જટિલ ચલના કાર્યો.
જટિલ ચલના કાર્યોનો તફાવત.

આ લેખ પાઠોની શ્રેણી ખોલે છે જેમાં હું જટિલ ચલના કાર્યોના સિદ્ધાંતને લગતી લાક્ષણિક સમસ્યાઓ પર વિચાર કરીશ. ઉદાહરણોમાં સફળતાપૂર્વક નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારી પાસે જટિલ સંખ્યાઓનું મૂળભૂત જ્ઞાન હોવું આવશ્યક છે. સામગ્રીને એકીકૃત કરવા અને પુનરાવર્તિત કરવા માટે, ફક્ત પૃષ્ઠની મુલાકાત લો. તમારે શોધવા માટે કુશળતાની પણ જરૂર પડશે સેકન્ડ ઓર્ડર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. અહીં તેઓ છે, આ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ... હવે પણ મને થોડું આશ્ચર્ય થયું કે તેઓ કેટલી વાર થાય છે...

આપણે જે વિષયનું પરીક્ષણ કરવાનું શરૂ કરી રહ્યા છીએ તે કોઈ ખાસ મુશ્કેલીઓ રજૂ કરતું નથી, અને જટિલ ચલના કાર્યોમાં, સિદ્ધાંતમાં, બધું સ્પષ્ટ અને સુલભ છે. મુખ્ય વસ્તુ એ મૂળભૂત નિયમનું પાલન કરવાનું છે, જે મેં પ્રાયોગિક રીતે મેળવ્યું છે. આગળ વાંચો!

જટિલ ચલના કાર્યનો ખ્યાલ

પ્રથમ, ચાલો એક ચલના શાળા કાર્ય વિશેના અમારા જ્ઞાનને તાજું કરીએ:

સિંગલ વેરિયેબલ ફંક્શનએક નિયમ છે જે મુજબ સ્વતંત્ર ચલનું દરેક મૂલ્ય (વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી) ફંક્શનના એક અને માત્ર એક મૂલ્યને અનુરૂપ છે. સ્વાભાવિક રીતે, "x" અને "y" વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

જટિલ કિસ્સામાં, કાર્યાત્મક અવલંબન સમાન રીતે સ્પષ્ટ થયેલ છે:

જટિલ ચલનું એકલ-મૂલ્યવાળું કાર્ય- આ નિયમ છે જે મુજબ દરેક વ્યાપકસ્વતંત્ર ચલનું મૂલ્ય (વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી) એક અને માત્ર એકને અનુરૂપ છે વ્યાપકકાર્ય મૂલ્ય. સિદ્ધાંત બહુ-મૂલ્યવાન અને અન્ય કેટલાક પ્રકારનાં કાર્યોને પણ ધ્યાનમાં લે છે, પરંતુ સરળતા માટે હું એક વ્યાખ્યા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશ.

જટિલ ચલ કાર્ય વચ્ચે શું તફાવત છે?

મુખ્ય તફાવત: જટિલ સંખ્યાઓ. હું વ્યંગાત્મક નથી. આવા પ્રશ્નો ઘણીવાર લોકોને મૂર્ખ બનાવે છે, લેખના અંતે હું તમને એક રમુજી વાર્તા કહીશ. વર્ગમાં ડમી માટે જટિલ સંખ્યાઓઅમે ફોર્મમાં જટિલ સંખ્યા ગણી છે. હવેથી "z" અક્ષર બની ગયો છે ચલ, તો પછી આપણે તેને નીચે પ્રમાણે દર્શાવીશું: , જ્યારે “x” અને “y” અલગ અલગ લઈ શકે છે માન્યઅર્થો આશરે કહીએ તો, જટિલ ચલનું કાર્ય ચલ અને , જે "સામાન્ય" મૂલ્યો લે છે તેના પર આધાર રાખે છે. આ હકીકત પરથી નીચેનો મુદ્દો તાર્કિક રીતે અનુસરે છે:

જટિલ ચલનું કાર્ય આ રીતે લખી શકાય છે:
, જ્યાં અને બે ના બે કાર્યો છે માન્યચલો

કાર્ય કહેવાય છે વાસ્તવિક ભાગકાર્યો
કાર્ય કહેવાય છે કાલ્પનિક ભાગકાર્યો

એટલે કે, જટિલ ચલનું કાર્ય બે વાસ્તવિક કાર્યો અને પર આધાર રાખે છે. છેવટે બધું સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો વ્યવહારુ ઉદાહરણો જોઈએ:

ઉદાહરણ 1

ઉકેલ:સ્વતંત્ર ચલ “ઝેટ”, જેમ તમને યાદ છે, ફોર્મમાં લખાયેલ છે, તેથી:

(1) અમે બદલી.

(2) પ્રથમ પદ માટે, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. શબ્દમાં, કૌંસ ખોલવામાં આવ્યા છે.

(3) કાળજીપૂર્વક ચોરસ કરો, તે ભૂલશો નહીં

(4) શરતોની પુન: ગોઠવણી: પહેલા આપણે શરતોને ફરીથી લખીએ છીએ , જેમાં કોઈ કાલ્પનિક એકમ નથી(પ્રથમ જૂથ), પછી તે શરતો જ્યાં છે (બીજો જૂથ). એ નોંધવું જોઈએ કે શરતોને શફલિંગ કરવું જરૂરી નથી, અને આ પગલું અવગણી શકાય છે (વાસ્તવમાં તેને મૌખિક રીતે કરીને).

(5) બીજા જૂથ માટે આપણે તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ છીએ.

પરિણામે, અમારું કાર્ય ફોર્મમાં રજૂ થયું

જવાબ:
- કાર્યનો વાસ્તવિક ભાગ.
- કાર્યનો કાલ્પનિક ભાગ.

આ કયા પ્રકારનાં કાર્યો થયા? બે ચલોના સૌથી સામાન્ય કાર્યો કે જેમાંથી તમે આવા લોકપ્રિય શોધી શકો છો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. દયા વિના, અમે તેને શોધીશું. પણ થોડી વાર પછી.

સંક્ષિપ્તમાં, હલ કરેલી સમસ્યા માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: અમે મૂળ કાર્યમાં , બદલીએ છીએ, સરળીકરણ કરીએ છીએ અને તમામ શબ્દોને બે જૂથોમાં વહેંચીએ છીએ - કાલ્પનિક એકમ (વાસ્તવિક ભાગ) વિના અને કાલ્પનિક એકમ (કાલ્પનિક ભાગ) સાથે. .

ઉદાહરણ 2

કાર્યનો વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. તમે તમારા ચેકર્સ દોરેલા જટિલ વિમાન પર યુદ્ધમાં દોડી જાઓ તે પહેલાં, ચાલો હું તમને આ વિષય પર સૌથી મહત્વપૂર્ણ સલાહ આપું:

સાવચેત રહો!તમારે સાવચેત રહેવાની જરૂર છે, અલબત્ત, દરેક જગ્યાએ, પરંતુ જટિલ સંખ્યામાં તમારે પહેલા કરતા વધુ સાવચેત રહેવું જોઈએ! યાદ રાખો કે, કાળજીપૂર્વક કૌંસ ખોલો, કંઈપણ ગુમાવશો નહીં. મારા અવલોકનો અનુસાર, સૌથી સામાન્ય ભૂલ એ નિશાનીનું નુકશાન છે. ઉતાવળ કરશો નહીં!

પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

હવે ક્યુબ. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:
.

સૂત્રો વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવા માટે ખૂબ જ અનુકૂળ છે, કારણ કે તે ઉકેલની પ્રક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બનાવે છે.

જટિલ ચલના કાર્યોનો તફાવત.

મારી પાસે બે સમાચાર છે: સારા અને ખરાબ. હું સારા સાથે શરૂઆત કરીશ. જટિલ ચલના કાર્ય માટે, ભેદભાવના નિયમો અને પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક માન્ય છે. આમ, વ્યુત્પન્ન એ વાસ્તવિક ચલના કાર્યના કિસ્સામાં બરાબર એ જ રીતે લેવામાં આવે છે.

ખરાબ સમાચાર એ છે કે ઘણા જટિલ વેરિયેબલ ફંક્શન્સ માટે કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી, અને તમારે આકૃતિ કરવી પડશે શું તે અલગ છેએક અથવા અન્ય કાર્ય. અને વધારાની સમસ્યાઓ સાથે તમારા હૃદયને કેવું લાગે છે તે "આકૃતિ" કરવું.

ચાલો જટિલ ચલના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. આ કાર્યને અલગ કરવા માટે તે જરૂરી અને પૂરતું છે:

1) જેથી પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ અસ્તિત્વમાં છે. આ સંકેતો વિશે તરત જ ભૂલી જાઓ, કારણ કે જટિલ ચલના કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં પરંપરાગત રીતે એક અલગ સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે: .

2) કહેવાતા હાથ ધરવા માટે Cauchy-Riemann શરતો:

ફક્ત આ કિસ્સામાં વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં રહેશે!

ઉદાહરણ 3

ઉકેલત્રણ ક્રમિક તબક્કામાં વહેંચાયેલું છે:

1) ચાલો ફંક્શનના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો શોધીએ. આ કાર્યની અગાઉના ઉદાહરણોમાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, તેથી હું તેને ટિપ્પણી વિના લખીશ:

ત્યારથી:

આમ:

- કાર્યનો કાલ્પનિક ભાગ.

મને એક વધુ તકનીકી મુદ્દા પર સ્પર્શ કરવા દો: કયા ક્રમમાંવાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોમાં શબ્દો લખો? હા, સૈદ્ધાંતિક રીતે, તે કોઈ વાંધો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક ભાગ આ રીતે લખી શકાય છે: , અને કાલ્પનિક - આના જેવું: .

2) ચાલો Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ. તેમાંના બે છે.

ચાલો શરત તપાસીને શરૂ કરીએ. અમે શોધીએ છીએ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ:

આમ, સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

અલબત્ત, સારા સમાચાર એ છે કે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ લગભગ હંમેશા ખૂબ જ સરળ હોય છે.

અમે બીજી શરતની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ છીએ:

પરિણામ એ જ છે, પરંતુ વિપરીત સંકેતો સાથે, એટલે કે, સ્થિતિ પણ પૂર્ણ થાય છે.

Cauchy-Riemann શરતો સંતુષ્ટ છે, તેથી કાર્ય અલગ છે.

3) ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ. વ્યુત્પન્ન પણ ખૂબ જ સરળ છે અને સામાન્ય નિયમો અનુસાર જોવા મળે છે:

ભિન્નતા દરમિયાન કાલ્પનિક એકમને સ્થિર ગણવામાં આવે છે.

જવાબ: - વાસ્તવિક ભાગ, - કાલ્પનિક ભાગ.
કોચી-રીમેન શરતો સંતુષ્ટ છે, .

વ્યુત્પન્ન શોધવાની વધુ બે રીતો છે, અલબત્ત, તે ઓછી વાર ઉપયોગમાં લેવાય છે, પરંતુ માહિતી બીજા પાઠને સમજવા માટે ઉપયોગી થશે - જટિલ ચલનું કાર્ય કેવી રીતે શોધવું?

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

આ કિસ્સામાં:

આમ

આપણે વ્યસ્ત સમસ્યા હલ કરવી પડશે - પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં આપણે અલગ કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તે શરતોમાં અને કૌંસની બહાર જરૂરી છે:

વિપરીત ક્રિયા, જેમ કે ઘણાએ નોંધ્યું છે, તે તપાસવું કંઈક વધુ મુશ્કેલ છે, પરિણામ બરાબર છે તેની ખાતરી કરીને ડ્રાફ્ટ પર અભિવ્યક્તિ લેવી અથવા મૌખિક રીતે કૌંસને ખોલવું હંમેશા વધુ સારું છે;

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે મિરર સૂત્ર:

આ કિસ્સામાં: , તેથી જ:

ઉદાહરણ 4

કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો નક્કી કરો . Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસો. જો Cauchy-Riemann શરતો પૂરી થાય, તો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ટૂંકા ઉકેલ અને પાઠના અંતે અંતિમ ડિઝાઇનનો અંદાજિત નમૂનો.

શું કોચી-રીમેન શરતો હંમેશા સંતુષ્ટ છે? સૈદ્ધાંતિક રીતે, તેઓ પરિપૂર્ણ થાય તે કરતાં વધુ વખત પરિપૂર્ણ થતા નથી. પરંતુ વ્યવહારુ ઉદાહરણોમાં મને એવો કોઈ કેસ યાદ નથી કે જ્યાં તેઓ પરિપૂર્ણ થયા ન હોય =) આમ, જો તમારા આંશિક ડેરિવેટિવ્સ “એકન્વર્જ થતા નથી”, તો ખૂબ જ ઉચ્ચ સંભાવના સાથે તમે કહી શકો કે તમે ક્યાંક ભૂલ કરી છે.

ચાલો આપણા કાર્યોને જટિલ બનાવીએ:

ઉદાહરણ 5

કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો નક્કી કરો . Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસો. ગણતરી કરો

ઉકેલ:સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ સંપૂર્ણપણે સાચવેલ છે, પરંતુ અંતે એક નવો બિંદુ ઉમેરવામાં આવશે: એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન શોધવું. ક્યુબ માટે, જરૂરી સૂત્ર પહેલેથી જ લેવામાં આવ્યું છે:

ચાલો આ કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

ધ્યાન અને ધ્યાન ફરીથી!

ત્યારથી:


આમ:
- કાર્યનો વાસ્તવિક ભાગ;
- કાર્યનો કાલ્પનિક ભાગ.

બીજી શરત તપાસી રહ્યું છે:

પરિણામ એ જ છે, પરંતુ વિપરીત સંકેતો સાથે, એટલે કે, સ્થિતિ પણ પૂર્ણ થાય છે.

કોચી-રીમેન શરતો સંતુષ્ટ છે, તેથી કાર્ય અલગ છે:

ચાલો જરૂરી બિંદુ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ:

જવાબ:, , કોચી-રીમેન શરતો સંતુષ્ટ છે,

ક્યુબ્સ સાથેના કાર્યો સામાન્ય છે, તેથી મજબૂત કરવા માટે અહીં એક ઉદાહરણ છે:

ઉદાહરણ 6

કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો નક્કી કરો . Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસો. ગણતરી કરો.

પાઠના અંતે ઉકેલ અને સમાપ્ત કરવાનું ઉદાહરણ.

જટિલ વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતમાં, જટિલ દલીલના અન્ય કાર્યોને પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: ઘાતાંક, સાઈન, કોસાઈન, વગેરે. આ કાર્યોમાં અસામાન્ય અને વિચિત્ર ગુણધર્મો છે - અને આ ખરેખર રસપ્રદ છે! હું તમને ખરેખર કહેવા માંગુ છું, પરંતુ અહીં, જેમ તે થાય છે, તે સંદર્ભ પુસ્તક અથવા પાઠ્યપુસ્તક નથી, પરંતુ એક ઉકેલ પુસ્તક છે, તેથી હું કેટલાક સામાન્ય કાર્યો સાથે સમાન સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈશ.

કહેવાતા વિશે પ્રથમ યુલરના સૂત્રો:

કોઈપણ માટે માન્યસંખ્યાઓ, નીચેના સૂત્રો માન્ય છે:

તમે તેને સંદર્ભ સામગ્રી તરીકે તમારી નોટબુકમાં પણ નકલ કરી શકો છો.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્યાં માત્ર એક જ સૂત્ર છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે અનુકૂળતા માટે તેઓ ઘાતાંકમાં બાદબાકી સાથે વિશિષ્ટ કેસ પણ લખે છે. પરિમાણ એક અક્ષર હોવું જરૂરી નથી; તે એક જટિલ અભિવ્યક્તિ અથવા કાર્ય હોઈ શકે છે, તે ફક્ત તે જ મહત્વપૂર્ણ છે કે તેઓ સ્વીકારે છે માત્ર માન્યઅર્થો ખરેખર, આપણે આ હમણાં જોઈશું:

ઉદાહરણ 7

વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલ:પક્ષની સામાન્ય રેખા અચળ રહે છે - કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ પાડવો જરૂરી છે. હું વિગતવાર ઉકેલ આપીશ અને નીચેના દરેક પગલા પર ટિપ્પણી કરીશ:

ત્યારથી:

(1) તેના બદલે “z” ને બદલો.

(2) અવેજી પછી, તમારે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો પસંદ કરવાની જરૂર છે સૂચકમાં પ્રથમપ્રદર્શકો આ કરવા માટે, કૌંસ ખોલો.

(3) અમે સૂચકના કાલ્પનિક ભાગને જૂથ બનાવીએ છીએ, કાલ્પનિક એકમને કૌંસની બહાર મૂકીએ છીએ.

(4) અમે ડિગ્રી સાથે શાળાની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

(5) ગુણક માટે આપણે યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને.

(6) કૌંસ ખોલો, પરિણામે:

- કાર્યનો વાસ્તવિક ભાગ;
- કાર્યનો કાલ્પનિક ભાગ.

આગળની ક્રિયાઓ પ્રમાણભૂત છે, ચાલો Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ:

ઉદાહરણ 9

કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો નક્કી કરો . Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસો. તો તે બનો, આપણે વ્યુત્પન્ન શોધીશું નહીં.

ઉકેલ:સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ અગાઉના બે ઉદાહરણો સાથે ખૂબ જ સમાન છે, પરંતુ ત્યાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ છે, તેથી હું ફરીથી પ્રારંભિક તબક્કા પર પગલું દ્વારા ટિપ્પણી કરીશ:

ત્યારથી:

1) "z" ને બદલે.

(2) પ્રથમ, આપણે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો પસંદ કરીએ છીએ સાઇનસની અંદર. આ હેતુઓ માટે, અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ.

(3) અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને .

(4) ઉપયોગ કરો હાઇપરબોલિક કોસાઇનની સમાનતા: અને હાયપરબોલિક સાઈનની વિચિત્રતા: . હાયપરબોલિક્સ, આ વિશ્વની બહાર હોવા છતાં, ઘણી રીતે સમાન ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની યાદ અપાવે છે.

પરિણામે:
- કાર્યનો વાસ્તવિક ભાગ;
- કાર્યનો કાલ્પનિક ભાગ.

ધ્યાન આપો!બાદબાકીનું ચિહ્ન કાલ્પનિક ભાગનો ઉલ્લેખ કરે છે, અને કોઈ પણ સંજોગોમાં આપણે તેને ગુમાવવો જોઈએ નહીં! સ્પષ્ટ ઉદાહરણ માટે, ઉપર મેળવેલ પરિણામ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

ચાલો Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ:

કોચી-રીમેન શરતો સંતુષ્ટ છે.

જવાબ:, , કોચી-રીમેન શરતો સંતુષ્ટ છે.

મહિલાઓ અને સજ્જનો, ચાલો આપણે તેને જાતે જ શોધી કાઢીએ:

ઉદાહરણ 10

કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો નક્કી કરો. Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસો.

મેં ઇરાદાપૂર્વક વધુ મુશ્કેલ ઉદાહરણો પસંદ કર્યા છે, કારણ કે દરેક જણ કવચવાળી મગફળીની જેમ કંઈકનો સામનો કરવામાં સક્ષમ હોય તેવું લાગે છે. તે જ સમયે તમે તમારું ધ્યાન તાલીમ આપશો! પાઠના અંતે નટ ક્રેકર.

ઠીક છે, નિષ્કર્ષમાં, જ્યારે એક જટિલ દલીલ છેદમાં હોય ત્યારે હું બીજું એક રસપ્રદ ઉદાહરણ જોઈશ. તે વ્યવહારમાં બે વખત બન્યું છે, ચાલો કંઈક સરળ જોઈએ. આહ, હું વૃદ્ધ થઈ રહ્યો છું ...

ઉદાહરણ 11

કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો નક્કી કરો. Cauchy-Riemann શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસો.

ઉકેલ:ફરીથી કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ પાડવું જરૂરી છે.
જો, તો પછી

પ્રશ્ન એ થાય છે કે જ્યારે “Z” છેદમાં હોય ત્યારે શું કરવું?

બધું સરળ છે - પ્રમાણભૂત એક મદદ કરશે સંયુક્ત અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાની પદ્ધતિ, તે પહેલાથી જ પાઠના ઉદાહરણોમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલ છે ડમી માટે જટિલ સંખ્યાઓ. ચાલો શાળાના સૂત્રને યાદ કરીએ. આપણી પાસે પહેલાથી જ છેદ છે, જેનો અર્થ છે કે સંયોજક અભિવ્યક્તિ હશે. આમ, તમારે અંશ અને છેદને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: