11. બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય.

અત્યાર સુધી, અમે રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લીધા છે જેની સંભવિત કિંમતો એક નંબર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવી હતી. આવા જથ્થાઓને એક-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડાઇ ફેંકતી વખતે મેળવી શકાય તેવા પોઈન્ટની સંખ્યા એક અલગ એક-પરિમાણીય જથ્થો છે; બંદૂકથી અસ્ત્ર જ્યાં પડે છે ત્યાં સુધીનું અંતર એ સતત એક-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ છે.

એક-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલો ઉપરાંત, તેઓ એવા જથ્થાઓનો અભ્યાસ કરે છે કે જેના સંભવિત મૂલ્યો બે, ત્રણ, ..., n સંખ્યાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આવા જથ્થાઓને અનુક્રમે દ્વિ-પરિમાણીય, ત્રિ-પરિમાણીય, ..., n-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે. અમે (X,Y) દ્વિ-પરિમાણીય દ્વારા સૂચિત કરીશું રેન્ડમ ચલ. X અને Y દરેક જથ્થાને એક ઘટક (ઘટક) કહેવામાં આવે છે: X અને Y બંને જથ્થાઓ, એકસાથે ગણવામાં આવે છે, બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ બનાવે છે.

તેવી જ રીતે, n-પરિમાણીય જથ્થાને n રેન્ડમ સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય

જથ્થો ઉદાહરણ તરીકે, XOY કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુને X અને Y ઘટકો (કોઓર્ડિનેટ્સ) સાથે દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ તરીકે જોઈ શકાય છે; કોઈપણ બિંદુ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા- કેવી રીતે

X, Y અને Z ઘટકો સાથેનું ત્રિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ. ત્યાં અલગ છે (આ જથ્થાના ઘટકો અલગ છે) અને સતત (આ જથ્થાના ઘટકો સતત છે) બહુપરિમાણીય રેન્ડમ ચલ છે.

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X, Y) ને ધ્યાનમાં લો (તે અલગ છે કે સતત છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી). ચાલો (x,y) વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડી બનીએ. ઘટનાની સંભાવના કે X એ x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, અને તે જ સમયે Y y કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, F(x,y) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે. જો x અને y બદલાય છે, તો સામાન્ય રીતે કહીએ તો, F(x,y) પણ બદલાશે, એટલે કે F(x,y) એ x અને y નું કાર્ય છે.

વિતરણ કાર્યદ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X,Y) એ એક ફંક્શન F(x,y) છે જે સંખ્યાઓની દરેક જોડી માટે x, y સંભાવના નક્કી કરે છે કે X એ x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, અને તે જ સમયે Y લેશે y કરતાં ઓછું મૂલ્ય: F(x, y) = P(X

ભૌમિતિક રીતે, આ સમાનતાને નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરી શકાય છે: F(x,y) એ સંભાવના છે કે રેન્ડમ બિંદુ (X,Y) એક શિરોબિંદુ (x, y) સાથે ડાબી બાજુએ અને નીચે આ શિરોબિંદુ સાથે અનંત ચતુર્થાંશમાં આવશે. .

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો

મિલકત 1. વિતરણ કાર્ય મૂલ્યો ડબલ અસમાનતાને સંતોષે છે 0 ≤ F(x, y) ≤ 1.

પુરાવો. પ્રોપર્ટી એ પ્રોબેબિલિટી તરીકે ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શનની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે: સંભાવના એ હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હોય છે જે એક કરતા વધુ ન હોય.

મિલકત 2. F(x,y) દરેક દલીલ માટે બિન-ઘટતું કાર્ય છે, એટલે કે.

F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y), જો x2> x1 ;

F(x ,y2) ≥ F(x ,y1) જો y2>y1.

પુરાવો. ચાલો સાબિત કરીએ કે F(x,y) એ દલીલ xના સંદર્ભમાં એક બિન-ઘટતું કાર્ય છે. ઘટના કે X ઘટક x2 કરતા ઓછું મૂલ્ય લેશે અને તે જ સમયે Y ઘટક< y, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) X x1 કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, અને તે જ સમયે Y< y с вероятностью P(X< x1,Y

2) X અસમાનતાને સંતોષતું મૂલ્ય લેશે x1 ≤ X< x2 , и при этом Y

વધારાના પ્રમેય મુજબ,

P(X< x2, Y

P(X< x2, Y

F(x2 ,y) - F(x1 ,y) = P(x1≤X< x2, Y

કોઈપણ સંભાવના એ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે, તેથી

F(x2 ,y) - F(x1 ,y) ≥ 0, અથવા F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y),

Q.E.D.

જો આપણે શિરોબિંદુ (x;y) સાથે અનંત ચતુર્થાંશમાં આવતા રેન્ડમ બિંદુની સંભાવના તરીકે વિતરણ કાર્યના ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીએ તો ગુણધર્મ સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ બને છે. જેમ x વધે છે, આ ચતુર્થાંશની જમણી સરહદ જમણી તરફ ખસે છે; જ્યારે હિટ થવાની સંભાવના

નવા ચતુર્થાંશમાં રેન્ડમ બિંદુ દેખીતી રીતે ઘટાડી શકાતું નથી. એ જ રીતે, તે સાબિત થયું છે કે F(x,y) એ સંબંધમાં ઘટતું ન થતું કાર્ય છે

દલીલ y.

મિલકત 3. ત્યાં મર્યાદિત સંબંધો છે:

1) F(-∞ , y) = 0, 2) F(x, -∞) = 0,

3) F(-∞, -∞) = 0, 4) F(∞, ∞) = 1.

પુરાવો

1) F(-∞ , y) એ ઘટના X ની સંભાવના છે< -∞ и Y < y; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие X < -∞), следовательно, вероятность этого события равна нулю. Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при x→-∞ правая граница бесконечного квадранта неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) ઇવેન્ટ Y< -∞ невозможно, поэтому F(x, -∞) = 0.

3) ઇવેન્ટ X< -∞ невозможно, поэтому F(-∞ , -∞) = 0.

4) ઇવેન્ટ X< ∞ и Y < ∞ достоверно, следовательно, вероятность этого

ઘટનાઓ F(∞ , ∞) = 1.

મિલકત સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે x→∞ અને y→∞ માટે અનંત ચતુર્થાંશ સમગ્ર xOy પ્લેનમાં ફેરવાય છે અને તેથી, આ પ્લેનમાં રેન્ડમ પોઈન્ટ (X;Y) ની ઘટના એક વિશ્વસનીય ઘટના છે. .

મિલકત 4

a) y = ∞ પર, સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય ઘટક Xનું વિતરણ કાર્ય બની જાય છે:

F(x, ∞) = F1(x).

b) x = ∞ પર, સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય Y ઘટકનું વિતરણ કાર્ય બની જાય છે:

F(∞, y) = F2(y).

પુરાવો.

a) ઘટના થી Y< ∞ достоверно, то F(x, ∞) определяет вероятность события X < x, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей X.

b) સાબિતી સમાન છે.

દ્વિપદી વિતરણ સાથે તેના ગાઢ જોડાણમાં. યાદ કરો (§ 2.5) કે જો બર્નૌલીના સૂત્રમાં છે

P n (k ) = C n k p k (1− p )n − k

અમે k નું મૂલ્ય નક્કી કરીએ છીએ અને પ્રયોગોની સંખ્યાને અનંત તરફ દિશામાન કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ, અને સંભવિતતા p ને શૂન્ય પર લઈ જઈએ છીએ, વધુમાં, જેથી તેમનું ઉત્પાદન સ્થિર સંખ્યા λ (np = λ) ની બરાબર રહે, પછી અમારી પાસે હશે:

સંબંધ (3.17) બતાવે છે કે ઉપર વર્ણવેલ મર્યાદામાં પસાર થવા સાથે, દ્વિપદી વિતરણનું કોષ્ટક (3.15) પોઈસન વિતરણના કોષ્ટક (3.16)માં જાય છે. આમ, પોઈસન વિતરણ એ ઉપરોક્ત શરતો હેઠળ દ્વિપદી વિતરણની મર્યાદા છે. નોંધ કરો કે પોઈસન વિતરણની આ મિલકત - મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો અને ઘટનાની ઓછી સંભાવના સાથે દ્વિપદી વિતરણને વ્યક્ત કરવા - તેના માટે વારંવાર વપરાતા નામ સાથે સંકળાયેલ છે: દુર્લભ ઘટનાઓનો કાયદો.

§ 3.5. અલગ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો

અત્યાર સુધી, અમે તેમના સંબંધોના મુદ્દાને સ્પર્શ્યા વિના, એકબીજાથી અલગતામાં રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લીધા છે. જો કે, વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં ઘણી વાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે ચોક્કસ રેન્ડમ ચલોનો એકસાથે અભ્યાસ કરવો પડે છે. આવા કિસ્સાઓમાં કોઈ ઘણા રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ વિશે બોલે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે: રેન્ડમ ચલો એક સિસ્ટમ બનાવે છે જો તેઓ પ્રાથમિક ઘટનાઓ Ωની સમાન જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે.

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (X,Y) ને પ્લેન પર રેન્ડમ પોઈન્ટ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, ત્રણ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (X,Y,Z) - ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં રેન્ડમ બિંદુ તરીકે. અમે મુખ્યત્વે દ્વિ-પરિમાણીય કેસ સુધી પોતાને મર્યાદિત કરીશું.

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની વિભાવના માટેનો સાહજિક અભિગમ અનુભવના વિચાર સાથે સંકળાયેલો છે, જેનું પરિણામ X,Y નંબરોની જોડી છે. પ્રયોગના પરિણામને અવ્યવસ્થિત ઘટના તરીકે માનવામાં આવતું હોવાથી, X અને Y નંબરોના મૂલ્યોની અગાઉથી આગાહી કરવી અશક્ય છે (જ્યારે પ્રયોગનું પુનરાવર્તન થાય છે, ત્યારે તે અણધારી રીતે બદલાય છે). ચાલો થોડા ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ 3.7. ડાઇસ બે વાર વળેલું છે. ચાલો X દ્વારા પ્રથમ થ્રોમાં પોઈન્ટની સંખ્યા અને Y દ્વારા બીજામાં પોઈન્ટની સંખ્યા દર્શાવીએ. જોડી (X ,Y ) બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ હશે.

ઉદાહરણ 3.8. ચોક્કસ પ્રેક્ષકોમાંથી એક વિદ્યાર્થીને રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે, X તેની ઊંચાઈ (કહો, સેન્ટિમીટરમાં), Y તેનું વજન (કિલોગ્રામમાં) છે.

ઉદાહરણ 3.9. આપેલ કૃષિ પ્રદેશમાં, 1 હેક્ટરના વિસ્તાર સાથેનો ઘઉંનો વાવણીનો પ્લોટ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, X એ પ્લોટમાંથી મેળવેલા ખાતરની માત્રા છે;

ઉદાહરણ 3.10. ગણિતમાં લેખિત કાર્યો અને રશિયન ભાષાની તુલના કરવામાં આવે છે; ગણિતમાં કામ માટે X એ ગ્રેડ છે, Y રશિયનમાં કામ માટે છે.

આવા ઉદાહરણોની સૂચિ ચાલુ રાખવી સરળ છે.

§ 3.6. સ્વતંત્ર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો

1°. સામાન્ય નોંધો. ઉદાહરણો. બે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ (X,Y) ની સિસ્ટમની વિચારણા કરતી વખતે, એ ધ્યાનમાં રાખવું જરૂરી છે કે સિસ્ટમના ગુણધર્મો હંમેશા X અને Y ચલોના ગુણધર્મો દ્વારા સમાપ્ત થતા નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે X ના જથ્થા વિશે અને Y ની માત્રા વિશે બધું જ જાણીએ, તો તેનો અર્થ એ નથી કે આપણે સિસ્ટમ (X,Y) વિશે બધું જ જાણીએ છીએ. હકીકત એ છે કે X અને Y ની માત્રા વચ્ચે અવલંબન હોઈ શકે છે, અને આ અવલંબનને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સિસ્ટમ (X,Y) માટે વિતરણ કાયદો બનાવવો અશક્ય છે.

વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં રેન્ડમ ચલો વચ્ચેની અવલંબન અલગ હોઈ શકે છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, તે એટલું મજબૂત હોવાનું બહાર આવ્યું છે કે, X નું મૂલ્ય શું છે તે જાણીને, તમે Y નું મૂલ્ય ચોક્કસપણે સૂચવી શકો છો. પરંપરાગત પરિભાષાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કહી શકીએ કે આ કિસ્સાઓમાં X અને વચ્ચે અવલંબન Y કાર્યાત્મક(જો કે, રેન્ડમ ચલના કાર્યની વિભાવનાને હજુ સ્પષ્ટતાની જરૂર છે; બાદમાં § 3.7 માં આપવામાં આવશે). પ્રકૃતિ અને ટેક્નોલોજીમાં આવી અવલંબનનાં ઉદાહરણો આપણને સતત મળી રહ્યા છે.

તે જ સમયે, અમે એક અલગ પ્રકારનાં ઉદાહરણો પણ દર્શાવી શકીએ છીએ - જ્યારે રેન્ડમ ચલો વચ્ચે અવલંબન અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ સખત રીતે વ્યક્ત કાર્યાત્મક પ્રકૃતિનું નથી. આવા ઉદાહરણો ખાસ કરીને વિજ્ઞાન અને પ્રેક્ટિસના ક્ષેત્રો જેમ કે કૃષિ તકનીક, જીવવિજ્ઞાન, દવા, અર્થશાસ્ત્ર, વગેરે માટે લાક્ષણિક છે, જ્યાં ઘટનાનો વિકાસ, એક નિયમ તરીકે, ઘણા પરિબળો પર આધાર રાખે છે જેને ધ્યાનમાં લેવું મુશ્કેલ છે. તે જાણીતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઘઉંના પાકના સમયગાળા દરમિયાન વિપુલ પ્રમાણમાં વરસાદ ઉપજમાં વધારો કરે છે; જો કે, તેનો અર્થ એ નથી કે વરસાદ X અને ઉપજ Y (કહો, પ્રતિ 1 હેક્ટર) વચ્ચેનો સંબંધ કાર્યાત્મક છે; વરસાદ ઉપરાંત, અન્ય પરિબળો પણ ઉપજને પ્રભાવિત કરે છે: જમીનનો પ્રકાર, લાગુ કરાયેલ ખાતરની માત્રા, સૂર્યના દિવસોની સંખ્યા, વગેરે. આવા કિસ્સાઓમાં, જ્યારે એક મૂલ્યમાં ફેરફાર માત્ર આંકડાકીય રીતે બીજાને અસર કરે છે, સરેરાશ, તે વિશે વાત કરવાનો રિવાજ છે. સંભવિત જોડાણજથ્થા વચ્ચે. હજુ સુધી ચોક્કસ વ્યાખ્યાઓ આપ્યા વિના, ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ. તેઓ રેન્ડમ ચલો વચ્ચે પરાધીનતાની વિવિધ ડિગ્રીઓ દર્શાવે છે - મજબૂત, લગભગ કાર્યાત્મક અવલંબનથી લઈને વ્યવહારિક સ્વતંત્રતા સુધી.

ઉદાહરણ 3.11. X એ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલ પુખ્ત વયની ઊંચાઈ (કહો, સેન્ટિમીટરમાં) અને Y તેનું વજન (કિલોગ્રામમાં) હોવા દો. ઊંચાઈ અને વજન વચ્ચેનો સંબંધ ખૂબ જ મજબૂત છે, તેને કાર્યાત્મક પણ ગણી શકાય. સૂત્ર જે લગભગ આ અવલંબનને વ્યક્ત કરે છે તે સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છે:

Y (kg) =X (cm) – 100.

ઉદાહરણ 3.12. X એ જંગલમાં અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલા વૃક્ષની ઊંચાઈ છે, Y એ તેના પાયાનો વ્યાસ છે. અને અહીં અવલંબનને મજબૂત તરીકે ઓળખવું જોઈએ, જો કે અગાઉના ઉદાહરણની જેમ જ નહીં.

ઉદાહરણ 3.13. અનિયમિત આકારના પથ્થરોના ઢગલામાંથી એક પથ્થર રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે. X તેનું દળ અને Y તેની સૌથી મોટી લંબાઈ હોવા દો. X અને Y વચ્ચેનો સંબંધ સંપૂર્ણપણે સંભવિત છે.

ઉદાહરણ 3.14. X એ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ પુખ્ત વ્યક્તિની ઊંચાઈ છે, Y તેની ઉંમર છે. અવલોકનો દર્શાવે છે કે આ જથ્થાઓ વ્યવહારીક રીતે સ્વતંત્ર છે.

2°. રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતાનું નિર્ધારણ. ચાલો અત્યારે પ્રશ્નને બાજુ પર રાખીએ

X અને Y જથ્થાઓ વચ્ચે અવલંબનની ડિગ્રી દર્શાવવા માટે કઈ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ચાલો આપણે આપણી જાતને રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતાની કડક વ્યાખ્યા સુધી મર્યાદિત કરીએ.

વ્યાખ્યા . સિસ્ટમ (X, Y) આપવા દો. અમે કહીશું કે જો X અને Y જથ્થાઓ સ્વતંત્ર છે

ઘટનાઓ X A અને Y B સ્વતંત્ર છે, જ્યાં A અને B કોઈપણ બે વિભાગો છે [ a1 , a2 ] અને [ b1 , b2 ].

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમાનતા ધરાવે છે

જ્યાં x i એ X જથ્થાનું કોઈપણ સંભવિત મૂલ્ય છે, અને y j એ Y જથ્થાનું કોઈપણ સંભવિત મૂલ્ય છે. ખરેખર, (3.18) થી તે દેખીતી રીતે (3.19) ને અનુસરે છે. ચાલો તે તપાસીએ અને તેનાથી ઊલટું (3.19)

અનુસરે છે (3.18).

સિસ્ટમ (X,Y) ને કોષ્ટક દ્વારા દર્શાવવા દો

ચાલો A ​​= [a 1,a 2],B = [b 1,b 2] મૂકીએ. પછી

p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i,j = 1, 2, ...) (લેખિત સમાનતા ચોક્કસ શરત છે (3.19)). અહીંથી

તે X અને Yની માત્રા સ્વતંત્ર છે.

§ 3.7. રેન્ડમ ચલનું કાર્ય. રેન્ડમ ચલો પરની ક્રિયાઓ

X ને રેન્ડમ ચલ થવા દો. ફોર્મના રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લેવાની ઘણી વાર જરૂર હોય છે:

જ્યાં g (x) એ આપેલ સંખ્યાત્મક કાર્ય છે. એન્ટ્રીનો અર્થ શું છે (3.20), એટલે કે, ખ્યાલ

રેન્ડમ ચલનું કાર્ય?

ધારો કે પ્રયોગના પરિણામે એક ઘટના બની

X = x

એટલે કે X નું મૂલ્ય મૂલ્ય પર લીધું. પછી, વ્યાખ્યા દ્વારા, અમે માનીએ છીએ કે આ પ્રયોગમાં જથ્થા Y એ મૂલ્ય g (x) પર લીધું છે. તે સ્પષ્ટ છે કે એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે આવા કરાર નવા રેન્ડમ ચલ Y ને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. સતત રેન્ડમ ચલ માટે, નીચેનું વિધાન સાચું છે.

દરખાસ્ત 3.1. જો g(x) એ સતત કાર્ય છે, તો સંબંધ (3.20) રેન્ડમ ચલ Y નક્કી કરે છે.

પુરાવો. અમે શરત (3.2) નો ઉપયોગ કરીશું, જે રેન્ડમ ચલની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે. આમ, આપણે તપાસવાની જરૂર છે કે નંબર લાઇન પરના કોઈપણ ઓપન સેટ U માટે ત્યાં પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમૂહ છે જેના માટે

પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા (3.2), શરત (3.22) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમૂહ એક ઘટના છે. તેથી, સ્થિતિ (3.21) ઘટના નક્કી કરે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

કોઈપણ કાર્ય (3.20) માટે રેન્ડમ ચલ

Y = g(X) ,

Xની જેમ, તેનો પોતાનો વિતરણ કાયદો છે. આ કાયદો શું છે? જ્યારે રેન્ડમ વેરીએબલ X એક અલગ પ્રકારનું હોય ત્યારે આપણે આ કેસને ધ્યાનમાં લેવા માટે આપણી જાતને મર્યાદિત કરીએ. વિતરણ કાયદો X કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે (3.11). વ્યાખ્યા મુજબ, રેન્ડમ ચલ Y નો વિતરણ કાયદો કોષ્ટક (3.23) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં

અમે (3.11) ની પ્રથમ લાઇનને ફંક્શન g (x) ના અનુરૂપ મૂલ્યો સાથે બદલી છે, બીજી લાઇન યથાવત રાખી છે.

જો Y મૂલ્યો વચ્ચે સમાન મૂલ્યો હોય, તો તમારે અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરીને અનુરૂપ કૉલમ્સને એક કૉલમમાં જોડવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 3.15. રેન્ડમ ચલ X ને વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

રેન્ડમ ચલ Y =X 2 નો વિતરણ કાયદો શોધો.

ઉકેલ. વિતરણનો કાયદો Y = X 2 શોધવા માટે, આપણે તમામ મૂલ્યોનો વર્ગ કરીએ છીએ અને નીચેનું કોષ્ટક મેળવીએ છીએ

ઘણી વાર, રેન્ડમ ચલ X અને Y કે જે સિસ્ટમ બનાવે છે, તેમના સરવાળા અને ઉત્પાદનને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. રેન્ડમ ચલો પર આવી અને સમાન ક્રિયાઓના વિતરણનો કાયદો સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી, અમે ધારીશું કે અમે રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

Z =g(X,Y),

જ્યાં g (x,y) અમુક સંખ્યાત્મક કાર્ય છે.

જેનો અર્થ વાચકને ખબર છે. તીવ્રતા

Z = g(X, Y)

પણ અલગ હશે. તેના સંભવિત મૂલ્યો હશે z 11 = g (x 1,y 1), z 12 = g (x 1,y 2), ....

ચાલો બે કિસ્સાઓ જોઈએ.

1. બધા નંબરો z ij અલગ છે. પછી ઇવેન્ટZ =z ij, એટલે કે.

g (X ,Y ) = z ij ,

જ્યારે ઘટનાઓ X = x i અને Y = y j એકસાથે થાય ત્યારે જ થાય છે, તેથી, તેની સંભાવના સમાન હશે

P(X= xi , Y= yj ) = pij . 1 ,Y = y 2 ) અને (X = x 3 ,Y = y 5 ) ,

તેથી, તેની સંભાવના હશે

р 12+ р 35.

સારાંશ માટે, આપણે કહી શકીએ કે મૂલ્ય g (X,Y) ના વિતરણનો નિયમ વ્યક્ત કરવામાં આવશે.

કોષ્ટક (3.25), જેમાં સમાન મૂલ્યો સાથેના કૉલમ z ij ને એકમાં જોડવા જોઈએ, તેમાં p ij ની સંભાવનાઓ ઉમેરીને.

ઉદાહરણ 3.16. રેન્ડમ ચલ (X,Y) ની સિસ્ટમના વિતરણ કાયદાને કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેમના ઉત્પાદનના વિતરણનો કાયદો શોધો.

ઉકેલ. આ કિસ્સામાં નંબર z ij હશે

એક અલગ દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો કોષ્ટક (કોષ્ટક 1.2) ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, જે રેન્ડમ ચલોના તમામ મૂલ્યોની સંપૂર્ણતા અને અનુરૂપ સંભાવનાઓને દર્શાવે છે:

તદુપરાંત, બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો, તેમજ અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથની સંભાવનાઓનો સરવાળો, એક સમાન છે.

કોષ્ટક 1.2

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાયદાઓનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે.

કોષ્ટક 1.3

SV માટે વિતરણ શ્રેણી એક્સ:

શરતી વિતરણ કાયદોરેન્ડમ ચલ એક્સપૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે રેન્ડમ ચલ Y=y 0શક્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે એક્સશરતી સંભાવનાઓ સાથે . આ સંભાવનાઓની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે શરતી સંભાવના માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે:

.

દ્વિ-પરિમાણીય SV ની ગાણિતિક અપેક્ષા(એક્સ, વાય ) બે ગાણિતિક અપેક્ષાઓનો સમૂહ કહેવાય છે. એમ[એક્સ]અને એમ[ વાય], સમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત:

,

એસવી સિસ્ટમનું વિક્ષેપ(X,Y) બે ભિન્નતાનો સમૂહ કહેવાય છે ડી[એક્સ]અને ડી[વાય], સમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત:

, ,

, ,

ઉદાહરણ 8.આપેલ છે દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ ( એક્સ;વાય) (કોષ્ટક 1.5).

કોષ્ટક 1.5

કોષ્ટક 1.7

a) સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરો:

b) અમે અનુરૂપ સંભાવનાઓ દ્વારા તેમના મૂલ્યોનો ગુણાકાર કરીને રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ છીએ:

શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવા માટે, તમારે પહેલા રેન્ડમ ચલનું શરતી વિતરણ શોધવું જોઈએ. વાયતે પ્રદાન કર્યું એક્સ= 0. બાયવેરિયેટ વિતરણ કોષ્ટક માટે ( એક્સ; વાય) પ્રથમ લીટીમાં તમામ સંભાવનાઓને વડે વિભાજીત કરો . અમને શરતી વિતરણ કોષ્ટક મળે છે વાય:

ચાલો હવે શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ:

પ્રકરણ 2. ગાણિતિક આંકડા

વ્યાખ્યાન અભ્યાસક્રમ અનુસાર સ્વતંત્ર કાર્ય

આ પ્રકારના કાર્યમાં નીચેના વિષયોનો સ્વતંત્ર અભ્યાસ (વૈકલ્પિક) સામેલ છે:

1. જાણીતા σ સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.

2. માપનની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન.

3. સંબંધિત આવર્તન દ્વારા સંભાવના (દ્વિપદી વિતરણ) નો અંદાજ.

4. વિતરણ પરિમાણોના બિંદુ અંદાજ માટે ક્ષણોની પદ્ધતિ.

5. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ.

6. વિવિધતા શ્રેણીની અન્ય લાક્ષણિકતાઓ.

7. વક્રીય સહસંબંધના સૌથી સરળ કિસ્સાઓ.

8. બહુવિધ સહસંબંધનો ખ્યાલ.

9. સામાન્ય વસ્તીના બે ભિન્નતાઓની સરખામણી.

10. નમૂના સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ.

બધા સૂચિબદ્ધ વિષયો માર્ગદર્શિકાના અંતે પ્રસ્તુત સાહિત્યમાં મળી શકે છે.

પસંદ કરેલા વિષયોમાંથી એક પર, તમારે સહાયક લેક્ચર નોટ્સનું સંકલન કરવું જોઈએ, જે સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલાયેલા કાર્ય સાથે સમજાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

વ્યવહારુ કસરતો પર સ્વતંત્ર કાર્ય

આ પ્રકારના કાર્ય માટે, પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે રેખીય રીગ્રેશન મોડલ બનાવવાની દરખાસ્ત છે.

તકનીકી પ્રક્રિયા અથવા અન્ય ભૌતિક ઘટનાનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું એ સંશોધક માટે પ્રક્રિયાઓના પરિણામોની આગાહી કરવાની સંભાવના ખોલે છે જ્યારે ચોક્કસ શરતો પૂરી થાય છે, જટિલ પરિસ્થિતિઓનો અભ્યાસ કરે છે, ઉત્પાદનની ગુણવત્તાની આગાહી કરે છે, વગેરે.

રીગ્રેસન મોડેલ બનાવવા માટે કાર્ય પૂર્ણ કરતી વખતે, ગાણિતિક આંકડાઓની શરતોની સમજ દર્શાવવી, પ્રાપ્ત ગણતરી પરિણામોના આધારે વિશ્લેષણ કરવું અને તારણો દોરવા જરૂરી છે. આ કાર્યના અમલીકરણનો હેતુ "ગાણિતિક આંકડાશાસ્ત્ર" વિષયના અભ્યાસ દરમિયાન મેળવેલા જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત બનાવવા અને લાગુ કરવાનો છે.

ચાલો પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે રેખીય રીગ્રેસન મોડેલ બનાવવાના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.પ્રયોગના પરિણામે, નીચેની આંકડાકીય માહિતી પ્રાપ્ત થઈ (કોષ્ટક 2.1):

કોષ્ટક 2.1

આપેલ નમૂના માટે, નીચેના કાર્યો પૂર્ણ કરો.

1) રેન્ડમ ચલોની અંતરાલ આંકડાકીય શ્રેણીના સ્વરૂપમાં નમૂના પ્રસ્તુત કરો એક્સઅને વાય.

2) રેન્ડમ ચલ માટે એક્સઆવર્તન બહુકોણ અને હિસ્ટોગ્રામ બનાવો. પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્ય શોધો અને તેને પ્લોટ કરો.

3) રેન્ડમ ચલો માટે નમૂનાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (નમૂનો સરેરાશ, નિષ્પક્ષ નમૂના તફાવત, નિષ્પક્ષ પ્રમાણભૂત વિચલન) શોધો એક્સઅને વાય.

4) રેન્ડમ ચલ માટે ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો બનાવો એક્સઆત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે β=0.95.

5) રેન્ડમ ચલના સામાન્ય વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરો એક્સ.

6) સહસંબંધ વિશ્લેષણ કરો.

7) રેખીય રીગ્રેશન મોડલ બનાવો.

ઉકેલ.નમૂનાનું કદ છે n=42.

1. અંતરાલ આંકડાકીય શ્રેણીના સ્વરૂપમાં નમૂનાનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે, અમે દરેક રેન્ડમ ચલ માટે અંતરાલોની લંબાઈ નક્કી કરીએ છીએ.

રેન્ડમ ચલ માટે એક્સસૌથી મોટું મૂલ્ય 16.25 છે, સૌથી નાનું 8.35 છે. ચાલો દ્વારા અંતરાલની લંબાઈ શોધીએ એક્સ:

પસંદ કરો h x=1.2. આપણને સાત અંતરાલ મળે છે. ચાલો 8.35 ના સૌથી નાના મૂલ્યમાંથી થોડું ડાબી બાજુએ જઈએ, તેથી આપણે 8.3 ના મૂલ્ય સાથે પ્રથમ અંતરાલ શરૂ કરીશું. ચાલો રેન્ડમ ચલની હિટ ફ્રીક્વન્સીની ગણતરી કરીએ એક્સ એક્સફોર્મ લે છે (કોષ્ટક 2.2):

કોષ્ટક 2.2

રેન્ડમ ચલ માટે વાયસૌથી મોટું મૂલ્ય 13.0 છે, સૌથી નાનું 1.49 છે. ચાલો દ્વારા અંતરાલની લંબાઈ શોધીએ વાય:

પસંદ કરો h y=1.8. આપણને સાત અંતરાલ મળે છે. ચાલો 1.49 ના સૌથી નાના મૂલ્યમાંથી થોડું ડાબી બાજુએ જઈએ, તેથી આપણે 1.5 ના મૂલ્ય સાથે પ્રથમ અંતરાલ શરૂ કરીશું. ચાલો રેન્ડમ ચલની હિટ ફ્રીક્વન્સીની ગણતરી કરીએ વાયદરેક અંતરાલમાં, અને અમે સંમત છીએ કે સીમા મૂલ્ય મોટા અંતરાલમાં સમાવવામાં આવશે. માટે અંતરાલ આંકડાકીય શ્રેણી વાયફોર્મ લે છે (કોષ્ટક 2.3):

કોષ્ટક 2.3

2. રેન્ડમ ચલ માટે ફ્રીક્વન્સી બહુકોણ બનાવવા માટે એક્સ, ચાલો દરેક અંતરાલ માટે મધ્યમ અને સંબંધિત આવર્તન શોધીએ (કોષ્ટક 2.4).

કોષ્ટક 2.4

ફિગ. 2.1 માં, એબ્સીસા અક્ષ સાથે આપણે અંતરાલોના મધ્યબિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ x i, ઓર્ડિનેટ સાથે - સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ.

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન હિસ્ટોગ્રામ બનાવતી વખતે, અમે એબ્સિસા અક્ષ સાથેના અંતરાલોની સીમાઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ (ફિગ. 2.2) સાથે અંતરાલની લંબાઈ દ્વારા વિભાજિત સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્ય શોધીએ છીએ:

.

આપેલ માટે પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યનું મૂલ્ય શોધવા માટે એક્સ, તે પ્રયોગોની સંખ્યાને ગણવા માટે પૂરતું છે જેમાં મૂલ્ય એક્સકરતાં ઓછું મૂલ્ય લીધું એક્સ, અને કરવામાં આવેલ પ્રયોગોની કુલ સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરો n.

ચાલો પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્ય (ફિગ. 2.3)નું કાવતરું કરીએ.

3. એક્સઅમે ટેબલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (2.5).

કોષ્ટક 2.5

નમૂના સરેરાશ સૂત્રમાં આપણે ચોથા સ્તંભમાં સરવાળાને બદલીએ છીએ (કોષ્ટક 2.5):

નિષ્પક્ષ નમૂનાના ભિન્નતા માટેના સૂત્રમાં, અમે પાંચમા સ્તંભમાં સરવાળાને બદલીએ છીએ (કોષ્ટક 2.5):

માટે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓના અંદાજની ગણતરી કરવા માટે વાયઅમે ટેબલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (2.6).

કોષ્ટક 2.6

નમૂનાના સરેરાશ સૂત્રમાં આપણે ચોથા સ્તંભમાં સરવાળાને બદલીએ છીએ (કોષ્ટક 2.6):

નિષ્પક્ષ નમૂનાના ભિન્નતા માટેના સૂત્રમાં, અમે પાંચમી કૉલમ (કોષ્ટક 2.6) માં સરવાળાને બદલીએ છીએ:

નિષ્પક્ષ નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન:

4. ચાલો રેન્ડમ ચલ માટે ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવીએ એક્સઆત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે β=0.95.

પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 4 નો ઉપયોગ કરીને, અમે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના β=0.95 અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે વિદ્યાર્થીના આંકડાનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. k=42-1=41:

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અડધી લંબાઈ:

અમે મેળવેલ મૂલ્યોને ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 3 નો ઉપયોગ કરીને તફાવત માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવા માટે, અમે મહત્વના સ્તર α=1–β=1–0.95=0.05 અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે χ 2 આંકડાનું મૂલ્ય શોધીશું. k=42-1=41:

ચાલો χ 2 આંકડાઓના મળેલા મૂલ્યોને વિભિન્નતા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્રમાં બદલીએ:

આમ, ગાણિતિક અપેક્ષાના સાચા મૂલ્યો એમ(x) અને તફાવત ડી(x) β=0.95 સંભાવના સાથે પરિણામી અંતરાલોમાં આવે છે.

5. ચાલો રેન્ડમ ચલના સામાન્ય વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણા તપાસીએ એક્સપીયર્સન માપદંડનો ઉપયોગ કરીને.

આવર્તન બહુકોણ ગ્રાફ અને હિસ્ટોગ્રામ (ગૌસીયન વળાંકની બાહ્ય સમાનતા) સૂચવે છે કે વસ્તી સામાન્ય વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે.

અમે મુખ્ય પૂર્વધારણા આગળ મૂકીએ છીએ:

એચ 0: વસ્તી સામાન્ય વિતરણ કાયદાને અનુસરે છે.

પછી વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા ફોર્મ લે છે:

એચ 1: વિતરણ કાયદો સામાન્ય નથી.

અમે મહત્વ સ્તર α=0.05 સેટ કરીએ છીએ.

પ્રથમ અને છેલ્લા અંતરાલો (કોષ્ટક 2.3) ની સીમાઓને વિસ્તૃત કરીને, અમે કોષ્ટક 2.7 માં તમામ ગણતરીઓના પરિણામોનો સારાંશ આપીએ છીએ.

કોષ્ટક 2.7

અંતરાલ સીમાઓ	આવર્તન
–∞ – 9,5		0,0618		0,022
9,5 – 10,7	0,11440
10,7 – 11,9		0,1983	8,3286	0,335
11,9 – 13,1		0,2396	10,0632	0,423
13,1 – 14,3		0,2218	9,9356	0,082
14,3 – 15,5		0,0986		0,018
15,5 – +∞	0,0654
સરવાળો		1,0062	1,0000	0,88

કોષ્ટક 2.7 માં, ચોથો કૉલમ સૂત્ર મુજબ, રેન્ડમ ચલ સામાન્ય વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે તેવી ધારણા હેઠળ મળેલી સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓની ગણતરીના પરિણામો રજૂ કરે છે:

લેપ્લેસ ફંક્શનના મૂલ્યો પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 2 માં મળી શકે છે.

ચાલો દરેક અંતરાલમાં પ્રવેશવાની સંભાવનાઓ શોધીએ:

પ્રથમ બે અંતરાલો અને છેલ્લા બેની સૈદ્ધાંતિક આવર્તન 5 કરતાં ઓછી છે, તેથી અમે તેમને બીજા અને ચોથા કૉલમમાં જોડીએ છીએ (કોષ્ટક 2.7).

પાંચમી કૉલમ (કોષ્ટક 2.7) એ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓનું પરિણામ છે:

આપણે ભૂલવું જોઈએ નહીં કે પ્રથમ બે અને છેલ્લા બે અંતરાલ સંયુક્ત છે.

આમ, પાંચમી કૉલમનો સરવાળો (કોષ્ટક 2.7) માપદંડનું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય છે:

મર્જ કર્યા પછી 5 અંતરાલ બાકી છે ( l= 5), અને નમૂનામાંથી બે પરિમાણોના અંદાજો નક્કી કરવામાં આવ્યા હતા, એટલે કે. આર=2, પછી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એપેન્ડિક્સના કોષ્ટક 3 નો ઉપયોગ કરીને, અમે આંકડાનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ પી=1–α=0.95 અને k= 2:

પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરીએ છીએ, આપણે તે જોઈએ છીએ

તેથી, સામાન્ય વિતરણની પૂર્વધારણાને નકારવામાં આવતી નથી.

6. નમૂનાના ડેટાના આધારે સહસંબંધ વિશ્લેષણ કરવા માટે, અમે એક સહસંબંધ કોષ્ટક બનાવીશું (કોષ્ટક 2.8):

કોષ્ટક 2.8

ફકરા 3 માં મેળવેલ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓના અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નમૂના સહસંબંધ ક્ષણ શોધીએ છીએ:

ચાલો પહેલા રકમની ગણતરી કરીએ:

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક શોધીએ છીએ:

એ નોંધવું જોઈએ કે એકતાના સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકની નિકટતા એ રેખીય રીગ્રેસન મોડેલ પસંદ કરવાની તરફેણમાં ગંભીર દલીલ છે.

7. ચાલો રેખીય રીગ્રેશન મોડલ બનાવીએ.

ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિના આધારે, એક રેખીય સંબંધ મેળવવામાં આવ્યો હતો વાયથી એક્સ:

અમે ફકરા 3 માં મેળવેલ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓના અંદાજોને બદલીએ છીએ:

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવતા, અમે છેલ્લે નમૂના રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

તમે અવલંબન સમીકરણ પણ બનાવી શકો છો એક્સથી વાય:

ચાલો આપણે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓના અગાઉ મેળવેલ અંદાજોને બદલીએ:

ચાલો સહસંબંધ ક્ષેત્ર પર બંને સીધી રેખાઓ બાંધીએ (ફિગ. 2.4). સીધી રેખાઓ બિંદુ પર છેદે છે. સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ, કહેવાતા "કાતર" તીવ્ર હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જે નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકના પ્રાપ્ત મૂલ્ય સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે.

પરિણામી રીગ્રેસન મોડલ અમને રેન્ડમ ચલના મૂલ્યની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે વાયથી એક્સ, અને ઊલટું.

સ્વ-નિયંત્રણ માટે પ્રશ્નો

1. બર્નૌલીની યોજનાની શક્યતા માટે શરતો આપો?

2. કયા કિસ્સાઓમાં બર્નૌલીના સૂત્રને અંદાજિત સૂત્રો દ્વારા બદલવામાં આવે છે

3. વિતરણના મુખ્ય પ્રકારો અને તેમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ.

4. ગાણિતિક આંકડાઓના મુખ્ય કાર્યો શું છે?

5. સેમ્પલિંગ પદ્ધતિનો સિદ્ધાંત શું છે?

6. વિવિધતા શ્રેણી, આવર્તન અને સંબંધિત આવર્તનનો ખ્યાલ.

7. આંકડાકીય નમૂના વિતરણ અને પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યનો ખ્યાલ.

8. આંકડાકીય વિતરણોને ગ્રાફિકલી રીતે દર્શાવવા માટેની પદ્ધતિઓનું વર્ણન કરો.

9. ગાણિતિક આંકડાઓમાં કઈ વિતરણ લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ થાય છે. તેમના ઉપયોગના ઉદાહરણો અને સંદર્ભ આપો.

10. આંકડાકીય અંદાજોના ગુણધર્મો સ્પષ્ટ કરો. તેમાંથી કયા નમૂના વિતરણની લાક્ષણિકતાઓ જાણીતી છે.

11. અંતરાલ અંદાજોની ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતાનો ખ્યાલ.

12. આંકડાકીય પૂર્વધારણાનો ખ્યાલ. આંકડાકીય પૂર્વધારણાના મુખ્ય પ્રકારો આપો.

13. આંકડાકીય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે મૂળભૂત અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ કરો.

14. તમે કયા પ્રકારના જટિલ વિસ્તારો જાણો છો?

15. પ્રથમ અને બીજા પ્રકારની ભૂલો. ભૂલ થવાની સંભાવના ઘટાડવાની રીતો.

16. આંકડાકીય અને સહસંબંધ અવલંબનનો ખ્યાલ.

17. સહસંબંધ સિદ્ધાંતના મુખ્ય કાર્યો.

18. નમૂના રીગ્રેસન ગુણાંક અને તેના ગુણધર્મો.

સંદર્ભો

1. બોલ્શેવ એલ.એન., સ્મિર્નોવ એન.વી. ગાણિતિક આંકડાઓના કોષ્ટકો. એમ.: નૌકા, 1983.

2. વેન્ટ્ઝેલ ઇ.એસ. સંભાવના સિદ્ધાંત. - એમ.: ઉચ્ચ. શાળા, 1998. − 578 પૃષ્ઠ.

3. વેન્ટ્ઝેલ, ઇ.એસ., ઓવચારોવ, એલ.એ. સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના ઇજનેરી કાર્યક્રમો. -એમ.: નૌકા, 1988. - 480 પૃષ્ઠ.

4. વેન્ટ્ઝેલ, ઇ.એસ. 1999. - 400 પૃ.

5. Gmurman, V.E સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા: પાઠ્યપુસ્તક. મેન્યુઅલ ફોર યુનિવર્સિટી/V.E. Gmurman – 9મી આવૃત્તિ. સ્ટીરિયોટાઇપ., - એમ.: હાયર સ્કૂલ, 2003. - 479 પૃ.

6. Gmurman, V.E. સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની માર્ગદર્શિકા: પાઠ્યપુસ્તક. મેન્યુઅલ / V.E Gmurman – 5મી આવૃત્તિ. સ્ટીરિયોટાઇપ., - એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 1999. - 400 પૃષ્ઠ.

7. કોલ્ડે વાય.કે. સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા પર વર્કશોપ. -એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 1991. - 157 પૃષ્ઠ.

8. કોલમોગોરોવ એ.એન., ઝુરબેનકો આઈ.જી., પ્રોખોરોવ એ.વી. સંભાવના સિદ્ધાંતનો પરિચય. -એમ.: વિજ્ઞાન. ભૌતિક અને ગાણિતિક સાહિત્યની મુખ્ય સંપાદકીય કચેરી, 1982. - 160 પૃષ્ઠ.

9. સંભવિત સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓ પર લેખિત, ડી.ટી. વ્યાખ્યાન નોંધો. – એમ.: આઇરિસ-પ્રેસ, 2006. – 288 પૃષ્ઠ. - (ઉચ્ચ શિક્ષણ).

10. ચેટીર્કિન ઇ.એમ., કાલિખમેન આઇ.એલ. સંભાવના અને આંકડા. -એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 1982.- 319 પૃષ્ઠ.

11. ચિસ્ત્યાકોવ વી.પી. સંભાવના સિદ્ધાંત કોર્સ. − એમ.: નૌકા, 1982.

અરજીઓ

કોષ્ટક 1

પ્રમાણિત સામાન્ય વિતરણ ઘનતા કાર્ય મૂલ્યો એન(0,1)

કોષ્ટક 2

કાર્ય મૂલ્ય

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનો ખ્યાલ

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય

1. વ્યાખ્યા

   રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા

1. વ્યાખ્યા

   બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતાનું ભૌમિતિક અને "મિકેનિકલ" અર્થઘટન

   સિસ્ટમ વિતરણ ઘનતાના ગુણધર્મો

સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ વ્યક્તિગત જથ્થાના વિતરણના કાયદા. વિતરણના શરતી કાયદા

1. વ્યાખ્યાઓ

   વિતરણ કાયદા માટે ગુણાકાર પ્રમેય

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો

1. વ્યાખ્યા સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. સહસંબંધ ક્ષણ.

1. સહસંબંધ ગુણાંક

શું અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોનો ખ્યાલ સ્વતંત્રતાના ખ્યાલની સમકક્ષ છે?

રેન્ડમ ચલોની મનસ્વી સંખ્યાની સિસ્ટમ

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના વિતરણ કાર્યનો ખ્યાલ સતત n ની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતાનું નિર્ધારણ

રેન્ડમ ચલો

અનેક રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રાયોગિક ઉપયોગોમાં, વ્યક્તિ ઘણીવાર સમસ્યાઓનો સામનો કરે છે જેમાં પ્રયોગના પરિણામનું વર્ણન એક રેન્ડમ ચલ દ્વારા નહીં, પરંતુ બે કે તેથી વધુ રેન્ડમ ચલ દ્વારા જટિલ અથવા સિસ્ટમની રચના કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસ્ત્રની અસરનું બિંદુ એક રેન્ડમ ચલ દ્વારા નહીં, પરંતુ બે દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ - અને તેને બે રેન્ડમ ચલોના સંકુલ તરીકે ગણી શકાય. એ જ રીતે, દૂરસ્થ અસ્ત્રનું વિસ્ફોટ બિંદુ ત્રણ રેન્ડમ ચલોના સંકુલ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. શોટના જૂથને ફાયરિંગ કરતી વખતે, પ્લેન પર અસર બિંદુઓના સમૂહને રેન્ડમ ચલોની જટિલ અથવા સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય: એબ્સીસા અને ઇમ્પેક્ટ પોઈન્ટનું ઓર્ડિનેટ. જ્યારે અસ્ત્ર ફાટી જાય છે ત્યારે બનેલો ટુકડો અસંખ્ય રેન્ડમ ચલો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે: વજન, કદ, પ્રારંભિક ગતિ, ઉડાનની દિશા, વગેરે. ચાલો આપણે ઘણા રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ દર્શાવવા માટે સંમત થઈએ.

કેટલાક રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના ગુણધર્મો વ્યક્તિગત ચલોના ગુણધર્મો સુધી મર્યાદિત નથી જે તેને બનાવે છે: વધુમાં, તેમાં રેન્ડમ ચલ વચ્ચેના પરસ્પર જોડાણો (નિર્ભરતા)નો પણ સમાવેશ થાય છે.

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો સંબંધિત મુદ્દાઓ પર વિચાર કરતી વખતે, સિસ્ટમના ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઓર્ડિનેટ્સ અને (ફિગ. 1.1) સાથેના પ્લેન પર બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમને રેન્ડમ બિંદુ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. એ જ રીતે, ત્રણ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં રેન્ડમ બિંદુ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમને "માપની જગ્યામાં રેન્ડમ પોઈન્ટ" તરીકે બોલવું ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે પછીના અર્થઘટનમાં સીધી સ્પષ્ટતા નથી, તેનો ઉપયોગ સામાન્ય પરિભાષા અને સંકેતોના સરળીકરણના સંદર્ભમાં થોડો ફાયદો આપે છે.

ઘણીવાર, રેન્ડમ પોઈન્ટની ઈમેજને બદલે, રેન્ડમ વેક્ટરની ઈમેજનો ઉપયોગ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના ભૌમિતિક અર્થઘટન માટે થાય છે. બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમને પ્લેન પર રેન્ડમ વેક્ટર તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેના ઘટકો અક્ષો સાથે રેન્ડમ ચલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (ફિગ. 1.2). ત્રણ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં રેન્ડમ વેક્ટર દ્વારા રજૂ થાય છે, પરિમાણીય અવકાશમાં રેન્ડમ વેક્ટર દ્વારા રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ. આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ નંબર સિસ્ટમના સિદ્ધાંતને રેન્ડમ વેક્ટરના સિદ્ધાંત તરીકે ગણવામાં આવે છે.

ફિગ.1.1.

ફિગ.1.2

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો સાથે કામ કરતી વખતે, અમે સંપૂર્ણ, સંપૂર્ણ સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ - વિતરણ કાયદા અને અપૂર્ણ - સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ બંનેને ધ્યાનમાં લઈશું.

અમે બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના સૌથી સરળ કેસ સાથે અમારી રજૂઆત શરૂ કરીએ છીએ.

ઘણીવાર, રેન્ડમ ઘટનાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ એક રેન્ડમ ચલ સાથે નહીં, પરંતુ બે, ત્રણ અથવા વધુ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. રેન્ડમ ચલોની મર્યાદિત સંખ્યાનો સંયુક્ત અભ્યાસ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ તરફ દોરી જાય છે. અહીં રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના કેટલાક ઉદાહરણો છે:

• 1. સ્પેસ શટલ ફરીથી વાપરી શકાય તેવા અવકાશયાનનું ઉતરાણ બિંદુ ત્રણ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: અક્ષાંશ (av), રેખાંશ (A,), ઊંચાઈ (H).
• 2. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીનું શૈક્ષણિક પ્રદર્શન રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે - ડિપ્લોમાના જોડાણમાં મૂકવામાં આવેલા ગુણ.

રેન્ડમ ચલોનો ઓર્ડર કરેલ સેટ >,

પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા પર આપેલ n રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ કહેવાય છે. n-પરિમાણીય અવકાશમાં રેન્ડમ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે તેને ધ્યાનમાં લેવું અનુકૂળ છે. n રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ એ પ્રાથમિક ઘટનાનું કાર્ય છે, એટલે કે.

દરેક પ્રાથમિક ઘટના n વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે સંકળાયેલી હોય છે - મૂલ્યો જે રેન્ડમ ચલો દ્વારા સ્વીકારવામાં આવે છે (X, X 2, ..., XJ પ્રયોગના પરિણામે.

સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ રેન્ડમ ચલો (X 1? X 2, ..., X) અલગ અને બિન-વિવિધ (સતત અને મિશ્ર) હોઈ શકે છે. એક અવ્યવસ્થિત ચલની વિભાવનાની તમામ મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ તેમને વ્યવહારીક ફેરફારો વિના લાગુ પડે છે.

ચાલો બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ (X;Y). તેની મૂળભૂત વિભાવનાઓ મોટી સંખ્યામાં ઘટકોના કિસ્સામાં સરળતાથી સામાન્યીકરણ થાય છે. બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (X;Y) ને OXY પ્લેન (ફિગ. 2.18) અથવા રેન્ડમ વેક્ટર (ફિગ. 2.19) પરના રેન્ડમ બિંદુ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા એ તેનો વિતરણ કાયદો છે, જે વિવિધ સ્વરૂપો ધરાવે છે:

• વિતરણ મેટ્રિક્સ;
• વિતરણ કાર્ય;
• વિતરણ ઘનતા.

બે રેન્ડમ ચલ (X,Y) ની સિસ્ટમ માટે એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ની વિતરણ શ્રેણીનું એનાલોગ એ વિતરણ મેટ્રિક્સ છે - એક લંબચોરસ કોષ્ટક જેમાં

સંભાવનાઓ ગોઠવાય છે

ઘટના એ ઘટનાઓનું ઉત્પાદન છે (X = x ડી)

અને (Y = y).

બે અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે:

તેની નોંધ લો

ફિગ માં. આકૃતિ 2.20 દ્વિ-પરિમાણીય ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ (X, Y) ના વિતરણનો ગ્રાફ બતાવે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ (X,Y) ના વિતરણ મેટ્રિક્સને જાણીને, દરેક ઘટકની વિતરણ શ્રેણી નક્કી કરી શકે છે (વિપરીત સામાન્ય રીતે અશક્ય છે).

જરૂરી સૂત્રો આના જેવા દેખાય છે:

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે વિતરણ કાયદાનું સૌથી સાર્વત્રિક સૂત્ર એ વિતરણ કાર્ય છે, જેને આપણે સૂચવીએ છીએ F(x, y).

બે રેન્ડમ ચલ (X,Y) નું વિતરણ કાર્ય અસમાનતાની સંયુક્ત પરિપૂર્ણતાની સંભાવના છે: X x અને Y y, એટલે કે.

ભૌમિતિક રીતે F(x, y)રેન્ડમ પોઈન્ટ (X, Y) એ પોઈન્ટ પર તેના શિરોબિંદુ સાથે અનંત ચોરસમાં પડવાની સંભાવના તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે ( x, y),જે ડાબી બાજુ અને તેની નીચે સ્થિત છે (ફિગ. 2.21).

નોંધ કરો કે ચોરસની ઉપર અને જમણી કિનારીઓ શામેલ નથી.

જો બે અલગ રેન્ડમ ચલ (2.49) નું વિતરણ મેટ્રિક્સ આપવામાં આવે, તો દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ચાલો દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યના કેટલાક ગુણધર્મો રજૂ કરીએ.

1. વિતરણ કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ F(x, y)સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે એટલે કે.

2. વિતરણ કાર્ય F(x, y)તેની બંને દલીલોનું બિન-ઘટતું કાર્ય છે, એટલે કે.

3. જો વિતરણ કાર્યની ઓછામાં ઓછી એક દલીલ હોય F(x, y)-oo તરફ વળે છે, પછી વિતરણ કાર્ય શૂન્યમાં ફેરવાય છે, એટલે કે.

• 4. જો વિતરણ કાર્યની બંને દલીલો F(x, y)+oo પર વળો, પછી તે એક સમાન બને છે, એટલે કે F(+oo, +oo) = 1.
• 5. જો વિતરણ કાર્યની એક દલીલ +oo તરફ વળે છે, તો બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય બની જાય છે જે અન્ય દલીલને અનુરૂપ છે, એટલે કે.

જ્યાં F x (x) અને F 2 (y) - અનુક્રમે રેન્ડમ ચલ X અને Y ના વિતરણ કાર્યો.

6. બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય F(x, y)તેની દરેક દલીલોના સંદર્ભમાં સતત છોડી દેવામાં આવે છે, એટલે કે.

વિતરણ કાર્ય જાણવું F(x, y),તમે રેન્ડમ પોઈન્ટને ફટકારવાની સંભાવના શોધી શકો છો ( X, Y) સંકલન અક્ષની સમાંતર બાજુઓ સાથે લંબચોરસ G માં, એબ્સીસાસ દ્વારા મર્યાદિત a, bઅને ઓર્ડિનેટ c અને d, G માં ડાબી અને નીચલી સીમાઓ સાથે, પરંતુ જમણી અને ઉપરની સીમાઓ શામેલ નથી (ફિગ. 2.22).

જો વિતરણ કાર્ય F(x, y)દરેક દલીલોના સંદર્ભમાં સતત અને ભિન્નતાપાત્ર છે, પછી બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (X, Y) સતત છે, અને આ સિસ્ટમના ઘટકો સતત રેન્ડમ ચલ છે.

સતત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલો માટે, વિતરણ ઘનતા (અથવા સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા) ની વિભાવનાને વિતરણ કાયદા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. f(x, y),જે વિતરણ કાર્યનું બીજું મિશ્ર આંશિક વ્યુત્પન્ન છે, એટલે કે.

વિતરણ ઘનતા f(x, y)ચોક્કસ સપાટીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેને વિતરણ સપાટી કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 2.23).

વિતરણ ઘનતા f(x, y)નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

• 1) વિતરણ ઘનતા એ બિન-નકારાત્મક કાર્ય છે, એટલે કે. f(x, y) > 0;
• 2) વિતરણ સપાટી અને ઓક્સી પ્લેન દ્વારા મર્યાદિત વોલ્યુમ એકતા સમાન છે, એટલે કે.

3) રેન્ડમ બિંદુ (X, Y) પ્રદેશ G માં પડવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

4) બે રેન્ડમ ચલો (X, Y) ની સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા દ્વારા નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

જેમ કે એક રેન્ડમ ચલના કિસ્સામાં, અમે બે સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે સંભાવના તત્વનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ: f(x, y)dxdy.

અનંત ઉચ્ચ ઓર્ડર્સ સુધી, સંભાવનાનું તત્વ f(x, y)dxdyરેન્ડમ બિંદુ (X, Y) પરિમાણ સાથે પ્રાથમિક લંબચોરસમાં પડવાની સંભાવના સમાન છે dx અને dy,એક બિંદુને અડીને (x, y)(ફિગ. 2.24).

આ સંભાવના લગભગ ઊંચાઈ સાથે પ્રાથમિક સમાંતર પાઈપના જથ્થાની બરાબર છે f(x, y),જે આ લંબચોરસ પર ટકે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય સતત રેન્ડમ ચલના એક-પરિમાણીય ઘટકો X અને Y ની વિતરણ ઘનતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય સતત રેન્ડમ ચલની સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા જાણવી/(x, y),તમે તેના દરેક ઘટકોનું વિતરણ કાર્ય શોધી શકો છો:

જો સિસ્ટમ (X, Y) માં સમાવિષ્ટ રેન્ડમ ચલ X અને Y ના વિતરણના નિયમો જાણીતા છે, તો જો રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર હોય તો જ સિસ્ટમના વિતરણના કાયદાને નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય છે. બે રેન્ડમ ચલ X અને Y માત્ર ત્યારે જ સ્વતંત્ર હશે જો તેમાંના દરેકના વિતરણનો કાયદો અન્ય કયા મૂલ્યો લે છે તેના પર નિર્ભર ન હોય. નહિંતર, X અને Y ના મૂલ્યો નિર્ભર રહેશે.

અમે પુરાવા વિના બે રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતા માટેની શરતો રજૂ કરીએ છીએ.

પ્રમેય 2.2.બે અલગ રેન્ડમ ચલ X અને Y માટે, સિસ્ટમ (X, Y) ની રચના કરવા માટે, સ્વતંત્ર બનવા માટે, તે સમાનતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે.

Vi = 1 માટે, nઅને j = 1, ટી.

પ્રમેય 2.3.સિસ્ટમ (X, Y) માં સમાવિષ્ટ રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર હોવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય તેના ઘટકોના વિતરણ કાર્યોના ઉત્પાદન સમાન હોય, એટલે કે.

પ્રમેય 2.4.સિસ્ટમ (X, Y) માં સમાવિષ્ટ સતત રેન્ડમ ચલ X અને Y ને સ્વતંત્ર રહેવા માટે, તે સમાનતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે.

એટલે કે, સિસ્ટમની સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા (X, Y) તેના ઘટકોની વિતરણ ઘનતાના ઉત્પાદનની સમાન હોવી જોઈએ.

સિસ્ટમની રચના કરતી રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ X અને Y નિર્ભર હોય તેવા સંજોગોમાં, રેન્ડમ ચલોના વિતરણના શરતી કાયદાઓની વિભાવનાઓ તેમની અવલંબનને દર્શાવવા માટે રજૂ કરવામાં આવે છે.

અમે આ માર્ગદર્શિકામાં વિતરણના શરતી કાયદાઓને સ્પર્શ કરીશું નહીં. રસ ધરાવતા લોકો તેમની સાથે પોતાને પરિચિત કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે અહીં.

એક રેન્ડમ ચલ Xની જેમ, બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (X, Y) સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. જેમ કે, વિવિધ ઓર્ડરના પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે.

ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણ (પ્રતિ + s) બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (X અને Y) ને ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે X કેપર હા,એટલે કે

ઓર્ડરની કેન્દ્રીય ક્ષણ (પ્રતિબે રેન્ડમ ચલ (X, Y) ની સિસ્ટમની + s) ને ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે

કામ કરે છે X કે U® પર, એટલે કે

જ્યાં રેન્ડમ કેન્દ્રિત છે

જથ્થો

યાદ કરો કે પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોનો ક્રમ તેના સૂચકાંકોનો સરવાળો છે, એટલે કે. (પ્રતિ+ ઓ).

ચાલો પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય ક્ષણો શોધવા માટેના સૂત્રો રજૂ કરીએ.

બે અલગ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે, અમારી પાસે છે
ચાલો તમને તે યાદ અપાવીએ

બે સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે આપણે મેળવીએ છીએ

વ્યવહારમાં, પ્રથમ અને બીજા ઓર્ડરની પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે.

પ્રથમ ઓર્ડરની બે પ્રારંભિક ક્ષણો છે:

તે રેન્ડમ ચલ X અને Y ની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ છે.

કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ ( M[X], M[Y]) OXY પ્લેન પર - રેન્ડમ બિંદુની સ્થિતિની લાક્ષણિકતા (X, Y), એટલે કે તેનો ફેલાવો બિંદુની આસપાસ થાય છે (M[X, M[Y]).

બંને પ્રથમ ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણો શૂન્ય સમાન છે, એટલે કે.

બીજા ઓર્ડરની ત્રણ પ્રારંભિક ક્ષણો છે:

ક્ષણ એ 11 ઘણીવાર એપ્લિકેશન્સમાં જોવા મળે છે. અભિવ્યક્તિઓમાંથી (2.66) અને (2.68) તેની ગણતરી માટેના સૂત્રો અનુસરે છે:

બે અલગ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે

બે સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે

બીજા ક્રમમાં ત્રણ કેન્દ્રીય ક્ષણો છે:

સૂત્રોમાં પ્રથમ બે ક્ષણો (2.74) વિખેરાઈ છે. અને ક્ષણ { સહપ્રવૃત્તિ કહેવાય છે, અથવા રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સહસંબંધ ક્ષણ (X,Y). તેના માટે એક ખાસ હોદ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યો છે K = K xy.અભિવ્યક્તિઓમાંથી (2.67) અને (2.69) તેની ગણતરી માટેના સૂત્રો અનુસરે છે:

અલગ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે

સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો માટે

કેન્દ્રીય ક્ષણો પ્રારંભિક મુદ્દાઓ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે અને ઊલટું. તેથી, સહવર્તન ઘણીવાર પ્રારંભિક ક્ષણોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

એટલે કે, બે અવ્યવસ્થિત ચલોની સિસ્ટમની સહપ્રવૃત્તિ તેમના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ બાદ તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે.

અહીં સહપ્રવર્તનના કેટલાક ગુણધર્મો છે:

1. સહપ્રવૃત્તિ સપ્રમાણ છે, એટલે કે, જ્યારે સૂચકાંકોની અદલાબદલી થાય છે, ત્યારે તે બદલાતું નથી:

2. રેન્ડમ ચલનું વિચલન એ તેની પોતાની સાથેનું સહપ્રસંગ છે, એટલે કે.

3. જો રેન્ડમ ચલ X અને વાયસ્વતંત્ર છે, તો સહપ્રવૃત્તિ શૂન્ય છે:

સહસંબંધ ક્ષણનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલ X અને Y ના પરિમાણના ગુણાંક જેટલું છે. પરિમાણહીન ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે જે રેન્ડમ ચલ X અને Y વચ્ચેની અવલંબનને જ દર્શાવે છે. તેથી, સહપ્રવર્તનને વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત વિચલનોના ઉત્પાદન દ્વારા a[X] x a[Y] અને સહસંબંધ ગુણાંક મેળવવામાં આવે છે:

આ ગુણાંક રેન્ડમ ચલ X અને Y ની અવલંબન ની ડિગ્રી દર્શાવે છે, અને કોઈ અવલંબન નથી, પરંતુ માત્ર રેખીય છે. કોઈપણ બે રેન્ડમ ચલ X અને Y માટે, નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે:

જો g xy= 0, તો પછી રેન્ડમ ચલ X અને Y વચ્ચે કોઈ રેખીય સંબંધ નથી અને તેમને અસંબંધિત કહેવામાં આવે છે. જો g xy F 0, પછી રેન્ડમ ચલ X અને Y ને સહસંબંધિત કહેવામાં આવે છે.

r એ ±1 ની જેટલી નજીક છે, રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ X અને Y વચ્ચે જેટલો નજીકનો રેખીય સંબંધ અસ્તિત્વમાં છે. જો r = ±1 હોય, તો પછી રેન્ડમ ચલ X અને Y વચ્ચે ફોર્મનો સખત કાર્યાત્મક રેખીય સંબંધ છે.

રેન્ડમ ચલ X અને Y ની સ્વતંત્રતાથી, તે અનુસરે છે કે તેઓ અસંબંધિત છે. પરંતુ સામાન્ય કિસ્સામાં વાતચીત સાચી નથી, એટલે કે જો g xy= 0, પછી આ ફક્ત રેન્ડમ ચલો વચ્ચે રેખીય સંબંધની ગેરહાજરી સૂચવે છે. તેઓ વળાંકવાળા સંબંધ દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોઈ શકે છે.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 2.5

બે અલગ રેન્ડમ ચલ (X,Y) ની સિસ્ટમનું વિતરણ મેટ્રિક્સ આપવામાં આવ્યું છે.

સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો (X,Y): M[X], M[Y], D[X], D[Y], st[X], a[Y], K)