"અનુરૂપતા" શબ્દનો ઉપયોગ રશિયનમાં ઘણી વાર થાય છે; તેનો અર્થ કંઈક વચ્ચેનો સંબંધ, સુસંગતતા, અમુક સંદર્ભમાં સમાનતા (ઓઝેગોવનો ખુલાસો શબ્દ) છે.

જીવનમાં તમે વારંવાર સાંભળો છો: “આ પાઠ્યપુસ્તક આ પ્રોગ્રામને અનુરૂપ છે, પરંતુ આ પાઠ્યપુસ્તક અનુરૂપ નથી (પરંતુ અન્ય પ્રોગ્રામને અનુરૂપ હોઈ શકે છે); આ સફરજન ઉચ્ચતમ ગ્રેડને અનુરૂપ છે, પરંતુ આ ફક્ત પ્રથમ છે. અમે કહીએ છીએ કે પરીક્ષામાં આ જવાબ "ઉત્તમ" ગ્રેડને અનુરૂપ છે, જ્યારે આ જવાબ "સારા" ગ્રેડને અનુરૂપ છે. અમે કહીએ છીએ કે આ વ્યક્તિ 46 ના કદના કપડાં (ફિટના અર્થમાં) ફિટ છે. સૂચનાઓ અનુસાર, તમારે આ કરવું જોઈએ અને અન્યથા નહીં. દર વર્ષે સન્ની દિવસોની સંખ્યા અને પાકની ઉપજ વચ્ચે પત્રવ્યવહાર છે.

જો તમે આ ઉદાહરણોનું પૃથ્થકરણ કરવાનો પ્રયાસ કરશો, તો તમે જોશો કે તમામ કિસ્સાઓમાં આપણે બે વર્ગના પદાર્થો વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, અને એક વર્ગના પદાર્થો વચ્ચે, અમુક નિયમો અનુસાર, બીજા વર્ગના પદાર્થો સાથે ચોક્કસ જોડાણ સ્થાપિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કપડાંને ચોક્કસ કદ સાથે મેચ કરવાના કિસ્સામાં, વસ્તુઓનો એક વર્ગ લોકો છે, અને વસ્તુઓનો બીજો વર્ગ અમુક કુદરતી સંખ્યાઓ છે જે કપડાંના કદની ભૂમિકા ભજવે છે. અમે નિયમ સેટ કરી શકીએ છીએ કે જેના દ્વારા પાલન સ્થાપિત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને - ચોક્કસ પોશાક પર પ્રયાસ કરવો અથવા "આંખ દ્વારા" તેની યોગ્યતા નક્કી કરવી.

અમે પત્રવ્યવહારને ધ્યાનમાં લઈશું કે જેના માટે વસ્તુઓના વર્ગો કે જેની વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થયેલ છે અને પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવા માટેના નિયમ સંપૂર્ણપણે વ્યાખ્યાયિત છે. શાળામાં આવા પત્રવ્યવહારના અસંખ્ય ઉદાહરણોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. સૌ પ્રથમ, આ, અલબત્ત, કાર્યો છે. કોઈપણ કાર્ય એ પત્રવ્યવહારનું ઉદાહરણ છે. ખરેખર, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યને ધ્યાનમાં લો ખાતે = એક્સ+ 3. જો તે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન વિશે વિશેષ રીતે કહેવામાં આવ્યું ન હોય, તો એવું માનવામાં આવે છે કે દલીલની દરેક સંખ્યાત્મક કિંમત એક્સસંખ્યાત્મક મૂલ્યને અનુરૂપ છે ખાતે, જે નિયમ મુજબ જોવા મળે છે: થી એક્સતમારે 3 ઉમેરવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, સમૂહો વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે આર અને આર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.

નોંધ કરો કે બે સેટ વચ્ચે જોડાણો સ્થાપિત કરી રહ્યા છે એક્સઅને વાયસમૂહના ઘટકોમાંથી બનેલા પદાર્થોની જોડીની વિચારણા સાથે સંકળાયેલ એક્સઅને સમૂહના અનુરૂપ તત્વો વાય.

વ્યાખ્યા. અનુપાલનસેટ વચ્ચે એક્સઅને વાયકાર્ટેશિયન ઉત્પાદનના કોઈપણ બિન-ખાલી સબસેટને કૉલ કરો એક્સ ´ વાય.

ઘણા એક્સકહેવાય છે પ્રસ્થાન વિસ્તારમેચ, સેટ વાય – આગમન વિસ્તારઅનુપાલન

સમૂહો વચ્ચેના પત્રવ્યવહાર સામાન્ય રીતે લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, આર, એસ, ટી. જો આર- સેટ વચ્ચે કેટલાક પત્રવ્યવહાર એક્સઅને વાય, પછી, પત્રવ્યવહારની વ્યાખ્યા અનુસાર, આરÍ એક્સ´ વાયઅને આર≠ Æ. સેટ વચ્ચે સમયનો પત્રવ્યવહાર એક્સઅને વાયકાર્ટેશિયન ઉત્પાદનનો દરેક સબસેટ છે એક્સ ´ વાય, એટલે કે ક્રમાંકિત જોડીનો સમૂહ છે, પછી પત્રવ્યવહાર સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ આવશ્યકપણે સેટનો ઉલ્લેખ કરવાની પદ્ધતિઓ જેવી જ છે. તેથી, મેચિંગ આરસેટ વચ્ચે એક્સઅને વાયતમે સેટ કરી શકો છો:

a) તત્વોની તમામ જોડીની યાદી કરવી ( x, y) Î આર;

b) લાક્ષણિક ગુણધર્મ દર્શાવે છે જે તમામ જોડી ધરાવે છે ( x, y) સેટ આરઅને કોઈપણ જોડી કે જે તેનું તત્વ નથી તે ધરાવે છે.

ઉદાહરણો.

1) પાલન આરસેટ વચ્ચે એક્સ= (20, 25) અને વાય= (4, 5, 6) લાક્ષણિકતા ગુણધર્મને સૂચવીને સ્પષ્ટ થયેલ છે: “ એક્સબહુવિધ ખાતે»,
એક્સ Î એક્સ, ખાતે Î વાય. પછી ઘણા આર = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) પાલન આરસેટ વચ્ચે એક્સ= (2, 4, 6, 8) અને

વાય= (1, 3, 5) જોડીના સમૂહ દ્વારા આપવામાં આવે છે આર = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

જો આર- બે આંકડાકીય સમૂહો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર એક્સઅને વાય, પછી, અનુરૂપ સંખ્યાઓની તમામ જોડીનું નિરૂપણ કરે છે આરકોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર, અમને એક આકૃતિ મળે છે જેને પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ કહેવાય છે આર. તેનાથી વિપરિત, કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના પોઈન્ટના કોઈપણ સબસેટને સંખ્યાત્મક સમૂહો વચ્ચેના કેટલાક પત્રવ્યવહારનો ગ્રાફ ગણવામાં આવે છે. એક્સઅને વાય.

મેચિંગ ગ્રાફ

મર્યાદિત સમૂહો વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને દૃષ્ટિની રીતે પ્રદર્શિત કરવા માટે, ગ્રાફ ઉપરાંત, ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. (ગ્રીક શબ્દ "ગ્રાફો" માંથી - હું લખું છું, તુલના કરું છું: ગ્રાફ, ટેલિગ્રાફ).

સમૂહો વચ્ચે પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ બનાવવા માટે એક્સઅને વાયદરેક સેટના ઘટકોને પ્લેન પરના બિંદુઓ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે, ત્યારબાદ તીર દોરવામાં આવે છે એક્સ Î એક્સથી ખાતે Î વાય, જો જોડી ( x, y) આ પત્રવ્યવહારથી સંબંધિત છે. પરિણામ એ એક ચિત્ર છે જેમાં બિંદુઓ અને તીરોનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ પત્રવ્યવહાર આરસેટ વચ્ચે એક્સ= (2, 3, 4, 5) અને વાય= (4, 9) જોડીને સૂચિબદ્ધ કરીને આપવામાં આવે છે આર = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

એ જ રીતે તમે 4 લખી શકો છો આર 4, 3આર 9. અને સામાન્ય રીતે, જો એક દંપતિ
(x, y) Î આર, પછી તેઓ કહે છે કે તત્વ એક્સ Î એક્સતત્વ સાથે મેળ ખાય છે ખાતે Î વાયઅને લખો xRу. તત્વ 2 ઓ એક્સતત્વની વ્યસ્ત છબી કહેવાય છે
4 Î વાયપાલનને આધીન આરઅને નિયુક્ત થયેલ છે 4 આર-1 2. એ જ રીતે, તમે 4 લખી શકો છો આર -1 4, 9આર -1 3.

ગાણિતિક સિદ્ધાંત બનાવવા માટે, તમારે ફક્ત તત્વો જ નહીં, પણ તેમની વચ્ચેના સંબંધોની પણ જરૂર છે. સંખ્યાઓ માટે, સમાનતાનો ખ્યાલ અર્થપૂર્ણ છે: a = b. જો સંખ્યાઓ a અને b અલગ હોય, તો? b, પછી તે શક્ય છે ક્યાં તો a > b, અથવા a

બે સીધા વિમાનો લંબરૂપ, સમાંતર અથવા ચોક્કસ ખૂણા પર છેદે હોઈ શકે છે.

આ બધા સંબંધો બે વસ્તુઓથી સંબંધિત છે. તેથી જ તેમને દ્વિસંગી સંબંધો કહેવામાં આવે છે.

ગણિતમાં પદાર્થો વચ્ચેના સંબંધોનો અભ્યાસ કરવા માટે, દ્વિસંગી સંબંધોનો સિદ્ધાંત બનાવવામાં આવ્યો હતો.

જ્યારે આપણે અમુક સંબંધોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, ત્યારે આપણે હંમેશા આપેલ સમૂહના ઘટકોમાંથી બનેલા ક્રમબદ્ધ જોડી સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, "4 બાય વધારે" સંબંધ માટે, જેને X = (2, 6, 10, 14) સમૂહ પર ગણવામાં આવે છે, આને જોડી ઓર્ડર કરવામાં આવશે (2, 6), (6, 10), (10, 14), અને સંબંધો માટે "વિભાજિત" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

તે નોંધી શકાય છે કે જોડીનો સમૂહ જે સંબંધોને "4 થી વધુ", "વિભાજ્ય" વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તે કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનના સબસેટ છે

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

વ્યાખ્યા 1. સમૂહ X ના તત્વો અથવા સમૂહ X પરના સંબંધ વચ્ચેનો દ્વિસંગી સંબંધ એ કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન X ´ X નો કોઈપણ સબસેટ છે.

દ્વિસંગી સંબંધો સામાન્ય રીતે લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે: P, T, S, R, Q, વગેરે. તેથી, જો P એ સમૂહ X પરનો સંબંધ છે, તો P Ì X ´ X. ઘણીવાર વિવિધ વિશિષ્ટ પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સંબંધો લખવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, =, >, ~, ½½, ^, વગેરે. P માંથી જોડીના તમામ પ્રથમ ઘટકોના સમૂહને P સંબંધની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. સંબંધ P ના મૂલ્યોનો સમૂહ P થી જોડીના બીજા બધા ઘટકોનો સમૂહ છે.

સ્પષ્ટતા માટે, દ્વિસંગી સંબંધોને ખાસ ગ્રાફ ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફિકલી રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. સમૂહ X ના તત્વો બિંદુઓ દ્વારા રજૂ થાય છે. જો (x, y) Î Р(хРу) ધરાવે છે, તો બિંદુ x થી બિંદુ y તરફ તીર દોરવામાં આવે છે. આવા ડ્રોઇંગને રિલેશન ગ્રાફ P કહેવામાં આવે છે, અને સમૂહ X ના તત્વોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા બિંદુઓ ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ છે. ગ્રાફની કિનારીઓ તરીકે તીરો.

ઉદાહરણ. ચાલો સંબંધ P: “સંખ્યા x એ સંખ્યા y નો વિભાજક છે” સમૂહ પર આપેલ

X = (5, 10, 20, 30, 40), આકૃતિ 25 માં બતાવેલ છે.

આલેખના એરો કે જેની શરૂઆત અને અંત સમાન બિંદુ હોય તેને લૂપ્સ કહેવામાં આવે છે. જો તમે રિલેશન ગ્રાફ P પરના તમામ તીરોની દિશા વિરુદ્ધમાં બદલો છો, તો તમને એક નવો સંબંધ મળશે, જેને P માટે વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે. તેને P–1 સૂચવવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે xРу Û уР–1х.

દ્વિસંગી સંબંધોને સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

સમૂહ X ના ઘટકો વચ્ચેનો સંબંધ R એ એક સમૂહ છે જેના તત્વોને જોડીનો ક્રમ આપવામાં આવે છે, તે કોઈપણ સમૂહની જેમ જ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

1. મોટાભાગે, સમૂહ X પરનો સંબંધ R એ તત્વોની જોડીની લાક્ષણિક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત કરવામાં આવે છે જે R સંબંધમાં હોય છે. આ ગુણધર્મ બે ચલો સાથે વાક્યના રૂપમાં ઘડવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) પરના સંબંધોમાં, આપણે નીચેનાને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ: “સંખ્યા x સંખ્યા કરતા 2 ગણી ઓછી છે y”, “સંખ્યા x એ વિભાજક સંખ્યાઓ y છે”, “સંખ્યા x એ સંખ્યા y કરતા મોટી છે” અને અન્ય.

2. સમૂહ X પરનો સંબંધ R સંબંધ R દ્વારા સંબંધિત સમૂહ X ના ઘટકોની તમામ જોડીને સૂચિબદ્ધ કરીને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે જોડીનો સમૂહ લખીએ (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), તો પછી સેટ X = (1, 2, 3, 4) આપણે અમુક સંબંધ R ને વ્યાખ્યાયિત કરીશું. સમાન સંબંધ R પણ આપી શકાય.

3. ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને (ફિગ. 26).

દ્વિસંગી સંબંધોના ગુણધર્મો.

વ્યાખ્યા 2. સમૂહ X પરનો સંબંધ R જો સમૂહ X માંથી દરેક તત્વ પોતાની સાથે આ સંબંધમાં હોય તો તેને રીફ્લેક્સિવ કહેવામાં આવે છે.

ટૂંકમાં: R કોઈપણ x О X માટે X Û xRx પર રીફ્લેક્સિવ છે.

અથવા, સમાન શું છે: સંબંધ ગ્રાફના દરેક શિરોબિંદુ પર એક લૂપ છે. વાતચીત પણ સાચી છે: જો સંબંધ ગ્રાફના દરેક શિરોબિંદુમાં લૂપ ન હોય, તો તે રીફ્લેક્સિવ સંબંધ છે.

ઉદાહરણ. રીફ્લેક્સિવ સંબંધો: "પ્લેનના તમામ ત્રિકોણના સમૂહ પર સમાન હોવું", "? અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર £."

નોંધ કરો કે એવા સંબંધો છે કે જેમાં રીફ્લેક્સિવિટીની મિલકત નથી (ઉદાહરણ આપો "x એ y કરતાં મોટો છે")

વ્યાખ્યા 3. સમૂહ X પરના દ્વિસંગી સંબંધ R ને X પર વિરોધી રીફ્લેક્સિવ કહેવાય છે જો X (x, x) Ï R, એટલે કે દરેક x માટે. X ના દરેક x માટે xRx શરત સંતુષ્ટ નથી.

જો સંબંધ R વિરોધી રીફ્લેક્સિવ હોય, તો તેના ગ્રાફના કોઈપણ શિરોબિંદુમાં લૂપ નથી. તેનાથી વિપરિત: જો ગ્રાફના કોઈ શિરોબિંદુમાં લૂપ ન હોય, તો ગ્રાફ વિરોધી રીફ્લેક્સિવ સંબંધ દર્શાવે છે.

પ્રતિબિંબ વિરોધી સંબંધોના ઉદાહરણો: "વૃદ્ધ થવું", "નાનું હોવું", "દીકરી બનવું", વગેરે.

વ્યાખ્યા 4. સમૂહ X પરનો સંબંધ R સપ્રમાણ કહેવાય છે જો, કોઈપણ તત્વો x માટે, ÎX સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે: જો x અને y R સંબંધમાં છે, તો પછી y અને x પણ આ સંબંધમાં છે.

ટૂંકમાં: R એ X Û xRу Û yRx પર સપ્રમાણ છે.

સપ્રમાણ સંબંધ ગ્રાફમાં ગુણધર્મ હોય છે: જો તત્વોની જોડીને જોડતો તીર હોય, તો આવશ્યકપણે એક બીજો હોવો જોઈએ જે સમાન તત્વોને જોડે છે, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં જાય છે. વાતચીત પણ સાચી છે.

સપ્રમાણ સંબંધોના ઉદાહરણો સંબંધો છે: "પ્લેનની બધી સીધી રેખાઓના સમૂહ પર પરસ્પર લંબરૂપ હોવું", "પ્લેનના તમામ લંબચોરસના સમૂહ પર સમાન હોવું".

વ્યાખ્યા 5. જો સમૂહ Xમાંથી કોઈ તત્વો x અને y ન હોય તો એવું બની શકે કે xRy અને yRx બંને એક સાથે થાય, તો પછી સમૂહ X પરના સંબંધને અસમપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે.

અસમપ્રમાણતાવાળા સંબંધનું ઉદાહરણ: "પિતા બનવા માટે" (જો x એ y નો પિતા છે, તો પછી y x નો પિતા ન હોઈ શકે).

વ્યાખ્યા 6. સમૂહ X પરનો સંબંધ R એ એન્ટિસિમેટ્રિક કહેવાય છે જો, વિવિધ તત્વો x, y О X માટે, તત્વ x એ તત્વ y સાથે R ના સંબંધમાં છે, તે અનુસરે છે કે તત્વ y નથી તત્વ x સાથે R નો સંબંધ.

ટૂંકમાં: R એ X Û xRу અને x પર અસમપ્રમાણ છે? y? .

ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંકોના સમૂહ પરનો સંબંધ "ઓછા કરતાં" એ એન્ટિસિમેટ્રિક છે.

એન્ટિસિમેટ્રિક રિલેશન ગ્રાફમાં એક વિશિષ્ટ લક્ષણ છે: જો ગ્રાફના બે શિરોબિંદુઓ તીર દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો ત્યાં ફક્ત એક તીર છે. વિરુદ્ધ નિવેદન પણ સાચું છે.

નોંધ કરો કે એવા સંબંધો છે કે જેમાં ન તો સમપ્રમાણતાની મિલકત હોય છે અને ન તો પ્રતિસમપ્રમાણતાની મિલકત હોય છે.

વ્યાખ્યા7. સમૂહ X પરનો સંબંધ R સંક્રમિત કહેવાય છે જો કોઈપણ તત્વો માટે x, y, z О X નીચેની સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોય: જો x એ R y સાથે R ના સંબંધમાં હોય અને y R z સાથે R ના સંબંધમાં હોય, તો તત્વ x તત્વ z સાથે R ના સંબંધમાં છે.

ટૂંકમાં: R એ X Û xRу અને уRz પર સંક્રમક છે? xRz.

ઉદાહરણ તરીકે, સમતલમાં રેખાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ "રેખા x એ રેખા y ની સમાંતર છે," સંક્રમણકારી છે.

ટ્રાન્ઝિટિવ રિલેશન ગ્રાફની ખાસિયત છે કે x થી y અને y થી z તરફ જતા તીરોની દરેક જોડી માટે, તેમાં x થી z તરફ જતો તીર પણ છે. વાતચીત પણ સાચી છે.

નોંધ કરો કે એવા સંબંધો છે કે જેમાં સંક્રમણની મિલકત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, "શેલ્ફ પર એકબીજાની બાજુમાં ઉભા રહેવું" સંબંધ સંક્રમણકારી નથી.

સંબંધોના તમામ સામાન્ય ગુણધર્મોને ત્રણ જૂથોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

રીફ્લેક્સિવિટી (દરેક સંબંધ રીફ્લેક્સિવ અથવા એન્ટી-રીફ્લેક્સિવ છે),

સપ્રમાણતા (સંબંધ હંમેશા કાં તો સપ્રમાણતા, અસમપ્રમાણતા અથવા વિરોધી સપ્રમાણ હોય છે),

ટ્રાન્ઝિટિવિટિવિટી (દરેક સંબંધ ટ્રાન્ઝિટિવ અથવા બિન-ટ્રાન્સિટિવ છે). સંબંધો કે જે ગુણધર્મોનો ચોક્કસ સમૂહ ધરાવે છે તેને વિશેષ નામ આપવામાં આવે છે.

ત્રિકોણ ઉકેલવા પર.

IX. જમણો ત્રિકોણ.

§ 83. કાટકોણ ત્રિકોણના તત્વો વચ્ચેના સંબંધો.

§ 20 માં, કાટકોણ ત્રિકોણના તત્વો વચ્ચેના ત્રિકોણમિતિ સંબંધો મેળવવામાં આવ્યા હતા; એટલે કે, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની વ્યાખ્યામાંથી સૂત્રો લેવામાં આવ્યા હતા (ફિગ. 40):

sin A = a / c; cos A = b / c; tan A = a / b

આ સૂત્રોમાંથી નક્કી કરવું a, bઅને સાથે, અમે શોધીએ છીએ:

1) એ= સાથેપાપ A 2) b= સાથે cos A; 3) એ= bટીજી એ.

મૌખિક ફોર્મ્યુલેશન §§20-21 માં આપવામાં આવે છે. આ સૂત્રોમાં આપણે ત્રણ વધુ ઉમેરવા જોઈએ, જે ભૂમિતિથી જાણીતા છે:

A + B = 90°; c 2 =a 2 +b 2; એસ = 1/2 ab.

§ 84.કોઈપણ ત્રિકોણના તત્વો વચ્ચે માત્ર ત્રણ સ્વતંત્ર સંબંધો છે. ત્રિકોણમાં ત્રણ બાજુઓ અને ત્રણ ખૂણા હોય છે; પરંતુ આ છ તત્વોમાંથી ત્રણ હોવું પૂરતું છે (ત્રણ ખૂણાના કિસ્સામાં સિવાય) જેથી તમે ત્રિકોણ બનાવી શકો અને બાકીના ત્રણ તત્વો મેળવી શકો. તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણમાં ગણતરી કરતી વખતે, બાકીના ડેટામાંથી ત્રણ ઘટકો નક્કી કરી શકાય છે; અને આ માટે, ત્રિકોણના તત્વો વચ્ચેના વિવિધ સમીકરણોની સંખ્યા પણ ત્રણ જેટલી હોવી જોઈએ. જો ત્રણ કરતાં વધુ સમીકરણો પ્રાપ્ત થાય, તો તેમાંથી કેટલાક અન્યના પરિણામો હશે.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, મુખ્ય સંબંધો સામાન્ય રીતે નીચેના માનવામાં આવે છે:

A + B = 90°; એ= સાથે sin A; b= સાથેકારણ એ.

બાકી તેમની પાસેથી અનુમાન કરી શકાય છે.

§ 85. કાટખૂણો ઉકેલો.

ત્રિકોણના મુખ્ય ઘટકો બાજુઓ અને ખૂણાઓ છે. તેથી, કાટકોણ ત્રિકોણ ઉકેલતી વખતે, કયા તત્વો આપવામાં આવ્યા છે તેના આધારે, 4 કેસ પોતાને રજૂ કરી શકે છે, જેની ચર્ચા નીચેના ફકરાઓમાં કરવામાં આવી છે. આ કિસ્સામાં, ડેટામાં ચોક્કસપણે એક રેખીય તત્વ હોવું આવશ્યક છે, કારણ કે અન્યથા ત્રિકોણના પરિમાણોને શોધવાનું અશક્ય છે: ત્રણ ખૂણાઓથી તમે તમને ગમે તેટલા સમાન ત્રિકોણ બનાવી શકો છો.

ત્રિકોણનો ઉકેલ (કોઈપણ ગાણિતિક સમસ્યાઓના ઉકેલની જેમ) પ્રથમ, જો શક્ય હોય તો, સામાન્ય સ્વરૂપમાં અંત સુધી હાથ ધરવામાં આવે છે; પછી સંખ્યાત્મક ડેટા અવેજી કરવામાં આવે છે અને ગણતરીઓ કરવામાં આવે છે. નીચેના તમામ ઉદાહરણો બ્રાડીસ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે, પ્રથમ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના કુદરતી મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, પછી લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને.

પાંચ-અંકના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવાના કિસ્સામાં, આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ ઉકેલવાના ઉદાહરણો પણ સાચવવામાં આવ્યા છે.

§ 86. 1 લી કેસ.એક કર્ણ અને તીવ્ર કોણ આપેલ છે ( સાથેઅને એ). બીજો તીવ્ર કોણ, પગ અને વિસ્તાર શોધો (B, a, b, એસ).

આઈ. સામાન્ય ઉકેલ.

II. સંખ્યાત્મક ઉદાહરણ: સાથે= 627; A = 23°30"

ઉકેલ.

B = 90° - 23°30" = 66°30"; એ= 627 પાપ 23°30"

બ્રાડિસ ટેબલ VIII મુજબ આપણે પાપ 23°30" = 0.3987 શોધીએ છીએ; તેથી:

એ = 627 0,3987 = 249,9849;
એ≈ 250 (લિન. એકમો);
b= 627 cos 23°30" = 627 0.9171 = 575.0227.
b≈ 575 (લિન. એકમો);
S = 1/2 249.98 575.02 = 71,872 (ચોરસ એકમો). l

§ 87. 2 જી કેસ.એક પગ અને તીવ્ર કોણ આપેલ છે ( એઅને એ). B શોધો, c, b, એસ.

I. સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઉકેલ.

II. સંખ્યાત્મક ઉદાહરણ: એ=18; A = 47°.

ઉકેલ.

§ 88. 3 જી કેસ.કર્ણ અને એક પગ આપેલ ( સાથેઅને એ). A, B શોધો, b, એસ.

I. સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઉકેલ.

sin A = a / c; cos B = a / c ; b = √c 2 -એ 2 ; એસ= a / 2 √c 2 -એ 2 .

II. સંખ્યાત્મક ઉદાહરણ: સાથે = 65; એ =16.

હું નિર્ણય.

sin A = 16 / 65 = 0.2461; A = 14°12" + 3" = 14°15";
B = 90° - 14°15" = 75°45";

b = √65 2 -16 2 = √(65 + 16) (65 -16) = √81 49 = 9 7;
b= 63 (લિન. એકમો);

S = 16 / 2 63 = 504 (ચોરસ એકમો).

§ 89. 4 થી કેસ.બંને બાજુ આપવામાં આવે છે ( એઅને b). A, B શોધો, સાથે, એસ.

I. સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઉકેલ.

tan A = a / b; tan B = b / a ; c = √a 2 +b 2 ; એસ= ab / 2

II. સંખ્યાત્મક ઉદાહરણ: a = 25; b = 40.

ઉકેલ.

tan A = 25 / 40 = 0.625; A = 32°; B = 58°;
c= √25 2 +40 2 ≈ 47.2; S = 500 (ચો. એકમો).

અનુપાલનનો ખ્યાલ. પત્રવ્યવહાર સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ

શરૂઆતમાં, બીજગણિત એ સમીકરણો ઉકેલવાનો અભ્યાસ હતો. તેના વિકાસની ઘણી સદીઓ દરમિયાન, બીજગણિત એક વિજ્ઞાનમાં ફેરવાઈ ગયું છે જે વિવિધ સમૂહો પર કામગીરી અને સંબંધોનો અભ્યાસ કરે છે. તેથી, તે કોઈ સંયોગ નથી કે પહેલેથી જ પ્રાથમિક શાળામાં, બાળકો અભિવ્યક્તિઓ (સંખ્યાત્મક અને ચલો સાથે), સંખ્યાત્મક સમાનતા, સંખ્યાત્મક અસમાનતા, સમીકરણ જેવા બીજગણિત વિભાવનાઓથી પરિચિત થાય છે. તેઓ સંખ્યાઓ પર અંકગણિત કામગીરીના વિવિધ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે જે તેમને તર્કસંગત રીતે ગણતરીઓ કરવા દે છે. અને, અલબત્ત, ગણિતના પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમમાં તેઓને વિવિધ અવલંબન અને સંબંધો સાથે પરિચય આપવામાં આવે છે, પરંતુ બાળકોની માનસિક પ્રવૃત્તિના વિકાસના હેતુ માટે તેનો ઉપયોગ કરવા માટે, શિક્ષકે આધુનિક બીજગણિતની કેટલીક સામાન્ય વિભાવનાઓને માસ્ટર કરવી આવશ્યક છે - ખ્યાલ પત્રવ્યવહાર, સંબંધો, બીજગણિતીય કામગીરી વગેરે. વધુમાં, બીજગણિતમાં વપરાતી ગાણિતિક ભાષામાં નિપુણતા મેળવીને, શિક્ષક વાસ્તવિક ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગના સારને વધુ સારી રીતે સમજી શકશે.

આપણી આસપાસની દુનિયાનો અભ્યાસ કરતા, ગણિત માત્ર તેના પદાર્થોને જ નહીં, પરંતુ મુખ્યત્વે તેમની વચ્ચેના જોડાણોને પણ ધ્યાનમાં લે છે. આ જોડાણોને નિર્ભરતા, પત્રવ્યવહાર, સંબંધો, કાર્યો કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઑબ્જેક્ટ્સની લંબાઈની ગણતરી કરતી વખતે, ઑબ્જેક્ટ્સ અને સંખ્યાઓ વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે, જે તેમની લંબાઈના મૂલ્યો છે; ગતિની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, જો હિલચાલની ગતિ સતત હોય તો મુસાફરી કરેલ અંતર અને સમય વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત થાય છે.

ગણિતમાં ચોક્કસ અવલંબન, પત્રવ્યવહાર અને પદાર્થો વચ્ચેના સંબંધોનો તેની શરૂઆતથી જ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. પરંતુ વિવિધ પ્રકારના પત્રવ્યવહારમાં શું સામ્ય છે, કોઈપણ પત્રવ્યવહારનો સાર શું છે તે પ્રશ્ન 19મીના અંતમાં - 20મી સદીની શરૂઆતમાં ઊભો થયો હતો અને તેનો જવાબ સેટ થિયરીના માળખામાં મળી આવ્યો હતો.

પ્રારંભિક ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, એક, બે અથવા વધુ સમૂહોના તત્વો વચ્ચેના વિવિધ સંબંધોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેથી, શિક્ષકે તેમના સારને સમજવાની જરૂર છે, જે તેને આ સંબંધોનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિમાં એકતા સુનિશ્ચિત કરવામાં મદદ કરશે.

ચાલો ગણિતના પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમમાં અભ્યાસ કરેલા પત્રવ્યવહારના ત્રણ ઉદાહરણો જોઈએ.

પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે આપેલ અભિવ્યક્તિઓ અને તેમના સંખ્યાત્મક મૂલ્યો વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરીએ છીએ. બીજામાં, આપણે શોધીએ છીએ કે આ દરેક આંકડાઓને કઈ સંખ્યા અનુલક્ષે છે, તેના ક્ષેત્રનું લક્ષણ દર્શાવે છે. ત્રીજા ભાગમાં આપણે એવી સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ જે સમીકરણનો ઉકેલ છે.

આ પત્રવ્યવહારમાં શું સામ્ય છે?

આપણે જોઈએ છીએ કે તમામ કિસ્સાઓમાં આપણી પાસે બે સેટ છે: પ્રથમમાં, તે ત્રણ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓનો સમૂહ છે અને N કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે (આ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો તેની સાથે સંબંધિત છે), બીજામાં, તે છે ત્રણ ભૌમિતિક આકૃતિઓનો સમૂહ અને N કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ; ત્રીજા ભાગમાં તે ત્રણ સમીકરણોનો સમૂહ અને N કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

સૂચિત કાર્યો પૂર્ણ કરીને, અમે આ સમૂહોના ઘટકો વચ્ચે જોડાણ (પત્રવ્યવહાર) સ્થાપિત કરીએ છીએ. તેને આલેખનો ઉપયોગ કરીને દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરી શકાય છે (ફિગ. 1).

આપેલ મેચમાં હોય તેવા તત્વોની તમામ જોડીને સૂચિબદ્ધ કરીને તમે આ મેચોનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો:

I. ((1, 4 માં), (3, 20 માં));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

પરિણામી સમૂહો દર્શાવે છે કે બે સમૂહો X અને Y વચ્ચેના કોઈપણ પત્રવ્યવહાર તરીકે ગણી શકાય ઓર્ડર કરેલ જોડીનો સમૂહ , તેમના તત્વોમાંથી રચાય છે. અને ઓર્ડર કરેલ જોડી કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનના ઘટકો હોવાથી, અમે પત્રવ્યવહારના સામાન્ય ખ્યાલની નીચેની વ્યાખ્યા પર પહોંચીએ છીએ.

વ્યાખ્યા. સમૂહ X અને Y ના તત્વો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર એ આ સમૂહોના કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનનો કોઈપણ ઉપગણ છે.

પત્રવ્યવહાર સામાન્ય રીતે P, S, T, R, વગેરે અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જો S એ X અને Y સમૂહોના ઘટકો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર છે, તો વ્યાખ્યા અનુસાર, S X x Y.

ચાલો હવે શોધીએ કે બે સમૂહો વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું. પત્રવ્યવહાર એ સબસેટ હોવાથી, તે કોઈપણ સમૂહ તરીકે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, એટલે કે. કાં તો આપેલ પત્રવ્યવહારમાં હોય તેવા તત્વોની તમામ જોડીને સૂચિબદ્ધ કરીને, અથવા આ સબસેટના તત્વોની લાક્ષણિકતા દર્શાવીને. આમ, સેટ X = (1, 2, 4, 6) અને Y = (3, 5) વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

1) બે ચલો સાથે વાક્યનો ઉપયોગ કરવો: a< b при условии, что а X, b Y;

2) કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન XxY ના સબસેટ સાથે જોડાયેલા નંબરોની જોડીની યાદી: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). સોંપણીની આ પદ્ધતિમાં ગ્રાફ (ફિગ. 2) અને ગ્રાફ (ફિગ. 3) નો ઉપયોગ કરીને પત્રવ્યવહારની સોંપણીનો પણ સમાવેશ થાય છે.

ચોખા. 2 ફિગ. 3

ઘણીવાર, જ્યારે X અને Y સમૂહોના તત્વો વચ્ચેના પત્રવ્યવહારનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે વ્યક્તિએ તેના વિરુદ્ધ હોય તેવા પત્રવ્યવહારને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે,

S - સેટના તત્વો વચ્ચે "2 થી વધુ" પત્રવ્યવહાર

X = (4,5,8, 10) અને Y= (2,3,6). પછી S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) અને તેનો ગ્રાફ આકૃતિ 4a જેવો જ હશે.

આપેલ મેચનો ઊલટો એ મેચ "2 બાય ઓછી" છે. તે સેટ Y અને X ના ઘટકો વચ્ચે ગણવામાં આવે છે, અને તેને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવા માટે, રિલેશન ગ્રાફ S પરના તીરોની દિશા વિરુદ્ધ (ફિગ. 4b) બદલવા માટે તે પૂરતું છે. જો પત્રવ્યવહાર “2 થી ઓછો” S -1 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તો S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

ચાલો નીચે પ્રમાણે “તત્વ x એ તત્વ y અનુસાર છે” વાક્ય લખવા માટે સંમત થઈએ: xSy. એન્ટ્રી xSy ને ચોક્કસ પત્રવ્યવહાર માટે એન્ટ્રીઓના સામાન્યીકરણ તરીકે ગણી શકાય: x = 2y; x > 3y+1, વગેરે.

ચાલો આપેલ એક સાથે પત્રવ્યવહાર વિપરિતની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે રજૂ કરેલ સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ.

વ્યાખ્યા. ચાલો S એ સેટ X અને Y ના તત્વો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર હોય. સમૂહ Y અને X ના ઘટકો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર S -1 જો yS -x હોય તો અને માત્ર જો xSy હોય તો તેનો વ્યસ્ત હોવાનું કહેવાય છે .

પત્રવ્યવહાર S અને S -1 ને પરસ્પર વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે. ચાલો તેમના આલેખની વિશેષતાઓ શોધીએ.

ચાલો પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (ફિગ. 5a) બનાવીએ. પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)) બનાવતી વખતે, આપણે Y = (2, 3, 6) સમૂહમાંથી પ્રથમ ઘટક પસંદ કરવો જોઈએ, અને સમૂહ X = (4, 5, 8, 10) માંથી બીજું. પરિણામે, પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ S -1 પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ S સાથે સુસંગત રહેશે. પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ S અને S -1 વચ્ચે તફાવત કરવા માટે ,

પત્રવ્યવહાર જોડી S -1 ના પ્રથમ ઘટકને abscissa તરીકે અને બીજા ઘટકને ordinate તરીકે ધ્યાનમાં લેવા સંમત થયા. ઉદાહરણ તરીકે, જો (5, 3) S, તો (3, 5) S -1. કોઓર્ડિનેટ્સ (5, 3) અને (3, 5) સાથેના બિંદુઓ અને સામાન્ય કિસ્સામાં (x, y) અને (y, x) 1લા અને 3જા સંકલન ખૂણાના દ્વિભાજકના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. પરિણામે, પરસ્પર વ્યસ્ત પત્રવ્યવહાર S અને S -1 ના આલેખ 1લા અને 3જા સંકલન ખૂણાના દ્વિભાજકના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે.

પત્રવ્યવહાર ગ્રાફ S -1 બનાવવા માટે, તે સંકલન પ્લેન પરના બિંદુઓનું નિરૂપણ કરવા માટે પૂરતું છે જે 1 અને 3 જી સંકલન કોણના દ્વિભાજકને સંબંધિત ગ્રાફ S ના બિંદુઓ સાથે સપ્રમાણ છે.