ્ચ. શાળા, 1981, વોલ્યુમ 1. - 687 પી., બીમાર.

  અંતરાલ પદ્ધતિ- અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અસમાનતાઓને ઉકેલવાની એક સરળ રીત. તર્કસંગત (અથવા અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત) અભિવ્યક્તિઓ ધરાવતી અસમાનતાઓનું આ નામ છે જે ચલ પર આધાર રાખે છે.

  1. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો

  અંતરાલ પદ્ધતિ તમને થોડી મિનિટોમાં તેને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

  આ અસમાનતાની ડાબી બાજુએ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય છે. તર્કસંગત કારણ કે તેમાં મૂળ, સાઈન અથવા લઘુગણક નથી - માત્ર તર્કસંગત સમીકરણો. જમણી બાજુએ શૂન્ય છે.

  અંતરાલ પદ્ધતિ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યની નીચેની મિલકત પર આધારિત છે.

  અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય ફક્ત તે બિંદુઓ પર જ ચિહ્ન બદલી શકે છે જ્યાં તે શૂન્યની બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય.

  ચાલો યાદ કરીએ કે ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી કેવી રીતે પરિબળ બને છે, એટલે કે, સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ.

  ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ ક્યાં અને છે.

  અમે એક ધરી દોરીએ છીએ અને તે બિંદુઓ મૂકીએ છીએ કે જેના પર અંશ અને છેદ શૂન્ય પર જાય છે.

  

  છેદના શૂન્ય અને પંચર થયેલ બિંદુઓ છે, કારણ કે આ બિંદુઓ પર અસમાનતાની ડાબી બાજુનું કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી (તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી). અંશ અને - ના શૂન્ય શેડમાં છે, કારણ કે અસમાનતા કડક નથી. જ્યારે અને આપણી અસમાનતા સંતોષાય છે, કારણ કે તેની બંને બાજુઓ શૂન્ય સમાન છે.

  આ બિંદુઓ અક્ષને અંતરાલોમાં તોડે છે.

  ચાલો આ દરેક અંતરાલ પર આપણી અસમાનતાની ડાબી બાજુએ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યની નિશાની નક્કી કરીએ. આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય ફક્ત તે બિંદુઓ પર જ ચિહ્ન બદલી શકે છે જ્યાં તે શૂન્યની બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય.

  આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ વચ્ચેના દરેક અંતરાલ પર જ્યાં અંશ અથવા છેદ શૂન્ય પર જાય છે, અસમાનતાની ડાબી બાજુએ અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન સ્થિર રહેશે - કાં તો “વત્તા” અથવા “માઈનસ”.
  અને તેથી, આવા દરેક અંતરાલ પર કાર્યની નિશાની નક્કી કરવા માટે, અમે આ અંતરાલ સાથે સંબંધિત કોઈપણ બિંદુ લઈએ છીએ. જે આપણા માટે અનુકૂળ છે.

  

  . ઉદાહરણ તરીકે લો, અને અસમાનતાની ડાબી બાજુએ અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન તપાસો. દરેક "કૌંસ" નકારાત્મક છે. ડાબી બાજુ એક નિશાની છે.

  

  આગામી અંતરાલ: . ચાલો ચિહ્ન તપાસીએ. અમને લાગે છે કે ડાબી બાજુએ ચિહ્ન બદલ્યું છે.

  

  ચાલો તેને લઈએ. જ્યારે અભિવ્યક્તિ સકારાત્મક હોય છે - તેથી, તે સમગ્ર અંતરાલથી થી સુધી સકારાત્મક છે.

  

  જ્યારે અસમાનતાની ડાબી બાજુ નકારાત્મક છે."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

  

  અને છેલ્લે, class="tex" alt="x>7

  અમે શોધી કાઢ્યું છે કે અભિવ્યક્તિ કયા અંતરાલ પર હકારાત્મક છે. જે બાકી છે તે જવાબ લખવાનું છે:

  જવાબ:. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અંતરાલો વચ્ચે વૈકલ્પિક સંકેતો. આ કારણે થયું.

  જ્યારે દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે બરાબર એક રેખીય પરિબળે ચિહ્ન બદલ્યું છે, જ્યારે બાકીના પરિબળોએ તેને યથાવત રાખ્યું છે

  આપણે જોઈએ છીએ કે અંતરાલ પદ્ધતિ ખૂબ જ સરળ છે. અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, અમે તેને ફોર્મમાં ઘટાડીએ છીએ: અથવા"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0

  , અથવા , અથવા .

  (ડાબી બાજુએ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય છે, જમણી બાજુ શૂન્ય છે).
  પછી આપણે સંખ્યા રેખા પર એવા બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ કે જેના પર અંશ અથવા છેદ શૂન્ય પર જાય છે.
  આ બિંદુઓ સમગ્ર સંખ્યા રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાંના દરેક પર અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્ય તેની નિશાની જાળવી રાખે છે.
  અમે આપેલ અંતરાલ સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બિંદુએ અભિવ્યક્તિના ચિહ્નને ચકાસીને આ કરીએ છીએ. તે પછી, અમે જવાબ લખીએ છીએ. બસ.

  પરંતુ પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું ચિહ્નો હંમેશા વૈકલ્પિક હોય છે? ના, હંમેશા નહીં! તમારે સાવચેત રહેવું જોઈએ અને યાંત્રિક રીતે અને વિચાર્યા વગર ચિહ્નો મૂકશો નહીં.

  2. ચાલો બીજી અસમાનતાનો વિચાર કરીએ.

  Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ ડાબે(x-3 \જમણે))>0"> !}

  બિંદુઓને ફરીથી ધરી પર મૂકો. બિંદુઓ અને પંચર થયેલ છે કારણ કે તે છેદના શૂન્ય છે. અસમાનતા સખત હોવાથી, મુદ્દો પણ કાપી નાખવામાં આવે છે.

  

  જ્યારે અંશ હકારાત્મક હોય છે, ત્યારે છેદમાંના બંને પરિબળો નકારાત્મક હોય છે. આપેલ અંતરાલમાંથી કોઈપણ સંખ્યા લઈને આ સરળતાથી ચકાસી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, . ડાબી બાજુ ચિહ્ન છે:

  

  જ્યારે અંશ હકારાત્મક હોય છે; છેદમાં પ્રથમ પરિબળ હકારાત્મક છે, બીજું પરિબળ નકારાત્મક છે. ડાબી બાજુ ચિહ્ન છે:

  

  સ્થિતિ એવી જ છે! અંશ હકારાત્મક છે, છેદમાં પ્રથમ પરિબળ હકારાત્મક છે, બીજો નકારાત્મક છે. ડાબી બાજુ ચિહ્ન છે:

  

  છેલ્લે, class="tex" alt="x>3 સાથે"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}
  
  

  અમે શોધી કાઢ્યું છે કે અભિવ્યક્તિ કયા અંતરાલ પર હકારાત્મક છે. જે બાકી છે તે જવાબ લખવાનું છે:

  ચિહ્નોની ફેરબદલ શા માટે વિક્ષેપિત થઈ? કારણ કે જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે ગુણક તેના માટે "જવાબદાર" છે ચિહ્ન બદલ્યું નથી. પરિણામે, આપણી અસમાનતાની આખી ડાબી બાજુએ ચિહ્ન બદલ્યું નથી.

  નિષ્કર્ષ: જો રેખીય ગુણક એક સમાન શક્તિ હોય (ઉદાહરણ તરીકે, વર્ગ), તો પછી જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન બદલાતું નથી.. વિચિત્ર ડિગ્રીના કિસ્સામાં, નિશાની, અલબત્ત, બદલાય છે.

  3. ચાલો એક વધુ જટિલ કેસ ધ્યાનમાં લઈએ. તે અગાઉના એક કરતા અલગ છે કે અસમાનતા કડક નથી:

  ડાબી બાજુ અગાઉની સમસ્યા જેવી જ છે. ચિહ્નોનું ચિત્ર સમાન હશે:

  

  કદાચ જવાબ એક જ હશે? ના! ઉકેલ ઉમેરવામાં આવે છે આવું થાય છે કારણ કે અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુ બંને શૂન્ય સમાન છે - તેથી, આ બિંદુ ઉકેલ છે.

  અમે શોધી કાઢ્યું છે કે અભિવ્યક્તિ કયા અંતરાલ પર હકારાત્મક છે. જે બાકી છે તે જવાબ લખવાનું છે:

  આ પરિસ્થિતિ ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં સમસ્યાઓમાં વારંવાર થાય છે. આ તે છે જ્યાં અરજદારો જાળમાં ફસાઈ જાય છે અને પોઈન્ટ ગુમાવે છે. સાવચેત રહો!

  4. જો અંશ અથવા છેદને રેખીય અવયવોમાં અવયવી ન શકાય તો શું કરવું? આ અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો:

  ચોરસ ત્રિપદીને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી: ભેદભાવ નકારાત્મક છે, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. પરંતુ આ સારું છે! આનો અર્થ એ છે કે બધા માટે અભિવ્યક્તિની નિશાની સમાન છે, અને ખાસ કરીને, હકારાત્મક. તમે ચતુર્ભુજ કાર્યોના ગુણધર્મો પરના લેખમાં આ વિશે વધુ વાંચી શકો છો.

  અને હવે આપણે આપણી અસમાનતાની બંને બાજુઓને એવા મૂલ્ય દ્વારા વિભાજીત કરી શકીએ છીએ જે બધા માટે સકારાત્મક છે. ચાલો આપણે એક સમાન અસમાનતા પર પહોંચીએ:

  જે ઈન્ટરવલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

  મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમે અસમાનતાની બંને બાજુઓને એવા મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત કર્યા છે જે અમે ખાતરીપૂર્વક જાણતા હતા કે તે હકારાત્મક હતું. અલબત્ત, સામાન્ય રીતે, તમારે અસમાનતાને એવા ચલ દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત ન કરવો જોઈએ કે જેની નિશાની અજાણ છે.

  5 . ચાલો બીજી અસમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ, મોટે ભાગે એકદમ સરળ:

  હું તેને માત્ર વડે ગુણાકાર કરવા માંગુ છું. પરંતુ અમે પહેલાથી જ સ્માર્ટ છીએ, અને અમે આ કરીશું નહીં. છેવટે, તે હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને હોઈ શકે છે. અને આપણે જાણીએ છીએ કે જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને નકારાત્મક મૂલ્યથી ગુણાકાર કરવામાં આવે તો અસમાનતાની નિશાની બદલાય છે.

  અમે તેને અલગ રીતે કરીશું - અમે દરેક વસ્તુને એક ભાગમાં એકત્રિત કરીશું અને તેને સામાન્ય સંપ્રદાયમાં લાવશું. જમણી બાજુ શૂન્ય રહેશે:

  Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

  અને તે પછી - અરજી કરો અંતરાલ પદ્ધતિ.