સપ્રમાણ પોલિહેડ્રા. અવકાશમાં સમપ્રમાણતા

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

નિયમિત પોલિહેડ્રા ભૂમિતિની સમપ્રમાણતાના તત્વો. 10મા ધોરણ.

ટેટ્રાહેડ્રોન - (ગ્રીક ટેટ્રામાંથી - ચાર અને હેડ્રા - ચહેરો) - 4 સમભુજ ત્રિકોણથી બનેલો નિયમિત પોલિહેડ્રોન. નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે ટેટ્રેહેડ્રોનની બધી કિનારીઓ સમાન લંબાઈ ધરાવે છે, અને ચહેરા સમાન વિસ્તાર ધરાવે છે. ટેટ્રેહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના તત્વો ટેટ્રેહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના ત્રણ અક્ષો હોય છે જે છેદતી કિનારીઓનાં મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના 6 વિમાનો હોય છે, જેમાંથી પ્રત્યેક ટેટ્રેહેડ્રોનની ધારથી તેની સાથે છેદે છે તે ધારને લંબરૂપ હોય છે.

ઓક્ટાહેડ્રોન - (ગ્રીકમાંથી ઓક્ટો - આઠ અને હેડ્રા - ચહેરો) - 8 સમભુજ ત્રિકોણથી બનેલો નિયમિત બહુહેડ્રોન. એક ઓક્ટાહેડ્રોનમાં 6 શિરોબિંદુઓ અને 12 ધાર હોય છે. ઓક્ટાહેડ્રોનનું દરેક શિરોબિંદુ 4 ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ છે, તેથી અષ્ટકોણના શિરોબિંદુ પરના સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 240° છે. ઓક્ટાહેડ્રોનની સપ્રમાણતાના તત્વો અષ્ટાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના 9 અક્ષોમાંથી ત્રણ વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, છ ધારની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે. ઓક્ટાહેડ્રોનની સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષોના આંતરછેદનું બિંદુ છે. ટેટ્રાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના 9 પ્લેનમાંથી ત્રણ એક જ પ્લેનમાં પડેલા અષ્ટાહેડ્રોનના દરેક 4 શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. સમપ્રમાણતાના છ વિમાનો બે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે જે સમાન ચહેરા અને વિરુદ્ધ ધારના મધ્યબિંદુઓથી સંબંધિત નથી.

Icosahedron - (ગ્રીક ico - six અને hedra - face માંથી) 20 નિયમિત ત્રિકોણથી બનેલું નિયમિત બહિર્મુખ બહુહેડ્રોન. આઇકોસાહેડ્રોનના 12 શિરોબિંદુઓમાંથી દરેક 5 સમબાજુ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ છે, તેથી શિરોબિંદુ પરના ખૂણાઓનો સરવાળો 300° છે. સમપ્રમાણતાના તત્વો અને કોસેહેડ્રોન નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના 15 અક્ષો હોય છે, જેમાંથી પ્રત્યેક વિરુદ્ધ સમાંતર ધારના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. આઇકોસાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના તમામ અક્ષોના આંતરછેદનું બિંદુ એ તેની સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. સમપ્રમાણતાના 15 વિમાનો એક જ સમતલમાં પડેલા ચાર શિરોબિંદુઓ અને વિરુદ્ધ સમાંતર ધારના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

ક્યુબ અથવા હેક્ઝાહેડ્રોન (ગ્રીક હેક્સ - સિક્સ અને હેડ્રા - ફેસમાંથી) 6 ચોરસથી બનેલું છે. ક્યુબના 8 શિરોબિંદુઓમાંથી દરેક 3 ચોરસનું શિરોબિંદુ છે, તેથી દરેક શિરોબિંદુ પરના સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 270 0 છે. એક ક્યુબમાં સમાન લંબાઈની 12 કિનારીઓ હોય છે. ક્યુબની સપ્રમાણતાના તત્વો સમઘનની સપ્રમાણતાની અક્ષ કાં તો સમાન ચહેરા સાથે સંબંધિત ન હોય તેવા સમાંતર કિનારીઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી અથવા વિરુદ્ધ ચહેરાના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુમાંથી પસાર થઈ શકે છે. સમઘનનું સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર તેના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે. સમપ્રમાણતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમપ્રમાણતાના 9 અક્ષો છે. ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાના 9 વિમાનો પણ હોય છે અને તે કાં તો વિરુદ્ધ ધારમાંથી પસાર થાય છે (આવા 6 વિમાનો હોય છે) અથવા વિરુદ્ધ ધારના મધ્યભાગમાંથી પસાર થાય છે (આમાંથી 3 છે).

ડોડેકાહેડ્રોન (ગ્રીક ડોડેકામાંથી - બાર અને હેડ્રા - ચહેરો) એ 12 સમભુજ પંચકોણથી બનેલો નિયમિત પોલિહેડ્રોન છે. ડોડેકાહેડ્રોનમાં 20 શિરોબિંદુઓ અને 30 કિનારીઓ છે. ડોડેકાહેડ્રોનનું શિરોબિંદુ એ ત્રણ પંચકોણનું શિરોબિંદુ છે, આમ દરેક શિરોબિંદુ પરના સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 324 0 છે. ડોડેકાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના તત્વો ડોડેકાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર અને સપ્રમાણતાના 15 અક્ષો છે. પ્રત્યેક અક્ષ વિરોધી સમાંતર ધારના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ડોડેકાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના 15 વિમાનો છે. સમપ્રમાણતાના કોઈપણ વિમાનો દરેક ચહેરામાં વિરુદ્ધ ધારની ટોચ અને મધ્યમાંથી પસાર થાય છે.

નિયમિત પોલિહેડ્રાના વિકાસ એ ડેવલપમેન્ટ એ અનેક કિનારીઓ સાથે કાપ કર્યા પછી પ્લેન પર પોલિહેડ્રોન વિકસાવવાનો એક માર્ગ છે. વિકાસ એ સપાટ બહુકોણ છે જે નાના બહુકોણથી બનેલો છે - મૂળ પોલિહેડ્રોનના ચહેરાઓ. સમાન પોલિહેડ્રોનમાં વિવિધ વિકાસ હોઈ શકે છે.

પાઠનું પદ્ધતિસરનું સમર્થન. વિષય પરની માહિતીના વ્યવસ્થિતકરણનો સારાંશ આપતી વખતે ભૌતિકશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર, MHC, જીવવિજ્ઞાનના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને ભૂમિતિના પાઠમાં: “અવકાશમાં સમપ્રમાણતા. નિયમિત પોલિહેડ્રા. નિયમિત પોલિહેડ્રાની સમપ્રમાણતાના તત્વો"

"સપ્રમાણતા" અને તેના પ્રકારોની વિભાવનાનો પરિચય, નિયમિત પોલિહેડ્રાની સપ્રમાણતાના તત્વો;

આપણી આસપાસની દુનિયામાં સમપ્રમાણતાના અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ કરવો;

માનવ પ્રવૃત્તિના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સમપ્રમાણતાના ઉપયોગ માટેની સંભાવનાઓ.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

વિષય પર પાઠનો વિકાસ: “અવકાશમાં સમપ્રમાણતા. નિયમિત પોલિહેડ્રા. નિયમિત પોલિહેડ્રાની સમપ્રમાણતાના તત્વો".

પાઠનું પદ્ધતિસરનું સમર્થન.

વિષય પરની માહિતીના વ્યવસ્થિતકરણનો સારાંશ આપતી વખતે ભૂમિતિના પાઠમાં ભૌતિકશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર, MHC, જીવવિજ્ઞાનના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવો"અવકાશમાં સમપ્રમાણતા. નિયમિત પોલિહેડ્રા. નિયમિત પોલિહેડ્રાની સમપ્રમાણતાના તત્વો"

પાઠનો પ્રકાર: વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાન, કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓને લાગુ પાડવાનો પાઠ.

પાઠ હેતુઓ:

1. શૈક્ષણિક: નિયમિત પોલિહેડ્રા અને તેમના સપ્રમાણતા તત્વો વિશેની માહિતીનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ, અવકાશમાં સપ્રમાણતાનો ઉપયોગ.
2. શૈક્ષણિક:

સાહિત્યિક ભાષાનો ઉપયોગ કરીને પોતાના વિચારોને તાર્કિક રીતે વ્યક્ત કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;

દલીલ કુશળતાનો વિકાસ;

સાંભળવાની કુશળતાનો વિકાસ અને શ્રવણ દરમિયાન ધ્યાનનું વિતરણ;

સ્પષ્ટતા કરતા પ્રશ્નો પૂછવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;

બિન-માનક પરિસ્થિતિઓમાં જ્ઞાન હસ્તગત કુશળતાનો વિકાસ;

મુખ્ય વસ્તુને પ્રકાશિત કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો, સરખામણી કરો, સામાન્ય કરો;

અમૂર્ત અને દ્રશ્ય-અલંકારિક વિચારસરણીનો વિકાસ.

1. શૈક્ષણિક: વિષય પ્રત્યે પ્રેમને ઉત્તેજન આપવું, સભાન શિસ્તને પ્રોત્સાહન આપવું, નિયંત્રણ અને સ્વ-નિયંત્રણ કુશળતા વિકસાવવી, ટીમમાં જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિમાં વધારો કરવો અને સહકાર કુશળતા વિકસાવવી, આંતરશાખાકીય સંચાર. સૌંદર્ય, સૌંદર્યલક્ષી શિક્ષણ માટે લાગણીઓ ઉભી કરવી.

શીખવાના સિદ્ધાંતો.

ઉપદેશાત્મક:

1. પ્રશિક્ષણની વ્યવસ્થિતતા અને સુસંગતતા.
2. સુલભતા (વિદ્યાર્થી જ્ઞાન પર નિર્ભરતા).
3. તાલીમનું વ્યક્તિગતકરણ (વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સામગ્રીની ધારણાના મનોવૈજ્ઞાનિક પ્રકારોને ધ્યાનમાં લેતા, સોંપણીઓ માટે ઉપદેશાત્મક સામગ્રીનો તફાવત).
4. વૈજ્ઞાનિક.
5. સિદ્ધાંત અને પ્રેક્ટિસ વચ્ચેનું જોડાણ.

પાઠ સાધનો (શિક્ષણ સહાય).

1. મેગ્નેટિક બોર્ડ.
2. પોલિહેડ્રાના નમૂનાઓ, નિયમિત પોલિહેડ્રાના નમૂનાઓ. ટેબલ.
3. આઇસીટી.
4. કાર્ય કાર્ડ્સ.
5. વિદ્યાર્થીઓના ડેસ્ક પર: પાઠયપુસ્તકો, નોટબુક, પેન અને પેન્સિલો, શાસકો. સહાયક નોંધો.

પાઠ માળખું:

1. સંસ્થાકીય તબક્કો.
2. હોમવર્ક ચકાસણી સ્ટેજ.
3. જ્ઞાનના સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણનો તબક્કો.
4. પાઠનો સારાંશ.
5. વિદ્યાર્થીઓને હોમવર્ક વિશે માહિતી આપવાનો તબક્કો, તેને કેવી રીતે પૂર્ણ કરવું તેની સૂચનાઓ.

આ પાઠમાં શીખવાની પ્રવૃત્તિઓનું નિરીક્ષણ કરવાની પદ્ધતિઓ:

1. મૌખિક અને લેખિત.
2. આગળનો, જૂથ, વ્યક્તિગત.
3. અંતિમ નિયંત્રણ.

પાઠની પ્રગતિ.

1. સંસ્થાકીય તબક્કો.

શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે પરસ્પર શુભેચ્છા.

પાઠના વિષયની જાણ કરવી, પાઠ માટે કાર્યની યોજના, વિષય પરની માહિતીનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ.

એક ધ્યેય સુયોજિત.

1. હોમવર્ક ચકાસણી સ્ટેજ. પોલિહેડ્રાના ખાલી મોડેલો.
2. વ્યાપક જ્ઞાન પરીક્ષણનો તબક્કો.

1. પરસ્પર ચકાસણી સાથે ગાણિતિક શ્રુતલેખન (લેખિતમાં અને કાર્ડ શિક્ષકને સોંપવામાં આવે છે). પરિશિષ્ટ 1.
2. આગળનો સર્વે:

1. પ્લાનિમેટ્રીમાં સમપ્રમાણતા.
2. સમપ્રમાણતાના પ્રકારો.
3. સમપ્રમાણતાની મિલકત.
4. આકૃતિઓ કે જે પોતાને માટે સપ્રમાણ છે.

1. પાઠ યોજના.

લક્ષ્યો:

1. "સપ્રમાણતા" અને તેના પ્રકારોની વિભાવનાનો પરિચય, નિયમિત પોલિહેડ્રાની સપ્રમાણતાના તત્વો;
2. આપણી આસપાસની દુનિયામાં સમપ્રમાણતાના અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ કરવો;
3. માનવ પ્રવૃત્તિના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સમપ્રમાણતાના ઉપયોગ માટેની સંભાવનાઓ.

1. અવકાશમાં સમપ્રમાણતા. ચર્ચા સાથે શિક્ષકની વાર્તા.
2. પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતા. વિદ્યાર્થી પ્રદર્શન. વિદ્યાર્થીઓના પ્રશ્નોના જવાબો.
3. કલામાં સમપ્રમાણતા: આર્કિટેક્ચર, શિલ્પ, પેઇન્ટિંગ. વિદ્યાર્થી પ્રદર્શન. વિદ્યાર્થીઓના પ્રશ્નોના જવાબો.
4. નિયમિત પોલિહેડ્રા. તૈયાર મોડેલ પર આધારિત વિદ્યાર્થીની વાર્તા.

વિદ્યાર્થીઓને પ્રશ્નો અગાઉથી આપવામાં આવે છે.

પ્રશ્નો અને સોંપણીઓ.

સામાન્ય:

1. પોલિહેડ્રોનનો ખ્યાલ.
2. પિરામિડ ખ્યાલ. મોડેલો બનાવો.
3. પ્રિઝમનો ખ્યાલ. મોડેલો બનાવો.

વ્યક્તિગત:

1. સંદર્ભ સાહિત્યમાંથી, નિયમિત પોલિહેડ્રા વિશે સામગ્રીની પસંદગી કરો.
2. સંદેશાઓ તૈયાર કરો: "અવકાશમાં સમપ્રમાણતા", "પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતા", "કળામાં સમપ્રમાણતા".
3. નિયમિત પોલિહેડ્રાના મોડેલો બનાવો.

જૂથ:

1. અવકાશ, પ્રકૃતિ અને કલામાં સમપ્રમાણતાના ઉપયોગના ઉદાહરણો આપો.
2. પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક પ્લેટો વિશે માહિતી તૈયાર કરો.

1. અવકાશમાં સમપ્રમાણતા.

"સપ્રમાણતા….એ એવો વિચાર છે કે જેની સાથે માણસે સદીઓથી ક્રમ, સુંદરતા અને સંપૂર્ણતા સમજાવવા અને બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો છે." આ શબ્દો પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી હર્મન વેઈલના છે.

પ્લેનિમેટ્રીમાં આપણે બિંદુ અને રેખાને સંબંધિત આંકડાઓ જોયા. સ્ટીરીઓમેટ્રીમાં, બિંદુ, રેખા અને સમતલના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા ગણવામાં આવે છે.

1. પોઈન્ટ A અને A 1 બિંદુ O (સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવાય છે, જો O એ સેગમેન્ટ AA ની મધ્યમાં હોય 1 . બિંદુ ઓરેખાંકન.
2. પોઈન્ટ A અને A 1 સીધી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવાય છેએ (સપ્રમાણતાની અક્ષ), જો કોઈ સીધી રેખા AA ખંડના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે 1 અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે. દરેક બિંદુ સીધા છેએ પોતાને માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે.રેખાંકન. પર્ણ, સ્નોવફ્લેક, બટરફ્લાય અક્ષીય સમપ્રમાણતાના ઉદાહરણો છે. પરિશિષ્ટ 2.
3. દરરોજ, આપણામાંના દરેક દિવસમાં ઘણી વખત અરીસામાં પ્રતિબિંબ જુએ છે. તે એટલું સામાન્ય છે કે આપણે આશ્ચર્ય પામતા નથી, આપણે પ્રશ્નો પૂછતા નથી, આપણે શોધ કરતા નથી. જર્મન ફિલસૂફ ઈમેન્યુઅલ કાન્ટે અરીસાના પ્રતિબિંબ વિશે આ રીતે વાત કરી: “મારા હાથ કે મારા કાન જેવા અરીસામાં તેમના પોતાના પ્રતિબિંબ કરતાં વધુ શું હોઈ શકે? અને છતાં હું અરીસામાં જોઉં છું તે હાથ કાયમી હાથની જગ્યાએ મૂકી શકાતો નથી ..."

આ પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા છે.

પોઈન્ટ A અને A 1 પ્લેનની તુલનામાં સપ્રમાણ કહેવાય છે(સપ્રમાણતાનું પ્લેન), જો પ્લેનસેગમેન્ટ AA ના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે 1 અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે. પ્લેન દરેક બિંદુપોતાને માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે.રેખાંકન.

1. ચાલો આકૃતિની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર, અક્ષ અને સમતલની વિભાવનાઓ રજૂ કરીએ.

એક બિંદુ (સીધી રેખા, સમતલ) ને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અક્ષ, સમતલ) કહેવામાં આવે છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય. જો કોઈ આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અક્ષ, સમતલ) હોય, તો તેને કેન્દ્રીય (અક્ષીય, અરીસા) સપ્રમાણતા કહેવાય છે.

1. પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતા.

“એકવાર, બ્લેક બોર્ડની સામે ઉભા રહીને તેના પર ચાક વડે વિવિધ આકૃતિઓ દોરતા, મને અચાનક વિચાર આવ્યો: શા માટે સપ્રમાણતા આંખને આનંદ આપે છે? સમપ્રમાણતા શું છે? આ એક જન્મજાત લાગણી છે, મેં મારી જાતને જવાબ આપ્યો. તે શેના પર આધારિત છે? શું જીવનમાં દરેક વસ્તુમાં સમપ્રમાણતા છે? - નિકોલેન્કા ઇર્ટેનેવે એલ. ટોલ્સટોયના "કિશોરવસ્થા" માંથી પ્રશ્નો પૂછ્યા.

પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતા શા માટે શાસન કરે છે? સુક્ષ્મજીવાણુઓથી લઈને મનુષ્યો સુધીની દરેક વસ્તુ સપ્રમાણ કેમ છે?

પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતાનું વર્ચસ્વ સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં કાર્ય કરી રહેલા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે. ગુરુત્વાકર્ષણની ક્રિયા અથવા તેની ગેરહાજરી એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે બ્રહ્માંડમાં તરતા બંને કોસ્મિક બોડીઓ અને પાણીમાં લટકેલા સૂક્ષ્મજીવોમાં સમપ્રમાણતાનું ઉચ્ચતમ સ્વરૂપ છે - ગોળાકાર (આકૃતિના કેન્દ્રને સંબંધિત કોઈપણ પરિભ્રમણ સાથે તે પોતાની સાથે એકરુપ છે). બધા સજીવો કે જે જોડાયેલ અવસ્થામાં (વૃક્ષો) ઉગે છે અથવા સમુદ્રના તળ પર રહે છે (સ્ટારફિશ), એટલે કે. સજીવો કે જેના માટે ગુરુત્વાકર્ષણની દિશા નિર્ણાયક હોય છે તેમની પાસે સમપ્રમાણતાની ધરી હોય છે. પાણીમાં, હવામાં કે જમીન પર ફરવા માટે સક્ષમ પ્રાણીઓ માટે, ગુરુત્વાકર્ષણની દિશા ઉપરાંત, પ્રાણીની હિલચાલની દિશા પણ મહત્વપૂર્ણ છે. આવા પ્રાણીઓમાં સમપ્રમાણતાનું વિમાન હોય છે. જીવવિજ્ઞાનીઓ આ વિમાનને દ્વિપક્ષીય કહે છે, અને સમપ્રમાણતાના પ્રકારને મિરર કહેવામાં આવે છે.

જીવંત પ્રકૃતિમાં સપ્રમાણતાના ઉદાહરણો જંતુઓ છે, એટલે કે, પૃથ્વીના સૌથી સુંદર જીવો - પતંગિયા, જે અરીસાની સમપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ છે. પરિશિષ્ટ 2.

પ્રકૃતિમાં લગભગ તમામ સ્ફટિકો સપ્રમાણ છે. પરિશિષ્ટ 3.

1. કલામાં સમપ્રમાણતા (સ્થાપત્ય, શિલ્પ, ચિત્ર,સાહિત્ય , સંગીત, નૃત્ય).

તેની આસપાસના વિશ્વનું અવલોકન કરીને, માણસે ઐતિહાસિક રીતે કલાના વિવિધ સ્વરૂપોમાં તેને વધુ કે ઓછા વાસ્તવિક રીતે દર્શાવવાનો પ્રયાસ કર્યો છે, તેથી ચિત્ર, શિલ્પ, સ્થાપત્ય, સાહિત્ય, સંગીત અને નૃત્યમાં સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લેવું ખૂબ જ રસપ્રદ છે.

આપણે પહેલાથી જ આદિમ લોકોના ગુફા ચિત્રોમાં પેઇન્ટિંગમાં સમપ્રમાણતા જોઈ શકીએ છીએ. પ્રાચીન સમયમાં, ચિત્રકામની કળાનો નોંધપાત્ર ભાગ ચિહ્નો હતા, જેની રચનામાં કલાકારોએ અરીસાની સમપ્રમાણતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આજે તેમને જોતાં, તમે સંતોની છબીઓમાં અદ્ભુત સમપ્રમાણતાથી પ્રભાવિત થાઓ છો, જો કે કેટલીકવાર એક રસપ્રદ બાબત બને છે - અસમપ્રમાણતાવાળી છબીઓમાં આપણે સપ્રમાણતાને ધોરણ તરીકે અનુભવીએ છીએ, જે કલાકાર બાહ્ય પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ વિચલિત થાય છે.

ઇમારતોની સામાન્ય યોજનાઓમાં સમપ્રમાણતાના તત્વો જોઇ શકાય છે. પરિશિષ્ટ 4. શિલ્પ અને પેઇન્ટિંગ પણ સૌંદર્યલક્ષી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સમપ્રમાણતાના ઉપયોગના ઘણા આકર્ષક ઉદાહરણો પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણો છે મહાન મિકેલેન્ગીલો દ્વારા ગિયુલિઆનો ડી' મેડિસીની કબર, કિવમાં સેન્ટ સોફિયા કેથેડ્રલના એપ્સનું મોઝેક, જે ખ્રિસ્તની બે આકૃતિઓ દર્શાવે છે, એક બ્રેડ સાથે સંવાદ કરે છે અને બીજી વાઇન સાથે.

ખ્રિસ્તની આકૃતિના અરીસા-સપ્રમાણ વિભાજનથી યુકેરિસ્ટની બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષણોનું એક સાથે ચિત્રણ કરવાનું શક્ય બન્યું: વાઇન સાથેનું સંવાદ, જે ખ્રિસ્તના લોહીને દર્શાવે છે. ખ્રિસ્તનું અરીસાનું વિભાજન એ લાસ્ટ સપરની આઇકોનોગ્રાફીની પ્રિય તકનીકોમાંની એક હતી. પરિશિષ્ટ 5.

સપ્રમાણતા, પેઇન્ટિંગ અને આર્કિટેક્ચરની ફરજ પડી, ધીમે ધીમે લોકોના જીવનના નવા ક્ષેત્રો - સંગીત અને નૃત્ય પર કબજો કર્યો. આમ, 15મી સદીના સંગીતમાં, એક નવી દિશા મળી હતી - અનુકરણીય પોલીફોની, જે એક આભૂષણનું સંગીતમય એનાલોગ છે, પછીથી એક જટિલ પેટર્નના ધ્વનિ સંસ્કરણો દેખાયા હતા; આધુનિક ગીત શૈલીમાં, હું માનું છું કે, કોરસ એ ધરી (ગીતના લખાણની) સાથેની સૌથી સરળ અલંકારિક સમપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ છે. નૃત્યો કે જે સતત પુનરાવર્તિત આકૃતિઓ અને પગલાઓનો ઉપયોગ કરે છે, આપણે સમપ્રમાણતા પણ શોધીએ છીએ, ચિત્ર જુઓ. પરિશિષ્ટ 6.

સાહિત્યે પણ સમપ્રમાણતાને અવગણી નથી. આમ, સાહિત્યમાં સપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ પેલિન્ડ્રોમ્સ હોઈ શકે છે, આ ટેક્સ્ટના ભાગો છે જેનો વિપરીત અને સીધો અક્ષરોનો ક્રમ એકરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, "અને ગુલાબ એઝોરના પંજા પર પડ્યું" (એ. ફેટ), "હું ભાગ્યે જ મારા હાથથી સિગારેટની બટ પકડી રાખું છું." પેલિન્ડ્રોમ્સના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે, આપણે રશિયન ભાષાના ઘણા શબ્દો જાણીએ છીએ જે ઊંધી છે: કોક, ટોપોટ, કઝાક અને અન્ય ઘણા. કોયડાઓ - રિબ્યુઝ - ઘણીવાર આવા શબ્દોના ઉપયોગ પર બનાવવામાં આવે છે.

1. નિયમિત પોલિહેડ્રા.

ભૂમિતિમાં, આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાના એક અથવા વધુ કેન્દ્રો (અક્ષો) હોઈ શકે છે. બહિર્મુખ બહુહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ ચહેરા સમાન નિયમિત પોલિહેડ્રા હોય અને તેના દરેક શિરોબિંદુઓ પર સમાન સંખ્યામાં કિનારીઓ એકરૂપ થાય. નિયમિત પોલિહેડ્રોનનું ઉદાહરણ એ ક્યુબ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્યાં કોઈ નિયમિત પોલિહેડ્રોન નથી જેના ચહેરા નિયમિત ષટ્કોણ, હેપ્ટાગોન્સ અને સામાન્ય રીતે, 6.

મુ 6 દરેક બહુકોણનો ખૂણો 120 કરતા મોટો અથવા બરાબર છે. બીજી તરફ, પોલિહેડ્રોનના દરેક શિરોબિંદુ પર ઓછામાં ઓછા ત્રણ સમતલ કોણ હોવા જોઈએ. પરંતુ 120

આ જ કારણસર, નિયમિત પોલિહેડ્રોનનું દરેક શિરોબિંદુ 3, 4, 5 નિયમિત ત્રિકોણ, 3 ચોરસ અથવા 3 નિયમિત પંચકોણનું શિરોબિંદુ હોઈ શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં ફક્ત 5 નિયમિત પોલિહેડ્રા છે. પરિશિષ્ટ 7.

1. ટેટ્રાહેડ્રોન એ ટેટ્રાહેડ્રોન છે.
2. હેક્ઝાહેડ્રોન એક ષટ્કોણ (ક્યુબ) છે.
3. ઓક્ટાહેડ્રોન એક અષ્ટહેડ્રોન છે.
4. Icosahedron એ વીસ બાજુનું માળખું છે.
5. ડોડેકાહેડ્રોન એ ડોડેકેહેડ્રોન છે.

પ્રાચીન કાળથી, નિયમિત પોલિહેડ્રાએ વૈજ્ઞાનિકો, આર્કિટેક્ટ્સ અને કલાકારોનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું છે.

પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક પ્લેટોએ નિયમિત પોલિહેડ્રાના ગુણધર્મોનું વિગતવાર વર્ણન કર્યું છે. તેથી જ તેમને પ્લેટોનિક ઘન કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડના તત્વોનું પુસ્તક 13 નિયમિત પોલિહેડ્રાને સમર્પિત છે. પ્લેટો માનતા હતા કે અગ્નિના અણુઓ ટેટ્રાહેડ્રોનનો આકાર ધરાવે છે, પૃથ્વી - એક હેક્ઝાહેડ્રોન, હવા - એક અષ્ટાહેડ્રોન, પાણી - એક આઇકોસાહેડ્રોન, અને સમગ્ર બ્રહ્માંડ - ડોડેકેહેડ્રોનનો આકાર.

"ધ લાસ્ટ સપર" માં સ્પેનિશ ચિત્રકાર એસ. ડાલી દ્વારા ચિત્રકામના હીરો એક વિશાળ ડોડેકાહેડ્રોનની પૃષ્ઠભૂમિ સામે બેઠા છે. પરિશિષ્ટ 5. કોતરણીમાં "ખિન્નતા" માં કલાકાર એ. ડુડેરે ડોડેકાહેડ્રોનની પરિપ્રેક્ષ્ય છબી આપી. પરિશિષ્ટ 8.

પુનરુજ્જીવન દરમિયાન, ખિન્ન સ્વભાવને સર્જનાત્મકતા સાથે ઓળખવામાં આવ્યો હતો. ડ્યુરેરની કોતરણીમાં, મેલાન્કોલી આર્કિટેક્ચર અને ભૂમિતિના લક્ષણોથી ઘેરાયેલું છે, તેથી જ ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગ્રાફિક આર્ટની આ શ્રેષ્ઠ કૃતિને ગણિતશાસ્ત્રીની રચનાત્મક ભાવનાના અવતાર તરીકે અને મેલાન્કોલી પોતે સૌંદર્યની દુનિયામાં ગણિતના પ્રતિનિધિ તરીકે ગણવાનું પસંદ કરે છે. .

1. એકત્રીકરણ અને સામાન્યીકરણનો તબક્કો.

પોલિહેડ્રાના નમૂનાઓ સૂચિત છે: 1) વર્ણન આપો; 2) પોલિહેડ્રાના આ મોડેલોમાંથી પસંદ કરો - પ્લેટોનિક સોલિડ્સ.

6. અભ્યાસ કરેલ વિષય પર જ્ઞાનના પરીક્ષણનો તબક્કો.

વ્યવહારુ કામ કરો. જૂથ કાર્ય. પરિશિષ્ટ 9.

7. પાઠનો નિષ્કર્ષ વિદ્યાર્થીઓ પોતે જ બનાવે છે.

તો આજે આપણે શું શીખ્યા? આજે અમારા વિષયમાંથી તમને શું યાદ છે?

1. અવકાશમાં સમપ્રમાણતા.
2. પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતા.
3. કલામાં સમપ્રમાણતા: આર્કિટેક્ચર, શિલ્પ, પેઇન્ટિંગ.
4. નિયમિત પોલિહેડ્રા.

8. પાઠનો સારાંશ.

પાઠનું વર્ગીકરણ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓ વ્યવહારિક કાર્યની શીટ્સ આપે છે.

9. હોમવર્ક વિશે માહિતી.

1) દોરો: ભૌમિતિક આકારો, વસ્તુઓ, સપ્રમાણતાની ધરી (કેન્દ્ર) ધરાવતા જીવંત પ્રાણીઓ.

2) પાઠ માટે સારા અને ઉત્તમ ગ્રેડ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓ માટે વ્યક્તિગત સર્જનાત્મક કાર્ય. વિષય પર એક નિબંધ લખો: "રોજિંદા જીવનમાં સમપ્રમાણતા, ટેકનોલોજી અને ભૌતિકશાસ્ત્ર."

10. સંદર્ભોની યાદી.

1. ચિલ્ડ્રન્સ એનસાયક્લોપીડિયા, ત્રીજી આવૃત્તિ, "શિક્ષણ શાસ્ત્ર", એમ., 1973.
2. એલ. તારાસોવ, આ અદ્ભુત સપ્રમાણ વિશ્વ, "એનલાઈટનમેન્ટ", એમ., 1980.
3. આઈ.એફ. શારીગિન, એલ.એન. એર્ગાન્ઝીવા. વિઝ્યુઅલ ભૂમિતિ, "MIROS", 1995.
4. ઇન્ટરનેટ સંસાધનો.

પરિશિષ્ટ 1.

ગાણિતિક શ્રુતલેખન.

1. પ્લાનિમેટ્રીમાંથી તમે કયા પ્રકારની સમપ્રમાણતાથી પરિચિત છો?
2. તમે સપ્રમાણતાના કયા ગુણધર્મો જાણો છો?
3. કયા બહુકોણમાં છે: 1) સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર;

1. સમપ્રમાણતાની ધરી?

1. કયા પોલિહેડ્રામાં સમપ્રમાણતા છે? યાદી.

...... ને બદલે ખૂટતા શબ્દો ભરો.

5. ...... નિયમિત ...... ધરાવતો બહુહેડ્રોન નિયમિત કહેવાય છે.

6. ક્યુબ એ નિયમિત પોલિહેડ્રોન છે, જેમાં ..... ચોરસ હોય છે.

7. ટેટ્રાહેડ્રોન એ નિયમિત છે…… જેના ચહેરા છે…….

પરિશિષ્ટ 2.

પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતા.

પરિશિષ્ટ 3.

સ્ફટિકો.

પરિશિષ્ટ 4.

કલામાં સમપ્રમાણતા.

વિભાગ 12.1 માં, અમે નિયમિત પોલિહેડ્રોનને પોલિહેડ્રોન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જેમાં સમાન પ્રકારના તમામ ઘટકો એકબીજા સાથે સમાન હોય છે: ચહેરા, કિનારી વગેરે. પરંતુ નિયમિત પોલિહેડ્રાને તમામ પોલિહેડ્રામાં સૌથી વધુ સપ્રમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આનો અર્થ નીચે મુજબ છે. જો આપણે નિયમિત પોલિહેડ્રોન પર ચોક્કસ શિરોબિંદુ A, તેને અનુરૂપ ધાર અને આ ધાર માટે યોગ્ય ચહેરો, અને અન્ય કોઈ સમાન સમૂહ લઈએ, તો પોલિહેડ્રોનનું આવું સ્વ-સંરેખણ છે,

જે શિરોબિંદુ A થી શિરોબિંદુ A, ધાર a થી ધાર a, સામનો a થી સામનો કરે છે.

ચાલો તે સાબિત કરીએ. નિયમિત પોલિહેડ્રોનના કોઈપણ બે ચહેરા સમાન હોવાથી, ત્યાં એક ચળવળ છે જે તેમાંથી એકને બીજામાં પરિવર્તિત કરશે. આ પોલિહેડ્રોનના તમામ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સમાન હોવાથી, ચહેરાઓને સંયોજિત કરવાના પરિણામે, સમગ્ર પોલિહેડ્રોન સ્વયં-સંરેખિત થશે અથવા પોલિહેડ્રોનમાં રૂપાંતરિત થશે જે બીજા ચહેરાના પ્લેન સાથે સંબંધિત મૂળ એક સાથે સપ્રમાણ છે. બીજા કિસ્સામાં, આ ચહેરાના પ્લેન સાથે સંબંધિત સપ્રમાણતા નિયમિત પોલિહેડ્રોનની સ્વ-સંરેખણની પ્રક્રિયાને પૂર્ણ કરશે.

વાતચીત પણ સાચી છે: આ ગુણધર્મ ધરાવતા પોલિહેડ્રા નિયમિત હશે, કારણ કે તેમની બધી કિનારીઓ, બધા સમતલ ખૂણાઓ અને બધા ડિહેડ્રલ ખૂણા સમાન હશે.

ચાલો હવે નિયમિત પોલિહેડ્રાના સમપ્રમાણતા તત્વોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો ક્યુબના સમપ્રમાણતા તત્વોથી શરૂઆત કરીએ.

1. સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર એ ક્યુબનું કેન્દ્ર છે.

2. સમપ્રમાણતાના વિમાનો (ફિગ. 12.17): 1) સમપ્રમાણતાના ત્રણ વિમાનો, તેમના કેન્દ્રો પર પાંસળીને લંબરૂપ; 2) વિરુદ્ધ ધારમાંથી પસાર થતા સમપ્રમાણતાના છ વિમાનો.

3. સમપ્રમાણતાના અક્ષો: 1) 4 થી ક્રમની સમપ્રમાણતાના ત્રણ અક્ષો, વિરુદ્ધ ચહેરાના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે (ફિગ. 12.18a); 2) 2જી ક્રમની રોટેશનલ સપ્રમાણતાના છ અક્ષો, વિરુદ્ધ કિનારીઓ (ફિગ. 12.186) ના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે; 4) ક્યુબના ચાર કર્ણ એ છઠ્ઠા ક્રમના અરીસાના પરિભ્રમણની અક્ષો છે, જે ક્યુબને સ્વ-સંરેખિત કરે છે (ફિગ. 12.18c).

આ ક્યુબની સપ્રમાણતાનું સૌથી રસપ્રદ અને તરત જ ન દેખાતું તત્વ છે. સમઘનનો એક ભાગ તેના કેન્દ્રમાંથી કર્ણના લંબમાંથી પસાર થતો હોય છે તે નિયમિત ષટ્કોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; જ્યારે ક્યુબને 60°ના ખૂણા પર કર્ણની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે ષટ્કોણ તેના પર પ્રતિબિંબિત થાય છે, પરંતુ સમગ્ર ક્યુબને હજુ પણ ષટ્કોણના સમતલમાં પ્રતિબિંબિત કરવાની જરૂર છે.

ઓક્ટાહેડ્રોન એ ક્યુબ માટે દ્વિ હોય છે, અને તેથી તે સમપ્રમાણતાના સમાન તત્વો ધરાવે છે જે તફાવત સાથે સમપ્રમાણતાના પ્લેન અને અક્ષો ક્યુબ માટે ચહેરાના શિરોબિંદુઓ અને કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે, અષ્ટાહેડ્રોન માટે વિરુદ્ધ દિશામાં પસાર થાય છે: દ્વારા ચહેરા અને શિરોબિંદુઓના કેન્દ્રો (ફિગ. 12.19). તેથી, 6 મી ની અરીસો ધરી

ઓર્ડર ઓક્ટાહેડ્રોનના વિરુદ્ધ ચહેરાના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે.

ચાલો નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનના સમપ્રમાણતા તત્વો તરફ વળીએ.

1. સમપ્રમાણતાના છ વિમાનો, જેમાંથી દરેક એક ધાર અને વિરુદ્ધ ધારની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે (ફિગ. 12.20a).

2. ચાર 3જી ક્રમની અક્ષો તેમની સામેના ચહેરાના શિરોબિંદુઓ અને કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે, એટલે કે. ટેટ્રાહેડ્રોનની ઊંચાઈઓ દ્વારા (ફિગ. 12.20b).

3. 4 થી ક્રમના અરીસાના પરિભ્રમણના ત્રણ અક્ષો, વિરુદ્ધ પાંસળીના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે (ફિગ. 12.20c).

ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કોઈ કેન્દ્ર નથી.

તમે ક્યુબમાં બે નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન ફિટ કરી શકો છો (ફિગ. 12.16). ક્યુબ સ્વ-સંરેખણમાં, આ ટેટ્રાહેડ્રા કાં તો સ્વ-સંરેખિત હોય છે અથવા એકબીજા પર મેપ કરવામાં આવે છે. ક્યુબના કયા સ્વ-સંરેખણ પર ટેટ્રેહેડ્રોન સ્વ-સંરેખિત થાય છે અને તેઓ એકબીજા પર ક્યા નકશા કરે છે તે શોધો.

ખાતરી કરો કે પ્રથમ કેસ ટેટ્રાહેડ્રોનના તમામ સ્વ-સંરેખણ ઉત્પન્ન કરે છે, જેથી ક્યુબ સમપ્રમાણતા જૂથમાં પેટાજૂથ તરીકે ક્યુબ સમપ્રમાણતા જૂથનો સમાવેશ થાય. (જુઓ કલમ 28.4).

ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોનના સમપ્રમાણતા જૂથો સમાન છે, કારણ કે આ નિયમિત પોલિહેડ્રા દ્વિ હોય છે.

એકબીજાને. તેમની પાસે સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાના વિમાનો, પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતાના અક્ષો અને અરીસાની પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતાના અક્ષો છે. આ સપ્રમાણતા તત્વોમાંથી છેલ્લું શોધવાનું સૌથી મુશ્કેલ છે. અમે તમને બતાવીશું કે તેમને કેવી રીતે બનાવવું.

આઇકોસાહેડ્રોનમાં (તેમજ ક્યુબમાં) મિરર રોટેશનલ સપ્રમાણતાની અક્ષો આ પોલિહેડ્રોનના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓને જોડે છે (ફિગ. 12.21), અને ડોડેકેહેડ્રોનમાં (જેમ કે ઓક્ટાહેડ્રોન) આ અક્ષો તેમના સમાંતર ચહેરાના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે. (ફિગ. 12.22). નિયમિત પોલિહેડ્રાની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતા વિમાનો અને સૂચવેલ અક્ષો પર લંબરૂપ હોય છે તે નિયમિત બહુકોણ સાથે નિયમિત પોલિહેડ્રાને છેદે છે (ફિગ. 12.23).

ખાસ કરીને, તેઓ નિયમિત દશકોણ (ફિગ. 12.23 d,e) સાથે ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોનને છેદે છે. ઉપરોક્ત પરથી તે અનુસરે છે કે આઇકોસેહેડ્રોન અને ડોડેકેહેડ્રોન છઠ્ઠા અને દસમા ક્રમની અક્ષોની તુલનામાં અરીસાના પરિભ્રમણ દ્વારા સ્વ-સંરેખિત છે.

આઇકોસાહેડ્રોન અને ડોડેકેહેડ્રોનની સપ્રમાણતાના સરળ તત્વો - સમપ્રમાણતાના વિમાનો અને રોટેશનલ સપ્રમાણતાના અક્ષ તમારા પોતાના પર શોધો.

અભ્યાસનો હેતુ 1. વિદ્યાર્થીઓને અવકાશમાં સમપ્રમાણતાનો પરિચય કરાવવો. 2. વિદ્યાર્થીઓને નવા પ્રકારના બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા - નિયમિત પોલિહેડ્રા સાથે પરિચય આપો. 3. દાર્શનિક સિદ્ધાંતો અને વિચિત્ર પૂર્વધારણાઓના ઉદભવ પર નિયમિત પોલિહેડ્રાના પ્રભાવને બતાવો. 4. ભૂમિતિ અને પ્રકૃતિ વચ્ચેનું જોડાણ બતાવો. 5. વિદ્યાર્થીઓને નિયમિત પોલિહેડ્રાની સમપ્રમાણતાનો પરિચય આપો.

અનુમાનિત પરિણામ 1. બિંદુ, રેખા, પ્લેન સંબંધિત સપ્રમાણ બિંદુઓની વિભાવનાઓ જાણો; આકૃતિની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર, અક્ષ અને સમતલની વિભાવનાઓ. 2. નિયમિત બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાની વ્યાખ્યા જાણો. 3. સાબિત કરવામાં સમર્થ થાઓ કે આવા શરીરના માત્ર પાંચ પ્રકાર છે. 4. દરેક પ્રકારના નિયમિત પોલિહેડ્રાને દર્શાવવામાં સક્ષમ બનો. 5. નિયમિત પોલિહેડ્રાના સમપ્રમાણતા તત્વોને દર્શાવવામાં સક્ષમ બનો. 6. નિયમિત પોલિહેડ્રાના તત્વો શોધવામાં સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સક્ષમ બનો.

એક બિંદુ (સીધી રેખા, સમતલ) ને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અક્ષ, સમતલ) કહેવામાં આવે છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણ હોય. જો કોઈ આકૃતિમાં કેન્દ્ર (અક્ષ, સમપ્રમાણતાનું પ્લેન) હોય, તો તેને કેન્દ્રીય (અક્ષીય, અરીસા) સપ્રમાણતા કહેવાય છે.

આકૃતિઓ 4,5,6 એક લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનું કેન્દ્ર O, અક્ષ a અને સમપ્રમાણતા α દર્શાવે છે. સમાંતર નળીઓ, જે લંબચોરસ નથી, પરંતુ એક સીધી પ્રિઝમ છે, તેમાં પ્લેન (અથવા જો તેનો આધાર સમચતુર્ભુજ હોય ​​તો પ્લેન્સ), એક ધરી અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોય છે.

આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાના એક અથવા વધુ કેન્દ્રો (અક્ષો, સમપ્રમાણતાના વિમાનો) હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમઘનનું સમપ્રમાણતાનું માત્ર એક કેન્દ્ર અને સમપ્રમાણતાના અનેક અક્ષો અને વિમાનો હોય છે. એવી આકૃતિઓ છે કે જેમાં અનંત ઘણા કેન્દ્રો, અક્ષો અથવા સમપ્રમાણતાના વિમાનો હોય છે. આ આંકડાઓમાં સૌથી સરળ સીધી રેખા અને પ્લેન છે. પ્લેન પરનો કોઈપણ બિંદુ તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. આપેલ પ્લેન પર લંબરૂપ કોઈપણ સીધી રેખા (વિમાન) એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી (વિમાન) છે. બીજી બાજુ, એવા આંકડાઓ છે કે જેમાં કેન્દ્રો, અક્ષો અથવા સમપ્રમાણતાના વિમાનો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતર નળીઓ કે જે સીધી પ્રિઝમ નથી તેમાં સમપ્રમાણતાની ધરી હોતી નથી, પરંતુ સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોય છે.

આપણે ઘણીવાર પ્રકૃતિ, આર્કિટેક્ચર, ટેકનોલોજી અને રોજિંદા જીવનમાં સમપ્રમાણતાનો સામનો કરીએ છીએ. આમ, ઘણી ઇમારતો પ્લેનની તુલનામાં સપ્રમાણતા ધરાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીની મુખ્ય ઇમારત. મિકેનિઝમ્સના ઘણા ભાગો, જેમ કે ગિયર્સ, સપ્રમાણતાવાળા હોય છે. પ્રકૃતિમાં જોવા મળતા લગભગ તમામ સ્ફટિકોમાં કેન્દ્ર, અક્ષ અથવા સમપ્રમાણતા હોય છે (ફિગ. 7)

બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ ચહેરા સમાન નિયમિત બહુકોણ હોય અને તેના દરેક શિરોબિંદુઓ પર સમાન સંખ્યામાં ધારો એકરૂપ થાય. નિયમિત બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાના પાંચ પ્રકાર છે. તેમના ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ, નિયમિત ચતુર્ભુજ (ચોરસ) અને નિયમિત પંચકોણ છે. બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેના બધા ચહેરા સમાન નિયમિત બહુકોણ હોય અને તેના દરેક શિરોબિંદુઓ પર સમાન સંખ્યામાં કિનારો એકરૂપ થાય. નિયમિત બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાના પાંચ પ્રકાર છે. તેમના ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ, નિયમિત ચતુર્ભુજ (ચોરસ) અને નિયમિત પંચકોણ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે એવો કોઈ નિયમિત બહુકોણ નથી કે જેના ચહેરા નિયમિત ષટ્કોણ, હેપ્ટાગોન્સ અને સામાન્ય રીતે, n 6 માટે n-ગોન્સ હોય. નિયમિત બહુકોણનો કોણ સૂત્ર α n = (180°(n-2) દ્વારા ગણવામાં આવે છે. ) : એન. પોલિહેડ્રોનના દરેક શિરોબિંદુ પર ઓછામાં ઓછા ત્રણ સમતલ ખૂણા હોય છે, અને તેમનો સરવાળો 360° કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. જ્યારે n=3, બહુહેડ્રોનના ચહેરા 60°ના ખૂણો સાથે નિયમિત ત્રિકોણ હોય છે. 60° 3 = 180°

જો n = 4, તો α = 90°, બહુહેડ્રોનના ચહેરા ચોરસ છે. 90° 3 = 270° 360°. આ કિસ્સામાં, અમારી પાસે ફક્ત એક જ નિયમિત પોલિહેડ્રોન છે - ડોડેકાહેડ્રોન. જો n 6 હોય, તો α n 120°, α n 3 360°, અને તેથી, ત્યાં કોઈ નિયમિત પોલિહેડ્રોન નથી કે જેના ચહેરા n 6 માટે નિયમિત n-ગોન્સ હોય. જો n = 4, તો α = 90°, ચહેરાના ચહેરા પોલિહેડ્રોન - ચોરસ. 90° 3 = 270° 360°. આ કિસ્સામાં, અમારી પાસે ફક્ત એક જ નિયમિત પોલિહેડ્રોન છે - ડોડેકાહેડ્રોન. જો n 6 હોય, તો α n 120°, α n 3 360°, અને તેથી, ત્યાં કોઈ નિયમિત પોલિહેડ્રોન નથી કે જેના ચહેરા n 6 માટે નિયમિત n-ગોન્સ હોય.

“પ્લેટોના વિશ્વના દાર્શનિક ચિત્રમાં નિયમિત પોલિહેડ્રા” નિયમિત પોલિહેડ્રાને કેટલીકવાર પ્લેટોનિક ઘન કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેઓ પ્રાચીન ગ્રીસના મહાન વિચારક પ્લેટો (c.428 - c.348 BC) દ્વારા વિકસિત વિશ્વના દાર્શનિક ચિત્રમાં એક અગ્રણી સ્થાન ધરાવે છે. ). પ્લેટો માનતા હતા કે વિશ્વ ચાર "તત્વો" થી બનેલું છે - અગ્નિ, પૃથ્વી, હવા અને પાણી, અને આ "તત્વો" ના અણુઓ ચાર નિયમિત પોલિહેડ્રાના આકાર ધરાવે છે. ટેટ્રાહેડ્રોન અગ્નિને મૂર્તિમંત કરે છે, કારણ કે તેની ટોચ ઉપરની તરફ, ભડકતી જ્યોતની જેમ; icosahedron - સૌથી સુવ્યવસ્થિત તરીકે - પાણી; ક્યુબ એ આકૃતિઓમાં સૌથી સ્થિર છે - પૃથ્વી, અને અષ્ટાહેડ્રોન એ હવા છે. આપણા સમયમાં, આ સિસ્ટમની તુલના પદાર્થની ચાર અવસ્થાઓ સાથે કરી શકાય છે - ઘન, પ્રવાહી, વાયુ અને જ્યોત. પાંચમો પોલિહેડ્રોન, ડોડેકાહેડ્રોન, સમગ્ર વિશ્વનું પ્રતીક છે અને તે સૌથી મહત્વપૂર્ણ માનવામાં આવતું હતું. વિજ્ઞાનમાં પ્રણાલીકરણનો વિચાર દાખલ કરવાનો આ પ્રથમ પ્રયાસ હતો.

અને હવે, પ્રાચીન ગ્રીસમાંથી, ચાલો 10મી - 10મી - 2જી સદીમાં યુરોપ તરફ આગળ વધીએ, જ્યારે અદ્ભુત જર્મન ખગોળશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી જોહાન્સ કેપ્લર (1571 - 1630) રહેતા અને કામ કરતા હતા. "કેપ્લર કપ" ચાલો કેપલરની જગ્યાએ આપણી જાતને કલ્પના કરીએ. તેની સામે વિવિધ કોષ્ટકો - સંખ્યાઓના કૉલમ છે. આ સૌરમંડળના ગ્રહોની હિલચાલના અવલોકનોના પરિણામો છે - તેના પોતાના અને મહાન પુરોગામી બંને - ખગોળશાસ્ત્રીઓ. ગણતરીના કાર્યની આ દુનિયામાં, તે કેટલીક પેટર્ન શોધવા માંગે છે. જોહાન્સ કેપ્લર, જેમના માટે નિયમિત પોલિહેડ્રા અભ્યાસનો પ્રિય વિષય હતો, તેણે સૂચવ્યું કે તે સમય સુધીમાં શોધાયેલ પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા અને સૂર્યમંડળના છ ગ્રહો વચ્ચે જોડાણ હતું. આ ધારણા મુજબ, શનિની ભ્રમણકક્ષાના ગોળામાં એક સમઘન અંકિત કરી શકાય છે, જેમાં ગુરુની ભ્રમણકક્ષાનો ગોળો બંધબેસે છે. અને હવે, પ્રાચીન ગ્રીસમાંથી, ચાલો 10મી - 10મી - 2જી સદીમાં યુરોપ તરફ આગળ વધીએ, જ્યારે અદ્ભુત જર્મન ખગોળશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી જોહાન્સ કેપ્લર (1571 - 1630) રહેતા અને કામ કરતા હતા. "કેપ્લર કપ" ચાલો કેપલરની જગ્યાએ આપણી જાતને કલ્પના કરીએ. તેની સામે વિવિધ કોષ્ટકો - સંખ્યાઓના કૉલમ છે. આ સૌરમંડળના ગ્રહોની હિલચાલના અવલોકનોના પરિણામો છે - તેના પોતાના અને મહાન પુરોગામી બંને - ખગોળશાસ્ત્રીઓ. ગણતરીના કાર્યની આ દુનિયામાં, તે કેટલીક પેટર્ન શોધવા માંગે છે. જોહાન્સ કેપ્લર, જેમના માટે નિયમિત પોલિહેડ્રા અભ્યાસનો પ્રિય વિષય હતો, તેણે સૂચવ્યું કે તે સમય સુધીમાં શોધાયેલ પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા અને સૂર્યમંડળના છ ગ્રહો વચ્ચે જોડાણ હતું. આ ધારણા મુજબ, શનિની ભ્રમણકક્ષાના ગોળામાં એક સમઘન અંકિત કરી શકાય છે, જેમાં ગુરુની ભ્રમણકક્ષાનો ગોળો બંધબેસે છે.

મંગળની ભ્રમણકક્ષાના ગોળાની નજીક વર્ણવેલ ટેટ્રાહેડ્રોન બદલામાં, તેમાં બંધબેસે છે. ડોડેકાહેડ્રોન મંગળની ભ્રમણકક્ષાના ગોળામાં બંધબેસે છે, જેમાં પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષાનો ગોળો બંધબેસે છે. અને તે આઇકોસાહેડ્રોનની નજીક વર્ણવેલ છે, જેમાં શુક્રની ભ્રમણકક્ષાનો ગોળો અંકિત છે. આ ગ્રહના ગોળાને અષ્ટાહેડ્રોનની આસપાસ વર્ણવેલ છે, જેમાં બુધનો ગોળો બંધબેસે છે. સૌરમંડળના આ મોડેલને કેપ્લરનું "કોસ્મિક કપ" કહેવામાં આવતું હતું. વૈજ્ઞાનિકે "બ્રહ્માંડનું રહસ્ય" પુસ્તકમાં તેમની ગણતરીના પરિણામો પ્રકાશિત કર્યા. તે માનતો હતો કે બ્રહ્માંડનું રહસ્ય જાહેર થઈ ગયું છે. વર્ષ-દર-વર્ષ, તેમણે તેમના અવલોકનોને સુધાર્યા, તેમના સાથીદારોના ડેટાને બે વાર તપાસ્યા, પરંતુ અંતે તેમને આકર્ષક પૂર્વધારણાને છોડી દેવાની તાકાત મળી. જો કે, તેના નિશાન કેપ્લરના ત્રીજા કાયદામાં દેખાય છે, જે સૂર્યથી સરેરાશ અંતરના સમઘન વિશે વાત કરે છે. આજે આપણે વિશ્વાસ સાથે કહી શકીએ કે ગ્રહો અને તેમની સંખ્યા વચ્ચેનું અંતર કોઈ પણ રીતે પોલિહેડ્રા સાથે સંબંધિત નથી. અલબત્ત, સૌરમંડળનું માળખું અવ્યવસ્થિત નથી, પરંતુ તે શા માટે આ રીતે રચાયું છે અને અન્યથા નથી તેનાં સાચા કારણો હજુ પણ જાણી શકાયા નથી. કેપ્લરના વિચારો ખોટા હોવાનું બહાર આવ્યું, પરંતુ પૂર્વધારણાઓ વિના, કેટલીકવાર સૌથી અણધારી, મોટે ભાગે ઉન્મત્ત, વિજ્ઞાન અસ્તિત્વમાં નથી.

આપણા સમયમાં વિશ્વની સુમેળપૂર્ણ રચના સાથે નિયમિત પોલિહેડ્રાના જોડાણ વિશે પ્લેટો અને કેપ્લરના વિચારો એક રસપ્રદ વૈજ્ઞાનિક પૂર્વધારણામાં ચાલુ રાખવામાં આવ્યા છે, જે 80 ના દાયકાની શરૂઆતમાં. મોસ્કો એન્જિનિયરો વી. મકારોવ અને વી. મોરોઝોવ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવી હતી. તેઓ માને છે કે પૃથ્વીના મૂળમાં વધતા સ્ફટિકના આકાર અને ગુણધર્મો છે, જે ગ્રહ પર થતી તમામ કુદરતી પ્રક્રિયાઓના વિકાસને પ્રભાવિત કરે છે. આ સ્ફટિકના કિરણો, અથવા તેના બદલે, તેના બળ ક્ષેત્ર, આઇકોસાહેડ્રોન - પૃથ્વીનું ડોડેકેડ્રલ માળખું નક્કી કરે છે. (ફિગ. 8) તે એ હકીકતમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે કે પૃથ્વીના પોપડામાં ગ્લોબમાં અંકિત નિયમિત પોલિહેડ્રાના અંદાજો દેખાય છે: આઇકોસેહેડ્રોન અને ડોડેકાહેડ્રોન. ઘણા ખનિજ થાપણો આઇકોસેહેડ્રોન સાથે વિસ્તરે છે - એક ડોડેકેહેડ્રલ નેટવર્ક; પોલીહેડ્રાની કિનારીઓના 62 શિરોબિંદુઓ અને મધ્યબિંદુઓ, જેને લેખકો દ્વારા નોડ કહે છે, તેમાં સંખ્યાબંધ વિશિષ્ટ ગુણધર્મો છે જે કેટલીક અગમ્ય ઘટનાઓને સમજાવવાનું શક્ય બનાવે છે. અહીં પ્રાચીન સંસ્કૃતિઓ અને સંસ્કૃતિઓના કેન્દ્રો છે: પેરુ, ઉત્તરી મંગોલિયા, હૈતી, ઓબ સંસ્કૃતિ અને અન્ય. આ બિંદુઓ પર, મહત્તમ અને લઘુત્તમ વાતાવરણીય દબાણ અને વિશ્વ મહાસાગરના વિશાળ એડીઝ જોવા મળે છે. આ ગાંઠો લોચ નેસ અને બર્મુડા ત્રિકોણ ધરાવે છે.

અને હવે ચાલો વૈજ્ઞાનિક પૂર્વધારણાઓથી વૈજ્ઞાનિક તથ્યો તરફ આગળ વધીએ. રેગ્યુલર પોલિહેડ્રોન નંબર ઓફ વર્ટેક્સ ફેસએજ ટેટ્રાહેડ્રોન 446 ક્યુબ 6812 ઓક્ટાહેડ્રોન 8612 ડોડેકેહેડ્રોન આઇકોસેહેડ્રોન

ચહેરા અને શિરોબિંદુઓની સંખ્યા (g+c) કિનારીઓ ટેટ્રાહેડ્રોન = 8 6 ઘન = અષ્ટાહેડ્રોન = ડોડેકાહેડ્રોન = આઇકોસેહેડ્રોન = 32 30

Г + В = Р + 2 આ સૂત્ર ડેસકાર્ટેસ દ્વારા 1640 માં પહેલેથી જ નોંધવામાં આવ્યું હતું, અને બાદમાં યુલર (1752) દ્વારા પુનઃશોધ્યું હતું, જેનું નામ ત્યારથી તે ધારણ કરે છે. યુલરનું સૂત્ર કોઈપણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા માટે સાચું છે. શિલ્પકારો, આર્કિટેક્ટ્સ અને કલાકારોએ પણ નિયમિત પોલિહેડ્રાના સ્વરૂપોમાં ખૂબ રસ દર્શાવ્યો. પોલિહેડ્રોનની સંપૂર્ણતા અને સંવાદિતાથી તેઓ બધા આશ્ચર્યચકિત થઈ ગયા. લિયોનાર્ડો દા વિન્સી () પોલિહેડ્રાના સિદ્ધાંતના શોખીન હતા અને ઘણી વખત તેમના કેનવાસ પર તેનું ચિત્રણ કરતા હતા. "ધ લાસ્ટ સપર" પેઇન્ટિંગમાં સાલ્વાડોર ડાલીએ વિશાળ પારદર્શક ડોડેકેહેડ્રોનની પૃષ્ઠભૂમિ સામે તેમના શિષ્યો સાથે I. ખ્રિસ્તનું ચિત્રણ કર્યું હતું.
42

નિયમિત પોલિહેડ્રા જીવંત પ્રકૃતિમાં જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક-કોષી જીવતંત્રનું હાડપિંજર ફિઓડારિયા આઇકોસાહેડ્રોન જેવો આકાર ધરાવે છે. ફિઓડિયાના આ કુદરતી ભૌમિતિકરણનું કારણ શું છે? દેખીતી રીતે, સમાન સંખ્યાના ચહેરા સાથેના તમામ પોલિહેડ્રાને કારણે, તે આઇકોસાહેડ્રોન છે જે સૌથી નાના સપાટી વિસ્તાર સાથે સૌથી વધુ વોલ્યુમ ધરાવે છે. આ ગુણધર્મ દરિયાઇ જીવતંત્રને પાણીના સ્તંભના દબાણને દૂર કરવામાં મદદ કરે છે.

નિયમિત પોલિહેડ્રા સૌથી ફાયદાકારક આકૃતિઓ છે. અને કુદરત આનો વ્યાપક ઉપયોગ કરે છે. કેટલાક સ્ફટિકોના આકાર દ્વારા આની પુષ્ટિ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ટેબલ મીઠું લો, જેના વિના આપણે કરી શકતા નથી. તે જાણીતું છે કે તે પાણીમાં દ્રાવ્ય છે અને ઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહના વાહક તરીકે સેવા આપે છે. અને ટેબલ સોલ્ટ ક્રિસ્ટલ્સ ક્યુબ આકારના હોય છે. એલ્યુમિનિયમના ઉત્પાદનમાં, એલ્યુમિનિયમ-પોટેશિયમ ક્વાર્ટઝનો ઉપયોગ થાય છે, જેમાંથી સિંગલ ક્રિસ્ટલ નિયમિત અષ્ટાહેડ્રોનનો આકાર ધરાવે છે. સલ્ફ્યુરિક એસિડ, આયર્ન અને ખાસ પ્રકારના સિમેન્ટનું ઉત્પાદન ગંધકયુક્ત પાયરાઈટ વિના થઈ શકતું નથી. આ રસાયણના સ્ફટિકો ડોડેકેહેડ્રોન આકારના હોય છે. એન્ટિમોની સોડિયમ સલ્ફેટ, વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા સંશ્લેષિત પદાર્થ, વિવિધ રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓમાં વપરાય છે. સોડિયમ એન્ટિમોની સલ્ફેટના સ્ફટિકમાં ટેટ્રાહેડ્રોનનો આકાર હોય છે. આઇકોસાહેડ્રોન બોરોન સ્ફટિકનો આકાર આપે છે. એક સમયે, બોરોનનો ઉપયોગ પ્રથમ પેઢીના સેમિકન્ડક્ટર બનાવવા માટે થતો હતો.

ટેસ્ટ 1. સૂચિબદ્ધ ભૌમિતિક સંસ્થાઓમાંથી કયો નિયમિત બહુહેડ્રોન નથી? એ) નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન; b) નિયમિત હેક્ઝાહેડ્રોન; c) સાચો પ્રિઝમ; ડી) નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન; e) નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોન. 2. સાચું વિધાન પસંદ કરો: a) નિયમિત પોલિહેડ્રોન જેના ચહેરા નિયમિત ષટ્કોણ હોય છે તેને નિયમિત હેક્ઝાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે;

બી) નિયમિત ડોડેકેહેડ્રોનના શિરોબિંદુ પર સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 324° છે; c) ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાના બે કેન્દ્રો છે - દરેક આધાર પર એક; d) નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં 8 નિયમિત ત્રિકોણ હોય છે; e) કુલ 6 પ્રકારના નિયમિત પોલિહેડ્રા છે. 3. નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે? a) રેગ્યુલર ટેટ્રેહેડ્રોન અને રેગ્યુલર ઓક્ટાહેડ્રોનના ડાયહેડ્રલ એંગલનો સરવાળો 180° છે; b) ક્યુબના ચહેરાના કેન્દ્રો એ નિયમિત અષ્ટાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ છે;

C) નિયમિત ડોડેકેહેડ્રોનમાં 12 નિયમિત પંચકોણ હોય છે; d) નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોનના દરેક શિરોબિંદુ પર સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 270° છે; e) એક ક્યુબ અને નિયમિત હેક્ઝાહેડ્રોન એક અને સમાન છે. ચાલો સારાંશ આપીએ. - આજે આપણે કયા નવા ભૌમિતિક શરીરને મળ્યા? - શા માટે એલ. કેરોલે આ પોલિહેડ્રાના મહત્વની ખૂબ પ્રશંસા કરી? - હોમવર્ક: ફકરો 35, ફકરો 36, p (મૌખિક રીતે)

§ 1 નિયમિત પોલિહેડ્રોન

આ પાઠમાં આપણે નિયમિત પોલિહેડ્રાને જોઈશું, એટલે કે આવી આકૃતિઓની સમપ્રમાણતા. ચાલો તે વિશે વાત કરીએ કે તેમની સર્જનાત્મકતામાં કોણ નિયમિત પોલિહેડ્રાની સંવાદિતા અને સુંદરતા તરફ વળ્યું.

ચાલો નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ અને યાદ કરીએ કે કયા નિયમિત પોલિહેડ્રા અસ્તિત્વમાં છે અને ભૂમિતિમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ ચહેરા સમાન નિયમિત બહુકોણ હોય અને તેના દરેક શિરોબિંદુઓ પર સમાન સંખ્યામાં ધારો એકરૂપ થાય. ત્યાં ફક્ત પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા છે: ટેટ્રાહેડ્રોન, હેક્ઝાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, ડોડેકેહેડ્રોન, આઇકોસેડ્રોન.

ચાલો આપણે એ પણ યાદ કરીએ કે આપણે અવકાશમાં કયા પ્રકારની સમપ્રમાણતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ - આ કેન્દ્રીય સપ્રમાણતા (બિંદુને સંબંધિત), અક્ષીય સપ્રમાણતા (સીધી રેખાને સંબંધિત) અને સમતલને સંબંધિત સમપ્રમાણતા છે.

§ 2 નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના તત્વો

ચાલો નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનના સમપ્રમાણતા તત્વોને ધ્યાનમાં લઈએ. તેમાં સમપ્રમાણતાનું કોઈ કેન્દ્ર નથી. પરંતુ બે વિરોધી ધારના મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે.

રેગ્યુલર ટેટ્રેહેડ્રોન ABCD ની વિરુદ્ધ કિનારી CD ના કાટખૂણે ધાર AB માંથી પસાર થતું પ્લેન એ સમપ્રમાણતાનું સમતલ છે. જુઓ, નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના ત્રણ અક્ષો અને સમપ્રમાણતાના છ વિમાનો હોય છે.

§ 3 ક્યુબની સમપ્રમાણતાના તત્વો

ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાનું એક કેન્દ્ર છે - તેના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ. સીધી રેખાઓ a અને b, અનુક્રમે વિરુદ્ધ ચહેરાના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી અને બે વિરુદ્ધ ધારના મધ્યબિંદુઓ જે સમાન ચહેરા સાથે સંબંધિત નથી, તે તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે. ક્યુબમાં સપ્રમાણતાના નવ અક્ષો હોય છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સમપ્રમાણતાના તમામ અક્ષો સમપ્રમાણતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. સમઘનનું સમપ્રમાણતાનું વિમાન એ સમપ્રમાણતાના કોઈપણ બે અક્ષોમાંથી પસાર થતું વિમાન છે. ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાના નવ વિમાનો છે. બાકીના ત્રણ નિયમિત પોલિહેડ્રામાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર અને સમપ્રમાણતાના અનેક અક્ષો અને વિમાનો પણ છે. તેમની સંખ્યા ગણવાનો પ્રયાસ કરો.

કલામાં § 4 પોલિહેડ્રા

પોલિહેડ્રાના અભ્યાસે ઘણા સર્જનાત્મક લોકોને આકર્ષિત કર્યા છે. પ્રખ્યાત કોતરણી "ખિન્નતા" માં પ્રખ્યાત કલાકાર આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેરે ફોરગ્રાઉન્ડમાં ડોડેકાહેડ્રોનનું નિરૂપણ કર્યું હતું. અહીં કલાકાર સાલ્વાડોર ડાલી "ધ લાસ્ટ સપર" દ્વારા પેઇન્ટિંગની એક છબી છે. આ એક વિશાળ કેનવાસ છે જેમાં કલાકારે લિયોનાર્ડો દા વિન્સી સાથે સ્પર્ધા કરવાનું નક્કી કર્યું. ચિત્રના અગ્રભાગમાં શું બતાવવામાં આવ્યું છે તેના પર ધ્યાન આપો. ખ્રિસ્ત અને તેના શિષ્યોને વિશાળ પારદર્શક ડોડેકાહેડ્રોનની પૃષ્ઠભૂમિ સામે દર્શાવવામાં આવ્યા છે. ડચ કલાકાર મોરિટ્ઝ કોર્નેલિસ એશર, 1989 માં લીવર્ડનમાં જન્મેલા, તેમણે અનન્ય અને મનમોહક કૃતિઓ બનાવી છે જે ગાણિતિક વિચારોની વિશાળ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરે છે અથવા તેનું નિરૂપણ કરે છે. નિયમિત ભૌમિતિક સંસ્થાઓ - પોલિહેડ્રા - એસ્ચર માટે વિશેષ વશીકરણ ધરાવે છે. તેમની ઘણી કૃતિઓમાં, પોલિહેડ્રા મુખ્ય આકૃતિ છે અને તેનાથી પણ વધુ કાર્યોમાં તેઓ સહાયક તત્વો તરીકે દેખાય છે. કોતરણીમાં "ચાર શરીર" એશેરે સમપ્રમાણતાની સમાન ધરી પર સ્થિત મુખ્ય નિયમિત પોલિહેડ્રાના આંતરછેદનું નિરૂપણ કર્યું છે, વધુમાં, પોલિહેડ્રા અર્ધપારદર્શક દેખાય છે, અને તેમાંથી કોઈપણ દ્વારા બાકીનું જોઈ શકાય છે; 20મી સદીની શરૂઆતમાં, લલિત કળામાં આધુનિકતાવાદી ચળવળ, મુખ્યત્વે પેઇન્ટિંગમાં, ફ્રાન્સમાં ઊભી થઈ - ક્યુબિઝમ, જે સ્પષ્ટ રીતે ભૌમિતિક પરંપરાગત સ્વરૂપોના ઉપયોગ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, વાસ્તવિક વસ્તુઓને સ્ટીરિયોમેટ્રિક આદિમમાં "વિભાજિત" કરવાની ઇચ્છા. સૌથી પ્રસિદ્ધ ક્યુબિસ્ટ કૃતિઓ પિકાસોની પેઇન્ટિંગ્સ "લેસ ડેમોઇસેલસ ડી'એવિગન" અને "ગિટાર" હતી.

પ્રકૃતિમાં § 5 પોલિહેડ્રા

કુદરત પણ એટલી જ અદભૂત રચનાઓ બનાવે છે. ટેબલ મીઠું ક્યુબ આકારના સ્ફટિકો ધરાવે છે. એક-કોષીય જીવતંત્રનું હાડપિંજર ફિઓડારિયા એક આઇકોસાહેડ્રોન છે. ખનિજ સિલ્વાઇટમાં ક્યુબ આકારની સ્ફટિક જાળી પણ હોય છે. પિરાઇટ સ્ફટિકો ડોડેકેહેડ્રોનનો આકાર ધરાવે છે. પાણીના અણુઓ ટેટ્રાહેડ્રોન જેવા આકારના હોય છે.

ખનિજ સિલ્વાઇટમાં ક્યુબ આકારની સ્ફટિક જાળી પણ હોય છે. પિરાઇટ સ્ફટિકો ડોડેકેહેડ્રોનનો આકાર ધરાવે છે. પાણીના અણુઓ ટેટ્રાહેડ્રોન જેવા આકારના હોય છે. ખનિજ કપરાઇટ ઓક્ટાહેડ્રોનના આકારમાં સ્ફટિકો બનાવે છે. વાઈરસ, ફક્ત ન્યુક્લીક એસિડ અને પ્રોટીનથી બનેલા, એક આઇકોસાહેડ્રોનનો આકાર ધરાવે છે, આપણે આ બધાની પ્રશંસા કરી શકીએ છીએ.

અને ફરી એકવાર હું જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી, ખગોળશાસ્ત્રી, મિકેનિક, ઓપ્ટિશિયન અને જ્યોતિષી, ગ્રહોની ગતિના નિયમોના શોધક જોહાન્સ કેપ્લરના શબ્દો પર પાછા ફરવા માંગુ છું, જેમણે કહ્યું હતું કે "ગણિત એ વિશ્વની સુંદરતાનો પ્રોટોટાઇપ છે.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ:

1. ભૂમિતિ. 10 - 11 ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev અને અન્ય]. - 22મી આવૃત્તિ. – એમ.: શિક્ષણ, 2013. – 255 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - (MSU - શાળામાં)
2. શાળાના શિક્ષકોને મદદ કરવા માટે શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા. યારોવેન્કો વી.એ. દ્વારા સંકલિત. L. S. Atanasyan et al. (M.: Prosveshcheniye) 10મા ધોરણના શૈક્ષણિક સમૂહ માટે ભૂમિતિમાં પાઠ વિકાસ
3. રાબિનોવિચ ઇ.એમ. તૈયાર રેખાંકનો પર કાર્યો અને કસરતો. 10 - 11 ગ્રેડ. ભૂમિતિ. - એમ.: ઇલેક્ઝા, 2006. - 80 સે.
4. એમ. યા વૈગોડસ્કી હેન્ડબુક ઓફ એલિમેન્ટરી મેથેમેટિક્સ એમ.: એએસટી એસ્ટ્રેલ, 2006. - 509 પૃષ્ઠ.
5. અવંતા+. બાળકો માટે જ્ઞાનકોશ. વોલ્યુમ 11. ગણિત 2જી આવૃત્તિ., સુધારેલ - M.: વર્લ્ડ ઓફ અવંતા+ જ્ઞાનકોશ: એસ્ટ્રેલ 2007. - 621 પૃષ્ઠ. એડ. બોર્ડ: એમ. અક્સ્યોનોવા, વી. વોલોડિન, એમ. સેમસોનોવ.

વપરાયેલ છબીઓ: