વધતા કાર્યની વ્યાખ્યા.
કાર્ય y=f(x)અંતરાલ પર વધે છે એક્સ, જો કોઈ માટે અને 
અસમાનતા ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મોટી દલીલ મૂલ્ય મોટા કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
ઘટતા કાર્યની વ્યાખ્યા.
કાર્ય y=f(x)અંતરાલ પર ઘટે છે એક્સ, જો કોઈ માટે અને 
અસમાનતા ધરાવે છે 
. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
નોંધ: જો ફંક્શન વધતા અથવા ઘટતા અંતરાલના અંતે વ્યાખ્યાયિત અને સતત હોય (a;b), એટલે કે જ્યારે x=aઅને x=b, પછી આ બિંદુઓ વધતા અથવા ઘટવાના અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ છે. આ અંતરાલ પર વધતા અને ઘટતા કાર્યની વ્યાખ્યાનો વિરોધાભાસ કરતું નથી એક્સ.
ઉદાહરણ તરીકે, મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ગુણધર્મો પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે y=sinxદલીલના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત અને સતત. તેથી, અંતરાલ પર સાઈન ફંક્શનમાં વધારો થવાથી, અમે ભારપૂર્વક કહી શકીએ કે તે અંતરાલ પર વધે છે.
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ, ફંક્શનની સીમા.
બિંદુ કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુકાર્યો y=f(x), જો દરેક માટે xતેના પડોશમાંથી અસમાનતા માન્ય છે. મહત્તમ બિંદુ પર કાર્યની કિંમત કહેવામાં આવે છે કાર્યની મહત્તમઅને સૂચિત કરો.
બિંદુ કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુકાર્યો y=f(x), જો દરેક માટે xતેના પડોશમાંથી અસમાનતા માન્ય છે. ન્યૂનતમ બિંદુ પર કાર્યની કિંમત કહેવામાં આવે છે ન્યૂનતમ કાર્યઅને સૂચિત કરો.
બિંદુની પડોશને અંતરાલ તરીકે સમજવામાં આવે છે 
, જ્યાં પૂરતી નાની સકારાત્મક સંખ્યા છે.
લઘુત્તમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ, અને અંતિમ બિંદુઓને અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે કાર્યની અંતિમ.
ફંક્શનના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો સાથે ફંક્શનના અંતિમ ભાગને ગૂંચવશો નહીં.
પ્રથમ આકૃતિમાં, સેગમેન્ટ પરના કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય મહત્તમ બિંદુએ પહોંચે છે અને તે કાર્યના મહત્તમ બરાબર છે, અને બીજી આકૃતિમાં - કાર્યનું ઉચ્ચતમ મૂલ્ય બિંદુ પર પ્રાપ્ત થાય છે x=b, જે મહત્તમ બિંદુ નથી.
કાર્યોને વધારવા અને ઘટાડવા માટે પૂરતી શરતો.
કાર્યના વધારા અને ઘટાડા માટે પૂરતી શરતો (ચિહ્નો) ના આધારે, કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો જોવા મળે છે.
અંતરાલ પર વધતા અને ઘટતા કાર્યોના સંકેતોની ફોર્મ્યુલેશન અહીં છે:
જો કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y=f(x)કોઈપણ માટે સકારાત્મક xઅંતરાલ થી એક્સ, પછી કાર્ય વધે છે એક્સ;
જો કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y=f(x)કોઈપણ માટે નકારાત્મક xઅંતરાલ થી એક્સ, પછી કાર્ય ઘટે છે એક્સ.
આમ, કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે:
ચાલો અલ્ગોરિધમને સમજાવવા માટે વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધવાનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ.
વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધો.
ઉકેલ.
પ્રથમ પગલું એ કાર્યની વ્યાખ્યા શોધવાનું છે. અમારા ઉદાહરણમાં, છેદમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય પર ન જવી જોઈએ, તેથી, .
ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા તરફ આગળ વધીએ: 
પર્યાપ્ત માપદંડના આધારે કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે વ્યાખ્યાના ડોમેન પર અસમાનતાઓને હલ કરીએ છીએ. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીએ. અંશનું એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂળ છે x = 2, અને છેદ શૂન્ય પર જાય છે x=0. આ બિંદુઓ વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે જેમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. ચાલો આ બિંદુઓને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ. આપણે પરંપરાગત રીતે વ્યુત્પન્ન કે ઋણાત્મક હોય તેવા અંતરાલોને વ્યુત્પન્ન અને બાદબાકી દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. નીચેના તીરો યોજનાકીય રીતે અનુરૂપ અંતરાલ પર કાર્યમાં વધારો અથવા ઘટાડો દર્શાવે છે. 
ચાલો f એક અંતરાલ પર સતત અને આ અંતરાલના આંતરિક બિંદુઓ પર તફાવત કરી શકાય. પછી આ સેગમેન્ટમાંથી એક આંતરિક બિંદુ છે જેમ કે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક, એબ્સિસા c સાથે બિંદુ પર દોરવામાં આવે છે, તે તાર ABની સમાંતર છે, જ્યાં A(a;f(x)) અને B(b; f(x)). અથવા: સરળ ચાપ AB પર હંમેશા એક બિંદુ c હોય છે જેના પર સ્પર્શક ચાપના છેડાને જોડતી તાર સાથે સમાંતર હોય છે.
ચાલો f એક અંતરાલ પર સતત અને આ અંતરાલના આંતરિક બિંદુઓ પર તફાવત કરી શકાય. પછી આ સેગમેન્ટમાંથી એક આંતરિક બિંદુ છે જેમ કે
કોરોલરી 1: જો ફંક્શન f સેગમેન્ટ પર સતત હોય અને તેનું ડેરિવેટિવ આ સેગમેન્ટની અંદર શૂન્ય જેટલું હોય, તો ફંક્શન f સેગમેન્ટ પર સ્થિર છે.
કોરોલરી 2: જો ફંક્શન્સ f અને g એક અંતરાલ પર સતત હોય અને આ અંતરાલની અંદર સમાન ડેરિવેટિવ્સ હોય, તો તેઓ સતત પદ દ્વારા અલગ પડે છે.
2. કાર્યક્ષમતા વધારવાની પૂરતી નિશાની:
જો અંતરાલ I ના દરેક બિંદુએ f[/](x)>0 હોય, તો ફંક્શન f અંતરાલ I પર વધે છે.
3. ઘટતા કાર્યની પર્યાપ્ત નિશાની:
જો f[/](x)
ચાલો Lagrange સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ ચિહ્નોને સાબિત કરીએ:
ચાલો અંતરાલમાંથી કોઈપણ બે સંખ્યા લઈએ. રહેવા દો. લેગ્રેન્જના સૂત્ર મુજબ, એવી સંખ્યા છે.
સંખ્યા c એ અંતરાલ I નો છે, કારણ કે પોઈન્ટ આ અંતરાલના છે. જો f[/](x)>0 માટે, તો પછી f[/](c) >0, અને તેથી - આ સૂત્ર (1) થી અનુસરે છે, ત્યારથી ->0. આ સાબિત કરે છે કે ફંક્શન f અંતરાલ I પર વધે છે. જો f[/](x) 0. ફંક્શન f અંતરાલ I પર ઘટે છે તે સાબિત થાય છે.
ઉદાહરણ 1. વધતા અને ઘટતા કાર્યના અંતરાલો શોધો
2. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અને તેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો: અથવા
3. આંકડાકીય અક્ષ પર એક્સ્ટ્રીમાના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો અને કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો શોધો
જવાબ:- કાર્ય વધે છે
કાર્ય ઘટતું જાય છે
ઉદાહરણ 2. વધતા (ઘટાડા) કાર્યનું પરીક્ષણ કરો:
2. ફંક્શનના ડેરિવેટિવ અને એક્સ્ટ્રીમા પોઈન્ટ શોધો:
3. સંખ્યા અક્ષ પર નિર્ણાયક બિંદુને ચિહ્નિત કરો અને કાર્યના વધારા (ઘટાડા) ના અંતરાલો શોધો:
જવાબ:- કાર્ય ઘટી રહ્યું છે
કાર્યમાં વધારો થાય છે
II. જટિલ મુદ્દાઓ. કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ શોધવાના ચિહ્નો.
1. જટિલ મુદ્દાઓ
વ્યાખ્યા: ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ એ ફંક્શનના વ્યાખ્યાના ડોમેનના આંતરિક બિંદુઓ છે કે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
નંબર 1. ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો: a) g(x) =
જવાબ: , ક્યાં; , જ્યાં b) g(x) =
2. કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ શોધવાના ચિહ્નો.
મહત્તમ કાર્યોની નિશાની:
જો ફંક્શન f એ બિંદુ x0 પર સતત હોય, અને f[/](x)>0 અંતરાલ પર (a;x0) અને f[/](x)
અથવા: જો બિંદુ x0 પર વ્યુત્પન્ન ફેરફારો વત્તાથી માઈનસમાં સાઇન કરે છે, તો x0 એ મહત્તમ બિંદુ છે.
પુરાવો:
અંતરાલ (a;x0) પર વ્યુત્પન્ન f[/](x)>0, અને કાર્ય x0 બિંદુ પર સતત છે, તેથી ફંક્શન f અંતરાલ (a;x0] પર વધે છે, અને તેથી f(x)
અંતરાલ પર [x0;c) કાર્ય ઘટે છે, અને તેથી f(x)
ન્યૂનતમ કાર્યના ચિહ્નો:
જો ફંક્શન f એ બિંદુ x0 પર સતત હોય અને અંતરાલ (x0;b) પર f[/](x) 0 હોય, તો બિંદુ x0 એ ફંક્શન f નો ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
અથવા: જો બિંદુ x0 પર વ્યુત્પન્ન ફેરફારો બાદબાકીથી વત્તામાં સાઇન કરે છે, તો x0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
પુરાવો:
અંતરાલ (a; x0) થી તમામ x માટે વ્યુત્પન્ન f[/](x) f (x0).
અંતરાલ [x0;b) પર, ફંક્શન f વધે છે, અને તેથી અંતરાલ (a;b) થી દરેક માટે f(x) >f (x0) એટલે કે, x0 એ f નો ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
III. બીજું વ્યુત્પન્ન. બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતાના ચિહ્નો.
બિંદુ પર બીજું વ્યુત્પન્ન થવા દો. પછી, જો, પછી બિંદુ એ લઘુત્તમ બિંદુ છે, અને જો, તો બિંદુ એ કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ છે.
જો, તો પછી બલ્જ નીચે તરફ નિર્દેશિત થાય છે. જો, તો પછી બલ્જ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત થાય છે.
IV. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ
વ્યાખ્યા: સીધી રેખા એ ફંક્શનના આલેખનું ત્રાંસુ એસિમ્પટોટ છે, જ્યાં અને
ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ
ત્રાંસી એસિમ્પટોટનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ
V. કાર્ય અભ્યાસ ડિઝાઇન
1. ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ.
2. સમાનતા (વિષમતા) માટે કાર્યની તપાસ કરો.
3. સંકલન અક્ષો સાથે આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો અને કાર્યના સતત સંકેતના અંતરાલો નક્કી કરો.
4. વ્યુત્પન્ન શોધો.
5. કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ અને કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો શોધો.
6. ટેબલ બનાવો.
7. બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો.
8. ફંક્શન ગ્રાફના ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ્સ શોધો અને આ આલેખની બહિર્મુખતા અને અંતર્લાલો સ્થાપિત કરો.
9. જો જરૂરી હોય તો ફંક્શન ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.
10. આ ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ બનાવો.
11. કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો.
VI. કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટેના ઉદાહરણો
2). કાર્યની સમાનતા વિશે વાત કરવી અશક્ય છે.
5) કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ અને કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો શોધો:
કાર્યમાં વધારો થાય છે
કાર્ય ઘટતું જાય છે
6) ચાલો ટેબલ x બનાવીએ
7) બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો
8) ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધો: અથવા
ઉભરો
નીચે મણકા
9) ચાલો જોઈએ કે ત્રાંસી એસિમ્પટોટ્સ અસ્તિત્વમાં નથી. ત્યાં કોઈ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.
10) શેડ્યૂલ
; x=2 - વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ
2). કાર્યની સમાનતા વિશે વાત કરવી અશક્ય છે
3) OX અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો.
ચાલો OU અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ.
4) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
5) કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ અને કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના બિંદુઓ શોધો:
કાર્યમાં વધારો થાય છે
કાર્ય ઘટતું જાય છે
6) ચાલો ટેબલ x બનાવીએ
7) બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો:
8) ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધો: કોઈ ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ નથી
નીચે મણકા
ઉભરો
ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ
10) શેડ્યૂલ
વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ
2) આપણે કાર્યની સમાનતા વિશે વાત કરી શકતા નથી
OX અક્ષ સાથે આંતરછેદના કોઈ બિંદુઓ નથી.
અસ્તિત્વમાં નથી. આવા કોઈ બિંદુઓ નથી.
4) વ્યુત્પન્ન શોધો:
કાર્ય ઘટતું જાય છે
કાર્યમાં વધારો થાય છે
6) ચાલો એક ટેબલ બનાવીએ:
7) ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ:
વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ
2) - આપણે કાર્યની સમાનતા વિશે વાત કરી શકતા નથી
3) OX અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો.
ચાલો OY અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ.
4) વ્યુત્પન્ન શોધો:
5) કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ અને કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો શોધો.
ત્યાં કોઈ નિર્ણાયક બિંદુઓ નથી.
ત્યાં કોઈ મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ નથી.
6) ચાલો એક ટેબલ બનાવીએ:
↘ 7) બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો:
8) ફંક્શન ગ્રાફના ઇન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધો અને બહિર્મુખતા અને અંતર્લાલો સેટ કરો:
કોઈ ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ નથી.
ઉભરો
નીચે મણકા
9) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો:
આડી એસિમ્પ્ટોટનું સમીકરણ, k = 0 થી.
10) ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ:
;
- વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ
3) OX અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો.
ચાલો OY અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ.
4) વ્યુત્પન્ન શોધો:
2) - ફંક્શન વિચિત્ર છે, ત્યારથી. આલેખ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.
5) કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતિમ બિંદુઓ અને અંતરાલો શોધો:
કાર્ય ઘટતું જાય છે
કાર્યમાં વધારો થાય છે
6) ચાલો એક ટેબલ બનાવીએ:
કોઈ ઉકેલ નથી.
↘ સંજ્ઞા નથી.
↗ 7) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો:
ત્યાં કોઈ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.
8) બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો:
નીચે મણકા
ઉભરો
9) ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધો: કાં તો અથવા
10) ચાલો ગ્રાફ બનાવીએ
VII. ઐતિહાસિક માહિતી.
તેમના પૂર્વજો પોલેન્ડથી આવ્યા હતા અને તેમની અટક લ્યુબેનિટ્ઝ હતી. લેઇપઝિગમાં ગયા પછી, તેમની અટક જર્મન રીતે ઉચ્ચારવામાં આવી હતી તે નોંધવું રસપ્રદ છે કે આ શહેરનું નામ પણ સ્લેવિક છે, તેનો અર્થ એ છે કે > યુનિવર્સિટીમાં ફિલસૂફીના પ્રોફેસરના પરિવારમાં જન્મ્યા હતા લેઇપઝિગના તેણે તેના માતાપિતાને વહેલા ગુમાવ્યા: 6 વર્ષની ઉંમરે તે પિતા વિના અને 17 વર્ષની ઉંમરે - તેના શાળાના વર્ષો દરમિયાન, લેટિન અને ગ્રીકમાં કવિતા રચવાની તેની ક્ષમતાથી તેના શિક્ષકોને આશ્ચર્યચકિત કર્યા. ફિલસૂફી અને ગણિત માટેનો જુસ્સો, તે ખૂબ જ વિચિત્ર હતો, તેણે શાળામાં તેમને મળતા પહેલા ઘણા વિષયોનો અભ્યાસ કર્યો, તેની યાદશક્તિ અસમાન હતી: તે જટિલ વસ્તુઓને સરળતાથી યાદ કરી શક્યો નહીં સમય, પરંતુ તે સામાન્યીકરણો અને અમૂર્તતા તરફ વળ્યો અને લીબનિઝે જીવનભર આવી યાદશક્તિ અને વિચારવાની રીત જાળવી રાખી.
15 વર્ષની ઉંમરે, લીબનીઝ યુનિવર્સિટી ઓફ લીપઝિગમાં ફિલોસોફી ફેકલ્ટીમાં વિદ્યાર્થી હતા. આ ફેકલ્ટી કાયદા અને ધર્મશાસ્ત્ર માટે પ્રારંભિક હતી. ફિલોસોફી ફેકલ્ટીમાંથી અને પછી કાયદા ફેકલ્ટીમાંથી તેજસ્વી રીતે સ્નાતક થયા પછી, 20 વર્ષીય લીબનીઝ તેના વતનમાં ઇચ્છિત સ્થાન મેળવવામાં અસમર્થ હતા. યુનિવર્સિટીમાં રૂઢિચુસ્ત નિયમોએ ડોક્ટરેટ મેળવવા માટે ભૌતિક અવરોધો ઉભા કર્યા. તે ન્યુરેમબર્ગ જાય છે અને ત્યાં યુનિવર્સિટીમાં અભૂતપૂર્વ સફળતા સાથે ડોક્ટરેટ માટેના તેના કાનૂની નિબંધનો બચાવ કરે છે. યુવા વૈજ્ઞાનિકની અસાધારણ પ્રતિભા જોવા મળી. તેને મેઇન્ઝ શહેરના ઇલેક્ટર (રાજા પસંદ કરવાનો અધિકાર ધરાવતો રાજકુમાર) અને બાદમાં ડ્યુક ઓફ હેનોવર દ્વારા રાજદ્વારી સેવામાં આમંત્રિત કરવામાં આવે છે.
પેરિસમાં ઈલેક્ટરના વ્યવસાય પર હતા ત્યારે, લીબનીઝ ઘણા પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિકો સાથે મળ્યા. વિવિધ સમસ્યાઓની ચર્ચાઓ તેમને ગણિતમાં રસ જાગૃત કરે છે. પાછળથી, I. Bernoulli ને લખેલા પત્રમાં, તેમણે યાદ કર્યું: >. યુનિવર્સિટીમાંથી સ્નાતક થયા પછી (1666), લીબનીઝે એક દાર્શનિક અને ગાણિતિક કાર્ય પ્રકાશિત કર્યું, તેથી જ્યારે તેમના > વિશે બોલતા હતા, ત્યારે તેનો અર્થ ગણિતની નવીનતમ સિદ્ધિઓની અજ્ઞાનતા હતી. ગણિતમાં તે સમયે ઉદ્ભવતા નવા પરિણામો અને વિચારોથી પરિચિત થવા માટે, તે મદદ માટે હ્યુજેન્સ તરફ વળ્યા. તે તેને અસંખ્ય કાર્યોનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરવાની સલાહ આપે છે, અને લીબનીઝ ઈર્ષાભાવપૂર્ણ ઉત્સાહ સાથે વ્યવસાયમાં ઉતરે છે: તે સેન્ટ-વિન્સેન્ટ અને વોલિસ, ડેસકાર્ટેસ અને પાસ્કલના કાર્યોનો અભ્યાસ કરે છે અને પોતાના સંશોધનમાં વ્યસ્ત રહે છે.
પરંતુ જ્યારે તે રાજદ્વારી વ્યવસાય માટે લંડન જાય છે અને અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રીઓને તેના પરિણામોની જાણ કરે છે, ત્યારે તે જાણીને આશ્ચર્યચકિત થાય છે કે રોયલ સોસાયટીમાં રાખવામાં આવેલી ન્યૂટનની હસ્તપ્રતમાંથી આમાંના ઘણા પરિણામો તેમને પહેલેથી જ ખબર છે. લીબનીઝ, આ સોસાયટીના સેક્રેટરી, ઓલ્ડનબર્ગ (1615 - 1677) દ્વારા, ન્યૂટનને તેમના કાર્ય વિશે લખે છે. તે જ પત્રમાં તે ન્યૂટનને તેના પરિણામોની જાણ કરવા કહે છે. જવાબમાં, તેને (ફરીથી ઓલ્ડનબર્ગ દ્વારા) બે પત્રો મળે છે જેમાં ન્યૂટન શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને ભિન્નતા અને એકીકરણની કામગીરી સમજાવે છે.
લીબનિઝને નવા કેલ્ક્યુલસના ક્ષેત્રમાં તેના પરિણામો પ્રકાશિત કરવાની કોઈ ઉતાવળ નહોતી, કદાચ ન્યૂટનના પ્રકાશનોની રાહ જોઈ રહ્યા હતા. પરંતુ 1683 માં ત્શિર્નહૌઝે બીજગણિત વણાંકોના ચતુષ્કોણ પર એક લેખ પ્રકાશિત કર્યો. તે લીબનીઝના નામનો ઉલ્લેખ કરતું નથી, જો કે આ મુદ્દાઓને ઉકેલવા માટે શિરન્હૌસે તેમના માટે ઘણું ઋણી હતું. આ વિસ્તારમાં હથેળીને જાળવવા માટે, લીબનીઝ આવતા વર્ષે > અને એક વર્ષ પછી - > એક લેખ પ્રકાશિત કરે છે. તેમાંના પ્રથમમાં વિભેદક કેલ્ક્યુલસની મૂળભૂત બાબતો હતી, બીજી - અભિન્ન.
તેમણે વિભેદક ખ્યાલ પર નવા વિજ્ઞાનનો આધાર રાખ્યો. હવે બિંદુ x0 પર ફંક્શન y=f(x) નું વિભેદક df(x0) ફોર્મ્યુલા df(xo) = f"(xo)dx દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, જ્યાં f"(xb) એ બિંદુ પર ગણતરી કરાયેલ વ્યુત્પન્ન છે xo, તેમની દલીલની વૃદ્ધિ છે. લીબનિઝ વિભેદકને લાક્ષણિક ત્રિકોણના એક પગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેની ચર્ચા અગાઉના પ્રકરણ (વિભાગ 9) માં કરવામાં આવી હતી. આકૃતિ 46 થી જોઈ શકાય છે કે આ વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ છે.
લીબનીઝ સરવાળો, તફાવત, ઉત્પાદન, ભાગ, ડિગ્રીના વિભેદકની ગણતરી માટે નિયમો આપે છે અને વિભેદક સમીકરણો ઉકેલે છે. તે ભિન્નતાના સરવાળા તરીકે અભિન્નતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, ભિન્નતા અને એકીકરણની ક્રિયાઓની પરસ્પર વ્યસ્ત પ્રકૃતિ પર ભાર મૂકે છે: >. ઇન્ટિગ્રલ્સના ગુણધર્મો અને તેમની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓ ક્યાંથી આવે છે? અનુગામી લેખોમાં, લીબનીઝે એક નવું વિશ્લેષણ વિકસાવ્યું. તેમણે સાબિત કર્યું કે કોઈપણ અવિભાજ્ય કાર્ય બાઉન્ડેડ છે (સંકલિતતા માટે જરૂરી શરત), અને ચોક્કસ પ્રકારના અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમનો વિકાસ કર્યો, ખાસ કરીને, તર્કસંગત કાર્યોને એકીકૃત કરવાની પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિના મહત્વને વધારે પડતો અંદાજ આપી શકાતો નથી, કારણ કે તર્કસંગત કાર્યોના અભિન્ન ઘટકોના વિવિધ અવેજીની મદદથી વિવિધ પ્રકારના અભિન્નોને ઘટાડી શકાય છે. ચાલો આ પદ્ધતિને વધુ વિગતવાર જોઈએ.
મનસ્વી કાર્યોને એકીકૃત કરવાની સમસ્યાને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા માટે, લીબનિઝે યાંત્રિક ઉપકરણની શોધ કરી (1693) - એક સંકલનકાર. જો તમે આ ઉપકરણની એક પિનને ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે ખસેડો છો, તો બીજો એન્ટીડેરિવેટિવનો ગ્રાફ દોરે છે.
અમે હજુ પણ લીબનીઝ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલા અલ્ગોરિધમ્સ અને નોટેશન્સનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તેમજ તેમણે રજૂ કરેલા મોટાભાગના ગાણિતિક શબ્દો: ફંક્શન, વેરીએબલ, કોન્સ્ટન્ટ, કોઓર્ડિનેટ્સ, એબ્સીસા, અલ્ગોરિધમ, ડિફરન્સિયલ, વગેરે. આમાંના ઘણા શબ્દોનો ઉપયોગ પહેલા કરવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ તે ન હતો. ચોક્કસ અર્થ જે લીબનીઝે તેમને આપ્યો હતો.
આગલી સદીની શરૂઆતમાં, વિશ્લેષણની શોધની પ્રાથમિકતા વિશે ગરમ ચર્ચા શરૂ થઈ. તેનું કારણ લીબનીઝની ન્યૂટનના કાર્યની સમીક્ષા (1704) હતી, જ્યાં તેણે ન્યૂટનની વૈચારિક સમાનતા અને ફેબ્રીના અનંતના અર્થઘટન તરફ ધ્યાન દોર્યું હતું. ઓછા જાણીતા ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ઓ એન ઓ-રે ફેબરી (1607 - 1688) સાથે મહાન અંગ્રેજની આવી સરખામણીએ અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિકોના રોષનું કારણ બન્યું. (અને લીબનીઝ પાસે કોઈ અસ્પષ્ટ હેતુઓ નહોતા; ફેબ્રીનું પુસ્તક ફક્ત પેરિસિયન સમયગાળા દરમિયાન > નાબૂદ કરવામાં મદદ કરનાર થોડામાંનું એક હતું.) તેઓએ આમાં ન્યૂટનની યોગ્યતાઓનું અવમૂલ્યન જોયું, અને તેથી તે શરૂ થયું. આ વિવાદમાં, ન્યૂટનના અધિકારોનો અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા બચાવ કરવામાં આવ્યો હતો, અને ખંડીય લોકો દ્વારા લિબનીઝના અધિકારોનો બચાવ કરવામાં આવ્યો હતો. મોટાભાગના ખંડીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા લીબનીઝના સમર્થનને એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું હતું કે તેમના સંકેતો એટલા સંપૂર્ણ હતા, અને શિક્ષણ પોતે જ એટલું સુલભ હતું કે તેમને તરત જ યુરોપના ઘણા વૈજ્ઞાનિકોમાં સમર્થકો મળ્યા, જે અત્યંત દુર્લભ છે જ્યારે નવા સિદ્ધાંત દેખાય છે.
દેખીતી રીતે, તે ચોક્કસપણે આ વિવાદ હતો જે અદ્ભુત રશિયન કવિ વેલેરી બ્રાયસોવને ધ્યાનમાં હતો જ્યારે તેણે નીચેની પંક્તિઓ લખી હતી:
ઓ લીબનીઝ, ઓ ઋષિ, ભવિષ્યવાણીના પુસ્તકોના સર્જક! તમે પ્રાચીન પ્રબોધકોની જેમ વિશ્વથી ઉપર હતા. તમારી ઉંમર, તમારા પર આશ્ચર્યજનક, ભવિષ્યવાણીઓ સુધી પહોંચી ન હતી અને ખુશામત સાથે મિશ્ર ઉન્મત્ત નિંદાઓ.
હકીકતમાં, બંને પક્ષોના દાવાઓ પાયાવિહોણા હતા. બંને વૈજ્ઞાનિકો સ્વતંત્ર રીતે વિભેદક અને અભિન્ન કેલ્ક્યુલસની રચનામાં આવ્યા, અને તેમના અભિગમો સંપૂર્ણપણે અલગ હતા. ન્યુટને પાવર સીરીઝના ઉપકરણનો ઉપયોગ કર્યો અને લીબનીઝે વિભેદક ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યો. ગરમ વિવાદ એ હકીકત તરફ દોરી ગયો કે અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રીઓએ લીબનીઝ અને તેની શાળામાંથી આવતી દરેક વસ્તુની અવગણના કરી, અને ખંડીય ગણિતશાસ્ત્રીઓએ અંગ્રેજીના કાર્યની અવગણના કરી. ખંડ લીબનીઝના પ્રતીકવાદ પર આધાર રાખતો હોવાથી, જે ન્યુટન કરતાં વધુ અદ્યતન હતું, અને વૈજ્ઞાનિકો સામાન્ય વિચારો દ્વારા એક થયા હતા, પ્રકાશિત અને દરેક માટે સુલભ હતા, તેથી ન્યુટન પછીના સમયગાળામાં ખંડીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ અંગ્રેજીની સરખામણીમાં ઘણા આગળ ગયા હતા.
જો કે, લીબનીઝના ભાગ્યમાં, અંગ્રેજી અને ખંડીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ વચ્ચેની દુશ્મનાવટએ ઘાતક ભૂમિકા ભજવી હતી. ડ્યુક, જેમના માટે તેણે ગ્રંથપાલ, ઇતિહાસકાર અને જીવનચરિત્રકાર તરીકે સેવા આપી હતી, અંગ્રેજી રાજા (1714) બન્યા પછી, લંડન જવા રવાના થયા. અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રીઓ સાથેના ક્ષતિગ્રસ્ત સંબંધોને કારણે લીબનીઝ તેને અનુસરી શક્યા નહીં. વધુમાં, ડ્યુક તેના ઇતિહાસલેખકથી અસંતુષ્ટ હતો, એવું માનીને કે તેણે તેની સીધી સત્તાવાર ફરજો પર પૂરતું ધ્યાન આપ્યું નથી. લીબનીઝને ડ્યુકની લાઇબ્રેરીમાં રહેવું અને કામ કરવું પડ્યું. નવા તાજ પહેરેલા અંગ્રેજી રાજાની અણગમો એ હકીકત તરફ દોરી ગઈ કે વૈજ્ઞાનિકનું વર્તુળ ખૂબ જ પાતળું થઈ ગયું. બે વર્ષ પછી તે મૃત્યુ પામ્યો, તેની અંતિમ યાત્રામાં તેની સાથે માત્ર તેના સેક્રેટરી અને કબર ખોદનારા હતા. મહાન વૈજ્ઞાનિકના સંબંધમાં ભાગ્યનો અપમાનજનક અન્યાય, જેણે ઘણું કર્યું.
પશ્ચિમ યુરોપના ઈતિહાસમાં ફેરવાઈ ગયેલા ડ્યુકલ હાઉસના ઈતિહાસનું સંકલન કરવામાં તેમની ભારે વ્યસ્તતા અને અન્ય જવાબદારીઓ તેમને વિજ્ઞાનથી વિચલિત કરતી હોવા છતાં, લીબનિઝે ગણિત, ફિલસૂફી, જીવવિજ્ઞાન, જ્ઞાનનો સિદ્ધાંત, રાજકારણ, કાયદો અને અન્ય વિષયો પર ઘણા કાર્યો છોડી દીધા. ભાષાશાસ્ત્ર એક સારા વૈજ્ઞાનિક, તેમણે આ દરેક ક્ષેત્રોમાં અમૂલ્ય યોગદાન આપ્યું છે. કોર્ન્યુકોપિયાની જેમ તેમનામાંથી વિચારો બહાર આવ્યા: દરેક પત્ર, દરેક નોંધ અથવા લેખમાં વિચારણા હેઠળ વિજ્ઞાનના ક્ષેત્રમાં મૂળભૂત રીતે કંઈક નવું શામેલ છે, કેટલીકવાર તેના વધુ વિકાસને નિર્ધારિત કરે છે. તેમની સીધી ભાગીદારીથી ઘણું બધું કરવામાં આવ્યું હતું. બર્લિનમાં, તેમણે એક વૈજ્ઞાનિક સમાજનું આયોજન કર્યું, જે પાછળથી બર્લિન એકેડેમી ઑફ સાયન્સમાં પરિવર્તિત થયું અને તેના પ્રથમ પ્રમુખ બન્યા. તેઓ પેરિસ એકેડેમી ઓફ સાયન્સના પ્રથમ વિદેશી સભ્ય હતા. લીબનીઝ પીટર I સાથે બર્લિનમાં વારંવાર મળ્યા, જેમના માટે તેમણે રશિયામાં શિક્ષણ અને સરકારના વિકાસ માટે તેમજ સેન્ટ પીટર્સબર્ગ એકેડેમી ઓફ સાયન્સની રચના માટે સંખ્યાબંધ પ્રોજેક્ટ્સ વિકસાવ્યા.
પરંતુ તેમનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ યોગદાન ગણિતમાં હતું. તેમાં પ્રવેશ્યા પછી, તે તેને સંપૂર્ણપણે પરિવર્તિત કરવામાં સક્ષમ હતો. તેમના કાર્ય અને તેમના નજીકના સહયોગીઓના કાર્ય પછી, માત્ર ગાણિતિક વિશ્લેષણ જ દેખાતું નથી, પરંતુ તમામ ગણિત એક નવા યુગમાં પ્રવેશ્યા હતા.
1°. તે જાણીતું છે કે સતત કાર્યમાં સેગમેન્ટના દરેક બિંદુ પર શૂન્ય સમાન વ્યુત્પન્ન હોય છે. વિશ્લેષણના સંપૂર્ણ અભ્યાસક્રમોમાં વિરુદ્ધ સાબિત થાય છે, કે ફંક્શન f(x) અંતરાલ [a, b] પર સ્થિર છે જો અંતરાલના દરેક બિંદુએ તેનું વ્યુત્પન્ન f "(x) શૂન્યની બરાબર હોય.
અમે આને ભૌમિતિક રીતે સમજાવીએ છીએ. જો f" (x) = 0સેગમેન્ટના દરેક બિંદુએ [a, b],પછી ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક y=f(x) માંદરેક પોઈન્ટ x (a ≤ x ≤ b)ધરીની સમાંતર ઓહ.જ્યારે સંક્રમણ એક્સએક મૂલ્યથી તેના અનુગામી મૂલ્યો ડોટ સુધી એમ.ફંક્શનનો આલેખ, જે સ્પર્શકનો સંપર્ક બિંદુ છે, તેને જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે છે, પરંતુ બિંદુ તરફ દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં રહે છે. એમ,કારણ કે આ સંક્રમણ દરમિયાન સ્પર્શક તેની દિશા બદલી શકતું નથી. પરિણામે, સેગમેન્ટ પર [a, b]
કાર્યનો ગ્રાફ y=f(x)સીધા જાય છે MN,ધરીની સમાંતર ઓહ,અને ફંક્શનની કિંમત બરાબર છે f(a), યથાવત રહે છે.
2°. જો વચ્ચે હોય a
હકારાત્મક મૂલ્યો. પરિણામે, તેની મર્યાદા વ્યુત્પન્ન છે f "(x) -હકારાત્મક અથવા શૂન્ય સમાન
f "(x) ≥ 0
જો વચ્ચે હોય એ<хકાર્ય y=f(x)ઘટે છે, પછી વધે છે એક્સફંક્શનની દરેક અનુગામી કિંમત પાછલા એક કરતા ઓછી છે. તેથી, તે સમયે x ની કોઈપણ આપેલ કિંમત માટે વધારો Δxહકારાત્મક, વધારો Δyનકારાત્મક, વલણ Δy/Δxમાત્ર નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે અને જ્યારે ટેન્ડિંગ થાય છે Δxશૂન્ય સુધી તેની મર્યાદા તરીકે નકારાત્મક સંખ્યા અથવા શૂન્ય છે, એટલે કે.
f "(x) ≤ 0.
વ્યુત્પન્ન ની કિંમત થી f "(x)ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શકની ઢાળ જેટલી y = f(x):
f "(x) = tanφ,
અને વધતા કાર્ય માટે f "(x) = tanφ ≥ 0, પછી અક્ષ સાથે વધતા કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક રચાય છે ઓહતીવ્ર કોણ અથવા અક્ષની સમાંતર ઓહ(રેખાંકન 106). ઘટતા કાર્યમાં f "(x) = tanφ ≤ 0, ગ્રાફની સ્પર્શક અક્ષ સાથે રચાય છે ઓહસ્થૂળ કોણ અથવા ધરીની સમાંતર ઓહ(ક્રેપ.).
વચ્ચે a
વધતા (અથવા ઘટતા) કાર્યના ગ્રાફ પરના બિંદુઓ જ્યાં સ્પર્શક અક્ષની સમાંતર હોય છે બળદએ અર્થમાં અલગ બિંદુઓ છે કે તેમના એબ્સીસીસ એક સેગમેન્ટ બનાવતા નથી. ધિક્કાર. અને ધિક્કાર. આવા બિંદુઓ છે આરઅને આર 1.
3°. વિશ્લેષણના સંપૂર્ણ અભ્યાસક્રમોમાં કાર્યોમાં વધારો અને ઘટાડાના નીચેના પર્યાપ્ત સંકેતો સાબિત થાય છે:
ફંક્શન f(x) અંતરાલમાં વધે છે (અથવા ઘટાડે છે) a
1) વ્યુત્પન્ન f "(x) એ અંતરાલ a માં નકારાત્મક (અથવા હકારાત્મક નથી) નથી<х
f "(x) ≥ 0 (અથવા f "(x) ≤ 0)
2) આ અંતરાલમાં કોઈ સેગમેન્ટ નથી a 1 ≤ x ≤ b 1 (a<а 1 .
4°. ઉદાહરણ. કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો નક્કી કરો: y = x 3 - x 2 - 8x + 2.
ઉકેલ. વધતા અને ઘટતા કાર્યના સંકેતોને લાગુ કરવા માટે, અમે આ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને મૂલ્યો નક્કી કરીએ છીએ X,જેમાં તે હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે:
y" = 3x 2 - 2x - 8.
ચાલો બીજા અંશ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ કરીએ, કારણ કે પરિબળના ચિહ્નો દ્વારા ગુણાંકના ચિહ્નને શરતોના ચિહ્નો દ્વારા સરવાળાના ચિહ્ન કરતાં નક્કી કરવું વધુ સરળ છે.
ત્રિવિધ મૂળ:
|
y" =3(x+4/3)(x-2).
ગુણક x + 4/3 નકારાત્મક જ્યારે એક્સ< - 4/3 и положителен при એક્સ> - 4/3. પરિબળ X - 2 પર નકારાત્મક છે એક્સ< 2 и положителен при એક્સ> 2. બિંદુના સ્થાનના આધારે ઉત્પાદનની નિશાની એક અથવા બીજી હશે એક્સધરી પર ઓહપોઈન્ટ -4/3 અને 2 ને સંબંધિત.
પોઈન્ટ્સ -4/3 અને 2 સમગ્ર ધરીને ત્રણ જગ્યાઓમાં વિભાજીત કરે છે;
1) - ∞
દરેક અંતરાલમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરવા માટે, અમે એક કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:
| ગેપ નં. | ગેપ લાક્ષણિકતાઓ | સહી x+4/3 | સહી x-2 | સહી f'(x) | આ કાર્ય |
| - ∞ < x< - 4/3 | - | - | + | વધે છે | |
| -4/3 < x < 2 | + | - | - | ઘટે છે | |
| 2 < х < + ∞ | + | + | + | વધે છે |
પરિણામે, આ કાર્ય અંતરાલોમાં વધે છે
- ∞
આ કાર્યનો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે.
5°.કાર્ય y = x 3(ઉપકરણ) પાસે વ્યુત્પન્ન છે y = 3x 2,જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે હકારાત્મક છે X,શૂન્યથી અલગ. મુ x = 0વ્યુત્પન્ન y" = 0. કાર્ય y = x 3અંતરાલમાં વધારો - ∞
મહત્તમ અને લઘુત્તમ કાર્યો
જથ્થાના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યાઓ ટેકનોલોજીમાં મહત્વપૂર્ણ છે અને, ઉદાહરણ તરીકે સ્પષ્ટ છે, ફંક્શનની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ શોધવા માટે નીચે આવે છે.
વ્યાખ્યા. 1. ફંક્શન f(x) નું મહત્તમ x=c હોય છે જો x=c પર તેનું મૂલ્ય x=c બિંદુના અમુક પડોશમાં લીધેલા xના અન્ય મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય.
2. ફંક્શન f(x)નું ન્યૂનતમ x=c હોય છે જો x=c પર તેનું મૂલ્ય x=c બિંદુના અમુક પડોશમાં લીધેલા xના અન્ય મૂલ્ય કરતાં ઓછું હોય.
"મહત્તમ" અને "લઘુત્તમ" શબ્દોને એક સામાન્ય શબ્દ "એક્સ્ટ્રીમમ" માં જોડવામાં આવે છે.
ફંક્શનની મહત્તમ (અથવા ન્યૂનતમ) આપે છે તે દલીલ મૂલ્ય કહેવાય છે મહત્તમ (લઘુત્તમ) બિંદુ, અથવા એક આત્યંતિક બિંદુ.
ફંક્શનમાં માત્ર મહત્તમ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે ફંક્શન y = 60x- 2x 2(ફિગ. 111), અથવા માત્ર લઘુત્તમ, ઉદાહરણ તરીકે કાર્ય y = 2x+72/x(ફિગ. 112), અથવા હોય
મહત્તમ અને લઘુત્તમ, જેમ કે કાર્ય y = x 3 - - x 2 - 8x+2(રેખાંકન 108). ફંક્શનમાં અનેક મેક્સિમા અને મિનિમા હોઈ શકે છે (ફિગ. 113), અને આ કિસ્સામાં મેક્સિમા અને મિનિમા વૈકલ્પિક હોય છે. ફંક્શનમાં મહત્તમ કે લઘુત્તમ ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યો y = x 3, y = ctgx, y = a xન તો મહત્તમ કે લઘુત્તમ, કારણ કે વધતા જતા એક્સથી - ∞ થી +∞ પ્રથમ અને ત્રીજું ફંક્શન વધે છે, અને બીજું માત્ર ઘટે છે.
ફંક્શનનું મહત્તમ (ન્યૂનતમ) તેનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી. તેથી, શેતાનમાં ચિત્રિત. 113 ફંક્શન એ પોઈન્ટ ધરાવે છે સાથે.મહત્તમ કરતાં વધુ મૂલ્ય 1 M 1 સાથેઅને 3 M 2 સાથે, અને બિંદુ પર 0 થીન્યૂનતમ કરતાં ઓછું મૂલ્ય c 2 m 1, અને c 4 m 2, ન્યૂનતમ c 4 m 2મહત્તમ કરતાં વધુ 1 M 1 સાથે. આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનનું મહત્તમ (ન્યૂનતમ) સામાન્ય રીતે અંતિમ બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુએ આવેલા બિંદુઓ પરના તેના મૂલ્યોની તુલનામાં ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય છે. માત્ર તેની પૂરતી નિકટતામાં.
કાર્યની પ્રકૃતિ નક્કી કરવા અને તેની વર્તણૂક વિશે વાત કરવા માટે, વધારો અને ઘટાડાના અંતરાલો શોધવા જરૂરી છે. આ પ્રક્રિયાને કાર્ય સંશોધન અને ગ્રાફિંગ કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો શોધતી વખતે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, કારણ કે તેમના પર ફંક્શન અંતરાલથી વધે છે અથવા ઘટે છે.
આ લેખ વ્યાખ્યાઓ દર્શાવે છે, અંતરાલમાં વધારો અને ઘટાડાનો પૂરતો સંકેત અને એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટેની શરત બનાવે છે. આ ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે લાગુ પડે છે. ફંક્શનને અલગ પાડવા પરનો વિભાગ પુનરાવર્તિત થવો જોઈએ, કારણ કે ઉકેલને વ્યુત્પન્ન શોધવાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડશે.
Yandex.RTB R-A-339285-1 વ્યાખ્યા 1
જ્યારે કોઈપણ x 1 ∈ X અને x 2 ∈ X, x 2 > x 1 માટે, અસમાનતા f (x 2) > f (x 1) સંતુષ્ટ થાય ત્યારે કાર્ય y = f (x) અંતરાલ x પર વધશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
વ્યાખ્યા 2
ફંક્શન y = f (x) એ અંતરાલ x પર ઘટતું માનવામાં આવે છે જ્યારે, કોઈપણ x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 માટે, સમાનતા f (x 2) > f (x 1) સાચું માનવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મોટી ફંક્શન વેલ્યુ નાની દલીલ મૂલ્યને અનુરૂપ છે. નીચેની આકૃતિનો વિચાર કરો.
ટિપ્પણી: જ્યારે વધતા અને ઘટવાના અંતરાલના અંતે ફંક્શન નિશ્ચિત અને સતત હોય છે, એટલે કે (a; b), જ્યાં x = a, x = b, બિંદુઓને વધતા અને ઘટવાના અંતરાલમાં સમાવવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યાનો વિરોધાભાસ કરતું નથી, તેનો અર્થ એ છે કે તે અંતરાલ x પર થાય છે.
પ્રકાર y = sin x ના પ્રાથમિક કાર્યોના મુખ્ય ગુણધર્મો દલીલોના વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે નિશ્ચિતતા અને સાતત્ય છે. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે અંતરાલ પર સાઈન વધે છે - π 2; π 2, પછી સેગમેન્ટમાં વધારો ફોર્મ ધરાવે છે - π 2; π 2.
વ્યાખ્યા 3બિંદુ x 0 કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુકાર્ય y = f (x) માટે, જ્યારે x ના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા f (x 0) ≥ f (x) માન્ય હોય છે. મહત્તમ કાર્યએક બિંદુ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય છે, અને તે y m a x દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
બિંદુ x 0 એ કાર્ય y = f (x) માટે લઘુત્તમ બિંદુ કહેવાય છે, જ્યારે x ના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા f (x 0) ≤ f (x) માન્ય હોય છે. ન્યૂનતમ કાર્યોએક બિંદુ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય છે, અને y m i n ફોર્મનું હોદ્દો ધરાવે છે.
બિંદુ x 0 ની પડોશીઓ ગણવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ,અને ફંક્શનનું મૂલ્ય જે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટને અનુરૂપ છે. નીચેની આકૃતિનો વિચાર કરો.
ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત સાથે ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમા. નીચેની આકૃતિનો વિચાર કરો.
પ્રથમ આકૃતિ કહે છે કે સેગમેન્ટ [a; b] તે મહત્તમ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે અને તે કાર્યના મહત્તમ મૂલ્યની બરાબર છે, અને બીજી આકૃતિ x = b પર મહત્તમ બિંદુ શોધવા જેવી છે.
કાર્યને વધારવા અને ઘટાડવા માટે પૂરતી શરતો
ફંક્શનના મેક્સિમા અને મિનિમા શોધવા માટે, જ્યારે ફંક્શન આ શરતોને સંતોષે છે ત્યારે તે કિસ્સામાં એક્સ્ટ્રીમમના ચિહ્નો લાગુ કરવા જરૂરી છે. પ્રથમ ચિહ્ન સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું માનવામાં આવે છે.
એક્સ્ટ્રીમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિ
વ્યાખ્યા 4એક ફંક્શન y = f (x) આપવા દો, જે બિંદુ x 0 ના ε પડોશમાં અલગ કરી શકાય તેવું છે, અને આપેલ બિંદુ x 0 પર સાતત્ય ધરાવે છે. અહીંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ
- જ્યારે f " (x) > 0 સાથે x ∈ (x 0 - ε; x 0) અને f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- જ્યારે f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) માટે 0, તો x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે ચિહ્ન સેટ કરવા માટે તેમની શરતો મેળવીએ છીએ:
- જ્યારે ફંક્શન બિંદુ x 0 પર સતત હોય છે, ત્યારે તેમાં બદલાતા ચિહ્ન સાથે વ્યુત્પન્ન હોય છે, એટલે કે + થી -, જેનો અર્થ થાય છે કે બિંદુને મહત્તમ કહેવામાં આવે છે;
- જ્યારે ફંક્શન બિંદુ x 0 પર સતત હોય છે, ત્યારે તેમાં - થી + બદલાતા ચિહ્ન સાથે વ્યુત્પન્ન હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે બિંદુ લઘુત્તમ કહેવાય છે.
કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓને યોગ્ય રીતે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે તેમને શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:
- વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો;
- આ વિસ્તાર પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો;
- શૂન્ય અને બિંદુઓ ઓળખો જ્યાં કાર્ય અસ્તિત્વમાં નથી;
- અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરવી;
- બિંદુઓ પસંદ કરો જ્યાં કાર્ય ચિહ્ન બદલાય છે.
ચાલો ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધવાના ઘણા ઉદાહરણો હલ કરીને અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ.
ઉદાહરણ 1
આપેલ કાર્ય y = 2 (x + 1) 2 x - 2 ના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ શોધો.
ઉકેલ
આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન x = 2 સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ અને મેળવીએ:
y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2
અહીંથી આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનના શૂન્ય x = - 1, x = 5, x = 2 છે, એટલે કે, દરેક કૌંસ શૂન્ય સાથે સમાન હોવું જોઈએ. ચાલો તેને નંબર અક્ષ પર ચિહ્નિત કરીએ અને મેળવીએ:
હવે આપણે દરેક અંતરાલમાંથી વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ. અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ બિંદુ પસંદ કરવું અને તેને અભિવ્યક્તિમાં બદલવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, પોઇન્ટ x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.
અમે તે મેળવીએ છીએ
y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, જેનો અર્થ છે કે અંતરાલ - ∞ - 1 ની સમાન રીતે, આપણે તે શોધીએ છીએ.
y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
બીજું અંતરાલ શૂન્ય કરતાં ઓછું હોવાનું બહાર આવ્યું હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે અંતરાલ પરનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હશે. માઈનસ સાથે ત્રીજો, વત્તા સાથે ચોથો. સાતત્ય નક્કી કરવા માટે, તમારે વ્યુત્પન્નના સંકેત પર ધ્યાન આપવાની જરૂર છે, જો તે બદલાય છે, તો આ એક આત્યંતિક બિંદુ છે.
અમે શોધીએ છીએ કે બિંદુ x = - 1 પર કાર્ય સતત રહેશે, જેનો અર્થ છે કે વ્યુત્પન્ન + થી - માં ચિહ્ન બદલશે. પ્રથમ સંકેત મુજબ, આપણી પાસે તે x = - 1 એ મહત્તમ બિંદુ છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે મેળવીએ છીએ
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
બિંદુ x = 5 સૂચવે છે કે કાર્ય સતત છે, અને વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન – થી + માં બદલાશે. આનો અર્થ એ છે કે x = -1 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, અને તેના નિર્ધારણનું સ્વરૂપ છે
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
ગ્રાફિક છબી
જવાબ: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.
એ હકીકત પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે કે એક્સ્ટ્રીમમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત માપદંડનો ઉપયોગ કરવા માટે બિંદુ x 0 પર ફંક્શનને અલગ કરવાની જરૂર નથી, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.
ઉદાહરણ 2
કાર્ય y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 ના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ શોધો.
ઉકેલ.
ફંક્શનનું ડોમેન એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. આ ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે લખી શકાય છે:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
પછી તમારે વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
બિંદુ x = 0 માં વ્યુત્પન્ન નથી, કારણ કે એકતરફી મર્યાદાના મૂલ્યો અલગ છે. અમને તે મળે છે:
લિમ y "x → 0 - 0 = લિમ y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 લિમ y " x → 0 + 0 = લિમ y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
તે અનુસરે છે કે કાર્ય x = 0 બિંદુ પર સતત છે, પછી આપણે ગણતરી કરીએ છીએ
લિમ y x → 0 - 0 = લિમ x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 લિમ y x → 0 + 0 = લિમ x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
જ્યારે વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બને ત્યારે દલીલનું મૂલ્ય શોધવા માટે ગણતરીઓ કરવી જરૂરી છે:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
દરેક અંતરાલની નિશાની નક્કી કરવા માટે તમામ પ્રાપ્ત બિંદુઓને સીધી રેખા પર ચિહ્નિત કરવું આવશ્યક છે. તેથી, દરેક અંતરાલ માટે મનસ્વી બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 મૂલ્યો સાથે પોઈન્ટ લઈ શકીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ
y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
સીધી રેખા પરની છબી જેવી લાગે છે
આનો અર્થ એ છે કે અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે એક ચરમસીમાના પ્રથમ સંકેતનો આશરો લેવો જરૂરી છે. ચાલો ગણતરી કરીએ અને તે શોધીએ
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , પછી અહીંથી મહત્તમ બિંદુઓની કિંમતો x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 છે.
ચાલો ન્યૂનતમની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
ચાલો ફંક્શનના મેક્સિમાની ગણતરી કરીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
ગ્રાફિક છબી
જવાબ:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y 27 x3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
જો ફંક્શન f "(x 0) = 0 આપવામાં આવે છે, તો જો f "" (x 0) > 0 હોય, તો આપણે મેળવીએ છીએ કે x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે જો f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
ઉદાહરણ 3
ફંક્શન y = 8 x x + 1 ના મેક્સિમા અને મિનિમા શોધો.
ઉકેલ
પ્રથમ, આપણે વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ
D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
કાર્યને અલગ પાડવું જરૂરી છે, જેના પછી આપણે મેળવીએ છીએ
y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
x = 1 પર, વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બની જાય છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ સંભવિત છેડો છે. સ્પષ્ટ કરવા માટે, બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવું અને x = 1 પર મૂલ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. અમને મળે છે:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0
આનો અર્થ એ છે કે એક્સ્ટ્રીમમ માટે 2 પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ કે x = 1 મહત્તમ બિંદુ છે. નહિંતર, એન્ટ્રી y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 જેવી લાગે છે.
ગ્રાફિક છબી
જવાબ: y m a x = y (1) = 4..
વ્યાખ્યા 5ફંક્શન y = f (x) એ આપેલ બિંદુ x 0 ના ε પડોશમાં nમા ક્રમ સુધી તેનું વ્યુત્પન્ન છે અને બિંદુ x 0 પર n + 1 લી ક્રમ સુધી તેનું વ્યુત્પન્ન છે. પછી f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
તે અનુસરે છે કે જ્યારે n એક સમ સંખ્યા હોય, તો x 0 એ વિવર્તન બિંદુ માનવામાં આવે છે, જ્યારે n એક વિષમ સંખ્યા હોય, તો x 0 એ એક્સ્ટ્રીમમ બિંદુ હોય છે, અને f (n + 1) (x 0) > 0, પછી x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
ઉદાહરણ 4
કાર્ય y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 ના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ શોધો.
ઉકેલ
મૂળ ફંક્શન એ એક તર્કસંગત સમગ્ર કાર્ય છે, જેનો અર્થ છે કે વ્યાખ્યાનું ડોમેન બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. કાર્યને અલગ પાડવું જરૂરી છે. અમે તે મેળવીએ છીએ
y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
આ વ્યુત્પન્ન x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 પર શૂન્ય પર જશે. એટલે કે, પોઈન્ટ શક્ય એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ હોઈ શકે છે. હાથપગ માટે ત્રીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ લાગુ કરવી જરૂરી છે. બીજું ડેરિવેટિવ શોધવાથી તમે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ ફંક્શનની હાજરીને ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકો છો. બીજા ડેરિવેટિવની ગણતરી તેના સંભવિત સીમાના બિંદુઓ પર કરવામાં આવે છે. અમે તે મેળવીએ છીએ
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
આનો અર્થ એ છે કે x 2 = 5 7 એ મહત્તમ બિંદુ છે. 3જી પર્યાપ્ત માપદંડ લાગુ કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે n = 1 અને f (n + 1) 5 7 માટે< 0 .
બિંદુઓની પ્રકૃતિ નક્કી કરવી જરૂરી છે x 1 = - 1, x 3 = 3. આ કરવા માટે, તમારે ત્રીજું વ્યુત્પન્ન શોધવાની અને આ બિંદુઓ પર મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. અમે તે મેળવીએ છીએ
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
આનો અર્થ એ છે કે x 1 = - 1 એ ફંક્શનનો ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટ છે, કારણ કે n = 2 અને f (n + 1) (- 1) ≠ 0 માટે. બિંદુ x 3 = 3 ની તપાસ કરવી જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અમે 4 થી વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને આ બિંદુએ ગણતરીઓ કરીએ છીએ:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
ઉપર જે નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું તેના પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે x 3 = 3 એ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ગ્રાફિક છબી
જવાબ: x 2 = 5 7 એ મહત્તમ બિંદુ છે, x 3 = 3 એ આપેલ કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે.
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
કાર્યના સ્થાનિક વધારો અને ઘટાડાના ચિહ્નો.
ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવાના મુખ્ય કાર્યોમાંનું એક તેના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને શોધવાનું છે. આવો અભ્યાસ વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી કરી શકાય છે. ચાલો અનુરૂપ નિવેદનો ઘડીએ.
કાર્યક્ષમતા વધારવાની પૂરતી નિશાની.
જો અંતરાલ I ના દરેક બિંદુએ f’(x) > 0 હોય, તો ફંક્શન f I દ્વારા વધે છે.
ઘટતા કાર્યનું પર્યાપ્ત સંકેત.
જો f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
આ ચિહ્નોનો પુરાવો લેગ્રેન્જ ફોર્મ્યુલાના આધારે હાથ ધરવામાં આવે છે (ફકરો 19 જુઓ). કોઈપણ બે સંખ્યા x લો 1 અને x 2 અંતરાલ થી. ચાલો એક્સ 1
(1)
સંખ્યા c એ અંતરાલ I નો છે, કારણ કે પોઈન્ટ x છે 1 અને x 2 I નું છે. જો x∈I માટે f"(x)>0 તો f’(c)>0, અને તેથી F(x) 1 )
ચિહ્નોનો દ્રશ્ય અર્થ ભૌતિક તર્કથી સ્પષ્ટ છે (ચોક્કસતા માટે, ચાલો આપણે વૃદ્ધિના સંકેતને ધ્યાનમાં લઈએ).
ટી સમયે ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ફરતા બિંદુને ઓર્ડિનેટ y = f(t) હોવા દો. પછી ટી સમયે આ બિંદુની ઝડપ f"(t) ની બરાબર છે (જુઓ.ત્વરિત ગતિ ). જો અંતરાલ t થી સમયની દરેક ક્ષણે f’(t)>0 હોય, તો બિંદુ ઓર્ડિનેટ અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં ખસે છે, એટલે કે જો t 1
નોંધ 1.
જો ફંક્શન f વધતા (ઘટાતા) અંતરાલના કોઈપણ છેડે સતત હોય, તો આ બિંદુ આ અંતરાલ સાથે જોડાયેલ છે.
નોંધ 2.
અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે f" (x)>0 અને f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
એક બિંદુ પર કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો.
એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ
એક બિંદુ પર ફંક્શન g(x) ની સીમા (મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ) હોય છે જો કાર્ય બિંદુના બે બાજુવાળા પડોશમાં અને અમુક પ્રદેશના તમામ બિંદુ x માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: , અસમાનતા તે મુજબ સંતુષ્ટ છે
(મહત્તમ કિસ્સામાં) અથવા (લઘુત્તમ કિસ્સામાં).
ફંક્શનની સીમા શરતમાંથી શોધી શકાય છે: જો વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે, એટલે કે. આપણે ફંક્શનના પ્રથમ ડેરિવેટિવને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ.
એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ
1) પ્રથમ પૂરતી સ્થિતિ:
a) f(x) એ એક સતત કાર્ય છે અને તે બિંદુના કેટલાક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જેમ કે આ બિંદુ પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શૂન્યની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
b) f(x) નું સ્પષ્ટીકરણ અને કાર્યની સાતત્યની નજીકમાં મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન છે
c) વ્યુત્પન્ન બિંદુની જમણી બાજુએ અને તે જ બિંદુની ડાબી બાજુએ ચોક્કસ ચિહ્ન જાળવી રાખે છે, પછી બિંદુને નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે
આ સ્થિતિ ખૂબ અનુકૂળ નથી, કારણ કે તમારે ઘણી શરતો તપાસવાની અને કોષ્ટકને યાદ રાખવાની જરૂર છે, પરંતુ જો ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે કંઈ કહેવામાં આવતું નથી, તો ફંક્શનના અંતિમ ભાગને શોધવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો છે.
2) બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ
જો ફંક્શન g(x) માં બીજું ડેરિવેટિવ હોય અને અમુક સમયે પહેલું ડેરિવેટિવ શૂન્ય બરાબર હોય અને બીજું ડેરિવેટિવ શૂન્યથી અલગ હોય. પછી નિર્દેશ કાર્યની સીમા g(x), અને જો , તો બિંદુ મહત્તમ છે; જો, તો બિંદુ ન્યૂનતમ છે.
