સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉદાહરણો. ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

આ લેખમાંની સામગ્રી સમીકરણોની સિસ્ટમો સાથે પ્રથમ પરિચય માટે બનાવાયેલ છે. અહીં આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ અને તેના ઉકેલોની વ્યાખ્યા રજૂ કરીશું, અને સમીકરણોની સિસ્ટમના સૌથી સામાન્ય પ્રકારોને પણ ધ્યાનમાં લઈશું. હંમેશની જેમ, અમે સ્પષ્ટીકરણ ઉદાહરણો આપીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

સમીકરણોની સિસ્ટમ શું છે?

અમે ધીમે ધીમે સમીકરણોની સિસ્ટમની વ્યાખ્યાનો સંપર્ક કરીશું. પ્રથમ, ચાલો કહીએ કે તે આપવાનું અનુકૂળ છે, બે મુદ્દા સૂચવે છે: પ્રથમ, રેકોર્ડિંગનો પ્રકાર, અને બીજું, આ રેકોર્ડિંગમાં એમ્બેડ કરેલ અર્થ. ચાલો તેમને બદલામાં જોઈએ, અને પછી સમીકરણોની સિસ્ટમોની વ્યાખ્યામાં તર્કનું સામાન્યીકરણ કરીએ.

ચાલો તેમાંથી ઘણાને આપણી સામે રાખીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બે સમીકરણો 2 x+y=−3 અને x=5 લઈએ. ચાલો તેમને એક બીજાની નીચે લખીએ અને તેમને ડાબી બાજુએ વાંકડિયા તાણ સાથે જોડીએ:

આ પ્રકારના રેકોર્ડ્સ, જે એક સ્તંભમાં ગોઠવાયેલા અનેક સમીકરણો છે અને ડાબી બાજુએ સર્પાકાર કૌંસ દ્વારા એકીકૃત છે, તે સમીકરણોની સિસ્ટમોના રેકોર્ડ છે.

આવી એન્ટ્રીઓનો અર્થ શું છે? તેઓ સિસ્ટમના સમીકરણોના આવા તમામ ઉકેલોના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે દરેક સમીકરણનો ઉકેલ છે.

તેને બીજા શબ્દોમાં વર્ણવવાથી નુકસાન થશે નહીં. ચાલો ધારીએ કે પ્રથમ સમીકરણના કેટલાક ઉકેલો સિસ્ટમના અન્ય તમામ સમીકરણોના ઉકેલો છે. તેથી સિસ્ટમ રેકોર્ડનો અર્થ ફક્ત તેમને થાય છે.

હવે આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમની વ્યાખ્યાને યોગ્ય રીતે સ્વીકારવા તૈયાર છીએ.

વ્યાખ્યા.

સમીકરણોની સિસ્ટમોકૉલ રેકોર્ડ્સ કે જે એક બીજાની નીચે સ્થિત સમીકરણો છે, ડાબી બાજુએ સર્પાકાર કૌંસ દ્વારા સંયુક્ત છે, જે સમીકરણોના તમામ ઉકેલોના સમૂહને દર્શાવે છે જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણના ઉકેલો પણ છે.

પાઠ્યપુસ્તકમાં સમાન વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે, જો કે, તે ત્યાં સામાન્ય કેસ માટે નહીં, પરંતુ બે ચલો સાથેના બે તર્કસંગત સમીકરણો માટે આપવામાં આવી છે.

મુખ્ય પ્રકારો

તે સ્પષ્ટ છે કે વિવિધ સમીકરણોની અસંખ્ય સંખ્યા છે. સ્વાભાવિક રીતે, તેમની મદદથી સંકલિત સમીકરણોની અસંખ્ય સિસ્ટમો પણ છે. તેથી, સમીકરણોની પ્રણાલીઓ સાથે અભ્યાસ અને કામ કરવાની સુવિધા માટે, સમાન લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર તેમને જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં અર્થપૂર્ણ છે, અને પછી વ્યક્તિગત પ્રકારનાં સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધો.

પ્રથમ વિભાગ સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ સમીકરણોની સંખ્યા દ્વારા પોતાને સૂચવે છે. જો ત્યાં બે સમીકરણો હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે આપણી પાસે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે, જો ત્રણ હોય, તો ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ વગેરે. તે સ્પષ્ટ છે કે એક સમીકરણની સિસ્ટમ વિશે વાત કરવાનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં, સારમાં, આપણે સિસ્ટમ સાથે નહીં, પણ સમીકરણ સાથે જ વ્યવહાર કરીએ છીએ.

આગામી વિભાગ સિસ્ટમના સમીકરણો લખવામાં સામેલ ચલોની સંખ્યા પર આધારિત છે. જો ત્યાં એક ચલ હોય, તો આપણે એક ચલ સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ (તેઓ એક અજાણ્યા સાથે પણ કહે છે), જો ત્યાં બે હોય, તો પછી બે ચલ (બે અજાણ્યાઓ સાથે) વગેરે સાથેના સમીકરણોની સિસ્ટમ સાથે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ચલ x અને y સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે.

આ રેકોર્ડિંગમાં સામેલ તમામ વિવિધ ચલોની સંખ્યાનો સંદર્ભ આપે છે. તેઓ દરેક સમીકરણના રેકોર્ડમાં એક જ સમયે સમાવવાની જરૂર નથી; ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણમાં તેમની હાજરી પૂરતી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ચલ x, y અને z સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે. પ્રથમ સમીકરણમાં, ચલ x સ્પષ્ટ રીતે હાજર છે, અને y અને z ગર્ભિત છે (આપણે ધારી શકીએ છીએ કે આ ચલોમાં શૂન્ય છે), અને બીજા સમીકરણમાં x અને z છે, પરંતુ ચલ y સ્પષ્ટ રીતે પ્રસ્તુત નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રથમ સમીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે , અને બીજું – x+0·y−3·z=0 તરીકે.

ત્રીજો મુદ્દો જેમાં સમીકરણોની સિસ્ટમો અલગ પડે છે તે સમીકરણોનો પ્રકાર છે.

શાળામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમોનો અભ્યાસ શરૂ થાય છે બે ચલોમાં બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. એટલે કે, આવી સિસ્ટમો બે રેખીય સમીકરણો બનાવે છે. અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે: અને . તેઓ સમીકરણોની સિસ્ટમો સાથે કામ કરવાની મૂળભૂત બાબતો શીખે છે.

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમે ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોનો પણ સામનો કરી શકો છો.

આગળ 9મા ધોરણમાં, બિનરેખીય સમીકરણો બે ચલો સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉમેરવામાં આવે છે, મોટે ભાગે બીજી ડિગ્રીના સમગ્ર સમીકરણો, ઓછી વાર - ઉચ્ચ ડિગ્રી. આ સિસ્ટમોને બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે, જો જરૂરી હોય તો, સમીકરણો અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. ચાલો બિનરેખીય સમીકરણોની આવી સિસ્ટમોના ઉદાહરણો બતાવીએ: અને .

અને પછી સિસ્ટમોમાં પણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, . તેઓ સામાન્ય રીતે સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ઓળખાય છે, કયા સમીકરણોનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના. અહીં એ નોંધવું યોગ્ય છે કે મોટાભાગે તેઓ સમીકરણોની સિસ્ટમ વિશે ફક્ત "સમીકરણોની સિસ્ટમ" કહે છે, અને જો જરૂરી હોય તો જ સ્પષ્ટતા ઉમેરવામાં આવે છે.

હાઈસ્કૂલમાં, જેમ જેમ સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેમ, અતાર્કિક, ત્રિકોણમિતિ, લઘુગણક અને ઘાતાંકીય સમીકરણો સિસ્ટમમાં પ્રવેશ કરે છે: , , .

જો આપણે પ્રથમ વર્ષના યુનિવર્સિટીના અભ્યાસક્રમમાં વધુ ધ્યાન આપીએ, તો મુખ્ય ભાર રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમોના અભ્યાસ અને ઉકેલ પર છે, એટલે કે, સમીકરણો જેમાં ડાબી બાજુએ પ્રથમ ડિગ્રીના બહુપદીઓ હોય છે, અને જમણી બાજુમાં ચોક્કસ સંખ્યાઓ હોય છે. પરંતુ ત્યાં, શાળામાં વિપરીત, તેઓ હવે બે ચલો સાથે બે રેખીય સમીકરણો લેતા નથી, પરંતુ ચલોની મનસ્વી સંખ્યા સાથે સમીકરણોની મનસ્વી સંખ્યા લે છે, જે ઘણીવાર સમીકરણોની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતા નથી.

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શું છે?

"સમીકરણોની સિસ્ટમનું નિરાકરણ" શબ્દ સીધો જ સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સંદર્ભ આપે છે. શાળામાં, બે ચલો સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે :

વ્યાખ્યા.

બે ચલો સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવીઆ ચલોના મૂલ્યોની જોડી કહેવાય છે જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સાચામાં ફેરવે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમના દરેક સમીકરણનો ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચલ મૂલ્યોની જોડી x=5, y=2 (તે (5, 2) તરીકે લખી શકાય છે) એ વ્યાખ્યા દ્વારા સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, કારણ કે સિસ્ટમના સમીકરણો, જ્યારે x= 5, y=2 તેમનામાં બદલાય છે, અનુક્રમે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા 5+2=7 અને 5−2=3 માં ફેરવો. પરંતુ મૂલ્યોની જોડી x=3, y=0 એ આ સિસ્ટમનો ઉકેલ નથી, કારણ કે જ્યારે આ મૂલ્યોને સમીકરણોમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાંથી પ્રથમ અયોગ્ય સમાનતા 3+0=7 માં ફેરવાશે.

સમાન વ્યાખ્યાઓ એક ચલ સાથેની સિસ્ટમો માટે તેમજ ત્રણ, ચાર, વગેરે સાથેની સિસ્ટમો માટે ઘડી શકાય છે. ચલો

વ્યાખ્યા.

એક ચલ સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવીચલનું મૂલ્ય હશે જે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોનું મૂળ છે, એટલે કે તમામ સમીકરણોને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ફોર્મના એક ચલ t સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો . સંખ્યા −2 એ તેનું સોલ્યુશન છે, કારણ કે બંને (−2) 2 =4 અને 5·(−2+2)=0 સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા છે. અને t=1 એ સિસ્ટમનો ઉકેલ નથી, કારણ કે આ મૂલ્યને બદલવાથી બે ખોટી સમાનતા મળશે 1 2 =4 અને 5·(1+2)=0.

વ્યાખ્યા.

ત્રણ, ચાર, વગેરે સાથે સિસ્ટમ ઉકેલવી. ચલોત્રણ, ચાર, વગેરે કહેવાય છે. ચલોના મૂલ્યો, અનુક્રમે, સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે.

તેથી, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, x=1, y=2, z=0 ચલોના મૂલ્યોનો ત્રિપુટી એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે , કારણ કે 2·1=2, 5·2=10 અને 1+2+0=3 સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા છે. અને (1, 0, 5) આ સિસ્ટમનો ઉકેલ નથી, કારણ કે જ્યારે ચલોના આ મૂલ્યોને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં અવેજી કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાંથી બીજું અયોગ્ય સમાનતા 5·0=10 માં ફેરવાય છે, અને ત્રીજું પણ 1+0+5=3.

નોંધ કરો કે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો ન હોઈ શકે, મર્યાદિત સંખ્યામાં ઉકેલો હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક, બે, ..., અથવા અનંત ઘણા ઉકેલો હોઈ શકે છે. જ્યારે તમે વિષયમાં વધુ ઊંડો અભ્યાસ કરશો તેમ તમે આ જોશો.

સમીકરણોની સિસ્ટમની વ્યાખ્યાઓ અને તેમના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ તેના તમામ સમીકરણોના ઉકેલોના સમૂહોનું આંતરછેદ છે.

નિષ્કર્ષ માટે, અહીં કેટલીક સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ છે:

વ્યાખ્યા.

બિન-સંયુક્ત, જો તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, અન્યથા સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત.

વ્યાખ્યા.

સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે અનિશ્ચિત, જો તેમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, અને ચોક્કસ, જો તેની પાસે મર્યાદિત સંખ્યામાં ઉકેલો છે અથવા તે બિલકુલ નથી.

આ શબ્દો દાખલ કરવામાં આવ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, પાઠયપુસ્તકમાં, પરંતુ તેઓ શાળામાં ભાગ્યે જ ઉપયોગમાં લેવાય છે;

સંદર્ભો.

1. બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 7મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 17મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 240 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. બીજગણિત: 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2009. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 7 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 17મી આવૃત્તિ, ઉમેરો. - એમ.: નેમોસીન, 2013. - 175 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13મી આવૃત્તિ., ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: નેમોસીન, 2011. - 222 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. 11મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2જી આવૃત્તિ, ભૂંસી. - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 287 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
7. એ.જી. કુરોશ. ઉચ્ચ બીજગણિત અભ્યાસક્રમ.
8. ઇલીન વી.એ., પોઝન્યાક ઇ.જી. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ:પાઠ્યપુસ્તક: યુનિવર્સિટીઓ માટે. - 5મી આવૃત્તિ. - એમ.: વિજ્ઞાન. ફિઝમેટલીટ, 1999. - 224 પૃષ્ઠ. – (ઉચ્ચ ગણિત અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રનો અભ્યાસક્રમ). – ISBN 5-02-015234 – X (અંક 3)

આ પાઠમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ જોઈશું. ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને અલગ-અલગ કાર્યોના રૂપમાં ઉકેલવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, "ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો" અને અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા દરમિયાન. ઉચ્ચ ગણિતની લગભગ તમામ શાખાઓમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે.

પ્રથમ, થોડો સિદ્ધાંત. આ કિસ્સામાં ગાણિતિક શબ્દ "રેખીય" નો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણો બધાચલો સમાવેશ થાય છે પ્રથમ ડિગ્રીમાં: કોઈપણ ફેન્સી સામગ્રી વગર વગેરે, જેનાથી માત્ર ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સમાં ભાગ લેનારા જ ખુશ છે.

ઉચ્ચ ગણિતમાં, માત્ર બાળપણથી જ પરિચિત અક્ષરોનો ઉપયોગ ચલોને દર્શાવવા માટે થતો નથી.
એકદમ લોકપ્રિય વિકલ્પ એ અનુક્રમણિકાઓ સાથેના ચલો છે: .
અથવા લેટિન મૂળાક્ષરોના પ્રારંભિક અક્ષરો, નાના અને મોટા:
ગ્રીક અક્ષરો શોધવાનું એટલું દુર્લભ નથી: - ઘણા લોકો માટે "આલ્ફા, બીટા, ગામા" તરીકે જાણીતા છે. અને સૂચકાંકો સાથેનો સમૂહ પણ, કહો, "mu" અક્ષર સાથે:

અક્ષરોના એક અથવા બીજા સમૂહનો ઉપયોગ ઉચ્ચ ગણિતના વિભાગ પર આધાર રાખે છે જેમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામનો કરી રહ્યા છીએ. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અવિભાજ્ય અને વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં, સંકેતનો ઉપયોગ કરવો પરંપરાગત છે.

પરંતુ ચલોને કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે તે કોઈ બાબત નથી, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટેના સિદ્ધાંતો, પદ્ધતિઓ અને પદ્ધતિઓ બદલાતી નથી. આમ, જો તમને ડરામણી જેવી કોઈ વસ્તુ મળે, તો ડરીને સમસ્યાનું પુસ્તક બંધ કરવા ઉતાવળ ન કરો, છેવટે, તમે તેના બદલે સૂર્ય, તેના બદલે પક્ષી અને તેના બદલે ચહેરો (શિક્ષક) દોરી શકો છો. અને, રમુજી લાગે છે તેમ, આ સંકેતો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પણ ઉકેલી શકાય છે.

મને લાગે છે કે લેખ ખૂબ લાંબો હશે, તેથી સામગ્રીનું એક નાનું કોષ્ટક. તેથી, ક્રમિક "ડિબ્રીફિંગ" આના જેવું હશે:

- અવેજી પદ્ધતિ ("શાળા પદ્ધતિ") નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી;
- સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળો (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને હલ કરવી;
- ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો ઉકેલ;
- વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી;
- ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું નિરાકરણ.

દરેક વ્યક્તિ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાંથી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોથી પરિચિત છે. આવશ્યકપણે, અમે પુનરાવર્તન સાથે પ્રારંભ કરીએ છીએ.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

આ પદ્ધતિને "શાળા પદ્ધતિ" અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહી શકાય. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, તેને "અપૂર્ણ ગૌસીયન પદ્ધતિ" પણ કહી શકાય.

ઉદાહરણ 1

અહીં આપણને બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે. નોંધ કરો કે મફત શબ્દો (સંખ્યા 5 અને 7) સમીકરણની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેઓ ડાબી બાજુ કે જમણી બાજુ ક્યાં છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, તે માત્ર એટલું જ છે કે ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યાઓમાં તેઓ ઘણીવાર તે રીતે સ્થિત હોય છે. અને જો જરૂરી હોય તો આવા રેકોર્ડિંગથી મૂંઝવણ ન થવી જોઈએ, સિસ્ટમ હંમેશા "હંમેશની જેમ" લખી શકાય છે: . ભૂલશો નહીં કે જ્યારે કોઈ શબ્દને ભાગથી બીજા ભાગમાં ખસેડો, ત્યારે તેને તેની નિશાની બદલવાની જરૂર છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાનો અર્થ શું છે? સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના ઘણા ઉકેલો શોધવા. સિસ્ટમનું સોલ્યુશન એ તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ છે, જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે. વધુમાં, સિસ્ટમ હોઈ શકે છે બિન-સંયુક્ત (કોઈ ઉકેલ નથી).શરમાશો નહીં, આ એક સામાન્ય વ્યાખ્યા છે =) આપણી પાસે માત્ર એક "x" મૂલ્ય અને એક "y" મૂલ્ય હશે, જે દરેક c-we સમીકરણને સંતોષે છે.

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે એક ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ છે, જેનાથી તમે તમારી જાતને વર્ગમાં પરિચિત કરી શકો છો. રેખા સાથેની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ. ત્યાં મેં વાત કરી ભૌમિતિક અર્થમાંબે અજ્ઞાત સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. પરંતુ હવે આ બીજગણિત, અને સંખ્યાઓ-સંખ્યાઓ, ક્રિયાઓ-ક્રિયાઓનો યુગ છે.

ચાલો નક્કી કરીએ: પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ:
અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ, સમાન શબ્દો ઉમેરીએ છીએ અને મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

આગળ, અમને યાદ છે કે અમે શા માટે નૃત્ય કર્યું:
આપણે મૂલ્ય પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, જે બાકી છે તે શોધવાનું છે:

જવાબ આપો:

સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમ કોઈપણ રીતે હલ થઈ જાય પછી, હું ભારપૂર્વક તપાસવાની ભલામણ કરું છું (મૌખિક રીતે, ડ્રાફ્ટ પર અથવા કેલ્ક્યુલેટર પર). સદનસીબે, આ સરળતાથી અને ઝડપથી થાય છે.

1) મળેલા જવાબને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

2) મળેલા જવાબને બીજા સમીકરણમાં બદલો:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

અથવા, વધુ સરળ રીતે કહીએ તો, "બધું એકસાથે આવ્યું"

ઉકેલની માનવામાં આવતી પદ્ધતિ માત્ર એક જ નથી જે પ્રથમ સમીકરણથી વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું, અને નહીં.
તમે તેનાથી વિરુદ્ધ કરી શકો છો - બીજા સમીકરણમાંથી કંઈક વ્યક્ત કરો અને તેને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે ચાર પદ્ધતિઓમાંથી સૌથી વધુ ગેરલાભ એ બીજા સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરવાનું છે:

પરિણામ અપૂર્ણાંક છે, પણ શા માટે? ત્યાં વધુ તર્કસંગત ઉકેલ છે.

જો કે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં તમે હજી પણ અપૂર્ણાંક વિના કરી શકતા નથી. આ સંદર્ભમાં, મેં અભિવ્યક્તિ કેવી રીતે લખી તે તરફ હું તમારું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. આના જેવું નથી: અને કોઈ પણ સંજોગોમાં આના જેવું નથી: .

જો ઉચ્ચ ગણિતમાં તમે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છો, તો પછી બધી ગણતરીઓ સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં કરવાનો પ્રયાસ કરો.

બરાબર, અને નહીં અથવા!

અલ્પવિરામનો ઉપયોગ ફક્ત ક્યારેક જ થઈ શકે છે, ખાસ કરીને જો તે કોઈ સમસ્યાનો અંતિમ જવાબ હોય, અને આ નંબર સાથે આગળ કોઈ ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર નથી.

ઘણા વાચકોએ કદાચ વિચાર્યું કે "સુધારણા વર્ગ માટે આટલી વિગતવાર સમજૂતી શા માટે, બધું સ્પષ્ટ છે." આ પ્રકારનું કંઈ નથી, તે આવા સરળ શાળાના ઉદાહરણ જેવું લાગે છે, પરંતુ ઘણા બધા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ તારણો છે! અહીં બીજું એક છે:

તમારે કોઈપણ કાર્યને સૌથી તર્કસંગત રીતે પૂર્ણ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. જો માત્ર એટલા માટે કે તે સમય અને ચેતાને બચાવે છે, અને ભૂલ કરવાની સંભાવના પણ ઘટાડે છે.

જો ઉચ્ચ ગણિતની સમસ્યામાં તમે બે અજાણ્યા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં આવો છો, તો તમે હંમેશા અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો (જ્યાં સુધી તે સૂચવવામાં ન આવે કે સિસ્ટમને બીજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવાની જરૂર છે). કે તમે સકર છો અને "શાળા પદ્ધતિ" નો ઉપયોગ કરવા બદલ તમારો ગ્રેડ ઘટાડશો
તદુપરાંત, કેટલાક કિસ્સાઓમાં મોટી સંખ્યામાં ચલો સાથે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2

ત્રણ અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનું અભિન્ન અંગ શોધીએ છીએ ત્યારે અનિશ્ચિત ગુણાંકની કહેવાતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમ ઘણીવાર ઊભી થાય છે. પ્રશ્નમાં રહેલી સિસ્ટમ મારા દ્વારા ત્યાંથી લેવામાં આવી હતી.

જ્યારે અભિન્ન શોધે છે, ત્યારે ધ્યેય છે ઝડપીક્રેમરના સૂત્રો, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ વગેરેનો ઉપયોગ કરવાને બદલે ગુણાંકના મૂલ્યો શોધો. તેથી, આ કિસ્સામાં, અવેજી પદ્ધતિ યોગ્ય છે.

જ્યારે કોઈપણ સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ તે શોધવાનું ઇચ્છનીય છે કે શું તેને કોઈક રીતે તરત જ સરળ બનાવવું શક્ય છે? સિસ્ટમના સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નોંધ્યું છે કે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજિત કરી શકાય છે, જે આપણે કરીએ છીએ:

સંદર્ભ:ગાણિતિક ચિહ્નનો અર્થ થાય છે "આમાંથી તે અનુસરે છે" અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાના ઉકેલમાં થાય છે.

હવે આપણે સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીએ; મારે કયું સમીકરણ પસંદ કરવું જોઈએ? તમે કદાચ પહેલાથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે કે આ હેતુ માટે સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ લેવું:

અહીં, કોઈપણ ચલ વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ વાંધો નથી, વ્યક્તિ એટલી જ સરળતાથી વ્યક્ત કરી શકે છે અથવા .

આગળ, અમે સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં અભિવ્યક્તિને બદલીએ છીએ:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ:

ત્રીજા સમીકરણને 2 વડે વિભાજીત કરો:

બીજા સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

લગભગ બધું તૈયાર છે, ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
બીજા સમીકરણમાંથી:
પ્રથમ સમીકરણમાંથી:

તપાસો: સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ ચલોના મળેલા મૂલ્યોને બદલો:

1)
2)
3)

સમીકરણોની અનુરૂપ જમણી બાજુઓ મેળવવામાં આવે છે, આમ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળે છે.

ઉદાહરણ 3

4 અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો (પાઠના અંતે જવાબ આપો).

સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળા (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને ઉકેલવી

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો હલ કરતી વખતે, તમારે "શાળા પદ્ધતિ" નો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરણ (બાદબાકી) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. શા માટે? આ સમય બચાવે છે અને ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે, જો કે, હવે બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે.

ઉદાહરણ 4

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

મેં પ્રથમ ઉદાહરણની જેમ જ સિસ્ટમ લીધી.
સમીકરણોની સિસ્ટમનું વિશ્લેષણ કરતાં, અમે નોંધ્યું છે કે ચલના ગુણાંક તીવ્રતામાં સમાન છે અને સાઇન (–1 અને 1) માં વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરી શકાય છે:

લાલ રંગમાં ફરતી ક્રિયાઓ માનસિક રીતે કરવામાં આવે છે.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનના પરિણામે, અમે ચલ ગુમાવ્યું. આ, હકીકતમાં, શું છે પદ્ધતિનો સાર એ ચલોમાંના એકમાંથી છુટકારો મેળવવાનો છે.

અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરેલી ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ કરતાં વધુ વિશ્વસનીય.

અવેજી પદ્ધતિ

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે 7મા ધોરણમાં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો. 7મા ધોરણમાં વિકસાવવામાં આવેલ અલ્ગોરિધમ બે ચલ x અને y (અલબત્ત, ચલોને અન્ય અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરી શકાય છે, જેમાં કોઈ ફરક પડતો નથી) સાથે કોઈપણ બે સમીકરણો (જરૂરી નથી કે રેખીય) ઉકેલવા માટે તદ્દન યોગ્ય છે. વાસ્તવમાં, અમે અગાઉના ફકરામાં આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જ્યારે બે-અંકની સંખ્યાની સમસ્યા ગાણિતિક મોડેલ તરફ દોરી જાય છે, જે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે. અમે ઉપરોક્ત સમીકરણોની આ સિસ્ટમને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી છે (§ 4 માંથી ઉદાહરણ 1 જુઓ).

બે ચલ x, y સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

1. સિસ્ટમના એક સમીકરણમાંથી x ના સંદર્ભમાં y વ્યક્ત કરો.
2. સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બદલો.
3. x માટે પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.
4. પ્રથમ ચરણમાં મેળવેલ x દ્વારા y અભિવ્યક્તિમાં x ને બદલે ત્રીજા પગલામાં મળેલ સમીકરણના દરેક મૂળને બદલામાં બદલો.
5. અનુક્રમે ત્રીજા અને ચોથા પગલામાં જોવા મળતા મૂલ્યોની જોડી (x; y) ના સ્વરૂપમાં જવાબ લખો.

4) સૂત્ર x = 5 - 3 માં y ના મળેલા દરેક મૂલ્યોને એક પછી એક બદલો. જો પછી
5) સમીકરણોની આપેલ સિસ્ટમ માટે જોડી (2; 1) અને ઉકેલો.

જવાબ: (2; 1);

બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ, અવેજી પદ્ધતિની જેમ, તમને 7મા ધોરણના બીજગણિત કોર્સથી પરિચિત છે, જ્યાં તેનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે થતો હતો. ચાલો નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિનો સાર યાદ કરીએ.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણની તમામ શરતોને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ અને બીજા સમીકરણને યથાવત છોડીએ:
સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને તેના પ્રથમ સમીકરણમાંથી બાદ કરો:

મૂળ સિસ્ટમના બે સમીકરણોના બીજગણિતીય ઉમેરણના પરિણામે, એક સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું જે આપેલ સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો કરતાં સરળ હતું. આ સરળ સમીકરણ સાથે અમને આપેલ સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણને બદલવાનો અધિકાર છે, ઉદાહરણ તરીકે બીજું. પછી આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ એક સરળ સિસ્ટમ દ્વારા બદલવામાં આવશે:

આ સિસ્ટમને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. બીજા સમીકરણમાંથી આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં y ને બદલે આ અભિવ્યક્તિ શોધીએ છીએ

તે સૂત્રમાં x ના મળેલા મૂલ્યોને બદલવાનું બાકી છે

જો x = 2 તો

આમ, અમને સિસ્ટમના બે ઉકેલો મળ્યા:

નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિ

8મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં એક ચલ સાથે તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલતી વખતે તમને નવા ચલનો પરિચય કરાવવાની પદ્ધતિનો પરિચય થયો હતો. સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિનો સાર એ જ છે, પરંતુ તકનીકી દૃષ્ટિકોણથી ત્યાં કેટલીક સુવિધાઓ છે જેની આપણે નીચેના ઉદાહરણોમાં ચર્ચા કરીશું.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ પછી સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને વધુ સરળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: ચાલો આ સમીકરણને વેરીએબલના સંદર્ભમાં હલ કરીએ.

આ બંને મૂલ્યો સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી ચલ t સાથેના તર્કસંગત સમીકરણના મૂળ છે. પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે ક્યાં તો આપણે શોધીએ છીએ કે x = 2y, અથવા
આમ, નવા ચલને રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને "સ્તરીકરણ" કરવામાં વ્યવસ્થાપિત કર્યું, જે દેખાવમાં એકદમ જટિલ હતું, બે સરળ સમીકરણોમાં:

x = 2 y; y - 2x.

આગળ શું છે? અને પછી પ્રાપ્ત કરેલ બે સરળ સમીકરણોમાંથી દરેકને સમીકરણ x 2 - y 2 = 3 સાથેની સિસ્ટમમાં બદલામાં ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે, જે આપણે હજી સુધી યાદ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમીકરણોની બે સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે સમસ્યા નીચે આવે છે:

આપણે પ્રથમ સિસ્ટમ, બીજી સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે અને જવાબમાં મૂલ્યોની તમામ પરિણામી જોડીનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે. ચાલો સમીકરણોની પ્રથમ સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ, ખાસ કરીને કારણ કે અહીં બધું તેના માટે તૈયાર છે: ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં x ને બદલે 2y અભિવ્યક્તિને બદલીએ. અમને મળે છે

x = 2y થી, આપણે અનુક્રમે, x 1 = 2, x 2 = 2 શોધીએ છીએ. આમ, આપેલ સિસ્ટમના બે ઉકેલો પ્રાપ્ત થાય છે: (2; 1) અને (-2; -1). ચાલો સમીકરણોની બીજી સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ચાલો ફરીથી અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ: સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે 2x અભિવ્યક્તિને બદલીએ. અમને મળે છે

આ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલ નથી. આમ, જવાબમાં ફક્ત પ્રથમ સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે.

જવાબ: (2; 1); (-2;-1).

બે ચલ સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ બે સંસ્કરણોમાં થાય છે. પ્રથમ વિકલ્પ: સિસ્ટમના માત્ર એક સમીકરણમાં એક નવું ચલ રજૂ કરવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ 3 માં આ બરાબર થયું છે. બીજો વિકલ્પ: સિસ્ટમના બંને સમીકરણોમાં બે નવા ચલો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે અને એકસાથે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ઉદાહરણ 4 માં આ કેસ હશે.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો બે નવા ચલો રજૂ કરીએ:

ચાલો તે પછી ધ્યાનમાં લઈએ

આ આપેલ સિસ્ટમને વધુ સરળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપશે, પરંતુ નવા ચલ a અને b ના સંદર્ભમાં:

a = 1 થી, પછી સમીકરણ a + 6 = 2 માંથી આપણે શોધીએ છીએ: 1 + 6 = 2; 6=1. આમ, a અને b ચલોના સંદર્ભમાં, અમને એક ઉકેલ મળ્યો:

x અને y ચલો પર પાછા ફરીને, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

ચાલો આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે બીજગણિતીય ઉમેરણની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ:

ત્યારથી 2x + y = 3 સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
આમ, x અને y ચલોના સંદર્ભમાં, અમને એક ઉકેલ મળ્યો:

ચાલો આ ફકરાને સંક્ષિપ્ત પરંતુ ગંભીર સૈદ્ધાંતિક ચર્ચા સાથે સમાપ્ત કરીએ. તમે પહેલાથી જ વિવિધ સમીકરણોને ઉકેલવામાં થોડો અનુભવ મેળવ્યો છે: રેખીય, ચતુર્ભુજ, તર્કસંગત, અતાર્કિક. તમે જાણો છો કે સમીકરણ ઉકેલવાનો મુખ્ય વિચાર ધીમે ધીમે એક સમીકરણમાંથી બીજા સમીકરણમાં જવાનું છે, સરળ, પરંતુ આપેલ સમકક્ષ. અગાઉના ફકરામાં અમે બે ચલ સાથેના સમીકરણો માટે સમાનતાનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે પણ થાય છે.

વ્યાખ્યા.

ચલ x અને y સાથેના સમીકરણોની બે સિસ્ટમોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે સમાન ઉકેલો હોય અથવા જો બંને સિસ્ટમોમાં કોઈ ઉકેલો ન હોય.

અમે આ વિભાગમાં ચર્ચા કરી છે તે ત્રણેય પદ્ધતિઓ (અવેજી, બીજગણિત ઉમેરો અને નવા ચલોનો પરિચય) સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી એકદમ સાચી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમીકરણોની એક સિસ્ટમને બીજી, સરળ, પરંતુ મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ સાથે બદલીએ છીએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

અમે પહેલાથી જ શીખ્યા છીએ કે કેવી રીતે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને અવેજી પદ્ધતિ, બીજગણિતીય ઉમેરણ અને નવા ચલોની રજૂઆત જેવી સામાન્ય અને વિશ્વસનીય રીતે હલ કરવી. હવે ચાલો તે પદ્ધતિને યાદ કરીએ જેનો તમે પહેલાના પાઠમાં અભ્યાસ કર્યો છે. એટલે કે, ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન પદ્ધતિ વિશે તમે જે જાણો છો તેનું પુનરાવર્તન કરીએ.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ગ્રાફિકલી ઉકેલવાની પદ્ધતિમાં આપેલ સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક ચોક્કસ સમીકરણો માટે ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે અને તે સમાન સંકલન સમતલમાં સ્થિત છે, તેમજ આ બિંદુઓના આંતરછેદ શોધવા માટે જરૂરી છે. આલેખ સમીકરણોની આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે આ બિંદુ (x; y) ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સમીકરણોની ગ્રાફિકલ સિસ્ટમમાં કાં તો એક જ સાચો ઉકેલ, અથવા અસંખ્ય ઉકેલો, અથવા કોઈ ઉકેલો ન હોવા સામાન્ય છે.

હવે ચાલો આ દરેક ઉકેલોને વધુ વિગતવાર જોઈએ. અને તેથી, જો સિસ્ટમના સમીકરણોના આલેખની રેખાઓ એકબીજાને છેદે તો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અનન્ય ઉકેલ હોઈ શકે છે. જો આ રેખાઓ સમાંતર હોય, તો સમીકરણોની આવી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી. જો સિસ્ટમના સમીકરણોના સીધા આલેખ એકસરખા હોય, તો આવી સિસ્ટમ તમને ઘણા ઉકેલો શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

સારું, ચાલો હવે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 2 અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમને જોઈએ:

પ્રથમ, પ્રથમ આપણે 1લા સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ;
બીજું પગલું બીજા સમીકરણ સાથે સંબંધિત ગ્રાફ બનાવવાનું હશે;
ત્રીજે સ્થાને, આપણે આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે.
અને પરિણામે, આપણને દરેક આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે, જે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ હશે.

ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિને વધુ વિગતવાર જોઈએ. અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે જેને હલ કરવાની જરૂર છે:

સમીકરણો ઉકેલવા

1. પ્રથમ, આપણે આ સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીશું: x2+y2=9.

પરંતુ એ નોંધવું જોઈએ કે સમીકરણોનો આ આલેખ મૂળમાં કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ હશે અને તેની ત્રિજ્યા ત્રણ જેટલી હશે.

2. અમારું આગલું પગલું સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવવાનું હશે જેમ કે: y = x – 3.

આ કિસ્સામાં, આપણે એક સીધી રેખા બનાવવી જોઈએ અને બિંદુઓ (0;−3) અને (3;0) શોધવા જોઈએ.

3. ચાલો જોઈએ કે આપણને શું મળ્યું. આપણે જોઈએ છીએ કે સીધી રેખા વર્તુળને તેના બે બિંદુઓ A અને B પર છેદે છે.

હવે આપણે આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે કોઓર્ડિનેટ્સ (3;0) બિંદુ A ને અનુરૂપ છે, અને કોઓર્ડિનેટ્સ (0;−3) બિંદુ B ને અનુરૂપ છે.

અને પરિણામે આપણને શું મળે છે?

જ્યારે રેખા વર્તુળને છેદે છે ત્યારે મેળવેલી સંખ્યાઓ (3;0) અને (0;−3) સિસ્ટમના બંને સમીકરણોના ચોક્કસ ઉકેલો છે. અને તેમાંથી તે અનુસરે છે કે આ સંખ્યાઓ પણ આ સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો છે.

એટલે કે, આ ઉકેલનો જવાબ નંબરો છે: (3;0) અને (0;−3).

1. અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી.
2. સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળા (બાદબાકી) દ્વારા સિસ્ટમને હલ કરવી.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે અવેજી પદ્ધતિ દ્વારાતમારે એક સરળ અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવાની જરૂર છે:
1. એક્સપ્રેસ. કોઈપણ સમીકરણમાંથી આપણે એક ચલ વ્યક્ત કરીએ છીએ.
2. અવેજી. અમે પરિણામી મૂલ્યને વ્યક્ત કરેલ ચલને બદલે બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.
3. પરિણામી સમીકરણને એક ચલ વડે ઉકેલો. અમે સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધી કાઢીએ છીએ.

નક્કી કરવા માટે ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશન (બાદબાકી) પદ્ધતિ દ્વારા સિસ્ટમજરૂર છે:
1. એક ચલ પસંદ કરો જેના માટે આપણે સમાન ગુણાંક બનાવીશું.
2. અમે સમીકરણો ઉમેરી અથવા બાદ કરીએ છીએ, પરિણામે એક ચલ સાથે સમીકરણ થાય છે.
3. પરિણામી રેખીય સમીકરણ ઉકેલો. અમે સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધી કાઢીએ છીએ.

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ છે.

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ #1:

ચાલો અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરીએ

2x+5y=1 (1 સમીકરણ)
x-10y=3 (બીજું સમીકરણ)

1. એક્સપ્રેસ
તે જોઈ શકાય છે કે બીજા સમીકરણમાં 1 ના ગુણાંક સાથે ચલ x છે, જેનો અર્થ છે કે બીજા સમીકરણમાંથી ચલ x વ્યક્ત કરવાનું સૌથી સરળ છે.
x=3+10y

2.આપણે તેને વ્યક્ત કર્યા પછી, અમે ચલ x ને બદલે પ્રથમ સમીકરણમાં 3+10y ને બદલીએ છીએ.
2(3+10y)+5y=1

3. પરિણામી સમીકરણને એક ચલ વડે ઉકેલો.
2(3+10y)+5y=1 (કૌંસ ખોલો)
6+20y+5y=1
25વર્ષ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

સમીકરણ પદ્ધતિનો ઉકેલ એ ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ છે, તેથી આપણે x અને y શોધવાની જરૂર છે, કારણ કે આંતરછેદ બિંદુ x અને y ધરાવે છે, ચાલો x શોધીએ, જ્યાં આપણે તેને વ્યક્ત કરીએ છીએ, ત્યાં આપણે y ને બદલીએ છીએ .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

પોઈન્ટ લખવાનો રિવાજ છે પ્રથમ સ્થાને આપણે ચલ x લખીએ છીએ, અને બીજા સ્થાને ચલ y.
જવાબ: (1; -0.2)

ઉદાહરણ #2:

ચાલો ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશન (બાદબાકી) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ.

3x-2y=1 (1 સમીકરણ)
2x-3y=-10 (બીજું સમીકરણ)

1. આપણે ચલ પસંદ કરીએ છીએ, ચાલો કહીએ કે આપણે x પસંદ કરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાં, ચલ x નો ગુણાંક 3 છે, બીજામાં - 2. આપણે ગુણાંક સમાન બનાવવાની જરૂર છે, આ માટે આપણને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરવાનો અથવા કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરવાનો અધિકાર છે. આપણે પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે અને બીજાને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને કુલ ગુણાંક 6 મેળવીએ છીએ.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. રેખીય સમીકરણને ઉકેલવા માટે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરો.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. એક્સ શોધો. આપણે કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલા y ને બદલીએ છીએ, ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાં કહીએ.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

આંતરછેદ બિંદુ x=4.6 હશે; y=6.4
જવાબ: (4.6; 6.4)

શું તમે મફતમાં પરીક્ષાની તૈયારી કરવા માંગો છો? શિક્ષક ઓનલાઇન મફતમાં. મજાક નથી.

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ. અવેજી પદ્ધતિ, ઉમેરણ પદ્ધતિ, નવા ચલને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 9 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
અતાનાસ્યાન એલ.એસ. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તકો માટે સિમ્યુલેટર પાઠ્યપુસ્તકો માટે સિમ્યુલેટર પોગોરેલોવા એ.વી.

અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

અવેજી પદ્ધતિ

નિર્ણય લેતી વખતે તમારે કેવી રીતે આગળ વધવું જોઈએ?
1. એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો. સમીકરણોમાં મોટાભાગે ઉપયોગમાં લેવાતા ચલ x અને y છે. એક સમીકરણમાં આપણે એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ. ટીપ: તમે ઉકેલવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં બંને સમીકરણોને ધ્યાનથી જુઓ અને ચલને વ્યક્ત કરવાનું સરળ હોય ત્યાં એક પસંદ કરો.
2. પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલો, જે ચલ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો તેના બદલે.
3. આપણને મળેલ સમીકરણ ઉકેલો.
4. પરિણામી ઉકેલને બીજા સમીકરણમાં બદલો. જો ત્યાં ઘણા ઉકેલો છે, તો તમારે તેમને અનુક્રમે બદલવાની જરૂર છે જેથી કરીને કેટલાક ઉકેલો ન ગુમાવો.
5. પરિણામે, તમને $(x;y)$ નંબરોની જોડી પ્રાપ્ત થશે, જે જવાબ તરીકે લખેલી હોવી જોઈએ.

ઉદાહરણ.
અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ચલો સાથે સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

ઉકેલ.
ચાલો આપણા સમીકરણો પર નજીકથી નજર કરીએ. દેખીતી રીતે, પ્રથમ સમીકરણમાં x ની દ્રષ્ટિએ y વ્યક્ત કરવું વધુ સરળ છે.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(કેસ)$.
ચાલો પ્રથમ સમીકરણને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
ચાલો બીજા સમીકરણને અલગથી હલ કરીએ:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
અમે બીજા સમીકરણ $x_1=2$ અને $x_2=3$ના બે ઉકેલો મેળવ્યા.
બીજા સમીકરણમાં ક્રમિક રીતે અવેજી કરો.
જો $x=2$, તો $y=3$. જો $x=3$, તો $y=2$.
જવાબ નંબરોની બે જોડી હશે.
જવાબ: $(2;3)$ અને $(3;2)$.

બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

ઉદાહરણ.
સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.

ઉકેલ.
ચાલો પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ.
$\begin(કેસ)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.
ચાલો પહેલા સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામી સમીકરણનું સ્વરૂપ મૂળ કરતાં ઘણું સરળ છે. હવે આપણે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$\begin(કેસ)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.
ચાલો પરિણામી સમીકરણમાં x ને y ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\અંત(કેસો)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\અંત(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(કેસ)$.
અમને $y=-1$ અને $y=-3$ મળ્યા.
ચાલો આ મૂલ્યોને અનુક્રમે પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ. અમને સંખ્યાઓની બે જોડી મળે છે: $(1;-1)$ અને $(-1;-3)$.
જવાબ: $(1;-1)$ અને $(-1;-3)$.

નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ

ઉદાહરણ.
સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

ઉકેલ.
ચાલો બદલીએ $t=\frac(x)(y)$.
ચાલો પ્રથમ સમીકરણને નવા ચલ સાથે ફરીથી લખીએ: $t+\frac(2)(t)=3$.
ચાલો પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
અમને $t=2$ અથવા $t=1$ મળ્યા. ચાલો રિવર્સ ચેન્જ $t=\frac(x)(y)$ રજૂ કરીએ.
અમને મળ્યું: $x=2y$ અને $x=y$.

દરેક અભિવ્યક્તિ માટે, મૂળ સિસ્ટમ અલગથી હલ કરવી આવશ્યક છે:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(કેસ)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(કેસ)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(કેસ)$.      
$\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(કેસ)$.     

ઉદાહરણ.
$\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(કેસ)$.

ઉકેલ.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(કેસ)$.    
$\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(કેસ)$.
અમને ચાર જોડી ઉકેલો મળ્યા.
જવાબ: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\અંત(કેસ)$.
ચાલો બદલીને રજૂ કરીએ: $z=\frac(2)(x-3y)$ અને $t=\frac(3)(2x+y)$.
ચાલો મૂળ સમીકરણોને નવા ચલો સાથે ફરીથી લખીએ:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
ચાલો બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
$\begin(કેસ)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(કેસ)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(કેસ)$.
ચાલો વિપરીત અવેજીની રજૂઆત કરીએ:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(કેસ)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(કેસ)$.
ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ:

$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(કેસ)$.