તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી. ચતુર્ભુજ સમીકરણ અને ચતુર્ભુજ ત્રિપદી

I. તર્કસંગત સમીકરણો.

1) રેખીય સમીકરણો.

2) રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો.

3) ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમને ઘટાડી શકાય તેવા સમીકરણો.

4) પારસ્પરિક સમીકરણો.

5) ઉચ્ચ ડિગ્રીના બહુપદી માટે વિએટાનું સૂત્ર.

6) બીજી ડિગ્રીના સમીકરણોની સિસ્ટમો.

7) સમીકરણો અને સમીકરણોની પ્રણાલીઓ ઉકેલતી વખતે નવા અજાણ્યાઓને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ.

8) સજાતીય સમીકરણો.

9) સમીકરણોની સપ્રમાણ પ્રણાલીઓ ઉકેલવી.

10) પરિમાણો સાથેના સમીકરણોની સમીકરણો અને સિસ્ટમો.

11) બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ.

12) મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવતા સમીકરણો.

13) તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ

II. તર્કસંગત અસમાનતાઓ.

1) સમાન અસમાનતાના ગુણધર્મ.

2) બીજગણિત અસમાનતા.

3) અંતરાલ પદ્ધતિ.

4) અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અસમાનતાઓ.

5) નિરપેક્ષ મૂલ્ય ચિહ્ન હેઠળ અજ્ઞાત ધરાવતી અસમાનતા.

6) પરિમાણો સાથે અસમાનતા.

7) તર્કસંગત અસમાનતાઓની સિસ્ટમ્સ.

8) અસમાનતાના ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.

III. સ્ક્રીનીંગ ટેસ્ટ.

તર્કસંગત સમીકરણો

ફોર્મનું કાર્ય

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

જ્યાં n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, a 0, a 1,…, a n એ અમુક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, જેને સમગ્ર તર્કસંગત કાર્ય કહેવાય છે.

ફોર્મ P(x) = 0 નું સમીકરણ, જ્યાં P(x) એક સંપૂર્ણ તર્કસંગત કાર્ય છે, તેને સમગ્ર તર્કસંગત સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

ફોર્મનું સમીકરણ

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

જ્યાં P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) સમગ્ર તર્કસંગત કાર્યો છે, જેને કહેવાય છે એક તર્કસંગત સમીકરણ.

તર્કસંગત સમીકરણ P (x) / Q (x) = 0, જ્યાં P (x) અને Q (x) બહુપદી (Q (x) ¹ 0 છે, તે સમીકરણ P (x) = 0 ને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે અને તપાસી રહ્યું છે કે મૂળ Q (x) ¹ 0 ની સ્થિતિને સંતોષે છે.

રેખીય સમીકરણો.

ax+b=0 ફોર્મનું સમીકરણ, જ્યાં a અને b કેટલાક સ્થિરાંકો છે, તેને રેખીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

જો a¹0 હોય, તો રેખીય સમીકરણ એક જ મૂળ ધરાવે છે: x = -b /a.

જો a=0; b¹0, તો રેખીય સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

જો a=0; b=0, પછી, મૂળ સમીકરણને ફોર્મ ax = -b માં ફરીથી લખતા, તે જોવાનું સરળ છે કે કોઈપણ x એ રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ છે.

સીધી રેખાનું સમીકરણ છે: y = ax + b.

જો રેખા X 0 અને Y 0 કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તો આ કોઓર્ડિનેટ્સ રેખાના સમીકરણને સંતોષે છે, એટલે કે Y 0 = aX 0 + b.

ઉદાહરણ 1.1. સમીકરણ ઉકેલો

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

ઉકેલ. ક્રમિક રીતે કૌંસ ખોલો, સમાન શબ્દો ઉમેરો અને x શોધો: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

ઉદાહરણ 1.2.સમીકરણ ઉકેલો

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

ઉકેલ. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

ઉદાહરણ 1.3. સમીકરણ ઉકેલો.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

ઉકેલ. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

જવાબ: કોઈપણ નંબર.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો.

ફોર્મનું સમીકરણ

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

જ્યાં a 1, b 1, …, a n, b કેટલાક સ્થિરાંકો છે, જેને n અજાણ્યા x 1, x 2, …, x n સાથે રેખીય સમીકરણ કહેવાય છે.

જો સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ તમામ સમીકરણો રેખીય હોય તો સમીકરણોની સિસ્ટમને રેખીય કહેવામાં આવે છે. જો સિસ્ટમમાં n અજાણ્યો હોય, તો નીચેના ત્રણ કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1) સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી;

2) સિસ્ટમ પાસે બરાબર એક ઉકેલ છે;

3) સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ઉદાહરણ 2.4.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. તમે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શકો છો, જેમાં સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણ માટે અન્ય અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં એક અજ્ઞાતને વ્યક્ત કરવાનો અને પછી બાકીના સમીકરણોમાં આ અજ્ઞાતના મૂલ્યને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે.

પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ: x = (8 – 3y) / 2. આપણે આ સમીકરણને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

ઉકેલ. સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે સિસ્ટમના બે સમીકરણો એક સાથે સંતુષ્ટ થઈ શકતા નથી (પ્રથમ સમીકરણ x + y = 3 અને બીજા x + y = 3.5માંથી).

જવાબ: ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

ઉદાહરણ 2.6. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. સિસ્ટમમાં અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો છે, કારણ કે બીજું સમીકરણ પ્રથમમાંથી 2 વડે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, હકીકતમાં, બે અજાણ્યાઓ સાથે માત્ર એક જ સમીકરણ છે).

જવાબ: અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ઉદાહરણ 2.7. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

ઉકેલ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરતી વખતે, ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, જેમાં સિસ્ટમને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને – 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને બીજા સમીકરણ સાથે પરિણામી પરિણામ ઉમેરીએ છીએ, આપણને – 3y + 6z = – 3 મળે છે. આ સમીકરણને y – 2z = 1 તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. ત્રીજું, આપણને 7y = 7, અથવા y = 1 મળે છે.

આમ, સિસ્ટમે ત્રિકોણાકાર આકાર મેળવ્યો

x + y – z = 2,

બીજા સમીકરણમાં y = 1 ને અવેજીમાં, આપણે z = 0 શોધીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાં y = 1 અને z = 0 ને અવેજીમાં, આપણને x = 1 મળે છે.

જવાબ: (1; 1; 0).

ઉદાહરણ 2.8. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણોની સિસ્ટમ છે

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

અનંત ઘણા ઉકેલો છે?

ઉકેલ. પ્રથમ સમીકરણથી આપણે x વ્યક્ત કરીએ છીએ:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

આ અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

છેલ્લા સમીકરણનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નોંધીએ છીએ કે a = 3 માટે તેનું સ્વરૂપ 0y = 0 છે, એટલે કે. તે y ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને સમીકરણો જે તેમને ઘટાડી શકાય છે.

ax 2 + bx + c = 0 ફોર્મનું સમીકરણ, જ્યાં a, b અને c કેટલીક સંખ્યાઓ છે (a¹0);

x એ ચલ છે જેને ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર.

પ્રથમ, ચાલો સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 ની બંને બાજુઓને a વડે વિભાજીત કરીએ - આનાથી તેના મૂળ બદલાશે નહીં. પરિણામી સમીકરણ ઉકેલવા માટે

x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0

ડાબી બાજુએ એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).

સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે D દ્વારા અભિવ્યક્તિ (b 2 – 4ac) દર્શાવીએ છીએ. પછી પરિણામી ઓળખ સ્વરૂપ લે છે

ત્રણ કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1) જો સંખ્યા D ધન છે (D > 0), તો આ કિસ્સામાં તમે D નું વર્ગમૂળ કાઢી શકો છો અને D = (ÖD) 2 સ્વરૂપમાં D લખી શકો છો. પછી

D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2, તેથી ઓળખ સ્વરૂપ લે છે

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (ÖD / 2a) 2 .

સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અહીંથી મેળવીએ છીએ:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).

પ્રમેય : જો ઓળખ ધરાવે છે

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

તો પછી X 1 ¹ X 2 માટે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 બે મૂળ X 1 અને X 2 ધરાવે છે, અને X 1 = X 2 માટે - માત્ર એક મૂળ X 1 છે.

આ પ્રમેયના આધારે, ઉપરોક્ત ઓળખ પરથી તે સમીકરણને અનુસરે છે

x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0,

અને આમ સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 બે મૂળ ધરાવે છે:

X 1 =(-b + Ö D) / 2a; X 2 = (-b - Ö D) / 2a.

આમ x 2 + (b/a)x + (c/a) = (x – x1)(x – x2).

સામાન્ય રીતે આ મૂળ એક સૂત્ર સાથે લખવામાં આવે છે:

જ્યાં b 2 – 4ac = D.

2) જો સંખ્યા D શૂન્ય છે (D = 0), તો ઓળખ

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

x 2 + (b/a)x + (c/a) = (x + (b/2a)) 2 સ્વરૂપ લે છે.

તે અનુસરે છે કે D = 0 માટે સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 માં ગુણાકાર 2 નું એક મૂળ છે: X 1 = – b / 2a

3) જો સંખ્યા D નકારાત્મક છે (D< 0), то – D >0, અને તેથી અભિવ્યક્તિ

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

બે શબ્દોનો સરવાળો છે, જેમાંથી એક બિન-નકારાત્મક છે અને બીજી હકારાત્મક છે. આવી રકમ શૂન્યની બરાબરી કરી શકતી નથી, તેથી સમીકરણ

x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0

કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 પાસે પણ નથી.

આમ, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે, વ્યક્તિએ ભેદભાવની ગણતરી કરવી જોઈએ

D = b 2 – 4ac.

જો D = 0 હોય, તો ચતુર્ભુજ સમીકરણનો અનન્ય ઉકેલ છે:

જો D > 0 હોય, તો ચતુર્ભુજ સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે:

X 1 =(-b + ÖD) / (2a); X 2 = (-b - ÖD) / (2a).

જો ડી< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

જો b અથવા c ગુણાંકમાંથી એક શૂન્ય હોય, તો ભેદભાવની ગણતરી કર્યા વિના ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલી શકાય છે:

1) b = 0; c¹0; c/a<0; X1,2 = ±Ö(-c / a)

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b/a.

સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 ના મૂળ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

પ્રકરણ 4. તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમો

ચોથો પ્રકરણ તર્કસંગત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને હલ કરવાની રીતોના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. અહીં, 7મા ધોરણમાં શીખેલા અને અગાઉ રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓમાં લાગુ પડેલા વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે જે શીખ્યા છે તેનું પુનરાવર્તન કરવાનું અને નવી પરિસ્થિતિમાં કાર્ય કરવાનું શીખવાનું શક્ય બનાવે છે. આ વિભાવનાઓ છે: બે (ત્રણ) અજ્ઞાત સાથેના સમીકરણના ઉકેલો, બે (ત્રણ) અજ્ઞાત સાથેના સમીકરણોની પ્રણાલીઓ, સમીકરણોની સમાનતાનો ખ્યાલ, સમીકરણોની પ્રણાલીઓ.

પ્રકરણ 4 નો અભ્યાસ કરવાનો હેતુ: સૂચિબદ્ધ વિભાવનાઓમાં નિપુણતા મેળવવી, તર્કસંગત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને હલ કરવાનું શીખો અને તેમને શબ્દોની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે લાગુ કરો.

§ 9. તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમો

નવમા ફકરાનો મુખ્ય ધ્યેય એ છે કે, સમીકરણો અને રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓથી સંબંધિત જાણીતા ખ્યાલોના આધારે, તર્કસંગત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને હલ કરવાનું શીખવું, તેમને શબ્દોની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે લાગુ કરવાનું શીખવું.

9.1. તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ખ્યાલ

આ ફકરો બે (ત્રણ) અજ્ઞાત અને તેના ઉકેલ સાથેના તર્કસંગત સમીકરણની વિભાવનાઓનો પરિચય આપે છે, સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાનો અર્થ શું છે તે વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને સમીકરણોની સિસ્ટમોની સમાનતા વિશે નિવેદનો પ્રદાન કરે છે.

આ ફકરાના મુખ્ય કાર્યો એ સ્થાપિત કરવાના કાર્યો છે કે આપેલ સંખ્યાની જોડી (ત્રણ) એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. વધારાનું કાર્ય વિદ્યાર્થીઓને પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ટેવ પાડે છે.

પુનરાવર્તન કાર્ય. 805–807.

ઉકેલો અને ટિપ્પણીઓ

500. શું સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે:

a) (0; 3); b) (–3; 2).

ઉકેલ. a) 0 + 5 થી 3, પછી સંખ્યાઓની જોડી (0; 3) એ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણનો ઉકેલ નથી, અને તેથી તે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ નથી.

b) ત્યારથી –3 + 5 = 2, (–3) 2 + (–3)2 – 3 = 0, પછી સંખ્યાઓની જોડી (–3; 2) એ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

501. સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે
સંખ્યાઓનો ત્રણ ગણો:

a) (1; -1; 1); b) (1; 1; 1).

ઉકેલ. a) 1 – 1 + 1 3 થી, પછી સંખ્યાઓનો ટ્રિપલ (1; –1; 1) એ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણનો ઉકેલ નથી, અને તેથી તે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ નથી.

b) 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2 થી, તો પછી સંખ્યાઓનો ટ્રિપલ (1; 1; 1) એ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણનો ઉકેલ નથી, અને તેથી તેનો ઉકેલ નથી સમીકરણોની સિસ્ટમ.

વધારાનું કાર્ય

1. કયા મૂલ્ય પર aસંખ્યાઓની જોડી (2; –1) એ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે

ઉકેલ.દો a- ચોક્કસ સંખ્યા કે જેના માટે સંખ્યાઓની જોડી (2; –1) એ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, તો પછી બે સંખ્યાત્મક સમાનતાઓ સાચી છે:

1) 2a 2 + a= 21 અને 2) 10 + a = a 2 + 4,

જે માટે સમીકરણો તરીકે ગણી શકાય a. સમીકરણ 2) બે મૂળ ધરાવે છે: a 1 = 3 અથવા a 2 = –2. નંબર a 1 એ સમીકરણ 1 નું મૂળ છે), અને સંખ્યા a 2 = –2 - ના, તેથી, ક્યારે a= 3 સંખ્યાઓની જોડી (2; –1) એ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. અને અન્ય અર્થો એ, સમસ્યાની શરતોને સંતોષતા, ત્યાં કોઈ નથી.

9.2. તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલોને બદલવા માટેની પદ્ધતિ

આ ફકરામાં, ત્રણ ઉદાહરણો બતાવે છે કે તમે તર્કસંગત સમીકરણોને બદલીને કેવી રીતે હલ કરી શકો છો જેમાં પ્રથમનું ઓછામાં ઓછું એક સમીકરણ છે.

પુનરાવર્તન કાર્ય.આ આઇટમનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તમે કાર્યનો ઉપયોગ કરી શકો છો 810.

ઉકેલો અને ટિપ્પણીઓ

512. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

જી)
ડી)

ઉકેલ.ડી) અભિવ્યક્તિ xદ્વારા yસિસ્ટમ અને અવેજીના બીજા સમીકરણમાંથી yતેના બદલે + 1 x

(1)

હવે, સિસ્ટમ (1) ના પ્રથમ સમીકરણને હલ કર્યા પછી, આપણે તેના બે મૂળ શોધીએ છીએ y 1 = –4 અને y 2 = 3. સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (1)માંથી આપણે અનુરૂપ મૂલ્યો મેળવીએ છીએ x: x 1 = –3 અને x 2 = 4.

ડી) અભિવ્યક્તિ yદ્વારા xસિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાંથી અને 3 – 3 ને બદલીને xતેના બદલે yપ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

(2)

હવે, સિસ્ટમ (2) ના પ્રથમ સમીકરણને હલ કર્યા પછી, આપણે તેના બે મૂળ શોધીએ છીએ x 1 = અને
x 2 = . સિસ્ટમ (2) ના બીજા સમીકરણમાંથી આપણે અનુરૂપ મૂલ્યો મેળવીએ છીએ y: y 1 = – અને y 2 = 2.

જવાબ આપો.ડી) (–3; –4), (4; 3); e) (; –), (; 2).

મધ્યવર્તી નિયંત્રણ.એસ-21.

9.3. તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની અન્ય રીતો

આ ફકરામાં, તર્કસંગત સમીકરણોની નિરાકરણ પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે - સમીકરણો ઉમેરવાની પદ્ધતિ દ્વારા, નવા અજાણ્યાઓને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા, સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા, અવયવીકરણની પદ્ધતિ દ્વારા. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોના સમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ થાય છે. કેટલીકવાર સિસ્ટમ ઉકેલવામાં એ જાણીને મદદ મળે છે કે બે સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય છે અને જો તે સંખ્યાઓ શૂન્ય હોય તો જ.

પુનરાવર્તન કાર્ય.આ આઇટમનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તમે કાર્યનો ઉપયોગ કરી શકો છો 820.

ઉકેલો અને ટિપ્પણીઓ

517. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

વી)
ડી)

ઉકેલ. c) ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને આ સિસ્ટમના બે સમીકરણોના સરવાળા સાથે બદલીએ. અમે મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

(1)

હવે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ (1):

(2)

બે સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય સમાન હોવાથી અને જો આ સંખ્યાઓ શૂન્ય હોય તો જ, સિસ્ટમ (2) ના પ્રથમ સમીકરણમાં અનન્ય ઉકેલ (2; –6) છે. સંખ્યાઓની આ જોડી સિસ્ટમ (2) ના બીજા સમીકરણનો ઉકેલ છે, તેથી, તે સિસ્ટમ (2) અને તેની સમકક્ષ મૂળ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

e) ચાલો અજાણ્યામાં ફેરફાર કરીએ: a= અને b= ચાલો સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ:

(3)

સિસ્ટમ (3) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે: a 1 = 1, b 1 = . પરિણામે, સિસ્ટમ e) પાસે એક અનન્ય ઉકેલ પણ છે: x 1 = 1, y 1 = 2.

જવાબ આપો. c) (2; -6); e) (1; 2).

512. g) સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ.સામાન્ય રીતે આવી સિસ્ટમનો ઉકેલ આ સિસ્ટમને સમકક્ષ સિસ્ટમો સાથે બદલીને લખવામાં આવે છે:

(4)

સમકક્ષતા ચિહ્નો () શિક્ષક માટે સુયોજિત છે, પરંતુ ગણિતના ગહન અભ્યાસ સાથેના વર્ગમાં તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

સિસ્ટમના છેલ્લા (4) બીજા સમીકરણના ઉકેલો નીચેની સંખ્યાઓની જોડી છે ( x; y), જે ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણોના ઉકેલો છે:

1) x + y= 1 અને 2) x + y = –1.

તેથી, મૂળ સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો એ બે સિસ્ટમોના તમામ ઉકેલોનું જોડાણ છે:

3)
અને 4)

સિસ્ટમો 3) અને 4) ઉકેલ્યા પછી અમે મૂળ સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો મેળવીએ છીએ: (-1; 2), (2; -1), (1; -2), (-2; 1).

જવાબ આપો. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

518. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

અ)
વી)
અને)

ઉકેલ.એ) નવા અજાણ્યાનો પરિચય કરીને a = x 2 – 4y
. તેનું એક જ મૂળ છે a= 1. આનો અર્થ એ છે કે આ સિસ્ટમ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે

(5)

સિસ્ટમ (5) ના સમીકરણો ઉમેરીને અને પરિણામી સમીકરણ સાથે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને બદલીને, અમે સિસ્ટમ (5) ની સમકક્ષ નવી સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ, અને તેથી મૂળ સિસ્ટમમાં:

(6)

સિસ્ટમ (6) ના પ્રથમ સમીકરણમાં સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કર્યા પછી, અમે સિસ્ટમ (6) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

(7)

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમ (7) ના પ્રથમ સમીકરણમાં અનન્ય ઉકેલ છે: x 1 = 3, y 1 = 2. તપાસો દર્શાવે છે કે સંખ્યાઓની આ જોડી સિસ્ટમ (7) ના બીજા સમીકરણનો ઉકેલ છે, જેનો અર્થ છે કે તે સિસ્ટમ (7) અને તેની સમકક્ષ મૂળ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

તેથી, મૂળ સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે (3; 2).

c) નવા અજ્ઞાતને રજૂ કરીને a =
, અમે ફોર્મમાં સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ફરીથી લખીએ છીએ:
. તેના બે મૂળ છે: a 1 = 1 અને a 2 = –4. તેથી, મૂળ સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો એ બે સિસ્ટમોના તમામ ઉકેલોનું જોડાણ છે:

1)
અને 2)

અવેજીનો ઉપયોગ y = 9 – x, અમે દરેક સિસ્ટમને હલ કરીએ છીએ અને શોધીએ છીએ કે સિસ્ટમ 1) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે (6; 3), અને સિસ્ટમ 2) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે (14; –5).

તેથી, મૂળ સિસ્ટમમાં બે ઉકેલો છે: (6; 3), (14; –5).

g) ચાલો સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ:

(8)

જો સંખ્યાઓની જોડી ( x 0 ; y 0) એ સિસ્ટમ (8) નો ઉકેલ છે, તો પછી નીચેની સંખ્યાત્મક સમાનતાઓ સાચી છે: x 0 (9x 0 + 4y 0) = 1 અને y 0 (9x 0 + 4y 0) = –2. નોંધ કરો કે આ સંખ્યાત્મક સમાનતાઓની બંને બાજુઓ શૂન્ય નથી, તેથી, પ્રથમ સમાનતાને બીજા શબ્દ દ્વારા વિભાજીત કરવાથી, અમે નવી સંખ્યાત્મક સમાનતા મેળવીએ છીએ:
. જ્યાંથી તે તેને અનુસરે છે y 0 = –2x 0 . એટલે કે, સિસ્ટમના માંગેલા ઉકેલો (8) સિસ્ટમના ઉકેલો છે

(9)

સિસ્ટમ (9) હલ કર્યા પછી, અમે તેના બે ઉકેલો મેળવીએ છીએ: (1; -2), (-1; 2).

તપાસ કરવાથી અમને ખાતરી થાય છે કે આ બંને સંખ્યાની જોડી ખરેખર મૂળ સિસ્ટમના ઉકેલો છે.

જવાબ આપો. a) (3; 2); c) (6; 3), (14; –5); g) (1; -2), (-1; 2).

ટિપ્પણી.નોંધ કરો કે સમસ્યા હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં g) અમે સિસ્ટમ (9) ની મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષતા સાબિત કરી નથી, પરંતુ ઉપરના તર્કથી તે અનુસરે છે કે મૂળ સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ એ સિસ્ટમ (9) (એટલે ​​​​કે. , સિસ્ટમ (9) એ મૂળ સિસ્ટમનું પરિણામ છે ), તેથી તે તપાસવું જરૂરી છે કે શું સિસ્ટમ (9) નું દરેક સોલ્યુશન મૂળ સિસ્ટમનું સોલ્યુશન છે. અને આ ચેક એ સિસ્ટમના ઉકેલનો ફરજિયાત ભાગ છે.

વાસ્તવમાં, સિસ્ટમ (9) એ મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે, જે નીચે દર્શાવેલ નિવેદનમાંથી નીચે મુજબ છે.

વધારાના કાર્યો

1. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

અ)
b)

વી)
જી)

ઉકેલ. a) પ્રથમ સમીકરણમાં સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કર્યા પછી, અમે તેને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

(x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 0. (1)

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અનન્ય ઉકેલ છે: x 1 = 3, y 1 = 1. તપાસ કરવાથી અમને ખાતરી થાય છે કે આ જોડી બીજા સમીકરણનો ઉકેલ છે, અને તેથી સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

b) એ જ રીતે દલીલ કરીને, અમે સિસ્ટમ માટે અનન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ (-2, 0.5).

c) ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણની ડાબી બાજુએ ફેક્ટરાઇઝ કરીએ:

x 2 – 7xy + 12y 2 = x 2 – 3xy – 4xy + 12y 2 = x(x – 3y) – 4y(x– 3y) = (x – 3y)(x – 4y).

ચાલો આ સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ

(2)

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમના તમામ સોલ્યુશન્સ (2) એ બે સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનું જોડાણ છે:

1)
અને 2)

સિસ્ટમ 1) પાસે બે ઉકેલો છે: (3; 1), (–3; –1). સિસ્ટમ 2) પાસે પણ બે ઉકેલો છે: (12; 3), (–12; –3). પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમમાં ચાર ઉકેલો છે: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).

ડી) ચાલો મૂળ સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ:

(3)

દેખીતી રીતે, સિસ્ટમ (3) ના પ્રથમ સમીકરણમાં અનન્ય ઉકેલ છે:
(3; -2). ચકાસણી બતાવે છે કે તે સિસ્ટમ (3) ના બીજા સમીકરણનો પણ ઉકેલ છે, તેથી, સિસ્ટમ (3), અને તેથી મૂળ સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે (3; –2).

જવાબ આપો. a) (3; 1); b) (–2, 0.5); c) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); ડી) (3; -2).

2. નિવેદન સાબિત કરો: જો f (x, y) અને g (x, y) - આદર સાથે બહુપદી xઅને y, aઅને b- સંખ્યાઓ, b 0, પછી સિસ્ટમ 1 સમકક્ષ છે)
અને 2)

પુરાવો. 1. સંખ્યાઓની જોડી દો ( x 0 ; y 0) એ સિસ્ટમ 1 નો ઉકેલ છે), તો પછી નીચેની સંખ્યાત્મક સમાનતાઓ સાચી છે: f(x 0 , y 0) = aઅને g(x 0 , y 0) = b. કારણ કે b 0, પછી g(x 0 , y 0) 0, તેથી સંખ્યાત્મક સમાનતા સાચી છે:
. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ 1) નો કોઈપણ ઉકેલ એ સિસ્ટમ 2 નો ઉકેલ છે).

2. હવે સંખ્યાઓની જોડી દો ( x 0 ; y 0) એ સિસ્ટમ 2 નો ઉકેલ છે), તો સંખ્યાત્મક સમાનતાઓ સાચી છે: અને g(x 0 , y 0) = b. કારણ કે b 0, પછી g(x 0 , y 0) 0, તેથી પ્રથમ સંખ્યાત્મક સમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર g(x 0 , y 0) અને b, અમને એક નવી સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળે છે: f(x 0 , y 0) = a. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ 2 નો કોઈપણ ઉકેલ) એ સિસ્ટમ 1 નો ઉકેલ છે).

3. ધારો કે સિસ્ટમ 1) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, અને સિસ્ટમ 2) પાસે ઉકેલ છે. પછી ઉપરના પુરાવાના બિંદુ 2 થી, તે સિસ્ટમ 1) ને અનુસરે છે. પરિણામી વિરોધાભાસ દર્શાવે છે કે બનાવેલી ધારણા ખોટી છે. આનો અર્થ એ છે કે જો સિસ્ટમ 1) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, તો સિસ્ટમ 2) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

તે જ રીતે સાબિત થાય છે કે જો સિસ્ટમ 2) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, તો સિસ્ટમ 1) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉપરોક્ત પુરાવા પરથી તે અનુસરે છે કે સિસ્ટમો 1) અને 2) સમકક્ષ છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ચાલો સિસ્ટમ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ આપીએ 518, અને આ નિવેદન સાથે.

છેલ્લી સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, અમે તેના બે ઉકેલો મેળવીએ છીએ: (1; -2), (-1; 2), તેથી, મૂળ સિસ્ટમમાં બે ઉકેલો છે: (1; -2), (-1; 2).

3. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

અ)
b) c)

ઉકેલ. a) મૂળ સિસ્ટમ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે

જેને આપણે આ રીતે ફરીથી લખીએ છીએ:

(4)

સિસ્ટમ (4) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે (1; 2). પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમમાં પણ એક અનોખો ઉકેલ છે (1; 2).

b) અમે મૂળ સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ

આ સિસ્ટમ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

(5)

સિસ્ટમ (5) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે (-1; -5). પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ પણ છે (–1; –5).

c) મૂળ સિસ્ટમ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે

અથવા સિસ્ટમ

(6)

સિસ્ટમ (6) પાસે બે ઉકેલો છે (1; 2; –2), (-1; –2; 2). પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમમાં પણ બે ઉકેલો છે (1; 2; –2), (-1; –2; –2).

જવાબ આપો. a) (1; 2); b) (–1; –5); c) બે ઉકેલો (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

મધ્યવર્તી નિયંત્રણ. S-22, S-23, S-24*.

9.4. તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

આ ફકરામાં, તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમ તરફ દોરી જતા શબ્દોની સમસ્યાઓના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. તમે સરળ કાર્યો સાથે નવી સામગ્રી સમજાવવાનું શરૂ કરી શકો છો 513, 514, 519, 520 .

પુનરાવર્તન કાર્ય.આ આઇટમનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તમે કાર્યનો ઉપયોગ કરી શકો છો 820, 952.

ઉકેલો અને ટિપ્પણીઓ

513. a) સંખ્યા 171 ને બે અવયવોમાં વિભાજીત કરો, જેનો સરવાળો 28 જેટલો થશે.

ઉકેલ.દો x- પ્રથમ પરિબળ, y - બીજો ગુણક. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ:

સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, અમે બે ઉકેલો મેળવીએ છીએ: x 1 = 9, y 1 = 19 અને x 2 = 19, y 2 = 9. અહીં અવયવોનો ક્રમ મહત્વનો નથી, તેથી જરૂરી અવયવો 9 અને 19 છે.

જવાબ આપો. 9 અને 19.

519. a) જો તમે પ્રથમ સંખ્યાના વર્ગમાં બીજી સંખ્યાની બે વાર ઉમેરો કરો છો, તો તમને (–7) મળશે, અને જો તમે પ્રથમ સંખ્યામાંથી બીજી સંખ્યા બાદ કરો છો, તો તમને 11 મળશે. આ સંખ્યાઓ શોધો.

ઉકેલ.દો x-પ્રથમ નંબર y-બીજો નંબર. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે, ચાલો બે સમીકરણો બનાવીએ: x 2 + 2y= –7 અને x – y= 11. આ સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, આપણે તેના બે ઉકેલો મેળવીએ છીએ: (–5; –16), (3; –8).x = 6 અને y= 4, એટલે કે, જરૂરી સંખ્યા 64 છે.

જવાબ આપો. 64.

522. b) બે કામદારો, એક સાથે કામ કરતા, 5 દિવસમાં તમામ કામ પૂર્ણ કરે છે. જો પ્રથમ કાર્યકર બમણી ઝડપે કામ કરે છે, અને બીજા કાર્યકર બમણી ઝડપે કામ કરે છે, તો તેઓ 4 દિવસમાં તમામ કામ પૂર્ણ કરશે. પ્રથમ કાર્યકર આ કામ કેટલા દિવસમાં પૂર્ણ કરશે?

ઉકેલ. આઈમાર્ગમાટે દો xઅને yદિવસો, પ્રથમ અને બીજા કામદારો અનુક્રમે તમામ કામ પૂર્ણ કરશે. જો તેઓ સાથે મળીને કામ કરશે તો તેઓ 5 દિવસમાં કામ પૂર્ણ કરશે. ચાલો પ્રથમ સમીકરણ બનાવીએ:
.

જો પ્રથમ 2 ગણો ઝડપી અને બીજો 2 ગણો ધીમો કામ કરે છે, તો તે દિવસ દીઠ પૂર્ણ થશે. તમામ કામ, અનુક્રમે, અને તમામ કામ 4 દિવસમાં પૂર્ણ કરવામાં આવશે. ચાલો બીજું સમીકરણ બનાવીએ:

.

952. જો તમે 20 ગાયો વેચો છો, તો કાપવામાં આવેલ ઘાસ દસ દિવસ વધુ ચાલશે, પરંતુ જો તમે 30 ગાયો ખરીદો છો, તો ઘાસનો પુરવઠો દસ દિવસ વહેલો ખતમ થઈ જશે. ત્યાં કેટલી ગાયો હતી અને કેટલા દિવસો માટે ઘાસનો સંગ્રહ કરવામાં આવ્યો હતો?

ઉકેલ.માટે દો xગાયો માટે ઘાસ તૈયાર કર્યું છે yદિવસો ચાલો સમસ્યાની સ્થિતિ સંક્ષિપ્તમાં લખીએ:

ગાયોની સંખ્યા દિવસોની સંખ્યા

ઘાસના સતત પુરવઠા સાથે દિવસોની સંખ્યા ગાયની સંખ્યાના વિપરિત પ્રમાણમાં હોવાથી, અમે પ્રથમ સમીકરણ બનાવીશું:
.

ચાલો એ જ રીતે બીજું સમીકરણ બનાવીએ:
.

આ સમીકરણોની સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે: x = 120, y= 50. એટલે કે 120 ગાયો માટે 50 દિવસ માટે ઘાસનો સંગ્રહ કરવામાં આવ્યો હતો.

જવાબ આપો. 120 ગાયો માટે, 50 દિવસ માટે.

ગણિત શિક્ષક

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલ્ગોરોડની જીમ્નેશિયમ નંબર 5"

પાઠ વિષય: તર્કસંગત સમીકરણો.

ગ્રેડ: 10 મી ગ્રેડ.

યુએમકે : બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10kl માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ/[એસ.એમ. નિકોલસ્કી, એમ.કે. પોટાપોવ].-5મી આવૃત્તિ, વધારાની-એમ.: શિક્ષણ, 2006.-432 પૃષ્ઠ. પૃષ્ઠ.65-74., 45-47.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક: મૂળભૂત શાળામાંથી જાણીતા તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ વિશેની માહિતીને વ્યવસ્થિત કરો અને સારાંશ આપો; તર્કસંગત સમીકરણો હલ કરવાની રીતો બતાવો;

વિકાસલક્ષી: વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ પ્રકારના તર્કસંગત સમીકરણોના અભ્યાસને વિસ્તૃત અને ઊંડો બનાવો.

શૈક્ષણિક: ગણિત વિભાગમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિષયનું મહત્વ દર્શાવો.

પાઠનો પ્રકાર: લેસન-લેક્ચર.

પાઠ માળખું:

1. પાઠનું ધ્યેય સેટ કરવું (1 મિનિટ).
2. નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવાની તૈયારી (2 મિનિટ).
3. 3.નવી સામગ્રીનો પરિચય (38 મિનિટ).
4. 4. પાઠનો સારાંશ (2 મિનિટ)
5. 5. હોમવર્ક (2 મિનિટ)

પાઠ સાધનો: ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ, પ્રોજેક્ટર, કમ્પ્યુટર.

પાઠ પ્રગતિ:

યોજના.

1. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

2. તર્કસંગત સમીકરણો.

3. તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમો.

આઈ. પુનરાવર્તન.

બીજગણિતનો ઉદ્ભવ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવાથી થયો છે. બીજગણિતના ધ્યેયો હજારો વર્ષો સુધી યથાવત રહ્યા - સમીકરણો ઉકેલાઈ ગયા: પ્રથમ રેખીય, પછી ચતુર્ભુજ અને પછી તેનાથી પણ ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો. પરંતુ જે સ્વરૂપમાં બીજગણિતીય પરિણામો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા તે માન્યતાની બહાર બદલાઈ ગયા છે.

સમીકરણ એ ગાણિતિક સમસ્યાનું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ છે. સમીકરણોનો અભ્યાસ એ શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમની મુખ્ય સામગ્રી છે. સમીકરણો ઉકેલવા માટે, તમારે મોનોમિયલ, બહુપદી, બીજગણિત અપૂર્ણાંક, ફેક્ટરાઇઝ કરવા, ઓપન કૌંસ વગેરે પર કામગીરી કરવા સક્ષમ હોવા જરૂરી છે. તમારે તમારા જ્ઞાનને ક્રમમાં રાખવાની જરૂર છે. અમે "તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ" ના ખ્યાલ સાથે સમીક્ષાની શરૂઆત કરીશું. મૂળભૂત શાળામાંથી જાણીતા તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ વિશે વિદ્યાર્થીનો અહેવાલ. આમ, ક્રિયાના નિયમોના અભ્યાસ વિના સમીકરણોનો અભ્યાસ અશક્ય છે.

II. મુખ્ય ભાગ.

સમીકરણની વિભાવનામાં મુખ્ય વસ્તુ તેના ઉકેલના પ્રશ્નની રચના છે. એક સમીકરણ જેની ડાબી અને જમણી બાજુઓ x માટે તર્કસંગત સમીકરણો છે તેને અજ્ઞાત x સાથેનું તર્કસંગત સમીકરણ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો 5x 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, તર્કસંગત છે.

અજ્ઞાત x સાથેના સમીકરણનું મૂળ (અથવા સોલ્યુશન) એ એવી સંખ્યા છે જેને x ને બદલે સમીકરણમાં બદલવામાં આવે ત્યારે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા ઉત્પન્ન કરે છે.

સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના બધા મૂળ શોધવા અથવા તે દર્શાવવું કે ત્યાં કોઈ નથી. તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તમારે સમીકરણની બંને બાજુઓને બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવો પડશે, સમીકરણની શરતોને એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવી પડશે, અને બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો લાગુ કરવા પડશે. પરિણામ એ પાછલા એકની સમકક્ષ સમીકરણ હશે, એટલે કે, એક સમીકરણ જે સમાન મૂળ ધરાવે છે, અને ફક્ત તે જ.

ચાલો આપણે અભ્યાસ કરેલ પ્રમાણભૂત સમીકરણોની યાદી બનાવીએ. વિદ્યાર્થીના જવાબો (રેખીય સમીકરણ, ચતુર્ભુજ સમીકરણ, સરળ શક્તિ સમીકરણ x n =a). સમીકરણોને પ્રમાણભૂતમાંથી એકમાં રૂપાંતરિત કરવું એ સમીકરણ ઉકેલવાનું મુખ્ય પગલું છે. રૂપાંતરણ પ્રક્રિયાને સંપૂર્ણપણે અલ્ગોરિધમાઇઝ કરવું અશક્ય છે, પરંતુ તમામ પ્રકારના સમીકરણો માટે સામાન્ય કેટલીક તકનીકોને યાદ રાખવી ઉપયોગી છે.

1). A(x) B(x) = O ફોર્મનું સમીકરણ, જ્યાં A(x) અને B(x) એ x ના સંદર્ભમાં બહુપદી છે, તેને કહેવામાં આવે છે.ક્ષીણ થતું સમીકરણ.

ક્ષીણ થતા સમીકરણના તમામ મૂળનો સમૂહ એ બે સમીકરણો A(x)=0 અને B(x)=0 ના તમામ મૂળના સમૂહોનું જોડાણ છે. અવયવીકરણ પદ્ધતિ A(x) = 0 ફોર્મના સમીકરણો પર લાગુ થાય છે. આ પદ્ધતિનો સાર: તમારે સમીકરણ A(x)=0 હલ કરવાની જરૂર છે, જ્યાં A(x)=A 1 (x)A 2 (x)A 3 (X). સમીકરણ A(x) = 0 એ સરળ સમીકરણોના સમૂહ દ્વારા બદલવામાં આવે છે: A 1 (x)=0.A 2 (x)=0.A 3 (x)=0. આ સમૂહના સમીકરણોના મૂળ શોધો અને તપાસ કરો. ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે તર્કસંગત અને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો માટે થાય છે.

ઉદાહરણ 1.

ચાલો સમીકરણ (x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0 હલ કરીએ.

સમીકરણ બે સમીકરણોમાં વિભાજીત થાય છે.

x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 = 2 અને x 2 = 3

x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 અને x 4 = 1

આનો અર્થ એ થયો કે મૂળ સમીકરણમાં x મૂળ છે 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 =1.

જવાબ આપો. -2; 1; 2; 3.

ઉદાહરણ. ચાલો સમીકરણ x હલ કરીએ 3 -7x+6=0.

x 3 -x-6x+6=0

x(x 2 -1)-6(x-1)=0

x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0

(x-1)(x(x+1)-6)=0

(x-1)(x 2 +x-6)=0

x-1=0, x 1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.

જવાબ:1;2;-3.

2). ફોર્મનું સમીકરણ, જ્યાં A(x) અને B(x) બહુપદી છે x ની સાપેક્ષ.

ઉદાહરણ 2.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ

પહેલા સમીકરણ હલ કરીએ

x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 અને x 2 = -7

આ સંખ્યાઓને મૂળ સમીકરણની ડાબી બાજુના છેદમાં બદલીને, આપણને મળે છે

x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,

x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.

આ દર્શાવે છે કે સંખ્યા x 1 = 3 એ મૂળ સમીકરણનું મૂળ નથી, પરંતુ સંખ્યા x છે 2 =- 7 આ સમીકરણનું મૂળ છે.

જવાબ આપો. -7.

3). ફોર્મનું સમીકરણ

જ્યાં A(x), B(x), C(x) અને D(x) એ x ના સંદર્ભમાં બહુપદી છે, સામાન્ય રીતે નીચેના નિયમ અનુસાર ઉકેલાય છે.

સમીકરણ A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 ઉકેલાય છે અને જે સમીકરણના છેદને અદૃશ્ય બનાવતા નથી તે તેના મૂળમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ

x 2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.

x 2 + 2x - 15 = 0

x 1 = -5 અને x 2 = 3.

સંખ્યા x 1 x - 3 છેદને અદૃશ્ય બનાવતું નથી, પરંતુ સંખ્યા x 2 રૂપાંતરિત કરે છે. તેથી, સમીકરણમાં એક મૂળ = -5 છે.

જવાબ આપો. -5.

તર્કસંગત સમીકરણના મૂળ શોધવાથી ઘણીવાર અજાણ્યાને બદલીને મદદ મળે છે. નવા ચલને સફળતાપૂર્વક રજૂ કરવાની ક્ષમતા એ ગાણિતિક સંસ્કૃતિનું એક મહત્વપૂર્ણ તત્વ છે. નવા ચલની સફળ પસંદગી સમીકરણની રચનાને વધુ પારદર્શક બનાવે છે.

ઉદાહરણ 4.

ચાલો સમીકરણ x હલ કરીએ 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.

સંખ્યા x 0 = 0 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તેથી સમીકરણ સમીકરણની સમકક્ષ છે

x 4 + 4x 2 - 10 + + =0

ચાલો t =, પછી x 4 + =t 2 -2 દર્શાવીએ,

આપણને t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 અને x 2 = -6 મળે છે.

તેથી, અમે બે સમીકરણોના તમામ મૂળને જોડીને સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ:=2, અને =-6,

પ્રથમ સમીકરણમાં બે મૂળ છે -1 અને 1, અને બીજા સમીકરણમાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, તેથી સમીકરણમાં ફક્ત બે મૂળ છે: -1 અને 1. જવાબ. -1; 1.

4). સપ્રમાણ સમીકરણો.

અનેક ચલોમાં બહુપદીને સપ્રમાણ બહુપદી કહેવામાં આવે છે જો તેનું સ્વરૂપ આ ચલોના કોઈપણ ક્રમચય સાથે બદલાતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી x + y, a 2 + b 2 - 1, zt અને 5a 3 + 6ab + 5b 3 - બે ચલોમાં સપ્રમાણ બહુપદી, એક બહુપદી x + y + z, a 3 + b 3 + c 3 , - ત્રણ ચલોમાં સપ્રમાણ બહુપદી.

તે જ સમયે, બહુપદી x - y, a 2 –b 2 અને a 3 + ab – b 3 - બિન-સપ્રમાણ બહુપદી.

સમીકરણ ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, જ્યાં a R/ ,b R, c R ને સપ્રમાણ ચોથા ડિગ્રી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આ સમીકરણને હલ કરવા માટે તમારે આની જરૂર છે:

1). સમીકરણની બંને બાજુઓને x દ્વારા વિભાજીત કરો 2 અને પરિણામી અભિવ્યક્તિઓનું જૂથ બનાવો:.

2). ચલનો પરિચયસમીકરણ ચતુર્ભુજમાં ઘટાડ્યું છે.

ઉદાહરણ.

સમીકરણ x ઉકેલો 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.

નંબર 0 એ સમીકરણનું મૂળ નથી. સમીકરણની બંને બાજુઓને x દ્વારા વિભાજીત કરો 2 ≠0.

જવાબ આપો. .

તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમો.

સમીકરણોની સિસ્ટમો સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે દેખાય છે જેમાં ઘણી માત્રા અજાણ હોય છે. આ જથ્થાઓ ચોક્કસ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે, જે સમીકરણોના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે.

એક સમીકરણ જેની ડાબી અને જમણી બાજુઓ x અને y માટે તર્કસંગત સમીકરણો છે તેને બે અજાણ્યા x અને y સાથેનું તર્કસંગત સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

જો આપણે સંખ્યાઓની તમામ જોડી x અને y શોધવાની જરૂર હોય, જેમાંથી પ્રત્યેક બે અજ્ઞાત x અને y સાથે આપેલ દરેક સમીકરણોનો ઉકેલ છે, તો આપણે કહીએ છીએ કે આપણે બે અજાણ્યા x અને y સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે. , અને આવી દરેક જોડીને આ સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

અજ્ઞાતને અન્ય અક્ષરો દ્વારા પણ સૂચવી શકાય છે. સમીકરણોની એક સિસ્ટમ જેમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યા બે કરતા વધારે હોય છે તે સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

જો સમીકરણોની પ્રથમ સિસ્ટમનો દરેક ઉકેલ બીજી સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, અને સમીકરણોની બીજી સિસ્ટમનો દરેક ઉકેલ પ્રથમ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, તો આવી સિસ્ટમોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, બે સિસ્ટમો કે જેમાં કોઈ ઉકેલો નથી તે સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટમો સમકક્ષ છે

1). અવેજી પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 1. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાંથી x દ્વારા y વ્યક્ત કરવાથી, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

y = 3x - 1.

5x સમીકરણ ઉકેલવું 2 -4(3x-1)+3(3x-1) 2 =9, તેના મૂળ x શોધો 1 = 1 અને x 2 = . મળેલી સંખ્યાઓ x ને બદલીને 1 અને x 2 સમીકરણ y = 3x - 1 માં, આપણને y મળે છે 1 = 2

અને y = પરિણામે, સિસ્ટમ પાસે બે ઉકેલો છે: (1; 2) અને (; )

જવાબ આપો. (1; 2), (;)

2). બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 2. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને યથાવત છોડીને અને બીજા સાથે પ્રથમ સમીકરણ ઉમેરીને, અમે સિસ્ટમની સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ.

સિસ્ટમના તમામ સોલ્યુશન્સ એ બે સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનું જોડાણ છે:

(2; 1), (-2; -1),

જવાબ આપો. (2; 1), (-2; -1), .

3). નવા અજાણ્યાઓને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 3. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

u = xy, v = x - y સૂચવતા, અમે સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ

ચાલો તેના ઉકેલો શોધીએ: યુ 1 = 1, v 1 = 0 અને u 2 = 5, v 2 = 4. પરિણામે, સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો એ બે સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનું જોડાણ છે:

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ દરેક પ્રણાલીઓને હલ કર્યા પછી, અમે સિસ્ટમમાં તેના ઉકેલો શોધીએ છીએ: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

જવાબ આપો. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

4). આહ સ્વરૂપનું સમીકરણ 2 + bxy + su 2 = 0, જ્યાં a, b, c ને શૂન્ય સિવાયની સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે, તેને અજ્ઞાત x અને y ના સંદર્ભમાં સજાતીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો જેમાં એક સમાન સમીકરણ છે.

ઉદાહરણ 4. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

નિયુક્ત ટી = , આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને t ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ 2 +4t+3=0.

સમીકરણના બે મૂળ t છે 1 = -1 અને ટી 2 = -3, તેથી સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો એ બે સિસ્ટમોના તમામ ઉકેલોનું જોડાણ છે:

આ દરેક સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, અમે સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો શોધીએ છીએ:

(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).

જવાબ આપો. (2.5; -2.5), (0.5; -0.5),,(1,5;-0,5).

કેટલીક સિસ્ટમોને હલ કરતી વખતે, સપ્રમાણ બહુપદીના ગુણધર્મોનું જ્ઞાન મદદ કરે છે.

ઉદાહરણ.

ચાલો નવા અજ્ઞાત α = x + y અને β = xy, પછી x રજૂ કરીએ 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2

તેથી, સિસ્ટમ ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

ચાલો β: β માટે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ 1 =6, β 2 =44.

તેથી, સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો સંઘ છે

બે સિસ્ટમોના તમામ ઉકેલો:

પ્રથમ સિસ્ટમમાં બે ઉકેલો x છે 1 = 2, y 1 = 3 અને x 2 = 3, y 2 =2, અને બીજી સિસ્ટમ પાસે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી. તેથી, સિસ્ટમ પાસે બે ઉકેલો છે: (x: 1; y 1) અને (x 2;y 2)

જવાબ આપો. (2; 3), (3; 2).

આજે આપણે તર્કસંગત સમીકરણોના વિષયના અભ્યાસના પરિણામોનો સારાંશ આપ્યો. અમે સામાન્ય વિચારો વિશે વાત કરી, સામાન્ય પદ્ધતિઓ કે જેના પર સમીકરણોની સમગ્ર શાળા રેખા આધારિત છે.

સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ ઓળખવામાં આવી છે:

1) ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિ;

2) નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિ.

અમે સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ વિશેની અમારી સમજને વિસ્તૃત કરી છે.

આગામી 4 પાઠમાં આપણે વ્યવહારિક કસરતો કરીશું. આ કરવા માટે, તમારે સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી શીખવાની જરૂર છે, અને સમીકરણો અને સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની માનવામાં આવતી પદ્ધતિઓ માટે પાઠ્યપુસ્તકમાંથી 2 ઉદાહરણો પસંદ કરો, પાઠ 6 માં આ વિષય પર એક પરિસંવાદ યોજવામાં આવશે, આ માટે તમારે પ્રશ્નો તૈયાર કરવાની જરૂર છે. : ન્યુટનનું દ્વિપદી સૂત્ર, ડિગ્રી 3.5 ના સપ્રમાણ સમીકરણો ઉકેલે છે. આ વિષય પરનો અંતિમ પાઠ એ એક કસોટી છે.

સાહિત્ય.

1. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠયપુસ્તક. 10kl માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ/[એસ.એમ. નિકોલસ્કી, એમ.કે. પોટાપોવ].-5મી આવૃત્તિ, વધારાની-એમ.: શિક્ષણ, 2006.-432 પૃષ્ઠ. પૃષ્ઠ.65-74., 45-47.
2. ગણિત: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને અંતિમ અને પ્રવેશ પરીક્ષા/કોમ્પના અન્ય સ્વરૂપોની તૈયારી માટેના જવાબો સાથે વધેલી જટિલતાના વિષયોનું પ્રશિક્ષણ. જી.આઈ. કોવાલેવા, ટી.આઈ. બુઝુલિના - વોલ્ગોગ્રાડ: શિક્ષક, 2009.-494 પૃ. – પૃષ્ઠ 62-72,194-199.
3. ટિટારેન્કો એ.એમ. ગણિત: ગ્રેડ 9-11: 6000 સમસ્યાઓ અને ઉદાહરણો/A.M. ટિટારેન્કો.-એમ.: એકસ્મો, 2007.-336 પૃષ્ઠ.

સમીકરણો વિશે ઘણું કહી શકાય છે. ગણિતના આ ક્ષેત્રમાં એવા પ્રશ્નો છે જેના જવાબ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ હજુ સુધી આપ્યા નથી. કદાચ તમારામાંથી કેટલાકને આ પ્રશ્નોના જવાબો મળશે.

આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને કહ્યું: “મારે મારો સમય રાજકારણ અને સમીકરણો વચ્ચે વહેંચવો પડશે. જો કે, મારા મતે, સમીકરણો વધુ મહત્વપૂર્ણ છે. રાજકારણ આ ક્ષણ માટે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. અને સમીકરણો હંમેશ માટે અસ્તિત્વમાં રહેશે.

પાઠ 2-5 વ્યવહારુ કસરતો માટે સમર્પિત છે. આ પાઠોમાં પ્રવૃતિનો મુખ્ય પ્રકાર એ વ્યાખ્યાનમાં પ્રસ્તુત સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને એકીકૃત અને ગહન કરવા માટે વિદ્યાર્થીઓનું સ્વતંત્ર કાર્ય છે. તેમાંના દરેક પર, સિદ્ધાંતના પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે અને વિદ્યાર્થીઓનું સર્વેક્ષણ કરવામાં આવે છે. વર્ગમાં અને ઘરે સ્વતંત્ર કાર્યના આધારે, સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન અને આત્મસાતીકરણ સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે, વિવિધ સ્તરોની જટિલતાની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં કુશળતા વિકસાવવા માટે લક્ષિત કાર્ય હાથ ધરવામાં આવે છે, અને વિદ્યાર્થીઓનું સર્વેક્ષણ કરવામાં આવે છે. ધ્યેય: વ્યાખ્યાનમાં પ્રસ્તુત સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને એકીકૃત અને ઊંડી બનાવવી, તેને વ્યવહારમાં લાગુ કરવાનું શીખવું, વિશિષ્ટ ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે માસ્ટર અલ્ગોરિધમ્સ, અને ખાતરી કરો કે બધા વિદ્યાર્થીઓ પ્રોગ્રામ આવશ્યકતાઓના સ્તરે અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિભાગની મુખ્ય સામગ્રીને સમજે છે. .

સેમિનાર માટે 6ઠ્ઠા અને 7મા પાઠની ફાળવણી કરવામાં આવી છે, અને 6ઠ્ઠા પાઠમાં સેમિનાર અને 7મા પાઠમાં કસોટી યોજવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

પાઠ-સેમિનાર યોજના.

ધ્યેય: સમાવિષ્ટ સામગ્રીનું પુનરાવર્તન, ઊંડાણ અને સામાન્યીકરણ, ગાણિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ, પદ્ધતિઓ અને તકનીકોનો અભ્યાસ કરવો, નવું જ્ઞાન પ્રાપ્ત કરવું, બિન-માનક પરિસ્થિતિઓમાં સ્વતંત્ર રીતે જ્ઞાનને લાગુ કરવાનું શીખવું.

1. પાઠની શરૂઆતમાં, પ્રોગ્રામ નિયંત્રણનું આયોજન કરવામાં આવે છે. કાર્યનો હેતુ સરળ કસરતો કરવા માટે કુશળતા અને ક્ષમતાઓના વિકાસનું પરીક્ષણ કરવાનો છે. જવાબ નંબર ખોટી રીતે દર્શાવનારા વિદ્યાર્થીઓના આગળના પ્રશ્નની પ્રક્રિયામાં, શિક્ષક શોધી કાઢે છે કે કયા કાર્યોમાં મુશ્કેલી આવી. આગળ, ભૂલોને દૂર કરવા માટે મૌખિક અથવા લેખિત કાર્ય હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રોગ્રામ કરેલ નિયંત્રણ હાથ ધરવા માટે 10 મિનિટથી વધુ સમય ફાળવવામાં આવતો નથી.

2. થિયરી મુદ્દાઓ પર કેટલાક વિદ્યાર્થીઓનું વિભિન્ન સર્વેક્ષણ.

3. સમીકરણ (વિદ્યાર્થી સંદેશ) ના ખ્યાલના ઉદભવ અને વિકાસ વિશેની ઐતિહાસિક માહિતી. ન્યુટનનું દ્વિપદી સૂત્ર. ત્રીજી ડિગ્રી, ચોથી ડિગ્રી, પાંચમી ડિગ્રીના સપ્રમાણ સમીકરણો ઉકેલવા.

x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0

2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0

x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0

2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0

4. ઉદાહરણો ઉકેલવા અને પરીક્ષા આપવા માટે વિદ્યાર્થીઓની તૈયારી તપાસવી એ સેમિનારના મુખ્ય કાર્યોમાંનું એક છે.

પરીક્ષણ હાથ ધરે છે.

કસોટી હાથ ધરવાનો અર્થ એ નથી કે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનની ચાલુ દેખરેખને છોડી દેવી. પ્રાયોગિક અને સેમિનાર વર્ગોમાં ગ્રેડ આપવામાં આવે છે. કેટલીક લાક્ષણિક કસરતોનું પરીક્ષણ કરવામાં આવશે. વિદ્યાર્થીઓને અગાઉથી જાણ કરવામાં આવે છે કે કસોટી દરમિયાન કઈ સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી અને કસરતો રજૂ કરવામાં આવશે. ચાલો વિચારણા હેઠળના વિષય પર પરીક્ષણ માટે કાર્ડ્સમાંથી એકની સામગ્રી રજૂ કરીએ.

સ્તર 1.

સમીકરણો ઉકેલો: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4

X 2 +25 = 24

(2x 2 -3x+1)(2x 2 -5x+1)=8x 2

સ્તર 2.

સમીકરણો ઉકેલો: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0

8x 3 -12x 2 +x-7=0

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને સાઇન ઇન કરો:

અમે ઉપરનું સમીકરણ § 7 માં રજૂ કર્યું છે. પ્રથમ, ચાલો યાદ કરીએ કે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ શું છે. આ એક બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ છે જે કુદરતી ઘાતાંક સાથે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર અને ઘાતાંકની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને ચલ xથી બનેલી છે.

જો r(x) એક તર્કસંગત સમીકરણ છે, તો સમીકરણ r(x) = 0 ને તર્કસંગત સમીકરણ કહેવાય છે.

જો કે, વ્યવહારમાં "તર્કસંગત સમીકરણ" શબ્દના સહેજ વ્યાપક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે: આ h(x) = q(x) સ્વરૂપનું સમીકરણ છે, જ્યાં h(x) અને q(x) છે. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

અત્યાર સુધી, અમે કોઈ પણ તર્કસંગત સમીકરણ હલ કરી શક્યા નથી, પરંતુ માત્ર એક જ, જે વિવિધ પરિવર્તનો અને તર્કના પરિણામે, ઘટાડ્યું હતું. રેખીય સમીકરણ. હવે અમારી ક્ષમતાઓ ઘણી વધારે છે: અમે એક તર્કસંગત સમીકરણ હલ કરવામાં સક્ષમ થઈશું જે માત્ર રેખીય જ નહીં
mu, પણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે.

ચાલો યાદ કરીએ કે આપણે પહેલા તર્કસંગત સમીકરણો કેવી રીતે હલ કર્યા અને ઉકેલનું અલ્ગોરિધમ ઘડવાનો પ્રયાસ કર્યો.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ

આ કિસ્સામાં, હંમેશની જેમ, અમે એ હકીકતનો લાભ લઈએ છીએ કે સમાનતા A = B અને A - B = 0 એ A અને B વચ્ચે સમાન સંબંધને વ્યક્ત કરે છે. આનાથી અમને શબ્દને સમીકરણની ડાબી બાજુએ ખસેડવાની મંજૂરી મળી. વિરોધી ચિહ્ન.

ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુ બદલીએ. અમારી પાસે છે

ચાલો સમાનતાની શરતોને યાદ કરીએ અપૂર્ણાંકશૂન્ય: જો અને માત્ર જો બે સંબંધો એકસાથે સંતુષ્ટ હોય તો:

1) અપૂર્ણાંકનો અંશ શૂન્ય છે (a = 0); 2) અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્યથી અલગ છે).
સમીકરણ (1) ની ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકના અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, આપણે મેળવીએ છીએ

તે ઉપર દર્શાવેલ બીજી શરતની પરિપૂર્ણતા તપાસવાનું બાકી છે. સંબંધનો અર્થ સમીકરણ (1) માટે થાય છે. મૂલ્યો x 1 = 2 અને x 2 = 0.6 દર્શાવેલ સંબંધોને સંતોષે છે અને તેથી સમીકરણ (1) ના મૂળ તરીકે સેવા આપે છે, અને તે જ સમયે આપેલ સમીકરણના મૂળ.

1) ચાલો સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ

2) ચાલો આ સમીકરણની ડાબી બાજુ બદલીએ:

(એક સાથે અંશમાં ચિહ્નો બદલ્યા અને
અપૂર્ણાંક).
આમ, આપેલ સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

3) સમીકરણ x 2 - 6x + 8 = 0 ઉકેલો. શોધો

4) મળેલ મૂલ્યો માટે, શરતની પરિપૂર્ણતા તપાસો . નંબર 4 આ સ્થિતિને સંતોષે છે, પરંતુ નંબર 2 નથી કરતું. આનો અર્થ એ છે કે 4 આપેલ સમીકરણનું મૂળ છે, અને 2 એ બાહ્ય મૂળ છે.
જવાબ: 4.

2. નવું ચલ રજૂ કરીને તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા

નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ તમને પરિચિત છે અમે તેનો ઉપયોગ એક કરતા વધુ વખત કર્યો છે. ચાલો આપણે ઉદાહરણો સાથે બતાવીએ કે તેનો ઉપયોગ તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવામાં કેવી રીતે થાય છે.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ x 4 + x 2 - 20 = 0 ઉકેલો.

ઉકેલ. ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ y = x 2. x 4 = (x 2) 2 = y 2 હોવાથી, આપેલ સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે

y 2 + y - 20 = 0.

આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, જેના મૂળ જાણી શકાય છે સૂત્રો; આપણને y 1 = 4, y 2 = - 5 મળે છે.
પરંતુ y = x 2, જેનો અર્થ છે કે સમસ્યા બે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઘટાડી દેવામાં આવી છે:
x 2 =4; x 2 = -5.

પ્રથમ સમીકરણ પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.
જવાબ:.
ax 4 + bx 2 +c = 0 સ્વરૂપના સમીકરણને દ્વિપક્ષીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે (“bi” એ બે છે, એટલે કે, એક પ્રકારનું “ડબલ ચતુર્ભુજ” સમીકરણ). હમણાં જ ઉકેલાયેલ સમીકરણ ચોક્કસપણે દ્વિપક્ષીય હતું. કોઈપણ દ્વિપક્ષીય સમીકરણ ઉદાહરણ 3 ના સમીકરણની જેમ જ ઉકેલાય છે: એક નવું ચલ y = x 2 દાખલ કરો, પરિણામી ચતુર્ભુજ સમીકરણને ચલ y ના સંદર્ભમાં હલ કરો અને પછી x ચલ પર પાછા ફરો.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ. નોંધ કરો કે સમાન અભિવ્યક્તિ x 2 + 3x અહીં બે વાર દેખાય છે. આનો અર્થ એ છે કે નવું ચલ y = x 2 + 3x રજૂ કરવું અર્થપૂર્ણ છે. આનાથી અમને સમીકરણને વધુ સરળ અને વધુ સુખદ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની મંજૂરી મળશે (જે હકીકતમાં, એક નવું રજૂ કરવાનો હેતુ છે. ચલ- અને રેકોર્ડિંગને સરળ બનાવવું
સ્પષ્ટ થાય છે, અને સમીકરણનું માળખું સ્પષ્ટ થાય છે):

હવે ચાલો તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ.

1) ચાલો સમીકરણની બધી શરતોને એક ભાગમાં ખસેડીએ:

= 0
2) સમીકરણની ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરો

તેથી, અમે આપેલ સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કર્યું છે

3) સમીકરણમાંથી - 7y 2 + 29y -4 = 0 અમે શોધીએ છીએ (તમે અને મેં પહેલેથી જ ઘણા બધા ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલી લીધા છે, તેથી પાઠ્યપુસ્તકમાં હંમેશા વિગતવાર ગણતરીઓ આપવાનું કદાચ યોગ્ય નથી).

4) ચાલો શરત 5 (y - 3) (y + 1) નો ઉપયોગ કરીને મળેલા મૂળને તપાસીએ. બંને મૂળ આ સ્થિતિને સંતોષે છે.
તેથી, નવા ચલ y માટેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ થાય છે:
કારણ કે y = x 2 + 3x, અને y, જેમ આપણે સ્થાપિત કર્યું છે, બે મૂલ્યો લે છે: 4 અને , આપણે હજુ પણ બે સમીકરણો ઉકેલવાના છે: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . પ્રથમ સમીકરણના મૂળ સંખ્યાઓ 1 અને - 4 છે, બીજા સમીકરણના મૂળ સંખ્યાઓ છે

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા ઉદાહરણોમાં, એક નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ, ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહેવા માંગે છે કે, પરિસ્થિતિ માટે પર્યાપ્ત છે, એટલે કે, તે તેની સાથે સારી રીતે અનુરૂપ છે. શા માટે? હા, કારણ કે સમાન અભિવ્યક્તિ ઘણી વખત સમીકરણમાં સ્પષ્ટપણે દેખાય છે અને આ અભિવ્યક્તિને નવા અક્ષર સાથે નિયુક્ત કરવાનું કારણ હતું. પરંતુ આ હંમેશા થતું નથી; કેટલીકવાર એક નવું ચલ ફક્ત પરિવર્તન પ્રક્રિયા દરમિયાન જ "દેખાય છે". આગળના ઉદાહરણમાં આવું જ થશે.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ ઉકેલો
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
ઉકેલ. અમારી પાસે છે
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

આનો અર્થ એ છે કે આપેલ સમીકરણ ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

હવે એક નવું ચલ "દેખાયો" છે: y = x 2 - 3x.

તેની મદદથી, સમીકરણને y (y + 2) = 24 અને પછી y 2 + 2y - 24 = 0 સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે. આ સમીકરણના મૂળ નંબરો 4 અને -6 છે.

મૂળ ચલ x પર પાછા ફરીને, આપણે બે સમીકરણો x 2 - 3x = 4 અને x 2 - 3x = - 6 મેળવીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણને x 1 = 4, x 2 = - 1 મળે છે; બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: 4, - 1.