ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં એક બિંદુનો વેગ અને પ્રવેગ. સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઝડપનું નિર્ધારણ

જો સમયના કાર્ય તરીકે તેના ત્રણ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ x, y, z ના ફેરફારના નિયમો જાણીતા હોય તો અવકાશમાં બિંદુની હિલચાલને ધ્યાનમાં લઈ શકાય. જો કે, ભૌતિક બિંદુઓની અવકાશી ગતિના કેટલાક કિસ્સાઓમાં (ઉદાહરણ તરીકે, વિવિધ આકારોની સપાટીઓ દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તારોમાં), કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ અસુવિધાજનક છે, કારણ કે તે ખૂબ બોજારૂપ બની જાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, તમે અન્ય ત્રણ સ્વતંત્ર સ્કેલર પેરામીટર્સ $q_1,(\q)_2,\\q_3$ પસંદ કરી શકો છો, જેને વક્રીકૃત અથવા સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવાય છે, જે અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિને પણ વિશિષ્ટ રીતે નિર્ધારિત કરે છે.

બિંદુ M ની ઝડપ, જ્યારે વક્રીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં તેની હિલચાલનો ઉલ્લેખ કરે છે, ત્યારે તે સંકલન અક્ષોની સમાંતર વેગ ઘટકોના વેક્ટર સરવાળાના રૂપમાં નક્કી કરવામાં આવશે:

\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]

સંબંધિત સંકલન અક્ષો પર વેગ વેક્ટરના અંદાજો આના સમાન છે: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$

અહીં $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ એ i-th Lame ગુણાંક કહેવાય છે અને સમાન આપેલ બિંદુ M પર ગણતરી કરેલ i-th વક્રીય સંકલન સાથેના બિંદુના ત્રિજ્યા વેક્ટરનું મોડ્યુલસ મૂલ્ય આંશિક વ્યુત્પન્ન. દરેક વેક્ટર $\overline(e_i)$ ના અંતિમ બિંદુની હિલચાલની દિશાને અનુરૂપ દિશા ધરાવે છે i-th સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ત્રિજ્યા વેક્ટર $r_i$. ઓર્થોગોનલ કર્વિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેગ મોડ્યુલની અવલંબન પરથી ગણતરી કરી શકાય છે:

ઉપરોક્ત સૂત્રોમાં, અવકાશમાં બિંદુ M ની વર્તમાન સ્થિતિ માટે ડેરિવેટિવ્ઝ અને લેમ ગુણાંકના મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સ્કેલર પેરામીટર્સ છે r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે માપવામાં આવે છે. 1.

આકૃતિ 1. ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલીમાં વેગ વેક્ટર

આ કિસ્સામાં બિંદુની ગતિના સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:

\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\]

ફિગ માં. આકૃતિ 1 મૂળમાંથી દોરેલ ત્રિજ્યા વેક્ટર r બતાવે છે, કોણ $(\mathbf \varphi )$ અને $(\mathbf \theta )$, તેમજ સિસ્ટમની સંકલન રેખાઓ અને અક્ષો એક મનસ્વી બિંદુ M પર વિચારણા હેઠળ છે. માર્ગ તે જોઈ શકાય છે કે સંકલન રેખાઓ $((\mathbf \varphi ))$ અને $((\mathbf \theta ))$ r ત્રિજ્યાના ગોળાની સપાટી પર આવેલી છે. આ વક્ર સંકલન પ્રણાલી પણ ઓર્થોગોનલ છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ આ રીતે ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

પછી લેમ ગુણાંક: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલીની ધરી પર બિંદુના વેગના અંદાજો $v_r=\dot(r\ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $, અને વેગ વેક્ટરની તીવ્રતા

ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલીમાં બિંદુનું પ્રવેગક

\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta ),\]

ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલીની ધરી પરના બિંદુના પ્રવેગના અંદાજો

\ \

પ્રવેગક મોડ્યુલ $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$

સમસ્યા 1

બિંદુ સમીકરણો અનુસાર ગોળા અને સિલિન્ડરના આંતરછેદની રેખા સાથે આગળ વધે છે: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ). ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલીની ધરી પરના બિંદુના વેગના મોડ્યુલસ અને અંદાજો શોધો.

ચાલો ગોળાકાર સંકલન અક્ષો પર વેગ વેક્ટરના અંદાજો શોધીએ:

વેલોસિટી મોડ્યુલસ $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$

સમસ્યા 2

સમસ્યા 1 ની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને, બિંદુનું પ્રવેગક મોડ્યુલસ નક્કી કરો.

ચાલો ગોળાકાર સંકલન અક્ષો પર પ્રવેગક વેક્ટરના અંદાજો શોધીએ:

\ \ \

પ્રવેગક મોડ્યુલ $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$

ગતિ કાર્યો

ચાલો સમીકરણ (4) નો ઉપયોગ કરીએ અને સમયના સંદર્ભમાં તેનું વ્યુત્પન્ન કરીએ

(8) માં એકમ વેક્ટર માટે સંકલન અક્ષો પર વેગ વેક્ટરના અંદાજો છે

સંકલન અક્ષો પરના વેગના અનુમાનોને અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના પ્રથમ વખતના ડેરિવેટિવ્ઝ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

અંદાજો જાણીને, તમે વેક્ટરની તીવ્રતા અને તેની દિશા શોધી શકો છો

, (10)

કુદરતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઝડપ નક્કી કરવી

ગતિ કાર્યો

સામગ્રીના બિંદુનો માર્ગ અને વક્રીય સંકલનના ફેરફારનો નિયમ આપવા દો. ધારો કે, મુ t 1 પોઇન્ટ હતો
અને સંકલન s 1 , અને મુ t 2 - સંકલન s 2. સમય દરમિયાન
સંકલન વધારવામાં આવ્યું છે
, પછી બિંદુની સરેરાશ ગતિ

.

આપેલ સમયે ઝડપ શોધવા માટે, ચાલો મર્યાદા પર જઈએ

,

. (12)

ગતિને સ્પષ્ટ કરવાની કુદરતી રીતે બિંદુના વેગ વેક્ટરને વક્રીય સંકલનના સમયના સંદર્ભમાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

બિંદુ પ્રવેગક

સામગ્રી બિંદુના પ્રવેગ હેઠળવેક્ટરના જથ્થાને સમજો કે જે સમય સાથે તીવ્રતા અને દિશામાં બિંદુના વેગ વેક્ટરમાં ફેરફારના દરને દર્શાવે છે.

ગતિ સ્પષ્ટ કરવાની વેક્ટર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિંદુનું પ્રવેગક

સમયના બે બિંદુઓ પર એક બિંદુને ધ્યાનમાં લો t 1 (
) અને t 2 (
), પછી
- સમય વધારો,
- ઝડપ વધારો.

વેક્ટર
હંમેશા ગતિના સમતલમાં રહે છે અને તે બોલના અંતર્મુખ તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

પી od બિંદુનું સરેરાશ પ્રવેગકસમય માં  t તીવ્રતા સમજો

. (13)

આપેલ સમયે પ્રવેગક શોધવા માટે, ચાલો મર્યાદા પર જઈએ

,

. (14)

આપેલ સમયે બિંદુના પ્રવેગને બિંદુના ત્રિજ્યા વેક્ટરના સમયના સંદર્ભમાં બીજા વ્યુત્પન્ન તરીકે અથવા સમયના સંદર્ભમાં વેગ વેક્ટરના પ્રથમ વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

પ્રવેગક વેક્ટર સંપર્ક વિમાનમાં સ્થિત છે અને તે બોલના અંતર્મુખ તરફ નિર્દેશિત છે.

ગતિ સ્પષ્ટ કરવાની સંકલન પદ્ધતિ સાથે બિંદુનું પ્રવેગક

ચાલો વેક્ટર અને હલનચલનનો ઉલ્લેખ કરવાની સંકલન પદ્ધતિઓ વચ્ચેના જોડાણ માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ

અને ચાલો તેમાંથી બીજું ડેરિવેટિવ લઈએ

,

. (15)

એકમ વેક્ટર માટે સમીકરણ (15) માં સંકલન અક્ષો પર પ્રવેગક વેક્ટરના અંદાજો છે

. (16)

સંકલન અક્ષો પરના પ્રવેગક અંદાજોને વેગ અંદાજોમાંથી સમયના સંદર્ભમાં પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ તરીકે અથવા સમયના સંદર્ભમાં અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના બીજા ડેરિવેટિવ્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

પ્રવેગક વેક્ટરની તીવ્રતા અને દિશા નીચેના અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે

, (17)

,
,
. (18)

ગતિ સ્પષ્ટ કરવાની કુદરતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિંદુનું પ્રવેગક

પી
બિંદુને વળાંકવાળા માર્ગ સાથે આગળ વધવા દો. ચાલો સમયની ક્ષણો પર તેની બે સ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લઈએ t (s, એમ, વિ) અને t 1 (s 1, એમ 1, વિ 1).

આ કિસ્સામાં, પ્રાકૃતિક સંકલન પ્રણાલીની અક્ષો પરના તેના અંદાજો દ્વારા પ્રવેગક એમ બિંદુ સાથે એકસાથે ફરતા હોય છે. અક્ષો નીચે પ્રમાણે નિર્દેશિત થાય છે:

એમ  - સ્પર્શક, સ્પર્શક સાથે બોલ તરફ નિર્દેશિત, હકારાત્મક અંતર સંદર્ભ તરફ,

એમ n- મુખ્ય સામાન્ય, સંપર્ક વિમાનમાં પડેલા સામાન્ય સાથે નિર્દેશિત, અને બોલના અંતર્મુખ તરફ નિર્દેશિત,

એમ b- દ્વિસામાન્ય, પ્લેન M ને લંબરૂપ  nઅને પ્રથમ કુહાડીઓ સાથે જમણા હાથની ત્રિપુટી બનાવે છે.

પ્રવેગક વેક્ટર સ્પર્શના વિમાનમાં રહેલું હોવાથી a b = 0. ચાલો અન્ય અક્ષો પર પ્રવેગકના અંદાજો શોધીએ.

. (19)

ચાલો કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પર (19) પ્રોજેક્ટ કરીએ

, (20)

. (21)

ચાલો બિંદુ M 1 અક્ષો દ્વારા બિંદુ M પર અક્ષોની સમાંતર દોરીએ અને વેગ અંદાજો શોધીએ:

જ્યાં  - સંલગ્નતાના કહેવાતા કોણ.

(22) ને (20) માં બદલો

.

મુ  t 0  0, cos 1 પછી

. (23)

બિંદુનું સ્પર્શક પ્રવેગ એ વેગના પ્રથમ વખતના વ્યુત્પન્ન અથવા વક્રીય સંકલનનું બીજી વખત વ્યુત્પન્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સ્પર્શક પ્રવેગક વેગ વેક્ટરમાં તીવ્રતામાં ફેરફારને દર્શાવે છે.

ચાલો (22) ને (21) માં બદલીએ

.

દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો sજાણીતી મર્યાદાઓ મેળવવા માટે

જ્યાં
(પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા),

,
,

, ક્યાં  - બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા.

ગણતરી કરેલ મર્યાદાઓને (24) માં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ

. (25)

બિંદુનું સામાન્ય પ્રવેગ એ આપેલ બિંદુ પરના વક્રતાની ત્રિજ્યા અને વેગના વર્ગના ગુણોત્તર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સામાન્ય પ્રવેગ એ દિશામાં વેગ વેક્ટરમાં ફેરફારને લાક્ષણિકતા આપે છે અને તે હંમેશા બોલના અંતર્મુખ તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

અંતે, આપણે પ્રાકૃતિક સંકલન પ્રણાલીની ધરી પરના ભૌતિક બિંદુના પ્રવેગક અને વેક્ટરની તીવ્રતાના અંદાજો મેળવીએ છીએ.

, (26)

. (27)

બિંદુની ઝડપ, પ્રવેગક, બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા, સ્પર્શક, સામાન્ય અને સમય વિરુદ્ધ આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી દ્વિસામાન્યની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો. સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ જેમાં, ગતિના આપેલ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, બિંદુની ગતિ અને પ્રવેગક નક્કી કરવું જરૂરી છે. બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા, સ્પર્શક, સામાન્ય અને દ્વિસામાન્ય પણ નક્કી કરવામાં આવે છે.

પરિચય

નીચેના સૂત્રોના નિષ્કર્ષ અને સિદ્ધાંતની રજૂઆત “મટીરીયલ પોઈન્ટની ગતિશાસ્ત્ર” પૃષ્ઠ પર આપવામાં આવી છે. અહીં આપણે આ સિદ્ધાંતના મુખ્ય પરિણામોને ભૌતિક બિંદુની ગતિને સ્પષ્ટ કરવાની સંકલન પદ્ધતિ પર લાગુ કરીશું.

ચાલો આપણે એક નિશ્ચિત બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે નિશ્ચિત લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ રાખીએ. આ કિસ્સામાં, બિંદુ M ની સ્થિતિ વિશિષ્ટ રીતે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y, z) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.બિંદુની હિલચાલને સ્પષ્ટ કરવાની સંકલન પદ્ધતિ

- આ એક પદ્ધતિ છે જેમાં સમયસર કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબનનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે. એટલે કે, સમયના ત્રણ કાર્યો ઉલ્લેખિત છે (ત્રિ-પરિમાણીય ગતિ માટે):

ગતિશીલ જથ્થાનું નિર્ધારણ
,
સમયસર કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન જાણીને, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સામગ્રી બિંદુ M ના ત્રિજ્યા વેક્ટરને આપમેળે નિર્ધારિત કરીએ છીએ:

x, y, z અક્ષોની દિશામાં એકમ વેક્ટર (orts) ક્યાં છે.
;
;
સમયના સંદર્ભમાં ભિન્નતા કરતા, અમે સંકલન અક્ષો પર વેગ અને પ્રવેગના અંદાજો શોધીએ છીએ:
;
.

.

ઝડપ અને પ્રવેગક મોડ્યુલો:
.
સ્પર્શક (ટેન્જેન્શિયલ) પ્રવેગ એ વેગની દિશા પરના કુલ પ્રવેગનું પ્રક્ષેપણ છે:

સ્પર્શક (ટેન્જેન્શિયલ) પ્રવેગક વેક્ટર:
.
; .
સામાન્ય પ્રવેગક:
.

માર્ગના મુખ્ય સામાન્યની દિશામાં એકમ વેક્ટર:
.
માર્ગની વક્રતાની ત્રિજ્યા:
.

.

માર્ગની વક્રતાનું કેન્દ્ર:

સમસ્યા ઉકેલનું ઉદાહરણ

બિંદુની ગતિના આપેલ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, તેના માર્ગનો પ્રકાર સ્થાપિત કરો અને, સમયની એક ક્ષણ માટે, બોલ પરના બિંદુની સ્થિતિ, તેની ગતિ, કુલ, સ્પર્શક અને સામાન્ય પ્રવેગક, તેમજ ત્રિજ્યા શોધો માર્ગની વક્રતા.

બિંદુની ગતિના સમીકરણો:
, સેમી;
, સે.મી.

ઉકેલ

માર્ગના પ્રકારનું નિર્ધારણ

અમે ગતિના સમીકરણોમાંથી સમયને બાકાત રાખીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે તેમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:
; .
ચાલો સૂત્ર લાગુ કરીએ:
.
;
;
;
.

તેથી, અમને માર્ગ સમીકરણ મળ્યું:
.
આ એક બિંદુ પર શિરોબિંદુ અને સમપ્રમાણતાના અક્ષ સાથેના પેરાબોલાનું સમીકરણ છે.

કારણ કે
, તે
;
.
અથવા
;
;

એ જ રીતે આપણે સંકલન માટે અવરોધ મેળવીએ છીએ:
,
આમ, બિંદુની હિલચાલનો માર્ગ એ પેરાબોલાની ચાપ છે
ખાતે સ્થિત છે

અને .

12
;
.

અમે સમયની ક્ષણે બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરીએ છીએ.

બિંદુની ગતિ નક્કી કરવી
.
કોઓર્ડિનેટ્સનો તફાવત અને સમયના સંદર્ભમાં, આપણે વેગ ઘટકો શોધીએ છીએ.
તફાવત કરવા માટે, ત્રિકોણમિતિ સૂત્ર લાગુ કરવું અનુકૂળ છે:
;
.

.
;
.
પછી
.

અમે સમયની ક્ષણે વેગ ઘટકોના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

સ્પીડ મોડ્યુલ:
;
.

બિંદુની પ્રવેગકતા નક્કી કરવી
;
.
વેગ અને સમયના ઘટકોને અલગ કરીને, આપણે બિંદુના પ્રવેગના ઘટકો શોધીએ છીએ.
.

અમે સમયની ક્ષણે પ્રવેગક ઘટકોના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:
.
પ્રવેગક મોડ્યુલ:

સ્પર્શક (ટેન્જેન્શિયલ) પ્રવેગક વેક્ટર:
.
સ્પર્શક પ્રવેગક એ વેગની દિશા પરના કુલ પ્રવેગનું પ્રક્ષેપણ છે:

માર્ગના મુખ્ય સામાન્યની દિશામાં એકમ વેક્ટર:
.

ત્યારથી, સ્પર્શક પ્રવેગક વેક્ટર ગતિની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે.
; .
વેક્ટર અને તે બોલના વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત છે.
બિંદુનો માર્ગ એ પેરાબોલાની ચાપ છે
બિંદુ ઝડપ: .

બિંદુ પ્રવેગક: ;

;
.
; ;
બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા: .
; ;
અન્ય જથ્થાઓનું નિર્ધારણ
; ;
સમસ્યા હલ કરતી વખતે અમને મળ્યું:

વેક્ટર અને સ્પીડ મોડ્યુલ:

કુલ પ્રવેગકનું વેક્ટર અને મોડ્યુલ:
.
સ્પર્શક અને સામાન્ય પ્રવેગક:

.
બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા: .

.
ચાલો બાકીની માત્રા નક્કી કરીએ.
.
પાથની સ્પર્શક દિશામાં એકમ વેક્ટર:

.

સ્પર્શક પ્રવેગક વેક્ટર:
; .
સામાન્ય પ્રવેગક વેક્ટર:


.